Київський національний університет

імені Тараса Шевченка

КОРОБОВА Марина Віталіївна

УДК 519.863.32

ДИНАМІЧНІ ОПТИМІЗАЦІЙНІ ТА БАЛАНСОВІ МОДЕЛІ ВЗАЄМОДІЇ

ЕКОНОМІКИ І ДОВКІЛЛЯ

01.05.02 – математичне моделювання i обчислювальні методи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ-2002

Дисертацiєю є рукопис.

Робота виконана на кафедрі математичних методів еколого-економічних досліджень

Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

ЛЯШЕНКО Ігор Миколайович,

Київський національний університет імені Тараса

Шевченка, факультет кібернетики,

завідувач кафедри математичних методів еколого-

економічних досліджень

Офiцiйнi опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

МИХАЛЕВИЧ Михайло Володимирович,

Українська академія зовнішньої торгівлі,

професор кафедри вищої математики та інформатики

кандидат фізико-математичних наук,

ПІЧКУР Володимир Володимирович,

Київський національний університет імені Тараса

Шевченка, факультет кібернетики, старший науковий

співробітник кафедри моделювання складних систем

Провiдна установа: Інститут космічних досліджень НАН України та НКА

України, відділ моделювання динамічних процесів

Землі і планет, м. Київ.

Захист вiдбудеться "28" лютого 2002 р. на засiданнi спецiалiзованої вченої ради

Д 26.001.09 Київського національного університету імені Тараса Шевченка, Київ,

пр.Глушкова, 2, корп.6, ф-т кібернетики, ауд. 40 о 14 годині.

(Тел.252 – 58 – 83. Факс 252 – 59 – 77. E-mail: )

З дисертацiєю можна ознайомитися у Науковій бiблiотецi

Київського національного університету імені Тараса Шевченка,

Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розiсланий "23" січня 2002 р.

Вчений секретар

спецiалiзованої вченої ради В.П.Шевченко

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Перші спроби інтеграції математичної економіки та математичної екології почалися лише в другій половині XX століття, коли від економічних та екологічних досліджень наука поступово перейшла до дослідження проблеми екологізації економіки. Взаємодія людини з навколишнім світом здійснюється в основному через економічну діяльність (виробництво, розподіл і споживання продукції), що супроводжується забрудненням і виснаженням довкілля. Саме тому необхідність моделювання оптимального з точки зору екології виробництва та розробка стратегії екологічно орієнтованого менеджменту і практичного екологічного підприємництва перетворилися в одну з найбільш актуальних задач сьогодення.

Необхідність розглядати цілісні еколого-економічні системи призвела до створення ряду балансових і оптимізаційних математичних моделей, зокрема моделей Леонтьєва-Форда, Моно-Ієрусалимського, Айроса-Кнізі, Уіклена, Шімацу і Тінберга, що стали потужним інструментом дослідження подібних систем.

В сучасній науковій літературі для опису економічних процесів в умовах взаємодії навколишнього середовища та економічного росту використовується “нова теорія росту”. Концепція цієї теорії припускає самовідтворювальний розвиток економіки та економічне зростання в межах допустимих можливостей природного середовища. Такий розвиток був названий сталим (стійким). Збалансований в динаміці еколого-економічний процес (процес сталого розвитку) став тим надзвичайно важливим об’єктом, дослідження якого належить до пріоритетних напрямів наукової діяльності, зокрема математичного моделювання.

Значні результати з моделювання еколого-економічних процесів отримані в роботах І.М. Ляшенка, Р.Л. Раяцкаса, В.І. Гурмана, М.В. Михалевича, В.С. Григорківа. Останнім часом вітчизняними економістами та екологами активно розробляються наукові основи еколого-економічної політики в Україні, яка спрямована на досягнення критеріїв сталого розвитку.

Обійтися без грунтовних математичних досліджень в цій галузі не можна, бо абстрагування від реальних еколого-економічних систем до їх математичних моделей, і, навпаки, перехід від якісного аналізу моделей до висновків про реальні еколого-економічні системи – один із найбільш ефективних сучасних методів вивчення даної проблеми. Фундаментальні основи проблеми сталого розвитку насьогодні знаходяться ще в стадії наукових розробок. Тому розробка і дослідження математичних моделей еколого-економічної взаємодії балансового та оптимізаційного типів, проведені в даній роботі, є надзвичайно актуальними.

