Малютіна Таїсія Іванівна

УДК 517.574

ЗРОСТАННЯ
СУБГАРМОНІЧНИХ ФУНКЦІЙ

Спеціальність 01.01.01 _математичний аналіз

Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук

Харків - 2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Українській академії банківської справи Національного банку України (м. Суми).

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, доцент Гришин Анатолій Пилипович, завідувач кафедри математичного аналізу Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна

Офiцiйнi опоненти: доктор фізико-математичних наук, доцент Заболоцький Микола Васильович, доцент кафедри теорії функцій та теорії ймовірностей Львівського національного університету імені Івана Франка;

кандидат фізико-математичних наук, доцент Агранович Поліна Залманівна, старший науковий співробітник відділу теорії функцій Фізико-технічного інституту низьких температур імені Б.I. Вєркiна
НАН України (м. Харків)

Провідна установа Дніпропетровський державний університет Міністерства освіти та науки України, кафедра теорії функцій

Захист відбудеться 01.09. 2000 р. о 16-30 год., ауд. 6-48, на засіданні спеціалізованої вченої ради К 64.051.11 при Харківському національному університеті імені В.Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, майдан Свободи, 4.

З дисертацією можна ознайомитись у Центральній
науковій бiблiотецi Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна.

Автореферат розісланий 20 липня 2000 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради ____________ С. Ю. Ігнатович

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми. Теорія субгармонічних функцій є широко розгалуженим розділом сучасного математичного аналізу. Субгармонічні функції запроваджені Ф. Гартогсом у 1906 році, але їх теорія сформувалась як самостійний розділ аналізу після робіт Ф. Рісса 1926 та 1930 років. Теорема Рісса про зображення стверджує, що субгармонічна функція локально зображується у вигляді суми потенціалу та гармонічної функції. Тому зараз важко розрізнити теорію потенціалу та теорію субгармонічних функцій. Доречно згадати, що теорія потенціалу дуже давній розділ математики, розвиток якого пов’язаний, зокрема, з іменами Ньютона і Гаусса. Важко знайти розділ сучасної математики, у якому б не застосовувались методи і результати теорії субгармонічних функцій. У свою чергу, ці зв’язки плідно впливають на розвиток теорії субгармонічних функцій. Наприклад, зараз широко досліджуються зв’язки між теорією субгармонічних функцій і теорією ймовірностей. Вже назви монографій Дуба “Класична теорія потенціалу і його ймовірнісна інтерпретація”, Майєра “Ймовірність і потенціал” свідчать про це. Давно вже відомі зв’язки між теорією субгармонічних функцій і геометрією. Дуже тісно пов’язані між собою комплексний аналіз і теорія субгармонічних функцій. Це випливає з наступних фактів. Якщо є голоморфна функція в області , то є субгармонічна функція спеціального виду в області . З іншого боку, побудувати субгармонічну функцію із заданими властивостями простіше, оскільки субгармонічні функції утворюють широкий клас функцій, який витримує багато операцій. Тоді, щоб побудувати голоморфну функцію з аналогічними властивостями, треба добре наблизити побудовану раніше субгармонічну функцію функцією вигляду . Дуже сильна теорема про наближення належить Р.С. Юлмухаметову.

Теорія зростання субгармонічних функцій є цікавим і важливим розділом загальної теорії. Теорія зростання цілих функцій пов’язана з іменами Вейєрштрасса, Адамара, Бореля, Ліндельофа, Валірона. Важливим внеском у цю теорію є теорія функцій цілком регулярного зростання, яка створена у працях Б.Я. Левіна та А. Пфлюгера. Теорія зростання цілих функцій зараз вже у стандартний спосіб поширюється на субгармонічні функції. Багато нових результатів одержано завдяки теорії динамічних систем субгармонічних функцій, розвинутої В.С. Азаріним. Завдяки цій теорії багато фактів загальної теорії динамічних систем стали фактами теорії субгармонічних функцій. Крім того, теорія Азаріна пов’язує асимптотичну поведінку субгармонічної функції з локальними властивостями деяких інших субгармонічних функцій. Використовуючи поняття повної міри, введене А.П. Гришиним, можна побачити ті межі, до яких поширюється аналогія між теорією субгармонічних функцій у всій площині і півплощині. Діючи у цьому напрямі, вдалося одержати варіант другої головної теореми Р. Неванлінни для півплощини.

