ФЗИКО-ТЕХНЧНИЙ НСТИТУТ НИЗЬКИХ ТЕМПЕРАТУР

НАЦОНАЛЬНО АКАДЕМ НАУК УКРАНИ

СОХЕТ Олександр Маркович

УДК 517 + 519.46

АПРОКСИМАТИВНА ТРАНЗИТИВНСТЬ

ГРУПП ПЕРЕТВОРЕНЬ

В ЕРГОДИЧНЙ ТЕОР

01.01.01 - Математичний аналз

Автореферат дисертац на здобуття наукового ступеня

кандидата фзико-математичних наук

Харкв 1999

Дисертацю рукопис

Робота виконана в Фзико-технчному нститут низьких температур нацонально Академ наук Украни

Науковий кервник – доктор фзико-математичних наук

ГОЛОДЕЦЬ Валентин Якович

(Фзико-технчний нститут низьких температур НАН Украни,

провдний науковий спвробтник)

Офцйн опоненти:

доктор фзико-математичних наук, професор Самойленко Юрй Стефано-вич, провдний науковий спвробтник нституту математики НАН Украни, Кив;

кандидат фзико-математичних наук Снельщиков Сергй Дмитрович, стар-ший науковий спвробтник Фзико-технчного нституту низьких температур НАН Украни, Харкв.

Провдна установа: Харквський державний унверситет, механко-матема-тичний факультет, Харкв.

Захист вдбудеться “ 8 ” червня 1999 року о 1500 годин на засданн спецалзовано вчено ради Д 64.175.01 у Фзико-технчному нститут низьких температур НАН Украни, Харкв, пр.Ленна, 47.

З дисертацю можна ознайомитись у бблотец Фзико-технчного нститу-ту низьких температур НАН Украни, Харкв, пр.Ленна, 47.

Автореферат розсланий “ 30 ” квiтня 1999 року.

Вчений секретар

спецалзовано вчено ради ________ Котляров В.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнсть теми. Ергодична теоря зявилася на початку 30-х рокв нашо-го сторччя; вона почалась з робот Дж. фон Ноймана, який займався дослджен-нями математичних моделей квантово та класично механк, з того часу розви-ток ергодично теор завжди йшов паралельними шляхами з розвитком теор опе-раторних алгебр.

Поняття апроксимативно транзитивност зявилося в 1985 роц в робот А.Конна та Е.Дж.Вудса у звязку з проблемою класифкац факторв, як нескн-ченими тензорними добутками факторв типу I; виявилося, що апроксимативно скнчен фактори розпадаються у такий нескнчений добуток, якщо й тльки якщо його потк ваг задовольня умов, яку автори назвали “апроксимативною транзи-тивнстю” (АТ). Ми продовжумо дослдження цього поняття з точки зору ерго-дично теор.

Найбльш традицйна частина ергодично теор – це дослдження поодино-ких перетворень та течй, як збергають мру. Але ц обмеження давно вже нкому не здаються природними, тому часто поста проблема зясувати, чи можна уза-гальнити те чи нше поняття або результат для бльш загально ситуац, де, по-перше, д довльна група, а не тльки Z або R, , по-друге, ця д зберга тльки клас мри, а не саму мру. Нашу роботу, крм ншого, можна розглядати як роботу в цих двох напрямках.

Звязок з науковими програмами, планами, темами. Бльша частина ц ро-боти виконана автором пд час навчання в аспирантур Математичного вддлення ФТНТ АН (потм НАН) Украни пд кервництвом В.Я.Голодця. Роботу викона-но в межах тематичного плану ФТНТ НАН Украни за темою 1.4.10.22.6 “Алгеб-рачн та геометричн методи в теор операторв та теор днамчних систем” (№ державно рестрац 0196V002943).

Мета задач дослдження: 1) знайти якнайбльше достатнх умов, як б за-безпечували апроксимативну транзитивнсть; 2) знайти точний опис АТ дй будь-яких груп, а не тльки R, мовою слабко екввалентност, продакт-одометрв та продакт-коциклв. 3) побудувати цкав приклади д групи, що прямим добутком двох груп, зставити х з вдповдними дями груп-множникв.

Наукова новизна одержаних результатв. Ус результати дисертац нови-ми. У другому роздл вперше коректно визначено поняття кумедного рангу один (funny rank one; rang un gauche) для дй довльних груп, як не збергають мру, доведено, що кумедний ранг один не залежить вд вибора мри в межах того ж самого класу та що з кумедного ранга один витка АТ. Доведено, що транзитивн д та д з дискретним спектром АТ, а у випадку дй розвязних груп вони, крм того, мають кумедний ранг один. Уперше доведена така теорема про ндукован д: нехай H – замкнена нормальна пдгрупа групи G. Якщо дя групи H на лебе-говому простор та природна дя групи G на G/H обидв мають кумедний ранг один, то й ндукована дя групи G теж ма кумедний ранг один. Подбну (але прос-тшу) теорему доведено також для АТ дй, навть без припущення про нормаль-нсть пдгрупи H. А для дй цлком незвязних груп навть не треба припускати роз-вязнсть, щоб довести кумедний ранг один.

