НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ

ІМ. Я.C. ПІДСТРИГАЧА НАН УКРАЇНИ

СЛОБОДЯН МИКОЛА СТЕПАНОВИЧ

УДК 539.3

ЗГИН ПЛАСТИН З КОЛОВОЮ МЕЖЕЮ

ТА ПРЯМОЛІНІЙНИМИ ТРІЩИНАМИ

З УРАХУВАННЯМ КОНТАКТУ БЕРЕГІВ ТРІЩИН

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів – 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Львівському національному університеті імені Івана Франка МОН України.

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук, доцент

Опанасович Віктор Костянтинович, Львівський національний університет імені Івана Франка МОН України, доцент кафедри механіки, м. Львів;

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, кандидат фізико-математичних

наук, професор

Божидарнік Віктор Володимирович, Луцький державний технічний університет МОН України, ректор Луцького державного технічного університету, м. Луцьк;

доктор фізико-математичних наук, професор

Осадчук Василь Антонович, Національний університет “Львівська політехніка” МОН України, завідувач кафедри “Зварювальне виробництво, діагностика та відновлення металоконструкцій”, м. Львів

Провідна установа: Дніпропетровський національний університет МОН України, кафедра теоретичної та прикладної механіки, м. Дніпропетровськ

Захист відбудеться “9” липня 2007 р. о 15:00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.195.01 в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.C. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-б.

З дисертацією можна ознайомитись в науковій бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-б).

Автореферат розісланий “6” червня 2007 р.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради,

доктор фізико-математичних наук О. В. Максимук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. У машинобудуванні, авіаційній, будівельній, суднобудівельній та інших галузях техніки використовуються пластинчасті елементи, які є порівняно легкі, але достатньо надійні. Такі елементи із технічних міркувань можуть містити кругові отвори та включення, а під час їх виготовлення чи експлуатації можуть появитися тріщиноподібні дефекти, виникненню яких запобігти практично неможливо.

Під дією зовнішнього навантаження в таких елементах конструкції виникають високі концентрації напружень, що може привести до їх руйнування. Відомо, що дослідження, пов’язані із вивченням впливу тріщиноподібних дефектів на міцність елементів конструкції, є важливим напрямком удосконалення сучасної науки і техніки.

Дослідження останніх років показують, що взаємодія берегів тріщин впливає на перерозподіл напружено-деформованого стану в околі дефекту, а отже, на міцність і довговічність елементів конструкції. Побудова розв’язку задач для пластин та оболонок, що містять наскрізні тріщини, береги яких контактують, у тривимірній постановці за згину є досить складною проблемою. Набагато простіше врахувати контакт берегів тріщини в пластині, використовуючи технічну теорію згину пластини та плоску задачу теорії пружності.

На сьогоднішній день у літературі розв’язано багато задач згину пластин та оболонок, що містять систему прямолінійних тріщин, береги яких контактують. Проте взаємодія системи тріщин, береги яких контактують, із круговим отвором або абсолютно жорсткою шайбою в пластинках за їх згину не вивчалась.

Дисертація присвячена розв’язанню наукового завдання – розвинути дослідження, пов’язані із впливом колової межі пластини і системи наскрізних прямолінійних тріщин, береги яких контактують, на її напружено-деформований стан.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Задачі, які розглянуті у дисертаційній роботі, були частиною досліджень, проведених згідно наукових держбюджетних тем Львівського національного університету імені Івана Франка: “Некласичні моделі та методи досліджень перехідних процесів у структурно-неоднорідних пружних середовищах” (номер державної реєстрації 0102U003570, 2002-2004 р.), “Нові моделі та методи досліджень термопружних процесів у неоднорідних середовищах з дефектами структури” (номер державної реєстрації 0105U002224, 2005-2006 р.).

Мета і завдання досліджень. Метою досліджень дисертаційної роботи є встановлення закономірностей взаємодії системи прямолінійних тріщин у пластині із круговими границями за її згину та оцінка впливу контакту берегів тріщин на напружено-деформований стан пластини та на її граничне навантаження, яке може бути прикладене до пластини.

