Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Чуб Костянтин Федорович

УДК 517.9

ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ КІНЕТИЧНОЮ СИСТЕМОЮ

МОНО-ІЄРУСАЛИМСЬКОГО

01.05.04 – системний аналіз і теорія оптимальних рішень

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2000

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі математичних методів

еколого-економічних досліджень факультету кібернетики

Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник – доктор фізико-математичних наук,

професор Ляшенко Ігор Миколайович (Київський

національний університет імені Тараса Шевченка,

завідувач кафедри математичних методів

еколого-економічних досліджень)

Офіційні опоненти:

Доктор фізико-математичних наук, професор

Кіфоренко Борис Микитович (Київський національний

університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри

механіки суцільних середовищ)

Кандидат фізико-математичних наук Смирнов Сергій

Анатолійович (Інститут космічних досліджень

НАН України і НКА України, вчений секретар)

Провідна установа - Інститут кібернетики

імені В.М.Глушкова НАН України, відділ

оптимізації керованих процесів.

Захист відбудеться “05” жовтня 2000р. о 10 годині на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д 26.001.09 Київського національного

університету імені Тараса Шевченка, Київ, пр. Глушкова, 2, корп. 6, ауд. 40.

З дисертацією можна ознайомитися у Науковій бібліотеці

Київського національного університету імені Тараса

Шевченка, Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий “4” вересня 2000р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В.П.Шевченко

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Математичне моделювання процесів росту популяцій є областю широкого використання динамічних моделей у біології. Особливий інтерес тут викликають задачі прикладного характеру, пов’язані з застосуванням динамічних моделей для керування біотехнологічним синтезом. У розвиток кінетичного моделювання популяцій вагомий внесок зробили Белянін В.М., Варфоломєєв С. Д., Заславський Б.Г., Ієрусалимський Н.Д., Колмогоров А.М., Ковров Б.Г., Ляшенко І.М., Мінкевич І.Г., Перт С.Д., Печуркін М.С., Пих Ю.А., Полуектов Р.А., Романовський Ю.М., Степанова Н.В., Свірежев Ю.М., Терсков І.А., Чернавський Д.С. та багато інших вчених.

Незважаючи на велику кількість робіт, присвячених оптимальному керуванню динамікою чисельності популяцій, проблемі розв’язності такого типу задач приділялось дуже мало уваги. Фазові змінні, що означають чисельність популяції, можуть приймати лише невід’ємні значення і допустимі керування повинні приводити до збереження цієї властивості. Виникає необхідність застосування нових методів, що орієнтуються на процеси керування об’єктами, які еволюціонують у конусах та мають такі обмеження на допустимі керування, при яких нульові значення керуючих змінних лежать на границі області їх допустимих значень.

Найбільш перспективними є методи дослідження оптимального росту мікроорганізмів з використанням кінетичної моделі Моно-Ієрусалимського, що описує ріст мікроорганізмів за допомогою системи трьох нелінійних диференціальних рівнянь відносно біомаси популяції, поживного субстрату та продуктів обміну (метаболітів). Основою для оптимізації є постановка спеціальних задач оптимального керування – задач “оптимального збирання врожаю”. Ляшенком І.М. зроблені постановки різних узагальнень цієї задачі оптимального керування для нелінійної кінетичної системи і вивчені відповідні оптимальні врівноважені режими. Проте залишаються ще не вивченими питання побудови магістральних траєкторій, керованості нелінійної кінетичної системи, синтез оптимального керування, дослідження стійкості ковзних режимів, що виникають при автоматичному керуванні системою, та інше. Найбільш актуальною математичною проблемою є розробка методів знаходження оптимальних керувань для нелінійної кінетичної системи.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана відповідно до плану наукових досліджень кафедри математичних методів еколого-економічних досліджень факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка (держбюджетна тема 97067 - математичне моделювання та алгоритми розв’язування задач оптимізації еколого-економічних систем, номер держреєстрації 0197U003334).

