Міністерство освіти і науки України

Донецький державний технічний університет

Звєрєва Світлана Олександрівна

УДК 515.2

Узгоджені конструктивні, аналітичні

та комп'ютерні моделі поверхонь

Спеціальність 05.01.01-

Прикладна геометрія, інженерна графіка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Донецьк-2000

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Донецькому державному технічному університеті Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник - доктор технічних наук, професор

Скидан Іван Андрійович,

завідувач кафедри

"Нарисна геометрія та інженерна

графіка",

Донецький державний технічний університет

Офіційні опоненти: - доктор технічних наук, професор

Підгорний Олексій Леонтієвич,

завідувач кафедри

"Архітектурні конструкції",

Київський національний університет будівництва

та архітектури;

-кандидат технічних наук, доцент

Горягін Борис Федорович,

доцент кафедри

"Нарисна геометрія та інженерна

графіка",

Донбаська державна академія будівництва

та архітектури;

Провідна установа:- Київський національний технічний університет

"Київський політехнічний інститут", кафедра "Нарисна

геометрія, інженерна та комп'ютерна графіка",

Міністерство освіти і науки України.

Захист відбудеться "21" грудня 2000 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 11.052.04 в Донецькому державному технічному університеті за адресою:

83000, Донецьк-00, вул. Артема 58, корпус 6, ауд. 6.202

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Донецького державного технічного університету за адресою:

83000, Донецьк-00, вул. Артема 58, корпус 2

Автореферат розісланий "20" листопада 2000 р.

Вчений секретар спеціалізованої

вченої ради, К 11.052.04

кандидат технічних наук, доцент Івченко Т.Г.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Сучасний рівень проведення наукових досліджень і проектування не можна уявити без застосування комп'ютера. Щоб перейти до комп'ютерних технологій у названих галузях, треба розв'язати двоєдину задачу: перекласти на програми базу знань докомп'ютерного періоду та орієнтувати на використання комп'ютера подальші розробки.

Основне покликання прикладної геометрії поверхонь- конструювання виробів складної форми. До ключових слів її змісту докомп'ютерного періоду ( форма, креслення) на сучасному етапі слід приєднати "математичну модель" та "комп'ютерну графіку". Оскільки математична модель поверхні відіграє роль посередника між конструктивною та комп'ютерною моделями, її призначення- забезпечити спряженість останніх на основі усунення розбіжностей, обумовленних засобами первинного представлення поверхні. Первинно конструктивну модель поверхні представляють визначником у вигляді скінченної кількості геометричних фігур, які за наперед фіксованим алгоритмом дозволяють графічно будувати певний лінійний каркас. Щодо комп'ютерної моделі, її первинно представляють рівняннями з явною внутрішньою параметризацією, яка визначає координатну сітку на поверхні, що відображається засобами комп'ютерної графіки у вигляді однієї чи декількох проекцій.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана у рамках концепції Національної програми України з інформатики, в якій наголошено: "Науково-дослідні заклади повинні створити і впровадити інформаційні технології побудови розподілених баз знань і експертних систем, націлених на автоматичне формування розв'язків задач у різних предметних областях". Робота виконувалась згідно з планом наукових робіт Донецького державного технічного університету, що ведуться на кафедрі нарисної геометрії та інженерної графіки.

Мета і задачі дослідження. Мета- подальший розвиток комп'ютеризації процесів науковах досліджень та проектування виробів складної форми шляхом розробки нових аналітичних моделей їхніх поверхонь, узгоджених з одного боку з конструктивними моделями, а з іншого- зі штатним програмним забезпеченням візуалізації поверхонь засобами комп'ютерної графіки.

Для досягнення головної мети досліджень у дисертації поставлені такі

основні задачі:

-виявити та сформулювати основні вимоги до аналітичної моделі поверхні за умов її узгодження з конструктивною та комп'ютерною моделями;

-запропонувати математичний апарат аналітичного та комп'ютерного моделювання поверхонь складної форми за відомими конструктивними моделями;

-розробити нові конструктивні та узгоджені з ними аналітичні та комп'ютерні моделі лінійчатих, циклічних, циклоїдальних, спіральних, гвинтових та квазігвинтових поверхонь на основі вилучення їхніх лінійних каркасів з конгруенції відповідних ліній;

-розробити рекомендації щодо впровадження результатів дослідження у практику та у навчальний процес.

Наукова новизна одержаних результатів:

-вперше визначені критерії узгодженості конструктивної, аналітичної та комп'ютерної моделей поверхонь складної форми;

-за відомими конструктивними моделями лінійчатих поверхонь розроблено нові аналітичні та узгоджені з ними комп'ютерні моделі;

-дістало подальшого розвитку аналітичне та комп'ютерне моделювання поверхонь, до визначника конструктивного представлення яких надходить інша поверхня;

-розроблені та досліджені нові конструктивна та аналітична моделі циклід Дюпена четвертого порядку;

-вперше отримані та досліджені аналітичні та комп'ютерні моделі поверхонь з особливими лініями (ребрами звороту, лініями самоперетину).

