Розвиток аналітичної механіки

План

1. Принцип Гамільтона

2. К. Г. Якобі

3. М. В. Остроградський

4. Немеханічне трактування принципу найменшої дії Гельмгольца

5. Принцип найменшого примусу Гаусса

6. "Механіка без сили" Герца

Принцип Гамільтона

Керуючись ідеєю оптико-механічної аналогії, вбачаючи її насамперед у єдиній математичній формі законів руху променів і матеріальних частинок, Вільям Роуан Гамільтон (1805—1865) використовує в механіці принцип найменшої дії, застосовуючи його для дослідження конкретних явищ. Гамільтон виходив із того, що за умови істинного руху тіл величина, яка дорівнює добутку енергії на час і називається в нього "дією", повинна мати якесь мінімальне значення. Трохи пізніше Гамільтона й незалежно від нього принцип найменшої дії розвиває М. В. Остроградський, який поширив його на більш широке коло явищ. Цей принцип справедливо називається принципом Гамільтона — Острофадського. Він став могутньою математичною зброєю фізики й широко використовується у роботах Максвелла, Гельмгольца, Умова, Ейнштейна, де Бройля, Шредінгера й інших учених.

Перейшовши до механіки, Гамільтон показав значення свого нового варіаційного принципу, а його характеристична функція для задач механіки ("функція Гамільтона") виявилася тотожною енергії механічної системи. Знаючи, як виражається функція Н через координати й імпульси матеріальних точок, які складають систему, можна відразу скласти диференціальні рівняння, що визначають координати й імпульс. Одержана система диференціальних рівнянь ("канонічні рівняння") рівносильна системі рівнянь руху, зокрема — системі рівнянь Лагранжа другого роду, але має особливі властивості, що полегшують її дослідження.

Нарешті, Гамільтон пов'язав свою канонічну систему диференціальних рівнянь першого порядку з відповідним диференціальним рівнянням для частинних похідних, яке, як з'ясувалося, задовольняє його характеристична функція Н. Виникла велика теорія, завдяки якій було створено нову зручну форму рівнянь руху, новий підхід до проблеми їхнього вирішення (інтегрування). Вона висвітлила більш повно й глибоко аналогії між механікою й оптикою, виявила нові можливості геометричної інтерпретації, нарешті, вона привела до встановлення зв'язку між хвильовими й корпускулярними уявленнями — але останнє досить повно виявилося лише через століття.

Необхідно зазначити, що описану вище теорію Гамільтон ще не зміг сформулювати в загальному й закінченому вигляді. Узагальнення результатів і методів Гамільтона, усунення зайвих обмежень, ретельна розробка математичних методів є заслугою К. Г. Якобі та М. В. Остроградського.

К. Г. Якобі

Карл Густав Якобі (1804-1851) — один з найвідоміших німецьких математиків і механіків першої половини XIX ст. Основна праця Якобі з механіки — його чудові "Лекції з динаміки ". Ці лекції являють собою розвиток класичної аналітичної механіки Лагранжа і містять багато нових ідей як з математики (теорія диференціальних рівнянь у частинних похідних, обчислення геодезичних ліній на еліпсоїді), так і з механіки.

Вихідним моментом досліджень Якобі з механіки є принцип Гамільтона-Остроградського. У своїх "Лекціях" Якобі розвинув теорію канонічних рівнянь Гамільтона, істотно розширивши клас механічних систем, до яких вона застосовувалася. Найважливіший результат К. Якобі — його теорема про те, що канонічні рівняння є рівняннями характеристик певного диференціального рівняння в частинних похідних першого порядку, тобто інтегральні поверхні зазначеного рівняння в частинних похідних складаються з інтегральних кривих системи канонічних рівнянь, що визначають рух механічної системи. Тим самим інтегрування канонічних рівнянь зводиться до визначення повного інтеграла рівнянь у частинних похідних.

М. В. Остроградський узагальнив метод Гамільтона-Якобі.

М. В. Остроградський

Михайлові Васильовичу Остроградскому (1801—1861) належать першокласні дослідження з методів інтегрування рівнянь аналітичної механіки й розробки узагальнених принципів статики й динаміки. Найбільш відомі дослідження Петроградського стосуються узагальнення основних принципів і методів механіки.

Він зробив істотний внесок у розвиток варіаційних принципів, які як окремий випадок включають і динаміку. Остроградський, розглядаючи варіаційну задачу, в якій підінтегральна функція залежить від довільної кількості невідомих функцій і їх похідних як завгодно високого порядку, доводить, що задача зводиться до інтегрування канонічних рівнянь Гамільтона, які можна розглядати як таку форму, в яку можна перетворити будь-які рівняння, що виникають у варіаційній задачі. Він також показав, що й у більш загальному випадку, коли зв'язки й силова функція містять час, рівняння руху також можуть бути перетворені у форму Гамільтона. Роботи Остроградського з механіки стали джерелом для подальших досліджень з метою з'ясування основ варіаційних принципів механіки.