У третьому роздл вперше доведено два важливих критер розпаду в нес-кнчений прямий добуток пари, яка складаться з д та коциклу. Вперше доведено, що подвйна дя Макк, побудована за аменабельною групою перетворень типу II або III G та 1-коциклом , де – коцикл Радона-Нкодима, а – довльний 1-коцикл з значеннями в груп A, АТ тод й тльки тод, коли пара (G, ) слаб-ко екввалентною до пари, що складаться з продакт-одометру та продакт-коцик-лу. Звдси встановлено, що будь-яку дю Макк групи A може бути реалзовано як дю Макк, побудовану за дю довльного заданого типу та за продакт-коциклом. А якщо дана АТ дя з самого початку була зображена як дя Макк, асоцйована до д типу II та до коциклу, то цей коцикл виявляться не тльки слабко екввалент-ним, але навть когомологчним до деякого -продакт-коциклу. Вс ц результати справедлив для груп A, як задовольняють таким трьом умовам: (1) A – аменабель-на л.к.с. група; (2) A мстить зчисленну щльну аменабельну пдгрупу; (3) коцикл  Z1(, G; A) ма бути таким, щоб log ((, g)) був кограницею, де – моду-лярна функця групи A.

Крм того, порвняно подвйну дю Макк, побудовану за дю типу III та подвйним коциклом , з двома дями Макк, побудованими за тю ж самою д-ю та за коциклами та окремо, та доведено, що з АТ першо д витка АТ двох нших. Зворотне твердження хибним, наведено вдповдний приклад.

У четвертому роздл вперше побудовано також цкавий приклад сукупно д двох груп G = Z2 Z2 ... та Z, яка не зоморфною до добутку вдповдних дй груп G та Z; а саме, д G та Z окремо не ергодичн; д Z на ергодичних ком-понентах зоморфними тод й тльки тод, коли ц компоненти переводяться одна в одну дю G; та централзатор C(GZ) виявляться таким, що C(GZ) (GZ)  Z2. Цей приклад побудовано на баз прикладу Агва ергодичного перетворення з лебеговською компонентою парно кратност у спектр.

Практичне значення одержаних результатв. Результати дисертац можуть бути використан для подальших дослджень апроксимативно транзитивних дй та повязаних з ними питань ергодично теор. До числа втчизняних установ, що мо-жуть бути зацкавленими результатами ц дисертац, входять Фзико-технчний нститут НАН Украни (Харкв), нститут математики НАН Украни (Кив), Хар-квський державний унверситет та н.

Апробаця результатв дисертац. Результати дисертац доповдались та об-говорювались на семнар з теор операторних алгебр та ергодично теор (нсти-тут низьких температур, Харкв; кервник семнару В.Я.Голодець), на семнар з теор операторних алгебр (Коллж де Франс, Париж; кервник семнару Ж.Скан-далс), на семнар з ергодично теор (Унверситет Париж-6; кервник семнару Ж.-П.Тувено).

Публкац. Див. перелк публкацй автора за темою дисертац наприкнц цього автореферату.

Особистий внесок здобувача. Те, що викладаться в роздлах 2.1, 2.2, 2.4, 3.1, 3.4.1 та 3.5, зроблене автором одноособово. Те, що викладаться в роздлах 2.3, 3.2, 3.3, 3.4.2, 3.6 та 4, зроблене автором у спвробтництв з В.Я.Голодцем при рвному вклад сторн.

Обм та структура. Дисертаця складаться з вступу, чотирьох глав, виснов-кв та списку використаних джерел, що мстить 35 найменувань. Обсяг дисертац 104 сторнки. Обсяг списку використаних джерел 4 сторнки.

Хочу щиро подякувати Валентина Яковича Голодця та Жоржа Скандалса за допомогу в робот над дисертацю.

ОСНОВНИЙ ЗМСТ РОБОТИ

Перший роздл. Попередн вдомост

Тут нагадуємо деяк найважливш поняття ергодично теор, серед яких ап-роксимативна транзитивнсть:

Визначення 1.1. Кажуть, що дія групи G на лебеговому просторі (w, B, m) ап-роксимативно транзитивна (АТ), якщо для будь-якого e>0 та довільного скінчено-го набора функцій f1, f2,..., fN О L1+(w, m) знайдуться функція f О L1+(w, m), елементи gj О G та коефіцієнти l i j і 0 (тут i=1,...,n; j=1,...,Ni), такі, що

.

Другий роздл. Достатні умови для апроксимативної транзитивності

та кумедний ранг один

Визначення 2.5. Дія a групи G на лебеговому просторі (W, B, m) має кумедний ранг один, якщо для будь-яких A1, A2, ..., An О B, m(Ai) < Ґ, і довільних e > 0, s > 0 знайдуться E0 О B и gik О G, rik О R+ (тут i=1, ..., n; ; k=1,..., Ni) такі, що множини gikE0 або не перетинаються, або співпадають, і

Сімейство множин {gik E0 : i=1,2,.., n; k=1,..., Ni } буде назватися стеком (вежею), а E0 – його базою.

