МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

БУДІВНИЦТВА І АРХІТЕКТУРИ

БАДАЄВА Надія Іванівна

УДК 514.18

МОДЕЛЮВАННЯ ДИНАМІЧНИХ ОБВОДІВ АГРЕГАТІВ,

ЩО ПРАЦЮЮТЬ У РУХОМОМУ СЕРЕДОВИЩІ

Спеціальність 05.01.01-

Прикладна геометрія, інженерна графіка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

КИЇВ – 2001

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Національному технічному університеті України “Київський політехнічний інститут” Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник - заслужений працівник вищої школи

доктор технічних наук, професор

Павлов Анатолій Володимирович,

професор кафедри

“Нарисна геометрія, інженерна та

компўютерна графіка”,

Національний технічний університет України

“Київський політехнічний інститут”

Офіційні опоненти – доктор технічних наук, доцент

Ковальов Юрій Миколайович,

КНАУ, завідувач кафедри

“Прикладна геометрія та компўютерна графіка”;

- кандидат технічних наук, доцент

Анпілогова Віра Онисимівна,

КНУБА, професор кафедри

“Нарисна геометрія, інженерна та

машинна графіка”.

Провідна установа – Донецький державний технічний університет

Захист відбудеться 20.09.2001 року о 13 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.056.06 в Київському національному університеті будівництва і архітектури за адресою:

03037, Київ-37, Повітрофлотський проспект, 31.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університета будівництва і архітектури за адресою:

03037, Київ-37, Повітрофлотський проспект, 31.

Автореферат розісланий 19.08.2001 р.

Вчений секретар спеціалізованої

вченої ради

кандидат технічних наук, доцент

Плоский В.О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Сучасний рівень виробництва та проектувальних робіт в машинобудуванні в наступний час неможливий без застосування автоматизованих систем проектування на основі використання електронно-обчислювальної техніки.

Достатньо велика доля машин та агрегатів в сучасному машинобудуванні проектується з урахуванням умов роботи їх у рухомому середовищі. Це насамперед форми агрегатів літаків, суден, автомобілів тощо. Крім того, немало таких машин і агрегатів, що працюють у рухомому середовищі, проектуються та виробляються в сільському господарстві, харчовій промисловості, будівництві тощо.

У зв'язку з цим виникає ряд задач у галузі прикладної геометрії, розв'язання яких дозволяє ефективно використати математичну базу для розробки та впровадження високоефективних методів автоматизованого проектування обводів машин та агрегатів. У цьому напрямку було зроблено достатньо багато робіт за графічними, графоаналітичними, аналітичними методами моделювання криволінійних обводів з урахуванням ряду наперед заданих геометричних умов та фізичних параметрів середовища, але, тим не менше, проблема моделювання обводів, які працюють у рухомому середовищі, ще далека до завершення.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дисертаційна робота здійснювалась за планами виконання держбюджетних науково-дослідних тем кафедри інженерної графіки Українського державного університету харчових технологій.

Метою дисертаційної роботи є розробка методів геометричного моделювання криволінійних обводів з наперед заданими умовами зміни кривини та оптимізації форми для проектування форм агрегатів, що працюють у рухомому середовищі.

Для досягнення поставленої в дисертації мети розв'язані наступні теоретичні та прикладні задачі геометричного моделювання:

- розвиток теоретичних основ геометричного моделювання кривих ліній та поверхонь із застосуванням сегментів дуг кіл, кривих другого та третього порядків і евольвент;

- дослідження способів моделювання сплайнових гладких ліній за заданим законом зміни кривини та оптимізацією форми;

- дослідження способів моделювання сплайнових кривих за застосуванням векторно-параметричного подання евольвент та “вторинних“ евольвент (у яких еволюта є евольвентою);

- розробка методів геометричного моделювання гладких поверхонь із заданим законом зміни кривини та за умовами спряженості визначальної сітки;

- розробка алгоритмів, програм геометричного моделювання і візуалізації форм об'єктів, що працюють у рухомому середовищі, і впровадження результатів виконаних досліджень у виробництво.

Розв'язання поставлених в дисертаційній роботі задач здійснювалось на основі методів аналітичної, нарисної, диференціальної, обчислювальної геометрій, методів прикладного програмування та комп'ютерної графіки.

Теоретичною базою для даних досліджень були роботи вітчизняних та зарубіжних науковців:

- в галузі моделювання поверхонь складних форм та формування їх математичних моделей: Безьє П., Бадаєва Ю.І., Гільберта Д., Дорошенко Ю.О., Ковальова С.М., Кунса С.А., Леуса В.А., Михайленко В.Є., Надолінного В.О., Найдиша В.М., Обухової В.С., Павлова А.В., Підгорного О.Л., Скидана І.О., Фореста Р.А., Фергюсона Дж. та інших авторів,

- в галузі геометричного моделювання і комп'ютерної графіки: Амерала Л., Анпілогової В.О., Гілоя В., Гриценка І.А., Ковальова С.М., Ковальова Ю.М., Сазонова К.О., Фокса А., Пратта М., Препарати Ф. та інших авторів.

