ТАВРIЙСКИЙ НАЦIОНАЛЬНИЙ УНIВЕРСИТЕТ

iм. В.I. Вернадського

Шведов Владлен Геннадiйович

УДК 535:52-626:681.7.068.2

ДИНАМIКА СИНГУЛЯРНИХ НЕПАРАКСіАЛЬНИХ ПУЧКIВ В ОКОЛI ВХIДНОГО ТОРЦЯ ОПТИЧНОГО ВОЛОКНА

01.04.05 — оптика, лазерна фiзика

Автореферат

дисертацiї на здобуття наукового ступеня

кандидата фiзико-математичних наук

Сiмферополь — 2001

Дисертацiєю є рукопис.

Робота виконана в Таврiйському нацiональному унiверситеті iм. В.I. Вернадського,

Мiнистерство освiти і науки України

Науковий керiвник: доктор фiзико-математичних наук, професор

Воляр Олександр Володимирович,

Таврiйський нацiональний унiверситет iм. В.I. Вернадського,

зав. кафедрою загальної фiзики

Офiцiйнi опоненти:

доктор фiзико-математичних наук, професор Горшков В'ячеслав Миколайович, Iнститут Фiзики НАН України, провiдний науковий співробiтник,

кандидат фiзико-математичних наук, доцент Фрiдман Юрiй Анатолiйович,

Таврiйський нацiональний унiверситет iм. В.I. Вернадського, доцент кафедри теоретичної фiзики.

Провiдна установа:

Чернiвeцький державний унiверситет iм. Юрiя Федьковича, фiзичний факультет, Мiнистерство освiти і науки України, м. Чернiвцi.

Захист вiдбудеться “ 2 ” лютого 2001 р. о 14 год. на засiданнi спецiалiзованої вченої ради K 52.051.02 при Таврiйському нацiональному унiверситетi iм. В.I. Вернадського за адресою: вул. Ялтинська 4, 95007, м.Сiмферополь.

З дисертацiєю можна ознайомитись у бiблiотецi Таврiйського нацiонального унiверситета iм. В.I. Вернадського за адресою: вул. Ялтинська 4, 95007, м.Сiмферополь.

Автореферат розiсланий 28 грудня 2000 р. .

Вчений секретар

спецiалiзованої вченої ради Яценко О.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Дана робота належить до розділу оптики сингулярних пучків у неоднорідних середовищах. В даний час виникла необхідність практичного використання оптичних волокон для передачі структурно стійких сингулярних пучків з метою створення надчутливих датчиків фізичних величин і інших пристроїв мікроелектроніки і мікробіології. Проте, для рішення цієї задачі необхідно систематизоване теоретичне дослідження електромагнітного поля сингулярних пучків в області вхідного торця оптичного волокна і виділення таких структурно стійких польових комбінацій, що узгодяться з власними модами оптичного волокна. Проблема поширення параксиальних пучків у вільному просторі добре вивчена [1, 2]. Як показує аналіз, параксиальні сингулярні пучки, що переносять оптичні вихори є структурно стійкими полями, тобто в процесі поширення в полi пучка не виникає додаткових фазових сингулярностей. Проте, дослідження, проведені ще в 70-х роках [3], і наприкінці 90-х років [4], показали, що процес фокусування реального лазерного пучка викликає народження і знищення фазових дислокацій (дислокаційних реакцій) в області перетяжки. Для більшості задач класичної оптики надається достатнім скалярне наближення, що дозволяє розглядати лазерні пучки, як стійкі хвилясті структури. Проте потреби сучасного оптичного приладобудування, зокрема, потреби розробки і створення надчутливих датчиків фізичних величин на основі оптичних волокон, що підтримують сингулярнi пучки, змушують не обмежуватися параксиальним підходом до даної проблеми, а розглядати векторну задачу в цілому, тобто вивчати проблему еволюцiї і структурної усталеності непараксиального сингулярного пучка. Наприклад, досить часто виникає задача ефективного збудження в оптичних волокнах спряманих власних вихорів. Але, як правило, навіть слабкі обурення пучків, радіус перетяжки яких порiвнюются з довжиною хвилі, викликає істотні зміни його структури в площині вхідного торця волокна. Отже, в оптичному волокні може реалізуватися не окремий сингулярний пучок, а комбінація власних мод, що викликають небажані шумові ефекти в оптичних приладах. [5].

Проблема непараксиальних пучків, як правило, розглядається в рамках скалярної хвильовой теорії [3,6-9]. Добір необхідних типів полiв здійснюється за допомогою наближених граничних умов у змісті Патаньяка або в змісті Дэвиса, відповідно до яких скалярна хвильова функція непараксиального пучка у фокальнiй площині поблизу осі (Д. Патаньяк) або на всій осі (Л. Девіс) повинна перетворюватись в скалярну хвильову функцію параксиального пучка. Як правило, хвилясте рівняння вирішується у виді Фур'є розкладань хвильовой функції в ряд по плоских хвилях, що ускладнює фізичний і математичний аналіз поля в області фокальної перетяжки. Запропоновані методи [6, 9, 7] не дозволяють здійснити суворий аналіз поля пучка у фокальнiй площині на торці оптичного волокна. Крім того поля оптичного волокна є істотно векторними структурами [10], тому проблема стійкого порушення сингулярних пучків у волокні може бути коректно вирішена лише в рамках векторної моделі поля непараксиальних пучків.