Очевидно, що з кумедного ранга один витікає ергодичність.

Твердження 2.1.2. Кумедний ранг один не залежить від вибора міри в границях одного класу еквівалентних мір.

Твердження 2.1.3. Дія групи G на лебеговому просторі (W, B, m), яка має ку-медний ранг один, є АТ.

Лемма 2.1.4. Нехай G1 та G2 будуть дві групи автоморфизмів, що діють на відповідних лебегових просторах (w1, B1, m1) та (w2, B2, m2 ). Розглянемо їхній пря-мий добуток, себто дію G1 ґ G2 на (w1 ґ w2, B1 ґB2, m1 ґ m2).

(1) якщо обидві дані дії мають кумедний ранг один, то і прямий добуток теж.

(2) Якщо обидві дані дії АТ, то і прямий добуток теж.

Лемма 2.1.5. Нехай група автоморфизмів G діє на лебеговому просторі (w, B, m), H – топологічна група, та j: H ® G – неперервний гомоморфізм груп з щільним образом. Розглянемо дію H на (w, B, m), задану так: h Ч w = j(h)Ч w.

(1) Якщо дана дія G має кумедний ранг один, то й побудована дія H теж.

(2) Якщо дана дія G є АТ, то й побудована дія H теж.

Дал нагадумо звязок мж дискретним спектром та транзитивнстю, а по-тм вдому теорему про апроксимацю довльних л.к.с. груп групами Л.

Визначення 2.6. Нехай л.к.с. група G діє на просторі Лебега (w, B, m). Мно-жина EОB назвається G-майже замкненою, якщо для деякої (а тому і для будь-якої) фундаментальної послідовності Un околів одиниці e О G маємо m(UnE \ E) ® 0. Множина EОB на-звається G-майже відкритою, якщо w\E є G-майже замкненою. Множини, що водночас майже відкриті і майже замкнені, назваються множинами з нульовою G-границею.

Доводимо снування таких множин, а також можливсть апроксимувати до-вльну вимрну множину за допомогою множин з нульовою G-границею.

Теорема 2.2.1. Нехай G – л.к.с. група, H - її замкнена підгрупа. Дія правими зсу-вами групи G на просторі правих суміжних класів відносно H є АТ.

Зрозуміло, що така ж теорема справедлива і для лівих зсувів на просторі лі-вих суміжних класів. Нагадаємо, що фактор-дія АТ дії сама є АТ. Тому треба тіль-ки довести теорему для випадку вільної транзитивної дії, тобто для дії G правими зсувами на собі. Метод доведення – побудова апроксимативної одиниці в L1(G).

Висновок 2.2.2. Дія л.к.с. групи, яка має дискретний спектр, є АТ.

Окремо розглядамо абелев групи та доводимо дв теореми:

Теорема 2.3.7. Ергодична дія абелевої л.к.с. групи, яка має дискретний спектр, має кумедний ранг один.

Теорема 2.3.8. Будь-яка транзитивна дія абелевої л.к.с. групи на лебеговому просторі має кумедний ранг один.

Тепер переходимо до ндукованих дй та формулюмо результати:

Теорема 2.4.1. Нехай G – л.к.с. група, H – її замкнена нормальна підгрупа, H діє на лебеговому просторі (w, B, m). Якщо дія H має кумедний ранг один, та дія G зсувами на просторі лівих суміжних класів X=G/H також має кумедний ранг один, то й індукована дія групи G також має кумедний ранг один.

Теорема 2.4.2. Нехай знову G – л.к.с. група, H – її замкнена підгрупа, H діє на лебеговому просторі (w, B, m). Припустимо, що ця дія є АТ (природна дія G на X = G/H завжди є АТ внаслідок теореми 2.2.2). Тоді індукована дія групи G теж є АТ.

Подальшу частину другого роздлу займа доведення цих теорем.

Висновок 2.4.6. Усі транзитивні дії л.к.с. розв'язних груп мають кумедний ранг один.

Висновок 2.4.7. Дії л.к.с. розв'язних груп, що мають дискретний спектр, ма-ють і кумедний ранг один.

Висновок 2.4.8. Якщо автоморфізм має кумедний ранг один, то й спеціальна течія, побудована під постійною стелевою функцією, також має кумедний ранг один.

Твердження 2.4.9. Всі транзитивні дії цілком незв'язних л.к.с. груп мають ку-медний ранг один.

Приклад 2.4.10. Нехай SL(n, Zp) – група всіх матриць з визначником, який дорівнює 1, над кільцем p-адичних цілих чисел. Тоді SL(n, Zp) – цілком незв'язна компактна група, а SL(n, Z) – її щільна підгрупа. Дія SL(n, Z) на SL(n, Zp) лівими зсувами має кумедний ранг один і є АТ, так само як і дія SL(n, Zp) на собі.