Наукова новизна полягає в розробці методів геометричного моделювання форм об'єктів за впорядкованим каркасом точок на базі гладких векторно-параметричних ліній та поверхонь за заданим законом зміни кривини та оптимізацією форми.

Практична цінність одержаних результатів роботи полягає в розробці математичних моделей, алгоритмів, програм розрахунків комплексу задач геометричного моделювання об'єктів, призначених для роботи у рухомому середовищі. Ця інформація призначена для застосування в прийнятті обгрунтованих рішень при проектуванні форм машин і агрегатів, що працюють у рухомому середовищі.

Достовірність отриманих результатів підтверджується коректним застосуванням математичного апарату та компўютерною реалізацією.

Особистий внесок здобувача. Особисто автором розроблена теоретична основа та розроблені алгоритми побудови гладких ліній та поверхонь із заданим законом зміни кривини та оптимізацією форми для проектування форм машин та агрегатів, що працюють у рухомому середовищі. Конкретний внесок до наукових праць полягає в розробці методу геометричного моделювання кривих та поверхонь із застосуванням дуг кіл, кривих другого та третього порядку, евольвент.

Впровадження результатів роботи здійснено:

- на Київському державному авіаційному заводі “АВІАНТ”;

- в Науково-дослідному і проектному інституті “УКРНДІВОДОКАНАЛПРОЕКТ”;

- в навчальному процесі Українського державного університета харчових технологій.

Розроблено математичне та програмне забезпечення.

На захист виносяться основні положення, які складають наукову новизну та практичну цінність роботи.

Апробація результатів дисертації. Основні положення та результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на технічних конференціях:

·

·

·

· на науковому семінарі кафедри інженерної графіки УДУХТ, м.Київ, 1990 - 2001 р.р.

За результатами наукових досліджень опубліковано 13 робіт (11 статей у фахових збірниках та 2 публікації в матеріалах наукових конференцій).

Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, заключення, списку використаних джерел із 131 найменувань та двох додатків. Робота містить 148 сторінок машинописного тексту та 69 рисунків.

ЗМІСТ РОБОТИ

Вступ містить огляд літератури, висновки з огляду, постановку задачі, характеристику роботи.

Проблема моделювання геометричних форм машин і агрегатів, які призначені для роботи у рухомому середовищі, має давню історію. Ще з давніх часів людство почало інтенсивно створювати машини та агрегати для динамічних дій, такі як плуги, пароплави, паровози, автомобілі, літаки тощо, почала зростати проблема створення таких форм, яким притаманні властивості найменшого опіру рухомому середовищу для досягнення найбільшої швидкості.

Представлена робота не претендує на роботу по дослідженню реальних фізичних явищ обтікання криволінійних агрегатів, але з чисто геометричного підходу є реальна мета - розробка методів геометричного моделювання форм об'єктів за допомогою гладких векторно-параметричних ліній та поверхонь за заданим законом зміни кривини та оптимізацією форми, що обумовлюють найбільш оптимальний процес їх первинного проектування.

Дослідження методів керування кривиною обводів для проектування динамічних агрегатів проводились раніш різними авторами – геометрами. Можна вказати на авторів країн СНД: Осипова В.А. (біарки та логарифмічні спіралі), Леус В.А. (двоколова інтерполяція), Філіпов П.В. (обводи суден), Павлов А.В. (S-подібні криві, поверхні робочих органів машин для обробки землі) а також їх учнів та інших. Сучасні геометричні методи моделювання криволінійних обводів в неявному вигляді теж керують кривиною. Так, наприклад, метод кубічних сплайнів виник на основі вивчення закону зміни кривини гнучкої рейки. Але, тим не менше, спеціальні цілеспрямовані роботи в цьому напрямку не проводились. Представлена робота, на наш погляд, заповнює цю прогалину.

В розділі 1 вивчаються основні можливості і варіанти так званих “елементарних” динамічних обводів. В розділі 2 на базі “елементарних” динамічних обводів визначаються способи проектування сплайнових динамічних кривих. В розділі 3 досліджуються методи проектування неплоских кривих і в розділі 4 - динамічних поверхонь.

В розділі 1 запропоновано визначити так звані “елементарні динамічні” обводи за 8-ю основними варіантами: А) дано: тчк А,В, дотичні а,в; Б) дано: тчк А,С,В, дотичні а,в; В) дано: тчк А,В, дотичні а,с,в,; Г) дано: тчк А,С,В, дотичні а,в,с; а також АК), БК), ВК), ГК), в яких крім вищезазначених задані ще й кривини кА, кВ. На основі вивчення сучасних можливостей геометричного моделювання пропонується дослідити можливості проектування елементарних динамічних обводів за допомогою кривих 4-х типів: дугами кіл та біарками, кривими 2-го порядку, кривими 3-го порядку, евольвентами. Моделювання за допомогою біарків, що побудовані із двох дуг кіл, дають змогу визначати перші 4 варіанти елементарних обводів як для опуклих конфігурацій, так і для неопуклих.

Існує можливість оптимізувати форму біарку за мінімумом перепаду радіусів кривин: |R2-R1|=min або |R2/R1-1|=min. Відповідно буде: g = (a-b)/2 , g=0 (рис. 1).