Відомі приватні засоби побудови компонент електромагнітного поля в області фокусування [6], [9], [11], наприклад Д.Патаньяк і Г.Агравал [11], для побудови компонент електромагнітного поля використовували метод скалярних потенціалів Уiттекера. Проте невдачно обрані наближені граничні умови і використання методу Фурьє-розкладень по плоских хвилях дозволяли провести наближений аналіз поля тільки в області далекої від фокуса.

На початку 70-х років [12] був запропонований метод точного рішення скалярного рівняння Гельмгольца на основі уявлення крапкового джерела, приміщеного на мнимій відстані від площини перетяжки. Проте, тільки наприкінці 90-х років К. Шеппард і С. Софафi [13], за використанием цього методу змогли дати векторний опис окремого випадку фундаментального лазерного пучка, у параксиальному наближенні перехідного у фундаментальний гауссiв пучок. При цьому проблема електромагнітних полів непараксиальних сингулярних пучків не була порушена. Така неуважність до даної проблеми К. Шеппард пояснив тим фактом, що хвильова функція скалярних пучків у загальному випадку є функцією комплексного перемінного і її неможливо трансформувати щодо простим методом у функції параксиальних пучків як дійсного так і комплексного перемінного. Це значить, що наближені граничні умови для модових пучків вищих порядків не були сформульовані.

Актуальнiсть теми дослiджень.Таким чином, розробка надчутливих датчиків фізичних величин на основі оптичних волокон, що транслюють сингулярнi пучки, тісно пов'язана з проблемою узгодження полiв цих волокон із непараксиальними сингулярними пучками вільного простору. Ця обставина підкреслює актуальність і практичне значення дисертаційной роботи.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослiдження, результати яких представленi у дисертацiї, виконанi у межах науково-дослiдного проекту Мiнiстерства освiти України “Фiзичнi властивостi векторних сингулярностей поля маломодових оптичних волокон”(1997-1999 рр., № держреєстрацiї 0197V000438) і “Дислокацiйнi реакцiї у непараксиальних збурених лазерних струменях в областi фокуса”(2000-2002 рр., № держреєстрацiї 0100V001363) на кафедрi загальної фiзики Таврiйського нацiонального унiверситету iм. В.I. Вернадського.

Метою данної роботи було вивчення електромагнiтного поля сингулярних пучків в області фокуса мiкрооб'єктива та видiлення таких структурно-стiйких полевих комбiнацiй, якi узгодженi з власними модами оптичного волокна.

Для досягнення цiєї мети вирiшувалися задачi:

1) Теоретично досліджувати точні рішення скалярного хвильового рівняння Гельмгольца з виділеною віссю поширення пучка і знайти граничний перехід до параксиальних скалярних пучків.

2) За допомогою знайдених точних скалярних рішень хвильового рівняння, знайти векторні непараксиальнi поля, що задовольняють рівнянням Максвелла.

3). Теоретичне дослiдження всiєї групи точних рішень рiвнянь Максвелла, для структурно-стiйких сингулярних струменiв в області торця оптичного волокна.

4). Використовуючи методи операцiйного числення, проаналiзувати структуру сингулярних власних мод та їх постiйних поширення в слабоспрямовуючих оптичних волокнах та видiлити їх загальнi характеристики i iстотнi розрiзнення зi структурою непараксиальних пучків у вiльному просторi.

Наукова новизна результатiв, отриманих у цiй роботi, полягає у тому, що в нiй:

1) Вперше проаналізовано структуру спектра сингулярностей і топологічних фаз скалярного непараксиального лазерного пучка, що переносить оптичні вихори. Визначено координати фазових сингулярностей для пучків із рівними і різноманітними модовими індексами.

2) Вперше побудовано систему суворих рішень рівнянь Максвелла для структурно стійких сингулярних пучків. Визначенi і проаналізовані поля оптичних вихорів, спроможних у параксиальному наближенні погоджуватися з полями власних мод оптичного волокна.

3)Вперше проаналізовано структуру постійних поширення мод слабоспрямовуючого оптичного волокна і сингулярного модового пучка у вільному просторі в окрузі вхідного торця оптичного волокна. Показано їхню структурну ідентичність.

4) Знайдено, що характерною рисою мод слабоспрямовуючого волокна є наявність у постійної поширення поляризаційної поправки, розмір якої дорівнює, з одного боку, середньому значенню оператора спин-орбітальної взаємодії у полі вихору, а з іншого боку визначається середнім значенням топологічної фази Беррі.

Наукове та практичне значення отриманих результатiв полягає в тому, що дана робота істотно розширює фізичні уявлення про структуру і властивості векторних непараксиальних модових пучків, доповнює фізичні уявлення про природу власних мод оптичного волокна.

Результати досліджень можуть бути використані при розробці надчутливих датчиків фізичних величин на основі оптичних волокон, що передають сингулярнi пучки.

Публiкацiї i особистий внесок здобувача в отриманнi наукових результатiв. За матерiалами дисертацiйної роботи опублiковано 13 наукових праць. Список основних публiкацiй наведено в кiнцi автореферату.

Особистий внесок автора полягає в участi у теоретичних розрахунках, проведеннi багатьох математичних розрахунків, iнтерпретацiї одержаних результатiв.