Практичне значення одержаних результатів:

-розроблена методика формоутворення широких класів поверхонь, конструктивне, аналітичне та комп'ютерно-графічне представлення яких взаємоузгоджені;

-одержані аналітичні та комп'ютерні моделі поверхонь рекомендуються до використання:

-у автоматизованих системах наукових досліджень;

-у системах автоматизованного проектування;

-у автоматизованих системах підготовки керуючих програм обробки на верстатах з ЧПК;

-у теорії катастроф (йдеться про поверхні з особливостями);

-у навчальному процесі.

Особистий внесок здобувача. Постановку конкретних задач, висвітлених у публікаціях, контроль достовірності отриманих розв'язків виконано науковим керівником, співавтором публікацій.

Розв'язання задач, дослідження розв'язків, складання аналітичних моделей поверхонь, комп'ютерна візуалізація поверхонь, узагальнення отриманих результатів у вигляді наукових висновків і рекомендацій виконано особисто здобувачем.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації висвітлені у доповідях на 5 та 6 Міжнародних конференціях "Сучасні проблеми геометричного моделювання", Мелітополь, 1998, 1999 рр, на конференції "Новые компьютерные технологии в промышленности, энергетике, банковской сфере, образовании", Алушта, 1998 р, на Міжнародній конференції

"Сучасні проблеми геометричного моделювання", Донецьк, 2000 р, на наукових семінарах кафедри нарисної геометрії та інженерної графіки Дон ДТУ.

Публікації. Тему дисертації розкрито у 6 статтях, що розміщені у наукових фахових збірниках України, та додатково у двох матеріалах і тезах конференцій.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів, висновків, списка джерел посилань, додатків.

Обсяг дисертації -142 сторінок, в тому числі 43 рисунки, 10 таблиць , список використаних джерел з 174 найменувань на 14 сторінках, 3 додатків на 10 сторінках.

Зміст роботи

Вступ містить постановку задачі та характеристику роботи.

У першому розділі розглянуто наукові передпосилання, поставлено задачу та окреслено методику досліджень. Зародження прикладної геометрії поверхонь як галузі науки та її піднесення на чергові щаблі розвитку обумовлені постійно та неперервно зростаючими вимогами до об'єктів виробництва. Нові вимоги до об'єкта виробництва мусять відбиватись у проектуванні та визначати напрями наукових досліджень. З часом змінюються технології як виробництва, так і проектування, і навіть наукової праці.

У відповідності з етапами розвитку прикладної геометрії будемо розрізняти конструктивну, аналітичну та комп'ютерну моделі поверхні.

Існуюче стандартне програмне забезпечення візуалізації поверхонь орієнтовано на їх представлення рівняннями з визначеною внутрішньою параметризацією, тобто параметричними рівняннями. Внутрішні параметри рівнянь забезпечують найприроднішу візуалізацію поверхні складної форми у вигляді однієї чи декількох проекцій її координатної сітки. Крім того, представлення поверхні параметричними рівняннями відповідає ідеології функціонального програмування, прикладом застосування якого є базова мова штучного інтелекту Common LISP та його діалект Auto LISP.

Єдина дія функціонального програмування- виклик функції, єдиним способом розчленування програми на частини є введення імені функції та виразу, що зв'язує між собою її аргументи, єдиним правилом композиції- суперпозиція функції.

Щодо конструктивних моделей поверхонь, існують два підходи до їх розробки, які можна розрізняти за первинним представленням точковим каркасом ( Coons S.A., Bezier P., Алберг Дж., Нільсон Е., Зав'ялов Ю.С., Ковальов С.М., Бадаєв Ю.І., Найдиш В.М., Верещага В.М., Найдиш А.В., Надолінний В.О. та інш.) чи визначником (Рижов М.М., Котов І.І.), що включає скінченну кількість геометричних фігур, тип лінії каркасу та алгоритм її графічної побудови у будь-якому положенні (Котов І.І., Рижов М.М., ТевлінА.М., Підгорний О.Л., Обухова В.С. та ін.). Дослідження, наведені у дисертації, слід віднести до групи з другим підходом.

Нарешті, аналітична модель з одного боку мусить відштовхуватись від моделі конструктивної, щоб не втратити значну цінність докомп'ютерних наробок, з іншого-вона мусить узгоджуватись з вхідними даними комп'ютерної моделі , щоб відповідати вимогам часу до технологій проектування та ведення наукових досліджень.

Коло розробок, у яких усі три типа моделей узгоджені (маються на увазі ті з них, де формотворчим елементом виступає визначена лінія), обмежене (Бадаєв Ю.І., Надолінний В.О., Підкоритов А.М., Пилипака С.Ф., Скидан І.А., та їх учні).

