НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МЕХАНІКИ ім. С. П. ТИМОШЕНКА

Максимюк Володимир Ананійович

УДК 539.378:678

ФІЗИЧНО НЕЛІНІЙНІ ЗАДАЧІ ТЕОРІЇ
ОРТОТРОПНИХ КОМПОЗИТНИХ ОБОЛОНОК
З КРИВОЛІНІЙНИМ ОТВОРОМ

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Київ - 2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті механіки iм. С.П.Тимошенка НАН України

Науковий консультант -

академік НАН України, доктор технічних наук, професор
Гузь Олександр Миколайович,
Інститут механіки iм. С.П.Тимошенка НАН України,
директор інституту.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор
Василенко Анатолій Тихонович,
Інститут механіки iм. С.П.Тимошенка НАН України,
головний науковий співробітник;

доктор фізико-математичних наук, професор
Мoльченко Леонід Васильович,
Київський національний університет імені Тараса Шевченка,
професор кафедри механіки суцільних середовищ;

доктор технічних наук, професор
Піскунов Вадим Георгійович,
Український транспортний університет,
завідувач кафедри опору матеріалів і машинознавства.

Провідна установа:

Київський національний університет будівництва і архітектури.

Захист дисертації відбудеться "26" вересня 2000 р. о 10-00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01 в Інституті механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України за адресою:
03057, Київ-57, вул. Нестерова, 3.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України за адресою: 03057, Київ-57, вул. Нестерова, 3.

Автореферат розісланий "23" серпня 2000 р.

Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради,
доктор технічних наук, професор І.С.Чернишенко

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Дисертаційна робота присвячена теоретичному дослідженню напружено-деформованого стану (НДС) композитних оболонок з криволінійним отвором з врахуванням нелінійності й ортотропії їх матеріалів при дії статичних навантажень.

Актуальність теми. Ортотропні пластинки й оболонки з композитних матеріалів (КМ), як елементи сучасних конструкцій, знаходять широке застосування в різних галузях техніки. В більшості випадків ці елементи за конструктивними або технологічними міркуваннями мають отвори різної форми. За великих, а для деяких композитів навіть за незначних навантажень в елементах конструкцій проявляються нелінійні залежності між деформаціями і напруженнями, тобто фізична нелінійність.

З погляду фізичної нелінійності за нетривалого ізотермічного навантаження ізотропні матеріали можна поділити на лінійно пружні (закон Гука), нелінійно пружні (закон Каудерера) та пружнопластичні (теорія Генкі-Ільюшина). Щодо анізотропних КМ фізична нелінійність проявляється, в основному, як нелінійна пружність. Встановленню визначальних співвідношень для анізотропних нелінійно пружних та пружнопластичних матеріалів присвячена значна кількість праць. Серед них виділяється теорія В.А.Ломакіна, як експериментально підтверджена для ряду склопластиків.

На даний час теорія і методи розрахунку оболонок з отвором, виготовлених з ізотропних фізично нелінійних та анізотропних лінійно пружних матеріалів, достатньо добре розвинуті. Основні результати і досягнення в цих областях належать київській школі механіків. Постановка задач концентрації напружень біля отворів в оболонках з нелінійно пружних ортотропних КМ розглядається вперше.

Такі дослідження необхідні для одержання вірогідних результатів при визначенні нелінійно пружного стану навколо отворів у оболонкових елементах з врахуванням реальних властивостей КМ й особливостей їх деформування, оцінці міцності конструкції при підвищених рівнях діючих навантажень і вибору їх раціональних геометричних та фізичних параметрів з метою підвищення їх міцності, надійності та зниження матеріаломісткості і вартості.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, результати яких наведені в дисертації, передбачені постановами ДКНТ, планами наукових досліджень по природничих науках НАН Україні на 1991-1995 р.р., а також проектами, фінансованими ДКНТ. Результати, отримані в дисертації, увійшли до звітів НДР Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України: тема № 218 “Розробка принципів конструювання та методів розрахунку конструкцій з ізотропних та композитних матеріалів при нелінійному деформуванні”, № д.р. 019334011269; проект ДКНТ 1/228 “Оболонка”; НДР 1.3.1.246 “Розробка методів дослідження міцності та руйнування матеріалів і елементів конструкцій при дії статичних та динамічних навантажень” та ін. Деякі з наведених в дисертації результати одержано при виконанні планів спільних робіт НАН України з організаціями та установами машинобудівного профілю.

Мета і задачі дослідження. Метою даної праці є дослідження напружено-деформованого стану нелінійно пружних ортотропних композитних оболонок з криволінійним отвором, включаючи:

1) постановку фізично нелінійних одно- та двовимірних задач концентрації напружень біля отворів в композитних оболонках;

2) розробку методики чисельного розв'язання задач концентрації напружень в оболонках при врахуванні нелінійності, ортотропії, неоднорідності їх матеріалів;

3) побудову алгоритму і створення програми для ЕОМ з оцінкою достовірності результатів;

4) розв'язання нових класів осесиметричних та двовимірних задач концентрації напружень в оболонках та виявлення на їх основі механічних ефектів.

Наукова новизна одержаних результатів. полягає в такому.