Мета роботи. Метою дисертації є розробка методів знаходження оптимальних керувань для нелінійної кінетичної системи, а саме: побудова магістральних траєкторій задач оптимального керування; дослідження керованості нелінійної кінетичної системи від різних параметрів; синтез оптимального керування з побудовою відповідних фазових траєкторій; конструювання та дослідження ковзних режимів при автоматичному керуванні нелінійною кінетичною системою.

Наукова новизна. Основні результати роботи є новими, а саме:

Вперше досліджені питання існування, єдиності та стійкості магістральних траєкторій ряду задач оптимального керування для нелінійної кінетичної системи.

Запропонований новий метод побудови магістральних траєкторій ряду задач оптимального керування для нелінійної кінетичної системи шляхом розв’язання допоміжних задач нелінійної параметричної оптимізації та використання достатніх умов оптимальності.

Встановлена керованість нелінійної кінетичної системи в залежності від різних параметрів моделі.

Вперше проведений синтез оптимального керування та побудовані фазові портрети для нелінійної кінетичної системи.

Встановлена асимптотична стійкість двох ковзних режимів при прямому керуванні нелінійною кінетичною системою (турбідостат та хемостат).

Методи дослідження. У роботі використовуються теорія оптимального керування, теорія нелінійної оптимізації, методи параметричної оптимізації, якісна теорія та теорія стійкості для диференціальних рівнянь.

Практичне значення одержаних результатів. Встановлена єдиність та метод побудови асимптотично стійких магістральних траєкторій для нелінійної кінетичної системи Моно-Ієрусалимського дають математичне обгрунтування для вибору оптимального режиму вирощування мікроорганізмів. Закладений в основу критерій загального прибутку дає можливість оцінити економічну ефективність відповідного оптимального режиму.

Особистий внесок. Всі основні результати дисертаційної роботи отримані автором самостійно.

Апробація результатів роботи. Основні результати роботи доповідалися на наукових семінарах факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка, Інституту кібернетики ім. В. М. Глушкова НАН України, а також на:

VII Міжнародній науковій конференції ім. акад. М.Кравчука (14-16 травня 1998 р., Київ);

Міжнародній науковій конференції “Моделювання та дослідження стійкості систем” (25-29 травня 1999 р., Київ);

VIII Міжнародній науковій конференції ім. акад. М.Кравчука (11-14 травня 2000 р., Київ).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в чотирьох статтях у фахових виданнях та в трьох тезах конференцій.

Структура та обсяг. Дисертаційна робота складається з вступу, трьох розділів, висновків та списку літератури. Робота викладена на 125 сторінках тексту, список використаних джерел містить 131 найменувань.

Основний зміст

У вступі обгрунтовується актуальність досліджень з оптимізації мікробіологічних процесів, що описуються кінетичною системою Моно-Ієрусалимського, подано стислий огляд найбільш важливих результатів стосовно даної тематики. Приведені основні результати дисертації та стислий зміст її по розділах.

Перший розділ роботи складається з чотирьох підрозділів.

Підрозділ 1.1 містить аналітичний огляд застосувань кінетичної моделі Моно-Ієрусалимського та постановок ряду задач оптимального керування. Модель Моно-Ієрусалимського відома в літературі як система нелінійних кінетичних рівнянь:

приріст одиниці біомаси; - концентрація поживного субстрату, що надходить зовні, - швидкість протоку в культиваторі. Система диференціальних рівнянь (1) зв’язує між собою концентрації біомаси , поживного субстрату та продуктів життєдіяльності (всі величини виражені в молях вуглецю). Питома швидкість (темп) ензіматичної реакції , яка залежить від концентрації поживного субстрату та концентрації метаболітів , встановлюється емпіричним шляхом через статистичну обробку дослідних даних.

Ми розглядаємо нелінійну функцію загального вигляду, яка якісно описується такими властивостями (аксіома А1) :

Диференціальні рівняння (1) не мають ніякої біологічної специфіки і тому з успіхом описують будь-який неперервний технологічний процес, що супроводжується притоком сировини та відтоком продуктів. Зокрема, ці співвідношення досить точно відображають нелінійні особливості еколого-економічних процесів, пов’язаних з використанням сировинних ресурсів і утворенням шкідливих відходів.

