ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Скуратівський Сергій Іванович

УДК 517.958:539.372

АВТОХВИЛЬОВІ РОЗВ'ЯЗКИ МОДЕЛІ СЕРЕДОВИЩА

З ПРОСТОРОВОЮ ТА ЧАСОВОЮ НЕЛОКАЛЬНОСТЯМИ

01.04.01-фізика приладів, елементів і систем

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Одеса – 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті геофізики ім. Субботіна НАН України.

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук Владіміров Всеволод Анатолійович, Інститут геофізики ім. С. І. Субботіна НАН України, провідний науковий співробітник

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Новіков Віталій Володимирович, Одеський національний політехнічний університет, завідувач кафедрою вищої математики № 1 кандидат фізико-математичних наук Вахненко Олексій Олексійович, Інститут теоретичної фізики ім. М. М. Боголюбова НАН України, старший науковий співробітник

Провідна установа Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут” Міносвіти і науки України, міжгалузевий науково-дослідний інститут проблем механіки “Ритм”, комплексне відділення

Захист відбудеться 25.09.2002 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 41.052.06 в Одеському національному політехнічному університеті за адресою: 65044 м. Одеса, пр. Шевченка, 1.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Одеського національного політехнічного університету за адресою: 65044 м. Одеса, пр. Шевченка, 1.

Автореферат розісланий 24.08.2002 р.

Вчений секретар

Спеціалізованої вченої ради В.Г. Шевчук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Проблема адекватної побудови динамічного рівняння стану (надалі ДРС) виникає при описі поширення довгих нелінійних хвиль в газо-рідинних сумішах, грунтах, скельних породах та літосфері, яка в світлі сучасних уявлень має блочно-ієрархічну структуру. Відомо, що наявність структури спричинює такі явища, як фрагментація початково гладких нелінійних збурень та підсилення ударних фронтів в гетерогенних сумішах, бісолітонні властивості нелінійних P-хвиль в геофізиці, прояви ефектів пам'яті, тощо. В умовах високоінтенсивного імпульсного навантаження (удар, вибух, сейсмічна хвиля), коли середовище перебуває далеко від рівноважного стану, при формуванні хвилі проявляється нелокальний характер взаємодії збурення з середовищем. Виявляється, що для опису поширення довгих нелінійних хвиль в структурованих середовищах можуть бути залучені фундаментальні принципи – симетрія та феноменологічна термодинаміка незворотних процесів, які дозволяють побудувати адекватні визначальні рівняння. В рамках такого підходу в працях В.А. Даниленка з співавторами були обгрунтовані динамічні рівняння, що враховують ефекти часової та просторової нелокальності. З математичної точки зору врахування нелокальності в довгохвильовому наближенні зводиться до появи членів з високими похідними в ДРС. Тим самим виникає суттєво новий клас задач, які потребують всебічного вивчення. Однак для використання коректно узагальнених моделей в складних задачах гостро постає потреба в достатньо простих та інформативних еталонних задачах, до яких відносяться дослідження автохвильових структур, що виникають в системі з просторовою та часово-просторовою нелокальностями.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась в рамках планових НДР Відділення геодинаміки вибуху Інституту геофізики НАН України: ”Удосконалення моделей геофізичних середовищ і розв'язок хвильових задач” (затверджена рішенням бюро відділення Наук про Землю НАН України, протоколи № 83 від 28.12.89 р. та № 6, § 35 від 5.12.94 р., шифр теми 1.5.4.4, номер держреєстрації 0195U004811), “Дослідження деформування геофізичного середовища і розробка методів видобутку енергоносіїв” (шифр теми 1.5.4.2, номер держреєстрації 0100U000057). Роль автора у виконанні цих робіт полягала в проведенні якісних та чисельних досліджень сімей автохвильових розв'язків нелінійних нелокальних моделей геофізичних середовищ.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є класифікація автохвильових режимів нелокальної моделі багатокомпонентного середовища.

Задачами досліджень є:

·

· З'ясування взаємного впливу просторової та часової нелокальності в межах гідродинамічної моделі.

· Чисельне дослідження еволюції деяких інваріантних розв'язків моделі середовища з просторовою нелокальністю.

Об'єктом досліджень є нелінійні нелокальні моделі структурованого середовища.

Предметом досліджень: є структура та властивості множини автохвильових розв'язків математичної моделі середовища з просторовою та часовою нелокальностями.