Третй роздл. Продакт-коцикли та апроксимативна транзитивність

Нехай wn, n О N, - скiнчена множина {0,1,...,Rn-1} М N. Нехай mn - ймовiрнiс-на мiра на wn, така, що mn (k) > 0, де 0 Ј k Ј Rn-1. Вiзьмемо простр – нескiнчений добуток wpr = wn з мiрою-добутком mpr = mn. Переставлення ln дiє на wn так: ln(k) = k+1 mod(Rn). Цi ln породжують зчисленну вiльну групу перетворень Gpr простора wpr, яка зветься продакт-одометром (вiд англiйського "product" – до-буток).

Визначення 3.1. Нехай apr - такий 1-коцикл wpr ґ Gpr ® A зi значеннями в абелевiй групi A, що apr(w, lnl) (0 Ј l < Rn) залежить тiльки вiд n-тої координати точки w = (w1, w2, ..., wn, ...) О wpr. Коцикл apr такого виду назвається продакт-коциклом.

Нехай (w, B, m) – простiр Лебега, а G – ергодична зчисленна вiльна група перетворень цього простора. Нехай a : w ґ G ® A – 1-коцикл. Якщо iснує вимрне вiдображення q: (w, m) ® (wpr, mpr), m°q = mpr, яке зберiгає мiру, переводить орбити в орбити i при цьому q [G] q-1 = [Gpr], та a (q-1 w, g)= apr (w, qgq-1), де g О [G], w О wpr, то коцикл a назвається нижче q-продакт коциклом.

Твердження 3.1.1. Нехай зчисленна аменабельна група G діє ергодично на лебе-говому просторі (w, B, m). Припустимо, що a – коцикл для цієї дії зі значеннями в абелевій л.к.с. групі A. Пара (G, a) є слабко еквівалентною до пари, що складається з продакт-одометра та продакт-коцикла, якщо й тільки якщо для будь-яких e, q, s > 0 та довільного скінченого набора часткових перетворень g1, g2,..., gn О [G]m* знай-дуться скінчена міра P ~ m, коцикл b, когомологічний a, функція f, що сплітає b з a, та проста вежа z з постійними (b, P)-перехідними значеннями, такі, що Dom gi, Im gi Оm,e B(z);

m(w О Dom gi supp(z): giw О Orbz(w)) > (1 - e)Ч m(Dom gi);

||P - m||supp(z) E =def (тут E = i (Dom gi Im gi));

m(w О supp(z) E : dist(eA, f(w)) > s) < q Ч m(supp(z) E).

Відмітимо, що пара (G, r) (де r – коцикл Радона-Нікодима для міри m), теж водночас виявляється слабко еквівалентною до пари, що складається з продакт-одометра та його (продакт-)коцикла Радона-Нікодима для продакт-міри.

Твердження 3.1.2. Нехай G – зчисленна ергодична аменабельна група невирод-жених перетворень типу III на лебеговому просторі (w, B, m), а a – коцикл для неї зі значеннями в абелевій л.к.с. групі A. Пара (G, a) є слабко еквівалентною до пари, що складається з продакт-одометра та продакт-коцикла, якщо справедлива така умо-ва:

для будь-якої кратної вежи з постійними (P, b)-перехідними значеннями (тут P – деяка скінчена міра, еквівалентна до m, а b – деякий коцикл, когомологічний a), для будь-яких e > 0 та s > 0 знайдуться скінчена міра Q ~ m, коцикл g ~ a, прос-та вежа x з постійними (Q, g) - перехідними значеннями, яка є подрібненням даної кратної вежи, та функція f, g ~f b, такі, що

Ця умова є не тільки достатньою, але й необхідною; побачимо це нижче.

Нехай зчисленна аменабельна група типу III G вільно діє на лебеговому просторі (w, B, m), а r буде коциклом Радона-Нікодима цієї дії, та a – довільним коциклом зі значеннями в абелевій групі A. Пара (r, a) розглядається як подвійний коцикл. Визначимо простр-добуток wґAґR з такою мірою: dn(w,a,u) = dm(w) Ч da Ч exp(u)du; тут w О w, a О A, u О R. Природні проекції з (w , B, m) на w, A та R позначимо відповідно pw, pA та pR. Трійцю (w, a, u) позначимо буквою z. Розгля-немо навкісну дію групи G на цьому просторі:

(w, a, u) = (g w, a Ч a(w, g), u + log (dm°g/dm)(w))

разом з такими діями груп A та R (t О R, b О A):

Tt(w, a, u) = (w, a, u+t), Vb(w, a, u) = (w, b Ч a, u).

Бачимо, що та Vb зберігають міру n, а Tt – ні. Ці три дії комутують одна з іншою.

Нехай . Розглянемо фактор-простір X простору w ґ A ґ R, по-будований за сигма-алгеброю всіх -інвариантних множин. Нехай p – природна проекція з w ґ A ґ R на X. Оберемо довільну сигма-скінчену міру m на X, еквіва-лентну до n0 ° p-1, де n0 – будь-яка скінчена міра, еквівалентна до n. Тоді можемо написати такий розклад:

для будь-якої k О L1(w ґ A ґ R; n), де dn(w, a, u | x) позначає однозначно визначену сигма-скінчену неатомічну -інвариантну міру, яка при майже всіх x О X задо-вольняє умові n({(w, a, u) О w ґ A ґ R : p(w, a, u) x} | x) = 0.