Для диференціальних рівнянь (1) задаються початкові умови

Система (1),(3) містить фазові змінні та вільну змінну (керування) .

Біологічна специфіка системи (1), (3) вимагає, щоб на часовому проміжку , що розглядається, на фазові змінні та на керування були накладені такі обмеження :

При цьому керування - кусково-неперервна функція на , неперервна справа в точках розриву.

Позначимо через динамічний процес при - допустиму множину, що описується співвідношеннями (1), (3), (4).

Задача оптимального керування

називається задачею оптимального збирання врожаю.

Узагальненням системи (1) на випадок, коли є можливість шляхом додавання в технологічний процес контрагента, що здійснює внутрішню технологічну очистку від забруднювачів (метаболітів), підвищити ефективність самого процесу, є система

де - швидкість надходження контрагенту. При цьому додатково до обмежень (4) включається обмеження , де - кусково-неперервне керування. Відповідна задача оптимального керування

де - вартісний параметр, називається задачею оптимального використання очисних споруд.

Ще одним узагальненням системи (1) на випадок, коли є можливість шляхом додавання в технологічний процес чистого продукту підвищити ефективність самого процесу, є система

де - швидкість надходження чистої продукції. При цьому додатково до обмежень (4) включається обмеження , де - кусково-неперервне керування. Відповідна задача оптимального керування

де - вартісний параметр, називається задачею оптимального стимулювання збагачених технологій.

У підрозділі 1.2 досліджуються стаціонарні точки кінетичної системи Моно-Ієрусалимського.

Теорема 1.1. Нехай виконуються умови аксіоми А1. Для того, щоб система (1) при мала єдиний нетривіальний стаціонарний розв’язок , необхідно та достатньо, щоб виконувалась нерівність

Теорема 1.2. Якщо виконуються умови аксіоми А1, (10) та , то система (1) при початкових умовах (3) є асимптотично обмеженою (дисипативною).

Теорема 1.4. Якщо виконані умови аксіоми А1, (10) та , то нетривіальний стаціонарний розв’язок , системи (1) асимптотично стійкий.

Теорема 1.5. Нехай виконуються умови аксіоми А1. Для того, щоб система (6) при мала нетривіальний стаціонарний розв’язок , необхідно та достатньо, щоб виконувались нерівності

Цей стаціонарний розв’язок єдиний.

Теорема 1.6. Нехай виконуються умови аксіоми А1. Тод система (8) при має єдиний нетривіальний стаціонарний розв’язок .

У підрозділі 1.3 будуються магістральні траєкторії деяких задач оптимального керування для нелінійної кінетичної системи.

Відносно нелінійної функції ми вважаємо, що виконуються умови аксіоми А1, а також умови аксіоми А2:

початкової точки на магістраль), де - єдиний розв’язок допоміжної задачі нелінійного програмування

Ця магістраль досяжна лише при умові, що початкова точка кінетичної системи (1) належить інваріантній прямій

задачі нелінійного програмування

Задача (15) має два локальні максимуми:

Глобальний оптимум задачі (15) відповідає випадку , і здійснюється при малих значеннях вартісного параметра , де

При значеннях вартісного параметра глобальний оптимум задачі (15) відповідає випадку Таким чином, при малій відносній ціні контрагенту він використовується для повного знищення метаболітів, при великій відносній ціні контрагенту він взагалі не використовується. У всіх випадках часткове знищення метаболітів з точки зору економічного критерію (7) неефективне.

Магістраль задачі оптимального керування (7) досяжна лише при умові, що початкова точка кінетичної системи (6) належить інваріантній площині .

Для задачі оптимального керування (9) магістральна траєкторія знаходиться через єдиний розв’язок допоміжної задачі нелінійного програмування

що існує при . При маємо . Ця магістраль досяжна лише при умові, що початкова точка кінетичної системи (8) належить інваріантній площині .