Дугами кривих 2-го порядку також можливо визначити перші 4 варіанти елементарних динамічних обводів. Для опуклої конфігурації є змога оптимізувати форму кривої таким чином, щоб три дискретних значення кривин в т.т. А,С,В (рис. 2) мали однакове відношення: кА/кС=кС/кВ.

При цьому ця задача вирішується за двома варіантами в залежності, чи задана серединна точка С чи ні. Для неопуклих обводів застосувати єдину дугу кривої 2-го порядку неможливо, тому що вона теоретично не має точки перегину. Тому в будь-якому випадку треба конструювати обвод із двох дуг. Тут у випадку, коли задана серединна дотична “с”, можна запропонувати метод Павлова А.В., в якому застосовується спочатку дзеркальне відображення точки А по відношенню до вектору “с”, потім побудова кривої за теоремою Паскаля-Бріаншона, і зворотне дзеркальне відображення та побудова двох зістикованих дуг кривих 2-го порядку. Метод дає обводи з непоганими динамічними властивостями завдяки тому, що це дуги однієї кривої 2-го порядку. У випадку, коли вектор “с” не заданий (рис. 3), можна запропонувати будувати його за величиною кута нахилу до хорди, що дорівнює середньо-арифметичному значенню між початковим та кінцевим кутами. Крім того, в цьому випадку є можливість розрахувати величини “вагів” каркасних точок за заданим законом відношення кривин в трьох точках.

Криві 3-го порядку діляться на два класи: раціональні криві і нераціональні. До раціональних відносяться: сегмент Фергюссона, кубічна крива Безьє, раціональний векторно-параметричний сегмент. В роботі також застосовуються і нераціональні: це кубічна крива Плюккера та опуклий сегмент нераціональної кривої 3-го порядку. Сегмент раціональної кривої 3-го порядку дає змогу вирішувати практично всі 8 варіантів визначення елементарних динамічних обводів. Але є й недолік: неможливо визначити довільний сегмент із заданими нульовими кривинами на кінцях. Тому в роботі пропонується застосувати і деякі нераціональні криві 3-го порядку. Крива Плюккера g1g2g3-lg43=0, де gі -лінійні функції (рис. 4), наприклад, має на кінцях нульову кривину і неопуклу форму. Нераціональна опукла крива g12g2 +g1g22 = 0.25 g33 (рис. 5) має також нульові кривини на кінцях, але форма опукла. В роботі отримані векторно-параметричні формули для розрахунку цих кривих.

Найкращі можливості для моделювання динамічних обводів мають евольвенти, тому що радіус кривини змінюється за лінійним законом. Дослідження сегментів евольвент виявили їх основні властивості. Так, наприклад, сегмент евольвенти може бути визначений за двома точками і дотичними в них. В цьому він схожий до кубічного сегменту Фергюссона (рис.6) .

В роботі пропонується також застосовувати так звані “вторинні” евольвенти, тобто евольвенти, в яких еволютою є також евольвента. Пропонується називати їх евольвентами “вищих порядків”. Термін “вищих порядків” має рацію тому, що радіус кривини таких евольвент змінюється за відповідним поліномом:

r = r0 + p R0 + q R(1) ± p R(2) ± q R(3) ± p R(4) ± q R(5) ± p R(6) ± …, (1)

R(i) = Ri ± R(i-1)j±R(i-2)j2/2!±R(i-3)j3/3!±R(i-4)j4/4!±… (2)

Отримані всі необхідні формули для розрахунку евольвент, в тому числі і визначення сегменту за заданими кінцевими кривинами і похідними до них.

Крім того, в роботі виведені формули для розрахунку дуг кіл та сегментів евольвент без використання величин радіусів і координат центрів, відсутність чого раніш ускладнювало розробку програмних модулей розрахунку із-за необхідності роботи з великими числами.

Розділ 2 присвячений розробці методів моделювання динамічних плоских обводів (кривих) сплайн-методами за допомогою елементарних динамічних обводів, що були вивчені в розділі 1.

Найпростішим сплайновим динамічним обводом може бути сплайн, який складений із дуг кіл і вписаний в задану ламану лінію. Тут можна скористатись біарками, які були вивчені в попередньому розділі. Але представляє інтерес і сплайн, в якому на кожній ланці ламаної визначиться одна дуга кола (рис. 7). Такий сплайн в багатьох випадках є найбільш зручним завдяки притаманній йому простоті. Дослідження можливостей такого сплайну виявляє “глобальну” його природу, тобто будь-які зміни (збурення) будуть передаватись від однієї ланки до наступної без змін – з коефіціентом зміни, що дорівнює одиниці. Отримані умови існування коректного сплайну (за допомогою так званої “смуги перепускання”):

a1min=max(0,L2-L3,L2-L3+L4-L5,…), a1 max=min(L1, L2,L2-L3+L4, …). (3)

Це обумовлює специфічні особливості такого обводу. Тим не менше, є можливість оптимізувати форму такого сплайну за заданими критеріями мінімума сумарних квадратів кривин або мінімума квадратів довжин і визначити початковий оптимальний параметр “аопт” виходячи із аналіза “смуги перепускання”. Доведене твердження 1: Гладкий вписаний коловий сплайн завжди можливий на ланках ламаної, що монотонно змінюються по довжині, в тому числі і при дорівненні довжин будь-яких сумісних ланок.