Щоб досягнути поставленої мети сформульовано наступні завдання:

- зробити постановку та побудувати розв’язки задач згину нескінченної пластини із отвором або абсолютно жорсткою шайбою та системою прямолінійних тріщин, береги яких приходять у гладкий контакт;

- зробити постановку та побудувати розв’язок задачі згину круглої пластини із системою прямолінійних тріщин, з урахуванням гладкого контакту їх берегів;

- дослідити розв’язки поставлених задач у випадку взаємодії отвору або абсолютно жорсткої шайби з однієї або двома довільно розташованими тріщинами;

- провести дослідження для випадку круглої пластини із довільно розташованою прямолінійною тріщиною;

- вивчити вплив розміщення тріщин, розмірів отвору, абсолютно жорсткої шайби у пластині на граничне навантаження, що може бути до неї прикладене.

Об’єктом досліджень є напружено-деформований стан пластини, яка містить колову межу та систему наскрізних прямолінійних тріщин, береги яких контактують.

Предмет досліджень: розвиток методів розв’язування задач згину пластин, які містять кругову границю та систему наскрізних прямолінійних тріщин з урахуванням контакту їх берегів.

Методи дослідження. Сформульовані задачі згину пластин розв’язано за допомогою методів теорії функцій комплексної змінної та комплексних потенціалів. Отримана система сингулярних рівнянь, яка розв’язана чисельно за допомогою методу механічних квадратур.

Наукова новизна отриманих результатів є такою:

- розвинуто методику розв’язання задач згину пластин із коловою межею та системою прямолінійних тріщин, береги яких гладко контактують;

- вперше розв’язано задачі про згин нескінченної пластини із круговим отвором та абсолютно жорсткою круговою шайбою і системою тріщин, з урахуванням контакту їх берегів;

- вивчено взаємодію кругового отвору (жорсткої шайби) із системою прямолінійних тріщин та вплив контакту берегів тріщин на граничне навантаження, яке може бути прикладене до пластини;

- в досліджених задачах встановлено навантаження, при якому можливе відставання берегів тріщин.

Достовірність отриманих результатів полягає в наступному: строгому дотриманні апробованих у літературі методів дослідження задач згину пластин, плоских задач, числових методів розв’язування системи сингулярних рівнянь; збігом у часткових випадках отриманих результатів з відомими результатами.

Теоретичне значення дисертаційної роботи полягає у розвитку методів розв’язування задач, які виникають при згині пластин з коловою межею та системою тріщин, береги яких контактують, в оцінці впливу їх контакту на напружено-деформований стан пластини та коефіцієнти інтенсивності моментів та зусиль.

Практичне значення отриманих результатів. Запропонований у роботі підхід для дослідження напружено-деформованого стану пластини з коловою межею та системою тріщин, береги яких контактують, дає можливість точніше оцінити вплив на міцність пластинчатих елементів конструкції тріщиноподібних дефектів. Отримані у дисертаційній роботі результати можна використовувати для розрахунку на міцність пластинчатих елементів конструкції з отворами та тріщинами, які використовуються у машинобудуванні, авіаційній, будівельній, суднобудівельній та інших галузях техніки.

Особистий внесок здобувача. Всі наведені в роботі задачі дисертант розв’язав самостійно, розробив програми для отримання числового результату для конкретних задач. У публікаціях, які написані у співавторстві та пов’язані із дисертацією, виконана робота розподілена так:

- у працях [1, 4, 7] науковий керівник В.К. Опанасович зробив постановку задач, дисертант записав систему інтегральних рівнянь та побудував чисельний розв’язок; отримані результати проаналізовані спільно;

- у роботах [3, 5, 9, 12] здобувач побудував розв’язок задач, співавтору належить аналіз отриманих результатів;

- у статтях [10, 11] співавтору належить постановка задачі та обґрунтування структури розв’язку; дисертант отримав числові результати та проаналізував їх;

- у роботах [ 6, 14, 15] дисертант записав систему інтегральних рівнянь та отримав числовий розв’язок; співавтору належить аналіз структури інтегральних рівнянь і отриманих результатів.

Результати, наведені у роботах [2, 8, 13], отримані дисертантом самостійно.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на конференціях:

- Всеукраїнська наукова конференція “Сучасні проблеми механіки”. – Львів, 2-5 листопада 2004 р.;

- 7-ий міжнародний симпозіум українських інженерів-механіків у м. Львові (МСУІМЛ-7). – Львів, 18-20 травня 2005 р.;

- Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я. С. Підстригача. – м. Львів, 24-27 травня 2005 р.;

- 3-я міжнародна науково-практична конференція “Актуальні проблеми механіки деформованого твердого тіла”. – м. Донецьк, 27-30 червня 2005 р.;