Наша робота націлена на розв'язання проблем узгодженості усіх трьох типів моделей.

Щоб забезпечити дієвість згаданого функціонального програмування у розв'язанні задач дослідження, необхідно передбачити застосування суперпозиції функції не тільки "знизу", але і "зверху" відносно предмета дослідження. Цій вимозі відповідає конструктивна модель вилучення шуканої поверхні з множини (зокрема з конгруенції) ліній (Котов І.І., Рижов М.М., Тевлін А.М., Підгорний О.Л., Обухова В.С. та ін.).

За Darboux G. конгруенцію ліній представляють параметричними рівняннями

x=x(u,t,v), y=y(u,t,v), z=z(u,t,v) (1)

Поверхню конгруенції можна представити одним з внутрішніх рівнянь

t=t(u,v), (2)

або

u=u(t,v) (3)

де v-параметр положення точки на лінії конгруенції.

Трансверсальну поверхню конгруенції задають внутрішнім рівнянням

v = v(t,u) (4)

Лінію на поверхні (2), (3) або (4) задають функцією залежності двох внутрішніх параметрів поверхні, наприклад

t = t(v) (5)

Перехід до параметричних рівнянь поверхні у прямокутних декартових координатах здійснюється суперпозицією функцій (1) відносно функцій (2), (3) або (4), тобто підстановкою внутрішнього рівняння у рівняння конгруенції, наприклад,

x=x(u(t,v),t,v), y=y(u(t,v),t,v), z=z(u(t,v),t,v) (6)

Перехід до параметричних рівнянь лінії у прямокутних декартових координатах від її внутрішнього рівняння , наприклад ,(5), здійснюється суперпозицією функцій (6) відносно функцій (5)

x=x(u(t(v)),t(v),v), y=y(u(t(v)),t(v),v), z=z(u(t(v)),t(v),v) (7)

Крім зручності у складанні програм, концепція функціональногопрограмування має низку позитивних властивостей:

-вона вільна від неприємної, не завжди розв'язуваної процедури усунення параметрів при переходах на представлення геометричних образів меншої розмірності;

-вона дозволяє безпосередньо визначати вирази диференціально-геометричних характеристик поверхонь та ліній обчисленням похідних складних функцій на будь-якому рівні вкладення;

-вона дозволяє безпосередньо визначати інтегральні характеристики обчисленням кратних інтегралів з переходом до спеціальних координат.

В наступних розділах сформульована проблема находить свій розв'язок, а наведені загальні формули наповнюються змістом для конкретних конгруенцій, поверхонь, ліній.

У другому розділі розглядаються конгруенції прямих та їхні лінійчаті поверхні: від відомих конструктивних визначників конгруенцій та поверхонь, запропонованих та досліджених синтетичними методами, через нові аналітичні моделі у вигляді параметричних рівнянь до комп'ютерного зображення з використанням штатного програмного забезпечення на основі взаємного узгодження.

Параметричні рівняння конгруенції прямих ,визначником якої є її директриси, одна з яких співпадає з віссю OZ, а інша проходить через точки А та B

x =[ xA+ (xB-xA) u] v, y =[ yA+ (yB-yA) u] v, z = t +[zA+ (zB-zA) u-t] v (8)

На прикладі показано випадок, у якому поверхня з конгруенції (8) вилучається не завдяки заданню її внутрішнього рівняння, а найпростішим способом- зануренням у конгруенцію лінії.

У цьому випадку лінію представляють параметричними рівняннями у довільній параметризації. У розглянутому прикладі занурено еліпс

x0=(xC-xE)sinw+(xD-xE)cosw+xE,

y0=(yC-yE)sinw+(yD-yE)cosw+yE, (9)

z0=(zC-zE)sinw+(zD-zE)cosw+zE,

внутрішнє рівняння якого у цьому випадку отримують у параметричному представленні

u=-0.2(0.6sinw-cosw), t=2(sinw+1.4cosw), (10)

при А(0,10,0) та В(-10,10,10), С(0.6,5,0.4), D(-1,5,2.4), E(0,5,0).

Замість усунення параметра w з рівнянь (10), простіше підставити у рівняння конгруенції (8) вирази u і t з (10). У отриманих таким чином рівняннях поверхні (рис.1)

x=2(0.6sinw-cosw)(1-v), y=10(1-v),

z=2v(sinw+1.4cosw)-2(0.6sinw-cosw)(1-v) (11)

два параметра u і t конгруенції замінено одним w, посередництвом якого

Рис. 1

параметризовано занурюваний еліпс.

Параметричні рівняння конгруенції прямих, конструктивним визначником якої є вісь OZ та гвинтова лінія

x =v r cosu, y =v r sinu, z =t+(ku-t)v (12)

Внутрішньому рівнянню

t=ku+b (13)

відповідає відома поверхня косий гелікоїд (рис.2), який при b=0 перетворюється у прямий (мінімальний )(рис.3).

