Київський національний університет імені Тараса Шевченка

ЗАЙЦЕВ ЮРІЙ АНАТОЛІЙОВИЧ

УДК 517.977

Мінімаксне прогнозування розв'язків

початково-крайових задач спряження для параболічних

рівнянь в умовах невизначеності

01.05.04 – системний аналіз і теорія

оптимальних рішень

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ-2001

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Київському національному університеті

імені Тараса Шевченка на кафедрі системного аналізу

та теорії прийняття рішень.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

Сопронюк Федір Олексійович, завідувач кафедрою

математичних проблем управління і кібернетики Чернівецького

національного університету імені Юрія Федьковича;

Кандидат фізико-математичних наук, доцент Матвієнко Володимир

Тихонович, доцент кафедри інформаційних систем Київського

національного університету імені Тараса Шевченка.

Провідна установа: Інститут кібернетики НАН України,

відділ математичних методів дослідження операцій.

Захист відбудеться 24 травня 2001 р. о 14 годині на засідання

спеціалізованої вченої ради Д 26. 001.09 Київського національного

університет імені Тараса Шевченка

(0127 Київ, просп. Глушкова, 2. Корпус 6, факультет кібернетики).

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Київського

національного університету імені Тараса Шевченка за адресою:

01033 Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий “23” квітня 2001 року

Вчений секретар

Спеціалізованої вченої ради Шевченко В.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми. Iнтенсивний розвиток сучасних технологiй обумовив необхiднiсть розробки нових наукових напрямкiв системного аналізу та теорії оптимальних рішень. Серед них важливе мiсце займають проблеми оцiнювання в умовах невизначеностi для рiвнянь з частинними похiдними. Створення конструктивних алгоритмiв оцiнювання для таких рiвнянь вiдкриває можливiсть їх ефективного застосування при розробці систем підтримки та прийняття рішень в таких областях природознавства як теплофiзика, гiдродинамiка, електродинамiка, акустика, метеорологiя i т. п. Фунментальний внесок у розвиток теорiї оцiнiвання внесли такi вченi як А.Н. Колмогоров, Н. Вiнер, Р. Калман, Р.Б'юсi. Пiдхiд, який вони застосовували, грунтувався на припущеннях про статистичну природу невiдомих параметрiв i для лiнiйних рiвнянь та лiнiйних методiв оцiнювання вимагав точного знання перших та других моментiв випадкових збурень. В ситуацiї, коли цi моменти невiдомi, перспективним стає мiнiмаксний пiдхiд, який розвивався в роботах М.М.Куржанського, В.М.Кунцевича, М.Ф.Кириченка, О.Г.Наконечного, Б.М.Пшеничного, Ф.Л.Черноуська. Суттєвим проблемам теорiї мiнiмаксного оцiнювання присвяченi також працi Б.I.Ананьева, Г.М.Бакана, М.М.Личака, М.I.Гусева, I.Я.Каца, В.Г.Покотило, М.П.Моклячука та iн.

Але не дивлячись на значну кiлькiсть робiт з даної тематики, задачi мiнiмаксного оцiнювання параметрiв рiвнянь iз розривними коефiцiєнтами до цього часу не були вивченi. Актуальнiсть дослiдження таких питань полягає в тому, що крайовi задачi для рiвнянь з частинними похiдними з розривними коефiцiєнтами застосовуються при моделюваннi фiзичних процесiв в кусково-неоднорiдних областях.

Важливе мiсце в цій проблематиці займають задачi прогнозування нестацiонарних характеристик. Якщо параметри середовища вiдомi, то цi питання зводяться до проблеми розв'язку початково-краєвих задач для рiвнянь другого порядку з умовами спряження на границях роздiлу. При неточно заданних параметрах для дослiдження цих проблем потрiбнi допомiжнi данi (спостереження) про поведiнку процесiв на деякому iнтервалi часу. Прогнознi рiвняння повиннi враховувати спостереження та iнформацiю про частково невiдомi параметри i давати можливiсть знайти оптимальне значення характеристик процесу поза iнтервалом спостереження. Мiнiмаксний пiдхiд для вивчення таких питань застосовувався в роботах О.Г.Наконечного i Ю.К.Подлипенка та їх учнiв. При оцiнцi iнтенсивностей джерел, що створюють фiзичнi поля, виникають проблеми оцiнки функцiоналiв вiд правих частин рiвнянь з частинними похiдними за даними спостережень. Для рiвнянь з розривними коефiцiєнтами такi задачi стають актуальними (наприклад, при дослiдженнi процесiв розповсюдження шкiдливих речовин, та локалiзацiї джерел шкiдливих викидiв). Для математично точної постановки та дослiдження таких проблем природньою є концепцiя узагальнених розв'язкiв початково-крайових задач, яка i розглядається в цiй дисертації.