- VI польсько-український науковий симпозіум “Актуальні задачі механіки неоднорідних середовищ”. – м. Варшава, 6-10 вересня 2005 р.;

- Відкрита науково-технічна конференція молодих науковців і спеціалістів Фізико-механічного інституту ім. Г. В. Карпенка НАН України “Проблеми корозійно-механічного руйнування, інженерія поверхні, діагностичні системи.” – м. Львів, 21-23 вересня 2005 р.;

- Міжнародна науково-технічна конференція “Динаміка, міцність і ресурс машин та конструкцій”. – м. Київ, Україна, 1-4 листопада 2005 р.;

- Всеукраїнська наукова конференція “Сучасні проблеми механіки”. – Львів, 5-8 грудня 2005 р.;

- Міжнародна науково-практична конференція “Механіка і фізика руйнування будівельних матеріалів та конструкцій” – м. Львів – Дубляни, 19-21 вересня 2006 р.;

- VII міжнародна наукова конференція “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” – м. Львів, 20-23 вересня 2006 р.;

- XІІІ міжнародний колоквіум “Механічна втома матеріалів 2006” – м. Тернопіль, 25-28 вересня 2006 р.

Дисертація у повному обсязі доповідалась на засіданні кафедри механіки Львівського національного університету імені Івана Франка, на розширеному засіданні кафедри опору матеріалів Івано-Франківського національного технічного університету нафти і газу (м. Івано-Франківськ), на загальноінститутському науковому семінарі “Математичні проблеми механіки руйнування і поверхневих явищ” Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (м. Львів).

Публікації. Результати дисертаційної роботи опубліковано у 15-ти наукових працях, серед яких 4 статті, що входять у перелік видань ВАК для фізико-математичних наук [1-4], 1 стаття, що входить у перелік видань ВАК для технічних наук [5], 1 стаття, яка вийшла у збірнику наукових праць [6], 9 тез доповідей [7-15].

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, п’яти розділів, висновків та переліку літератури. Загальний обсяг дисертації становить 162 сторінок, 110 рисунків та 232 найменування бібліографічного списку.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність обраної теми, сформульовано мету та завдання досліджень, вказано методи розв’язання поставлених задач, охарактеризовано наукову новизну та достовірність отриманих результатів, їх теоретичне та практичне значення, наведено відомості про апробацію результатів роботи, її зв’язок із науковими програмами, подано кількість опублікованих праць за темою дисертації та висвітлено особистий внесок здобувача в рамках роботи зі співавтором.

У першому розділі зроблено огляд наукових досліджень за тематикою дисертації. Вказано роботи пов’язані зі згином пластин та оболонок без урахування контакту берегів тріщин, відзначено роботи, в яких вивчався плоский напружений стан пластин з отворами та тріщинами.

Наведено основні підходи до моделювання контакту берегів тріщин:

- модель контакту берегів тріщини вздовж лінії на одній із основ пластини в рамках класичної теорії згину пластин: D.P.J.L.І.П. Шацький, M.J.C.T.О.М. Гузь, В.В. Зозуля, В.К. Опанасович, В.В. Божидарнік, J.P., I.I., L.I. та інші;

- модель контакту берегів тріщини вздовж лінії з використанням уточнених теорій згину пластин: F.S.M.V.V.S. Viswanath, R.K.P.P.F.F.Y.W.В.К. Опанасович та інші;

- тривимірна модель: R.S.K.N.Nambissan;

– експериментальні роботи: Дж.Ф. Кальтгоф, І.П. Шацький, А. Бюргель.

Взаємодія тріщин у круглій пластині або взаємодія кругового отвору чи шайби із системою прямолінійних тріщин за згину не досліджувалась.

У другому розділі наведено основні співвідношення класичної теорії згину пластин та плоскої задачі теорії пружності. Подано формули для розподілу зусиль і моментів, переміщень та прогину пластини в околі вістря тріщини в полярній та декартовій системах координат. Наведено систему сингулярних інтегральних рівнянь, яка зустрічається в дисертаційній роботі, та метод її розв’язування. На основі енергетичного критерію руйнування отримано залежність для визначення граничного навантаження пластини з тріщинами при згині.

У третьому розділі на основі відомої двовимірної моделі гладкого контакту берегів тріщин формулюється у загальній постановці задача про згин з розтягом на безмежності нескінченної пластини з круговим отвором і системою довільно розташованих прямолінійних наскрізних тріщин з урахуванням контакту їх берегів. За допомогою методів теорії функцій комплексної змінної та комплексних потенціалів розв’язок задачі зведений до системи сингулярних інтегральних рівнянь у комплексних змінних, яка розв’язувалась числовим методом механічних квадратур.

