МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

БУДІВНИЦТВА І АРХІТЕКТУРИ

МАРТИН Євген Володимирович

УДК 514.18

ГЕОМЕТРІЯ КОМПЛЕКСНОГО ПРОСТОРУ

СТОСОВНО ФОРМУВАННЯ ОБЛАСТЕЙ СТІЙКОСТІ

ТА ОПТИМІЗАЦІЇ ПАРАМЕТРІВ РЕГУЛЬОВАНИХ СИСТЕМ

Спеціальність 05.01.01 – Прикладна геометрія, інженерна графіка

автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Київ – 2000

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Державному університеті “Львівська політехніка”

Науковий консультант:

доктор технічних наук, професор

ГУМЕН Микола Степанович, професор кафедри нарисної геометрії, інженерної та комп'ютерної графіки Національного технічного університету України “Київський політехнічний інститут”

Офіційні опоненти:

-Заслужений працівник народної освіти України, доктор технічних наук, професор Скидан Іван Андрійович, завідувач кафедри нарисної геометрії та інженерної графіки Донецького державного технічного університету

-доктор технічних наук, доцент Ковальов Юрій Миколайович, професор кафедри нарисної геометрії та інженерної графіки Київського міжнародного університету цивільної авіації

-доктор технічних наук, доцент Матвійчук Ярослав Миколайович, доцент кафедри радіофізики Львівського Національного університету імені Івана Франка

Провідна установа:

Таврійська державна агротехнічна академія Мінагропрому України

Захист відбудеться “ 5 “ жовтня 2000 р. о 13 годині

на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.056.06 Київського Національного університету будівництва і архітектури за адресою: 01037, Київ-37, Повітрофлотський проспект, 31, ауд. 469

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Київського Національного університету будівництва і архітектури

Автореферат розісланий “__4_” ____вересня___________2000 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Д 26.056.06

кандидат технічних наук, доцент В.О.Плоский

Загальна характеристика роботи

Суть наукової проблеми полягає у створенні, на засадах системного підходу, формалізованих геометричних засобів визначення багатовимірних областей стійкості регульованих систем та розв'язку багатокритеріальних задач оптимізації шляхом обчислення компромісних екстремумів сімейства багатошарових многовидів фазового комплексного простору n функцій k комплексних змінних.

Кінцевим результатом розв'язаної проблеми є розроблені методи та запропоновані практичні рекомендації по підвищенню ефективності функціонування існуючих регульованих електромеханічних систем.

Наявні методи визначення стійкості регульованих систем враховують одночасну зміну не більше одного…двох параметрів, тоді як тільки спільна взаємодія одночасно всіх параметрів відображає реальну картину їх впливу.

За повну геометричну модель зв'язку між всіма змінними багатопараметричної електромеханічної системи пропонується розглядати відповідний многовид багатовимірного комплексного фазового простору цих параметрів. Тоді існуючі моделі часткових залежностей розглядаються як окремі перерізи такого многовиду.

Наявність повної залежності відкриває досліднику шлях до розв'язку багатокритеріальних задач оптимізації, що формалізовано зводяться до визначення координат екстремальних точок многовиду.

Актуальність роботи визначається назрілою необхідністю створення формалізованих геометричних засобів розв'язку прикладних технічних задач електромеханіки, зокрема у дослідженнях багатопараметричних регульованих систем і процесів, що дають змогу успішно застосовувати сучасну обчислювальну техніку. Особливо актуальні результати роботи на початкових етапах проектування, коли виникає необхідність вибору оптимальних діапазонів зміни багатьох параметрів системи одночасно.

Аналіз тих та інших математичних моделей підтверджує сутність геометричного підгрунтя кінцевих результатів у дослідженнях регульованих електромеханічних систем. Грунтовному математичному числовому, а потім фізичному дослідженню регульованої системи передує вибір конструктивних параметрів. Одні з них наперед задані конструктором, а деякі можуть бути змінені в певному діапазоні і вимагають вибору їх оптимальних значень. Останній фактор потребує відповідального підходу, виходячи, насамперед, з вимоги стійкості режиму. Методи розрахунку регульованих систем, особливо стійкості та оптимізації, мають під собою геометричне підгрунтя і використовують в тій чи іншій мірі методи графічних відображень. Такий зв'язок є взаємовигідним, оскільки вимагає розвитку допоміжних геометричних засобів вирішення розмаїтих прикладних задач. Одержані методи геометричного моделювання знаходять практичне застосування у розробці та дослідженні регульованих електромеханічних систем, зокрема електрообладнання.

Під керівництвом акад. В.Є.Михайленко розроблені методи геометричного моделювання електричного поля поблизу високовольтних ліній електропередач. Візуалізація картини силових ліній сприяє полегшенню визначення полоси відчуження поблизу ЛЕП.

У процесі досліджень, проведених під керівництвом проф. М.С.Гумена, розроблений на основі аналізу многовидів багатовимірного евклідового простору метод геометричного моделювання усталених режимів роботи електричних мереж. Враховуючи необхідну кількість режимних параметрів досліджуваної регульованої системи, метод ефективний при комп'ютерних розрахунках її критичних параметрів.

Проблемі визначення надійності регульованих систем, зокрема радіоелектронної апаратури, слугують розроблені під керівництвом проф. В.М.Первікової методи на основі геометричного моделювання многовидів багатовимірного евклідового простору.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана в рамках науково-дослідної роботи “Розроблення теоретичних засад створення високоефективних електротехнічних та електромеханічних систем і їх елементів для об'єктів з динамічним навантаженням та їх моделювання” (шифр ДВ “ВЕЕС”) згідно Координаційного плану Міносвіти України з фахового напрямку “Електроенергетика, електротехніка” розділу 69 Координаційного плану “Наукові основи удосконалення виробництва, передачі та використання електроенергії”.