1. Дано розвиток фізично нелінійної теорії ортотропних КМ оболонок, в якій:

а) вперше поставлені фізично нелінійні одно- та двовимірні задачі концентрації напружень в композитних оболонках з криволінійним отвором;

б) виявлені такі співвідношення між параметрами КМ, які призводять до виродження задач статики або до сповільнення збіжності чисельних методів; окреслені варіанти теорії оболонок залежно від таких співвідношень;

в) побудовані нові лінеаризовані функціонали для чотирьох варіантів теорії оболонок, в яких застосовуються гіпотези Кірхгофа-Лява або Тимошенка і враховується можливе мембранне або зсувне виродження;

2. Розроблена методика розв'язання задач концентрації напружень на основі варіаційно-різницевого методу (ВРМ) та методу послідовних наближень (МПН), в якій:

а) у функціоналах є похідні від незалежних функцій не вище першого порядку, навіть у випадку гіпотез Кірхгофа-Лява;

б) вперше геометричні гіпотези тонких оболонок реалізовані методом множників Лагранжа (тобто, алгоритмічно, а раніше застосовувались аналітичні підходи);

в) поліпшена збіжність чисельних методів за рахунок вибору належним чином компонент деформацій за незалежні функції, що варіюються;

г) розширена область зміни параметрів оболонок, при яких вдається розрахувати НДС з достатньою точністю.

3. Побудовано єдиний для чотирьох варіантів теорії алгоритм i створено прикладну програму для ЕОМ, яка дозволяє розраховувати НДС композитних оболонок в широкому діапазоні зміни їх параметрів. Шляхом розв’язання тестових і модельних задач та чисельних експериментів з використанням різних функціоналів вивчені питання збіжності, точності розв'язків і достовірності отриманих результатів.

4. Розв’язані нові класи осесиметричних задач для сферичних й еліпсоїдальних оболонок з круговим отвором та двовимірних задач для циліндричних оболонок з круговим отвором і сферичних з еліптичним. На конкретних прикладах досліджено вплив нелінійності, ортотропії, неоднорідності композитних матеріалів на НДС в області криволінійного отвору.

Достовірність одержаних результатів підтверджується: математичною коректністю постановки нелінійних задач і виведення розв’язувальних рівнянь; практичною перевіркою збіжності розв’язків конкретних нелінійних задач шляхом послідовного згущення сіток з використанням різних функціоналів; результатами всебічного тестування розробленої методики і узгодженістю отриманих при цьому результатів з відомими в літературі експериментальними та теоретичними даними інших авторів.

Практичне значення одержаних результатів полягає в реалізації розробленої методики розв'язання фізично нелінійних задач у вигляді прикладної програми для ЕОМ, яка дозволяє дослідити процеси нелінійного деформування оболонок з отвором в широкому діапазоні зміни геометричних та фiзико-механiчних їх параметрів при різних видах навантаження і крайових умовах. Методика надає можливість проведення досліджень з використанням різних оболонкових моделей і допускає подальше розширення. Розроблена методика, складена прикладна програма та результати числових розрахунків можуть бути використані в інженерній практиці при оцінці міцності типових конструкцій з криволінійним отвором з врахуванням реальних властивостей композитних матеріалів, що дозволить уникнути дорогих експериментів або істотно скоротити їх обсяг, вдосконалити конструктивні рішення.

Особистий внесок здобувача. Особистий внесок дисертанта полягає в розвиткові фізично нелінійної теорії тонких й нетонких композитних оболонок, який грунтується на ідеях врахування реальних властивостей КМ в задачах концентрації напружень в оболонках, застосування множників Лагранжа для реалізації гіпотез тонких оболонок, покращання збіжності чисельних методів за рахунок вибору належним чином компонент деформацій за незалежні функції; у побудові лінеаризованих функціоналів, розробці методики, створенні алгоритму та прикладної програми для ЕОМ; у проведенні числових розрахунків, аналізі отриманих результатів, виявлені якісних та кількісних механічних ефектів.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, що включені до дисертації, доповідались на: І Всесоюзному науково-технічному семінарі “Застосування полімерних композитних матеріалів в машинобудуванні” (Ворошиловград, ВМІ, 1987); ІII Всесоюзній конференції “Сучасні проблеми будівельної механіки і міцності літальних апаратів” (Казань, 1988); Республіканській науково-технічній конференції “Ефективні чисельні методи розв’язання крайових задач механіки твердого деформівного тіла” (Харків, 1989); Всесоюзній науково-технічній конференції “Узагальнення досвіду і розробка перспектив застосування полімерних композитних матеріалів в конструкціях суднобудівного призначення і суміжних галузей” (Феодосія, 1990); Всесоюзній науково-технічній конференції “Удосконалення технології експлуатації корпусів суден” (Калінінград, 1989); І Всесоюзній конференції “Технологічні проблеми міцності несучих конструкцій” (Запоріжжя, 1991); ХІІI, ХV, ХVI, ХVIII конференціях молодих вчених Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України (Київ, 1988, 1990,1991,1993); Міжнародних конференціях “Моделювання і дослідження стійкості систем” (Київ, 1997) та “Моделювання і дослідження стійкості динамічних систем” (Київ, 1999). В повному обсязі дисертаційна робота доповідалась та обговорювалась на семінарі відділу динаміки і стійкості суцільних середовищ Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України (Київ, 1998,2000), загальноінститутському семінарі Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України (Київ, 1998).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 29 наукових працях. Серед них монографія [1] (розділ 12), 20 статей у наукових журналах [2-11,13,15-16,18-19,21-25], 4 у збірниках наукових праць [12,14,17,20], депонована й анотована стаття [26], матеріали конференції [27-29].