Розглянемо нескінченну ізотропну пластину завтовшки , яка містить циліндричний (круговий) отвір радіуса та систему довільно орієнтованих прямолінійних наскрізних тріщин завдовжки . Виберемо в серединній площині пластини початок декартової системи координат , направивши вісь перпендикулярно до неї, причому нехай початок координат співпадає з центром кругового отвору. У площині введемо полярну систему координат і з полюсом у точці та полярною віссю . Нехай центрам тріщин відповідають координати , а  – кут нахилу лінії -тої тріщини до осі , . Пов’яжемо з -тою тріщиною декартову систему координат з центром у точці . Вважатимемо, що пластина згинається на безмежності рівномірно розподіленими моментами та і розтягується зусиллями та . Область всередині кругового отвору позначимо через , ззовні – через , лінію, де розміщена -та тріщина – через , а коло – через (див. рис. ).

Приймемо, що тріщина в недеформованому стані – це наскрізний математичний розріз. Вважатимемо, що при заданому навантаженні береги тріщин будуть контактувати по лінії на верхній основі пластини по всій довжині. Оскільки береги тріщини контактують, то крім згинальних моментів виникають мембранні зусилля. Тому розв’язок задачі будемо шукати у вигляді розв’язків двох задач: задачі згину пластини, використовуючи теорію Кірхгофа-Лява, та плоскої задачі теорії пружності. Схема контакту берегів тріщини у відліковій конфігурації зображені на рис. 2.

На круговому отворі будемо мати наступні крайові умови

(1)

де  – згинальний момент, і  – компоненти тензора напружень у полярній системі координат,  – узагальнена в сенсі Кірхгофа перерізуюча сила.

Крайові умови гладкого контакту берегів тріщин за геометрично лінійного підходу мають вигляд

(3)

де  – контактне зусилля між берегами -тої тріщини,  – прогин пластини, і  – компоненти вектора переміщень у декартовій системі координат; , значками “+” і “–” позначені граничні значення функції при прямування точки площини до -тої тріщини при .

Розв’язок поставленої задачі (1)-(3) за допомогою комплексних потенціалів зведено до задач лінійного спряження, на основі яких отримано систему сингулярних інтегральних рівнянь

(4)

(5)

(6)

де , , , – відомі ядра, які залежать від взаємного розташування отвору та тріщин, ,  – відомі функції, які залежать від зовнішнього навантаження, прикладеного до пластини, , – шукані сталі, ,  – шукані комплексні функції,

, , ,  – дійсні функції, модуль Юнга матеріалу пластини, коефіцієнт Пуассона,

Згідно останньої крайової умови (3) отримаємо

(7)

Систему рівнянь (4)-(7) доповнюємо додатковими умовами

(8)

які виражають собою відповідно однозначність кутів повороту, прогину пластини та переміщень у плоскій задачі теорії пружності при обході контуру тріщини.

Для знаходження сталої скористаємося умовою однозначності прогину пластини при обході отвору, на основі якої одержимо

(9)

Розв’язок системи рівнянь (4)-(9) шукаємо чисельно за допомогою методу механічних квадратур, на основі якого можна обчислити зведені коефіцієнти інтенсивності моментів (КІМ) та зусиль (КІЗ) для кожної тріщини, причому як випливає з (7), має місце залежність , тому в подальшому графічних залежностей для не наводимо. Був проведений числовий аналіз задачі про згин пластини з отвором та однією тріщиною і отвором та двома тріщинами.

Розглянемо випадок, коли пластина містить отвір та тріщину, яка лежить на осі . Числовий аналіз цієї задачі подано на рис. , причому тут і надалі пунктирні криві відповідають випадку, коли контакт берегів тріщини не враховувався.

Рис. 3 побудовано при,. Кривій 1 відповідає при, криві  – при, криві  – при. Як бачимо з цього рисунка, при збільшенні згинного моменту контактне зусилля у ближній до отвору вершині тріщини збільшується, а у дальній вершині тріщини зменшується.

На рис. побудовано графічну залежність зведених КІМ від відносної відстані тріщини від отвору при у вершині тріщини (рис. а) та у вершині тріщини (рис. б). Криві побудовані при, криві  – при, криві  – при. З цього рисунка видно, що КІМ спадають при віддаленні тріщини від отвору, причому вони є більшими у ближній до отвору вершині тріщини ніж у дальній. Крім того, КІМ є більшими без врахування контакту берегів тріщин, ніж із урахуванням контакту.

