Особливістю математичної моделі (1.5) (1.7) є те, що із змінних стану і можна виміряти лише проходку , а значення інших визначають за результатами закінченого буріння в кожному із рейсів, або шляхом статистичної обробки великої кількості промислових і лабораторних даних. В першому випадку отриманої інформації недостатньо для ідентифікації невідомих параметрів рівнянь (1.6) і (1.7), це з одного боку, а з другого боку, отримана інформація в значній мірі втрачає свою цінність для наступного рейсу, оскільки немає гарантії, що умови буріння залишаться незмінними. В другому випадку для кожного конкретного рейсу дійсні значення і будуть відрізнятьсь від середньостатичних значень і . Крім того, сама процедура визначення значень і і вимагає значних затрат часу і коштів.

Для подолання цих труднощів авторами робіт 17, 18 запропоновано оцінювати стан озброєння долота непрямим способом.

В 17 як непряма оцінка степені зносу озброєння долота використовується величина , яка визначається як відношення початкової механічної швидкості до її біжучого значення

, (1.9)

а в роботі 18 стан озброєння долота оцінюється емпіричною функцією

, (1.10)

де деякі постійні коефіцієнти

інтенсивність зменшення механічної швидкості буріння.

Можна показати, що між величинами і існує такий функціональний взаємозв’язок

. (1.11)

Формула (1.9) дає оцінку стану озброєння породоруйнівного інструменту, коли механічна швидкість проходки змінюється за законом гіперболи. В тому випадку, коли зменшується в часі за експоненціальним законом, то стан озброєння долота характеризується величиною .

Найбільш складним і найменш вивченим є питання про вплив режимних параметрів на стан опор долота. Це пояснюється неможливістю отримання біжучу інформацію про стан опор долота, яке працює на вибої свердловини.

Оскільки стійкість опор долота залежить від таких факторів як фізико-механічні властивості порід, осьове навантаження на долото, швидкість його обертання, кількість та якість промивної рідини, конструкції та технології виготовлення опор долота, та отримання аналітичної залежності стійкості опор від перерахованих факторів є складною і навіть проблематичною задачею. Тому зусилля дослідників були направлені на те, щоб встановити емпіричні залежності часу перебування (в залежності від стійкості опори) долота від величин і . При цьому допускалось, що при незмінних умовах буріння, вибраним типом долота осьове навантаження на буровий інструмент та швидкість його обертання залишаються постійними на протязі рейсу проходки.

Дослідження показали, що зі збільшенням величин і термін роботи долота на вибої свердловини зменшується.

Цей факт В.С.Федоров відтворює такою функціональною залежністю

, (1.12)

де емпіричні коефіцієнти, які визначаються умовами буріння і типом долота.

Термін роботи доліт типу ОК/ОКП діаметрами 76, 97, 112 і 190 мм, при роботі їх в особливо міцних абразивних породах, визначають за емпіричною формулою

, (1.13)

де і емпіричні коефіцієнти.

Показник степені залежить від конструкції долота і не залежить від складу промивної рідини і швидкості обертання долота і є лінійною функцією осьового навантаження

, (1.14)

де і сталі величини.

Дещо інша залежність отримана в 18 шляхом аналізу промислових даних

, (1.15)

де коефіцієнт, який враховує властивість гірських порід, конструкцію долота та умови його роботи на вибої свердловини

показник степені, числове значення якого дорівнює 0,5

показник степені, який залежить від властивостей гірських порід

коефіцієнт, який визначається темпом зміни стійкості опор долота в залежності від значення осьового навантаження, і який змінюється в залежності від механічних властивостей гірських порід і швидкості обертання долота

, (1.16)

де твердість за штампом

постійні коефіцієнти.

А.В.Орлов 20, спираючись на результати досліджень, які отримані при бурінні чотирьох дослідних свердловин в “Карадагнефти”, вважає, що “незалежно від району буріння і швидкості проходки порід, в тих випадках, коли вихід долота із ладу обумовлений зносом елементів його опори” стійкість долота характеризується залежністю

, (1.17)

де потенціальний ресурс долота

і постійні коефіцієнти для всіх типорозмірів доліт, а саме =0,45 і =0,02 .

На помилковість цієї точки зору було вказано в роботі 18. Дійсно формула (1.17) є лінійною апроксимацією залежностей (1.12),(1.13),(1.15) в околі точки , . В цьому легко переконатись, розклавши функцію в ряд Тейлора і обмежившись лише лінійними членами розкладу. Тоді ; ; , де через позначені праві частини рівнянь (1.12), (1.13), (1.15). Отже, рівняння (1.17) справедливе тільки для невеликого діапазону зміни керуючих впливів і , а коефіцієнти і залежать від умов буріння і типу долота.

Очевидно, що формули (1.12), (1.13), (1.15) є частковим випадком залежності

(1.18)

де швидкість зміни оцінки при незмінних умовах буріння і коли і . Тоді і із (1.18) випливає, що

, (1.19)

де

доля стійкості опор долота на момент закінчення чергового рейсу.

Виходячи із рівнянь (1.12) і (1.19), автором роботи 19 запропонована залежність

, (1.20)

яка характеризує зміну стійкості опор долота із плином часу , а для отримання подібної до (1.20) залежності використане співвідношення (1.17).

В формулі (1.20) параметри моделі.

Необхідно відмітити, що на роботу долота на вибої свердловини впливає динаміка колони бурильних труб. Проте в більшості випадків управління процесом буріння ведеться за термінальними чи інтегральними критеріями, тому динамікою процесу по каналах керування нехтують, а сумарну дію динаміки колони бурильних труб враховують через коефіцієнти математичної моделі.

Таким чином, математична модель процесу заглиблення свердловини, яка придатна для цілей управління, подається в просторі станів і в загальному має такий вигляд

, (1.21)

,

де вектор керуючих впливів

вектор фізико-механічних властивостей гірських порід

вектор перешкод

вектор параметрів моделі.

До теперішнього часу не існує достатньо повної теорії процесу руйнування гірських порід, на основі якої можна було би