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, шести розділів, висновків та списку використаних джерел із 216 найменувань, містить 41 рисунок та 112 таблиць. Повний обсяг 305 сторінок.

Автор висловлює щиру вдячність науковим консультантам академікові НАН України О.М.Гузю і докторові технічних наук, професорові I.С.Чернишенку за цінні поради, консультації та постійну увагу при виконанні даної роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подано загальну характеристику дисертації: обгрунтовано актуальність проблеми; сформульовано мету дослідження; відзначено наукову новизну, достовірність та практичну цінність одержаних результатів; наведено відомості про публікації, в яких відображено результати дисертації, особистий внесок здобувача.

У першому розділі подано огляд праць за темою дисертації. Висвітлені основні досягнення і проблеми теорії оболонок. Наведені результати експериментальних досліджень нелінійних властивостей анізотропних КМ. Серед теоретичних підходів до описання таких властивостей вибрана модель анізотропного нелінійно пружного тіла.

На даний час теорія і методи розрахунку оболонок складної геометрії, виготовлених з анізотропних лінійно пружних та ізотропних фізично нелінійних матеріалів достатньо добре розвинуті. Основні результати і досягнення в цих областях викладені в узагальнюючих монографіях О.М.Гузя, Я.М.Григоренка, І.Ю.Бабича та ін.; О.М.Гузя, І.С.Чернишенка, В.М.Чехова та ін.; Я.М.Григоренка, А.Т.Василенка; Ю.М.Шевченка, І.В.Прохоренка. Проте є дві групи, що вимагають детальнішого розгляду. Перша пов’язана з необхідністю більш повно й точно враховувати властивості сучасних конструкційних матеріалів, а друга - з специфічними ефектами “замикання” (locking), “жорсткі зміщення”, що виникають при застосуванні чисельних методів до розрахунку оболонок за зміни їх параметрів в широких межах і проявляються у сповільненні збіжності обчислювальних процесів. Саме композитним оболонкам притаманні обидві групи проблем. Такі властивості сучасних КМ, як анізотропія, нелінійність, стисливість, неоднорідність з одного боку ускладнюють розрахункову модель оболонок, а з другого можуть привести ще й до другої групи проблем. Наприклад, значна неоднорідність зсувної жорсткості трансверсально ізотропної оболонки може привести до того, що ні гіпотези Кірхгофа-Лява (через зсувну податливість), а ні гіпотези Тимошенка (через явище “замикання”) не дадуть задовільного результату. Історичний огляд з проблеми “замикання” дали А.І.Голованов, М.С.Корнішин; R.H.MacNeal.

Підкреслено, що явища типу “замикання” (зсувне “замикання”) траплялись здебільшого в розрахунках тонких оболонок та пластин методом скінченних елементів (МСЕ) із застосуванням зсувних моделей, що зв’язано з певними труднощами реалізації гіпотез Кірхгофа-Лява, і були викликані, відповідно, методологічними причинами. У даній же постановці способи подолання явища типу “замикання” обумовлені властивостями КМ та параметрами тонких й нетонких оболонок.

Зроблено висновок про відсутність на цей час систематичного підходу щодо теорії і методів розв’язання фізично нелінійних задач теорії ортотропних композитних оболонок з криволінійним отвором за зміни їх параметрів в широких межах.

У другому розділі дана постановка фізично нелінійних задач теорії оболонок з криволінійним отвором. Залежно від типу застосовуваних гіпотез Кірхгофа-Лява або Тимошенка та від необхідності врахування ефектів типу “замикання” виділені чотири класи задач. Для них на основі лінійних геометричних та нелінійних фізичних співвідношень за Ломакіним із принципу Ху-Васідзу з використанням множників Лагранжа побудовані лінеаризовані функціонали.

Уважається, що тонка або середньої товщини оболонка виготовлена з нелінійно пружного ортотропного КМ, властивості якого не змінюються в часі, але можуть проявляти значну ортотропію й неоднорідність. Процес навантаження під дією поверхневих та крайових сил відбувається за постійної температури і є активним та простим. Вісі ортотропії КМ збігаються з лініями головних кривин оболонки. Залежно від співвідношень між геометричними та фізичними параметрами оболонок розглядаються такі варіанти теорії оболонок.

1). Оболонки середньої товщини з невеликою ортотропією і неоднорідністю КМ, але з пониженою зсувною жорсткістю (). Застосовуються гіпотези Тимошенка.

2). Тонкі оболонки з невеликою ортотропією і неоднорідністю КМ, але з значною зсувною жорсткістю (). Застосовуються гіпотези Кірхгофа-Лява.

3). Ті ж тонкі оболонки, але характер їх деформування такий, що внаслідок малості мембранних деформацій встановлюється взаємозв’язок між тими переміщеннями, через які ці деформації виражаються, тобто виникає явище типу “жорсткі зміщення” або “мембранні замикання”. Застосовуються гіпотези Кірхгофа-Лява і множники Лагранжа.

4). Тонкі або середньої товщини оболонки зі значною ортотропією (наприклад,) чи неоднорідністю (=0,510-3) КМ або з “немалою” () зсувною жорсткістю. Застосовуються гіпотези Тимошенка і множники Лагранжа.

Останній варіант теорії охоплює за широтою постановки три попередні, але й потребує більших обчислювальних ресурсів внаслідок збільшення кількості незалежних функцій. В багатьох практичних випадках можна обмежитись простішими постановками, а найповніша застосовується для контролю за точністю та виявленням можливих явищ типу “замикання”, що достатньо зробити на лінійно пружному етапі деформування.