Скориставшись для визначення критичного моменту, при якому тріщина починає рости, енергетичним критерієм руйнування, отримаємо

,

де – густина ефективної поверхневої енергії матеріалу.

На рис. наведена графічна залежність зведеного критичного моменту від відносної довжини тріщини при. Криві побудовані при, криві  – при, криві  – при. З цього рисунка видно, що спадає при збільшенні, величина є більшою при врахуванні контакту берегів тріщини, ніж без врахування контакту її берегів.

Розглянемо випадок згину пластини з отвором та двома наскрізними прямолінійними тріщинами, які лежать на осі. На рис. побудовано графічні залежності зведених КІМ від відносної відстані другої тріщини від отвору при, , , , , причому кривим 1 відповідають КІМ отримані для першої тріщини, а кривим – для другої; рис. а отриманий для вершин тріщин та, рис. б – для вершин тріщин та. Як видно з цього рисунка при збільшенні, тобто при віддалені другої тріщини від отвору, КІМ спадають як на першій так і на другій тріщині, причому на другій тріщині при збільшенні вони прямують до значень для випадку однієї ізольованої тріщини.

У четвертому розділі досліджена задача про згин нескінченної ізотропної пластини з абсолютно жорсткою круговою шайбою та системою довільно розташованих у пластині тріщин, береги яких контактують по всій їх довжині.

На межі шайби крайові умови мають вигляд

(10)

де і – компоненти вектора переміщень для плоскої задачі теорії пружності у полярній системі координат.

Крайові умови для тріщин будуть мати вигляд (3).

Використавши методи теорії функцій комплексної змінної та комплексні потенціали, розв’язок задачі зведений до задач лінійного спряження, на основі яких отримано систему сингулярних інтегральних рівнянь, яка розв’язана чисельно за допомогою методу механічних квадратур. Проведено числовий аналіз для випадку шайби та тріщини, яка лежить на осі, шайби та паралельної осі тріщини, шайби та довільно розташованої тріщини.

Наведено результати для згину нескінченної пластини з жорсткою круговою шайбою та однією прямолінійною тріщиною, яка лежить на осі, при,.

На рис. наведено графічну залежність приведеного контактного зусилля при,. Крива отримана при, крива – при, крива  – при, крива  – при. З рисунка видно, що при віддалені тріщини від шайби контактне зусилля зростає і прямує до (випадок однієї ізольованої тріщини). Крім того за такого навантаження контактне зусилля у вершині тріщини є меншим ніж у вершині тріщини.

На рис. побудовано графічну залежність зведеного КІМ при, крива отримана при, крива  – при, крива  – при. При можливе відставання берегів тріщини поблизу її вершини. Числовий аналіз показав, що при КІМ у вершині тріщини і при у вершині тріщини зростають із збільшенням відносної відстані тріщини від шайби, а вже при у вершині тріщини та при у вершині тріщини вони спочатку зростають, а потім спадають із збільшенням. Крім того, при віддалені тріщини від шайби, КІМ у вершинах тріщини і прямують до 0.4583 (випадок однієї ізольованої тріщини).

У п’ятому розділі досліджена задача про згин рівномірно розподіленими моментами круглої ізотропної пластини з системою довільно розташованих прямолінійних наскрізних тріщин з урахуванням контакту їх берегів.

Крайові умови для тріщин будуть мати вигляд (3), а на краю круглої пластини є такими

(11)

Із використанням методів теорії функцій комплексної змінної та комплексних потенціалів розв’язок задачі зведений до задач лінійного спряження, на основі яких отримано систему сингулярних інтегральних рівнянь, що розв’язана чисельно за допомогою методу механічних квадратур. Проведено числовий аналіз та побудовано графічні залежності для контактного зусилля, коефіцієнтів інтенсивності зусиль і моментів, критичного моменту для випадку центральної тріщини; тріщини, яка паралельна до осі та осі при різних значеннях, довільно розташованої у круглій пластині тріщини.

Наведемо числові результати для круглої ізотропної пластини з довільно розташованою прямолінійною тріщиною при.

