НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МОДЕЛЮВАННЯ В ЕНЕРГЕТИЦІ

ЗЛАТКІН АРТУР АНАТОЛІЙОВИЧ

УДК 681.3:681.5

МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ, МЕТОДИ І ОБЧИСЛЮВАЛЬНІ
АЛГОРИТМИ НЕПЕРЕРВНО-ДИСКРЕТНОЇ ОПТИМІЗАЦІЇ
ПРОЦЕСІВ КЕРУВАННЯ ЗІ ЗВОРОТНИМ ЗВ'ЯЗКОМ

01.05.02 _математичне моделювання і обчислювальні методи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття вченого ступеня
доктора технічних наук

Київ – 2000

Дисертація є рукопис.

Робота виконана в Черкаському інженерно-технологічному інституті Міністерства освіти і науки України і на Державному підприємстві Науково-дослідний інститут “Акорд” Державного комітету промислової політики України (м. Черкаси).

Науковий консультант: доктор технічних наук, професор, академік НАНУ

Пухов Георгій Євгенович , Інститут проблем моделювання в енергетиці НАН України,

почесний директор.

Офіційні опоненти:

доктор технічних наук, професор, член-кореспондент НАН України
Васильєв Всеволод Вікторович,

Інститут проблем моделювання в енергетиці НАН України, завідуючий відділом;

доктор технічних наук, професор

Додонов Александров Георгійович,
Інститут проблем реєстрації інформації НАН України, заступник директора;

доктор технічних наук, професор

Степанов Аркадій Євгенович,

Інститут загальної енергетики НАН України, завідуючий відділом.

Провідна установа:

Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут” Міністерства освіти і науки України, кафедра спеціалізованих комп'ютерних систем, м. Київ.

Захист відбудеться 18.01.2000 р. о 14 годин на засіданні спеціалізованої вченої ради Д  .01 при Інституті проблем моделювання в енергетиці НАН України за адресою: м. Київ-164, вул. Генерала Наумова, 15.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституті проблем моделювання в енергетиці НАН України.

Автореферат розісланий 16.12.2000 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Д.26.185.01,
доктор технічних наук В.П. Романцов

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В дисертаційній роботі сформульовані та розвинуті ідеї і результати теоретичних і інженерних досліджень по математичному моделюванню динамічних (перехідних) процесів, які оптимізуються за допомогою зворотнього зв’язку, при неперервно-дискретному підході до їх керування. Теорія, математичні моделі, методи та обчислювальні алгоритми, багатокрокової оптимізації динамічних (зокрема, ряду прикладних) перехідних процесів при неперервно – дискретному підході до їх керування зі зворотнім зв’язком умовно віднесені до неперервно-дискретної оптимізації та пристосовані до реалізації на сучасних засобах обчислювальної, у тому числі комп’ютерної, техніки. Неперервно-дискретний підхід до керування за допомогою зворотнього зв'язку динамічними процесами з метою оптимізації є системним, тому що всебічно враховує всілякі обмеження пов'язаних між собою функцій, які впливають на процес, що оптимізується. Цей підхід, умовно названий неперервно-дискретною оптимізацією, широко використовує системний аналіз і характеризується наявністю неперервних і дискретних компонентів у багатокроковій обчислювальній процедурі. Використані в даній роботі результати неодноразово обговорювались з академіком НАНУ Пуховим Г.Є. в багаточисельних консультаціях та бесідах.

Актуальність теми дисертаційної роботи обумовлена багатьма чинниками. Відзначимо деякі з них.

1. Постійно спостерігається тенденція побудови й удосконалювання математичних моделей оптимізації динамічних процесів у різноманітних сферах діяльності людини (економіка, соціальне управління, правове регулювання і т.д.), у тому числі в науково-технічній сфері (інформаційні технології, технології керування й ін.).

2. Обчислювальні алгоритми і методи неперервно-дискретної оптимізації розширюють область застосування найбільш ефективних принципів оптимізації і легко поширюються на перехідні процеси з неперервним і дискретним часом, прикладне значення яких важко переоцінити.

3. Методи обчислень розв'язань, які оптимізують динамічні процеси при неперервно-дискретному підході до їхнього керування зі зворотним зв'язком, є багатокроковими і пристосовані до математичного й електронно-машинного (комп’ютерного) моделювання з метою експериментальної перевірки роботи обчислювального алгоритму оптимізації, включаючи роботу в реальному часі.

4. Згадані алгоритми й методи обчислень дозволяють вирішувати актуальні задачі синтезу структури й алгоритму функціонування моделей систем технічного призначення, зокрема в області передачі даних, а також — комутаційних мереж, проектування акустоелектронних перетворювачів та ін.

5. Для побудови математичних моделей оптимізації в дисертації формулюється постановка загальної і прикладних задач оптимізації динамічних процесів і розглядається неперервно-дискретний підхід до їхнього розв'язання. З цією метою розроблені методи неперервно-дискретної оптимізації і обчислювальні алгоритми, які випливають з них і з урахуванням яких побудовані відповідні математичні моделі оптимізації динамічних процесів загального і прикладного характеру. Ці моделі пристосовані до оптимізації з адаптацією, що забезпечує моделювання процесів керування для широкого класу дуже актуальних адаптивних систем.

Сказане складає основу наукового напрямку “Методологія математичного й електронно-машинного (комп’ютерного) моделювання динамічних процесів, які оптимізуються за допомогою зворотного зв’язку, при неперервно-дискретному підході до їхнього керування в прикладних задачах і системах технічного призначення”.