Рис.2 Рис.3

Параметричні рівняння конгруенції бісекант гвинтової лінії, що відіграє роль подвійної фокальної фігури

x=r[cost+(cosu-cost)v], y=r[sint+(sinu-sint)v], z=k[t+(u-t)v] (14)

Внутрішньому рівнянню

u=t+c 0<c<2p, (15)

відповідає лінійчата гвинтова поверхня (рис.4), у конструктивний визначник якої входить в якості напрямної поверхні однопорожнинний гіперболоїд. При c=p поверхня вироджується у косий гелікоїд, а її напрямна- у конус.

Рис.4

Параметричні рівняння конгруенції прямих, визначником якої є фокальні фігури- сфера та вісь OZ, що проходить через центр сфери

, (16)

Внутрішньому рівнянню

u= c+h cosnt (17)

відповідає хвиляста лінійчата поверхня, де n-кількість хвиль. На рис.5 її показано при n=3.

Якщо фокальну сферу замінити на фокальний тор, рівняння конгруенції будуть мати вигляд

, , (18)

Внутрішньому рівнянню (17) конгруенції (18) відповідає поверхня (рис.6) при n=4.

Рис. 5 Рис. 6

Третій розділ присвячено дослїдженню множин і зокрема конгруенцій кіл та їхнім циклічним поверхням. На прикладі найпростішої конгруенції кіл, визначником якої є дві фокальні точки, та її циклічних поверхонь показано переваги параметричної форми представлення в порівнянні з координатною. Невизначеність внутрішньої параметризації координатної форми дозволяє в якості сітки на поверхні, що належить візуалізації, використовувати лише дві з трьох сімей ліній рівня, які не завжди співпадають з характеристичним лінійним каркасом. До незручностей представлення координатною формою слід віднести також не завжди можливу розв'язуваність рівнянь та систем відносно однієї зі змінних, многозначність розв'язань, відсутність загальних алгоритмів розв'язувань.

Основна увага приділена дослідженню циклід Дюпена четвертого порядку. Їхні відомі властивості як єдиної поверхні, що несе на собі дві сім'ї кіл, що співпадають з лініями кривини, як огинаючої двох сімей сфер, дотичних до трьох заданних сфер, при тому центри сфер обох сімей належать конфокальним еліпсу та гіперболі, як поверхні Іоахімсталя, лінії кривини кожної сім'ї яких належать площинам жмутка 1-го порядку, як поверхні, оберненої циліндру, конусу або тору в інверсії, не дали основи для такого конструктивного визначника, який би забезпечував простоту графічних побудов поверхні та був би основою для аналітичної моделі, узгодженої з комп'ютерною.

Для забезпечення узгодженості необхідно вести пошук нових конструктивних моделей. Одна з таких моделей була знайдена у образі конфігурації шести кіл з колінійними центрами, кожне з яких дотикається чотирьох інших. Кола конфігурації, що не дотикаються одне іншого, складають пару.

З належності центрів сфер, що дотикаються трьох заданих, конфокальним еліпсу та гіперболі вибігає: цикліди Дюпена четвертого порядку мають дві взаємно перпендикулярні площини симетрії. Перерізи циклід площинами симетрії мають екстремальні значення радіусів. Звідси пропозиція: дві з трьох пар конфігурації можуть бути прийняті за конструктивний визначник циклід Дюпена четвертого порядку, якщо їх прийняти за перерізи площинами симетрії. Для суміщення з поверхнею цикліди кола однієї з пар конфігурації треба повернути навколо лінії центрів на прямий кут.

Доведено три леми, що встановлюють положення зовнішнього та внутрішнього центрів подібності та радикальної осі відносно центрів пари кіл.

Доведено теорему про проходження радикальної осі кожної з пар конфігурації через один з двох центрів подібності кожної з двох інших.

Нова аналітична модель циклід 4-го порядку базується на полярному рівнянні кола з ексцентричним радіусом-вектором, яке має вигляд (полярна вісь проходить через центр кола)

R=-ecosa, (19)

де R -радіус-вектор точки на колі,

e -координата центра кола відносно полюса (ексцентриситет),

a -кут нахилу радіуса-вектора до полярної осі,

r -радіус кола.

З врахуванням попередніх викладань параметричні рівняння циклід Дюпена четвертого порядку

де-R1, R2, a12-радіуси та міжцентрова відстань кіл, за якими площина еліпса перитинає цикліду, полярне рівняння кола радіуса R1 з ексцентриситетом - , полярне рівняння кола радіуса R2 з ексцентриситетом .

На рис. 7, 8, 9 показано проекції цикліди Дюпена четвертого порядку без конічних точок, з однією та з двома конічними точками, побудовані за рівнянням (20).