Розглядаються оболонки з отвором, серединна поверхня (рис.2.1) яких

(2.1)

враховуючи можливу симетрію, обмежена чотирма гладкими лініями, що збігаються з координатними лініями належним чином вибраної на цій поверхні неспряженої (рис.2.2) системи координат, з якою спряжена зв’язана перетворенням

(2.2)

Рис.2.1. Спряжена система координат Рис.2.2. Неспряжена система координат

Спряжена система координат використовується для запису геометричних та фізичних співвідношень, а неспряжена - для запису співвідношень ВРМ та задання межових умов. Перетворення (2.2) застосовується тільки до математичних операторів. Такий підхід за простої форми основних рівнянь дозволяє ефективно розв’язувати задачі концентрації напружень біля криволінійних отворів складної форми і підвищує алгоритмічність процесу отримання системи розв’язувальних рівнянь.

Компоненти НДС, віднесені до спряженої системи координат, відзначаються відповідними нижніми буквеними індексами () або цифровими індексами (). Величини у неспряженій системі індексуються буквами (), застосування цифрових індексів обумовлюється окремо. Якщо в межах однієї формули є величини, віднесені до обох систем, то застосовуються тільки буквені індекси.

Для обох типів гіпотез компоненти вектора переміщень довільної точки оболонки виражаються через переміщення точок її серединної поверхні та кути повороту нормалі формально однаковими формулами

(2.3)

збігається й статична частина гіпотез щодо малості нормальних напружень, але у випадку гіпотез Тимошенка є незалежні функції, а у випадку гіпотез Кірхгофа-Лява визначаються з умов рівності нулеві деформацій поперечного зсуву і збігаються з кутами повороту дотичних.

Використовуються лінійні геометричні співвідношення між компонентами деформацій і переміщеннями та кутами повороту. Деформації довільної точки оболонки виражаються формулами

(2.4)

через компоненти деформації серединної поверхні

(2.5)

Наведені співвідношення чинні для обох типів гіпотез із зауваженнями щодо геометричного змісту кутів . Геометрична частина гіпотез Кірхгофа-Лява реалізується алгоритмічно методом множників Лагранжа, а не аналітично шляхом виразу кутів повороту дотичних через переміщення. Це дає можливість побудови алгоритму зі значними спільними частинами для обох типів гіпотез, що сприяє підвищенню надійності створених прикладних програм для ЕОМ.

На підставі аналізу нелінійних властивостей КМ та підходів до їх теоретичного описання нелінійні залежності між компонентами напружень і деформацій при плоскому напруженому стані для простих навантажень прийняті згідно з теорією пластичності анізотропних середовищ Ломакіна

(2.6)

де функція подається у вигляді

. (2.7)

Рівняння (2.6)-(2.7) суттєво нелінійні, вони розв’язуються відносно напружень чисельно за методом Ньютона. Після чисельного обернення (2.6) подаються у вигляді, в яких виділяються лінійні та нелінійні члени. Відповідно вводяться середні по товщині оболонки внутрішні зусилля та моменти.

Як частинні випадки з (2.6) випливають фізичні співвідношення для лінійно пружного ортотропного матеріалу при =0, а також для ізотропного нестисливого пружнопластичного матеріалу при де - функція пластичності Ільюшина; - інтенсивність напружень.

Виходячи з принципу віртуальної роботи, підставляючи внутрішні зусилля і моменти у варіаційне рівняння, виділяючи лінійні і нелінійні члени, вважаючи, що згідно з МПН у формі додаткових напружень величини, відомі з попереднього наближення і не варіюються, варіаційне рівняння для першого варіанта теорії (гіпотези Тимошенка) подається у вигляді

(2.8)

де позначено

.

Робота поверхневих і крайових сил у (2.8) визначається формулами

;.

У такий спосіб лінеаризована задача зводиться до знаходження в кожному наближенні стаціонарних значень функціоналу

(2.9)

Тут та далі в записах функціоналів позначення означають не власне величини, а формули чи послідовність формул, за якими вони виражаються через незалежні функції аналітично чи чисельно. Інакше ці величини відзначаються верхнім індексом f .

Для другого варіанта теорії (гіпотези Кірхгофа-Лява) лінеаризований функціонал є такий

(2.10)

де гіпотези Кірхгофа-Лява реалізовані методом множників Лагранжа, що мають зміст перерізуючих зусиль. Функционал (2.10) можна отримати з принципу Ху-Васідзу для оболонок, виключаючи певні множники Лагранжа (зусилля, моменти) відповідно до їхнього фізичного змісту. У розділі показано аналітично, що стаціонарні значення запропонованого функціоналу (2.10) включають результати (рівняння рівноваги, гіпотези, статичні межові умови), які випливають з класичного функціоналу Лагранжа.