Головні результати дисертації належать до теорії зростання субгармонічних функцій.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Результати досліджень цієї роботи передбачені темою “Деякі питання математичного аналізу” кафедри математичного аналізу Харківського національного університету, номер держреєстрації 0197U015783, і планами наукової роботи Української академії банківської справи.

Мета i задачі дослідження. Метою дисертації є:

1)

2)

3)

Методи дослiдження. У дисертаційній роботі використовуються методи теорії цілих і субгармонiчних функцій, теорії півадитивних функцій, теорії міри та вимірності.

Наукова новизна одержаних результатiв. Усі одержані наукові результати є новими. У роботі вперше:

·

·

·

Практичне значення одержаних результатiв. Дисертацiя носить теоретичний характер, що далі розвиває теорію зростання субгармонічних функцій. Результати дисертацiї можуть бути використані для подальших досліджень і в спеціальних курсах з теорії субгармонічних функцiй.

Апробацiя результатiв дисертацiї. За результатами дисертації робились доповіді на Міжнародній конференції “Цілі функції у сучасному аналізі” (Тель-Авів, 1997 р.), Міжнародному колоквіуму, присвяченому пам’яті В.І. Білого (м. Донецьк, 1998 р.), Міжнародній конференції “Теорія апроксимації та її застосування”, присвяченій пам’яті В.К. Дзядика (Київ, 1999 р.), Міжнародному симпозіумі “Ряди Фур’є та їх застосування” (м. Новоросійськ, 1999 р.), Міжнародній конференції “Математичний аналіз і економіка” (м. Суми, 1999 р.), на семінарах з теорії функцій у Харківському національному університеті ім. В.Н. Каразіна.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 7 роботах, з яких 5 журнальні статті у фахових виданнях із переліків, затверджених ВАК України.

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається з переліку умовних позначень, вступу, чотирьох розділів, розбитих на пiдроздiли, висновків i списку використаних джерел. Обсяг дисертації – 143 сторінки. Список використаних джерел займає 6 сторінок i включає 47 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМIСТ РОБОТИ

У вступі та першому розділі дисертації коротко описується місце теорії субгармонічних функцій у сучасному аналізі, коротко згадуються деякі дослідження з теорії субгармонічних та півадитивних функцій, які мають відношення до результатів дисертації, описуються головні результати дисертації. У авторефераті теореми наводяться під тими номерами, які вони мають у тексті дисертації.

Зміст другого розділу дисертації. Функція називається _півадитивною (), якщо виконується одна з нерівностей.

Щоб задовольнити прикладні потреби, доводиться вважати, що множиною значень такої функції є поширена дійсна вісь. Причому слід зважити на умову, що співвідношення мають місце для будь якого.

Функція називається півадитивною, якщо виконується нерівність

Багато фактів теорії півадитивних функцій викладено у книзі Э. Хилле, Р. Филлипс “Функциональный анализ и полугруппы”. Там наведені застосування цієї теорії до теорії перетворень Фур'є та півгруп операторів. Теорія -півадитивних функцій паралельна теорії півадитивних функцій, а в найбільш складному випадку прямо зводиться до цієї теорії за допомогою перетворення. В роботі використовується поняття уточненого порядку. Неперервно-диференційовна функція , називається уточненим порядком, якщо.

Зустрічаються деякі варіації у визначенні уточненого порядку. В дослідженні використовується позначення. В теорії субгармонічних функцій і в деяких інших розділах математики _півадитивні функції з'являються як функції щільності деякої функції.

З допомогою теорії границь можна пересвідчитись, що функція задовольняє нерівність (1), а функція нерівність (2).

Коли границя залежить від якогось параметра, часто виникає питання про рівномірність. В роботі розглядається це питання. Зокрема, зазначається, що нерівність

рівномірно виконується на сегменті , якщо функція

рівномірно на прямує до нуля, коли. В роботі використовується стандартне позначення. Ми пропонуємо наступну теорему про рівномірність.

Теорема 2.2. Нехай, скінченна вимірна функція, неперервна функція, (0)=0. Нехай для будь-якого виконується нерівність (3). Тоді ця нерівність виконується рівномірно на будь-якому сегменті. Якщо для деякого нерівність (3) виконується на півосі, то вона виконується рівномірно на будь_якому сегменті.