Визначення 3.3. Розглянемо фактор-дії

Ft(p(w, a, u)) = p(Tt(w, a, u)) та

Wb(p(w, a, u)) = p(Vb(w, a, u))

на X груп, відповідно, R та A. Сукупна дія (Ft, Wb) буде назватися подвійною дією Маккі.

Визначення 3.4. Нехай D – зчисленна щільна підгрупа R, а B – зчисленна щільна підгрупа в A. Визначимо зчисленну невироджену групу перетворень G на (w ґ A ґ R, B ґ B(A) ґ B(R), n): G = { Ч Td Ч Vb : g О G, d О D, b О B }.

Твердження 3.2.1. Пара (G, (r, a)) (де G типу III) є слабко еквівалентною до пари (G, (r1, a1)), де r1 та a1 – такі коцикли:

r1(w, a, u; , Vb, Tt) = –t; a1(w, a, u; , Vb, Tt) = b-1,

себто r1 О Z1(w ґ A ґ R, ґ B ґ D; R) та a1 О Z1(w ґ A ґ R, ґ B ґ D; A).

Під час доведення водночас виявляється, що групи перетворень G та G є орбітально еквівалентними і що пари (G, a) та (G, a1) є слабко еквівалентними.

Визначення 3.5. Нехай h О [G]n*, а E М Dom h – вимірна множина. fh (x) та fE(x) будуть невід'ємними функціями О L1(X, m), такими, що fh(x) = n(Im h | x); fE (x) = n(E| x).

Зрозуміло, що fE = fid |E, fh = fIm h, || fE ||1 = n(E).

Лемма 3.2.2. Нехай e > 0, E – вимірна множина в w ґ A ґ R, та f О L1(X, m)+ такі, що || f – fE ||1 < e. Тоді існують вимірна множина E1 М w ґ A ґ R та відобра-ження h О [G]n* з E на E1, такі, що fE1 = f, || n(h ) – n(Ч E) || Ј || f - fE || + e < 2 e, та n(z О E : a1(z, h) eA) < 2 e.

Псля доведення ще клькох допомжних лемм можна перейти до основно теореми:

Теорема 3.3.1. Нехай G – аменабельна ергодична група невироджених перетво-рень типу III на (w, B, m), та нехай a – 1-коцикл для цієї дії зі значеннями в абелевій л.к.с. групі A, а r – коцикл Радона-Нікодима. Пара (G, (r, a)) є слабко еквівалентною до пари, що складається з продакт-одометра та продакт-коцикла, якщо й тільки якщо подвійна дія Маккі (Ft, Wb) є АТ.

Легко довести, що ця умова є достатньою: це витікає з теореми 2.2.1 та з того факта, що фактор-дія АТ дії сама є АТ. Нетривіальна частина теореми – це довести, що з апроксимативної транзитивності подвійної дії Маккі витікає, що дана пара є слабко еквівалентною до продакт-одометра з продакт-коциклом. Завдяки твердженню 3.2.1, замість даної пари (G, (r, a)) розглядатимемо пару (G, (r1, a1)). Скористаємося твердженням 3.1.2. Нехай Z = zi - довільна кратна вежа для G з постійними (P, b)-перехідними значеннями, де P ~ n, b ~h a1. Наша мета – побудувати x, Q, g як в твердженні 3.1.2.

Візьмемо довільний поверх er(i) в кожній zi. Розглянемо множину E = er(i).

Лемма 3.3.2. По ходу подальшого доведення теореми 3.3.1 ми маємо право при-пускати, що P = n на E і що bE = (a1)E.

Тепер виписумо АТ-умову для д G, користумось леммою 3.2.2. та нши-ми допомжними леммами та явно будумо потрбн x, Q, g.

Випадок типу II розглядаться подбними методами, але доведення грунту-ться на використанн твердження 3.1.1 замсть 3.1.2 проводиться без лемми 3.2.2.

Теорема 3.4.1. Нехай G – зчисленна аменабельня група перетворень типу II, що діє на лебеговому просторі (w, B, m), та a : w ґ G ® A – 1-коцикл для цієї дії зі значеннями в абелевій групі A. Пара (G, a) є стабільно слабко еквівалентною до пари, що складається з продакт-одометра та продакт-коцикла, якщо й тільки якщо асо-ційована дія є АТ.

Висновок 3.4.3. Кожну АТ дію абелевої групи може бути реалізовано як дю Макк, асоцйовану до продакт-коциклу та до д будь-якого заданого типу.

Теорема 3.4.5. АТ дія абелевої групи, що є дією Маккі, побудованою за дією ти-пу II та коциклом, є водночас і образом q-продакт-коцикла, когомологічного до по-чаткового.

