Плеша Михайло Іванович

УДК 517.926.25

крайові задачі для еліптичних рівнянь

другого порядку в областях з ребрами на межі

01.01.02 — диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Львівському національному університеті імені Івана Франка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук,
Борсук Михайло Володимирович,
Варминсько-Мазурський університет в Ольштині (Польща),
завідувач кафедри аналізу та диференціальних рівнянь.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор,
Алхутов Юрій Олександрович,
Володимирський державний педагогічний університет (Росія),
кафедра геометрії;

доктор фізико-математичних наук, професор,
Шишков Андрій Євгенович,
Інститут прикладної математики і механіки НАН України.

Провідна установа: Київський національний університет імені Тараса Шевченка,
кафедра математичної фізики.

Захист відбудеться “____” __________ ______ року о ____ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .193.01 Інституту прикладної математики і механіки НАН України, 83114, м. Донецьк, вул. Рози Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки, 83114, м. Донецьк, вул. Рози Люксембург, 74.

Автореферат розісланий “____” __________ ______ року.

Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради ___________________________ Ковалевський О.А.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Наявність на даний момент достатньо повної теорії для лінійних рівнянь з частинними похідними еліптичного типу дозволила просунутися у вивченні нелінійних рівнянь. Зокрема, завдяки працям Ю. Шаудера, Р. Ка-чч-опполі, Ж. Лере та ін. з’явилася можливість доводити теореми існування розв’язку крайових задач для квазілінійних еліптичних рівнянь другого порядку при наявності відповідних апріорних оцінок розв’язку та його градієнта. Таким чином, для доведення розв’язності крайових задач для квазілінійних рівнянь другого порядку виникла необхідність створити методи, що дозволяли би одержувати необхідні апріорні оцінки для таких рівнянь. Основи таких методів було закладено в роботах С. Н. Бернштейна, Де Джорджі. О. О. Ладиженська і Н. М. Уральцева вдосконалили та розвили ці методи (Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. — М.: Наука, 1973. — с.).

Всі згадані дослідження стосуються крайових задач в достатньо гладких областях. В таких областях можна довільний окіл межі випрямити за допомогою гладкого перетворення. Проте низка задач механіки та фізики приводить до необхідності вивчати крайові задачі в областях з негладкою межею. До таких областей відносяться, зокрема, області, межа яких містить скінченну кількість кутових або конічних точок, а також ребра.

Однією з перших праць, що стосуються вивчення загальних крайових задач для областей з конічними чи кутовими точками, була фундаментальна робота В. О. Кондратьєва (Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками. // Тр. ММО. — . — Т. . — С. 209–292) де вивчається розв’язність та регулярність у вагових соболєвських просторах (які називають просторами Кондратьєва) загальних лінійних еліптичних задач в негладких областях при достатньо гладких коефіцієнтах задачі. Розв’язок розглядається в спеціальних просторах функцій, що мають похідні, інтегровні з деякою вагою, де вага — деякий степінь відстані до конічної чи кутової точки. Такі простори функцій найкраще описують особливості розв’язку та його похідних поблизу нерегулярної точки межі.

Іншим прикладом області з нерегулярною межею є область, що містить на межі ребра. У випадку таких областей кожна точка деякого підмноговиду, що належить межі області, являє собою нерегулярну точку (тобто, в околі якої неможливо дифеоморфним перетворенням випрямити межу), створюючи, таким чином, континуальну кількість особливих точок.

Дослідженню крайових задач для таких областей присвячена дана дисертація. Однією з перших праць, в якій було вивчено задачу Діріхле в області з ребрами, є робота Кондратьєва (Кондратьев В. А. О гладкости решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка в кусочно-гладкой области. // Дифф. уравн. — . — Т. , №10. — С. 1831–1843). У ній розглянуто лінійне рівняння, з безмежно диференційовними коефіцієнтами, в області, що містить ребра, локально дифеоморфні двогранному куту. Аналогічно, як у випадку з конічною та кутовою точкою, для вивчення властивостей розв’язку рівняння вводиться ваговий простір, де вага — деякий степінь відстані до ребра.

Ряд праць присвячено дослідженню в областях з ребрами лінійних рівнянь вищих порядків, з безмежно диференційовними коефіцієнтами. Зокрема, у роботах В. Г. Мазьї, С. А. Назарова, Б. А. Пламеневського вивчалося питання розв’язності загальних крайових задач (при цьому допускаються мішані крайові умови) для таких рівнянь та отримання для розв’язків таких рівнянь -оцінок. Ці та інші ре-зультати увійшли в монографію: Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Элл-ипити-чес-кие задачи в областях с кусочно гладкой границей. — М.: Физматлит, 1991. — 333 с., у якій також досліджено питання фредгольмовості крайових задач в областях з багатовимірними ребрами та ребрами, що перетинаються.