Зокрема, у роботах [1-2] дисертантом запропоновано метод розрахунку аномальної фази, теоретичний аналіз задачі, математичні вирахування, обговорення результатiв у роботах [3-9] розроблено математичну модель спiн-орбiтальної взаємодії в модах оптичного волокна, проведено математичні вирахування, теоретично проаналiзовані отримані результати; у роботах [10-13] приймалася участь у розробці методів побудови непараксиальних мод вільного простору, проведені математичні розрахунки, дані фізичні трактування отриманих результатів.

Апробацiя роботи. Матеріали дисертації були повідомлені й обговорені на Першій Міжнародній конференції “Сингулярная оптика-97” (Крим, Партенит, 1997 р.), Пятої Міжнародної конференції “Кореляційна оптика-99” (Чернівці, 1999 р.), Другої Міжнародної конференції “Сингулярная оптика 2000”, (Алушта, 2000 р.).

Структура i об'єм дисертацiї. Дисертацiя складається зi вступу, чотирьох роздiлiв, висновкiв, списку лiтератури з 131 джерела, якi займають 11 сторiнок, 7 таблиць i 23 рисункiв. Повний об'єм дисертацiї складає 172 сторiнки.

ОСНОВНИЙ ЗМIСТ РОБОТИ

У вступi обгрунтовується актуальнiсть дисертацiйної роботи та її зв'язок з науковими програмами i темами дослiджень, якi виконуються на кафедрi загальної фiзики Таврiйського нацiонального унiверситета, сформульованi позначка i основнi задачi роботи, її наукова новизна i практичне значення одержаних результатiв, наводяться дані про апробацiю роботи.

У першому роздiлi, разом з оглядом літератури по темі дисертації, розглянуто основні положення сингулярної оптики. Наведено приклади сингулярних пучків і їхніх математичних моделей.

У даному розділі отримане точне рішення скалярного хвильового рівняння в області фазових сингулярностей а також побудовані рішення для непараксиальних мод вищих порядків, спроможних у межі перейти в параксиальний пучок.

Скалярне поле лазерного пучка у вільному просторі описується скалярним рівнянням Гельмгольца:

, (1)

частковим рішенням якого є хвильові функції подані у виглядi:

, (2)

де - сферичні функції Бесселя 1-го роду m-го порядку ,

- сферичні функції Ханкеля 1-го роду m-го порядку,

Jn (x) - циліндрічні функції Бесселя 1-го роду n -го порядку,

Hn (x) - циліндрічні функції Ханкеля 1-го роду n -го порядку [53, 54],

(3)

- сферичні функції m-й ступеня l-го порядку,

- приєднані поліноми Лежандра [55], , індекс l пробігає як негативні, так і позитивні значення, - нормувальний множник.

Фактично це рішення являє собою набір сферичних хвиль. Для того, щоб від сферичних хвиль, що мають сингулярнiсть у точці розташування джерела, перейти до спрямованих лазерних пучків, розташуємо джерело і стік у мниму точку iz0 оптичної осі. Це значить, що кожна точка хвильового фронту тепер характеризується комплексним радіусом:

, . (4)

У цьому випадку рішення у виді сферичних гармонік із комплексним радіусом у параксиальному наближенні kz0>>1 (див.рис.1) для фундаментальної моди при m=l=0 переходить у рішення для фундаментального параксиального гаусового пучка. Фактично, такий перехід відповідає наближеним граничним умовам у змісті Девiса.

Рис.1. Залежність функції від довжини Релея: а) kz0 = 1, kz0 = 10. Жирною лінією позначена гаусова обгинаюча.

Моделі параксиальних і непараксиальних модових пучків, що поширюються у вільному просторі, є рішеннями цілком різноманітних диференціальних рівнянь, що належать параболічному й еліптичному класам, тому надається цілком надзвичайним той факт, що параксиальний хвильовий пучок може описувати реальні лазерні пучки. Проте, як відзначається в роботі [1], таке гарне відображення реальних властивостей поля поширюється не на всі лазерні пучки, а тільки на моди самих нижчих порядків. Чим вище індекс моди, тим істотніша неузгодженість між параксиальною теорією й експериментом.

У даному розділі ми саме торкнулися цього важливого для практики питання. Звичайно при висновку параболічного хвильового рівняння, що описує параксиальні пучки, зневажаємо другою похідною від хвильової функції по z: . Це значить, що усереднюються швидкі осциляції поля в масштабі довжини хвилі. Нам вдалося показати, що використання комплексного радіусу , дозволяє одержати рішення скалярного рівняння Гельмгольца в явній формі і проаналізувати спектр його фазових дислокацій і спектр топологічних фаз. Надається, що найважливішою характеристикою непараксиального лазерного пучка є його вихровий склад, що виражається просторовою сукупністю подовжніх і поперечних оптичних вихорів. Як правило, у незбуреному пучку, центр подовжнього вихору лежить на оптичній осі і по своїм властивостям мало відрізняється від властивостей параксиального подовжнього оптичного вихору. Зовсім інакше складається справа з поперечними оптичними вихорами. Фактично їхнє просторове положення задає спектр ліній кільцевих дислокацій, локалізованих винятково в площині фокальної каустики z=0. Саме ці поперечні вихори по своїй суті є результатом інтерференції однорідної і еванесцентної хвиль пучка і принципово розділяють непараксиальний і параксиальний пучки.

Зневажаючи в хвильовому рівнянні швидкими осциляціями по z у масштабі довжини хвилі, тим самим зневажають усім спектром поперечних вихорів. Проте, як показано в даній роботі, обрізання еванесцентних хвиль призводить до додаткової деформації пучка і виникненню подій народження і знищення оптичних вихорів у фокальній площині і їхнього зсуву від площини фокальної каустики. Для того, щоб викликати такі дислокаційні реакції достатньо одного точкового джерела, розташованого на оптичній осі, амплітуда поля якого може бути значно менше амплітуди основного незбуреного пучка.