Основний комплекс робіт даного наукового напрямку виконаний у Черкаському інженерно-технологічному інституті і на Державному підприємстві Науково-дослідний інститут “Акорд” (м. Черкаси) при особистій участі автора дисертації і наукового консультування акад. НАНУ Пуховим Г. Є.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота пов'язана з тематичними планами проведення за рахунок засобів державного бюджету таких НДДКР: ДКР “Заря-УПС”, підстава для виконання — договір № 720 від 21.08.96 між НДІ “Акорд” і НТК “Імпульс”, м. Київ; ДКР “Січ-1” і “Тракт”, підстава для виконання — державний контракт між ДКБ “Південне” і НКА України № 5-27-97 від 27.06.97 і договір між НДІ “Акорд” і ДКБ “Південне”, номер державної реєстрації 0197V014846; ДКР “Трал-У”, підстава для виконання — спільне рішення Міноборони, Мінмашпрому і Мінзв'язку України № 5/5 від 21.10.92, стор. 7, пункт 3 і договір № 717 від 01.04.94 між НДІ “Акорд” і НДПІ “Спілка”, м. Харків; ДКР “Исток”, “Имла”, підстава для виконання — договір № 739 від 01.03.95 між НДІ “Акорд” і ВЧ А–2601, номер державної реєстрації 0195V026549; НДР “Розробка цифрової мережі з комутацією пакетів ЗС України”, шифр “Лілія”, підстава для виконання — спільне рішення Міноборони, Мінмашпрому і Мінзв'язку України № 5/5 від 21.10.92, стор. 3, пункт 1 і договір № 117438 від 04.08.93 між НДІ “Акорд” і ВЧ А-0117.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розв'язання науково-технічної проблеми створення таких математичних моделей, методів і обчислювальних алгоритмів неперервно-дискретної оптимізації динамічних процесів, керованих за допомогою зворотного зв'язку, які пристосовані до електронно-машинного (комп’ютерного) моделювання, розширюють обчислювальні можливості варіаційних принципів оптимізації і дозволяють синтезувати структуру й алгоритми функціонування моделей оптимізації (у тому числі з адаптацією) перехідних процесів у системах технічного призначення.

Задачі дослідження, які необхідно вирішити для досягнення поставленої мети:

1. Проаналізувати варіаційні принципи оптимізації і системні можливості функції Лагранжа з метою виробітки постановки загальної і прикладних задач оптимізації динамічних (перехідних) процесів при неперервно-дискретному підході до їхнього керування зі зворотним зв'язком, у тому числі — процесів, які обмежені перетворенням згортки (наприклад, при передачі даних), перехідних процесів у комутаційних мережах зв'язку й інших систем технічного призначення.

2. Обгрунтувати доцільність багатокрокового неперервно-дискретного підходу до керування за допомогою зворотного зв'язку динамічними процесами в розв'язанні загальних і прикладних задач оптимізації.

3. Розробити математичні моделі, методи і обчислювальні алгоритми багатокрокової неперервно-дискретної оптимізації, у тому числі з адаптацією, для лінійних і нелінійних перехідних процесів із детермінованими і випадковими функціями на основі варіаційних принципів оптимізації.

4. Розробити теоретичні основи багатокрокової неперервно-дискретної оптимізації динамічних (перехідних) процесів.

5. Розробити методи оптимізації і синтезу структури нелінійних систем високого порядку по їхніх математичних моделях низького порядку.

6. Застосувати розроблену теорію, математичні моделі, методи і обчислювальні алгоритми неперервно-дискретної оптимізації і синтезу до розв'язання прикладних задач технічного призначення, зокрема, із метою побудови математичних моделей процесу оптимального керування ресурсами комутаційної мережі і синтезу структури адаптивної моделі оптимізації перехідних процесів, обмежених перетворенням згортки.

Об’єктом дослідження в цій роботі є моделювання динамічних процесів загального та прикладного характеру, в тому числі перехідних процесів в системах технічного призначення.

Предмет дослідження міститься у межах побудови математичних моделей, методів і обчислювальних алгоритмів неперервно-дискретної оптимізації процесів управління зі зворотним зв’язком, зокрема керованих за допомогою зворотного зв’язку перехідних процесів, які протікають в комутаційних мережах або виникають при передачі даних по каналу зв’язку.

Методи дослідження, які використані в роботі для досягнення поставленої мети :

1. Методи побудови математичних моделей перехідних процесів загального і прикладного характеру у вигляді замкненої через зворотний зв’язок системи. Ці методи дозволили сформулювати у детермінованих й імовірнісних термінах постанову загальної і прикладних задач оптимізації, представити відповідні математичні моделі у вигляді замкненої через зворотній зв’язок системи і поширити отримані результати на перехідні процеси, що описуються перетворенням згортки (канальна задача оптимізації), та перехідні процеси у комутаційних мережах (мережна задача оптимізації).

2. Варіаційні методи оптимізації, які використані під час розробки математичних моделей, методів та обчислювальних алгоритмів оптимізації перехідних процесів технічного характеру при неперервно-дискретному підході до їх керування зі зворотним зв’язком.

3. Методи синтезу структури та оптимізації параметрів пристосувальних систем а також методи малого параметру і математичного моделювання динамічних процесів високого порядку. На цій основі розроблений новий метод оптимізації нелінійних процесів високого порядку та синтезу відносних систем по математичним моделям низького порядку.