Зв’язок з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалась в рамках наукових тем Київського національного університету імені Тараса Шевченка: тема № 097067 “Математичне моделювання та алгоритми розв’язування задач оптимізації еколого-економічних систем”, 1997 – 2000 рр., номер держреєстрації – 0197U003334; тема № 01БФ015–03 “Створення моделей динамічних еколого-економічних процесів, їх дослідження, інформаційне наповнення та реалізація на ПЕОМ”, 2001 – 2005 рр., номер держреєстрації – 0101U002165.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є побудова різного ступеня агрегованості оптимізаційних та балансових динамічних моделей еколого-економічної взаємодії, а також їх дослідження з точки зору концепції сталого розвитку. Для досягнення цієї мети в дисертації ставляться і вирішуються такі задачі:

аналіз існуючих моделей еколого-економічної взаємодії та виявлення напрямків у моделюванні еколого-економічних процесів, які вивчені неповною мірою;

побудова математичних моделей еколого-економічних систем різного рівня агрегованості, які формалізують економічну динаміку в умовах екологічної рівноваги;

дослідження властивостей розв’язків задач оптимального керування еколого-економічними системами з метою побудови системи прийняття рішень та підвищення ефективності керування реальними еколого-економічними системами як регіонального, так і глобального масштабу;

розробка методики дослідження динамічних еколого-економічних моделей з точки зору концепції стійкого розвитку.

Основним об’єктом дослідження даної роботи є збалансований оптимальний розвиток еколого-економічних систем. Предметом досліджень є агреговані та багатогалузеві оптимізаційні моделі взаємодії економіки з навколишнім природним середовищем, а також динамічні балансові моделі еколого-економічної взаємодії. Проведені в дисертаційній роботі дослідження грунтуються на теорії оптимального керування, теорії диференційних рівнянь, теорії невід’ємних матриць, а також на сукупності математичних моделей та методів.

Наукова новизна одержаних результатів, що виносяться на захист, полягає в такому.

Розвинено неокласичну теорію моделей економічного зростання шляхом побудови та дослідження моделей росту у випадку еколого-економічної рівноваги.

Побудовані нові агреговані та багатогалузеві оптимізаційні динамічні моделі еколого-економічної взаємодії та проведено їх математичний аналіз.

Запропоновані та досліджені нові динамічні моделі еколого-економічного міжгалузевого балансу, що розвивають класичну модель Леонтьєва-Форда.

Вперше побудована та досліджена нейманівська модель еколого-економічного міжгалузевого балансу.

Практичне значення одержаних результатів. Робота має як теоретичний, так і практичний характер. Отримані результати можна використовувати для аналізу і прийняття рішень щодо оптимальної політики інвестування економічної та природоохоронної діяльності. Теоретичні результати проілюстровано практичним прикладом. Результати досліджень автора з еколого-економічного моделювання використовуються в навчальному процесі Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Особистий внесок здобувача. Усі результати дисертаційної роботи отримані особисто або за особистої участі автора. У працях, що написані у співавторстві, дисертанту належать:

в [1] побудова динамічної моделі цін, а також дослідження властивостей розв'язків динамічної моделі Леонтьєва-Форда;

в [2] дослідження нейманівського аналогу динамічної моделі Леонтьєва-Форда, доведення існування двох збалансованих розв’язків.

Апробація результатів. Основні результати дисертації доповідалися на: Всеукраїнській конференції “Сучасні економіко-математичні методи у ринковій економіці” (Київ, 1998 р.), Міжнародній конференції “Моделювання та оптимізація складних систем” (Київ, 2001 р.), Міжнародній конференції “Dynamical systems modeling and stability investigation” (Київ, 2001 р.), Міжнародній науково-практичній конференції KDS – 2001 “Знание – Диалог – Решение” (Санкт-Петербург, 2001 р.), на наукових семінарах факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка та наукових семінарах відділу моделювання динамічних процесів Землі і планет Інституту космічних досліджень НАН України та НКА України.

Публікації. За темою дисертації опубліковано 6 наукових праць (в тому числі 4 без співавторів). З них 4 надруковані у виданнях, що затверджені ВАК України, 2 тези та праці конференцій.

Структура і обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел (155 найменувань) та додатку. Загальний обсяг дисертації становить 152 сторінки; основний текст роботи викладено на 129 сторінках, додаток – на 7 сторінках. В роботі містяться 2 малюнки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У першому розділі містяться огляд літератури по темі дисертації, обгрунтування актуальності роботи, а також основні напрямки досліджень, що проведені в дисертації.