Загальна методика дослiджень суттєво спирається на сучаснi досягнення в областi узагальнених розв'язкiв крайових задач, оптимiзацiї та iдентифiкацiї для рiвнянь з частинними похiдними, якi розглядалися в роботах Ж.Л. Лiонса, А.Г. Бутковського, А.I. Єгорова, А.О. Чикрiя, А. Бенсуссана та iн.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацiйна робота виконувалась в рамках держбюджетної теми Мiносвiти України N 97062 "Дослiдження проблем прийняття рiшень в умовах невизначенностi" кафедри системного аналізу та теорії прийняття рішень факультету кiбернетики Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка.

Мета i задачi дослiдження. Метою дисертації є розробка конструктивних методiв роз'язування задач прогнозування та оцiнки правих частин параболiчних рiвнянь другого порядку з умовами спряження на границях роздiлу та виведення рiвнянь для мiнiмаксних оцiнок i похибок оцiнювання. В основу проведених дослiджень покладено мiнiмаксний пiдхiд та припущення про спецiальний вигляд областей, яким належать невiдомi параметри.

Наукова новизна одержаних результатiв.

Для досить широкого класу початково-крайових задач спряження для параболiчних рiвнянь (якi зокрема, в задачах теплофiзики описують процеси теплопровiдностi в багатошарових середовищах при неоднорiдних умовах неiдеального контакту) доведено теорему про iснування, єдинiсть та неперервну залежнiсть вiд апрiорних даних узагальнених розв'язкiв цих задач;

Виведенi рiвняння для мiнiмаксних прогнозних оцiнок функціоналів від розв'язків задач спряження при вiдомих обмеженнях на апрiорнi данi;

Встановленi вирази для похибок мiнiмаксних прогнозних оцiнок.

Приведенi вирази мiнiмаксних оцiнок та похибок оцiнювання лiнiйних функцiоналiв вiд правих частин, параболічних рівнянь з розривними коефіцієнтами.

Дослiдженi задачi прогнозування розв'язкiв задач спряження при частково невiдомих обмеженнях на апрiорнi данi.

Практичне значення одержаних результатiв. Дисертацiя має теоретико-прикладний характер, її основнi результати є оригiнальними i математично обгрунтованi.

Одержанi рiвняння для прогнозних оцiнок можуть бути використанi при розробцi систем монiторiнгу навколишнього середовища за данними спостережень. Оптимальнi оцiнки правих частин можуть знайти застосування при створеннi автоматизованих систем обробки результатiв спостережень з метою виявленнi джерел шкiдливих викидiв i контролю за їх iнтенсивнiстю. Теоретичнi результати дисертацiйної роботи знайшли вiдображення в спецiальних курсах з проблем iдентифiкацiї, якi читаються студентам факультету кiбернетики Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка.

Особистий внесок здобувача. Всi результати, якi складають суть дисертацiйної роботи, одержанi здобувачем самостiйно. В публiкацiї [3] спiвавторам належать лише постановки задач.

Апробацiя результатiв дисертацiї Результати роботи доповiдались в Київському нацiональному унiверситетi iменi Тараса Шевченка на семiнарi "Моделювання i оптимiзацiя динамiчних систем" (керiвникi: проф. Наконечний О.Г., проф. Гаращенко Ф.Г.), на семінарі відділу математичних методів дослідження операцій інституту кібернетики НАН України (керівник: проф. Кнопов П.С.), на мiжнароднiй конференцiї "Моделювання та оптимiзацiя складних систем" (Київ, 2001) [4].

Публiкацiї. За темою дисертацiї опублiковано 4 наукових працi. Основнi результати дисертацiї викладено в роботах [1] - [3] у виданнях, якi затверджені ВАК України.

Структура та обсяг роботи. Дисертацiйна робота складається з вступу, трьох роздiлiв, висновкiв, списку використаних джерел (75 найменувань). Загальний обсяг дисертацiї становить 150 сторiнок, основний текст роботи викладено на 142 сторiнках.