У третьому варіанті теорії (гіпотези Кірхгофа-Лява, мембранне виродження) функціонал будується, виходячи з того, що явища типу “жорсткі зміщення” або “мембранні замикання” обумовлені таким характером деформування, коли внаслідок малості мембранних деформацій встановлюється взаємозв’язок між тими переміщеннями, через які ці деформації виражаються. В чисельних методах, на відміну від аналітичних, неможливо здійснити граничний перехід, коли такий зв’язок стає точним, а коли він наближений, то сповільнюється збіжність чисельних алгоритмів. Природним способом розриву такого зв’язку є прийняття малих величин, що його здійснюють, виступаючи нулями в правих частинах рівнянь, за незалежні функції за допомогою множників Лагранжа. В такому разі функціональна залежність між переміщеннями прирівнюється не до заздалегідь малої величини чи нуля, а до невідомої, яка, проте в результаті розв’язку може прийняти довільне мале значення. Більше того, оскільки в варіаційному численні незалежні функції на певній області або й скрізь при побудові функціоналу (до варіювання) можуть приймати задані значення, включаючи нульові, то виникає можливість згаданого граничного переходу в чисельному методі. Для подолання мембранного виродження додатково приймаються за незалежні невідомі функції, що варіюються, компоненти деформації із використанням відповідних множників Лагранжа, які потім послідовно коректно виключаються. Лінеаризований функціонал є такий

(2.11)

де - коефіцієнти жорсткості в лінійних доданках фізичних співвідношень; вираз враховує чисельну розбіжність між деформаціями-формулами і деформациями-функціями.

Аналогічно будується змішаний функционал у четвертому варіанті теорії (гіпотези Тимошенка, мембранне й зсувне виродження), в якому додатково варіюються компоненти мембранних та зсувних деформацій,

(2.12)

Підкреслено зовнішню подібність у функціоналах (2.11) і (2.12) членів вигляду з формулами теорії випадкових процесів для дисперсії випадкових величин відносно середніх значень. Якби не відсутність доданків типу, які подібні до кореляцій, то величина була б потенціальною енергією деформацій лінійно пружної оболонки, компоненти деформацій якої є. Вважаючи відхилення незалежними між собою й довільного знаку, величину можна назвати потенціальною енергією хибних (в розумінні чисельних методів) деформацій. Функціонали (2.11)-(2.12) побудовані так, що від функціоналів і, які мають мінімум, віднімається невелика додатна величина. Крім того відомо, що в таких випадках чисельні методи дають завищені стаціонарні значення. Тим самим можна тлумачити, що запропоновані функціонали (2.11)-(2.12) дозволяють досягти глибшого мінімуму за рахунок врахування енергії хибних деформацій.

Таким чином, в розділі окреслені варіанти теорії оболонок залежно від співвідношень між параметрами КМ, наведені основні нелінійні рівняння для чотирьох варіантів теорії. Запропоновані нові лінеаризовані функціонали, які дають змогу будувати ефективні алгоритми і уникати небажаних чисельних явищ типу “замикання”. Для тонких оболонок запропонований алгоритмічний спосіб реалізації гіпотез за допомогою множників Лагранжа. У випадках виключення у функціоналі кількох функцій за їх фізичним змістом показана більша зручність виводу таких змішаних функціоналів з функціоналу Лагранжа методом множників Лагранжа, ніж спрощенням повного функціоналу Ху-Васідзу.

У третьому розділі подано основні співвідношення для чотирьох варіантів теорії оболонок в єдиній матричній формі. Отримана система алгебраїчних розвязувальних рівнянь на основі ВРМ та МПН. Описано алгоритм і програму розв’язування нелінійних задач на ЕОМ.

Отримані в лінеаризовані функціонали для чотирьох варіантів теорії оболонок (2.9)-(2.12) суттєво відрізняються за типом та кількістю незалежних функцій, що варіюються. Для спрощення процесу виводу системи розвязувальних рівнянь вигляд цих функціоналів уніфікується поданням основних співвідношення теорії оболонок в єдиній матричній формі.

В спряженій системі координат геометричні співвідношення (2.5) в матричній формі мають вигляд

(3.1)

де - вектор-стовпчик деформації; - матриця розмірністю 815; - вектор-стовпчик переміщень, кутів та перших похідних від них, взятих по координатам. Фізичні співвідношення мають вигляд

(3.2)

де - вектор зусиль, моментів та перерізуючих сил; - симетрична матриця жорсткостей розмірністю 88 (з нульовими елементами у випадку гіпотез Кірхгофа-Лява); - вектор нелінійних складових відповідних величин.

Неспряжена система координат. Перетворення (2.2) стосується тих рівнянь та операторів, в які координати входять явно, як величини (не індекси). Фізичні співвідношення (3.2) не міняють вигляду, а геометричні (3.1) мають вигляд

(3.3)

де - вектор тих самих переміщень, кутів та перших похідних від них, але взятих по іншим координатам ();- нова матриця, яка враховує заміну змінних у похідних. Елементи матриці, що стоять перед операторами диференціювання у (3.3), перетворюються за формулами

(3.4)

де - матриця розмірністю 1515, визначається прямою сумою матриць; - матриця Якобі перетворення (2.2). Диференціальні елемент поверхні у поверхневих інтегралах і елемент дуги вздовж межової лінії у криволінійних інтегралах визначаються відповідно формулами і, де і - коефіцієнти першої квадратичної форми в спряженій і неспряженій системах координат, причому другі виражаються через перші:

(3.5)

Формули (3.3)-(3.5) дозволяють апроксимувати похідні й інтеграли в неспряженій системі координат.

В узагальненій формі лінеаризовані функціонали подаються так:

(3.6)

де - симетрична матриця; - вектор узагальнених функцій і похідних від них; - вектор переміщень та кутів; - вектор нелінійних членів; - вектор нелінійних складових зусиль і моментів, відомих з попереднього наближення; і - вектори поверхневого навантаження і крайових сил. На конкретний варіант теорії функціонал налаштовується діагональними матрицями, номери ненульових елементів якої збігаються з номерами прийнятих за незалежні функції компонент деформацій у векторі, та, номери ненульових елементів якої збігаються з номерами тих компонент зусиль, моментів чи перерізуючих сил у векторі, які виступають множниками Лагранжа.