Далі в роботі вивчені можливості модифікації колового сплайну з метою покращення його динамічних характеристик. В якості динамічної характеристики приймається сума квадратів перепаду кривин обводу.

Запропоновані три варіанти оптимальної корекції такого сплайну:

·

· варіант 2 – зміна кутів між ланками із збереженням довжин ланок,

· варіант 3 – цілеспрямована зміна сумарної довжини ламаної.

За результатами вивчення 1-го та 2-го варіантів сформульована наступна

пропозиція: при незмінному положенні кінцевих точок опуклої ламаної існує два конкретно визначених кола, які вписуються в цю ламану після її зміни при фіксованих довжинах ланок або при фіксованих кутах між ланками.

Ця пропозиція дає змогу оцінити кінцевий результат при застосуванні оптимальної корекції колового сплайну.

Сплайни із кривих 2-го та 3-го порядку достатньо широко вивчені і застосовуються в практиці моделювання, але раніше не розвўязувалась задача оптимізації форми. Для кривих 2-го порядку можна вирішувати питання мінімізації сумарного перепаду кривин. При цьому (рис. 8) одержуємо формулу розрахунку “вагів” каркасних точок (або дискримінантів):

wB=1/cosj. (4)

Крім того, для моделювання із сегментів кривих 2-го порядку можна вирішувати питання досягнення гладкості 2-го порядку. Отримана ланцюжкова формула при цьому визначає положення точок стику на ланках ламаної:

ki = |Bi Ci| / li , (5)

при ki =0.5 або

(6)

Більш широкі можливості дає застосування сегментів із раціональних кривих 3-го порядку (рис. 9). Достатньо нескладно розраховуються точки стику на ланках ламаної або ваги каркасних точок для досягнення гладкості 2-го порядку із збереженням найбільш оптимальної форми сегментів:

Найкращі можливості для моделювання динамічних сплайнових обводів притаманні евольвентним сплайнам. В роботі вивчені можливості визначення

плоских сплайнових кривих за допомогою евольвент 1-го, 2-го та 3-го порядків.

За допомогою сегментів евольвент 1-го порядку (тобто звичайних евольвент) є змога моделювати сплайни 1-го та 2-го порядку гладкості. В цьому вони подібні до кубічних сплайнів дефекту 2 та 1. Виведені необхідні системи рівнянь. Для досягнення 2-го порядку гладкості отримана трьохдіагональна система лінійних рівнянь, яка подібна до системи методу кубічних сплайнів (рис. 10):

де: ki = |Bi Ci| / li , (8)

ai = f1(li-1, ji, ji+1), bi = f2(li, ji, ji+1), ci = f3(li+1, ji, ji+1), di = f4(li-1, li+1, ji, ji+1).

За допомогою сегментів евольвент 2-го порядку є змога моделювати сплайн із 2-м порядком гладкості, причому рішення такого сплайну більш простіше, ніж для евольвент 1-го порядку, тому що для визначення сегменту такої евольвенти можна додатково задавати ще й радіус кривини в одній із кінцевих точок. Отримані необхідні формули для розрахунку:

(9)

Pi = f11(li-1, li, ji, ji+1), Qi = f21(li-1,li, ji, ji+1), Ri=f31(li-1,li,ji,ji+1).

Сегменти евольвент 3-го порядку дають більш широкі можливості. Так, наприклад, сплайни із 2-м порядком гладкості в цьому випадку є ермітовими. В роботі виведені необхідні формули і алгоритми для їх розрахунку.

Крім того, сегменти евольвент 3-го порядку дають змогу моделювати сплайн із 3-м порядком гладкості. Причому система рівнянь також подібна до трьохдіагональної системи рівнянь методу кубічних сплайнів дефекту 1.

Для евольвентних сплайнів притаманно те, що вони на відміну від поліноміальних сплайнів забезпечують найбільш оптимальну зміну радіуса кривини уздовж кривої: евольвенти 1-го порядку – за лінійним законом від кута нахилу дотичної, евольвенти 2-го порядку – за квадратичним, евольвенти 3-го порядку – за кубічним. Цей факт є важливим для проектування динамічних обводів.

Розділ 3 роботи присвячений розробці методів моделювання

просторових криволінійних обводів-кривих на основі застосування результатів попередніх розділів.

Оскільки не всі криві є просторовими а також не всі можна представити у векторно-параметричній формі подібними формулами по всіх трьох координатах так, як це робиться для кубічних кривих, то в роботі запропонований метод перетворення плоского сегменту в просторовий (див. рис. 11). При цьому пропонується в процесі переміщення точки по кривій обертати площину її визначення одночасно навколо двох осей: навколо визначеної хорди– на кут a, і навколо вісі, що проходить через кінцеву точку хорди - на кут b. Перше обертання дає змогу привести криву до заданих просторових дотичних, друге обертання приводить площину кривої до площини наступного сегменту і забезпечує неперервність скруту. Отримані необхідні формули:

(10)

що визначають просторовий сегмент за допомогою плоского. Задані закони обертання можна визначити по різному, що дасть декілька варіантів визначення просторового сегменту. Але на основі аналізу 1-х, 2-х та 3-х похідних виведені закони обертання, що дають гладкість стику сегментів за 1-м, 2-м та 3-м порядком гладкості. Так, для досягнення гладкості 1-го порядку отримані закони: для кута a - лінійний, для кута b - квадратичний, для 2-го порядку гладкості: для кута a - кубічний, для кута b - поліном 4-ї степені, для 3-го порядку гладкості: для кута a - поліном пўятої степені, для кута b - поліном шостої степені. Причому в даному випадку досягається повна гладкість, тобто за нормальною кривиною та за скрутом.