У випадку неабелево групи A треба змнити визначення продакт-коциклу:

Визначення 3.7. a: W ґ G ® A назвається p-коциклом, якщо виконані такі шість умов: (1) для кожного j О N існує розбиття {Ekj, 0 Ј k < pj }, себто Ek1j Ek2j = при k1 № k2, та kEk = W; (2) та існують перетворення Tj типу I, які переклада-ють множини Ekj, себто Tjl Ч Ekj = Ejk+l (mod pj), причому (3) Tjl Ч Eki = Eki для всіх l, як тільки i № j, та (4) група, що її породдають всі {Tj }j=1Ґ, співпадає з [G]; (5) dm ° Tj / dm постійне на кожній Ekj; (6) та ще a(w, Tj) є відображенням з w в A, вимірним відносно сигма-алгебри, яку породжають всі {Ekj : k=0,..., pj-1; j=1,...,l }.

Тоді, зробивши відповідні зміни в деяких доказах, вдається узагальнити результати чотирьох попередніх розділів для випадку неабелевої групи A. Але A не може бути довільною: (1) A має бути аменабельною л.к.с. групою; (2) A має включати в себе зчисленну щільну аменабельну підгрупу B; (3) коцикл a О Z1(w, G; A) має бути таким, щоб log D(a(w, g)) був кограницею, де D – модулярна функція групи A (це тривіальним чином справедливе, якщо A унімодулярна).

Щоб зставити подвйну дю Макк з двома простими, розглянемо коцикли a та r окремо. Введемо такі дії: g(w, a) = (g w, a Ч a(w, g)), Vb(w, a) = (w, a Ч b). Вони діють на просторі w ґ A; позначимо через Wb фактор-дію дії Vb на ергодичних ком-понентах дії g.

Крім того, введемо дії g(w, u) = (g w, a + log (dm °g)/(dm)), Tt(w, u) = (w, u + t) на просторі w ґ R, та позначимо через Ft фактор-дію дії Tt на ергодичних компо-нентах дії g.

Твердження 3.6.1. Якщо подвійна дія Маккі (Ft, Wb) є АТ, то й обидві прості дії Маккі Ft та Wb теж є АТ.

Приклад 3.6.2. Нехай w = { 0, 1}Z, m - міра-добуток, m = mi, mi(0) = mi(1) = 1/2. Нехай q – перетворення Бернуллі. Розглянемо простір X = w ґ w з мірою m = mґm і такі два перетворення, що зберігатимуть міру: q1 = q ґ q, q2 = id ґ q. Нехай (Y, n) – лебегов простір з сигма-скінченою мірою n, S – довільне ергодичне пере-творення на Y, що зберігає n, та нехай u1, u2 – два автоморфізми, що комутують один з іншим та задовольняють умові: n ° u1 = exp(t1) Ч n, n ° u2 = exp(t2) Ч n, де t1, t2 – два раціонально-несумірних числа. Нехай, крім того, u1, u2 належать до норма-лізатора [S].

Розглянемо лебегов простір (X ґ Y, m ґ n) та побудуємо такі три дії:

Q1(x, y) = (q1 x, u1 y), Q2 (x, y) = (q2 x, u2 y), S0 (x,y) = (x, S y).

Вони комутують та породжають повну групу, яку ми позначимо G. хня спільна дія є дією типу III1 та орбітально еквівалентна до дії Z.

Визначимо такий коцикл a О Z1(X ґ Y, G; Z):

a(x, y; Q1) = 0, a(x, y; Q2) = 1, a(x, y; S0) = 0.

Дія Маккі, побудована за G та a, тривіальна й тому АТ. Дія Маккі, побудо-вана за G та коциклом Радона-Нікодима, теж тривіальна й тому АТ. Але подвійна дія Маккі має фактор-дію додатньої ентропії й тому не може бути АТ.

Четвертий роздл. Про властивості одної сукупно ергодичної дії

прямого добутку двох груп

Нехай (X, B, m) - простір Лебега, w = {0,1}N; елементи w мають вигляд w = {wk}k=1Ґ. Розбиття x – це скінчений набір диз'юнктних вимірних множин Ai; їхнє об'єднання не зобов'язане співпадати з X. При w О w визначимо монотонну послі-довність розбиттів xn = {Ai(n): i=1,..., qn} та автоморфізм простору X, що збе-рігає міру, так, щоб:

a) xn ® e, де e – розбиття на точки;

b) qn у двійковому запису має вигляд w0 w1 w2 ...wn, n>0, де w0 = 1;

c) Ai(n) = Ai+1(n), i=1,..., qn - 1, тобто xn є стеком (вежею) для ;

d) A1(n+1) A1+qn(n+1) = A1(n), nі 0.

Цей автомофізм має ранг один. Побудуємо Z2-розширення Tw над : Tw(x,y) = (x, aw(x) y), x О X, y О Z2, де коцикл aw : X ® Z2 визначається так: нехай {en}0Ґ О {–1, 1}N0 – будь-яка задана послідовність. Визначимо aw(x), щоб вн дорвнював en при x О , aw(x) = –en при x О , aw(x) = 1 при wn+1 = 1 та x О.