4. Методи математичного моделювання лінійних динамічних процесів довільного порядку при наявності похідних в примушуючому впливі, фіксованому або нефіксованому інтервалі управління та незакріпленому або закріпленому правому кінці траєкторії. Ці методи покладені в основу побудування відповідних математичних моделей і методів неперервно-дискретной оптимізації.

5. Методи дослідження динаміки імовірнісних процесів керування і побудування відповідальних математичних моделей, що також використано при розробці алгоритму неперервно-дискретній оптимізації, у тому числі з адаптацією, на основі градієнтних принципів та поширено на процеси з дискретним часом з метою побудови адаптивної моделі регулювання перехідних процесів, які змінюються за законом перетворення згортки (при передачі даних по каналу зв’язку).

6. Методи теоретичного обгрунтування наукових положень і нових прикладних результатів. Ці методи дослідження використані для розробки теорії і обгрунтування математичних моделей, методів і обчислювальних алгоритмів неперервно – дискретної оптимізації перехідних процесів прикладного характеру.

7. Методи нелінійного програмування на основі функції Лагранжа використані для побудови математичної моделі і алгоритма оптимізації перехідних процесів в комутаційних мережах повнозв’язної або неповнозв’язної вузлової топології при централізованому і децентралізованому керуванні і поцикловій роботі зв’язкового процесора.

Наукова новизна одержаних результатів та їх відмінність від раніше відомих, полягає у наступному:

1. Для побудови математичних моделей оптимізації динамічних (перехідних) процесів у системах технічного призначення вперше використовується новий неперервно-дискретних підхід до керування цими процесами за допомогою зворотного зв’язку. Такий підхід, умовно названий неперервно-дискретною оптимізацією, завдяки збереженню як неперервних так і дискретних компонентів оптимізації, добре пристосований до застосування варіаційних принципів оптимізації, у тому числі на основі функції Лагранжа, методів градієнта, принципів оптимальності, максимуму та інших ефективних результатів побудови та моделювання оптимальних процесів. Відповідні методи і обчислювальні алгоритми неперервно-дискретної оптимізації добре пристосовані до реалізації на засобах ЕОМ (комп’ютерних засобах) і використовуються при моделюванні перехідних процесів у комутаційних мережах, при передачі даних по каналу зв’язку, в акустоелектронних перетворювачах та інших пристроях і системах технічного призначенні.

2. Математичні моделі неперервно-дискретної оптимізації динамічних (перехідних) процесів загального і прикладного характеру реалізуються на засобах ЕОМ єдиноманітно у вигляді системи з регулятором (комп’ютером), якій оптимізує і включений у контур негативного зворотного зв’язку. Функції регулятора визначені характером багатокрокових перехідних процесів і обчислювальним алгоритмом конкретної модифікації методу неперервно-дискретної оптимізації. Ці нові результати використані як прикладні при побудові математичних моделей оптимізації ресурсів комутаційної мережі, а також перехідних процесів при передачі даних по каналу зв’язку.

3. Розроблений новий метод неперервно-дискретної оптимізації нелінійних процесів високого порядку і синтезу відповідних нелінійних систем по математичним моделям низького порядку. В цьому методі використовується малий параметр, при нульовому значенні якого можна судити про оптимальні властивості математичної моделі високого порядку за властивостями математичної моделі оптимізації низького порядку, тобто оцінюються гранична оптимальна поведінка нелінійної системи високого порядку і відповідно синтезується її структура в граничному випадку.

4. Математичні моделі, методи і обчислювальні алгоритми неперервно-дискретної оптимізації розроблені на єдиній математичній основі варіаційних принципів оптимізації для широкого класу лінійних і нелінійних, детермінованих й імовірнісних (у тому числі з адаптацією) перехідних процесів з неперервним або дискретним часом. Цей науковий результат також є новим і відкриває можливості застосування неперервно-дискретної оптимізації в прикладних технічних областях (комутаційні мережі, передача даних по каналу зв’язку, акустоелектронноі перетворювачі та ін.).

5. Групою теорем дане суворе обгрунтування побудови математичних моделей, обчислювальних алгоритмів і методів неперервно-дискретної оптимізації, включаючи докази існування й одиничності розв'язання задачі оптимізації, збіжності розв'язання по керуванню і функціоналу якості, умов оптимальності та ін. Цей результат формує нові теоретичні основи для розробки математичних моделей, методів і обчислювальних алгоритмів оптимізації широкого класу перехідних процесів у системах технічного призначення.

6. Нові прикладні результати отримані на основі поєднання математичних моделей і методів неперервно-дискретної оптимізації з функцією Лагранжа, що вміщає в себе всю постановку задачі оптимізації комутаційної мережі як замкнутої через зворотний зв'язок системи. Побудовані математичні моделі перехідних процесів оптимального обслуговування заявок у повнозв’язній і неповнозв’язній комутаційній мережі вузлової топології при централізованому і децентралізованому керуванні.

7. Нові прикладні результати отримані також шляхом поширення неперервно-дискретної оптимізації на динамічні процеси з дискретним часом. Це дозволило побудувати математичні моделі і обчислювальні алгоритми оптимізації перехідних процесів при передачі даних по каналу зв’язку, які змінюються за законом перетворення згортки. Відповідна адаптивна модель оптимізації перехідних процесів пристосована до роботи в реальному часі.