В роботі розроблені всі необхідні формули для визначення просторового сегменту за допомогою плоских кривих: дуг кіл та біарків, сегментів кривих 2-го та 3-го порядків, евольвент 1-го, 2-го та 3-го порядків.

Далі в розділі 3 на основі визначення просторового сегменту запропоновані методи моделювання просторових сплайнових кривих. При цьому визначаються два методи подання вихідних даних: задана множина точок іа заданими в них дотичними і у вигляді ламаної лінії, в яку треба вписати сплайнову криву. За кожним варіантом в роботі запроновано по 2 методи моделювання: в 1-му – без зміни положення точок і з деякою зміною, в 2-му – без зміни дотичних, які збігаються із ланками ламаної і з їх зміною для придання кривій більшої гладкості. Ці методи витікають із попередніх досліджень. Так, наприклад, якщо задані точки і дотичні до них, можна запропонувати спочатку створити плоский аналог за допомогою викладання на площину просторової ламаної, обертаючи її за кутами ai та bi із формул (10). Потім змоделювати плоский сплайн і перенести його зворотно у простір за формулами (10). При цьому в залежності від застосованих законів для кутів ai та bi можна досягти 1, 2 та 3-й порядок гладкості як за нормальною кривиною, так і за скрутом.

4-й розділ роботи на основі результатів трьох попередніх присвячений розробці методів та алгоритмів моделювання динамічних поверхонь.

Спочатку вивчаються можливості моделювання необхідних порцій поверхонь за заданими початковою та кінцевою лінією фронту та дотичними до ліній руху. Тут вивчаються можливості зклеювання двох сусідніх порцій за умовами гладкості 1-го та 2-го порядку (рис. 12). Показано, що ці умови можна досягти значно простіше, ніж це пропонується за методом Кунса. Сформульовані та доведені 2 пропозиції. Суть цих пропозицій полягає в тому, що для зклеювання за 1-м або за 2-м порядком гладкості в поперечному напрямку заданих таким чином порцій достатньо зрівняти відповідно другі або треті похідні у вузлових точках.

При вивченні закономірностей переміщення частин середовища уздовж поверхні, можна дійти до висновку, що мінімізувати енерговитрати на переміщення можна в тому випадку, коли лінії фронту будуть спряжені до ліній руху середовища на поверхні. При цьому частини середовища не будуть закручуватись (рис. 13). Тому в роботі вирішуються дві наступні задачі: 1 - визначення умов для моделювання такої порції поверхні , у якої граничні ліній фронту були б спряжені до ліній руху, і 2 – у якої б всі лінії двох сімейств були б спряжені один до одного.

При цьому застосовується відома теорема Кьонігса: для того, щоб на поверхні лінії однієї сімўї створювали із лініями іншої сімўї спряжену сітку, необхідно і достатньо, щоб уздовж кожної лінії однієї сімўї дотичні до ліній іншої сімўї створювали розгортну лінійчасту поверхню.

Отримані необхідні формули для розрахунку похідних.

Причому в першому випадку достатньо певним чином розрахувати похідні до граничної лінії фронту, а в другому – ще й похідні до поперечних граничних кривих У другому випадку порція поверхні моделюється за методом Кунса.

Далі в роботі розроболені варіанти та методи моделювання динамічних сплайнових поверхонь.

Варіант 1 вихідних даних: заданий точковий каркас xij, yij, zij, i=1,…,M, j=1,…,N та дотичні вектори руху в них Tij (xtij, ytij, ztij)

Метод 1.1. Кожна порція визначається за чотирма точками ij, (i+1)j, i(j+1), (i+1)(j+1), в яких задані напрями руху Tij, T(i+1)j, Ti(j+1), T(i+1)(j+1). Вони направлені в сторону збільшення j. Сплайнова траєкторія руху моделюється із сегментів кривих на ланках j, j+1, які проходять через точки ij, i(j+1) та мають в них задані дотичні Tij, Ti(j+1).

Метод 1.2. Вважаємо, що задані висхідні дані визначають тільки напрямки руху Tij. Необхідно змоделювати таку поверхню, яка була би вписана в заданий каркас дотичних.

Метод 1.3. В цьому методі застосовується вигладжування в поперечному напрямку. При цьому точки ij змінять своє положення і в поперечному напрямку.

Варіант 2 вихідних даних: заданий точковий каркас у вигляді сітки ламаних xij, yij, zij, i=1,…,M, j=1,…,N, які визначають дотичні до траєкторії руху.