У другому розділі побудована агрегована модель взаємодії економіки з навколишнім природним середовищем, яка описує динаміку чотирьох показників: виробничого капіталу, капіталу очисних споруд, поновлюваного природного ресурсу і забруднення:

(1)

де kp, kz, r, r*, z – питомі величини на одиницю населення, відповідно, капіталу виробничого сектора, капіталу очисних споруд, узагальненого показника стану природних ресурсів, стану незбурених ресурсів і рівня забруднень в навколишньому середовищі (r* = const); функція f(kp) – неокласична і характеризує продуктивність праці; sp, sz – норми накопичення виробничого капіталу та капіталу очисних споруд, відповідно, – частка валового випуску продукції, яка відшкодовується на відтворення ресурсу; mp, mz, n, a, b, h, , , – невід’ємні параметри, які мають конкретний еколого-економічний зміст. Область визначення величин , sp i sz, які вважаються параметрами керування, задається так:

sp(t) 0, sz(t) 0, (t) 0, sp(t) + sz(t) + (t) 1 для t [0, T]. (2)

Для системи (1) знайдено нетривіальний стан рівноваги (, , , ) і доведено, що ця точка є асимптотично стійким вузлом при довільних додатних , sz i sp.

В підрозділі 2.3 розглядається задача оптимального керування системою (1), яка в додаток до (1), (2) записується так:

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

де – коефіцієнт дисконтування, q(z) – функція “корисності” питомого забруднення, 1, 2 – вагові коефіцієнти, М – множина всіх допустимих процесів (траєкторій фазових змінних та керувань) = (kp, kz, r, z, sp, sz, ) при t [0, T].

Для задачі (1) – (7) було застосовано принцип максимуму Понтрягіна з метою визначення кількості перемикань кожного з параметрів керування. Дослідження спряженої системи рівнянь дало змогу зробити висновок про те, що керування та sz можуть мати не більше одного перемикання на проміжку часу [0, T] кожне.

В підрозділі 2.4 проведено аналіз моделі (1), в якій r* = r*(t) = e–nt ( = const). В цьому випадку задачу оптимального керування (1) – (7) було досліджено з використанням достатніх умов оптимальності для неперервних процесів. Зокрема, було показано, що збалансований розв’язок для цієї задачі існує не завжди, а лише при певних співвідношеннях між параметрами моделі. Після знаходження збалансованого режиму (t)(, (t), (t) , , , (t), ) було знайдено ліві та праві граничні траєкторії , , , , rл(t), rп(t), zл(t), zп(t), а також моменти (, , , ) виходу лівих граничних траєкторій на траєкторії збалансованого росту і моменти (, , , ) сходження з траєкторій збалансованого росту на праві граничні траєкторії.

Підсумком досліджень є

Теорема 2.2. Нехай для моделі (1) – (3) із відомими значеннями початкового і кінцевого станів еколого-економічної системи виконуються такі умови:

> (mz + n + )h;

(mz + n + ) (а + n + );

;

і – відповідно розв’язки рівнянь ( – h(mz + n + ))f() = (mp + n + b+ ) та
1q() = – ( + n + )(mz + n + ), причому ;

(t) = r*(t) + , де = (mz + n + ) – (а + n + ) 0, а r(0) < (t) < r(Т);

0 < < ;

=, (t) =, =;

T > T*, де – сумарний час проходження по лівій та правій граничних траєкторіях та .

Тоді, якщо sp i такі, що > 0 і > 0, а також якщо = = = = і = =
= = = , то процес

(8)

де л(t) = (,, rл(t), zл(t), sp, sz, ),

п(t) =(,, rп(t), zп(t), sp, sz, ),

буде наближено оптимальний для вказаної моделі.

Ця теорема стверджує, що при реалізації умов 1 – 8 для вищеописаної моделі, процес (8) буде не лише допустимим, а й наближено оптимальним, якщо моменти виходу на (сходження з) траєкторій збалансованого росту відповідних фазових траєкторій будуть одночасними. Щоб підтвердити здійсненність згаданої ситуації (тобто показати, що існують значення , , r(0), r(Т), z(0), z(Т), які при виконанні умов 1 – 8 задовольняють теорему .2), розглянуто інший варіант моделі, де задані лише і , а , , , , , є шуканими. Цей варіант рівносильний задачі знаходження оптимальних початкового та кінцевого станів для рівня забруднення, капіталу, що вкладений в очисні споруди, та величин відновлюваного ресурсу. Подібна задача має самостійний характер і є актуальною в прикладних моделях прийняття рішень.

Третій розділ присвячений дослідженню оптимального росту багатосекторної економіки, яка інвестує процес відновлення природного ресурсу та боротьбу із забрудненням навколишнього середовища.