Практичне значення і реалізація одержаних результатів. Практичне значення і реалізація одержаних результатів полягає в наступному:

1. Математичні моделі, методи й обчислювальні алгоритми оптимізації розроблені для широкого класу динамічних процесів, в тому числі для процесів у системах технічного призначення. Вони враховують керування динамічним процесом за допомогою зворотного зв'язку, який дуже часто міститься в контурі керування технічних систем. Наявність зворотного зв'язку обумовлює багатокроковий характер неперервно-дискретної процедури математичного моделювання оптимальних динамічних процесів. Практична цінність роботи зростає у зв'язку з пристосованістю розроблених математичних моделей, методів і обчислювальних алгоритмів оптимізації до роботи в реальному часі з випадковими сигналами (у тому числі в умовах непевності).

2. Неперервно-дискретний характер оптимізації розширює можливості практичного використання розроблених математичних моделей, методів і обчислювальних алгоритмів, розповсюджуючи їх на такі системи технічного призначення, як комутаційні мережі, системи передачі даних, акустоелектронні перетворювачі й інші технічні пристрої. Це виявилося можливим завдяки одноманітності неперервно-дискретного підходу до керування перехідними процесами різного характеру: неперервного, кінцево-різницевого, з дискретним часом, детермінованого, імовірнісного, лінійного, нелінійного та ін. В усіх цих випадках неперервно-дискретна оптимізація характеризується долевим внеском неперервних і дискретних компонентів.

Особливо слід зазначити на перспективність практичного використання неперервно-дискретного підходу до керування за принципом зворотного зв'язку процесами регулювання економічного, соціального і правового характеру, а також виробітки рекомендацій для прийняття рішень при дослідженні операцій в інших сферах діяльності людини (військовій, політичній тощо).

3. Простим і ефективним для інженерної практики представляється новий метод оптимізації нелінійних процесів і синтезу нелінійних систем високого порядку по їхніх математичних моделях низького порядку. При цьому для математичної моделі низького порядку легко будується її структура й обчислювальний алгоритм оптимізації. Цінність інженерного застосування оптимальної моделі низького порядку не викликає сумнівів і підтверджується широким застосуванням добре відомих методів Мерріема і Корбіна при проектуванні систем, що пристосовуються до змін вхідного сигналу і власних динамічних характеристик (коефіцієнта підсилення) системи.

4. Методами неперервно-дискретної оптимізації синтезована структура й алгоритм функціонування адаптивної моделі оптимізації перехідних процесів, що змінюються за законом перетворення згортки і виникають при передачі даних по каналу зв'язку. Результати інженерного проектування відповідної цієї моделі регулятора були отримані в НДІ “Акорд” (м. Черкаси) у рамках виконання дослідно-конструкторської роботи “Заря-УПС” при особистій участі автора дисертації.

5. Практичну цінність мають системні дослідження перехідних процесів у повнозв’язних і неповнозв’язних комутаційних мережах вузлової топології, проведені з метою побудови математичної моделі найскорішого звільнення ресурсів комутаційної мережі. Принципи побудови математичної моделі оптимізації мережних перехідних процесів за критерієм мінімальної сумарної затримки у вузлах комутації були використані при виконанні дослідно-конструкторської роботи з проектування мережі комутації пакетів, проведеної в НДІ “Акорд” (м. Черкаси) в інтересах Міноборони і Служби безпеки України, а також при побудові пов'язаних між собою ЛОМ у складі ДКР “Редут”.

6. Цінність розроблених математичних моделей, методів і обчислювальних алгоритмів виражається в їхньому використанні при створенні автоматизованої системи оптимізації параметрів і контролю характеристик фільтрів на поверхневих акустичних хвилях у процесі виконання ДКР “Затухание-Ч” і “Зона” на Черкаському підприємстві “Укрп’єзо”. Крім того, результати дисертаційної роботи у вигляді лекційних курсів і методичних вказівок до виконання лабораторних робіт використані в навчальному процесі у Черкаському інженерно-технологічному інституті для студентів спеціальностей 7.091.501 — комп'ютерні системи і мережі й 7.080.401 —інформаційні керуючі системи і технології і Інституті соціального управління, економіки і права (м. Черкаси) для студентів спеціальності 7.091503 — спеціалізовані комп'ютерні системи.

7. Основні результати дисертаційної роботи були використані (див. дисертація, додаток Ж, С. 367):

·

- при розробці і впровадженні у виробництво оптимальної системи прийому сигналів передачі даних і оптимального регулятора сигналу ПД у складі ДКР “Заря-УПС”;

- при розробці маршрутизаторів мережі з комутацією пакетів у рамках ДКР, що виконані в інтересах МОУ (Міноборони), СБУ (Служби безпеки) і Гідрометеорології;

- при розробці концепції побудови Базової мережі обміну даними (БМОД) і пропозицій у Державну програму по створенню БМОД ЗСУ (Збройні Сили України) ;

- при розробці пропозицій по розвитку й удосконалюванню системи зв'язку ЗСУ і виконанні ДКР “ТРАЛ-У”;

- при розробці пов'язаних між собою ЛОМ у складі ДКР “Редут”;

-

реалізації ДКР “Січ_”, “Тракт” в інтересах НКАУ (Національне космічне агентство України),

·

·

·

·

·

Особистий вклад здобувача полягає в розробці математичних моделей оптимізації динамічних (перехідних) процесів загального і прикладного (в комутаційних мережах, при передачі даних, в акустоелектронних перетворювачах та інших) характеру при неперервно-дискретному підході до їх керування на основі зворотного зв’язку і варіаційних принципів оптимізації [1-7, 11, 16, 18, 26, 27]. Цей вклад полягає також в розробці для широкого класу задач управління методів і обчислювальних алгоритмів неперервно-дискретної оптимізації [1, 2, 8, 9, 19-25], їхнього теоретичного обґрунтування [1, 2, 10, 14-17] і практичного використання при проведені НДДКР [2, 4, 5, 12-14] і впровадженні отриманих результатів у виробництво (див. дисертація, додаток Ж).