Нижче вважаємо послідовність w вже обраною, і притому так, щоб викону-вались такі дві умови: по-перше, існує нескінчено багато wk, рівних 1; по-друге,

limn®Ґ m(B(n)) Ч qn > 0, де B(n) = X \

Вдомо, що два розширення T, побудовані за коциклами a1 (x) та a2(x), мет-рично неізоморфні, якщо відповідні послідовності {en1}n=1Ґ та {en2}n=1Ґ відрізня-ються в зчисленному числі місць. Будемо казати, що два коцикли a1 (x) та a2 (x) майже однакові, якщо послідовності {en1}n=1Ґ та {en2}n=1Ґ відрізняються лише в скінченому числі місць.

Лемма 4.2.1. Розширення T з майже однаковими коциклами метрично ізо-морфні.

Для доведення будумо коцикл b(x), такий, що b(x) = (a2(x)/a1(x)) b(x): до-водимо снування точно двох таких b, що вдрзняються знаком, та обчислюмо х-н значення.

Ми можемо тепер визначити сукупну дію групи Z та групи G = n=0Ґ Z2. Розглянемо простір X=XґZ2ґ{-1,1}N0; його елемети записуватимемо як (x,y, {en}n=0Ґ). Коцикл a, побудований за послідовністю {en}, буде позначатися a{en}(x). Визначимо дію групи Z на X, яку ми теж позначатимемо T, так: T(x, y, {en}) =(x, a{en}(x) y, {en}). Ця дія розпадається на ергодичні компоненти вигляду X ґZ2 ґ {en}. Нижче ми їх та відповідні обмеження T на них позначаємо через X{en} та T{en}.

Тепер визначимо дію групи G на тому ж просторі. Для всіх k О N0 визначи-мо перетворення pk простору X :

pk (x,y, {en}n=0Ґ) = (x, bk(x)y, {d(k-n) en} n=0Ґ).

G буде групою, яку породжають всі ці перетворення; вона абелева. Бачимо, що T комутує з pk. Обчислимо тепер централізатор сукупної дії T та pk. Нехай V – автоморфізм простору X, що комутує з T та pk. Позначимо s (x, y, z) = (x, –y, z).

Теорема 4.3.2. V = Tp Ч sq Ч pk, де p, q О Z та не залежать від {en}.

Висновок 4.3.3. Дія a групи ZґG не ізоморфна прямому добутку дій Z та G, оскільки Ca(G) = Z2N, Ca(Z) = Z ґ Z2, але Ca(G ґ Z) не ізоморфний Ca(Z) ґ Ca(G).

ВИСНОВКИ

1. Поняття кумедного ранга один може бути коректно визначеним для дй будь-яких л.к.с. груп, що не збергають мру, причому кумедний ранг один зберга-ться, коли мру замнюють на екввалентну до не.

2. Дя л.к.с. групи на лебеговому простор, яка ма кумедний ранг один, АТ.

3. Якщо л.к.с. група G д на лебеговому простор, то можливо визначити класи G-майже вдкритих та G-майже замкнених пдмножин цього простора, при-чому будь-яка вимрна множина може бути апроксимована за допомогою мно-жин, що водночас майже вдкритими та майже замкненими, з довльною точнс-тю у розумнн мри симетрично рзниц.

4. Транзитивн д л.к.с. груп АТ; д л.к.с. груп, що мають дискретний спектр, також АТ.

5. (перша теорема про ндукован д) Нехай G – л.к.с. група, H – замкнена нормальна пдгрупа, та нехай H д на лебеговому простор (, B, ). Якщо дя H ма кумедний ранг один, та дя G зсувами на лвому однородному простор X=G/H також ма кумедний ранг один, то й ндукована дя групи G також ма кумедний ранг один.

Якщо X дискретним, то не треба припускати, щоб H була нормальною, , бльш того, у цьому випадку зворотне твердження до нашо теореми також спра-ведливе.

6. (друга теорема про ндукован д) Нехай G – л.к.с. група, H – замкнена пдгрупа, та H д на лебеговому простор (, B, ). Якщо дя H АТ, то й нду-кована дя групи G також АТ.

7. Транзитивн д л.к.с. розвязних груп мають кумедний ранг один; д роз-вязних груп, що мають дискретний спектр, також мають кумедний ранг один.

8. Транзитивн д цлком незвязних л.к.с. груп мають кумедний ранг один.

9. Доведено два критер розпаду пари, що складаться з д та коциклу, в нескнчений прямий добуток. Див. формулювання цих критерв у роздл 3.1.

10. Подвйна дя Макк, побудована за аменабельною групою перетворень типу III G та коциклом , де – коцикл Радона-Нкодима, а – довльний 1-ко-цикл з значеннями в абелевй груп A, АТ тод й тльки тод, коли пара (G, (, )) слабко екввалентною до пари, що складаться з продакт-одометру та продакт-коциклу.