На рис. 9 побудовано графічну залежність зведеного контактного зусилля при,. Крива отримана при, крива  – при, крива  – при, крива  – при, крива  – при. Як видно з рисунка, свого максимального значення контактне зусилля набуває у вершині тріщини та при збільшенні воно зменшується, у вершині тріщини контактне зусилля збільшується при збільшенні; мінімальне значення зміщується від точки при до точки при.

На рис. 10 показано графічні залежності зведених КІМ (рис. а), (рис. б) і зведених КІЗ (рис. в) у точці при від кута. Криві побудована при, криві  – при, криві  – при. Штрихові лінії отримані без урахування контакту берегів тріщини, суцільні – з урахуванням контакту її берегів. Бачимо, що КІМ з урахуванням контакту берегів тріщини є меншими ніж без урахування контакту її берегів.

Основні результати та висновки

У дисертаційній роботі вирішено наукове завдання – розвинути підхід до розв’язування задач згину пластин, які містять кругову границю та систему наскрізних прямолінійних тріщин з урахуванням контакту їх берегів.

Отримані наступні результати:

1. Скориставшись відомою моделлю контакту берегів тріщин вздовж лінії на верхній основі пластини, сформульовано нові задачі про взаємодію системи прямолінійних тріщин у пластині, яка містить колову межу.

2. Вперше побудовано розв’язки задач про взаємовплив кругового отвору чи абсолютно жорсткої кругової шайби та прямолінійних тріщин, береги яких контактують, при згині пластини.

3. Детально проведено дослідження задачі про згин безмежної пластини, яка містить круговий отвір або абсолютно жорстку кругову шайбу та одну або дві тріщини, та про згин круглої пластини, що містить одну довільно розташовану прямолінійну тріщину.

4. Встановлено при яких значеннях навантаження, механічних і геометричних параметрів задачі можливе відставання берегів тріщин.

5. Досліджено вплив контакту берегів тріщини на коефіцієнти інтенсивності зусиль та моментів, на основі яких встановлено критичне навантаження, що може витримати пластинка.

На основі проведених досліджень встановлено наступні закономірності:

1. Виявлено, що наявність отвору чи шайби впливає на напружено-деформований стан пластини поблизу околів тріщин, зокрема призводить до появи коефіцієнтів інтенсивності зусиль та моментів, яких немає у випадку однієї ізольованої тріщини при такому навантаженні пластини.

2. Урахування контакту берегів тріщини призводить до зменшення коефіцієнту інтенсивності моментів у порівнянні з аналогічною задачею без урахування контакту берегів тріщини та появи коефіцієнту інтенсивності зусиль, при цьому між КІМ і КІЗ існує залежність.

3. Встановлено, що врахування контакту берегів тріщини призводить до збільшення критичного моменту в порівнянні з випадком, коли контакт берегів тріщини не враховано.

4. При наявності кругового отвору чи абсолютно жорсткої кругової шайби у випадку тріщин, що лежать на осі, момент впливає на КІМ і КІЗ, чого не спостерігається у випадку однієї ізольованої тріщини.

5. На підставі аналізу ядер системи сингулярних інтегральних рівнянь для задач про згин пластини з круговим отвором та абсолютно жорсткою круговою шайбою виявлено закономірності, які дозволяють отримати розв’язок однієї задачі, маючи розв’язок іншої.

Список опублікованих праць за темою дисертаційної роботи

1. Опанасович В. К., Слободян М. С. Двосторонній згин пластини з круговим отвором та тріщиною з врахуванням контакту її берегів // Вісник Донецького університету. Сер. А: Природничі науки. – 2005. – Вип. .  – С. .

2. Слободян М. Двосторонній згин пластини з круговим отвором та тріщиною, яка розміщена паралельно до діаметра, з врахуванням контакту її берегівМашинознавство. – 2005. – № (95). – С. 41-47.

3. Опанасович В. К., Слободян М. С. Двовісний згин пластини з круговим отвором і двома радіальними тріщинами, береги яких контактують Мат. методи та фізико-механічні поля. – 2006. – Т. 49. – № . – С. .

4. Опанасович В., Слободян М. Двосторонній згин пластини з круговим отвором та радіальною тріщиною з урахуванням контакту її берегівВісник Львів. ун-ту. Серія мех.-мат. – 2006. – Вип. 65. – С. 46-59.

5. Опанасович В. К., Слободян М. С. Граничний стан пластини з круговим отвором та радіальною тріщиною з врахуванням контакту її берегів при згині та розтязіНадійність та довговічність машин і споруд. – 2006. – № . – С. 9-15.