Слід зазначити, що непараксиальний пучок крім характерного спектру поперечних оптичних вихорів має власний спектр повної фази, що являє собою складну сукупність топологічної і динамічної фази. У параксиальній межі топологічна фаза параксиального пучка плавно переходить в аномальну фазу Гуі.

У роботі показано, що топологічний характер аномальної фази Гуі пов'язаний не тільки зі зміною кривизни хвильового фронту, але і з обертанням його поверхні. У свою чергу, обертання поверхні хвильового фронту викликано саме тим, що світловий потік у непараксиальному пучку поширюється уздовж прямолінійних утворюючих однополостного гіперболоіда обертання.

Порівнюючи параксиальний і непараксиальний пучки вищих порядків, ми показали, що неможливо знайти простого співвідношення, що дозволяє здійснити плавний перехід між параксиальним і непараксиальним пучками вищих порядків. Проте, такий перехід можна одержати для пучків Лагерра-Гауса удалині від фокальної площини. Така істотна різниця між поводженням фундаментального гаусового пучка і пучків Лагерра-Гауса пов'язана з некоректністю використання параболічного хвильового рівняння для опису модових пучків і, відповідно, із ростом порядку гауссового пучка зростає похибка в описі його властивостей. У непараксиальних пучках вищого порядку не вдасться розділити топологічну і динамічну фази. Це пов'язано з тим, що топологічна фаза є слідством циклічної зміни параметрів хвильової функції. Для параксиального пучка такі циклічні зміни пов'язані з обертанням хвильового фронту, у той час, як у непараксиальному пучку на додаток до обертання хвильового фронту є присутня прецесія вектора Пойнтинга навколо кільцевих дислокацій.

Важливим результатом цього розподілу є висновок про те, що для адекватного описання непараксиальних пучків необхідно враховувати як скалярні, так і векторні характеристики, тобто поляризаційні властивості електромагнітних хвиль.

У другому роздiлi досліджувалася повна множина полів модових пучків нижчого порядку, що дозволяють уявити поле з любою поляризацією в непараксиальній області. У цьому ж розділі проведений аналіз комбінацій непараксиальних векторних пучків нижчого порядку, зведених у параксиальному наближенні до мод Лагерра-Гаусса і аналіз особливих точок і ліній векторного поля.

Лазерний пучок у реальному фізичному експерименті характеризується шістьома компонентами електричного і магнітного полів. Тому для його опису надається цілком недостатнім аналіз рішення тільки скалярного хвильового рівняння Гельмгольца. У даному розділі знайдені точні аналітичні рішення рівнянь Максвелла для вільного простору, подані в явній формі, зручні для аналізу. Ці моди мають як різноманітну поляризаційну структуру поля, так і свій власний спектр дислокацій.

Для того, щоб перейти від скалярних рішень рівняння Гельмгольца до векторних полів модових пучків нижчого порядку l=0, що відповідають наближеним граничним умовам Девіса, скористаємося методом скалярних потенціалів Уіттекера. Тоді співвідношення між скалярними потенціалами і компонентами полів можна уявити у виді:

(5)

(6)

де V1 і V2 хвильові функції, що задовольняють рівнянню:

(7)

У відмінності від скалярних модових пучків, для аналізу яких достатньо тільки однієї хвильової функції, векторні лазерні пучки описуються шістьома скалярними хвильовими функціями, кожна з який має свій власний спектр дислокацій і топологічних фаз. Тому, для аналізу дислокаційного складу векторного пучка використовувався вектор Пойтінга. Зокрема, z-компонента вектора Пойтінга характеризує відразу загальну структуру дислокації чотирьох компонент поля.

Показано,що електромагнітний пучок для будь-який LP моди при достатньо малих радіусах перетяжки (rz0~1) втрачає свою осьову симетрію (рис.2). Якщо спектр дислокацій скалярного пучка нижчого порядку являє собою систему концентричних кілець (аномальні кільця Эйрі), то лінії нулів z-компоненти вектора Пойтинга мають витягнуту уздовж однієї з поперечних осей форму.

Відзначимо, що деформація перетину пучка не зникає при видаленні поля від площини перетяжки. За рахунок явища дифракції в дальній зоні відбувається лише поворот виділеної осі деформації і відповідно уширення пучка.

Поряд із деформацією поперечного перетину має місце локальна зміна напрямку поляризації.

Рис.2. Розподіл інтенсивності (Pz-компоненти вектора Пойнтінга) і лінії фазових сингулярностей при у фокальній площині лінійно поляризованій моді.

Циркулярно поляризований пучок формально можна скласти з LP мод однієї парності або LP мод різноманітної парності. Нами показано, що циркулярно поляризована CP мода, подана комбінацією LP мод тільки парну або непарну групи мод, має осесиметричну форму пучка й однорідно розподілену циркулярну поляризацію на всьому протязі осі z. Пучки ж, складені з LP мод різноманітної парності, мають деформовану форму поперечного перетину на всьому протязі осі z і неоднорідний розподіл поляризації. Тому, запропоноване нами розкладання довільної поляризації непараксиального пучка по ортогональному базису LP мод однакової парності є більш зручним, у порівнянні з методом, запропонованим у [11].