ОСНОВНИЙ ЗМIСТ РОБОТИ

У вступi подано загальну характеристику роботи, висвiтлено стан наукової проблеми, обгрунтовано актуальнiсть теми, сформульовано мету та задачi дослiджень.

У першому роздiлi зроблено огляд лiтератури за темою дисертацiї, викладено основнi результати, пов'язанi з напрямком дослiджень.

У другому роздiлi, що складається iз 6 параграфiв, розглядаються системи, якi описуються початково-крайовими задачами для параболiчних рiвнянь другого порядку в частинних похiдних з розривними коефiцiєнтами, якi, зокрема, виникають при моделюваннi температурних процесiв у багатокомпонентних середовищах.

За спостереженнями за станом систем на скiнченному часовому iнтервалi знайденi мiнiмакснi оцiнки для функцiоналiв вiд розв'язкiв цих рiвнянь у довiльний момент часу в майбутньому. При цьому припускається, що правi частини рiвнянь, граничних, початкових умов i умов спряження, а також похибки вимiрiв точно не вiдомi, а вiдомi лише множини, яким вони належать.

Встановлено, що знаходження мiнiмаксних оцiнок зводиться до розв'язання деяких систем iнтегро-диференцiальних рiвнянь.

В pоботi використовуються наступнi позначення: - пpостоpова змiнна, x змiнюється в обмеженiй вiдкpитiй множинi ?МRn з гpаницею ?; t - часова змiнна; - вiдкpитий цилiндp; - бокова поверхня цилiндра; D((t0,T)) - простiр нескiнченно диференцiйовних функцiй з компактним носiєм на iнтервалi (t0,T); H1(?)-пpостip Соболєва поpядку 1 в областi ?; (H1(?))' - простiр, спряжений (двоїстий) до H1(?);- пpостip вимipних у цилiндpi функцiй, обмежених там, окpiм, можливо, множини мipи нуль; L2(t0,T1; H1(?)) - пpостip функцiй, визначених i вимipних (по вiдношенню до мipи Лебега dt) на iнтеpвалi (t0,T1) зi значеннями у гiльбеpтовому пpостоpi H1(?) i таких, що

(аналогiчно визначається простiр L2(t0,T; (H1(?))')); L(X,Y) - простiр лiнiйних неперервних операторiв, якi вiдображають гiльбертiв простiр X в гiльбертiв простiр Y.

Якщо f О L2(t0,T1; H1(?)), то можна визначити узагальнену частинну похiдну як єдиний елемент простору D'((t0,T1); H1(?)) = L(D((t0,T1)); H1(?)) узагальнених функцiй зi значеннями в H1(?), який задовольняє спiввiдношенню

Позначимо через ?1 i ?2 обмеженi вiдкритi областi в Rn такi, що ?1З?2 = Ж, через ?1 i ?2 - границi областей ?1 i ?2 вiдповiдно, якi припускаються лiпшицевими, i нехай ?:=int(?1З?2)№Ж, = ?kЧ(t0,T1), =?kЧ(t0,T1), ,2, t0,T1 = ?Ч(t0,T1).

Якщо в областi ?1 задана функцiя f1, а в областi ?2 задана функцiя f2, то тiєю ж самою прописною лiтерою F без iндекса будемо позначати функцiю, визначену в областi ? = ?1И?2 рiвностями F(x,t)=fk(x,t) в ?k,   k=1,2.

Введемо далi простори Wk(t0,T1),   k=1,2, функцiй fk О L2(t0,T1; H1(?k)), таких що ¶fk/¶t О L2(t0,T1; (H1(?k))'). Цi простори, якi мають норми

є гiльбертовими.

Нехай стан ?1 (x,t),  ?2 (x,t) системи визначається як узагальнений розв'язок початково-крайової задачi спряження

?ij=?ij(x,t) вимiрнi обмеженi на функцiї, Ak=Ak(t) - дифеpенцiальнi опеpатоpи вигляду

коефiцiєнти aij(k)(x,t) яких задовольняють умовам aij(k) О LҐ(),

майже скрiзь в, a0(k) і 0 в, ?-одинична нормаль, зовнiшня по вiдношенню до областей i вiдповiдно на поверхнях i i направлена iз в на поверхнi ?t0,T1, ¶/¶?Ak - конормальна похiдна по вiдношеннi до оператора Ak, яка визначається формулою