У підрозділі 1.4 досліджується нова задача оптимального керування для нелінійної кінетичної системи:

що є синтезом попередніх задач. Тут - фазові змінні, - кусково-неперервні керування. Нехай та - вартісні параметри, а - допустимий процес, то відповідну задачу оптимального керування можна записати у вигляді

Теорема 1.7. Нехай виконуються умови аксіоми А1. Для того, щоб система (18) при мала єдиний нетривіальний стаціонарний розв’язок , необхідно та достатньо, щоб виконувались нерівності:

Магістраль задачі (19) визначається розв’язком допоміжної задачі нелінійного програмування

Пропонується дослідження параметричної задачі (21) проводити за допомогою чисельних методів.

Другий розділ роботи присвячений дослідженню керованості нелінійної кінетичної системи і складається з трьох підрозділів.

У підрозділі 2.1 розглядається задача керування швидкістю протоку для системи диференціальних рівнянь (1). Вивчається питання про можливість лише за допомогою кусково-неперервного керування переводу розв’язку задачі Коші (1),(3) в задану стаціонарну точку при за найменший час.

Задача розглядається на інваріантній прямій (14).

Теорема 2.1. Оптимальне керування для рівняння

при допустимому кусково-неперервному керуванні , що найшвидшим чином переводить початкову точку на інваріантній прямій (14) в стаціонарну точку на цій прямій при , задається правилом

У підрозділі 2.2 розглядається задача керування концентрацією поживного субстрату для системи диференціальних рівнянь (1). Вивчається питання про можливість лише за допомогою кусково-неперервного керування переводу розв’язку задачі Коші (1),(3) в задану стаціонарну точку при за найменший час.

Розглядається задача на інваріантній площині , тобто, коли система (1) після виключення змінної приводиться до вигляду

Проведемо на площині криву , що визначається рівнянням Ця крива проходить через стаціонарну точку . Позначимо через сім’ю кривих, що відповідають керуванню. Частину траєкторії сім’ї , що проходить через точку та лежить вище кривої , позначимо через . Аналогічно, позначимо через сім’ю кривих, що відповідають керуванню , а частину траєкторії цієї сім’ї, що проходить через точку та лежить нижче кривої , позначимо через .

Ми одержуємо, що монотонно спадна крива розбиває область на множину , що лежить зліва від , та множину , що лежить справа від .

Теорема 2.2. Оптимальне керування системи диференціальних рівнянь (24) при допустимому кусково-неперервному керуванні , що найшвидшим чином переводить початкову точку на інваріантній площині в стаціонарну точку на цій площині при , задається правилом

тобто утворює лінію перемикання.

У підрозділі 2.3 для системи диференціальних рівнянь (1) розглядається задача оптимального керування з двома керуючими змінними - швидкістю протоку та концентрацією поживного субстрату. Вивчається питання про можливість лише за допомогою кусково-неперервних керувань та переводу розв’язку задачі Коші (1),(3) в задану стаціонарну точку при . Задача в такій постановці має розв’язок, якщо початкова і кінцева точки належать інваріантній площині . Тоді система (1) після виключення змінної приводиться до вигляду (24). Bідмітимо, що в системі (24) керування та хоча і входять лінійно, все ж утворюють мультиплікативну форму .

Нехай та - ті ж, що в підрозділі 2.2. Додатково до цього - частина прямої (проходить через стаціонарну точку ), що лежить зліва від та вище кривої .

Ми одержуємо, що вся допустима область розбивається кривими на три частини: 1) , що лежить нижче та лівіше ; 2) , що лежить вище та лівіше; 3), що лежить правіше та правіше . Іншими словами,

Теорема 2.3. Оптимальне керування системи диференціальних рівнянь (24) при керуваннях , що найшвидшим чином переводять початкову точку на інваріантній площині в стаціонарну точку на цій площині при , задається таким правилом:

площині , можна попасти оптимальним чином лише через криві або , а оптимальна траєкторія переходу може мати не більше одного перемикання, то ці можливості описуються правилом 1)-3) в теоремі. При цьому в 1) та 2) є альтернатива, яка розв’язується шляхом конкретних числових розрахунків.