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались, обговорювались і були схвалені на:

- Республіканському семінарі “Керуючі машини і системи” (Київ, 1968);

- Республіканському семінарі “Керуючі машини і системи” (Київ, 1969);

- Секції “Кібернетична техніка” Наукової ради АН УРСР по проблемі “Кібернетика” (Київ, 1970);

- Республіканському семінарі “Методи математичного моделювання і теорія електричних кіл” Наукової ради АН УРСР по проблемі “Кібернетика” (Київ, 1970);

- II Республіканському семінарі “Гібридні обчислювальні машини і комплекси” (Київ, 1971);

- Українській республіканській науково-технічній конференції “Основні напрямки в розвитку радіоелектроніки, обчислювальної техніки і зв'язку” (Київ, 1973);

-

- Науково-технічному семінарі “Принципи побудови й обслуговування систем передачі даних” (Черкаси, 1973);

- XVI обласній науково-технічній конференції, присвяченій Дню радіо і зв'язку (Новосибірськ, 1973);

- XXVIII обласній науково-технічній конференції, присвяченій Дню радіо (Одеса, 1973);

- III науково-технічній конференції “Розробка і застосування методів і засобів обчислювальної техніки для автоматизованої обробки інформації” (Мінськ, 1974);

- Українській республіканській науково-технічній конференції “Питання технічної якості телевізійного віщання в УРСР” (Одеса, 1974),

- Науковому семінарі “Спеціалізовані електронні моделюючі машини і пристрої” Наукової ради АН УРСР по проблемі “Теоретична електротехніка й електроніка” (Київ, 1975);

- V Республіканському семінарі “Гібридні обчислювальні машини і комплекси” (Одеса, 1976);

- Міжгалузевій науково-технічній конференції “Системи і засоби передачі даних” (Черкаси, 1989);

- Науково-технічній конференції “Системи і технічні засоби передачі даних” (м. Черкаси, 1991);

- 4-ій Українській конференції з автоматичного управління (за участю міжнародних спеціалістів) “Автоматика-97” (Черкаси, 1997).

Публікації. По темі дисертації опубліковані 50 наукових праць, у тому числі 2 монографії, виданих “Науковою думкою”, м. Київ.

Структура й обсяг роботи. Дисертація з повним обсягом 372 машинописних сторінок містить вступ (20с.), 7 розділів основної частини (273с.), яка складається з тексту (254с.) і 33 рисунків (19 с.), висновки (7с.), список використаних джерел із 179 найменувань (18 с.) і 6 додатків А-Ж (48 с.).

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтована актуальність напрямку досліджень, відображений зв’язок дисертаційної роботи з науковими програмами, планами, темами, сформульована мета і задачі досліджень, показана наукова новизна отриманих результатів та практична цінність роботи, наведені відомості про апробацію, публікації та використання результатів дослідження.

У розділі 1 аналізується варіаційне числення з метою виявлення можливих шляхів його реконструювання в інші варіаційні методи оптимізації.

Крім того, у цій главі формулюється постановка загальних і прикладних задач оптимізації динамічних процесів при неперервно-дискретному підході до їхнього керування зі зворотним зв'язком. Приведено відповідні математичні моделі і їхнє представлення у вигляді замкнутих через зворотний зв'язок систем (рис. 1-3). Загальна задача оптимізації (рис. ) поширена на перехідні процеси в комутаційних

мережах, математична модель яких може бути представлена у вигляді замкнутої системи з регулятором у колі негативного зворотного зв'язку (мережна задача оптимізації, рис. ), а також — на перехідні процеси зі зворотним зв’язком, обмежені перетворенням згортки (канальна задача оптимізації, рис. ). 

Системне представлення математичних моделей оптимізації динамічних (перехідних) процесів у загальній (рис. ) і прикладних (мережній, рис. 2 і канальній, рис. 3) задачах оптимізації дозволяє будувати і аналізувати їх на єдиній математичній основі з урахуванням характеру цих процесів і класу задач керування, які необхідно розв’язати.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

У розділі 2 викладаються і класифікуються методи оптимізації нелінійних динамічних процесів при неперервно-дискретному підході до їхнього керування зі зворотним зв'язком. Відповідно для цих процесів управління побудовані математичні моделі неперервно-дискретної оптимізації за принципом оптимальності і принципом максимуму. Наприклад, метод неперервно-дискретної оптимізації нелінійних динамічних процесів за принципом оптимальності в класі східчастих керуючих функцій і відповідна математична модель подані співвідношеннями

, , (1)

де

, (2)

. (3)

Неперервно-дискретну оптимізацію за принципом оптимальності легко поширити на кінцево-різницеві динамічні процеси або процеси з дискретним часом. В останньому випадку, наприклад, функціональне рівняння (1) з урахуванням (2) може бути подане в термінах гратчастих функцій такою математичною моделлю:

, (4)

, . (5)

При цьому перехід (перескок) від -ї до (+1)-ї точки відбувається за законом динаміки).