Рис. 7 Рис. 8

Рис. 9

Учетвертому розділі досліджено конгруенції трансцендентних кривих та їх поверхні.

У загальному вигляді конструктивним визначником конгруенції циклоїдальних кривих пропонується призначити будь-яку циклічну поверхню. Якщо зафіксувати значення модуля та вважати коло циклічного каркасу напрямним, то при довільному куті u початкового положення циклоїдальної кривої відносно вказаного кола циклічна поверхня визначатиме конгруенцію циклоїдальних кривих. Загальні параметричні рівняння циклоїдальних кривих на площині мають вигляд

x = R(1 +m) cos(u+mt) - h cos(u+t +mt),

y = R(1 +m) sin(u+mt) - h sin(u+t +mt), (21)

де R-радіус напрямного кола, m=r/R-модуль (r-радіус твірного кола), h-відстань точки, що описує криву, від центра твірного кола.

Якщо m>0, маємо епіциклоїди, якщо m<0-гіпоциклоїди, якщо h>r,маємо подовжені, якщо h<r- скорочені циклоїдальні криві, що носять назву епітрохоїд (при m>0) та гіпотрохоїд (при m<0). Якщо h=R+mR маємо трохоїдальні троянди.

Розглянемо конгруенцію циклоїдальних кривих, визначником якої є поверхня обертання другого порядку, рівняння якої має вигляд

(22)

Рівняння (22) виражає:

циліндр (k=0, n=1);

конус (k=-1, n=0);

сферу (k=1, n=1, а=с);

еліпсоїд (k=1, n=1, а№с);

однопорожнинний гіперболоїд (k=-1, n=1);

двопорожнинний гіперболоїд (k=-1, n=-1).

Позначимо z=v, x2+y2=R2. Визначимо R з (22)

R = a/c, (23)

З врахуванням (21) параметричні рівняння конгруенції циклоїдальних кривих, фокальною поверхнею якої є одна з поверхонь (22), які мають вигляд (1)

x =a/c (m+1) cos(u+mt) - hcos(u+t+mt),

y =a/c (m+1) sin(u+mt) - hsin(u+t+mt), (24)

z = v.

Внутрішньому рівнянню u=0 відповідають циклоїдальні поверхні. Два з числених прикладів циклоїдальних поверхонь, наведених в дисертації, представлено на рис.10, 11. Внутрішньому рівнянню v=us (s=const) відповідають квазігвинтові (гвинтові при k=0, n=1) поверхні, два з прикладів яких представлено на рис. 12, 13.

Лінією конгруенції та її фокальною поверхнею є:

-епітрохоїда та однопорожнинний гіперболоїд (рис.10);

-гіпоциклоїда та сфера (рис.11);

-епіциклоїда та двопорожнинний гіперболоїд (рис.12);

-крива Штейнера та конус (рис.13).

Рис.10 Рис.11

Рис.12 Рис.13

Конгруенція конічних гвинтових ліній

x =c(v)eut cos(b(v)+wt),

y =c(v)eut sin(b(v)+wt), (25)

z =d(v)eut .

t -кут повороту, w-кутова швидкість обертання, u -сталий, наперед невизначений коефіцієнт пропорційності куту повороту коефіцієнта подібності, c(v), b(v), d(v)- функції, з використанням яких задають лінію, що занурюється у конгруенцію для вилучення поверхні, що носить ім'я спіральної. Занурена лінія здійснює квазігвинтове переміщення і одночасно підлягає перетворенню подібності з коефіцієнтом, пропорційним куту повороту.

Внутрішньому рівнянню

, (26)

відповідає поверхня (рис.14), отримана зануренням в конгруенцію (25) кола

x= -x0+r0 cosv, y=0, z= -z0+r0 sinv, (27)

Рис.14

за умов дотику двох кіл каркасу із значеннями кутового параметра положення wt та wt+2p. З виразів (25) та (27) заключаємо

b(v)=0, c(v)=-x0+r0 cosv, d(v)=-z0+r0 sinv

Між x0 та r0 існує залежність

z0=x0 ctga (28)

З виразу коефіцієнта подібності та з врахуванням (28)

знайдемо спочатку r1

а потім коефіцієнт подібності k

(29)

З іншого боку коефіцієнт подібності

(30)

Отже, коефіцієнт пропорційності u (26) визначаємо з рівності правих частин (29) та (30).

На рис.15 показано спіральну поверхню, отриману зануренням в конгруенцию (25) троянди

r=a sinkv

В цьому випадку b(v)=v, c(v)=a sinkv, d(v)=m=const і параметричні рівняння поверхні набувають вигляду

x=a sinkv eutcos(v+wt), y=a sinkv eutsin(v+wt), z=meut (31)

Вважається, що u та w у рівняннях (31) мусять бути чисельно визначеними.