Третій розділ роботи присвячений дослідженню ковзних режимів керування нелінійною кінетичною системою і складається з двох підрозділів. Розглядаються моделі автоматичного регулювання процесом неперервного культивування, коли швидкість надходження поживного субстрату та відповідно видалення біомаси функціонально залежить від концентрації клітин в реакторі. У цьому випадку швидкість протоку залежить від стану системи : .

У підрозділі 3.1 досліджується турбідостатний процес культивування, коли потік через реактор з великою інтенсивністю включається, коли вимірюваний показник густини популяції перевищує задане значення (уставку). При цьому контролюється або оптична густина біомаси (плотностат), або кислотність середовища (pH-стат). Керування задається виразом

де константа М вважається досить великою, пов’язаною лише із швидкістю спрацьовування технічних пристроїв,

Площина ковзання , а еквівалентне керування, яке знаходимо з умови при Площина буде площиною відштовхування при перетині з площиною ковзання лише тоді, коли

Ковзний режим існує для будь-якого нетривіального розв’язку , якщо Теорема 3.1. При виконанні умов ковзання (29) стаціонарний розв’язок кінетичної системи (1) з керуванням (28) буде асимптотично стійким на множині .

Отже, описаний ковзний режим забезпечує сталість густини біомаси і є стійким до довільних змін додатної функції в часі при . Недоліком цього методу є низька стійкість ковзного режиму при малих концентраціях субстрату, оскільки при .

У підрозділі 3.2 досліджується хемостатний процес культивування, коли розбавлення в реакторі ведеться з сталою швидкістю. Відомо, що при достатньо великих значеннях та функція виходить на плато насичення:

( - мале додатне число). В результаті права межа спектру матриці лінійного наближення, залишаючись в лівій півплощині (Re ), прямує до нуля при . Зменшення запасу стійкості системи на практиці призводить до зриву процесу культивування та вимивання мікроорганізмів з реактора. Тому при високих концентраціях субстрату і метаболітів та при швидкостях розбавлення близьких до критичних виникає проблема: знайти керування, що підвищує ступінь стійкості процесу культивування.

Розглядається кінетична система

Площина ковзання задається рівнянням

а еквівалентне керування набуває вигляду

Нетривіальний стаціонарний розв’язок визначається так:

Необхідною та достатньою умовою існування стаціонарного розв’язку (34) в ковзному режимі Теорема 3.2. У ковзному режимі стаціонарний розв’язок (34) кінетичної системи (30) при керуванні (31) та виконанні умов аксіоми А1 є асимптотично стійким.

Оскільки вектор можна взяти досить великим за нормою, то в цьому випадку запас стійкості

може обиратись наперед.

Висновки

У дисертації одержані нові науково обгрунтовані результати в галузі оптимального керування, параметричної оптимізації та асимптотичної стійкості нелінійних динамічних систем. Вони можуть бути використані при розв’язуванні задач оптимального керування нелінійними кінетичними системами, структурної оптимізації біологічних систем, виборі оптимальних режимів функціонування біотехнологічних процесів.

Основними результатами роботи є:

Доведено існування, єдиність та асимптотична стійкість магістральних траєкторій ряду задач оптимального керування для нелінійної кінетичної системи.

Побудовано магістральні траєкторії ряду задач оптимального керування для нелінійної кінетичної системи шляхом розв’язання допоміжних задач нелінійної параметричної оптимізації та використання достатніх умов оптимальності.

Встановлена керованість нелінійної кінетичної системи в залежності від різних параметрів моделі.

Проведено синтез оптимального керування та побудовано фазові портрети для нелінійної кінетичної системи.

Встановлено асимптотичну стійкість двох ковзних режимів автоматичного регулювання для нелінійної кінетичної системи (турбідостат та хемостат) та знайдено запас стійкості одержаних оптимальних режимів.