Основні проблемні питання та постановка задачі дослідження. Аналіз існуючих засобів дослідження регульованих систем засвідчує їх глибоку геометричну основу. Кожний з них увібрав у себе в переважній мірі методи прикладної геометрії, які забезпечують їх математичну чіткість, послідовність і повноту перетворення інформації у контексті наперед заданих вихідних умов. Перелічені методи, засновані на геометричній інтерпретації функції комплексної змінної, дозволяють дослідити зміну не більше одного...двох параметрів. Такі обмеження спричинені, перш за все, відомою графічною моделлю функції як відображення значень множини аргумента у відповідну множину значень функції, заданих у своїх площинах. Збільшення кількості змінних параметрів дозволяє, очевидно, сформувати геометричну модель многовиду у фазовому просторі, виміри якого становлять параметри системи. Така геометрична модель слугує засобом визначення оптимальних значень параметрів, що має практичне використання, особливо у випадку дослідження компромісного екстремуму декількох функцій оптимізації. Таким чином, розробка інженерного методу формування областей стійкості, визначення належності їм сукупності параметрів системи та вибір серед них оптимальних з використанням методів функцій комплексних змінних, багатовимірної геометрії, теорії оптимізації належить до ще невирішених до нас завдань прикладної геометрії. Вивчення і аналіз особливостей многовидів комплексного простору, формування простих і практичних геометричних моделей значно розширює границі їх застосування у практиці проектування регульованих систем. Практичні вимоги удосконалення існуючих методів є підтвердженням актуальності розроблених методів розв'язку і аналізу наведених проблем.

Формування алгоритмів розв'язку таких задач вимагає розвитку геометричних аспектів функцій комплексних змінних стосовно теорії стійкості систем на базі теоретичних основ багатовимірної геометрії, теорії оптимізації для побудови моделей як основи розв'язку технічних задач формування областей стійкості та оптимізації регульованих систем.

Ступінь дослідженості тематики. Методи теорії функції комплексної змінної мають прикладне значення при розв'язанні фізичних і технічних задач, зокрема при дослідженні стійкості регульованих систем. Незаперечні досягнення теорії цих аналітичних функцій є запорукою успішного втілення її основних положень у практику, яка, втім, виявляє певні обмеження та застереження, вказуючи напрямки подальших досліджень. Огляд відомих джерел дозволяє зробити такі висновки:

1. Розроблені положення способу відображення образів та прообразів функції використані для визначення стійкості регульованих систем при зміні одного ... двох її параметрів.

2. Основи геометричної теорії функцій комплексних змінних передбачають вивчення плоских множин значень її аргумента і функції.

3. Відсутнє поняття графіка функції комплексної змінної, подібне до графіка функції дійсної змінної.

4. Вимагають геометричного обгрунтування способи формування фазового простору функції комплексних змінних і відповідних комплексних креслень для представлення у ньому комплексних многовидів.

5. Розроблені методи геометричної оптимізації параметрів функцій дійсної змінної засобом многовидів евклідового n-вимірного простору не уможливлюють одночасного дослідження кількох функцій оптимізації комплексних змінних.

6. Усі методи досліджень регульованих систем не враховують довірчих областей задавання параметрів з точністю їх виготовлення чи експериментального визначення.

Мета роботи полягає у розробці методів формування многовидів фазового простору функцій комплексних змінних як геометричної основи моделей з довірчими областями границь стійкості та оптимізації параметрів регульованих систем.

Основні завдання дослідження:

1. Виконати аналіз геометричної структури фазового простору функції комплексних змінних стосовно формування моделей багатопараметричних регульованих систем.

2. Розробити комплексні креслення фазового простору функції комплексних змінних та її різновидів.

3. Дати в границях фазового простору графічну інтерпретацію многовидів як геометричних моделей функцій комплексних змінних із багатовимірним комплексним підпростором її аргументів.

4. Розробити алгоритми геометричного моделювання параметрів многочленів у комплексному просторі.

5. Обгрунтувати геометричні засади довірчих областей параметрів регульованих систем у комплексному просторі.

6. Дати обгрунтування трубчастих каркасів многовидів у фазовому просторі функції комплексної змінної.

7. Розробити теоретичні основи геометричного моделювання областей стійкості регульованих систем.

8. Розробити алгоритми геометричної оптимізації параметрів електрообладнання.

9. Впровадити результати дослідження у виробництво в різних галузях вітчизняної промисловості, зокрема у виробництві та модернізації електрообладнання загальнопромислових механізмів, таких як системи натягу паперового полотна, головні механізми бурових установок тощо.

Методи дослідження. Розв'язання поставлених у роботі завдань виконувалось на базі методів багатовимірної, нарисної, аналітичної, диференціальної, обчислювальної геометрії, геометричної теорії функцій комплексних змінних, основних понять теорії нечітких множин, теорії кривих ліній та поверхонь, векторного числення і математичного аналізу, методів комп'ютерного моделювання, методів дослідження і моделювання процесів у теорії автоматичного регулювання.