Метод 2.1.Моделюємо траєкторії руху за допомогою плоских сегментів або просторових. Отримаємо точковий каркас ij і вектори дотичних Tij

Метод 2.2. Застосуємо метод 2.1 як перший етап. Далі аналогічно застосуємо таке ж моделювання кривих, але вже в поперечному напрямку на нових точках. Отримаємо новий точковий каркас. Дотичні до траєкторій руху можна розраховувати як середньоарифметичні між двома сусідніми в попередніх точках.

Метод 2.3. Цей метод забезпечує вписування поверхні в задану білінійну порцію. Для цього розрахуємо нові точки посередині в кожній порції. Напрямки дотичних співпадають із прямолінійними лініями білінійної порції. Якщо застосувати метод моделювання плоскими сегментами, то отримаємо поверхню, яка дотикається до цих порцій.

За результатами роботи розроблена та впроваджена у виробництво система проектування і розрахунку динамічних обводів. На рис. 14 і 15 представлені спроектовані тестові поверхні.

ВИСНОВКИ

Основні результати дисертаційної роботи можна коротко сформулювати наступним чином.

1. За аналізом сучасного стану і можливостей моделювання криволінійних обводів з урахуванням динамічності на початковому етапі автоматизованого їх проектування можна виділити 8 основних варіантів “плоских елементарних динамічних обводів”. Дослідження аналітичних можливостей різних способів визначення плоских кривих показує, що з певними наперед заданими умовами елементарні динамічні обводи можна визначити за допомогою дуг кіл, сегментів кривих другого порядку, раціональних кривих третього порядку, деяких нераціональних кривих третього порядку та евольвент.

2. Моделювання за допомогою зістикованих двох дуг кіл, так званих “біарків”, дає змогу оптимізації форми елементарного обводу. Моделювання за допомогою сегментів кривих 2-го порядку і раціональних кривих 3-го порядку забезпечує можливість завдання додаткових наперед заданих умов: кривин і похідних кривин на кінцях елементарного обводу та оптимізацію форми. Найкращі можливості з точки зору динамічності обводу притаманні евольвентам завдяки лінійному закону зміни радіуса кривини. Моделювання вторинних евольвент, тобто евольвент, у яких еволютою є евольвента, дає додаткові можливості керування законом зміни кривини уздовж кривої.

3. За дослідженнями моделювання динамічного обводу за допомогою вписаного колового сплайну виявлений його “глобальний” характер, що потребує попереднього аналізу вихідних даних. Виявлені можливості корекції цих даних для отримання оптимального в певному розумінні сплайнового обводу.

4. Моделювання вписаного в ламану сплайнового обводу за допомогою кривих другого порядку дає додаткові можливості завдання певних умов закону зміни кривини для досягнення цілей покращення “динамічних” властивостей обводу. Застосування сегментів із кривих третього порядку для моделювання сплайнових динамічних обводів значно поширює можливості завдання наперед заданих умов зміни кривини для цілей оптимізації форми.

5. Найбільші можливості в моделюванні “динамічних” сплайнових обводів дають сегменти евольвент завдяки лінійному закону зміни радіусу кривини. Застосування “вторинних” евольвент (тобто евольвент, у яких еволютою є евольвента – евольвент “вищих” порядків) дає змогу моделювати обводи з гладкістю 2-го, 3-го і більше порядків гладкості а також із заданими значеннями кривин та їх похідних уздовж обводу.

6. Виявлено, що просторовий сегмент може бути визначений за допомогою плоского, якщо в процесі переміщення точки по сегменту обертати площину, в якої знаходиться плоский сегмент, навколо фіксованих осей обертання. Різні закономірності обертання дають можливості визначати варіанти завдання просторового сегменту: за заданими кінцевими точками і дотичними в них, додатково за заданими кривинами в них та похідними кривин, із завданням стичних площин.

7. Завдання просторового сегменту за допомогою плоского дає можливості моделювання просторового одновимірного “динамічного” сплайнового обводу за заданими умовами моделювання. Одновимірний просторовий сплайновий динамічний обвод достатньо ефективно може бути змодельований також за допомогою дуг кіл та евольвент.

8. Виявлені можливості моделювання просторових одновимірних динамічних обводів за двома варіантами вихідних даних: впорядкованою множиною точок і дотичних в них та заданою просторовою ламаною лінією, в яку вписується криволінійний обвод.

9. Визначення просторового сегменту за допомогою плоского дає змогу моделювати порції поверхні за заданими варіантами вихідних даних: чотирма вузловими точками, дотичними в них в двох напрямках, додатково кривинами в двох напрямках та похідними кривин. Моделювання гладких сплайнових поверхонь можна здійснити за допомогою зазначених порцій поверхні за визначеними лініями фронту руху середовища та законів дотичних до ліній руху, а також заданих кривин та похідних кривин. При цьому визначено, що гладка стиковка порцій трансверсально до ліній руху можлива при визначенні у вузлах порцій рівних мішаних похідних.

10. Виявлено, що для зниження енерговитрат на переміщення середовища уздовж поверхні необхідно, щоб лінії фронту були спряжені до ліній руху. Для моделювання порцій, в яких твірні і напрямні лінії були спряженими, необхідно певним чином визначати трансверсальні похідні до граничних ліній.