У підрозділі 3.1 зроблено математичну постановку задачі оптимального керування багатосекторною еколого-економічною системою. Ця задача має вигляд:

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

де kі(t) – капіталоозброєність; fі(kі) – виробничі функції, що характеризують продуктивність праці, є визначеними на [0; +), неперервними, строго опуклими і монотонно зростаючими, а також неокласичними ( 0, 0, fi(0) = 0, , , , ); r(t) – узагальнений показник стану природних ресурсів; r* – показник початкового (незбуреного) стану ресурсу; z(t) – об’єм забруднення в навколишньому середовищі; і – норма амортизації капіталу (0 і 1); ui – частка кінцевого продукту, що використовується як інвестиції, вкладені в розвиток економіки сектора; i – частка кінцевого продукту, яка використовується на невиробниче споживання; wі – частка кінцевого продукту, яка використовується на відновлення ресурсу; (1 – ui – i – wі) – частка накопичення капіталу, що використовується на роботи по знищенню забруднень; bi – питомі витрати ресурсу в і-ій галузі; a – характеристика швидкості самовідновлення ресурсу; – питоме використання ресурсу на знищення забруднення; hi – частка кінцевого продукту, що використовується для оцінки об’єму забруднення, яке виникло внаслідок виробництва кінцевого продукту об'ємом yi = fi(ki) одиниць (0 hi 1); i – кількість одиниць забруднення, які знищуються одиницею кінцевого продукту, що використовується (i 1); – коефіцієнт природної асиміляції забруднення (0 1); = (k, r, z, u, , w) (k1,…,kn, r, z, u1,…,un, 1,…,n, w1,…,wn) – допустимий еколого-економічний процес; M – множина всіх допустимих процесів ; – дисконтуючий множник з константою 0; t – неперервна змінна часу; t0, T – фіксовані моменти часу, T t0. Змінні (u, , w) (u1,…,un, 1,…,n, w1,…,wn) є параметрами керування; – 1(r* – r)2 + 2qz(z) = q(c, r, z) – функція корисності еколого-економічного процесу, яка визначена і неперервна в = {(c, r, z): ci   (), r , z }, монотонно зростаюча по сі () та r і монотонно спадна по z (вважається, що qz(0) = 0, а qz(z) 0 при всіх z 0), строго опукла вгору по кожному аргументу, а також є двічі неперервно диференційованою (тобто, неокласичною); 1, 2 – вагові коефіцієнти.

У підрозділі 3.2 задача (9) – (14) досліджена з використанням принципу максимуму Понтрягіна. Вивчення поведінки спряжених змінних i(t), , показало, що керування wі, , можуть мати не більше одного перемикання на часовому проміжку [t0, T], а керування uі () в окремих випадках не мають перемикань. В свою чергу, дослідження керувань і, , показало, що вони є деякими функціями часу на проміжку [t0, T].

У підрозділі 3.3 з метою пошуку магістральних розв’язків задачі (9) – (14) було застосовано достатні умови оптимальності Кротова. Якщо виконується умова 1 = 2 = … = n = , то вдається підібрати таку функцію Кротова, яка дає вісім варіантів магістрального розв’язку даної задачі оптимального керування. Аналіз сценаріїв розвитку еколого-економічної системи для кожного можливого варіанту показує, що з точки зору концепції сталого розвитку бажаним є лише один варіант, а саме коли для оптимальних керувань виконується нерівність + + < 1 хоча б при одному і. Цей варіант призводить еколого-економічної систему в період так званого “золотого віку”.

Вибираючи такий варіант магістрального розв’язку як найприйнятніший, виписується у вигляді явних та неявних аналітичних формул процес, що складається з оптимальних керувань і оптимальних траєкторій. Результатом дослідження є відповідна теорема 3.1.

Наведено алгоритм знаходження оптимального процесу для задачі (9) – (14).

Слід зауважити, що як при побудові, так і при аналізі моделі (9) – (14), істотно використовується теорія неокласичних виробничих функцій та економічного росту.

В підрозділі 3.4 розглядається один з можливих варіантів узагальнення моделі (9) – (14), а саме пропонується дослідити n – секторну економіку, де кожний сектор (галузь) інвестує відтворення k ресурсів та знешкодження m видів забруднювачів навколишнього середовища. Тобто, запропоновано систему

(15)

де kі(t), fі(kі), і, ui, i, wі, (1 – ui – i – wі) – ті самі, що у моделі (9) – (14); rj(t) – показник стану j-го природного ресурсу в момент часу t; – показник початкового (незбуреного) стану j-го ресурсу; aj – характеристика швидкості самовідновлення j-го ресурсу; bij – питомі витрати j-го ресурсу в i-му виробничому секторі; j – частка сумарної кінцевої продукції, яка витрачається на відновлення j-го ресурсу; zl(t) – об’єм l-го забруднення в навколишньому середовищі в момент часу t; l – коефіцієнт природної асиміляції l-го виду забруднення (0 l 1); hil – частка i-го кінцевого продукту, який використовується для оцінки об’єму l-го забруднення, що виникло внаслідок виробництва кінцевого продукту об'ємом yi = fi(ki) одиниць (0 hil 1); il – кількість одиниць забруднення виду l, які знищуються одиницею i-го кінцевого продукту (il 1); jl – питоме використання ресурсу j на знищення l-го забруднення; t – неперервна змінна часу.