Рис.15

ВИСНОВКИ ТА РЕКОМЕНДАЦІЇ

Сучасний стан конструювання, проектування та виготовлення виробів і споруд без застосування комп'ютерних технологій важко собі уявити. Втім, не вся база знань щодо об'єктів та методів цієї галузі, накопичена на попередніх етапах розвитку, дістала на сьогодення комп'ютерної реалізації. Причина - неспряженість методологій формування аналітичної та конструктивної моделей з одного боку, і аналітичної та комп'ютерної моделей з іншого.

Дисертація направлена на вирішення нової наукової задачі поширення зони застосування комп'ютера на нові об'єкти та методи конструювання, проектування і виготовлення виробів та споруд складної форми, шляхом виявлення і формулювання чинників, що мають суттєвий вплив на узгодженість конструктивних, аналітичних і комп'ютерних моделей, та слідування цим чинникам у розробці нових узгоджених моделей.

Проблему узгодження конструктивної, аналітичної та комп'ютерної моделей поверхонь складної форми рекомендується розв'язувати на наступних засадах:

1) основою для складання аналітичних та комп'ютерних моделей обрано спосіб конструювання поверхонь вилученням їхніх лінійчатих каркасів з множин, зокрема, з конгруенції ліній, який забезпечує ієрархічність структури моделей за вимірністю та багатоваріантність умов і розвязків;

2) в узгодженні моделей основне навантаження випадає на модель аналітичну: її вхідні дані регламентовані складом визначника конструктивної моделі, а форма представлення обумовлена складом вхідних даних стандартного програмного забезпечення візуалізації поверхонь;

3) запобігання процедури усунення параметрів в переходах до рівнянь геометричних образів ланцюжка конгруенція - поверхня -лінія та спрощення обчислень диференціальних та інтегральних характеристик рекомендується здійснювати застосуванням суперпозиції функції, зокрема, підстановками внутрішніх рівнянь образів нижчої розмірності у параметричні рівняння образів вищої;

4) відповідність скінченних значень функцій, що входять до параметричних рівнянь, скінченним значенням аргументів - одна з умов узгодження математичної моделі з комп'ютерною;

5) сім'я ліній каркасу конструктивної моделі поверхні має бути однією з двох сімей координатних ліній її аналітичної та комп'ютерної моделей;

6) для отримання комп'ютерної моделі поверхні її аналітична модель доповнюється скінченними межами зміни внутрішніх параметрів, що визначають координатну сітку, звідки висновок: краями можуть бути координатні лінії, в тому числі елементи конгруенції, вони ж - лінії каркасу конструктивної моделі,конічні точки поверхні та сингулярні точки її внутрішньої параметризації (полюси), фокальні лінії, чи лінії, що належать фокальним поверхням конгруенції.

У відповідності зі сформульованими рекомендаціями щодо узгодження моделей поверхонь в роботі вперше побудовано такі моделі:

- за відомими конструктивними моделями лінійчатих поверхонь, що вилучаються з конгруенцій прямих , складено узгоджені з ними аналітичні та комп'ютерні моделі;

- оскільки відомі аналітичні моделі циклід Дюпена четвертого порядку не узгоджуються з комп'ютерною моделлю ( моделі в координатній формі - через невиконання умови 5), в параметричній - через невиконання умови 4)), в дисертації розроблено їхні нові конструктивні аналітичні та комп'ютерні моделі, узгоджені між собою;

- розроблено узгоджені конструктивні, аналітичні та комп'ютерні моделі поверхонь, зокрема, циклоїдальних та спіральних, що вилучаються з конгруенцій циклоїдальних кривих та з конічних гвинтових ліній відповідно.

Разом з тим, новими є такі наукові результати:

- вперше складено полярне рівняння кола з ексцентричним полюсом;

- вперше визначено внутрішні параметри розташування центрів подібності та радикальної осі кіл відносно центрів кожного та в залежності від міжцентрової відстані;

-вперше введено та досліджено конфігурацію шести кіл та показано її застосування в якості визначника конструктивної моделі циклід Дюпена 4-го порядку;

-вперше складені та досліджені параметричні рівняння конгруенцій циклоїдальних та конічних ліній.

Результати досліджень рекомендуються до впровадження :

-у розробці систем автоматизованого проектування тонкостінних оболонок та деталей машинобудування;

-у розробці автоматизованих систем наукових досліджень (аналітичні та комп'ютерні моделі, методика складання узгоджених моделей);

-у автоматизованій підготовці програм обробки на верстатах з ЧПК ;

-у наукових розробках теорії катастроф (поверхні з ребрами звороту та з лініями самоперетину);

-в учбовому процесі: наочні посібники, ілюстрації до видань підручників, відповідні моделі з нарисної геометрії ( конструктивні моделі), аналітичної ( аналітичні моделі), диференціальної геометрії (теорія конгруенцій), комп'ютерної графіки (аналітичні та комп'ютерні моделі).