Теоретичною та інформаційною базою проведення досліджень стали роботи вчених:

- у галузі теорії функцій комплексних змінних: Е.М.Голузіна , А.О.Біцадзе, С.Бохнера, У.Т.Мартина, О.І.Маркушевича, Г.Е.Пухова, А.Г.Свешнікова, Б.А.Фукса, І.М.Яглома та ін.;

- у галузі багатовимірної геометрії: Х.Буке, К.І.Валькова, В.Я.Волкова, М.С.Гумена, І.С.Джапарідзе, М.С.Курнакова, С.М.Ковальова, А.В.Павлова, Ф.М.Перельман, В.І.Первікової, В.П.Радіщева, Б.А.Розенфельда, Е.С.Федорова, П.В.Філіппова, П.Шоуте, М.М.Юдицького та ін.;

- у галузі кривих ліній та поверхонь: С.М.Ковальова, Г.С.Іванова, В.Є.Михайленко , В.М.Найдиша, В.А.Надолинного, В.С.Обухової, А.В.Павлова, О.Л.Підгорного, А.М.Підкоритова, І.А.Скидана, та ін.;

- у галузі теорії нечітких множин: П.Ванга, Л.А.Заде, К.Кларка, В.М.Найдиша, К.Негоіта, С.Ханаса, В.Хьоле та ін.;

- у галузі оптимізації регульованих систем і процесів: Б.Банді, Л.М.Вивальнюка, М.С.Гумена, Ю.І.Дегтярева, Ю.М. Ковальова, В.Є.Михайленко, Т.Шупа та ін.;

- у галузі комп'ютерного моделювання та обчислювальної техніки: Ю.І.Бадаєва , С.М.Грибова, Л.М.Куценко, В.Є.Михайленко, В.М.Найдиша, К.О.Сазонова та ін.;

- у галузі дослідження та моделювання процесів в теорії регульованих систем: В.І.Арнольда, М.С.Гумена, Н.Н.Іващенко, В.Є.Михайленко , Л.М.Тихомирова , В.І.Первікової, В.О.Плоского та ін.

Наукова новизна роботи полягає у створенні універсального методу геометричного моделювання многовидів фазового комплексного простору функцій комплексних змінних з довірчими областями параметрів і на їх основі - методів формування областей стійкості та оптимізації параметрів регульованих систем. В процесі роботи встановлено:

1. Комплексне креслення фазового простору функцій комплексних змінних та їх різновидів.

2. Введене розширення фазового простору аргументу функції комплексної змінної.

3 Досліджені геометричні закономірності формування многовидів комплексного простору.

4. Встановлений геометричний зміст основних понять теорії функцій комплексних змінних: функція, похідна, аналітичність тощо.

5. Розроблені теоретичні обгрунтування довірчих областей параметрів у комплексному просторі.

6. Запропоновані методи геометричного моделювання областей стійкості регульованих систем.

7. Розроблені алгоритми геометричної оптимізації параметрів електрообладнання.

8. Вперше сформовано геометричну модель n-вимірного фазового простору відображення функціональної залежності кількох комплексних змінних.

9. Виявлено сутність похідної двовимірного многовиду комплексного простору як дотичної до частинної графічної залежності у січній комплексній тривимірній гіперплощині рівня комплексної функції дійсної змінної.

10. Наочний графоаналітичний метод відображення многовидів як графічних залежностей функцій комплексних змінних.

11. Запропоновані трубчасті та каналові каркаси многовидів комплексного простору як довірчі області параметрів.

Достовірність результатів досліджень підтверджена достатньою для інженерних розрахунків збіжністю розрахункових і дійсних даних параметрів регульованої системи, порівнянням одержаних результатів за допомогою багатовимірних геометричних моделей і окремих класичних методів як окремих випадків таких моделей, розрахунками контрольних прикладів.

Практичне значення роботи:

Розроблені методи моделювання багатопараметричних залежностей функцій комплексних змінних у вигляді многовидів є наочними і простими у використанні. Геометрична формалізація технічних задач спрощує їх розв'язання за допомогою сучасної комп'ютерної техніки. Принциповою перевагою є також універсальність алгоритмів та програмного забезпечення багатокритеріальної оптимізації, що задає передумови для створення більш досконалих конструкцій приладів та пристроїв, більш економних технологій.

Результати роботи реалізовані у таких напрямках:

Розроблені способи формування областей стійкості регульованих систем апробовані при модернізації електроприводу натягу паперового полотна на Жидачівському целюлозно-паперевому комбінаті, регульованого приводу бурового насоса установки “Уралмаш-4Э”. Запропонований спосіб спряження труб за допомогою дуги узагальненої лемніскати Гумена прийнятий для використання в УМТ “Львівтрансгаз”. Спосіб оптимізації параметрів використаний при знаходженні компромісного екстремуму параметрів малопотужного трансформатора системи керування тиристорного перетворювача у Бориславському УБР.

Основні з отриманих результатів роботи використані у програмі курсу "Теорія автоматичного регулювання" для студентів спеціальності 7.0922.03.

На захист виносяться положення, що становлять наукову новизну роботи.

Особистий внесок здобувача. У даній роботі особистий внесок здобувача полягає в розробленні наукових положень щодо геометричних засобів фазового простору функцій комплексних змінних стосовно формування в них многовидів як графіків цих функцій для розв'язку прикладних задач дослідження регульованих систем.

У виконаних у співавторстві працях особисто автором запропонований спосіб графоаналітичної оптимізації параметрів електрообладнання, а також визначено вплив форми траєкторії на стійкість руху матеріалу, розроблена математична модель параметрів пружної електромеханічної системи з заданою формою геометричної характеристики навантаження, наведені особливості моделювання її реальних параметрів,

визначення стійкості робочого режиму, конструювання та вибору геометричних параметрів промислового устаткування.

Апробація роботи. Основний зміст роботи доповідався на:

науково-технічних конференціях професорсько-викладацького складу Державного університету "Львівська політехніка" (1987...1999р.р.); республіканській науково-технічній конференції "Розробка прогресивних способів сушки різних матеріалів та виробів на основі досягнень теорії тепло- і масообміну" (м.Київ,1987р.); семінарі “САПР виробів і технологічних процесів у машинобудуванні” (м. Волгоград, 1988 р.); VII республіканській конференції "Підвищення ефективності, удосконалення процесів і апаратів хімічних виробництв" (м.Львів,1988р.); конференції “Комп'ютерна геометрія і графіка в інженерній освіті” (м. Н.Новгород, 1991 р.); науково-технічній конференції “Проблеми графічної технології” (м. Севастополь, 1991 р.); науково-методичній конференції “Перспективи розвитку машинної графіки у викладанні графічних дисциплін” (м. Одеса, 1992 р.); міжнародній науково-методичній конференції "Геометричне моделювання. Інженерна та комп'ютерна графіка" (м.Львів,1994р.); міжнародному симпозіумі "Geodesja i geometria inzynierska w budownictwie i inzynierii" (м.Жешув,1996р.); міжнародних науково-практичних конференціях "Сучасні проблеми геометричного моделювання" (м.Мелітополь,1995-1999 р.р.); міжнародному науковому симпозіумі “Нарисна геометрія. Інженерна та комп'ютерна графіка” (м.Львів, 1996 р.); науковому семінарі при кафедрі нарисної геометрії, інженерної та комп'ютерної графіки НТУУ “КПІ” під керівництвом акад. Павлова А.В. (м.Київ, 1997р.); науковому семінарі при кафедрі нарисної геометрії, інженерної та машинної графіки і кафедрі архітектурних конструкцій КНУБА під керівництвом акад. Михайленка В.Є. (м.Київ, 1997-1999р.р.); міжнародній науково-методичній конференції "Інженерна графіка та геометричне моделювання із застосуванням комп'ютерних технологій" (м.Рівне,1997р.); міжнародній науково-практичній конференції "Сучасні проблеми геометричного моделювання" (м.Харків, 1998р.); Міжвузівському семінарі “Прикладна геометрія, інженерна і комп'ютерна графіка” Загальнотехнічного відділення АН вищої школи України (м. Київ, 1997-1999р.р.); засіданні кафедри нарисної геометрії, інженерної та комп'ютерної графіки НТУУ “КПІ” (м.Київ, 1999 р.); засіданні кафедри нарисної геометрії, інженерної та машинної графіки КНУБА (м.Київ, 1999 р.)

Публікації. Результати досліджень викладені в 49 роботах.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, шести розділів, загальних висновків, списку використаних джерел, додатків, має повний обсяг 390 сторінок, містить 278 найменувань бібліографії на 25 сторінках, 150 рисунків на 97 сторінках; з них основної частини 267 сторінок друкованого тексту, в тому числі чотири таблиці.

Основний зміст дисертації

У вступі приведені результати аналізу досліджень структури комплексного простору, обгрунтована актуальність розроблення його геометричних засобів стосовно формування областей стійкості та оптимізації регульованих систем, сформульовані мета і задачі роботи.

У першому розділі обгрунтовано введення фазового простору для дослідження многовидів як графіків функції комплексних змінних на основі її аналітичного виразу:

w=w(z)=w(x+iy)=u+iv=u(x,y)+iv(x,y), (1)

де z=x+iy, w=u+iv –комплексні значення прообразів і образів складових функції комплексної змінної; i2 – уявна одиниця, що задовольняє умові: i2=-1.

Фазовий простір функції одної комплексної змінної запропоновано формувати, використовуючи геометричну модель звичайного комплексного числа z=x+iy розширеної комплексної площини з прямокутною системою координат. Прообрази і образи функції комплексної змінної розміщені у двох комплексних площинах, відповідно z і w. Запропонована модель фазового простору функції комплексної змінної, заснована на твердженні про взаємну перпендикулярність кількох попарно перпендикулярних прямих, має чотири координатних осі, виміри яких являють складові значень комплексних аргументу і функції (рис. 1).

Положення довільної точки графіка функції комплексної змінної отримаємо, здійснивши додавання векторів значень аргументу z і функції w (рис. 2).Такий принцип узагальнений на випадок функції кількох комплексних змінних на прикладі функції двох комплексних змінних w=w(z1,z2).Проекції точки А чотиривимірного фазового простору являють: Axyu, Axyv, Ayuv, Axuv на комплексні тривимірні підпростори oxiyu, oxiyiv, oiyuiv, oxuiv; Axy, Axv, Ayv, Aux, Ayu, Auv на комплексні двовимірні підпростори oxiy, oxiv, oiyiv, oхu, oiyu, ouiv; Ax, Ay, Au, Av – на осі ox, oiy, ou, oiv.

Координати j-тої точки такого простору визначають комплексні числа як основа геометричних моделей многовидів. Тому для функції n комплексних змінних її фазовий n-вимірний простір є комплексним Kn , окремим випадком якого слугує евклідовий n-вимірний простір En.

Грані чотирьох комплексних тривимірних підпросторів формують шість двовимірних площин, чотири з яких являють розширені комплексні площини oxiy, oiyu, oxiv, ouiv, одна площина oxu дійсних змінних і одна площина oiyiv уявних змінних. Комплексне креслення чотиривимірного фазового простору отримаємо, сумістивши перелічені площини з площиною креслення. Однозначне завдавання проекцій многовиду як графіка функції комплексної змінної забезпечує комплексне креслення, яке містить три з шести комплексних площин. Особливістю його є визначення осі, навколо якої необхідно здійснювати оберт. При побудові образу функції комплексної змінної задають насамперед значення х-незалежної змінної її аргумента. Решту складових визначаємо як функції дійсної змінної x: y=y(x); u=u(x,y(x)); v=v(x,y(x)). Сумістимо площину oxu з площиною креслення. Площини oxiy та oxiv повернемо до суміщення з площиною oxu. Отримаємо комплексне креслення фазового простору (рис.3,а). Крім наведеного, можливі інші варіанти побудови комплексних креслень фазового простору функції комплексної змінної, засновані на способі моделювання комплексного числа та розгортки комплексних підпросторів (рис.3, б).