Як керування системою (15) знову вибрано змінні (u, , w)  (u1,…,un, 1,…,n, w1,…,wn), які задовольняють обмеженням вигляду (10), а корисність еколого-економічного процесу в даному випадку описується такою функцією: q(c, r, z) = q(c1, …, cn, r1, …, rk, z1, …, zm) = . Розглянуто задачу оптимального керування системою (15) з нелінійним критерієм якості

(16)

де (k1,…, kn, r1, …, rk, z1, …, zm, u1,…, un, 1,…, n, w1,…, wn) – допустимий еколого-економічний процес, а М – множина всіх допустимих процесів . Дослідження моделі (15), (16), що проведене в цьому розділі, є аналогічним дослідженню моделі (9) – (14).

У четвертому розділі вивчаються динамічні еколого-економічні моделі балансового типу. А саме, в підрозділі 4.1 запропонований динамічний варіант статичної моделі Леонтьєва-Форда взаємодії економіки та навколишнього природного середовища. Запропонована балансова модель має вигляд такої системи диференціальних рівнянь:

(17)

де – вектор об’ємів виробництва основної продукції; – вектор кінцевої продукції (попиту); – вектор знищених забруднювачів; – вектор об’ємів незнищених забруднювачів; – квадратна матриця коефіцієнтів aij 0 прямих виробничих витрат продукції i на виробництво одиниці продукції j; – прямокутна матриця витрат продукції i на одиницю знищених забруднювачів g; – прямокутна матриця випуску забруднювачів k на одиницю виробленої продукції j; – квадратна матриця випуску забруднювачів k на одиницю знищених забруднювачів g; – вектор абсолютних приростів основного виробництва; – вектор абсолютних приростів знищення забруднювачів; – квадратна матриця коефіцієнтів капіталоємності приростів основного виробництва; – прямокутна матриця капіталоємності приростів знищення забруднювачів.

Припускаючи, що матриця A22 продуктивна, а також, що (t) = 0 (умова динамічної екологічної рівноваги), можна виразити з другого рівняння системи (17) x2(t) через x1(t). В результаті отримаємо рівняння:

(18)

де A0 = A11 + A12(Em – A22)–1A21; D = B1 + B2(Em – A22)–1A21; Em – одинична матриця m-го порядку; h(t) = y1(t) – A12(Em – A22)–1y2(t). Припускається, що A0 – продуктивна матриця.

Якщо вважати матрицю D невиродженою, то можна записати систему диференціальних рівнянь (18) у вигляді:

(19)

де G = D–1(En – A0); f(t) = – D–1h(t).

Дослідження стану рівноваги системи (19) за Ляпуновим показує, що він не буде стійким. А тому для аналізу поведінки розв’язків системи (19) застосовується магістральний підхід. Він полягає в дослідженні загального розв’язку цієї системи з точки зору прямування до магістралі (променя Неймана), що має сталий темп приросту *. Число * – це власне число матриці G, яке є оберненим числу Фробеніуса матриці G–1 = (En – A0)–1D. В залежності від параметрів моделі (17) всі траєкторії системи (19) або наближаються до магістралі при t (економічно прийнятний розв’язок), або відхиляються від неї (економічно неприйнятний розв’язок), причому незалежно від початкового стану системи. Критерій економічної прийнятності розв’язку сформульовано у вигляді теореми .1. У випадку двох галузей основного виробництва і однієї – допоміжного (знищення забруднень), дві можливі ситуації проілюстровані прикладами.

У підрозділі 4.2 побудована динамічна модель цін. Ця модель має такий вигляд:

(20)

де – вектор цін основної продукції; – вектор вартостей знищення одиниці забруднювачів; – вектор коефіцієнтів умовно чистої продукції; – вектор зекономлених в момент часу t коштів при знищенні одиниці забруднювачів (вектор r2(t) можна також інтерпретувати як компенсацію держави населенню за викиди в навколишнє середовище, пов’язані з незнищенням забруднювачів.). Запис першого рівняння системи (20) відображає той факт, що будь-яка зміна цін основної продукції та зміна вартості знищення забруднювачів впливає на ціну основної продукції.