Все вище згадане стосується лінійних крайових задач з достатньо гладкими коефіцієнтами. Дослідження ж нелінійних крайових задач вимагає більш ретельного вивчення лінійних задач і при цьому є суттєвим, щоб коефіцієнти були мінімально гладкими. У випадку задачі Діріхле в області з конічною точкою таке дослідження було здійснено у працях М. В. Борсука. Для крайових задач в областях з ребрами такі дослідження не проводилися.

Що ж стосується нелінійних крайових задач, то вони ще дуже мало вивчені. Перші дослідження у цьому напрямку було проведено для квазілінійної задачі Діріхле з недивергентним рівнянням у роботі М. В. Борсука (Борсук М. В. Первая краевая задача для эллиптических уравнений второго порядка в областях с коническими или угловыми точками на границе. // — Львов.: Докторская диссертация, 1993. — c.), в якій була побудована теорія розв’язності цієї задачі в областях з конічною точкою. Випадок рівнянь дивергентних для областей з конічною точкою досліджувався в низці праць Е. Мірземана, П. Толксдорфа.

В дисертації досліджується поведінка розв’язків та розв’язність задачі Діріхле для лінійного і квазілінійного еліптичного рівняння другого порядку, а також мішаної задачі для лінійного еліптичного рівняння другого порядку в області з ребром на межі.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертації пов’язана з науковими темами “Нелінійні крайові задачі в необмежених і негладких областях для еліптичних і параболічних рівнянь” (1995 р., шифр Мв-048 Б, номер держреєстрації 0194V029958) і “Аналітичні та числові методи в теорії еволюцій, що описуються марківськими, дифузійними і тепловими процесами та нелінійні крайові задачі в областях з нерегулярною межею” (1998 р., шифр Мв-725 Б, номер держреєстрації 0198V007437), у яких дисертант був співвиконавцем в період з 1994 по 1998 роки.

Мета і задачі дослідження. Одержати апріорні оцінки сильних розв’язків задачі Діріхле та мішаної задачі для лінійних еліптичних недивергентних рівнянь другого порядку загального вигляду в околі ребра області при мінімальних вимогах на коефіцієнти рівняння. Аналогічні апріорні оцінки в області з ребром на межі одержати для сильних розв’язків задачі Діріхле квазілінійного недивергентного рівняння та слабих розв’язків задачі Діріхле квазілінійного дивергентного рівняння.

Довести теореми існування розв’язків задачі Діріхле для загальних лінійного та квазілінійного рівнянь, а також мішаної задачі для лінійного рівняння в області з ребром на межі.

Методи дослідження. В основі дослідження розв’язності задачі Діріхле і мішаної задачі для лінійного рівняння покладено метод продовження за параметром. При доведенні розв’язності першої крайової задачі для квазілінійного рівняння ми використовуємо метод Лере-Шаудера. Отримання точних оцінок розв’язків задач базується на об’єднанні двох точних нерівностей Харді та Віртінгегра, а також на рішенні задачі Коші для диференціальної нерівності з відхильним аргументом. Використовуються також -оцінки, метод кілець Кондратьєва, бар’єрна техніка та принцип порівняння.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертації одержані автором самостійно, основні результати опубліковано у чотирьох статтях. У сумісній праці [1] співавтору належить вказаний у публікації приклад: розв’язок однорідної задачі Діріхле для -гармонійного рівняння в куті.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися на міжнародних конференціях “Nonlinear partial differential equations” (м. Київ, 1997 р., та м. Львів 1999 р.), на аспірантських семінарах кафедри диференціальних рівнянь Львівського національного університету імені Івана Франка (керівник М. М. Бокало, 2000 р.), До-нецько-му семінарі з нелінійного аналізу (керівник академік НАН України І.В. Скрипник, 2000 р.), Львівському міському семінарі з диференціальних рівнянь (керівники проф. М. І. Іванчов, проф. П. І. Каленюк, проф. Б. Й. Пташник 2002 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в працях [1]–[6].

Структура та об’єм роботи. Дисертація складається зі вступу, п’яти розділів, висновків, списку використаних джерел і двох додатків. Обсяг дисертації — 130 сторінок машинописного тексту, список літератури містить 65 найменувань.

зміст роботи

У вступі обгрунтовується актуальність теми, дано короткий огляд результатів, які мають безпосереднє відношення до теми роботи, подаються мета та задачі дослідження, наукова новизна, практичне значення, апробація та структура роботи.