У 1866 р. Остроградський висловив сумнів стосовно справедливості принципу найменшої дії Лагранжа. Основні заперечення Остроградського зводяться до того, що для Ейлера і Лагранжа принцип найменшої дії і найпростіша задача варіаційного числення являли собою одну й ту саму математичну проблему. Остроградський же зауважує, що в принципі найменшої дії змінні пов'язані законом живих сил і тому не є незалежними, на відміну від змінних звичайної варіаційної задачі. Звідси випливає також, що варіації змінних підпорядковуються певній умові й не можуть бути зовсім довільними. Тому Остроградський вважає формулювання принципу в Лагранжа і його висновки помилковими і дає власне формулювання: у випадку консервативної системи істинна траєкторія руху між двома точками має таку властивість, що перетворення рівнянь руху приводить до умови:

де U — потенційна функція,

Т — кінетична енергія системи.

І, навпаки, з мінімальності інтеграла можна одержати рівняння руху.

Принцип Остроградського, таким чином, відрізняється від принципу найменшої дії Лагранжа, в якому екстремуму досягає.

Питання про справедливість принципів Лагранжа й Гамільтон Остроградського викликало найжвавіше обговорення в математичній літературі. М. І. Тализін (1819-1869) і Ф. О. Слудський (1841-1891) показали, що обидва принципи — Лагранжа й Остроградського — однаково справедливі: "Вираження початку найменшої дії, які дали ці вчені, суть вираження двох різних загальних властивостей руху".

Немеханічне трактування принципу найменшої дії Гельмгольца

Перехід від власне механічної інтерпретації принципу Гамільтона до більш загального його розуміння, яке готувало грунт для некласичної концепції, відбувався в основному стихійно. Гельмгольц, який трактував принцип найменшої дії у виключно механічному розумінні, з 1886 р. систематично застосовував цей принцип до проблем механіки, термодинаміки й електродинаміки. Він увів поняття кінетичного потенціалу, що сприяло узагальненню фізичної інтерпретації принципу. Кінетичний потенціал — це величина, з якої можна одержати дію шляхом інтегрування за часом. Ця величина фігурувала в різних розділах фізики без якої-небудь механічної інтерпретації. У працях Гельмгольца кінетичний потенціал трактувався не як похідна величина — різниця між кінетичною і потенційною енергією, а як вихідна величина. Це було важливим кроком для переходу до немеханічного розуміння принципу найменшої дії, тому що кінетичний потенціал може відрізнятися від механічного поняття різниці T—U. Поза механікою, де розходження між кінетичною і потенційною енергією втрачає безпосередній смисл, кінетичний потенціал не можна одержати аналогічним способом, якщо енергія є заданою величиною. Тому самостійний характер поняття кінетичного потенціалу дозволяє зробити принцип найменшої дії універсальним принципом фізики зворотних процесів, не зводячи її закони до законів механіки; іншими словами, це дозволяє трактувати зазначений принцип уже не як механічний.

Принцип найменшого примусу Гаусса

У 1829 р. у статті "Про нове загальне начало механіки" Гаусе висунув як найбільш загальне начало твердження: система зі зв'язками, без тертя, зазнаючи дії будь-яких сил, рухається таким чином, що примус з боку зв'язків і тиск на зв'язки має найменше значення; "рух відбувається з найменш можливим примусом, якщо за міру примусу, застосованого протягом нескінченно малої миті, прийняти суму добутків маси кожної точки на квадрат величини її відхилення від того положення, яке вона зайняла б, якби була вільна".

Розвитком ідеї Гаусса був принцип прямолінійного шляху, сформульований у 1892-1893 pp. Герцом. Цей принцип продовжує разом із тим лінію Якобі — геометризацію варіаційного принципу й динаміки в цілому. Він сформульований у зв'язку з відомою спробою Герца побудувати механіку без поняття сили. Принцип найменшого примусу Гаусса є загальним началом і може бути виражений одним з найпростіших аналітичних формулювань, в якому виведення рівнянь руху будь-якої системи зводиться до визначення мінімуму функції другого ступеня. Встановлення цього принципу пов'язане, як указує Гаусе, з його роботами, присвяченими способу найменших квадратів.

"Механіка без сили" Герца

У XVII ст. у працях Галілея і Ньютона було закладено принципові основи класичної механіки. У XVIII і XIX ст. Ейлер, Даламбер, Лагранж, Гамільтон, Якобі, Остроградський, спираючись на ці основи, побудували чудову споруду аналітичної механіки й розробили її могутні математичні методи. Здавалося, що механіка — цей "рай математичних наук", як назвав її Леонардо да Вінчі, — досягла високого ступеня досконалості і своєї завершеності. Але завершеність ця була лише видимою, тому що навіть в основних поняттях і законах механіки були помітними численні труднощі, які вдалося тільки тимчасово відсунути, але аж ніяк не подолати у ході могутнього прогресу аналітичної механіки.

Ще до корінного перегляду фізичного змісту основних принципів класичної механіки, пов'язаного із теорією відносності й квантовою теорією, з'явився ряд робіт, які намагалися по-новому осмислити старі принципи. Ці спроби були пов'язані насамперед із тим, що поряд з фізикою дискретних тіл виникла фізика континууму поля, яка потребувала критичного