6. Опанасович В. К., Слободян М. С. Згин круглої пластини з радіальною тріщиною, береги якої контактуютьМеханічна втома матеріалів. Праці 13-го міжнародного колоквіуму (МВМ-2006), 25-28 вересня 2006 р. Тернопіль (Україна): Тернопільський державний технічний університет ім. Івана Пулюя, 2006. – С. 491-497. – 536 с.

7. Опанасович В. К., Слободян М. С. Двосторонній згин пластини з круговим отвором та радіальною тріщиною з врахуванням контакту її берегів // Тези всеукраїнської наукової конференції “Сучасні проблеми механіки”. – Львів, 2-5 листопада 2004 р. – С. .

8. Слободян М. Двосторонній згин пластини з круговим отвором та тріщиною, яка розміщена паралельно до діаметра, з врахуванням контакту її берегів // Тези доповідей 7-го міжнародного симпозіуму українських інженерів-механіків у м. Львові (МСУІМЛ-7). – Львів, 18-20 травня 2005 р. – С. .

9. Опанасович В. К., Слободян М. С. Двосторонній згин пластини з круговим отвором та двома радіальними тріщинами, береги яких контактують // Тези доповідей конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім.Я. С. Підстригача. – м. Львів, 24-27 травня 2005 р. – С. .

10. Опанасович В.К., Слободян М.С. Двосторонній згин пластини з жорсткою круговою шайбою та радіальною тріщиною з врахуванням контакту її берегів // Тези доповідей VI польсько-українського наукового симпозіуму “Актуальні задачі механіки неоднорідних середовищ”. – м. Варшава, 6-10 вересня 2005 р. – С. .

11. Слободян М. С., Опанасович В. К. Двосторонній згин пластини з круговим отвором та крайовою радіальною тріщиною з урахуванням контакту її берегів // Тези відкритої науково-технічної конференції молодих науковців і спеціалістів Фізико-механічного інституту ім. Г. В. Карпенка НАН України “Проблеми корозійно-механічного руйнування, інженерія поверхні, діагностичні системи.” – м. Львів, 21-23 вересня 2005 р. – С. .

12. Опанасович В.К., Слободян М.С. Граничний стан пластини з круговим отвором та радіальною тріщиною з врахуванням контакту її берегів при згині та розтязі // Тези доповідей міжнародної науково-технічної конференції “Динаміка, міцність і ресурс машин та конструкцій”, Том 2. – м. Київ, Україна, 1-4 листопада 2005 р. – С. .

13. Слободян М. Двосторонній згин пластини з жорсткою круговою шайбою та тріщиною з урахуванням контакту її берегів // Тези всеукраїнської наукової конференції “Сучасні проблеми механіки”. – Львів, 5-8 грудня 2005 р. – С. .

14. Опанасович В., Слободян М. Згин круглої пластини з центральною тріщиною з урахуванням контакту її берегів // Тези всеукраїнської наукової конференції “Сучасні проблеми механіки”. – Львів, 5-8 грудня 2005 р. – С. .

15. Опанасович В., Слободян М. Згин круглої пластини з довільно розташованою тріщиною, береги якої контактують // Тези VII міжнародної наукової конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур”. – м. Львів, 20-23 вересня 2006 р. – Т. 2. – С. 95-97.

Анотація

Слободян М. С. Згин пластин з коловою межею та прямолінійними тріщинами з урахуванням контакту берегів тріщин. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. – Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, Львів, 2007.

У дисертаційній роботі досліджено напружено-деформований стан пластини при взаємодії колової межі та системи наскрізних прямолінійних тріщин, береги яких гладко контактують по всій їх довжині на одній із основ пластини, за згину. В силу контакту берегів тріщин розв’язок досліджуваних задач шукався у вигляді розв’язків двох задач: плоскої задачі та задачі згину пластини (технічна теорія). Із використанням методів теорії функцій комплексної змінної та комплексних потенціалів розв’язок задач був зведений до задач лінійного спряження, на основі яких отримано систему сингулярних інтегральних рівнянь відносно невідомих функцій стрибків кутів повороту та горизонтальних переміщень на тріщинах, яка розв’язувалась за допомогою числового методу механічних квадратур. Проаналізовано розв’язки задач про двосторонній згин моментами на нескінченності безмежної пластини з круговим отвором або абсолютно жорсткою круговою шайбою та однією або двома тріщинами, та про згин круглої пластини з однією тріщиною. На основі знайдених розв’язків побудовано залежності контактного зусилля між берегами тріщин, коефіцієнтів інтенсивності моментів і зусиль, критичного моменту, який може бути прикладений до пластини, від геометричних і механічних параметрів досліджуваних задач. Встановлено, при яких значеннях параметрів задачі можливе відставання берегів тріщин.