Зауважимо, що із того, що нерівність (3) виконується на півосі, не випливає (відповідний приклад будується), що ця нерівність рівномірно виконується на сегментах , хоч саме рівномірність в околі точки нуль найважливіша. Одним із важливих наслідків сформульованої теореми є таке твердження:

Для того, щоб обидві функції і були скінченними неперервними функціями, необхідно і досить, щоб виконувалась рівність.

Ми виводимо властивість рівномірності при невеликих обмеженнях на функцію скінченність і вимірність. Першою роботою у цьому напрямі є стаття Кореваара, ван Аарденне-Еренфест і де Брейна (1949). Більш детально описані дослідження на цю тему в книзі Е. Сенета “Правильно меняющиеся функции”. При доведенні в дисертаційному дослідженні використовуються ті ж самі ідеї, що і в цій книзі, але ми знаходимось дещо в іншій ситуації. Щоб можливо було порівняти результати, наведемо один із головних результатів на цю тему із книги Є. Сенети, там це лема 1.1.

Нехай скінченна вимірна функція на півосі. Якщо для будь-якого то ця границя є рівномірною на будь-якому сегменті.

Сформулюємо основну теорему щодо властивостей -півадитивних функцій. Далі вважається, що .

Теорема 2.6. Нехай -півадитивна функція, що задовольняє нерівність (1) при деякому. Тоді мають місце наступні три твердження.

1.

a)

b)

тоді існує границя

(випадок не виключається).

2.

3.

Простим наслідком цієї теореми є наступна теорема.

Теорема 2.7. Нехай півадитивна функція, що задовольняє нерівність (1). Якщо виконується хоч би одна умова:

1. монотонна функція, тоді існує границя

Підкреслимо, що в обох вище сформульованих теоремах рівності не виключаються.

Для порівняння наведемо деякі твердження з книги Хілле і Філліпса “Функциональный анализ и полугруппы” (теореми 7.6.1 та 7.11.1 відповідно).

Якщо скінченна півадитивна функція на осі, то

Якщо скінченна півадитивна функція на осі , і, тоді

Якщо обмежитися тільки півадитивними функціями, то теорема 7.11.1 гарантує існування похідної в нулі при умові, в той час як в теоремі 2.7 існування похідної в нулі (можливо нескінченої) гарантується умовою.

Твердження 3 теореми 2.6 та теорему 2.7 можна розглядати як значне узагальнення теореми Поліа (1929) про існування мінімальної та максимальної щільності.

В підрозділі 2.6 оцінюються інтеграли, що зображуються у вигляді, з використанням властивостей півадитивних функцій. При цьому розглядається випадок, коли не є функцією з локально обмеженою варіацією. В цьому випадку такий інтеграл не можна розглядати як інтеграл Лебега. В роботі він розглядається як інтеграл Рімана-Стілтьєса. Сформулюємо один із результатів цього підрозділу.

Теорема 2.22. Нехай додатна неперервно-диференційовна функція на сегменті уточнений порядок, локально інтегровна за Ріманом функція,

функція щільності функції . Тоді існує границя

виконується нерівність

Далі доводиться, що нерівність (6) має місце при деяких інших обмеженнях на функції і .

Зміст третього розділу дисертації. В розділі 3.1 розглядаються деякі загальні питання теорії субгармонічних функцій у півплощині. Важливим є клас SK, функцій субгармонічних у півплощині C+, які в кожній компактній області C+ мають додатну гармонічну мажоранту. Функції класу SK, як відомо, мають такі властивості:

1)

Функцію називають граничною функцією субгармонічної функції;

2)

Міра називається граничною мірою функції;

3)

де міра, сингулярна відносно міри Лебега. Міра називається сингулярною граничною мірою функції v.

Для функцій класу SK запроваджується поняття повної міри , яка розглядається як міра у всій площині і визначається так:

·

·

де ріссівська міра функції ;

·

Для функції vSK повна міра відіграє ту ж роль, що і ріссівська міра для функцій, субгармонічних у всій площині. Відомо, що якщо дві субгармонічні функції і класу SK мають одну і ту ж повну міру , то існує дійсна ціла функція така, що

Зараз ми вважаємо, що функція задовольняє умови: зростаюча функція на півосі. Оскільки ці обмеження стосуються поведінки на сегментах вони є несуттєвими при вивченні поведінки функції в околі нескінченності. Уточнений порядок називається формальним порядком субгармонічної у півплощині С+ (у всій площині С) функції, якщо існує стала така, що виконується нерівність

Клас функцій формального порядку позначимо SF.