11. Для моделювання “динамічних” поверхонь можна запропонувати два варіанти завдання вихідних даних: заданий впорядкований каркас точок і дотичні в них до ліній руху і задана сплайнова поверхня у вигляді множини білінійних порцій. Моделювання “динамічних “ поверхонь запропоновано за шістьма варіантами – по три варіанти за кожним зазначеним варіантом вихідних даних.

Основні положення дисертації опубліковано у таких роботах:

1. Бадаева Н.И., Малежик И.Ф. Алгоритм вписания окружностного сплайна в ломаную линию // Прикл. геометрия и инж. графика.-К.: Будівельник, 1985. –Вып. 40.-С.20-23.

2. Бадаева Н.И., Малежик И.Ф. Метод конструирования плоских обводов с помощью кубической кривой частного вида // Прикл. геометрия и инж. графика.-К.: Будівельник, 1986. –Вып. 41.-С.17-19.

3. Бадаева Н.И. Конструирование обводов, заданных первоначальным каркасом касательных // Прикл. геометрия и инж. графика.-К.: Будівельник, 1987. –Вып. 43.-С.88-89.

4. Бадаева Н.И. Конструирование плоских обводов по заданному каркасу касательных с равномерно распределенной кривизной // Прикл. геометрия и инж. графика.-К.: Будівельник, 1987. –Вып. 44.-С.53-54.

5. Павлов А.В., Бадаева Н.И. Конструирование криволинейных волнообразных обводов агрегатов, работающих в движущейся среде // Прикл. геометрия и инж. графика.-К.: Будівельник, 1988. –Вып. 45.-С.10-12.

6. Павлов А.В., Бадаева Н.И. Конструирование сопрягающих поверхностей, работающих в движущейся среде // Прикл. геометрия и инж. графика.-К.: Будівельник, 1988. –Вып. 46.-С.11-13.

7. Павлов А.В., Бадаева Н.И. Конструирование сопрягающих поверхностей с условием сопряженности // Прикл. геометрия и инж. графика.-К.: Будівельник, 1989. –Вып. 48.-С.7-8.

8. Бадаева Н.И. Оптимальная коррекция вписанного окружностного сплайна по критериям динамичности обвода // Прикл. геометрия и инж. графика.-К.: Будівельник, 1990. –Вып. 49.-С.82-84

9. Бадаева Н.И. Конструирование окружностного сплайна с учетом динамичности обвода // Прикл. геометрия и инж. графика.-К.: Будівельник, 1990. –Вып. 50.-С.101-102.

10. Бадаева Н.И. Аушева Н.Н. Проектирование пространственных динамических обводов // Сб. трудов 4-й Междунар. науч.-прак. конф. “Современные проблемы геометрического моделирования”.-часть 1.-Мелитополь:ТГАТА, 1997.- С.160-161.

11. Бадаєва Н.І. Алгоритм розрахунку дуги кола без використання координат центру і радіусу // Прикл. геометрия и инж. графика.-К.: Будівельник, 1998. –Вып. 63.-С.187-191.

12. Бадаєва Н.І. Конструювання динамічних обводів за допомогою евольвентних сегментів // Сучасні проблеми геометричного моделювання. Частина 2. Зб. праць Міжн. наук.-практ. конф. Харків: ХІПБ МВС України, 1998.-С.28-30.

13. Бадаєва Н.І. Евольвенти вищих порядків // Прикладная геометрия и инженерная графика:Труды./Таврическая государственная агротехническая академия.-віп.4-Т.9. –Мелитополь: ТГАТА, 1999. С.63-65.

[5], [6], [7] – постановку загальної проблеми та конкретних задач, контроль повноти досліджень, достовірності результатів виконано науковим керівником, співавтором публікацій. Результати теоретичних та компўютерних експериментів одержані здобувачем особисто.

Бадаєва Н.І. Моделювання динамічних обводів агрегатів, що працюють у рухомому середовищі. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.01.01 – Прикладна геометрія, інженерна графіка. – Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут”.

Дисертацію присвячено подальшому розвитку методів та засобів моделювання криволінійних обводів – ліній та поверхонь - з наперед заданими умовами зміни кривини та оптимізації форми для проектування форм машин і агрегатів, працюючих у рухомому середовищі. В роботі досліджені основні варіанти плоских та просторових динамічних обводів, що визначаються за допомогою дуг кіл, біарків, сегментів кривих 2-го та 3-го порядків, в тому числі і нераціональних, а також дуг евольвент. В методах моделювання за допомогою дуг кіл, біарків, сегментів кривих 2-го та 3-го порядків пропонуються ряд способів керування зміною кривини та оптимізації форми. Найбільш перспективними з точки зору застосування в проектуванні форм агрегатів, працюючих у рухомому середовищі, є евольвенти завдяки лінійному закону зміни радіуса кривини уздовж кривої. В роботі досліджені також “вторинні” евольвенти, тобто евольвенти, у яких еволютою є евольвенти. Показана можливість застосування таких евольвент для проектування обводів з 2-м та 3-м порядком гладкості. В роботі пропонується метод визначення довільного просторового сегменту за допомогою плоского. Пропонуються також варіанти моделювання сплайнових поверхонь із заданими певними “динамічними” характеристиками, у тому числі і з умовою спряженості визначаючої сітки кривих.