Примітно те, що подовжні компоненти електричних і магнітних полів циркулярно поляризованих мод мають чисто гвинтову дислокацію,знак топологічного заряду якої збігається зі знаком циркулярної поляризації пучка. У той же час поперечні компоненти CP мод мають тільки лише кільцеві дислокації в області фокальної каустики. Така структура поля циркулярно поляризованих мод багато в чому аналогічна циркулярно поляризованої HE11 моді слабоспрямованого циліндричного волокна.

Аналогія з модами оптичного волокна стає ще більш явною, якщо їх порівнювати з полями азимутально симетричних TM і TE мод.

Проведене порівняння з теоретичними й експериментальними результатами (див., наприклад, [11]) показало гарне узгодження з нашими даними. У той же час подані в даній роботі результати мають більш загальний характер і дають більший діапазон пророкувань нових фізичних результатів, тому що вони охоплюють повний спектр мод. Крім того вираження для полів, що є суворим рішенням рівнянь Максвелла, подані в явній аналітичній формі, що зручно для їхнього математичного аналізу.

У третьому роздiлi досліджувалися модові комбінації непараксиальних сингулярних пучків. Вивчено граничні переходи до параксиальних векторних пучків і знайдені моди, що погоджуються з власними модами оптичного волокна.

У даному розділі отримані і проаналізовані рішення рівнянь Максвелла для полів із чисто гвинтовою дислокацією на оптичній осі.

Виберемо скалярні потенціали у вигляді:

(8)

Скориставшись відповідністю (5), (6), знаходимо вираження для компонент електричного і магнітного поля у випадку рівності модових індексів l=m (див.таб. 1). У наближенні kz0>>1 поля непараксиального пучка переходять у поля параксиальних оптичних вихорів.

Таблиця 1.

Власні моди непараксіальних сингулярних пучків вищих порядків

Рис.3. Структурна нестійкість у типах вихорів.

Точне рішення рівнянь Максвелла для модових пучків із чисто гвинтовою дислокацією на осі подає систему хвильових функцій для компонент поля, що описують досить складну комбінацію подовжніх і поперечних оптичних вихорів. Чисто гвинтовій дислокації на осі відповідає подовжній вихор із гвинтовою дислокацією . Чисто гвинтову дислокацію охоплює система крайових кільцевих дислокацій. Всі отримані рішення для сингулярних пучків відповідають приблизно граничним умовам у змісті Девіса, якщо модові числа хвильових функцій l і m однакові. Для різноманітних значень l і m плавний асимптотичний перехід між параксиальным і точним рішеннями неможливий. Узгодження точного і параксиального рішень можливо тільки лише для пучків із kz0>>1 удалині від фокальной площини z=0.

Відзначимо, що для застосування отриманих рішень для сингулярних модових пучків варто посилити наближені граничні умови, тому що не всі модові комбінації структурно стійкі (див.рис.3). Для цієї мети необхідно вибрати наближені граничні умови так, щоб отримані суперпозиції часткових рішень були також структурно стійкими модами вільного простору. Зокрема, граничні умови в змісті Д. Патаньяка і Г. Агравала не відповідають вище зазначеній вимозі, оскільки в області фокуса в пучках з'являються додаткові фазові й амплітудні особливості.

Ми обмежили клас рішень хвилями, що відповідають модам оптичного волокна з довільним профілем показника переломлення в поперечному перетині. Поля цих мод мають неоднорідну лінійну поляризацію в поперечному перетині. Окремий випадок цих полів приведений на рис. 4., а розподіл інтенсивності в площині перетяжки на рис.5.

Рис. 4. Розподіл силових ліній електричного (чорні лінії) і магнітного (сірі лінії) полів сингулярних пучків у площині z=0 при для таких мод: а) , б) , в) , г) , д) , е) . Темний кружок виділяє область пучка з радіусом перетяжки .

Рис. 5. Розподіл інтенсивності у фокальній площині а) - , б) , в) , г) TE, TM мод.

Такий вибір граничних умов забезпечив уявлення рішень рівнянь Максвелла у виді дванадцятьох типів пучків (таб.1.). Ці пучки можна розділити на дві великі родини електричних і магнітних типів хвиль. Кожна з цих родин у свою чергу розділяється на групи гібридних мод HEl+1,l парні і непарні і HEl-1,l парні і непарні, що мають проекції на оптичну вісь z як електричного так і магнітного полів.

За допомогою цих двох великих груп модових пучків були побудовані дві групи оптичних вихорів за правилами: однорідні CV вихори - , неоднорідні . Кожний із цих вихорів переносить топологічний заряд l. У групі однорідних вихорів знаки циркулярної поляризації і топологічного заряду однакові й утворять стани і . У неоднорідних вихорів знаки поляризації і топологічного заряду протилежні й утворять стани і .

У параксиальному наближенні хвильові функції однорідних і неоднорідних вихорів у точності відповідають хвильовим функціям однорідних і неоднорідних вихорів слабоспрямовуючего осесиметричного волокна із параболічним профілем показника переломлення поперечного перетину (таб.2.). Це означає, що параксиальні оптичні вихори цього типу можуть збуджувати відповідні вихори слабоспрямовуючого оптичного волокна із коефіцієнтом зв'язку близьким до одиниці.

Таблиця 2.