Субгармонічна функція у півплощині С+ задовольняє умову Левіна (відносно уточненого порядку), якщо існують сталі такі, що для кожного область

містить у собі точку таку, що.

Уточнений порядок називається півформальним порядком субгармонічної у півплощині С+ функції, якщо є формальний порядок для і функція задовольняє умову Левіна. Клас функцій півформального порядку позначається SHF(). Відомо, що якщо, то SF() = SHF(). Таким чином, відмінність між SF() і SHF() має місце тільки при. Клас SHF() функцій, субгармонічних у півплощині, аналогічний класу SF функцій, субгармонічних у всій площині. Так, наприклад, сім'я функцій, для функцій із цих класів є компактною в топології Шварца для узагальнених функцій (функції vSF() у півплощині, продовженій нулем у нижню півплощину, можна розглядати як узагальнені функції у всій площині). Це невірно для функцій v SF(), субгармонічних у півплощині. Відомо, що для функцій класу SHF() мають місце такі властивості:

Вважатимемо, що субгармонічна в півплощині функція з класу SF() локально задовольняє умову Левіна, якщо існує необмежена множина і числа такі, що для будь-якого область містить точку таку, що

Для функцій SHF() множиною є вся піввісь .

Наш результат відносно функцій, що локально задовольняють умову Левіна, полягає в тому, що нерівності (7), (8), (9) мають місце при. Таким чином, якщо функція локально задовольняє умову Левіна, то при функція поводить себе як функція із класу SHF(). Нетривіальність результату, наприклад, полягає в тому, що при обчисленні враховується і та частина півплощини, на якій не виконується умова Левіна. Наведемо ще один результат третього розділу.

Теорема 3.7. Нехай SF() у куті, довільне дійсне число,

Нехай і індикатор та нижній індикатор функції відносно уточненого порядку. Тоді

1)

2)

3)

4)

На наш погляд, твердження цієї теореми дуже важливі і стосуються самої природи субгармонічних функцій. До деякої міри справедливе твердження: субгармонічні функції це є саме ті функції, для яких справедливі твердження теореми 3.7. Доведення тверджень 1, 2, 3 теореми, в основному, належать А.П. Гришину. Тому ми більш детально зупинимось на твердженні 4. Про витонченість твердження 4 теореми свідчить той факт, що воно невірне при. Більш того, неможлива ніяка нерівність, де фіксована функція, яка прямує до нуля якщо, на множині всіх субгармонічних функцій із класу SF(). Про це свідчить приклад, наведений у підрозділі 3.5.

Зміст розділу 4. Розділ 4 можна, у деякій мірі, розглядати як продовження досліджень, розпочатих теоремою 2.22. Тут розглядаються конкретні функції і одержано більш точні твердження про поведінку інтегралів

Інтеграли з такими ядрами, про які буде зазначено далі, знаходять застосування в теорії зростання субгармонічних функцій. Ядро exp(i|ln rt|) залежить від параметра , причому при ми спрощуємо задачу і розглядаємо ядра. Асимптотична поведінка і методи одержання асимптотичних формул різняться для випадків 0 < < 1, = 1, > 1. Нам невідомі роботи, у яких би вивчалась асимптотична поведінка інтегралів з ядром. Зокрема, в трьохтомній монографії Е.Я. Рієкстиньша "Асимптотичні розвинення інтегралів", де представлені багаточисленні методи одержання асимптотичних розвинень і є посилання на майже всі роботи по асимптотичним розвиненням на час виходу томів монографії (1974, 1977, 1981 рр.), не згадуються такі ядра.

В підрозділі 4.1 ми доводимо аналог класичної леми Рімана-Лебега.

Лема 4.1. Нехай. Тоді

Наведемо ще один результат з підрозділу 4.2.

Теорема 4.1. Нехай абсолютно неперервна функція на сегменті і нехай . Тоді при маємо

Зокрема, гранична множина інтегралу у напрямі співпадає з сегментом

Далі в підрозділі 4.2 наводиться одночленна асимптотична формула для інтегралів розглядуваного виду.