Метод неперервно-дискретного принципу максимуму для різних класів задач оптимізації визначає відповідні обчислювальні алгоритми багатокрокового розв'язання рівнянь Понтрягіна, що істотно розширює обчислювальні можливості й область застосування принципу максимуму.

Далі показана придатність неперервно-дискретної оптимізації до розв'язання різноманітних класів нелінійних задач керування, що підтверджує продуктивність неперервно-дискретного підходу до керованих процесів і обумовлює розширення спектра обчислювальних можливостей моделей неперервно-дискретної оптимізації.

У розділі  розроблені математичні моделі, методи й обчислювальні алгоритми неперервно-дискретної оптимізації лінійних динамічних процесів залежно від збруючого характеру впливу, граничних умов на кінцях фазової траєкторії і фіксованості або нефіксованості інтервалу керування. Ці моделі, методи й
обчислювальні алгоритми оптимізації характеризуються тим, що при їхній реалізації виключається невідома інформація про першу і вищі похідні від керуючого впливу й обчислювальні алгоритми спрощуються.

У розділі  багатокрокова неперервно-дискретна оптимізація поширена на імовірнісні динамічні процеси зі зворотним зв'язком, включаючи процеси регулювання з адаптацією. Викладено обернений і прямий обчислювальні алгоритми для моделей неперервно-дискретної оптимізації, які побудовані відповідно на прямому і взаємному принципі оптимальності, а також дана модифікація обчислювальних алгоритмів для випадку оптимізації з адаптації. Обчислювальні алгоритми неперервно-дискретної оптимізації імовірнісних динамічних процесів зі зворотним зв'язком можуть бути описані, зокрема, функціональним рівнянням на основі прямого принципу оптимальності. Ця математична модель має вигляд:

, (13)

де — математичне сподівання по r скалярної функції , обчислене по щільності умовної ймовірності з постійними на інтервалі керування параметрами, які обумовлені виміряними значеннями випадкової функції r на інтервалі статистичної обробки від до аналізованого в даний момент фіксованого значення .

У розділі  розроблена теорія неперервно-дискретної оптимізації з метою математичного обгрунтування відповідних математичних моделей, методів і багатокрокових обчислювальних алгоритмів неперервно-дискретної оптимізації для імовірнісних і детермінованих процесів керування шляхом доказу теорем, які стосуються існування й одиничності розв'язання розглядаємих задач оптимізації, , а також необхідних і достатніх умов оптимальності, збіжності розв'язань до граничних оптимальних розв’язань тощо.

В даному розділі продуктивно використана єдиноманітність підходів до розв'язання в неперервно-дискретних термінах імовірнісних і детермінованих задач оптимізації динамічних процесів різноманітного походження (неперервного, кінцево-різницевого, дискретного).

У розділі  показане застосування розроблених математичних моделей, методів і обчислювальних алгоритмів оптимізації перехідних процесів у комутаційних мережах зв'язку і при передачі даних по каналу зв’язку з урахуванням можливості адаптації.

З метою реалізації оптимального керування ресурсами комутаційної мережі математична модель оптимізації її перехідних процесів побудована на основі функції Лагранжа, що вміщає в себе всю задачу оптимізації, тобто динаміку прийому й обслуговування заявок, критерій якості і всі обмеження по керуванню і стану. При цьому ефективність використання ресурсів комутаційної мережі характеризується критерієм сумарного часу затримки інформації в мережі, а сама мережа подана математичною моделлю у вигляді замкнутої системи з регулятором у колі негативного зворотного зв'язку (рис. 5 для трикутної вузлової топології комутаційної мережі і децентралізованого керування). Функція Лагранжа F, критерій якості I (інтеграл від функції Лагранжа), який мінімізується, і умови оптимальності визначають наступну математичну модель оптимізації перехідних процесів у комутаційній мережі вузлової топології:

, (14)

, (15)

де

, (20)

— потік заявок у i-му вузлі, який адресований j-му вузлу; — інтенсивність потоку обслуговування заявок у напрямку лінії зв'язку , адресованих j-му вузлу; , , — множники Лагранжа; — коефіцієнт пріоритетності; — інтенсивність потоку заявок, переданих від зовнішніх абонентів i-му вузлу й адресованих j-му вузлу; — інтенсивність потоку обслуговування заявок, переданих по лінії зв'язку і адресованих j-му вузлу; — результуюча інтенсивність потоку заявок у i-му вузлі, адресованих

Рис. 5

j-му вузлу; —пропускна спроможність лінії зв'язку ; — припустима множина значень ; — кінцеве число вузлів комутаційної мережі.

На рис. для n-вузлової комутаційної мережі зі списковою організацією пам'яті (упорядкування вихідної інформації зі списку n-1 вузлів-одержувачів) приведена схема реалізації у вихідних напрямках i-го вузла комутації обмеження (20) по пропускній спроможності , ; .