У першому розділі досліджується задача Діріхле для лінійних еліптичних недивергентних рівнянь другого порядку:

(по повтореним індексам ведеться підсумовування). Область в довільному достатньо малому околі ребра дифеоморфна клину де — конус в Питання гладкості розв’язків задачі (1)–(2) в околі ребра, що ло-каль-но ди-фе-о-морфн-оме двогранному куту (), раніше досліджувалося у працях В. Кон-дратьєва та В. Нікішкіна; в них припускається, що коефіцієнти рівняння без-межно диференційовні функції. Наші припущення про гладкість коефіцієнтів — мінімально можливі: старші коефіцієнти рівняння повинні бути неперервними за Діні в околі ребра а молодші можуть навіть зростати (при цьому ми вказуємо точний сте-пе-не-вий порядок росту). Точні оцінки розв’язків задачі (1)–(2) при мінімальних вимогах на коефіцієнти рівняння в околі конічної точки () одержані раніше в роботах М. Борсука.

Позначимо через банахів простір функцій, що мають неперервні похідні в до порядку включно, якщо — ціле і до порядку якщо — неціле, причому похідні порядку задовольняють умову Гельдера з показником Норма елемента у просторі означається як:

Через позначимо ваговий соболєвський простір (простір Кондратьєва) з нормою

Нехай — область яку вирізає конус на одиничній сфері а — найменше власне значення задачі на власні значення для оператора Лапласа-Бельтрамі:

Зафіксуємо точку на ребрі і здійснимо таке перетворення координат, що переводить головну частину рівняння (1) до канонічного вигляду. Нехай — конус у який перейде після такого перетворення і — область яку вирізає на сфері В області розглянемо задачу (3)–(4) і через позначимо найменше власне значення цієї задачі, через

а через

Основний результат розділу 1 подано у наступній теоремі.

Теорема 1. Нехай — розв’язок задачі (1)–(2) і виконані наступні умови:

i)

ii)

де — визначена при невід’ємна монотонно зростаюча неперервна за Ді-ні в нулі функція, а — функція, безмежно диференційовна, додатна всю-ди крім і співпадаюча у деякому околі з відстанню від до

iii)

та

де — достатньо мале, а

(через ми позначаємо кулю в радіуса з центром у точці а че-рез — окіл області дифеоморфно випрямлений, так, що в ло-каль-них координатах записується як ).

Нехай, також, відома величина

Тоді знайдуться такі додатні константи і (які не залежать від розв’язку ), що в достатньо малому околі мають місце наступні твердження:

1.

(через ми позначаємо

2.

3.

то має місце оцінка

4.

Зауважимо, що в локальних точних оцінках розв’язку та його градієнта при-сутня величина що визначається через власні значення перетвореної задачі. Таким чином, залежить від області, а також, від поведінки старших ко-ефі-цієнтів рівняння на ребрі. Якщо старші коефіцієнти рівняння перетворюються на ребрі в оператор Лапласа, то є сталою, що визначається лише областю.

Розглянемо рівняння:

в області тобто, є частиною двогранного кута. Головна частина рівняння (9) не перетворюється на реб-рі в оператор Лапласа, тому, виходячи з точних оцінок теореми 1, поведінка розв’язку буде змінною вздовж ребра. Справді, функція

з

є розв’язком задачі Діріхле у двогранному куті для рівняння (9) з функцією

Другий розділ присвячений дослідженню поведінки розв’язків мішаної задачі для лінійних еліптичних недивергентних рівнянь другого порядку:

Для мішаної задачі (10)–(11) ми розглядаємо область таку, що в довільному до-стат-ньо малому околі ребра дифеоморфна двогранному куту де — кут в Аналогічно, як у випадку задачі Діріхле, точна оцінка розв’язку визначається через власні значення відповідної за-да-чі для оператора Лапласа-Бельтрамі — У випадку, коли область ло-кально дифеоморфна двогранному куту, може бути порахованим. Для мішаної задачі: де — функція кута: розхил кута у який перейде кут якщо звести головну частину рівняння (10) до канонічного вигляду у замороженій точці Аналогічно, як (6) означаємо Аналогом теореми 1 для мішаної задачі є наступна теорема.

Теорема 2. Нехай — розв’язок задачі (10)–(11) і виконані умови (i)–(iii). Нехай, також, відома величина

Тоді знайдуться такі додатні константи і (які не залежать від розв’язку ), що в достатньо малому околі мають місце наступні твердження:

1.

(через позначаємо

2.

3.

то має місце оцінка

4.