Теорема 4.2. Нехай абсолютно неперервна функція на сегменті і нехай. Тоді при маємо

Зокрема, гранична множина функції

у напрямі співпадає з сегментом

Відповідна багаточленна асимптотична формула наводиться далі у теоремі 4.3. Закінчується підрозділ 4.2 дослідженням випадку 0 < < 1.

Теорема 4.4. Нехай, і нехай. Тоді має місце розвинення де а величина визначається із формули

Подвійний ряд в формулі (10) є абсолютно збіжним при достатньо великих . Розвинення (10) справедливе як асимптотичне розвинення і у випадку при умові

воно є асимптотичним розвиненням і у випадку, якщо

В підрозділі 4.3 досліджуються функції

де. При для спрощення результатів у наведених формулах не звертається увага на знак модуля. Якщо , то інтегрування частинами не визначає головного члена асимптотичного розвинення.

Нехай субгармонічна функція в куті з вершиною в точці 0 або у всій площині. Важливою характеристикою функції є гранична множина Азаріна Frцієї функції, яка визначається як гранична множина у напрямі множини функцій, причому границя визначається в топології узагальнених функцій Шварца, тобто, як функції змінної , розглядаються як узагальнені функції. В підрозділі 4.3 ми вважаємо, що, отже. У випадку збіжність в топології Шварца співпадає із рівномірною збіжністю на компактах C . Гранична множина Азаріна повністю визначає асимптотич-ну поведінку функцій у напрямі. Ми знаходимо граничну множину Азаріна цих функцій.

В теоремі 4.5 цього розділу досліджується випадок . У випадку характер асимптотичної поведінки функцій різко змінюється. Зокрема, порядок зростання на промені залежить від , що характерно тільки для . Випадок досліджується у теоремі 4.6. Ми наведемо тільки фрагмент цієї теореми.

Теорема А. Нехай. Тоді, якщо , то

причому кожний із написаних рядів є одночасно збіжним і асимптотичним.

У іншому фрагменті теореми 4.6 розглядається випадок .

У підрозділі 4.4 розглядаються цілі функції порядку з додатними нулями. Через , як звичайно, позначається лічильна функція коренів. Нехай причому

В цьому випадку функція буде зростаючою. Нехай i канонічний добуток Вейєрштрасса, побудований по точкам зростання функції . Ми доводимо, що

причому функції визначаються. Тим самим побудована широка множина цілих функцій нерегулярного зростання з відомим асимптотичним розвиненням. Раніше асимптотичні формули виписувались тільки для функцій цілком регулярного зростання і окремих функцій нерегулярного зростання.

ВИСНОВКИ

Дисертація присвячена дослідженню властивостей субгармонічних функцій. Вони розглянуті у третьому розділі дисертації. Головний результат цього розділу можна виразити так. Якщо – субгармонічна функція формального порядку, індикатор і нижній індикатор функції на промені arg z = , то на широких множинах функція наближає функцію HV(r). Точніше, розглянуто функцію

Принципово важливо, що функція w() прямує до нуля швидше ніж , причому при доведено, що

Про витонченість результату свідчить той факт, що це твердження невірне при H=.

У третьому розділі широко використано теорію -півадитивних функцій. Властивості таких функцій вивчено у другому розділі дисертації. Теорія -півадитивних функцій паралельна теорії півадитивних функцій, яка висвітлена у відомій монографії Е. Хілле і Р. Філліпса. Головна теорема цього розділу є новою також і для класу півадитивних функцій. Властивості -півадитивних функцій використано при вивченні асимптотичної поведінки інтегралів . В загальному випадку такі інтеграли досліджено в кінці другого розділу.

Більш детальне дослідження таких інтегралів у випадку

проведено у четвертому розділі. Виявлено, що асимптотична поведінка таких інтегралів має різний характер для випадків 0 < < 1, = 1, > 1. Асимптотична поведінка інтегралів з такими ядрами раніше не досліджувалася. В дисертації широко використані методи як комплексного, так і дійсного аналізу.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Анотація

Малютіна Т.І. Зростання субгармонічних функцій. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. –

Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, Харків, 2000.