Модель (20) досліджується аналогічно моделі (17) – з використанням магістрального підходу. У цьому випадку також всі траєкторії системи (20) або наближаються до магістралі, або “відходять” від неї з ростом t. Ці два варіанти поведінки траєкторії цін p1(t) – економічно прийнятний і неприйнятний – проілюстровані числовими прикладами з тими ж вихідними параметрами, що й у підрозділі 4.1.

Підрозділ 4.3 присвячений побудові чисельно-аналітичного розв’язку рівняння

(21)

для випадку, коли функція кінцевого споживання є квазіполіномом, тобто:

f(t) = q(t)et,

де 0 – задане, q(t) – многочлен деякого ступеня h відносно t

q(t) = chth + ch–1th–1 + … + c0

з відомими векторними коефіцієнтами ch, …, c0 (c0 0).

Вважається, що матриця D має додатні елементи лише в тих рядках, які відповідають капіталоутворюючим (фондоутворюючим) галузям (перші k рядків,
k n), а решта – нулі. Розглядається випадок, коли k = 1. Для зручності матриці A0 та D розбито на блоки наступним чином:

A0 = D = .

Описано метод пошуку загального розв’язку виродженої однорідної системи

а також частинного розв’язку неоднорідної системи (21). Результати досліджень формулюються відповідними теоремами 4.2 – 4.4.

У підрозділі 4.4 досліджується стан рівноваги динамічної моделі Леонтьєва-Форда згідно з підходом фон Неймана. Для цього до розгляду вводяться динамічні відкриті пряма та двоїста моделі Леонтьєва-Форда. Розглядається T періодів часу (скажемо, років чи місяців). Через , , , позначено відповідні вектори x1, x2, p1, p2, що описують функціонування моделей на проміжку [t-1, t], t = 1,...,T:

(22)–

об’єм випуску продукції за минулий період є достатнім для матеріальних виробничих витрат наступного періоду;

(23)–

об’єм знищеного забруднення не перевищує об’єму його випуску;

(24)–

виробництво основної продукції не дає додатного прибутку (це т. зв. правило нульового прибутку);

(25)–

ціна знищення забруднювачів за умови державних дотацій населенню не перевищує матеріальних витрат по знищенню забруднювачів.

Вважається, що продуктивними і нерозкладними є матриці А11, А22, А1 = А11 + (Еm – А22)–1А21 та А2 = А22 + (Еn – А11)–1А12.

Із системи (22) – (25) отримаємо вартісні баланси:–

вартісний баланс продукції;–

вартісний баланс знищених забруднювачів;–

вартісний баланс прибутку;–

вартісний баланс державних дотацій населенню.

Припускається, що траєкторії інтенсивностей випуску продукції, знищення забруднювачів, а також відповідні траєкторії цін є стаціонарними (збалансованими):

(, , , – відповідні значення векторів у початковий момент часу t = 0). Тоді приходимо до системи

з якої випливає, що = = > 0. Позначивши = 1/, маємо систему умов збалансованої рівноваги:

(26)

Аналізується стан рівноваги системи (26) за двох умов:

1) відбувається знищення забруднень, тобто: x1 > 0, x2 > 0, p1 > 0, p2 > 0;

2) знищення забруднень не відбувається, тобто: x1 > 0, x2 = 0, p1 > 0, p2 = 0.

В результаті приходимо до такого твердження:

Теорема 4.5. Для системи (26) існує лише два стани збалансованої рівноваги:

1) рівновага “золотого віку”, коли – число Фробеніуса матриці A0, а x1, p1 – додатні правий і лівий вектори Фробеніуса цієї матриці, і при цьому x2 = (Em – A22)–1A21x1, p2 = p1A12(Em – A22)–1;

2) рівновага “темного віку”, коли – число Фробеніуса матриці A11, а x1 і p1 – додатні правий і лівий вектори Фробеніуса матриці A11.

За умови “золотого віку” y1 = (1 – (А1))x1(А1), y2 = 0, r1 = (1 – (А1))p1(А1), r2 = 0, тобто, повністю знищуються всі забруднення, що виникають і відсутня державна дотація населенню. У випадку “темного віку” y1 = (1 – (А11))x1(А11), y2 = А21x1(А11), r1 = (1 – (А11))p1(А11), r2 = р1(А11)А12. Отже, забруднювачі не знищуються, а державна компенсація населенню дорівнює вартості матеріальних витрат, необхідних для знищення забруднювачів.

Оскільки матриці А1 та А11 є продуктивними та нерозкладними, то з того, що А1 А11 (А1 А11), випливає, що 0 < (А11) < (А1) < 1. Повертаючись до попередніх позначень: 1 = 1/(А1) > 1, 2 = 1/(А11) > 1 (темпи росту). Для 1, 2 виконується співвідношення:

1 < 2.