Многовиди у чотиривимірному комплексному просторі запропоновано формувати, використовуючи їх проекції у двох з чотирьох комплексних підпросторах oxiyu та oxiyiv (рис. 4). Область визначення функції комплексної змінної розташована у розширеній комплексній площині z. Розглядаючи проекції многовиду у вказаних комплексних підпросторах маємо, що у кожному з них проекція являє двовимірну поверхню, визначену згідно аналітичних виразів як складових (1). У кожному комплексному підпросторі поверхні являють направляючі тривимірних комплексних гіперциліндрів, твірними для яких слугують прямі, паралельні осям ou, oiv комплексної площини значень функції w. Взаємний перетин обох комплексних гіперциліндрів у чотиривимірному комплексному просторі визначає двовимірний комплексний многовид w=w(z) як графік функції комплексної змінної.

Проведемо гіперплощину рівня, наприклад y=yj, паралельну координатній гіперплощині нульового рівня oxuiv. Така гіперплощина у комплексному просторі виділить одновимірну лінію. Її аналітичний вираз одержимо на основі аналітичного виразу функції комплексної змінної при значенні y=yj:

w=u+iv=u(x,yj)+iv(x,yj)=u(x)+iv(x), (2)

який являє аналітичний вираз комплексної функції дійсної змінної х. Множина ліній як графіків комплексної функції дійсної змінної складає каркас многовиду як графіка функції комплексної змінної. Каркас можна отримати також за допомогою гіперплощин рівня x=xj, u=uj, v=vj, паралельних координатним гіперплощинам нульового рівня, відповідно oiyuiv, oxiyiv, oxiyu. Їм відповідають лінії – графіки комплексних функцій дійсної змінної:

та (3)

Крім наведених, можливе використання проекцюючих гіперплощин. Тоді графік j-тої комплексної функції дійсної змінної залежить від обраної системи осей координатного простору. Наприклад, при використанні системи

проекцюючих гіперплощин yj=ajx+dj=y(x) отримаємо каркас многовиду згідно аналітичного виразу:

або (4)

В якості січних можуть бути використані проекцюючі гіперциліндри. При цьому характер ліній каркасів многовидів визначається слідами-проекціями комплексних гіперплощин особливого положення та гіперциліндрів : незалежно від вигляду аналітичного виразу функції комплексної змінної при використанні в якості січних комплексних гіперплощин особливого положення такі лінії розімкнуті, якщо вироджені сліди-проекції комплексних гіперциліндрів замкнені, то їм відповідають замкнені лінії графіків комплексних функцій дійсної змінної. На рис.5 приведені зображення ліній як графіків комплексних функцій дійсної змінної, що складають каркас двозначної функції комплексної змінної

w2+z2=R2, (5)

де R- дійсне число.

Лінії відповідають складовим w згідно виразу:

(6)

де для випадку проекцюючої гіперплощини y=y(x) та проекцюючого гіперциліндра із виродженим слідом-проекцією x2+y2=R2.

У другому розділі розглянуті питання стосовно графоаналітичного відображення елементів фазового простору функції комплексних змінних. Запропоновані комплексні креслення та аксонометричні зображення фазового простору функції одної та кількох комплексних змінних уможливлюють графоаналітичне відображення многовидів згідно аналітичного виразу функції. Розглянуті особливості відображення лінійної аналітичної функції w=az+b, якщо усі її параметри являють комплексні числа

w=u+in; z=x+iy ; a=a1+ia2; b=b1+ib2. (7)

Для випадку перетину многовиду як графіка функції комплексної змінної січною проекцюючою гіперплощиною, вироджений слід якої має вигляд:

y=kx+d, (8)

де k і d - дійсні числа, отримуємо одновимірну лінію як результат перетину цієї гіперплощини і функції комплексної змінної, що слугує графічною залежністю комплексної функції дійсної змінної згідно аналітичного виразу:

w=u+in=x(a1-ka2)+b1-da2+і(x(ka1+a2)+da1+b2); (9)

де u=x(a1-ka2)+b1-da2;

n=x(ka1+a2)+da1+b2.

Похідна комплексної функції дійсної змінної складає:

(10)

і відповідає кутам та нахилу до осі x її проекцій у площинах відповідно та (рис.6). Кут нахилу перетину графіка функції комплексної змінної та гіперплощини (8), вироджений слід-проекція якої являє відрізок ABy, до розширеної комплексної площини значень аргумента z, є кутом, утвореним відрізком AB та його проекцією ABy. З чотирьох комплексних тривимірних підпросторів oxiyu,oxiyiv,oiyuiv,oxuiv площина аргумента z є спільною тільки для двох таких підпросторів. Тому проекції відрізка у тривимірних підпросторах треба розглядати у тих, які містять зазначену площину.

Показано, що відношення кутів нахилу проекцій відрізка прямої як графіка лінійної функції комплексної змінної з лінійно залежними складовими аргумента, розташованих у комплексних відповідно три- і двовимірних підпросторах, до площини комплексного аргумента є функцією кутового коефіцієнта аналітичного виразу її аргумента.

Величина кута нахилу відрізка прямої – графіка лінійної функції комплексної змінної пропорційна модулю комплексного коефіцієнта при її аргументі:

. (11)

Запропоновано спосіб визначення дійсної величини кута d нахилу відрізка і його дійсної величини на комплексному кресленні функції комплексної змінної (рис. 7), поширений на випадок функції кількох комплексних змінних.

Проаналізовано положення особливих точок функції комплексної змінної на прикладі лінійної. Зокрема для випадку перетину її графіка проекцюючою гіперплощиною сліди прямої знаходяться у тривимірних комплексних підпросторах. Так, при значенні х=0 маємо слід прямої у комплексному тривимірному підпросторі oiyuiv з координатами:

. (12)

Таким слідом є, наприклад точка В перетину прямої з координатною гіперплощиною oiyuiv (див. рис. 6).

Геометричний зміст вільного члена b полягає у визначенні положення точки – значення функції у комплексній площині ouiv. Значення коефіцієнта d переносять положення цієї точки із зазначеної площини в один із координатних кутів комплексних підпросторів фазового простору. Розглянуті випадки паралельності прямої та площини у фазовому просторі, паралельність площин.