,

де cos(?,xi) - i-й напрямний косинус нормалi ?, функцiї ?1 i ?2 вимiрнi, невiд'ємнi i обмеженi на i i, крiм того, припускається, що виконується хоча б одна з наступних умов: або функцiї ?1 i ?2 задовольняють нерiвностям ?1 і ?10=const > 0    на    i ?2 і ?20=const > 0   на  або, якщо хоча б одна з функцiй ?1 або ?2 цю умову не задовольняє, то вiдповiдний коефiцiєнт a0(1)(x,t) або a0(2)(x,t) задовольняє умову a0(1)(x,t) і ?1(0)=const > 0 в, або a0(2)(x,t) і ?2(0)=const >   в

Вважається також, що iснує константа p > 0, така що

(*)

на ?t0,T1, i що функцiї cij,  i,j=1,2, якi визначаються за формулами

де, задовольняють наступнi умови:

У параграфi 2.1 показано, що при цих умовах задача (1) - (6), а також, спряжена до неї крайова задача однозначно розв'язнi.

Очевидно, що задачу (1) - (6) можна сформулювати як початково-крайову задачу для одного параболiчного рiвняння iз розривними коефiцiєнтами.

Крайовi задачi cпряження (або, що теж саме, трансмiсiї) для параболiчних рiвнянь другого порядку в частинних похiдних вигляду (1) - (6) виникають при вивченнi нестацiонарних процесiв фiльтрацiї, теплопровiдностi, диффузiї, вологосолепереносу в багатокомпонентних середовищах, що мiстять тонкi включення при неоднорiдних умовах спряження неiдеального i iдеального контакту на цих включеннях. Зокрема, умови спряження (5) при ?11=const > 0, ?12=const > 0, ?21= ?1, ?22=1, ?11=1, ?12= ?1, ?21=?22=0 описують умови неiдеального контакту середовищ. В цьому випадку ? = ?11+?12 > 0 i умови (*) та (**) виконуються.

Умови спряження iдеального контакту, а також умови спряження неiдеального контакту iз неперервним розв'язком i розривним потоком описуються (при вiдповiдному виборi параметрiв і) умовами спряження вигляду

при цьому ? є 0 на ? i спiввiдношення (*) не виконується.

В роботi розглядається лише випадок коли визначник матрицi

задовольняє нерiвнiсть (*), оскiльки задачi мiнiмаксного прогнозного оцiнювання у випадку умов спряження (5a) дослiджуються аналогiчно, але значно простiше.

Нехай на iнтеpвалi [t0,T],  T < T1, спостерiгаються функцiї вигляду

де gk(1) О L2(), gk'(2) О L2() - заданi функцiї, ?k(1)(x,t) i ?k'(2)(x,t) - вибiрковi функцiї неперервних у сеpедньоквадpатичному випадкових полiв, визначених відповідно на множинах і.

При цьому вважається, що функції f1, f2, ?1, ?2, ?1(0), ?2(0), ?1, ?2, ?k(1), i ?k'(2),а також другі моменти випадкових полiв не визначенi точно, а вiдомо лише, що вони задовольняють умови

, a2(x) неперервнi вiдповiдно на множинах, функцiї, якi не обертаються там в нуль.

Позначимо через G0 множину вектор-функцiй = (f1, f2, ?1, ?2, ?1, ?2, j1(0), j2(0)), якi задовольняють умову (9), а через G1 - множину випадкових функцiй, якi задовольняють умови (10) i (11).

Задача прогнозу полягає в тому, щоб за спостереженнями вигляду (7), (8) на часовому iнтервалi [t0,T] за станом системи, яка описується початково-крайовою задачею (1)-(6) при умовах (9)-(11), оцiнити в довiльний момент часу T1 > T лiнiйний функцiонал

в класi оцiнок вигляду оцiнку, яка визначається з умови

назвемо мiнiмаксною прогнозною оцiнкою функцiонала (), а величину ? -мiнiмаксною похибкою прогнозу.

Введемо функцiї z1(1)(x,t) i z2(1)(x,t) як єдиний розв'язок початково-крайової задачi:

z1(1) О W1 (T,T1),    z2(1) О W2 (T,T1), ()

та функцiї

як єдиний pозв'язок початково-крайової задачi

Tут через Ak*(t),  k=1,2 позначенi лiнiйнi неперервнi оператори, спряженi до операторiв Ak(t), якi визначаються за формулами

У параграфi 2.2 доведено наступне твердження.