У третьому розділі досліджується поведінка розв’язків задачі Діріхле для недивергентного квазілінійного еліптичного рівняння другого порядку

Як і в першому розділі область в довільному достатньо малому околі ребра дифеоморфна клину де — конус в Мінімальність вимог на коефіцієнти лінійних рівнянь дозволяє застосовувати розроблену в лінійному випадку техніку при отрима-нні відповідних точних оцінок для ква-зі-лі-ній-них рівнянь. Основний результат третього розділу подано у теоремі 3.

Теорема 3. Нехай — розв’язок задачі (12)–(13) і виконані наступні умови:

I)

II)

причому і

де

III)

де

Нехай означено в (5), а в (6), причому Позначимо через

де — число з умови (II), а — достатньо мале.

Тоді знайдуться такі додатні константи і (які не залежать від розв’язку ), що мають місце наступні твердження:

1.

(тут ми позначили

2.

3.

4.

При доведенні теореми 3 суттєво використовується апріорна оцінка

де — деяке число з проміжку (0,1). Ця оцінка одержана у розділі 3 методом бар’єрної функції. При отриманні оцінки (14) вимагаємо, щоб коефіцієнти рівняння задовольняли умову Каратеодорі та умови (I), (II). З оцінки (14) при накладанні на коефіцієнти рівняння (12) умов (I)–(III), методом кілець Кондратьєва, отримується оцінка градієнта розв’язку

що також використовується при доведенні теореми 3.

Четвертий розділ присвячено дослідженню поведінки розв’язку задачі Діріхле для квазілінійного рівняння дивергентного вигляду:

Область у довільному достатньо малому околі ребра дифеоморфна клину де — конус в Ми досліджуємо поведінку розв’язку задачі Діріхле (15)–(16) в околі початку координат, вважаючи, що початок координат знаходиться на ребрі. Основний результат че-твер-то-го розділу сфор-му-льо-ва-но у наступній теоремі.

Теорема 4. Нехай — узагальнений розв’язок задачі (15)–(16), і виконані наступні умови:

A)

B)

C)

D)

де додатні функції причому в деякому околі початку координат

з і де — найменше додатне власне значення задачі:

— область, яку вирізає конус на одиничній сфері

E)

·

·

·

—

Тоді існують числа такі, що

На підставі оцінки з теореми 4, методом кілець Кондратьєва, одержується оцінка градієнта розв’язку:

П’ятий розділ присвячено доведенню теорем існування в області локально ди-фе-оморфній двогранному куту: де — кут в

Теорема 5. Існує єдиний розв’язок задачі (1)–(2) з простору при виконанні умов (i)–(iii), а також умови в і нерівності

де — означене в (6), а — з умови (iii).

Теорема 6. Існує єдиний розв’язок задачі (10)–(11) з простору при виконанні умов (i)–(iii), а також умов: в (де і не-рів-ності

де — означене в (6), а — з умови (iii).

Теореми 5 і 6 доводяться методом продовження за параметром. Для ква-зі-лі-ній-них рівнянь доведено наступну теорему існування.

Теорема 7. Існує принаймні один розв’язок задачі (12)–(13) з простору як-що виконані умови (I)–(III), а також нерівності

для при і для (де — означене в (6), причому а — з умови (II)).

Теорема 7 доводиться методом Лере-Шаудера. При цьому суттєво ви-ко-ристо-ву-ється апріорна оцінка

що одержана у лінійному випадку.

висновки

1.

2.

3.

4.

5.

Основні результати дисертації опубліковано у працях:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

анотації

Плеша М.І. “Крайові задачі для еліптичних рівнянь другого порядку в областях з ребрами на межі.” — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 — диференціальні рівняння. — Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк 2002.

Дисертацію присвячено дослідженню поведінки розв’язків крайових задач в областях, що містять на межі особливості типу ребер. Отримано апріорні оцінки сильних розв’язків задачі Діріхле для лінійного еліптичного недивергентного рівняння, мішаної задачі для лінійного недивергентного рівняння другого порядку, задачі Діріхле для квазілінійного недивергентного рівняння і слабого розв’язку задачі Діріхле для квазілінійного дивергентного рівняння в області з ребрами на межі. Доведено теореми існування розв’язку у вагових просторах для задачі Діріхле і мішаної задачі для лінійного рівняння, а також, задачі Діріхле для квазілінійного недивергентного рівняння.

Ключові слова: ребро, конічна точка, функціональний простір з вагою, роз-в’яз-ність.

Плеша М.И. “Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка в областях с ребрами на границе.” — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 — дифференциальные уравнения. — Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2002.