Далі на основі поциклової роботи зв'язкового процесора обгрунтовується багатокроковий характер перехідних процесів руху (прийому й обслуговування) заявок у мережах вузлової топології з довільним числом вузлів комутації. На рис. а зображений багатокроковий характер поциклової роботи зв’язкового процесора під час руху заявок, які розглядаються у вузлі комутації за законом динаміки (17), що входить до математичної моделі оптимізації (14)-(20). У даному випадку неперервно-дискретна оптимізація перехідного процесу обумовлена потактовою роботою зв’язкового процесора, який приймає і обслуговує заявки у вузлі комутації за законом стрибкоподібної функції (рис. б). У результаті об’єднання декількох тактів у цикл (крок) фіксованої тривалості формується в процесі N-циклового (N-крокового) регулювання керування у вигляді східчастої функції (рис. а), яке в силу закону динаміки (17) породжує перехідний процес у вигляді неперервної кусково-лінійної (ломаної) функції (рис. б). Остання відповідає поцикловій лінійній апроксимації стрибкоподібного перехідного процесу потактового прийому і обслуговування заявок зв’язковим процесором. (рис. , крива ). Відповідний критерій сумарної затримки інформації у всіх вузлах комутаційної мережі, який мінімізується і входить у (15) з урахуванням (14), представляється графіком неперервної ломаної лінії, що складається з прямолінійних і параболічних кусків (відрізків) ліній (рис. , крива ).

Але якщо неперервний кусково-лінійний або, що теж саме, стрибкоподібний перехідний процес апроксимувати поцикловою східчастою функцією у вигляді мажоранти (рис. , крива ) або міноранти (рис. , крива 3) відносно кусково-лінійної (стрибкоподібної) функції, то графік критерію сумарної затримки інформації представляється складеним із прямолінійних кусків відповідних неперервних ломаних ліній (рис. криві , ).

За аналогією на рис. (крива ) побудований графік критерію сумарної затримки інформації для випадку апроксимації неперервного кусково-лінійного (стрибкоподібного) перехідного процесу східчастою функцією, яка проходить через точки розподілу на дві рівні частини прямолінійних відрізків кусково-лінійної функції.

Аналіз показує, що найкращим у процедурі мінімізації критерію якості є криві 1, 4 (рис. 9).

Результати оптимізації перехідних процесів, що протікають у повнозв’язній комутаційній мережі і поданих відповідною математичною моделлю, використовуються для оптимального керування перехідними процесами в неповнозв’язній мережі з мінімальними затримками у вузлах комутації і списковою організації пам'яті. Ці перехідні процеси також представлені відповідною математичною моделлю.

Даний розділ завершується розглядом неперервно-дискретної оптимізації з адаптацією при керуванні перехідними процесами, які обмежені перетворенням згортки.

У розділі  результати неперервно-дискретної оптимізації, поширені на перехідні процеси з дискретним часом і динамікою за законом перетворення згортки. Тут знову використовується попередня теоретична база і для процесів з дискретним часом і обмеженою за законом згортки динамікою за аналогією з теоремами розділу 5 доведена група теорем про необхідні і достатні умови оптимальності для варіації функції Гамільтона і для гамільтоніана (умови максимуму). Показане також застосування основних утверджень доведених теорем до побудови (синтезу структури й алгоритму функціонування) адаптивної моделі оптимізації перехідних процесів із дискретним часом при обмеженні їхньої динаміки перетворенням згортки, тобто перехідних процесів, які виникають при передачі даних по каналу зв'язку. Ця модель функціонує на основі принципу максимуму і її обчислювальний алгоритм визначає оптимальне змінювання імпульсної функції в багатокроковому процесі переходу від -ї до -ї ітерації, яка містить B+1 циклів, по формулі наближення

, . (21)

Тут варіація обчислюються в вигляді співвідношень виду:

(22)

а j-та компонента функції Гамільтона визначається наступним добутком відповідних j-х компонент

, , (23)

для прямої і спряженої змінних. Крім того, у (22) враховується обмеження імпульсної функції припустимою областю у вигляді

, , . (24)

Співвідношення (21)-(24) визначають математичну модель оптимізації, яка може бути представлена у вигляді замкнутої через зворотний зв'язок системи (рис. 10). Відповідний обчислювальний алгоритм адаптивного регулювання перехідних процесів з дискретним часом, може бути реалізований на стандартних засобах комп’ютерної техніки у вигляді системи з такою блок-

На цій блок-схемі: АЦП і ЦАП — блоки аналого-цифрового і цифро-аналогового перетворювачів; ПВС — блок пам'яті відліків перекрученого сигналу; ПІФ — блок пам'яті значень імпульсної функції; МП — множний пристрій; НС — блок накопичуючого суматора; РП — розв’язуючого пристрій; ПОІФ — блок перевірки обмеженості імпульсної функції; ПВІФ — блок пам'яті варіацій імпульсної функції; РСЗ, РМП, РРП — регістри пам'яті відповідно сполученої змінної, сигналу на виході множного устрою і сигналу на вході розв’язуючого пристрою; РНСвих, РНСвх — регістри пам'яті для сигналу на виході і вході накопичуючого суматора; РЗВ — регістр пам'яті затриманих відліків спотвореного сигналу.

В додатках А-Е наведені докази, основних утверджень які сформульовані в дисертації у вигляді теорем для обгрунтування математичних моделей, методів та обчислювальних алгоритмів неперервно-дискретної оптимізації процесів керування зі зворотнім зв’язком, а у додатку Ж – акти про впровадження результатів роботи.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ І ВИСНОВКИ

Підводячи загальний підсумок, можна зробити ряд висновків за результатами розробки математичних моделей, методів і обчислювальних алгоритмів оптимізації динамічних процесів при неперервно-дискретному підході до їх керування зі зворотним зв'язком.

1. Проведений порівняльний аналіз варіаційних методів оптимізації, який визначає обмеження й умови перетворення рівняння Эйлера-Лагранжа через його канонічну (гамільтонову) форму в рівняння принципу максимуму, Гамільтона-Якобі, принципу оптимальності, методу градієнту, ігрових принципів і умов Куна-Таккера. Цей аналіз відкриває можливі шляхи конструювання варіаційних методів і математичних моделей оптимізації при неперервно-дискретному підході до керованих на основі зворотного зв'язку процесів.