Лемма 2.1. Задача знахождення мiнiмаксної прогнозної оцiнки функцiонала еквівалентна задачi оптимального керування системою, яка описується початково-крайовою задачею - з функцiєю вартостi вигляду

де

Теорема 2.3. Розв'язуючі задачу оптимального керування, далі одержано наступні результати.

Мінімаксна прогнозна оцінка функціоналу має вигляд

де

Задача () – однозначно розв'язна.

Теорема 2.4. Похибка прогнозу знаходиться за формулою

де функції визначаються як єдиний розв'язок наступної початково-крайової задачі:

Інше представлення для мінімаксної прогнозної оцінкі функціоналу через розв'язки інтегро-диференціальних рівнянь з частинними похідними спеціального типу одержані в теоремі 2.5 (параграф 2.4). Ці рівняння можуть бути використані для одержання рекурентних прогнозних оцінок розв'язків вихідних задач спряження.

У параграфах 2.5 i 2.6 за спостереженнями вигляду , при умовах , i при T1=T знайденi мiнiмакснi оцiнки для функцiоналiв вiд правих частин рiвнянь , i одержанi похибки оцiнювання (теореми 2.6, 2.7).

У третьому роздiлi, який мiстить 5 параграфiв, розглядаються задачi мiнiмаксного оцiнювання для випадку, коли обмеження на деякi невiдомi детермiнованi функцiї не задаються.

Наведемо, наприклад, постановку задачi мiнiмаксного оцiнювання при вiдсутностi iнформацiї про початковi умови.

Нехай Bi О L(Hi, L2(Wi)) - лiнiйнi обмеженi оператори, якi вiдображають гiльбертовi простори Hi в L2(Wi), i=1,2 i нехай тепер в задачi - початкова умова має вигляд

де елементи f01ОH1 i f02ОH2 вважаються невiдомими, а про функцiї f1, f2, b1, b2, w1, w2 вiдомо лише, що вони задовольняють нерiвнiсть

де на функцiї q1(x,t), q2(x,t), r1(x,t), r2(x,t), r3(x,t), r4(x,t) накладені ті ж обмеження, що і в параграфі 2.2. Позначимо через G0 множину вектор-функцiй = (f1, f2, ?1, ?2, ?1, ?2), якi задовольняють умову (42).

Задача прогнозу в данiй ситуацiї полягає в тому, щоб за спостереженнями вигляду , на часовому iнтервалi t0,T за станом системи, яка описується початково-крайовою задачею -, (6a) при умовах (42), i , оцiнити у довiльний момент часу T1>T лiнiйний функцiонал в класi оцiнок вигляду .

Оцiнку, яка визначається з розв'язку екстремальної задачi

назвемо мiнiмаксною прогнозною оцiнкою функцiоналу , а величину s - мiнiмаксною похибкою прогнозу.

Аналогiчно формулюється задача мiнiмаксного прогнозного оцiнювання у випадку коли iнформацiя про умови спряження невiдома.

Показано (див. леми 3.1 i 3.2) , що розв'язування цих задач зводиться до задачi знаходження мiнiмумiв квадратичних функцiоналiв на опуклих замкнених множинах у вiдповiдних гiльбертових просторах iз розв'язку якої за допомогою метода невизначенних множникiв Лагранжа знаходяться вирази для мiнiмаксних прогнозних оцiнок та похибок оцiнювання (теореми 3.1, 3.2 i 3.4).

Альтернативнi представлення для мiнiмаксних прогнозних оцiнок одержуються шляхом спецiальних перетворень у просторi станiв (теореми 3.3 i 3.5).

В теоремах 3.3 i 3.2 одержанi альтернативне представления для мiнiмаксних прогнозних оцiнок та оцiнка похибки s.

Аналогiчнi результати одержанi у ситуацiї, коли вiдсутня iнформацiя про умови спряження (теоремы 3.4 - 3.6).

Узагальнення результатiв роботи на випадок початково-крайових задач спряження в областi, що складається iз N неперетинних областей Wk , замикання яких можуть перетинатися тiльки по їхнiм границям, проводиться цiлком аналогiчно.