Методи досліджень: інваріантність та теоретико-групова факторизація диференціальних рівнянь з частинними, локальний нелінійний аналіз, комп'ютерне моделювання.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що:

1. Вперше чисельно доведено, що модель середовища з просторовою нелокальністю має квазіперіодичні та солітоноподібні розв'язки, доведено існування "дивного" атрактора та відповідність біфуркацій періодичних розв'язків каскаду подвоєння періоду.

2. Дістав подальшого вивчення взаємовплив просторової та часової нелокальностей в рамках гідродинамічної моделі, зокрема показано, що додавання до моделі з просторовою нелокальністю збурюючих членів, що відповідають проявам часової нелокальності, не змінює характеру інваріантних хвильових структур.

3. Вперше здійснено чисельне моделювання еволюції інваріантного солітоноподібного розв'язку та встановлено, що такий розв'язок зберігає свою форму в процесі еволюції.

Практичне значення отриманих результатів. Дисертаційна робота є теоретичною роботою. В роботі велика увага приділялась якісним методам дослідження динамічних систем з тривимірним фазовим простором. Одержані результати сприяють більш глибокому розумінню динаміки хаосу, мультиперіодики, солітонних розв'язків. Оскільки інваріантні розв'язки часто служать атракторами для певної множини початкових даних задачі Коші, то інформація про їх існування необхідна при чисельному моделюванні вихідної системи рівнянь з частинними похідними.

Особистий внесок здобувача. Дисертантом отримані наступні результати:

1. Встановлено умови виникнення періодичних, мультиперіодичних, квазіперіодичних та хаотичних режимів моделі з просторовою нелокальністю та побудовано їх біфуркаційні діаграми.

2. Показано, що сімейство періодичних розв'язків динамічної системи описується Фейгенбаумівським каскадом подвоєння періоду.

3. Перевірено критерії хаотичності розв'язків динамічної системи.

4. Чисельно доведено, що фазовий простір динамічної системи містить “дивний” атрактор.

5. Виявлено солітоноподібні розв'язки та побудовано їх біфуркаційні діаграми.

6. Проаналізовано вплив врахування часової нелокальності на виявлені режими.

7. Складені та відтестовані чисельні схеми для інтегрування системи диференціальних рівняь з частинними похідними, яка є моделлю середовища з просторовою нелокальністю.

8. Досліджено еволюцію солітоноподібного розв'язку в задачі Коші для моделі середовища з просторовою нелокальністю.

Визначення загального плану досліджень та постановка задач належать науковому керівнику – Владімірову В.А. Комп'ютерна програма чисельного інтегрування системи звичайних диференціальних рівнянь надана Сидорцем В.О. В статтях з співавторами дисертантом виконані чисельні та якісні дослідження, що стосуються моделі з просторовою нелокальністю.

Апробація результатів дисертації. Більшість результатів дисертаційної роботи доповідалась та обговорювалась на ХХХ, XXXI, ХХХІІІ Симпозіумах з математичної фізики (Торунь, Польща, 1998, 1999, 2001), ІІІ Міжнародній конференції “Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics” (Київ, 1999), міжнародній школі-семінарі “Dynamics and Statistics of Complex Systems” (Дрезден, Німеччина,2000), VI Міжнародній конференції “Математика в технічних та природничих науках” (Краків, Польща, 2001), десятому міжнародному семінарі “Нелинейные явления в сложных системах: хаос, фракталы, фазовые переходы, самоорганизация” (Мінськ, Білорусь, 2001), на наукових семінарах Інституту геофізики ім. Субботіна НАН України (Київ, 1997-2001), на наукових семінарах науково-навчального комплексу “Інституту прикладного системного аналізу” НАН України (Київ, 1999).

Публікації. Результати дисертації опубліковані в 9 статтях, список яких подано в кінці автореферату.

Структура і обсяг роботи: Дисертація, повним обсягом 169 сторінoк, складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, чотирьох додатків, списку використаних джерел з 143 найменувань, включаючи 109 рисунків та 2 таблиці.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі до дисертації розкривається актуальність та значущість теми роботи, подана загальна характеристика роботи.