Тобто, темп росту виробництва за умови “золотого віку” є меншим за темп росту виробництва у випадку “темного віку”. Саме така ситуація з точки зору сучасності є адекватною не лише в екологічному (економія ресурсів, знищення забруднення), а й в економічному (економія коштів) плані.

ВИСНОВКИ

В дисертації розроблені нові математичні моделі еколого-економічної взаємодії різного ступеня агрегованості, які розвивають та доповнюють неокласичні моделі економічного росту, статичні економіко-математичні моделі балансового типу та моделі взаємодії економіки і навколишнього природного середовища.

Основні наукові результати дисертації:

1. Досліджено задачу оптимального керування і отримано умови існування збалансованого експоненційного зростання економіки за еколого-економічної рівноваги для агрегованої еколого-економічної моделі з відновлюваним ресурсом.

2. Одержано достатні умови оптимальності процесу магістрального типу для задачі оптимального керування багатосекторною еколого-економічною системою з відновлюваним ресурсом.

3. Побудовано динамічну модель Леонтьєва-Форда взаємодії економіки та навколишнього природного середовища і відповідну динамічну модель цін. Встановлено існування магістральних розв’язків для цих моделей, а також необхідні та достатні умови існування економічно прийнятних розв’язків.

4. Вивчено модель фон Неймана для динамічної системи Леонтьєва-Форда і одержано умови її збалансованої рівноваги. Обгрунтовано існування двох станів збалансованої рівноваги для цієї моделі.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ

ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Ляшенко І.М., Коробова М.В. Динамічна модель Леонтьєва-Форда. //Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки. Вип. 3. – Київ, 1998. – С. 216 – 227.

Ляшенко І.М., Коробова М.В. Рівновага в динамічній моделі Леонтьєва-Форда. //Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки. Вип. 4. – Київ, 1999. – С. 189 – 194.

Коробова М.В. Моделирование многосекторной эколого-экономической системы с возобновимым ресурсом. //Кибернетика и вычислительная техника. – 1999. – № 124. – С. 14 – 23.

Коробова М.В. Про рівновагу в динамічній моделі Леонтьєва-Форда //Тез. доп. Міжнар. конф. “Dynamical Systems Modeling and Stability Investigation”. – Київ. – 2001. – С.177.

Коробова М.В. Многосекторная эколого-экономическая модель //Труды Междунар. научн.-практич. конф. KDS–2001 “Знание – Диалог – Решение”. – Санкт-Петербург. – 2001. – Т.2. – С.379–387.

Коробова М.В. Агрегированная оптимизационная модель эколого-экономического взаимодействия. //Проблемы управления и информатики. – 2001. – № 4. – С. 144 – 156.

КОРОБОВА М.В. Динамічні оптимізаційні та балансові моделі взаємодії економіки і довкілля. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2002.

Дисертація присвячена розробці та дослідженню математичних моделей еколого-економічної взаємодії балансового і оптимізаційного типів. У роботі побудовані оптимізаційні моделі еколого-економічних процесів різного ступеня агрегованості, що розвивають і доповнюють неокласичні моделі економічного зростання, статичні економічні моделі балансового типу, а також моделі взаємодії економіки і навколишнього середовища. Проведено дослідження цих математичних моделей з погляду концепції стійкого розвитку.

Досліджено задачу оптимального керування і отримано достатні умови існування збалансованого експоненційного росту економіки магістрального типу за умов еколого-економічної рівноваги для агрегованої та багатосекторної еколого-економічної системи з відновлюваним ресурсом. Запропоновано динамічний аналог класичної міжгалузевої еколого-економічної моделі Леонтьєва-Форда та відповідну динамічну модель цін. Встановлено існування магістральних розв’язків для цих моделей, а також необхідні та достатні умови існування економічно прийнятних розв’язків. Побудовано нейманівський аналог для динамічної системи Леонтьєва-Форда і одержано умови її збалансованої рівноваги. Встановлено існування двох станів збалансованої рівноваги для цієї моделі.

Ключові слова: еколого-економічна система, оптимізаційна динамічна модель, міжгалузева еколого-економічна модель, магістральний розв’язок.

КОРОБОВА М.В. Динамические оптимизационные и балансовые модели взаимодействия экономики и окружающей среды. – Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 – математическое моделирование и вычислительные методы. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2002.

Диссертация посвящена разработке и исследованию математических моделей эколого-экономического взаимодействия балансового и оптимизационного типов. В работе построены оптимизационные модели эколого-экономических процессов разной степени агрегированности, которые развивают и дополняют неоклассические модели экономического роста, статические экономические модели балансового типа, а также модели взаимодействия экономики и окружающей среды. Проведено исследование этих математических моделей с точки зрения концепции устойчивого развития.