З умови стаціонарності дискретизованого ВРМ функціоналу (3.6) отримана система нелінійних розв’язувальних рівнянь

(3.7)

яка на кожній ітерації є лінеаризованою системою алгебраїчних рівнянь із симетричною матрицею стрічкової структури й вектором нелінійних членів. Тут й - дискретні аналоги диференціалів поверхні й дуги; - кількість незалежних функцій;, - кількість вузлів сітки вздовж осей відповідно.

На основі розробленої методики побудовано алгоритм і створена прикладна програма для ЕОМ для розвязання нелінійних задач концентрації напружень в оболонках.

У розділі вдосконалено методику розв'язування фізично нелінійних крайових задач для оболонок з криволінійним отвором на основі ВРМ та МПН, основні риси якої є такі.

·

· Наявність у функціоналах для всіх варіантів теорії похідних від незалежних функцій не вище першого порядку.

· Подання компонент НДС в спряженій системі координат, а розбиття області в неспряженій з відповідною заміною змінних.

· Налаштування спеціальними матрицями єдиного алгоритму на конкретний варіант теорії.

У четвертому розділі наведено результати всебічного тестування шляхом розв’язання тестових і модельних задач та чисельних експериментів. В розділі наведені показові приклади, які демонструють можливості методики. Досліджені питання збіжності, точності розв'язків і достовірності отриманих результатів. Дано порівняння з експериментом. Наведено результати експериментального дослідження нелінійних властивостей ортотропних органопластиків.

Ефективність розробленої методики стосовно “жорстких зміщень” показана на задачах: про згин (Scordelis A.C., Lo K.S.) під власною вагою перекриття в вигляді циліндричної панелі, обпертої торцями на діафрагми, які перешкоджають переміщенням в своїй площині; про бездеформативне зміщення циліндричної оболонки. Шляхом порівняння теоретичних розрахунків за різними варіантами теорії пружного НДС ізотропної циліндричної оболонки з двома діаметрально протилежними однаковими отворами з експериментальними даними [12] показано, що четвертий варіант теорії дає найближчі до експерименту значення прогинів. На порівняльному аналізі розрахунків ряду задач для циліндричної оболонки за різними варіантами теорії в спряженій і в неспряженій системах координат зроблені висновки щодо доцільності їх використання. Ефективність вдалого вибору перетворення координат (2.2) показана на задачах концентрації напружень біля еліптичного отвору в пластинці (із значним співвідношенням півосей еліпса 5) та сферичній оболонці. На прикладі пружнопластичної циліндричної оболонки продемонстрована узгодженість теоретичних розрахунків на основі рівнянь (2.6) з відомим чисельним розв’язком на основі деформаційної теорії пластичності.

Наведено результати експериментального дослідження нелінійних властивостей двох ортотропних органопластиків за участю автора в постановці експерименту та обробці результатів. Це є шаруваті двовимірно армовані волокнами КМ. Один з них має чотири волокнисті шари, орієнтовані під кутами 27 до вісі OX (для означеності), та чотири шари під кутами 90 (варіант а, 8 шарів, джгут СВМ, смола ЕДТ-10). Другий (варіант б, 4 шари, джгут ЖСВМ, смола ЕДТ-10) має два шари під кутами 22 та два шари під кутами 90. Експерименти на розтяг виконано на тонкостінних циліндричних зразках, які виготовлені спіральним намотуванням просоченого епоксидною смолою волокна на оправку циліндричної форми. Діаграми деформування, побудовані на основі експериментальних даних, показані на рис.4.1, де суцільні лінії 1-3 відповідають одноосьовому розтягу зразків чотиришарового органопластику під кутами 0, 90, 45 до вісі OX (вісь симетрії циліндра). Пунктирні лінії 1-2 відносяться до восьми шарового органопластику.

Рис.4.1. Експериментальні діаграми та результати модельних розрахунків Рис.4.2. Функції зміцнення

На основі діаграм деформування побудовані (рис.4.2) функції зміцнення та визначені параметри органопластиків, що характеризують лінійно пружну (табл.4.1) та нелінійно пружну (табл.4.2) стадії деформування

Експериментальні дані (рис.4.1), використовуючи знайдені параметри органопластиків (табл.4.1-4.2), відтворено в модельних розрахунках ( і *) на одноосьовий розтяг циліндричної оболонки під дією внутрішнього тиску або осьових зусиль. Розбіжність теоретичних та експериментальних даних в напруженнях, як видно з рис.4.1 (наприклад, при між кривою 1 і трикутничком) не перевищує 4%. Це є додатковим свідченням адекватності вибраної моделі нелінійно пружного ортотропного КМ, ефективності методики визначення параметрів КМ з експериментальних даних та достовірності методики розв’язування фізично нелінійних задач в цілому.