Ключові слова: сегмент кривої, порція поверхні, кривина, оптимізація форми, спряженість, мінімізація енерговитрат.

Бадаева Н.И. Моделирование динамических обводов агрегатов, работающих в движущейся среде. – Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата технических наук по специальности 05.01.01 – Прикладная геометрия, инженерная графика. – Национальный технический университет Украины “Киевский политехнический институт”.

Диссертация посвящена дальнейшему развитию методов и способов моделирования криволинейных обводов – линий и поверхостей - с наперед заданными условиями изменения кривизны и оптимизации формы для проектирования форм машин и агрегатов, работающих в движущейся среде. В работе исследованы основные варианты плоских и пространственных динамических обводов, которые определяются с помощью дуг окружностей, биарков, сегментов кривых 2-го и 3-го порядков, в том числе и нерациональных, а также дуг эвольвент.

Исследованиями моделирования динамического обвода с помощью вписанного окружностного сплайна выявленный его “глобальный” характер, который требует первоначального анализа исходных данных. Выявлены возможности коррекции этих данных для получения оптимального в определенном понимании сплайнового обвода. Моделирование вписанного в ломаную линию сплайнового обвода с помощью кривых второго порядка дает дополнительные возможности задания определенных условий закона изменения кривизны для достижения целей улучшения “динамических” свойств обвода. Использование сегментов из кривых третьего порядка для моделирования сплайновых динамических обводов значительно расширяет возможности задания наперед заданных условий изменения кривизны для целей оптимизации формы. Наибольшие возможности в моделировании “динамических” сплайновых обводов дают сегменты эвольвент благодаря линейному закону изменения радиуса кривизны. Использование “вторичных” эвольвент (то есть эвольвент, у которых эволютой является эвольвента – эвольвент “высших” порядков) дает возможность моделировать обводы с гладкостью второго, третьего и больше порядков гладкости а также с заданными значениями кривизн и их производных вдоль обвода.

Выявлено, что пространственный сегмент может быть определен с помощью плоского, если в процессе перемещения точки по сегменту вращать плоскость, в которой находится плоский сегмент, вокруг фиксированных осей вращения. Разные закономерности вращения дают возможность определить варианты задания пространственного сегмента: по заданным конечным точкам и касательным в них, дополнительно по заданным кривизнам в них и производным кривизн, и с заданием соприкасающихся плоскостей. Пространственный сегмент дает возможность моделировать пространственные одномерные “динамические” сплайновые обводы с заданными условиями моделирования. Одномерный пространственный сплайновый динамический обвод достаточно эффективно может быть смоделирован также с помощью дуг окружностей и эвольвент. Выявлены возможности моделирования пространственных одномерных динамических обводов по двум вариантам исходных данных: заданным упорядоченным множеством точек и касательным в них и заданным пространственною ломаною линиею, в которую вписывается криволинейный обвод.

Определение пространственного сегмента с помощью плоского дает возможность моделировать порции поверхности по заданным вариантам исходных данных: четыре узловые точки, касательные в них в двух направлениях, дополнительно кривизны в двух направлениях и производные кривизн. Моделирование гладких сплайновых поверхностей можно выполнить с помощью указанных порций поверхности по заданным линиям фронта движения среды и законам касательных к линиям движения, а также заданным кривизнам и производным кривизн. При этом выявлено, что гладкая стыковка порций трансверсально к линиям движения возможна при определении в узлах порций равных смешанных производных.

Выяснено также, что для снижения энергозатрат на перемещение среды вдоль поверхности необходимо, чтобы линии фронта были сопряжены с линиями движения. Для моделирования порций, в которых образующие и направляющие линии были сопряженными, необходимо определенным образом расчитать трансверсальные производные к граничным линиям. Выявлено также, что для гладкого склеивания таких порций в трансверсальном направлении к линиям движения необходимо определенным образом расчитать также и смешанные производные. Для моделирования “динамических” поверхностей можно предложить два варианта задания исходных данных: заданный упорядоченный каркас точек и касательные в них к линиям движения и задана сплайновая поверхность в виде множества билинейных порций. Моделирование “динамических“ поверхностей предложено шестью методами – по три по каждому указанному варианту исходных данных.

Ключевые слова: сегмент кривой, порция поверхности, кривизна, оптимизация формы.

Badaieva N.I. Modelling of dynamics lines and surfaces of units of units for work in space of moved. – Manuscript.

Dissertation on competition learned candidate degree of technical sciences on speciality 05.01.01 – Applied geometry, engineering graphics. – National Technicks University of Ukraine “Kiev Polytechnical Institute”.

The dissertation is devoted to the further development of methods and ways of modeling of contours curving (lines and surfaces) with the beforehand given conditions of change of curvature and optimization of the form for designing the forms of machines and units working in driven environment. In work the basic variants of flat and spatial contours are investigated which are defined with the help of arches of circles, biarcs, segments of curves of 2 and 3-rd orders, including irrational, and also arches evolvents. In methods of modeling with the help of arches of circles, diarcs, segments of curves of 2 and 3-rd orders are offered a number of ways of management of change of curvature