Построена динамическая агрегированная система взаимодействия экономики с окружающей средой, которая описывает динамику четырех показателей: производственного капитала, капитала очистных сооружений, возобновляемого природного ресурса и загрязнения. В качестве переменных управления системой выбраны нормы накопления производственного капитала, капитала по очистке и норма восстановления ресурса. Исследована устойчивость стационарного решения соответствующей автономной системы. Проведено исследование задачи оптимального управления этой системой при помощи принципа максимума Понтрягина. Также изучена задача оптимального управления соответствующей неавтономной системой. Показано, что сбалансированное решение этой задачи существует только при определенных соотношениях между параметрами модели. Предложена методика построения траектории сбалансированного роста с ветками выхода и схождения с нее.

Также построена многоотраслевая модель эколого-экономического взаимодействия, которая описывает динамику удельных величин на единицу населения: капиталовооруженности каждой из отраслей, обобщенного показателя состояния природных ресурсов и объема загрязнения в окружающей среде. В качестве внешних влияний на систему рассматриваются доли конечного продукта каждой из отраслей, которые инвестируются в развитие экономики отрасли, используются на восстановление ресурса и на непроизводственное потребление. Проведено исследование задачи оптимального управления многоотраслевой экономикой, инвестирующей процесс возобновления природного ресурса борьбу с загрязнением окружающей среды. При определенных условиях касательно параметров данной модели, возможно существование восьми вариантов магистрального решения данной задачи. Найден допустимый процесс для вышеупомянутой задачи оптимального управления и указаны условия оптимальности упомянутого процесса. Так, оптимальная траектория этого процесса обладает магистральным свойством и соответствует ситуации “золотого века”, когда экономическая система выделяет средства как на производственные нужды, так и на природоохранную деятельность – возобновление ресурсов и ликвидацию загрязнения в окружающей среде (является приемлемой с точки зрения концепции устойчивого развития). Предложен один из возможных вариантов обобщения многосекторной модели.

Построен динамический аналог классической модели эколого-экономического межотраслевого баланса Леонтьева-Форда, а также соответствующая динамическая модель цен. Проведено исследование указанных динамических моделей касательно существования магистральных решений. Показано, что магистральное решение существует, но траектория эколого-экономической системы стремится к магистрали не всегда, а только при определенных соотношениях между параметрами этой системы. Доказано необходимое и достаточное условие существования экономически приемлемых решений для вышеупомянутых динамических моделей.

Предложен чисельно-аналитический метод решения межотраслевого эколого-экономического динамического баланса с квазиполиномиальной функцией конечного потребления.

Для динамической системы Леонтьева-Форда построен неймановский аналог. Получены условия сбалансированного равновесия для этой модели. Установлено, что существует только два состояния сбалансированного равновесия – равновесие “темного века”, когда загрязнения в окружающей среде совсем не уничтожаются, и равновесие “золотого века”, когда полностью уничтожаются все загрязнения. Показано, что темп роста производства в условиях “золотого века” является меньшим темпа роста производства в случае “темного века”.

Ключевые слова: эколого-экономическая система, оптимизационная динамическая модель, межотраслевая эколого-экономическая модель, магистральное решение.

KOROBOVA M.V. Dynamic optimization and balance models of economic and environment interaction. – Manuscript.

Thesis for a candidate’s degree of physics and mathematics by specialty 01.05.02 – mathematical modeling and computing methods. Kyiv Taras Shevchenko national university, Kyiv, 2002.

The thesis is devoted to the problem of creating and investigation of balance and optimization types of ecology and economic interaction mathematical models. Optimization ecology and economic processes models of different aggregation degree, which develop and append neoclassical economic growth models, static balance type economic models, and models of economics and environment interaction are built in the work. These mathematical models are investigated by terms of Sustainable Development conception.

An optimal control problem is investigated and sufficient conditions of balanced exponential economy’s growth existence in ecology and economic balance conditions are obtained for aggregated and multisectoral ecology and economic system with the renewable resource. A dynamic analogue of the classical input-output ecology and economic Leontief-Ford model and corresponded dynamic model of prices are proposed. The existence of turnpike solutions for this models and also necessary and sufficient conditions of economy acceptable solutions existence are determined. Neumann analogue for dynamic Leontief-Ford system is constructed and conditions of its balanced states are obtained. The existence of two balanced states for this model is determined.

Keywords: ecology and economic system, optimization dynamic model, input-output ecology and economic model, turnpike solution.