Квазіпараксиальні поля сингулярних пучків

Кожному вихору вільного простору відповідає тільки один вихор оптичного волокна. Для інших профілів показника заломлення коефіцієнти узгодження вільного простору і волокна залежать від розміру відхилення профілю від параболічного.

Ідентичність вихорів вільного простору і волокна, а також їхніх власних мод HE і EH груп означає не тільки збіг структури силових ліній полів, але і їхніх фазових характеристик. У слабоспрямованому волокні моди характеризуються не тільки структурою, але і постійною поширення, розмір якої залежить від азимутального і радіального індексу l і m, а також від різниці показника заломлення серцевини й оболочки. Моди вільного простору поблизу торця волокна також мають дискретний спектр топологічних фаз (аномальних фаз Гуі), розмір яких пропорційний топологічному заряду l і має той же порядок малості, що і нульова поправка до постійного поширення моди у волокні.

У четвертому роздiлi отримана умова узгодження між структурно стійкими модами вільного простору й оптичного волокна з параболічним профілем показника заломлення.

На відміну від власних мод вільного простору, на що спрямовуються моди оптичного волокна накладається додаткова умова трансляційної інваріантості, що виникає внаслідок наявності неоднорідності розподілу показника заломлення в поперечному перетині волокна. У результаті цього, векторне хвильове рівняння має вигляд:

(9)

де b - постійна поширення моди, f(r) - функція профілю поперечного перетину волокна.

У слабоспрямовуючих волокнах у променевому наближенні виродженій теорії збурень можна зневажити правою частиною (9). У результаті цього неоднорідне хвильове рівняння (9) переходить у векторне однорідне рівняння. Постійна поширення b перетвориться у скалярну постійну поширення , а поле моди е переходить у :

(10)

Рішення рівняння (10) для осесиметричного середовища оптичного волокна, являє собою групу HEl+1,m і EHl-1,m мод (див.таб. 1), і було вибрано нами у вигляді наближених граничних умов для модових пучків вільного простору поблизу торця волокна.

У волокні з параболічним профілем показника заломлення можна знайти зв'язок між рівняннями (9) і (10) через поляризаційну поправку до постійного поширення :

, (12)

де - нормучий множник, .

Підінтегральне вираження в (12) уявимо в операторном вигляді:

. (13)

Оператор можна уявити у вигляді:

, (14)

де , .

Оператор (14) аналогічний оператору спін–орбітальної взаємодії електронів у циліндрично-симетрічному полі.

У такий спосіб наявність потенціалу, що зв'язує, в осесиметрічному середовищі волокна (права частина в рівнянні (9)) призводять до виникнення спін-орбітальної взаємодії в полі власних мод.

Отриманий явний вигляд оператора спін-орбітальної взаємодії показує, що він складається з двох незалежних операторів. Середнє значення оператора спін-орбітальної взаємодії визначає поляризаційну поправку до скалярної постійної поширення власної моди (вихору).

Власні значення оператора спін-орбітальної взаємодії для волокна з параболічним профілем показника заломлення пропорційні розміру l+s . Для однорідних CV вихорів відповідно маємо l+1, а для неоднорідних - l-1. Це вказує на істотний вплив стана поляризації і топологічного заряду на характер поширення власних мод. Поляризаційна поправка до постійної поширення характеризується відомою топологічною фазою вихору, що виникає внаслідок азимутальних циркуляцій потоку енергії. Різноманітний вплив спін-орбітальної взаємодії на однорідні і неоднорідні вихори викликає топологічне двопроменеве заломлення у волокні. Цей ефект можна розділити на лінійне і циркулярне двопроменеве заломлення. Лінійне двопроменеве заломлення властиве для азимутально симетричних TE і TM мод, тоді як циркулярне характерне для однорідних і неоднорідних вихорів.

У результаті спільної дії циркулярного і лінійного двопроменеве заломлення спостерігається обертання осі виродженої крайової дислокації в циркулярно поляризованих модах, і обертання площини поляризації в линійно поляризованих оптичних вихорах. Для волокон із довільним профілем показника заломлення має місце одночасне обертання осі дислокації і площини поляризації.

ОСНОВНI РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

1. Знайдене і проаналізоване точне рішення скалярного хвильового рівняння Гельмгольца. Показано, що часткове рішення цього рівняння у вигляді модових пучків з однаковими значеннями модових індексів l=m у параксиальній межі цілком еквівалентно параксиальним модовим пучкам. Для непараксиальних модових пучків із параксиальний перехід kz0>>1 можливий тільки в області удалині від фокальної перетяжки.

2. Побудовано точні рішення cкалярного хвильового рівняння для топологічного диполя, що удалині від перетяжки може переходити в параксиальне рішення при kz0>>1.

3. Побудовано скалярну модель проходження непараксиального пучка через лінзу без оправи. Показано, що дислокаційні реакції (народження і знищення дислокації) у незбуреному гаусовому пучку відсутні. Всяка зміна довжини Релея в такому пучку призводить до синхронного зсуву дислокаційних кілець у фокальній площині. Поза фокальною площиною кільцеві дислокації не існують.

4. Показано, що в параксиальних модових пучках нижчих порядків енергія поширюється уздовж прямих променевих траєкторій. Цей процес викликає обертання хвильового фронту пучка, що в остаточному підсумку призводить до появи додаткової топологічної фази. Розмір цієї фази чисельно дорівнює аномальній фазі Гуі.