11. Дя Макк, побудована за аменабельною групою перетворень типу II G та коциклом , з значеннями в абелевй груп A, АТ тод й тльки тод, коли пара (G, ) стабльно слабко екввалентною до пари, що складаться з продакт-одо-метру та продакт-коциклу.

12. Будь-яка дя абелево групи A може бути представленою як дя Макк, побудована за дю довльного заданого типу та продакт-коциклом.

13. Попередн твердження може бути пдсилене: у раз, коли дана АТ дя бу-ла з самого початку представлена як дя Макк, асоцйована до д типу II та ко-циклу, цей коцикл буде не тльки слабко екввалентним, але й когомологчним до деякого -продакт-коциклу.

14. Вс наведен вище (пп. 9 – 13 ) результати справедлив не тльки для ви-падку абелево групи A, але й в набагато бльш загальнй ситуац. Група A мусить тльки задовольняти таким трьом умовам: (1) A – аменабельна л.к.с. група; (2) A мстить зчисленну щльну аменабельну пдгрупу; (3) даний коцикл Z1(, G; A) ма бути таким, щоб log ((, g)) був кограницею, де – модулярна функця гру-пи A.

15. Ми порвняли подвйну дю Макк, побудовану за дю типу III та за по-двйним коциклом (, ), з двома простими дями Макк, побудованими за тю ж самою дю та за коциклами та окремо, та довели, що з апроксимативно тран-зитивност першо д витка апроксимативна транзитивнсть двох нших. Зворот-не твердження хибним, ми навели вдповдний приклад.

16. Побудована сукупна дія a двох груп G= Z2 Е Z2 Е... та Z, що не зоморфною до прямого добутку вдповдних дй груп G та Z , бо ма так влас-тивост: –

якщо Ca (G ґ Z) – централізатор дії a, то Ca(G ґZ) / a(G ґ Z) Z2; –

якщо z та h – дві довільні ергодичні компоненти дії a({e} ґ Z), то дії a({e}ґ Z)|z та a({e}ґ Z)|h метрично ізоморфні тоді й тільки тоді, коли z = a(g, 0)h для де-якого g О G; –

дії кожної з груп G та Z не ергодичні.

ПУБЛКАЦ

Golodets V.Ya., Sokhet A.M. Ergodic actions of an Abelian group with discrete spectrum, and approximate transitivity. J.Sov.Math. 52, No.6 , p. 3530–3533 (1990); translated from Teor.Funkts., Funks.Anal.Prilozh., 51, p.117–122 (1989).

Golodets V.Ya., Sokhet A.M. On properties of jointly ergodic action of the direct product of two groups. Ukr.Math.J. 43, No.5, p.635–639 (1991); translated from Ukr. Mat.Zh. 43, No.5, 684–688 (1991).

Golodets V.Ya., Sokhet A.M. Transitive actions of solvable groups and approximate transitivity. Preprint of Institute for Low Temperature Physics and Engineering, Kharkov, 1989, No.19. – 26 p.

Golodets V.Ya., Sokhet A.M. A representation of approximately transitive group actions as a product cocycle range. Preprint of Institute for Low Temperature Physics and Engineering, Kharkov, 1991, No.2. – 12 p.

Golodets V.Ya., Sokhet A.M. Measure-preserving approximately transitive actions and spectrum. Preprint of Institute for Low Temperature Physics and Engineering, Kharkov, 1991, No.11. –16 p.

Сохет А.М. О некоторых свойствах аппроксимативно транзитивных дейст-вий. XII науч.-техн. конференция молодых исследователей ФТИНТ АН УССР: тезисы докладов. Харьков, 1991. с.85–86.

Голодец В.Я., Сохет А.М. О спектральных свойствах аппроксимативно транзитивных действий. XVI Всесоюзная школа по теории операторов в функци-ональных пространствах. Тезисы докладов. Нижний Новгород, 1991. С.54.

Golodets V.Ya., Sokhet A.M. Cocycles of type III transformation group and AT property for the double Mackey action. Preprint of the Erwin Shrцdinger International Institute for Mathematical Phisics, 1994, ESI 97. – 39 p.

Golodets V.Ya., Sokhet A.M. Product cocycles and the approximate transitivity. Mathematical Physics, Analysis and Geometry, 1, No.4, p.331–365 (1998).

Sokhet A.M. Funny rank one and the approximate transitivity for induced actions, Monatshefte fьr Matematik, 1998, to appear.

Sokhet A.M. Transitive actions have funny rank one. Matematicheskaya fizika, analiz, geometriya, 6, No.1/2, p.124–129 (1999).

Сохт О.М. Апроксимативно транзитивн групи перетворень в ергодичнй теор. – Рукопис. Дисертаця на здобуття наукового ступеня кандидата фзико-математичних наук за спецальнстю 01.01.01. – математичний аналз. – Фзико-технчний нститут низьких температур НАН Украни, Харкв, 1999.

Дисертацю присвячено вивченню апроксимативно транзитивних (АТ) дй. Визначено властивсть, яку кличуть кумедним рангом один,