2. Вироблена постановка загальної задачі оптимізації в детермінованих й імовірнісних термінах, яка поширена на перехідні процеси при передачі даних, що описуються перетворенням згортки, і — на перехідні процеси в комутаційних мережах. Постановка загальної і прикладних задач оптимізації склали основу для

розроблення математичних моделей, обчислювальних алгоритмів і методів неперервно-дискретної оптимізації перехідних процесів загального і прикладного характеру, включаючи процеси регулювання з адаптацією.

3. Для нелінійних динамічних процесів з детермінованими функціями, у тому числі для динамічних процесів високого порядку, розроблені методи багатокрокової оптимізації і синтезу структур відповідних моделей оптимізацій на основі принципу оптимальності і принципу максимуму при неперервно-дискретному підході до керування процесом. Методи і моделі оптимізації пристосовані до різноманітних динамічних процесів (неперервних, кінцево-різницевих і процесів з дискретним часом) і з урахуванням їхнього багатокрокового характеру є універсальними як у згаданому значенні, так і у значенні їхньої підготовленості до застосування не тільки принципів оптимальності і максимуму, але й інших варіаційних принципів оптимізації (ігрових, градієнтних, дослідження операцій тощо).

Неперервно-дискретний підхід до керування динамічними процесами дозволив класифікувати методи оптимізації на загальній математичній основі по ознаці збіжності наближених керувань, що оптимізують, до відповідних граничних керувань у вигляді східчастих функцій.

4. Для лінійних динамічних процесів розроблені математичні моделі, обчислювальні алгоритми і методи неперервно-дискретної оптимізації залежно від характеру впливу, що збурює, граничних умов на кінцях фазової траєкторії і фіксованості або нефіксованості інтервалу керування.

Для розв'язання задачі оптимізації динамічних процесів при відсутності у впливі, що збурує, вищих похідних від керування, закріплених кінцях траєкторії і фіксованому або нефіксованому інтервалі керування в обчислювальний алгоритм неперервно-дискретної оптимізації за принципом оптимальності або максимуму, пристосований до застосування математичного моделювання, впроваджені методи зниження порядку похідної, безпосереднього інтегрування, допоміжної змінної і розкладання на рівняння першого порядку. При цьому виключається невідома інформація про похідні від керуючого впливу й алгоритм спрощується. Це ж стосується неперервно-дискретної оптимізації за принципом оптимальності або максимуму для динамічних процесів з вищими похідними у функції, що збурює.

5. Поряд з оптимізацією в неперервно-дискретних термінах детермінованих лінійних і нелінійних динамічних процесів розроблені математичні моделі, обчислювальні алгоритми і методи неперервно-дискретної оптимізації імовірнісних динамічних процесів. При цьому характерно, що в усіх випадках параметри щільності умовної ймовірності випадкового впливу обчислюються на інтервалі, що передує розглядаємому моменту реального часу (інтервал статистичної обробки сигналів), у той час як алгоритм неперервно-дискретної оптимізації реалізується на інтервалі між розглядаємим миттєвим і фіксованим термінальним часом (інтервал керування або прогнозування). Цей результат багатокрокової неперервно-дискретної оптимізації покладений в основу всіх її обчислювальних алгоритмів, побудованих по прямому і взаємному принципу оптимальності, максимуму, градієнту тощо для просто імовірнісних і адаптивних динамічних процесів.

6. З метою обгрунтування обчислювальних алгоритмів і методів неперервно-дискретної оптимізації детермінованих й імовірнісних процесів регулювання розроблена у вигляді доведених теорем теорія, що стосується необхідних і достатніх умов оптимальності, існування розв'язання задачі оптимізації і збіжності цього розв'язання по керуванню і функціоналу якості до відповідних граничних розв'язань та ін. Практичне значення розробленої теорії полягає в тому, що вона має не тільки загальний, але і прикладний характер і обгрунтовує побудову математичних моделей, обчислювальних алгоритмів і методів оптимізації для перехідних процесів у системах технічного призначення (комутаційні мережі, системи передачі даних та ін.).

7. Розроблені теорія, обчислювальні алгоритми і методи оптимізації застосовані для побудови математичної моделі оптимізації перехідних процесів прийому й обслуговування заявок у комутаційній мережі вузлової топології.

З цією метою для мінімізації сумарного часу прийому й обслуговування заявок в усіх вузлах комутації мережі рекомендується:

- застосування функції Лагранжа, тому що вона вміщує в себе і динаміку мережних перехідних процесів, і критерій якості, і обмеження по стану і керуванню, тобто компактно уміщає всю мережну задачу оптимізації. Крім того, застосування функції Лагранжа дозволяє вибрати для цілей оптимізації комутаційної мережі найбільше придатний для даного випадку метод із великої кількості пов'язаних з нею варіаційних методів оптимізації (принцип максимуму, принцип оптимальності, градієнтні, ігрові і двоїсті методи тощо);

- побудова математичної моделі оптимізації перехідних процесів у комутаційній мережі вузлової топології на основі представлення останньої у вигляді замкнутої системи, яка містить у контурі негативного зворотного зв'язку керуючий комп'ютерний пристрій (регулятор);

- керування перехідними процесами комутаційної мережі, які моделюються, здійснюється шляхом зміни результуючої швидкості