Визначено геометричний образ - точку перетину M двох площин у фазовому просторі:

(13)

координати якої складають:

(14)

Запропоновано алгоритм його визначення на комплексному кресленні з використанням комплексних гіперплощин рівня (рис.8).

З комплексного креслення визначаємо також взаємну ортогональність обох прямих: на комплексну площину аргументу z кут перетину прямих m і n проекцюється у дійсну величину і є прямим для прийнятої ортогональної координатної системи фазового простору.

Розглянуто геометричну сутність похідної функції комплексної змінної (рис. 9).

Прийнято, що наближення до точки B(x,y,u,v) згідно границі

(15)

відбувається у січних комплексних гіперплощинах рівня x=x0, у=у0, u=u0, v=v0. Кожна гіперплощина рівня виділяє на двомірній поверхні w=w(z) одновимірну лінію-графік комплексної функції дійсної змінної. Отримані вирази визначення похідної функції комплексної змінної з урахуванням визначеної геометричної суті її частинних похідних по ортогональних напрямках як кутів нахилу проекцій функцій комплексної змінної у тривимірних комплексних підпросторах:

. (16)

Проведений аналіз геометричних моделей многовидів функції комплексних змінних. Показано, що для такої функції, зокрема двох комплексних змінних

(17) формування комплексного многовиду здійснюється за допомогою двох розширених комплексних площин z1 та z2, взаємне положення яких утворює комплексний підпростір аргументів. Такий підпростір має чотири виміри. Тому для однозначного завдавання геометричного образу аргументу необхідно формувати три його зображення на трьох двовимірних площинах, в якості яких можуть виступати, наприклад комплексні площини обох аргументів та одна з площин їх комплексного підпростору. Незалежно від вимірності функції комплексних змінних комплексне креслення містить також дві площини складових значень функції.

Проведено аналіз геометричних образів як графіків функцій комплексних змінних. Показано, що функція комплексної змінної являє просту функцію. Накладання додаткової умови між складовими її аргумента спричинює утворення складної функції як комплексної функції дійсної змінної. Її графіком слугує одномірна лінія як результат перетину двовимірної поверхні як графіка функції комплексної змінної і тривимірної комплексної гіперплощини. Остання може бути гіперплощиною рівня або проекцюючою. Виродженим слідом-проекцією її у площині z аргумента слугує залежність між його складовими y=y(x). Розглянуті інші варіанти

накладання зв'язків між змінними, відповідні дослідженням проф. М.С.Гумена многовидів евклідового n-вимірного простору:

а) w=w(z1); б) w=w(z1); в) w=w(z1); (18)

w=w(z2); z2=z(z1); z1=z(z2).

У кожній з наведених складних функцій можливі також зв'язки між складовими їх аргументів у вигляді залежностей:

y1=y(x1) та y2=y(x2). (19)

Зокрема кожній з двох функцій комплексних змінних (18,а) у комплексних підпросторах ox1iy1uiv та ox2iy2uiv відповідає двовимірний комплексний многовид у вигляді поверхні (або площини у випадку лінійних аналітичних виразів). У шестивимірному комплексному просторі ox1iy1x2iy2uiv такі поверхні чи площини складають основи комплексних гіперциліндрів у відповідних координатних комплексних підпросторах ox1iy1uiv та ox2iy2uiv. Одночасно вказані основи складають направляючі зазначених чотиривимірних гіперциліндрів, твірними для яких являються прямі, паралельні координатним осям комплексних площин z1 та z2 відповідно. З іншого боку такі поверхні складають сліди-проекції гіперциліндрів на координатні комплексні підпростори ox1iy1uiv та ox2iy2uiv відповідно. Взаємний перетин двох чотиривимірних гіперциліндрів у шестивимірному комплексному просторі складає двовимірна множина точок цього комплексного простору, спільна для обох гіперциліндрів. Очевидно, така множина являє поверхню, кожна точка якої належить одночасно обом гіперциліндрам і задовольняє (18,а).

У випадку, якщо накладена одна з додаткових умов (19), наприклад залежність y1=y(x1) між складовими аргумента z1, то першій функції (18,а) відповідає комплексна функція дійсної змінної x1:

w=u+iv=w(x1) (20)

Проекція (20) у комплексному підпросторі ox1iy1uiv являє одновимірна крива як основа комплексного гіперциліндра у цьому ж комплексному підпросторі. Такий комплексний гіперциліндр є тривимірним із слідом-проекцією у комплексному підпросторі у вигляді кривої лінії. Взаємний перетин тривимірного та чотиривимірного гіперциліндра у шестивимірному комплексному просторі ox1iy1x2iy2uiv складає одновимірну лінію, кожна точка якої належить одночасно обом гіперциліндрам і задовольняє (18,а) та одну з умов (19).

На основі аналізу многовидів явної функції комплексної змінної w1= w(w2), яку отримуємо з двох однопараметричних функцій комплексної змінної w1=w(z), w2=w(z) запропонований спосіб формування фазового простору і многовидів як графіків k функцій n комплексних змінних:

w1=w(z1,z2,z3,...,zn);

w2=w(z1,z2,z3,...zn); (21)

w3=w(z1,z2,z3,...,zn);

…

wk=w(z1,z2,z3,...,zn).

Многовид кожної з функцій wk комплексних змінних формується на основі її аналітичного виразу у просторі, розмірність якого визначимо за формулою: Cp=2(n+1). Проведемо з'єднання фазових просторів k функцій n комплексних змінних таким чином, щоб координатні площини їх аргументів співпали. В утвореному фазовому просторі ox1iy1x2iy2...xniynu1iv1u2iv2...ukivk складові являють комплексні підпростори, зокрема ox1iy1x2iy2...xniynu1iv1, ox1iy1x2iy2...xniynu2iv2,...,ox1iy1x2iy2...xniynukivk, а також 2k-вимірний комплексний підпростір ou1iv1u2iv2...ukivk . Кожна гіперповерхня являє направляючу 2n-вимірну поверхню комплексного гіперциліндра у комплексному підпросторі , наприклад ox1iy1x2iy2...xniynu1iv1 , твірною для якого є прямі , паралельні, наприклад осям оu2,оiv2,...,оuk,ivk .