5. Знайдено точні рішення рівнянь Максвелла для мод непараксиальних векторних пучків. Показано, що множина нижчих мод лазерного пучка розділена на шість типів: парні і непарні моди з виділеною лінійною поляризацією уздовж осі y і осі x і азимутально симетричні поперечні електричні TE і поперечно магнітні TM моди. У параксиальному наближенні компоненти цих мод гладко переходять у параксиальні векторні поля нижчого порядку.

6. Проведено порівняння з теоретичними й експериментальними результатами робіт інших авторів. Показано добре узгодження з результатами даної роботи. У той же час, подані в дисертаційній роботі результати носять більш загальний характер і дозволяють передбачати нові оптичні явища.

7. Знайдено точні рішення рівнянь Максвелла для модових пучків із чисто гвинтовою дислокацією на осі і показано, що поля цих пучків являють собою складну комбінацію подовжніх і поперечних оптичних вихорів.

8. Показано, що для конкретного застосування оптичних вихорів недостатнє формулювання наближених граничних умов у змісті Девіса. Сформульовано додаткові граничні умови для полів непараксиальних оптичних вихорів поблизу вхідного торця оптичного слабоспрямовуючего волокна.

9. Показано, що непараксиальні пучки поблизу торця оптичного волокна розділяються на дванадцять груп: пучки електричного і магнітного типу, що містять гібридні HEl+1,l і EHl-1,l парні і непарні моди, у свою чергу HEl+1,l мода виділяє основну однорідно лінійно поляризовану HE10, а EHl-1,l мода при l=1 розпадається на азимутально поляризовані поперечно електричні TE і поперечно магнітні TM моди. Всі моди усередині групи, за винятком HE10 моди, неоднорідно поляризовані і на оптичній осі мають чисто гвинтову дислокацію поляризації.

10. Побудовано поля непараксиальних вихорів, що розділяються на чотири великі групи: пучки електричного і магнітного типу з однорідними і неоднорідними CV вихорами. Однорідні вихори мають однакові знаки топологічного заряду і циркулярної поляризації й утворять стани , неоднорідні вихори мають різноманітні знаки топологічного заряду і циркулярної поляризації й утворять стани .

11. Показано, що компоненти полів параксиальних власних мод і вихорів у вільному просторі цілком ідентичні полям оптичного слабоспрямовуючого волокна з осьовою симетрією поперечного перетину. Показано, що поправка до хвильового числа моди слабоспрямовуючого волокна у скалярному наближенні теорії збурень така ж як і аномальна фаза Гуі поблизу торця волокна.

12. Побудовано оператор спін-орбітальної взаємодії для мод слабоспрямовуючого волокна із параболічним профілем показника заломлення. Середнє значення цього оператора дорівнює поляризаційній поправці до скалярної постійної поширення власної моди.

13. Показано, що оператор спін-орбітальної взаємодії робить різноманітні впливи на власні функції однорідних і неоднорідних вихорів. Розходження цього впливу на хвильовой функції полів виражається в топологічному двопроменеве заломлення слабоспрямовуючих волокон.

14. Показано, що неоднорідне локальне ізотропне середовище слабоспрямовуючих волокон викликає лінійне і циркулярне топологічне двопроменеве заломлення мод волокна. Це топологічне двопроменеве заломлення виражається в обертанні осі дислокації циркулярно поляризованої моди або обертанням площини поляризації лінійно поляризованого вихору. Напрямок обертання має протилежний знак.

15. Показано, що поляризаційна поправка до скалярної постійної поширення однорідних і неоднорідних вихорів дорівнює топологічній фазі Беррі і викликана азимутальною циркуляцією енергетичного потоку вихору навколо оптичної осі.

Основнi результати дисертацiї опублiковано в роботах:

1. Воляр А.В., Фадеева Т.А., Шведов В.Г. Топологическая фаза в непараксиальном гауссовом пучке// Письма в ЖТФ — 1999. — Т.25, вып. 22 — С. 47-53.

2. Воляр А.В., Шведов В.Г., Фадеева Т.А. Вращение волнового фронта оптического вихря в свободном пространстве// Письма в ЖТФ — 1999. — Т.25, вып. 5 — С. 87-95.

3. Воляр А.В., Жилайтис В.З., Фадеева Т.А., Шведов В.Г. Топологическое двулучепреломление и объедененный эффект Рытова-Магнуса// Письма в ЖТФ — 1999. — Т.25, вып. 5 — С. 41-47.

4. Shvedov V.G., Volyar A.V., Zhilaytis V.Z. Berry's phase of guided vortices in an optical fiber // Proceedings of SPIE. — 1997. — Vol.3487. — P.54-58

5. Fadeeva T.A., Shvedov V.G., Volyar A.V., Zhilaytis V.Z. Topological birefringence of optical vortices in a low-mode fiber // Proceedings of SPIE. — 1997. — Vol.3487. — P.71-77.

6. Воляр А.В., Жилайтис В.З., Фадеева Т.А., Шведов В.Г. Топологическая фаза оптических вихрей в маломодовых волокнах. // Письма в ЖТФ. — 1998. — Т.24, вып. 8. — С.83-89.

7. Воляр А.В., Жилайтис В.З. Шведов В.Г. Спин-орбитальное взаимодействие в поле оптического вихря маломодового волокна // Письма в ЖТФ. — 1998. — Т.24, вып. 20. — С. 87-93.

8. Воляр А.В., Жилайтис В.З., Шведов В.Г., Соскин М.С., Фадеева Т.А. Топологическое двулучепреломление оптических вихрей в неоднородных средах // Оптика атмосферы и океана. — 1998. — Т.11, №11. С.1199-1214.