На час захисту впроваджено:

- за представленими автором вхідними даними у вигляді параметричних рівнянь косих гелікоїдів та ліній їх перетину з внутрішнім та зовнішнім конусами, на Красноармій ському машинобудівному заводі складено програму керування виготовленням на верстаті з ЧПК, за якою здійснено серійне виготовлення орошувача, що встановлюється на вугельному комбайні;

- розроблені та виготовлені автором наочні комп'ютерні ілюстрації до курсів аналітичної та нарисної геометрії, використовуються у навчальному процесі на кафедрах вищої математики та нарисної геометрії ДонГТУ.

Основні положення дисертації опубліковано у таких роботах:

1. Скидан И.А., Зверева С.А. Циклоидальные поверхности. // Прикладная геометрия и инженерная графика. Киев, КДТУБА.,1997. Вып. 61.-С. 46-49.

2. Скидан И.А., Зверева С.А. Компьютерная модель спиральной поверхности. // Прикладная геометрия и инженерная графика. Киев, КДТУБА.,1996. Вып. 60.-С. 50-52.

3. Скидан И.А., Зверева С.А. Аналитические и компьютерные модели поверхностей, выделяемых из конгруэнции прямых. // Труды Таврической государственной агротехнической академии. Вып. 4. Прикладная геометрия и инженерная графика. Т.3. Мелитополь, 1998.-С. 14-20.

4. Скидан И.А., Зверева С.А. Уравнения линейчатых неразвертываемых квадрик, заданных направляющими. // Труды Таврической государственной агротехнической академии. Вып. 4. Прикладная геометрия и инженерная графика. Т.4. Мелитополь, 1998.-С. 3-7.

5. Зверева С.А. Положение центров подобия и радикальной оси двух окружностей. // Труды Таврической государственной агротехнической академии. Вып. 4. Прикладная геометрия и инженерная графика. Т.8. Мелитополь, 1999.-С. 90-93.

6. Скидан И.А., Зверева С.А. Конфигурация окружностей как основа для конструктивного определителя циклиды Дюпена четвертого порядка. // Труды Таврической государственной агротехнической академии. Вып. 4. Прикладная геометрия и инженерная графика. Т.9. Мелитополь, 1999.-С. 10-15.

7. Скидан И.А., Зверева С.А. Конструктивный и аналитический определитель циклид Дюпена четвертого порядка. // Новые компьютерные технологии в промышленности, энергетике, банковской сфере, образовании. ( Тезисы докладов конференции 22-24 сентября 1998 г. г. Алушта) Киев, 1998.-С. 38-39.

8. Скидан И.А., Коломиец Е.А., Зверева С.А., Гайдарь О.Г. Пути согласования конструктивных, аналитических и компьютерных моделей поверхностей.// Современные проблемы геометрического моделирования. Тезисы докладов международной научно- практической конференции. 21- 24 июня. 2000г. Донецк. 2000, С.244-245.

Особистий внесок здобувача у публікації:

[1],[2],[3],[4],[6],[7],[8]-постановку конкретних задач, висвітлених у публікаціях, контроль достовірності отриманих розв'язків виконано науковим керівником, співавтором публікацій. Розв'язання задач, дослідження розв'язків, складання аналітичних моделей поверхонь, комп'ютерна візуалізація поверхонь, узагальнення отриманих результатів у вигляді наукових висновків і рекомендацій виконано особисто здобувачем.

Анотація

Звєрєва С.О. Узгоджені конструктивні, аналітичні та комп'ютерні моделі поверхонь.-Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.01.01- Прикладна геометрия, інженерна графіка.- Донецький державний технічний університет, Донецьк, 2000.

Дисертацію присвячено подальшому розвитку комп'ютеризації процесів наукових досліджень та проектування виробів складної форми шляхом розробки нових аналітичних моделей їхніх поверхонь, узгоджених з одного боку з конструктивними моделями, а з іншого- зі штатним програмним забезпеченням візуалізації поверхонь засобами комп'ютерної графіки. Встановлено, що найкраще розв'язанню указаної проблеми відповідає застосування ідей функціонального програмування, у відповідності з яким схема аналітичного моделювання має вигляд: параметричні рівняння конгруенції ліній- внутрішнє рівняння поверхні- параметричні рівняння поверхні- внутрішнє рівняння лінії- параметричні рівняння лінії. Складено нові аналітичні та комп'ютерні моделі відомих поверхонь, запропоновано та досліджено узгоджені конструктивні, аналітичні та комп'ютерні моделі циклід Дюпена, циклоїдальних та спіральних поверхонь. Розроблено рекомендації до впровадження результатів дослідження в практику та в учбовий процес.