У дисертації досліджено властивості субгармонічних функцій скінченного порядку. Одним із об’єктів дослідження є функція

де – субгармонічна функція скінченного порядку . Доведено ряд цікавих властивостей функції w(), які значною мірою характеризують субгармонічні функції. Теорія -півадитивних функцій широко застосовується в теорії субгармонічних функцій. Деякі теореми про властивості таких функцій наведені у другому розділі. В заключному, четвертому розділі дисертації досліджено асимптотичну поведінку інтегралів з ядром , > 0.

Ключові слова: -півадитивна функція, функція щільності, фор-мальний порядок, півформальний порядок, повна міра, асимптотичне розвинення.

Аннотация

Малютина Т.И. Рост субгармонических функций. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 – математический анализ. – Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина, Харьков, 2000.

Во введении дано обоснование актуальности темы, приведены цель и задачи исследования, изложены основные результаты диссертации.

Первый раздел вступительный. Во втором разделе изучены свойства -полуаддитивных функций. В основном результате этого раздела даны некоторые условия на -полуаддитивную функцию N(), которые обеспечивают существование пределов

В частности, доказано, что односторонняя полунепрерывность снизу функции обеспечивает существование второго из написанных выше пределов. В теории субгармонических функций -полуаддитивные функции часто появляются как функции плотности некоторой функции f

где , некоторый уточненный порядок. При выяснении связей между функциями и f (r) важную роль играет равномерное выполнение этого соотношения. Показано, что равномерность обеспечивается такими минимальными ограничениями на f как измеримость и локальная ограниченность.

Главные результаты диссертации относятся к теории роста субгармонических функций. Они изложены в третьем разделе. При изучении субгармонических функций в полуплоскости, порядок которых не больше чем единица, важную роль играет условие Левина, которое состоит в том, что для некоторого N неравенство

выполняется на некоторой последовательности точек , растущей не быстрее геометрической прогрессии. Если последнее ограничение отбросить, то получаются функции, которые называются функциями, локально удовлетворяющими условию Левина. Доказано, что функции, локально удовлетворяющие условию Левина, ведут себя на соответствующих множествах как функции, удовлетворяющие условию Левина. Далее приведены несколько результатов, на которые опирается доказательство основной теоремы диссертации, и которые имеют также и самостоятельное значение.

Одним из основных объектов исследования третьего раздела является функция

где – субгармоническая функция уточнённого порядка . Доказывается, что при , где и соответственно индикатор и нижний индикатор функции , справедливо неравенство

в некоторой правой окрестности нуля. Указанное неравенство неверно при H=, что доказано построением соответствующего примера.

В четвёртом разделе диссертации изучено асимптотическое поведение интегралов с ядром . Оказывается, что в случаях 0 < < 1, = 1, > 1 это поведение различно. В качестве приложения приведен широкий класс нерегулярно растущих целых функций, для которых явно выписывается главный член асимптотического разложения в окрестности бесконечности.

Ключевые слова: -полуаддитивная функция, функция плотности, формальный порядок, полуформальный порядок, асимптотическое разложение.

Summary

Malyutina T.I. Growth of subharmonic functions. – Manuscript.

The thesis for degree of candidate of physical and mathematical sciences in the Mathematical Analysis with the code 01.01.01. V. Karazin Kharkov National University, Kharkov, 2000.

It is investigated properties of subharmonic functions of finite order in the third section of the thesis. We study an order of decreasing of the function

where is subharmonic function of proximate order . This investigation concerns to essential properties of the subharmonic functions. The -subadditive functions are used in the theory of subharmonic functions. Some theorems on properties of these functions are proved in the second section. In the fourth section we find asymptotic expansions of integrals with the kernel , > 0.

Key words: -subadditive function, density function, formal order, semiformal order, complete measure, asymptotic expansion.

Відповідальний за випуск
к. фіз.-мат. н., доцент Долгіх В.М.

Видавництво “Ініціатива”
Засновник: Українська академія банківської справи

Адреса редакції, видавця:
40030, м. Суми, вул. Петропавлівська, 56.

Підписано до друку 07.07.2000. Формат 60х90/16. Обл.-вид. арк. 0,9.
Ум. друк. арк. 1,3. Гарнітура Times. Тираж 100 пр.

Надруковано на обладнанні Української академії банківської справи
40030, м. Суми, вул. Петропавлівська, 56.