9. // 9. Воляр А.В., Жилайтис В.З., Шведов В.Г. Оптические вихри в маломодовых волокнах. II. Спин-орбитальное взаимодействие // Оптика и спектроскопия. — 1999. — Т.86, №.4. — С. 664-670.

10. Fadeyeva T. A., Shvedov V. G. and Volyar A. V. Gaussian bean beyond a paraxial barrier // Proceedings of SPIE — 1999. — V.3904. — P.61-67.

11. Alexeyev A. N., Borodavka O. S., Shvedov V. G. Birth and evolution of the optical dipoles on the dielectric transparent wedge // Proceedings of SPIE. — 1999. — V.3904. — P.68-73.

12. Borodavka O. S., Volyar A. V., Shvedov V. G., Reshetnicoff S. A. Optical Magnus effect in a free space // Proceedings of SPIE. — 1999. — V.3904. — P.55-60.

13. Reshetnicoff S. A., Volyar V. A., Shipulin O. A., Shvedov V. G. and Volyar A. V. The experimental studying of chain dislocations reaction in a nonparaxial gaussian beam focus// Proceedings of SPIE. — 1999. — V.3904. — P.104-111.

Література, що цитувалась:

1. Маркузе Д. Оптические волноводы. — М: Мир, 1974. — 576с.

2. Солимено С., Крозиньяни Б., Порто П. Ди. Дифракция и волноводное распространение оптического излучения. — М: Мир, 1989. — 662 с.

3. Carter W.H. Electromagnetic field of a Gaussean beam whith an elliptical cross section // J. Opt. Soc. Am. — 1972. — V. 62. — P. 1195-1201.

4. Berry M. Wave dislocation reaction in nonparaxial Gaussian beams // J. Mod. Opt. — 1998. — V. 45. — P. 1845-1851.

5. Воляр А.В., Фадеева Т.А. Вихревая природа мод оптического волокна: I. Структура собственных мод // Письма в ЖТФ. — 1996. — Т.22, вып.8. — С.57-62.

6. Lax M., Louisell W. and Mc.Knight W. B. From Maxwell to paraxial wave optics // Phys. Rev. A. — 1975. — V.11, №4. — P. 1365-1370.

7. Agrawal G.P. and Pattanayak D.N. Gaussian beam propagation beyond the paraxial approximation // J. Opt. Soc. Am. — 1979. — V.69, №4. — P. 575-578.

8. Berry M. Evanescent and real waves in quantum billiards and Gaussean beam // J. Phys. A. Math. Gen. — 1999. — V.27. — P. 391-398.

9. Davis L.W. Theory of electromagnetic beams // Phys. Rev. A. — 1979. — V.19, №3. — P.1177-1779.

10. Снайдер А., Лав Дж. Теория оптических волноводов. – М.: Радио и Связь, 1987. – 656 с.

11. Pattanayak D.N. and Agrawal G.P. Representation of vector electro-magnetic beams // Phys. Rev. A. — 1980. — V. 22, №3. — P. 1159-1164.

12. Deschamps G.A. Gaussian beam as a bundle of comlex rays // Electron Lett. — 1975. — V. 7. — P. 684-685.

13. Sheppard C.J.R. and Saghafi S. Electromagnetic Gaussian beams beyond the paraxial approximation // J. Opt. Soc. Am. — 1999. — V.16, №6б. — P.1381-1386.

14. Nay J. and Berry M. Dislocation in wave trains // Proc.R.Soc. London. — 1981. — A378. — P. 219-239.

15. Борн М., Вольф Э. Основы оптики.- М: Наука, 1970.-876 с.

АНОТАЦII

Шведов В. Г. Динамiка сингулярних непараксіальних пучкiв в околi вхiдного торця оптичного волокна. - Рукопис.

Дисертацiї на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.04.05 - оптика, лазерна фiзика. Таврiйський нацiональний унiверситет iм.  В. I. Вернадського, 2001.

В дисертацiї розлянуто дослiдження непараксиальних лазерних полей в областi фокальноi площинi. Також знайдено точнi скалярнi рiшення волнового рiвняння з використанням метода комплексного джерела – стоку. Використовуючи цi рiшення в якiстi скалярних потенцiалiв Уітеккера знайдено точнi рiшення рiвнянь Максвелла, вiдповiднi непараксиальним полям векторних пучкiв. Знайдено, що не всi непараксиальнi пучки з'являються структурно-стiйкими утвореннями у фокальноi площинi. Відiбрані пучки, модовий склад яких структурно-стiйкий та якi здатнi узгоджуватись з сингулярними модами оптичного волокна.

Аналiз структурно-стiйких сингулярних пучкiв в околi вхiдного торця оптичного волокна показав, що структура полiв непараксиального модового пучка та власних мод световода iдентичні. Вiдмiннiсть мiж цiми модами складається в нерiвнiстi умов поширювання мод у вiльному просторi i оптичному волокнi. Але вплив неоднорiднiстi показника заломлення в середовищі оптичного волокна можливо звести к поправці скалярної частини сталої поширювання власних мод.

Ключові слова: сингулярний пучок, непараксіальний пучок, оптичний вихор, комлексне джерело.

Shvedov V.G. Dynamics of singular nonparaxial beams in vicinity of an optical fiber input.- Manuscript

Thesis for a Candidate's degree by specialty 01.04.05 –