За темою дисертації опубліковані такі роботи:

1. Ляшенко І. М., Чуб К.Ф. Дослідження стаціонарних точок задачі оптимального збирання врожаю // Вісник Київського університету, сер. Фіз.-мат. науки, вип. 4, 1998. – с. 155-163.

2. Чуб К.Ф. Дослідження розв'язків однієї задачі оптимального збирання врожаю // Вісник Київського університету, сер. Фіз.-мат. науки, вип. 3, 1999. – с. 263-273.

3. Чуб К.Ф. Побудова магістральних траєкторій розв'язків деяких задач оптимального керування для кінетичної системи Моно-Ієрусалимського // Вісник Київського університету, сер. Фіз.-мат. науки, вип. 4, 1999. – с. 155-163.

4. Чуб К. Ф. Дослідження сковзних режимів при прямому керуванні кінетичною системою Моно-Ієрусалимського // Вісник Київського університету, сер. Фіз.-мат. науки, вип. 1, 2000. – с. 301-308.

5. Ляшенко І. М., Чуб К.Ф. Дослідження одного класу задач оптимального керування. // Тез. доп. VII Міжнародна наукова конференція ім. акад. М. Кравчука ( 14-16 травня 1998 , Київ) с. 303

6. Чуб К.Ф. Исследование одной задачи оптимального управления // Dynamical systems modelling and stability investigation. Thesis of conference reports, May 25 – 29, 1999, Kyiv. p. 64.

7. Чуб К.Ф. Магістральна траєкторія однієї задачі оптимального керування // Тез. доп. VIII Міжнародна наукова конференція ім. акад. М. Кравчука ( 11-14 травня 2000 , Київ) с. 219.

У спільно виконаній роботі [1] науковому керівникові Ляшенку І.М. належить постановка задач та пропозиції щодо їх дослідження, автору - формулювання та доведення теорем про необхідні і достатні умови існування стаціонарних точок та теореми про дисипативність нелінійної кінетичної системи . У спільно виконаній роботі [5] Ляшенку І.М. належить постановка задачі, автору - встановлення структури розв'язку задачі оптимального керування для нелінійної кінетичної системи.

Чуб К.Ф. Оптимальне керування кінетичною системою Моно-Ієрусалимського. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.04 – системний аналіз і теорія оптимальних рішень. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2000.

Дисертація присвячена математичному дослідженню ряду задач оптимального керування для нелінійної кінетичної системи. Доведені існування, єдиність та асимптотична стійкість магістральних траєкторій. Побудовано магістральні траєкторії ряду задач оптимального керування. Встановлена керованість нелінійної кінетичної системи від ряду параметрів моделі. Проведено синтез оптимального керування та побудовані відповідні фазові портрети. Встановлена асимптотична стійкість двох ковзних режимів системи автоматичного регулювання (турбідостат та хемостат). Отримані теоретичні результати дають можливість проводити структурну оптимізацію біологічних систем та обирати оптимальні режими функціонування біотехнологічних процесів.

Ключові слова: Кінетична система, задача оптимального керування, параметрична оптимізація, магістральна траєкторія, керованість динамічної системи, ковзні режими оптимального керування.

Чуб К.Ф. Оптимальное управление кинетической системой Моно-Иерусалимского. – Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.04 – системный анализ и теория оптимальных решений. – Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2000.

Диссертация посвящена математическому исследованию ряда задач оптимального управления для нелинейной кинетической системы. Доказаны существование, единственность и асимптотическая устойчивость магистральных траекторий. Построены магистральные траектории ряда задач оптимального управления. Установлена управляемость нелинейной кинетической системы от ряда параметров модели. Проведен синтез оптимального управления и построены соответствующие фазовые портреты. Установлена асимптотическая устойчивость двух скользящих режимов системы автоматического регулирования (турбидостат и хемостат). Полученные теоретические результаты дают возможность проводить структурную оптимизацию биологических систем и выбирать оптимальные режимы функционирования биотехнологических процессов.

Диссертация состоит из вступления, трёх разделов, заключения и списка литературы.