Перетин k гіперциліндрів у комплексному 2(n+k) -вимірному просторі утворює комплексний многовид, розмірність якого знахoдимо за формулою для комплексного простору:

, (22)

де d - кількість гіперциліндрів; mi - розмірність гіперциліндрa.

Такий многовид складає направляючу (n+r)-вимірного комплексного гіперциліндра.

Для графічного представлення утвореного многовиду як геометричного образу явної функції комплексної змінної, записаної у вигляді, наприклад :

w1=w(w2,w3,...,wk), (23)

використовуємо спосіб виділення ліній каркасу у вигляді комплексних функцій дійсної змінної згідно виразу (20). В результаті отримаємо каркас многовиду розмірності rm , кожна точка якого визначена координатами u1,iv1,u2,iv2,...,uk,ivk , значення яких визначені сукупністю z1,z2,z3,...,zn аргументів функцій комплексних змінних .

У третьому розділі показано, що розглянуті в попередніх главах многовиди простору являють частковий випадок отриманого на основі характеристичного рівняння регульованої системи

anzn + an-1zn-1 +… + a1z +a0 = 0 (24)

многовиду як графіка многочлена P(z) з комплексними коефіцієнтами aj=aj+igj. При постійних значеннях aj такий многочлен є функцією комплексної змінної

, (25)

де - модулі постійного коефіцієнта aj і аргумента z, - аргументи відповідних параметрів w(z). Його областю визначення слугує розширена комплексна площина аргумента, тому значень функція w(z) набуває у чотирьох тривимірних комплексних підпросторах. Уявна вісь oіу площини аргумента поділяє двовимірну поверхню як графік многочлена P(z) на дві частини, для точок яких визначені відповідно від'ємні та додатні значення складової х. Окремі різновиди аналітичних виразів дозволяють отримати графіки у вигляді одновимірних ліній з постійною складовою значення функції. Зокрема при значеннях складової aj і степенях згідно чисел n=1,5,9,13,… аналітичний вираз для границі поділу має вигляд:

(26)

Для цього випадку маємо постійну уявну складову функції w(z) у вигляді тривимірної комплексної гіперплощини рівня V0= g0.

Якщо границі замкненої області визначення задані гіперплощинами рівня xj=const, або yj=const, то проекції ліній як графіків комплексних функцій дійсної змінної формують складові виразу:

(27)

Для замкненої області з границею у вигляді сліду-проекції проекцюючого комплексного гіперциліндра її складові представимо залежними від параметра t: x=x(t); y=y(t). Значення комплексної функції дійсної змінної t визначають положення точок кривої як перетину комплексного гіперциліндра з двовимірною поверхнею.

Проаналізовано фазовий простір многочлена з усіма змінними складовими:

(28)

Фазовий простір многочлена є різновидом простору функції кількох комплексних змінних.

Приймемо тепер складові значення функції комплексних змінних постійними: w=u+iv=const, де u=u0, v=v0, що відповідає постійності значень многочлена з комплексними коефіцієнтами P(z). Значення u0 та iv0 являють вироджені сліди комплексних гіперплощин рівня, паралельних 2(n+3)- вимірним комплексним підпросторам відповідно oxiyiv a0ig0a1ig1…ajigj…anign та oxiyua0ig0a1g1…ajigj…an,ign.Такі гіперплощини виділяють на комплексній гіперповерхні розмірності l многовиди, розмірність яких складає l-2. Очевидно, утворені многовиди є перерізами комплексної гіперповерхні комплексними гіперплощинами рівня, заданих значеннями u0 та iv0. Якщо значення складових функції комплексної змінної є нульовими, то аналітичний вираз многочлена при змінних комплексних значеннях усіх його коефіцієнтів прийме вигляд:

. (29)

Фазовий простір часткового випадку многочлена P(z) являє, таким чином, комплексний підпростір усіх його комплексних коефіцієнтів aj,z.

В свою чергу, отриманий комплексний підпростір являє фазовий простір значень функції комплексних змінних, яку формуємо згідно виразу (29). Для заданої області значень аргумента z в якості, власне, функції комплексної змінної може бути прийнятий будь-який з комплексних коефіцієнтів многочлена P(z), наприклад:

. (30)

Показано, що графіком її слугує комплексний многовид, точки якого задовольняють умові (29). Для будь-якої іншої множини точок підпростору комплексних аргументів функції комплексних змінних з множиною точок одного знаку х і її значень a0,, ig0, які відрізняються від відповідних (29), отримуємо обмежені комплексним многовидом області у фазовому просторі, для яких знак многочлена може бути меншим або більшим нуля. Його проекція на комплексний підпростір коефіцієнтів aj дозволяє знаходити області многовиду, точки яких задовольняють (29).