Таблиця 4.1 Таблиця 4.2

Параметр | а) | б) | Параметр | а) | б)

, ГПа | 25,3 | 26,8 | , МПа | 0,137 | 0,333

, ГПа | 38,4 | 46,5 | 3,0 | 2,5

, ГПа | 5,1 | ,(МПа)2 | 0,4·106· | 0,3·106

, ГПа | 7,6 | 4,20 | 4,32

, ГПа | 2,0 | 2,0 | 2,0

, ГПа | 2,4 | -0,33 | -0,64

0,157 | 0,166 | 13,0

0,17

0,11

Тестування програми щодо оболонок з нелінійно пружних ортотропних КМ проведено на осесиметричних задачах статики тонких (варіант 2 теорії) тороїдальних оболонок кругового й еліптичного поперечного перетину. Тороїдальні оболонки з погляду тестування цікаві тим, що за певних співвідношень між їхніми параметрами вони набувають форми таких конструкцій, в деяких частинах яких напружений стан є очевидним. Розрахунки виконано за зміни в широкому діапазоні еліптичності поперечного перетину і радіуса кругової осі тора.

На основі порівняльного аналізу розрахунків за різними варіантами теорії сформульовано такі висновки методологічного характеру.

·

· В розрахунках за класичними варіантами (1 або 2) теорії при наявності явищ типу “замикання” переваги вибору певної системи координат визначаються в конкретному випадку .

У п'ятому розділі подано результати дослідження осесиметричного НДС композитних оболонок обертання з отвором. На прикладі сферичної трансверсально ізотропної оболонки зі значною неоднорідністю зсувної жорсткості вздовж меридіана, на одному краї якої хоча й краще, проте не задовільно виконуються гіпотези Кірхгофа-Лява, а на іншому гіпотези Тимошенка, показано переваги розробленої методики у варіанті 4 теорії. На прикладах ортотропних тонких та середньої товщини сферичних оболонок вивчено вплив нелінійності та поперечної зсувної жорсткості КМ з реальними або гіпотетичними властивостями на НДС. В лінійних постановках задач приділено увагу можливим явищам виродження з використанням чотирьох варіантів теорії та різних комбінації незалежних функцій, що варіюються. Досліджено нелінійно пружний стан ортотропних органопластикових еліпсоїдальних оболонок залежно від їх форми і рівня навантаження.

трансверсально ізотропна сферична оболонка змінної зсувної жорсткості, жорстко

Рис.5.1.

(рис.5.1) закріплена на обох краях, навантажена внутрішнім тиском, має такі параметри E=67 ГПа; 0,3; 275; 43; 50. Модуль поперечної зсувної жорсткості вздовж дуги меридіана змінюється за формулою Розрахунки лінійно пружного НДС оболонки здійснені за варіантами 1, 2 й 4 теорії. В табл.5.1 наведені безрозмірні меридіональні й колові напруження уздовж меридіана в трьох точках по товщині () оболонки. Класичне застосування гіпотез Кірхгофа-Лява (варіант 2) веде до завищення максимальних (, ,) напружень на 9%, а гіпотез Тимошенка (варіант 1)- до заниження на 16% порівняно з варіантом 4. На зовнішньому краї оболонки, де напруження є також значними (, ,), завищення у варіанті 2 набуває 17%, а результати,за варіантами 1 й 4 теорії практично збігаються.

Таблиця 5.1 |

Варіант 2 | Варіант 1 | Варіант 4

0,5 | -242 | -72 | -130 | -39 | -192 | -58

0 | 0 | 97 | 29 | 102 | 31 | 104 | 31

-0,5 | 436 | 131 | 334 | 101 | 400 | 120

0,5 | -158 | -47 | -94 | -28 | -93 | -28

50 | 0 | 97 | 29 | 102 | 31 | 104 | 31

-0,5 | 351 | 105 | 298 | 89 | 299 | 90

нелінійно пружні ортотропні сферичні оболонки з урахуванням поперечного зсуву. На оболонку в вигляді півсфери радіусом R діє внутрішній тиск та перерізуюча сила на контурі отвору радіусом . Зовнішній контур шарнірно закріплений. Осі ортотропії чотиришарового органопластику (рис.4.1, табл.4.1-4.2, варіант а) орієнтовані так відносно оболонки, що Ess=38,4 ГПа; E=25,3 ГПа; Gs3=2 ГПа; 0,24. Геометричні параметри тонкої оболонки є такі: 120; 22,22; 165,5. Приділяючи увагу впливу нелінійності та поперечного зсуву КМ, розрахунки в нелінійних постановках виконано за двома варіантами (1 та 2) теорії, основаних на гіпотезах Тимошенка та Кірхгофа-Лява відповідно. Кількість вузлів розбиття, відносна точність розв’язання нелінійних задач 10-2. Досліджено вплив поперечної зсувної жорсткості Gs3 реального й гіпотетичного КМ, інші властивості якого такі ж, як в органопластика, на НДС тонкої оболонки. У табл.5.2 (=2 МПа) наведені максимальні прогин та колові напруження (МПа) на зовнішній та внутрішній поверхнях біля отвору оболонки залежно від величини Gs3 (ГПа) для варіанту 1 теорії на основі гіпотез Тимошенка. Результати на основі гіпотез Кірхгофа-Лява (Gs3=) приведені для порівняння в першому (варіанту 2 теорії) рядку. До цих результатів прямує розв’язок за варіантом 1 теорії при великому значенні зсувної жорсткості (Gs3=20 ГПа,). Зниження зсувної жорсткості веде до росту максимальних прогину та напруження, причому по-різному в лінійній і нелінійній постановках. Ріст напружень в нелінійній постановці (у % порівняно з напруженнями в органопластиковій оболонці, Gs3=2 ГПа) є значно (1,5 рази) меншим, ніж в лінійній, а прогинів - дещо більшим. Наприклад, зменшення зсувної жорсткості в 20 разів (Gs3=0,1 ГПа) порівняно з органопластиком збільшує напруження на 6,8% та прогин на 20,9% в нелінійній постановці і на 10,8% та 19,1% відповідно в лінійній. Разом з тим, при зниження зсувної жорсткості КМ внаслідок росту напружень вплив фізичної нелінійності на НДС збільшується. Так, урахування фізичної нелінійності веде до зменшення максимальних напружень на 11,4% при Gs3=2 ГПа і на 23,8% при Gs3=0,02 ГПа та до збільшення прогинів на 3,5% і 10,6% відповідно.