Во вступлении обосновывается актуальность исследований по оптимизации микробиологических процессов, которые описываются нелинейной кинетической системой Моно-Иерусалимского, даётся краткий обзор наиболее важных результатов по данной теме.

В первом разделе приводится исследование стационарных точек нелинейной кинетической системы на предмет их существования, единственности и асимптотической устойчивости. Рассмотрен вопрос об оптимальных стационарных решениях задачи оптимального управления. Построены магистральные траектории задач оптимального управления в случаях одной, двух и трёх управляющих переменных путём решения вспомогательных задач нелинейной параметрической оптимизации и использования достаточных условий оптимальности по Кротову.

Во втором разделе приводится исследование управляемости нелинейной кинетической системы (задача перевода решения в заданную точку за наименьшее время). Решение соответствующей задачи оптимального управления осуществляется в два этапа – в начале доказывается достижимость конечной точки при допустимом управлении, а за тем строится оптимальное управление. Исследованы случаи, когда управлением является скорость протока суспензии, когда управлением является концентрация питательного субстрата, а также случай одновременного управления скоростью протока и концентрацией питательного субстрата. Проведен синтез оптимального управления и построены соответствующие фазовые портреты.

В третьем разделе приводится исследование скользящих режимов при прямом управлении нелинейной кинетической системы. Сначала рассмотрен случай турбидостатного режима, когда контролируется оптическая плотность биомассы (плотностат) или кислотность среды (pH- стат) и разбавление в реакторе осуществляется импульсным режимом. Затем рассмотрен случай, когда разбавление в реакторе (скорость протока) осуществляется с постоянной скоростью (хемостат). В обоих случаях показывается, что соответствующие скользящие режимы являются асимптотически устойчивыми и повышают запас устойчивости процесса культивирования.

Основными результатами диссертационной работы являются:

1. Доказано существование, единственность и асимптотическая устойчивость магистральных траекторий ряда задач оптимального управления для нелинейной кинетической системы.

2. Построены магистральные траектории ряда задач оптимального управления для нелинейной кинетической системы путем решения вспомогательных задач нелинейной параметрической оптимизации и использования достаточных условий оптимальности.

3. Установлена управляемость нелинейной кинетической системы в зависимости от разных параметров модели.

4. Проведен синтез оптимального управления и построены фазовые

портреты для нелинейной кинетической системы.

Установлена асимтотическая устойчивость двух скользящих

режимов автоматического регулирования для нелинейной кинетической системы (турбидостат и хемостат) и найден запас устойчивости полученных оптимальных режимов.

Ключевые слова: кинетическая система, задача оптимального управления, параметрическая оптимизация, магистральная траектория, управляемость динамической системы, скользящие режимы оптимального управления.

Сhub K.F. The optimal control of Monod-Ierusalimski kinetic system.- Manuscript.

Thesis for Degree of Candidate of Physics-Mathematical Science in Specialty 01.05.04 – System analysis and theory of optimal solutions. – Kyiv national Taras Shevchenko University, Kyiv, 2000.

This thesis is devoted to the mathematical investigation of several problems of optimal control for nonlinear kinetic system. The existence, uniqueness and asymptotic stability of the main trajectory are proved. The main trajectories for several problems of optimal control are built. Controlliability of nonlinear kinetic system from the series of parameters of model is established. The synthesis of optimal control is carried out and the appropriate phase-plane portraits are built. The asymptotic stability of two sliding of automatic control system (turbidostat and hemostat) is established. Obtained theoretical results enables the realization of structural optimization of biological systems and making choice of optimal regimes of functioning of biotechnological processes.

Key words: kinetic system, optimal control problem, parametric optimization, main trajectory, controllability of dynamic system, sliding regimes of optimal control.

Підписано до друку 21.07.2000 р.

Формат 60х84/16. Гарнітура "Таймс".

Ум. друк. арк. 0,8. Папір офсетний.

Тираж 100 прим.

Друкарська

майстерня

М. Полтава, вул. Остроградського, 2

Тел. (05322) 2-17-25