У четвертому розділі запропонований спосіб графоаналітичного відображення многовидів як графіків функції комплексної змінної трубками у комплексному просторі. Він уможливлює формування каркасів таких многовидів з урахуванням довірчих областей визначення параметрів. Це дає можливість розширити сфери застосування основних понять теорії нечітких множин, зокрема в прикладній геометрії стосовно розробки методів дослідження регульованих систем. В основу способу покладено поняття “нечіткості” (“fuzziness”) теорії математичних множин, що характеризує ступінь належності об'єкта певній множині. В термінах геометрії цьому відповідає ступінь належності точки як миттєвого стану процесу поверхні, яка його моделює. Запропонована геометрична інтерпретація довірчих областей чисел, для чого інтервали значень числа u як параметра регульованої системи визначені в довірчій області у вигляді значення довірчої функції D:

D(u)= при (31)

Нехай F є асоційованою з точкою Е областю допустимого відхилення точки Е від її дійсного положення. Тоді для двох областей F1 і F2, що відповідають точкам Е1, Е2, відстань у довірчій області визначається :

(32)

(33)

Тоді відстань у довірчій області rF асоційованих областей F1,F2, що відповідають точкам Е1, Е2, визначається інтервалом

. (34)

Очевидно, що обидві складові rF (Е1, Е2) для точкових множин ідентичні. Тому введення таких асоційованих областей F1,F2, що відповідають точкам Е1, Е2, з одного боку відображає нечіткість в досліджуваних системах чи процесах, а з другого – дозволяє визначити інтервальну функцію rF (Е1, Е2) як відстань у довірчій області параметрів. На основі пропонованої лонгометрики у довірчих областях – визначення відстаней між елементами простору – можна застосувати гономерику gF(a1,a2) – визначення кутів, заданими в довірчих областях двома відрізками, кутом нахилу відрізка до осі, до площини проекцій тощо.

Лінії в довірчих областях з-поміж а11,а12 та а21,а22 , які утворюють з віссю ох максимальні та мінімальні кути, являють внутрішні опорні прямі пар F1,F2 і F1,F3, які визначають асоційовані області відповідних точок. Тоді значення кута між прямими у

довірчій області

(35)

Запропонований підхід реалізований при формуванні каркасів довірчих областей многовидів як графіків функцій комплексних змінних у вигляді дискретної множини перерізів гіперплощинами рівня yj , паралельними координатному підпростору oxuiv. Тоді каркас у довірчій області утворюють трубки у комплексному просторі j(u),j(v), для яких осями слугують залежності дійсних значень складових комплексних функцій дійсної змінної з відхиленням d від дійсного положення. Такі трубки обмежують частини комплексного простору трубчатими поверхнями yuj, yvj з осями uj(x), vj(x). Довірча належність точки Е комплексному многовидові w визначається належністю її деякій трубці jj: . (36)

На цій основі запропоновано визначати довірчу відстань між опуклими замкненими областями з урахуванням неточності визначення параметрів регульованих систем. Складений за таким способом алгоритм дозволяє визначати розміщення замкненої опуклої області параметрів відносно границі області стійкості регульованої системи.

У п'ятому розділі на базі геометричних моделей многовидів як графіків функції комплексної змінної розроблено способи графоаналітичного відображення областей стійкості регульованих систем. Показано, що характеристичний поліном являє частковий випадок многочлена P(z) з дійсними коефіцієнтами:

P(z)=a0zn+a1zn-1+…+an-1z+an. (37)

Формування областей коренів многочлена з однаковою кількістю коренів з від'ємною дійсною частиною грунтується на використанні властивості комплексних чисел, коли нульове комплексне значення многочлена P(z) має рівні нулю одночасно дійсну і уявну частину. При кількох змінних параметрах, наприклад характеристичне рівняння для границі областей коренів має вигляд:

(38) Виділимо дійсну і уявну частину і прирівняємо їх окремо до нуля. Обидві частини містять члени з співмножником m, члени з співмножником t, члени з співмножником h і вільні члени:

(39)

де - многочлени від у.

Тоді зв'язки між змінними запишемо, наприклад у вигляді:

(40) У комплексних тривимірних підпросторах та залежностям (40) відповідають двовимірні поверхні П2 і (рис.10). У чотиривимірному комплексному просторі поверхні П2 і слугують направляючими тривимірних гіперциліндрів П3 і , проекцюючих по відношенню до зазначених комплексних підпросторів. Твірними циліндрів є прямі, паралельні осям відповідно оm і оt. Взаємний перетин гіперциліндрів визначає двовимірний многовид К2 як графік залежності (40). Спроекцюємо многовид К2 на підпростір параметрів регульованої системи оmth паралельно напрямку осі оіу. Довільна точка утвореної двовимірної поверхні має координати m,t,h, кожна з яких також визначена для певного значення четвертої координати у. Усі три координати m,t,h при заданому значенні координати у задовольняють умови (40). Точки обмежених цією поверхнею областей відповідають параметрам характеристичного рівняння з різною кількістю його коренів з від'ємною дійсною частиною. Точки, належні самій поверхні, задовольняючи умови (40), являють границю області коренів з однаковою кількістю коренів з від'ємною дійсною частиною. Очевидно, для виділення з-поміж областей області стійкості треба розв'язувати характеристичне рівняння n-ої степені.

Спроекцюємо многовид К2 на підпростори параметрів регульованої системи, одним з вимірів яких слугує уявна частина аргумента. Його проекції будуть відображені на двовимірні площини у вигляді графіків залежностей t=t(iy), h=h(iy), m=m(iy). Для кожного значення у=у0 з графіків визначаємо значення параметрів m0,t0,h0, при підстановці яких у характеристичне рівняння отримуємо тотожність. Проекції області стійкості на площини визначимо за знаком дійсної частини многочлена P(z) для параметрів , взятих для значення у=у0 , згідно виразу :

(41)

Розглянуті також питання графоаналітичного відображення замкнених областей коренів характеристичного рівняння, а також врахування нелінійних зв'язків окремих параметрів регульованої системи.

У шостому розділі викладені методика і алгоритм визначення областей стійкості та оптимальних значень регульованих систем з використанням геометричних засобів комплексного простору.

Приведена методика геометричної оптимізації електрообладнання. При знаходженні точок компромісного екстремуму m функцій оптимізації n аргументів запропоновано проводити дослідження на екстремум проекції многовиду у просторі з вимірами значень функцій оптимізації:

u1=u(u2,u3,…uj…,uk), (42)

де uj=u(x1,x2,…,xn).

Точки