Ключові слова: визначник, внутрішнє рівняння, параметричні рівняння, конгруенція, візуалізація.

Аннотация

Зверева С.А. Согласованные конструктивные, аналитические и компьютерные модели поверхностей.- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.01.01- Прикладная геометрия, инженерная графика.- Донецкий государственный технический университет. Донецк. 2000.

Диссертация посвящена дальнейшему развитию компьютеризации процессов научных иследований и проектирования изделий сложной формы путём разработки новых аналитических моделей их поверхностей,согласованных с одной стороны с конструктивными моделями, а с другой- со штатным програмным обеспечением визуализации поверхностей средствами компьютерной графики.

Установлено, что наилучшим образом решению указанной проблемы соответствует использование идей функционального программирования, в соответствии с которым схема аналитического моделирования имеет вид: параметрические уравнения конгруэнций линий- внутреннее уравнение поверхности- параметрические уравнения поверхности- внутреннее уравнение линии- параметрические уравнения линии. Составлены параметрические уравнения конгруэнций прямых, фокальными фигурами которых являются: две скрещивающиеся прямые, прямая и винтовая линия, двойная фокальная винтовая линия (конгруэнция бисекант), сфера и прямая, проходящая через её центр, тор и прямая, совпадающая с его осью. Рассмотрены способы выделения поверхностей из конгруэнций линий: заданием внутреннего уравнения и погружением в конгруэнцию линии, задаваемой параметрическими уравнениями. Как конгруэнции прямых, так и выделяемые из них поверхности, хорошо исследованы синтетическими методами. Согласованные аналитические и компьютерные модели указанных поверхностей получены в работе впервые. На примере циклид Дюпена четвертого порядка показано, что в некоторых случаях приходится согласовывать не только аналитическую модель с компьютерной, но и отыскивать новый определитель поверхности, на основе которого создаются согласованные аналитические и компьютерные модели. Получено уравнение окружности в полярной системе координат, полюс которой отстоит от центра окружности на некоторое расстояние,а полярная ось проходит через центр. Условлено положение внутреннего, внешнего центров подобия и радикальной оси двух окружностей относительно центров каждой из них. Исследована конфигурация из шести окружностей с коллинейными центрами, каждая из которых касается четырёх других. В конфигурацию входят три пары окружностей, которые не касаются друг друга. Доказана теорема, утверждающая, что радикальная ось любой из пар конфигурации проходит через один из двух центров подобия двух остальных пар. Вторая теорема устанавливает принадлежность прямых, соединяющих точки касания семейства окружностей с окружностями пары, пучку с центром, совпадающим с тем из центров подобия пары, которой принадлежит радикальной оси другой пары, входящей в семейство. На основаниии установленных свойств конфигурации предложены конструктивный определитель циклид четвертого порядка в виде двух пар окружностей, принадлежащих одной конфигурации, при условии поворота на 900 окружностей одной пары вокруг линии их центров. В результате получаем сечения циклид Дюпена четвертого порядка двумя взаимно-перпендикулярными плоскостями симметрии. Полученная таким образом конструктивная модель стала основой для составления новой аналитической модели, сопряженной с входными данными программы визуализации поверхностей.

Предложены новые, последовательно согласованные конструктивные, аналитические и компьютерные модели циклических, квазивинтовых, циклоидальных и спиральных поверхностей, выделяемых из конгруэнций соответствующих кривых.

Результаты исследований рекомендуется использовать в автоматизированных системах проектирования и научных исследований. Поверхности с особенностями (с ребрами возврата, с линиями самопересечения) рекомендуется применять в теории катастроф. Компьютерные изображения известных поверхностей могут быть использованы как иллюстрации и наглядные пособия к курсам различных ветвей геометрии.

Ключевые слова: определитель, внутреннее уравнение, параметрические уравнения, конгруэнция, визуализация.

Annotation

Zveryeva Svetlana Alexandrovna. Сoordinated constructive, analytical and computer models of surfaces. - Manuscript.

Dissertation on competition learned candidate degree of technical sciences on specaility 05.01.01.- applied geometry, engineering graphic arts. - Donetsk State engineering university. Ukraine. Donetsk , 2000.

It's devoted to the further development of computer scietific processes and complex article designing by working out new analytical models of their surfaces matched, on the one hand, with the constructive models and, on the other hand, with the regular visual software for surfaces visualization with the help of computer graphic arts.

The best way of solving this problem by means of functional programming has been stated; and accordingly the analytical modeling scheme is as follows: parametric equations of lines congruence - surface internal equation- parametric surface equation -internal line equation- parametric line equation.

New analytical for computer models of known surfaces have been set up; matched, constructive, analytical and computer models of Dupen's cyclid, cycloid and spiral surfaces have been proposed and investigated.

Recommendations for using these investigation results in practice and educational process have been worked out.

Key words: determinant, internal equation, parametric equation, congruence, visualization.