Таблиця 5.2

Gs3, | В-т | Лінійна задача | Нелінійна задача

ГПа | теорії

2 | 2,28 | 835 | 569 | 2,36 | 739 | 562

2 | 1 | 2,30 | 839 | 574 | 2,39 | 741 | 566

0,2 | 1 | 2,52 | 884 | 622 | 2,63 | 767 | 605

0,1 | 1 | 2,74 | 930 | 671 | 2,89 | 792 | 634

0,02 | 1 | 4,15 | 1218 | 979 | 4,59 | 928 | 834

20 | 1 | 2,28 | 835 | 570 | 2,37 | 739 | 562

Отже, в розглянутому прикладі фізична нелінійність, проявляючись більше при малій зсувній жорсткості, зменшує вплив поперечного зсуву на напружений стан оболонки, а на деформований дещо збільшує.

Аналогічні дослідження виконані для оболонок середньої товщини. Параметри їх відрізняються від попереднього варіанту товщиною (24;12) й навантаженням (=20 МПа; 50 МПа). Встановлено, що врахування поперечного зсуву в органопластиковій оболонці середньої товщини збільшує напруження на 3,5% та прогин на 11,3% в нелінійній постановці і на 1,5% та 14,8% відповідно в лінійній. У цьому випадку властивості реального чотиришарового органопластику не є такими, щоб урахування поперечного зсуву істотно вплинуло на напружений стан досить нетонкої (12) оболонки. Цей вплив збільшується (18,6% та 9,5% відповідно) при зменшенні на порядок (Gs3=0,2 ГПа) поперечної зсувної жорсткості гіпотетичного КМ нетонкої (24) оболонки.

нелінійно пружні ортотропні еліпсоїдальні оболонки. Досліджено нелінійно пруж ний стан

Рис.5.2.

тонких ортотропних органопластикових еліпсоїдальних оболонок залежно від їх форми і рівня навантаження. Зважаючи на відсутність “замикання” та несуттєвість поперечного зсуву в подібних тонких сферичних оболонках з реального органопластику (табл.5.2), використано варіант 2 теорії на основі гіпотез Кірхгофа-Лява. Приділено увагу вивченню впливу ортотропії і нелінійних властивостей КМ, геометричних параметрів на НДС оболонок. Серединну поверхню еліпсоїдальної оболонки (рис.5.2) з півосями a і b під дією тиску та перерізуючої сили на контурі отвору радіусом віднесено до спряженої півгеодезичної системи координат. Усі оболонки мають однакову піввісь a і на зовнішньому краї шарнірно обпираються по колу радіусом a. Коефіцієнти квадратичних форм, залежність довжини дуги меридіана від співвідношення півосей обчислюються за алгоритмом чисельної дискретизації плоскої кривої. Осі ортотропії восьми шарового (рис.4.1, табл.4.1-4.2, варіант б) органопластику орієнтовані так відносно оболонки, що Ess=26,8 ГПа; E=46,5 ГПа; 0,166. Геометричні параметри еліпсоїдальних оболонок є такі: 120; 22,22;. Досліджено нелінійно пружний НДС оболонок для ряду значень відношення півосей еліпсоїда при заданому рівні навантаження =1 МПа. Графіки залежності максимальних колових напружень на зовнішній й внутрішній поверхнях біля отвору оболонок від співвідношення півосей показано на рис.5.3, де пунктирна лінія відповідає лінійній задачі, а суцільна - нелінійній. Розподіл колових напружень (нелінійна постановка) на зовнішній поверхні еліпсоїдальних оболонок уздовж меридіана для ряду значень параметра показано на рис.5.4.

Неврахування нелінійних властивостей органопластику за даного рівня навантаження веде до завищення максимального напруження (рис.5.3, 4) на 29,9%. В середній частині меридіана (рис.5.4;) напруження в сферичній оболонці (1) наближуються до значень безмоментних напружень 60 МПа замкнутої сферичної, а в витягнутій еліпсоїдальній (0,25) - до колових напружень 120 МПа безмоментної циліндричної оболонки радіусом . У сплюснутій вздовж вісі обертання еліпсоїдальної оболонки НДС має складніший характер. Коловий стиск внаслідок від’ємних прогинів поблизу шарнірно закріпленого краю можна пояснити розглядаючи сплюснуту оболонку, як коротку циліндричну з пологим дном, точка () з’єднання яких під дією внутрішнього тиску угинається всередину.

Рис.5.3. Рис.5.4.

Шляхом зміни орієнтації осей ортотропії КМ відносно координат оболонки (1,5) так, що Ess=46,5 ГПа; E=26,8 ГПа; 0,288; qssss=2; =4,32; =-0,64, досліджено вплив ортотропії на нелінійно пружний НДС за незмінних інших умов. Встановлено, що в лінійній постановці збільшення жорсткості в меридіональному напрямку () веде до збільшення максимальних деформацій на 29,5% та до зменшення максимальних напружень на