Ключові слова: пластина, система прямолінійних тріщин, колова межа, класична теорія згину, контактне зусилля, плоска задача, задача згину пластини.

Abstract

Slobodyan M. S. Bending plate with circular boundary and system line cracks taking into account edges contact. – Manuscript.

Thesis for the Candidate’s Degree in Physics and Mathematics by speciality 01.02.04 – Mechanics of Solids. – Pidstryhach Institute of Applied Problems of Mechanics and Mathematics of National Academy of Science of Ukraine, Lviv, 2007.

Dissertation is devoted to investigation circular boundary and line crack interaction taking into account edges contact in bending plate. The new problems on plate bending with circular boundary and the system of the arbitrarily located through-the-through cracks are formulated taking into account the edge contact. With application of methods of the theory of functions of complex variable and complex potentials the solution of a problem is shown to a system of integral equations with unknown functions of jumps of rotation angles and displacements. This system is solved by a numerical method with the help of method of mechanical quadratures. The numerical analysis of a problem is conducted, because of which are constructed of graphic dependence of contact pressure, coefficients intensity moment and gains.

Key words: plate, through-the-through crack, circular boundary, bending, contact pressure, two-dimensional problem.

Аннотация

Слободян Н. С. Изгиб пластин с круговой границей и прямолинейными трещинами з учетом контакта берегов трещин. – Рукопись.

Диссертация за соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела. – Институт прикладных проблем механики и математики им. Я.С. Подстригача НАН Украины, Львов, 2007.

В диссертационной работе исследовано взаимодействие круговой границы и системы сквозных прямолинейных трещин, берега которых гладко контактируют по всей своей длине на одной из основ пластины. С учетом контакта берегов трещин решение каждой задачи искалось в виде решений двух задач: плоской задачи и задачи изгиба пластины (техническая теория).

Диссертация состоит из введения, пяти разделов, выводов и библиографического списка.

Во введении представлена общая характеристика роботы.

В первом разделе дается обзор научных исследований по изгибу пластин и оболочек с контактируемыми трещинами.

Во втором разделе наведены основные соотношения классической теории изгиба пластин и плоской задачи теории упругости. Представлены асимптотические формулы для распределения усилий и моментов, горизонтальных перемещений и прогиба пластины в конце трещины. Приведена система сингулярных интегральных уравнений, к которой сводится решение задач диссертационной роботы, дается метод ее численного решения.

В третьем разделе описана двумерная модель гладкого контакта берегов трещины и формулируется задача об изгибе с растяжением бесконечной пластины с круговым отверстием и системой прямолинейных сквозных трещин с учетом контакта их берегов. С помощью методов теории функций комплексной переменной и комплексных потенциалов получена система сингулярных интегральных уравнений с комплексными неизвестными функциями, решенная численно с помощью метода механических квадратур. Проведен численный анализ задач об изгибе пластины с отверстием и одной или двумя трещинами, берега которых контактируют.

В четвертом разделе исследована задача об изгибе бесконечной пластины с абсолютно жесткой круговой шайбой и системой сквозных трещин, берега которых контактируют. Приведен численный анализ решения для пластины с абсолютно жесткой круговой шайбой и одной трещиной.

В пятом разделе сформулирована и решена задача об изгибе круговой пластины с трещинами, берега которых контактируют. Проведен численный анализ задачи об изгибе круговой пластины с одной трещиной.

В исследуемых задачах построены графические зависимости для контактного усилия между берегами трещин, коэффициентов интенсивности моментов и усилий, критической нагрузки, которую выдержит пластина, от длины трещин, внешней нагрузки и взаимного расположения круговой границы и центров трещин.

Ключевые слова: пластина, система прямолинейных трещин, круговая граница, классическая теория изгиба, контактное усилие, плоская задача, коэффициенты интенсивности усилий и моментов.

Підписано до друку 24.05.2007 р.

Папір друк. № 1. Спосіб друку – офсет.

Формат паперу 60х90/16 Ум.друк.аркушів 0,9

Тираж 100 штук.

Замовлення № 0406/1

Друк ВКП фірма «ВМС»

м.Львів, вул.Вузька, 3

тел./факс. (032) 297-05-67