ВИСНОВКИ

В дисертацiйнiй роботi дослiдженi задачi мiнiмаксного середньоквадратичного прогнозування лiнiйних функцiоналiв вiд розв'язкiв початково-крайових задач спряження для лiнiйних параболiчних рiвняннь при спецiальних обмеженнях на невiдомi функцiї та лiнiйних iнтегральних операторах спостереження. В дисертації одержано такі результати:

При повнiстю вiдомих обмеженнях на невiдомi функцiї одержанi:

системи рiвнянь параболiчного типу, через якi виражаються мiнiмакснi середньоквадратичнi прогнознi оцiнки;

вирази для мiнiмаксних середньоквадратичних похибок прогнозу;

системи рiвнянь, через якi виражаються мiнiмакснi середньоквадратичнi оцiнки правих частин рiвнянь.

При частково вiдомих обмеженнях на неповнi данi початково-крайової задачi та спостережень, доведенi теореми про загальний вигляд мiнiмаксних середньоквадратичних прогнозних оцiнок та похибок прогноза функцiоналiв вiд розв'язкiв параболiчних початково-крайових задач спряження.

Доведенi твердження про зведення задач мiнiмаксного прогнозування до спецiальних задач оптимального керування рiвняннями параболiчного типу з розривними коефiцiєнтами та з квадратичними критерiями якостi.

Аналогiчним чином дослiджена задача мiнiмаксного середньоквадратичного оцiнювання функцiоналiв вiд правих частин вiдповiдних параболiчних рiвнянь.

Список опублiкованих праць за темою дисертацiї

Зайцев Ю.А. Мiнiмаксне оцiнювання за неповними даними функцiоналiв вiд правих частин параболiчних рiвнянь iз розривними коефiцiєнтами. //Вiсник Київського унiверситету, сер. фiз.-мат., 2000, Випуск N3, c.225 -- 232.

Зайцев Ю.А. Мiнiмаксне середньоквадратичне прогнозування розв'язкiв задач трансмiсiї для параболiчних рiвнянь при вiдсутностi iнформацiї вiдносно умов спряження. //Вiсник Київського унiверситету, сер. фiз.-мат., 2000, Випуск N4, c.200 -- 212.

Наконечный А.Г., Подлипенко Ю.К., Зайцев Ю.А. Минимаксное прогнозное оценивание по неполным данным решений начально-краевых задач для параболических уравнений с разрывными коэффициентами. -- Кибернетика и системный анализ, 2000, N6, с. 68-78.

Zaitsev Yu. Minimax estimation of right-hand sides of parabolic equations with discontinuous coefficients under incomplete data // Праці конференції “Моделювання та оптимізація складних систем” (МОСС-2001). – Том 3. – Київ:ВПЦ “Київський універсистет” – 2001. – С.33-34.

В публiкацiї [3] спiвавторам належать лише постановки задач.

Анотацiя

Зайцев Ю.А. Мiнiмаксне прогнозування розв'язкiв початково-крайових задач спряження для параболiчних рiвнянь в умовах невизначенностi -- Рукопис.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiальностю 01.05.04 -- системний аналiз i теорiя оптимальних рiшень. -- Київський нацiональний унiверситет iменi Tараса Шевченка, Київ, 2001.

В роботi розробленi методи знаходження мiнiмаксних середньоквадратичних прогнозних оцiнок лiнiйних функцiоналiв вiд розв'язкiв початково-крайових задач спряження для параболiчних рiвнянь в частинних похiдних другого порядку в умовах неповної iнформацiї . При цьому розглянуто випадки, коли обмеження на невiдомi детермiнованi функцiї є повнiстю або частково вiдомими. У всiх випадках доведенi теореми про загальний вигляд мiнiмаксних прогнозних середньоквадратичних оцiнок та похибок прогнозу цих функцiоналiв.

Доведенi твердження про зведення задач мiнiмаксного прогнозування до спецiальних задач оптимального керування рiвняннями параболiчного типу iз розривними коефiцiєнтами та квадратичними критерiями якостi.

Аналогiчнi результати одержанi також для задачi мiнiмаксного середньоквадратичного оцiнювання лiнiйних функцiоналiв вiд правих частин параболiчних рiвнянь iз розривними коефiцiєнтами.

Ключовi слова: початково-крайовi задачi спряження, спостереження, системи iнтегро-диференцiальних рiвнянь, прогнознi оцiнки.

Аннотация

Зайцев Ю.А. Минимаксное прогнозирование решений начально-краевых задач сопряжения для параболических уравнений в условиях неопределенности. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.04 - системный анализ и теория оптимальных решений. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2001.