Наличие к настоящему времени достаточно полной теории для линейных уравнений с частными производными эллиптического типа позволило значительно продвинуться в изучении нелинейных уравнений. В частности, благодаря работам Ю. Шаудера, Р. Каччопполи, Ж. Лере и др. появилась возможность доказывать теоремы существования решения краевых задач для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка при наличии соответствующих априорных оценок решения и его градиента. Таким образом, для доказательства разрешимости кра-е-вых задач для квазилинейных уравнений второго порядка возникла необходимость создать методы, которые позволяли бы получать необходимые априорные оценки для таких уравнений.

Все упомянутые исследования относятся к краевым задачам в достаточно гладких областях. В таких областях малую окрестность границы можно выпрямить с помощью гладкого преобразования. Тем не менее ряд задач механики и физики приводит к необходимости изучать краевые задачи в областях с негладкой границей. К таким областям относятся, в частности, области, граница которых содержит конеченое количество угловых или конических точек, а также ребра. Одной из первых работ, в которых изучены общие краевые задачи для областей с коническими или угловыми точками, была фундаментальная работа В. А. Кондра-тье-ва. В этой работе изучается разрешимость и регулярность в весовых соболевских пространствах (которые называют пространствами Кондратьева) общих линейных эллиптических задач в негладких областях при достаточно гладких коэффициентах задачи. Решение рассматривается в специальных пространствах функций, которые имеют производные, суммируемые с весом, где вес — некоторая степень расс-то-я-ния до конической или угловой точки. Такие пространства функций лучше все-го описывают особенности решения и его производных вблизи нерегулярной точки границы. Другим примером области с нерегулярной границей является область, которая содержит на границе ребра. В случае таких областей каждая точка не-ко-то-ро-го подмногообразия, принадлежащего границе области, представляет собой нерегулярную точку (то есть, в окрестности которой невозможно диффеоморфным преобразованием выпрямить границу). Таким образом, в этом случае мы имеем континуум особых точек на границе.

Настоящая робота посвящена изучению поведения решений краевых задач в областях содержащих на границе особенности типа ребер. При этом рас-сма-три-ва-ют-ся: задача Дирихле для линейного недивергентного уравнения, смешанная задача для линейного недивергентного уравнения, задача Дирихле для квазилинейного уравнения общего вида, задача Дирихле для дивергентного квазилинейного уравнения. Для линейного эллиптического недивергентного уравнения второго порядка получены априорные оценки сильных решений задачи Дирихле и смешанной задачи. Требования на коэффициенты уравнения при этом минимально возможные: старшие коэффициенты в окрестности ребра должны быть не-пре-рыв-ны-ми по Дини, а младшие в окрестности ребра могут расти, при этом указывается точный показатель роста. Получение точных оценок решений базируется на объединении двух точных неравенств Харди и Виртингера, а также на решении задачи Коши для дифференциального неравенства с отклоняющимся аргументом. С помощью точной оценки решения, методом колец Кондратьева, получены точные оценки градиентов решений. При получении точной оценки решения задачи Дирихле для квазилинейного недивергентного уравнения используется оценка полученная методом барьерной функции. Для получения оценки слабого решения задачи Дирихле для квазилинейного дивергентного уравнения, также, используется метод барьерной функции.

Сформулированы и доказаны теоремы однозначная разрешимости в весовых пространствах задачи Дирихле и смешанной задачи для линейного уравнения. Доказательство проводится методом продолжения по параметру с использованием полученных априорных оценок. Доказана разрешимость в весовом пространстве за-дачи Дирихле для квазилинейного недивергентного уравнения. В основе исс-ле-до-вания разрешимости первой краевой задачи для квазилинейного уравнения положено метод Лере-Шаудера.

Ключевые слова: ребро, коническая точка, функциональное пространство с ве-сом, разрешимость.

Plesha М.І. “The boundary value problems for elliptic second order equations in domains with edges on the boundary.” — Manuscript.

Thesis for candidate of physical-mathematical degree by speciality 01.01.02 —differential equations. — The Institute of Applied Mathematics and Mechanics, Donetsk, 2002.

The dissertation is devoted to investigation of the behavior of solutions of boundary value problems in domains with edges on the boundary. A priori estimates of the strong solutions of the Dirichlet problem and mixed boundary value problem for linear elliptic second-order equations in non-divergente form are obtained. Moreover, a priori estimates of strong solutions of the Dirichlet problem for quasilinear equations in non-divergence form and weak solutions of the Dirichlet problem for quasilinear equations in divergence form are obtained. The existence theorem for Dirichlet problem and mixed boundary value problem for linear equations and for Dirichlet problem for quasilinear equations in non-divergence form are obtained.

Key words: edge, conical point, functional space with the weight, solvability.