Диссертация посвящена перспективному направлению в теории идентификации систем с распределенными параметрами, связанному с разработкой методов минимаксного прогнозирования и оценивания по неполным данным состояния систем, описываемых начально-краевыми задачами сопряжения для уравнений в частных производных второго порядка параболического типа с неоднородными краевыми условиями и условиями сопряжения в областях с кусочно-гладкой границей. Рассматриваемая в работе задача прогнозирования заключается в том, чтобы по зашумленным наблюдениям над системой в течение заданного промежутка времени оценить линейный непрерывный функционал от состояния системы в некоторый момент времени, не принадлежащий этому промежутку, в предположении, что правые части уравнений, граничные и начальные условия, условия сопряжения на общих частях границ областей являются неизвестными функциями, принадлежащими заданному множеству (эллипсоиду в соответствующем функциональном пространстве) и что наблюдения, зависят от решения начально-краевой задачи и реализаций непpеpывных в сpеднеквадpатическом случайных полей (шума) с неизвестными вторыми моментами, также принадлежащими некоторому заданному эллипсоиду в соответствующем гильбертовом пространстве.

Для решения сформулированной выше задачи применен подход, предложенный Н.Н. Красовским, А.Б. Куржанским, А.Г. Наконечным и др., заключающийся в следующем. Ищутся линейные по наблюдениям оценки функционалов от решений начально-краевых задач сопряжения, на которых достигается минимум максимальной среднеквадратической ошибки оценивания, взятой по всем элементам указанных выше множеств. Такие оценки называются минимаксными прогнозными среднеквадратическими оценками.

Доказано, что задача минимаксного прогнозирования эквивалентна задаче оптимального управления сопряженной начально-краевой задачей с квадратичной функцией стоимости. В результате решения этой задачи получены представления минимаксных прогнозных среднеквадратических оценок и ошибок оценивания через решения начально-краевых задач сопряжения для систем линейных интегро-дифференциальных уравнений специального вида, для которых доказана их однозначная разрешимость.

Путем введения вспомогательной системы интегро-дифференциальных уравнений получены также альтернативные представления для минимаксных прогнозных оценок. С помощью специальных преобразований в пространстве состояний удалось выразить эти оценки через решения указанной системы. Аналогичные результаты получены также для задачи минимаксного среднеквадратического оценивания линейных функционалов от правых частей параболических уравнений с разрывными коэффициентами. Перечисленные результаты составляют содержание главы 2.

В главе 3 решены задачи минимаксного прогнозного оценивания функционалов от решений рассматриваемых начально-краевых задач в случае, когда ограничения на некоторые детерминированные данные задачи (например, на начальные условия или на условия сопряжения) не задаются, а на остальные данные наложены ограничения, такие же, как и в главе 2. Для нахождения минимаксных прогнозных оценок здесь использована теорема о существовании минимума квадратичных функционалов на выпуклых замкнутых множествах в гильбертовых пространствах в комбинации с принципом Лагранжа.

Результаты работы могут быть использованы при построении систем автоматизируемой обработки результатов наблюдений нестационарных процессов теплопроводности в слоистых средах, при решении задач локализации источников, создающих наблюдаемые физические поля и т.п.

Ключевые слова: начально-краевые задачи сопряжения, наблюдения, системы интегро-дифференциальных уравнений, прогнозные оценки.

Abstract

Yu.A. Zaitsev. Minimax prediction of solutions to initial boundary value problems of transmission for parabolic equations under incomplete data. – A manuscript (in Ukrainian).

A thesis presented for the Degree of Kandidat of Physics and Mathematics in speciality 01.05.04 - systems analysis and theory of optimal decisions. Taras Shevchenko National University, Kiev, 2001.

Methods of determination of minimax mean square prediction estimates for linear functionals from solutions to initial boundary value problems of transmission for linear parabolic partial differential equations of the second order under incomplete data are elaborated in the manuscript. We consider the cases when the restrictions on unknown deterministic functions (right-hand sides of equations, boundary, initial conditions, conditions on the interfaces) are given completely or partly. In all the cases the theorems on a general form of minimax mean square prediction estimates of functionals have been proved and the errors of prediction have been established.

We prove the statements on a reduction of minimax prediction problems to certain problems of optimal control of parabolic equations with discontinuous coefficients and with the quadratic performance criterions.

Analogous results have been also obtained for a problem of minimax mean square estimation of functionals from right-hand sides of parabolic equations with discontinuous coefficients.

Keywords: initial boundary value problems of transmission, observations, systems of integro-differential equations.