У першому розділі представлено огляд літератури за темою дисертації, висвітлено етапи розвитку проблеми моделювання структурованих середовищ та її сучасний стан. Зокрема відзначено, що рух суцільного середовища, в якому відсутнє внутрішнє тертя та теплопровідність, моделюється системою рівнянь з частинними похідними, що виражають закони збереження маси та імпульсу. Система замикається динамічним рівнянням стану, яке містить інформацію про релаксаційні властивості середовища. Динамічне рівняння стану запропоновано в роботах Даниленка В.А., Владімірова В.А., Даневич Т.Б., Королевича В.Ю. та інших. Після процедури обезрозмірювання замкнута система диференціальних рівнянь в одновимірному випадку має наступний вигляд:

(1)

де – масова швидкість, – густина, – тиск, – масова сила, безрозмірні параметри пропорційні: –квадрату рівноважної швидкості звуку; –часу релаксації; –квадрату “замороженої” швидкості звуку; – характеризують ефективні розміри нелокальних (часових та просторових) ефектів. Представлена модель гідродинамічного типу враховує вплив просторової та часової нелокальностей. Як показали асимптотичні дослідження, система (1) є ефективною при дослідженні дисипативних структур: хаотичних режимів, усамітнених хвиль (або солітонів) тощо. Виявлені Владіміровим В.А. симетрійні властивості системи (1), дозволяють описати важливі класи інваріантних розв'язків, зокрема розв'язки типу “біжучої хвилі”:

(2)

де –стала швидкість хвильового фронту, визначає нахил неоднорідності стаціонарного розв'язку типу (2). Підстановка анзацу (2) зводить систему (1) до системи звичайних диференціальних рівнянь з трьома незалежними змінними. Встановлення умов існування в моделі (1) складних автохвильових розв'язків, яким у фазовому просторі динамічної системи відповідають граничні цикли, тори, хаотичні атрактори, петлі сепаратрис тощо, було здійснено за допомогою якісного аналізу та чисельного моделювання динамічних систем. В цьому розділі представлено опис техніки канонічних форм Пуанкаре (надалі КФП), необхідні відомості з теорії Флоке та Фейгенбаума, крім цього представлено концептуальний опис методу стрільби та алгоритму побудови спектру характеристичних показників Ляпунова (ЛХП). Тим самим в першому розділі окреслено основні напрями досліджень та способи отримання результатів, які представлені в наступних розділах дисертації.

У другому розділі досліджується структура автохвильових розв'язків типу (2) моделі середовища лише з просторовою нелокальністю. Такій моделі відповідає система диференціальних рівнянь з частинними похідними (1) з . Тоді відповідна фактор-система, що описує інваріантні розв'язки типу (2), зводиться до динамічної системи

(3)

та квадратури . Єдина особлива точка системи (3), яка лежить у фізичній області параметрів має координати

(4)

за додаткової умови . Подальше вивчення системи (3) мали на меті аналіз структури розв'язків системи в околі особливої точки (4). Аналітичні дослідження вдалося провести у випадку виродження типу матриці лінеаризації системи , що має вигляд

(5)

де

Згідно з умовою теореми Андронова-Хопфа, співвідношення

(6)

гарантують виникнення в околі особливої точки (4) періодичних коливань. Якщо зафіксувати значення параметрів наступним чином , то в площині параметрів біфуркації крива народження граничного циклу (крива нейтральної стійкості (надалі КНС)) являє собою параболу (рис.1). Аналітичні дослідження системи (3) продовжено в околі точки подвійного виродження , в якій КНС перетинає вісь абсцис (випадок одного нульового та пари суто уявних власних значень матриці ). В цій точці виконуються співвідношення , .

Зауважимо, що, строго кажучи, умова є неможливою, оскільки в граничному випадку параметр визначає рівноважну швидкість звуку. Однак, використовуючи техніку канонічних форм Пуанкаре, можна знайти умови виникнення структур в області , а це, в свою чергу, відкриває шлях до чисельних досліджень їх еволюції в тих областях

Рис.1. Біфуркаційна діаграма розв'язків системи (3) в площині при : 1 – стійкий фокус, 2– 1Т цикл, 3 – тор, 4– мультиперіодика, 5– хаотичний атрактор, 6– втрата стійкості, NSC– крива нейтральної стійкості.

параметричного простору, які недоступні для досліджень за методами локального нелінійного аналізу. Побудова КФП грунтується на використанні замін змінних (точних та асимптотичних) і осередненні. Як показано в п. 2.3, динамічній системі (3) відповідає канонічна форма Пуанкаре

(7)

де

Для того, аби визначити типи режимів, які можуть спостерігатись після зняття виродження матриці , слід ввести двопараметричну сім'ю збурень у вигляді

(8)

Збуреній системі відповідає така канонічна форма Пуанкаре

(9)

(значення коефіцієнтів визначаються громіздкими виразами і тому не наводяться). Згідно класифікації, приведеної Владіміровим В.А. для вироджених КФП, в системі (3) після зняття виродження можна очікувати появи граничного циклу різної стійкості. Для того, щоб одержати аналітичні результати щодо наявності (або відсутності) стійких періодичних розв'язків в системі (9) необхідно включити до розгляду мономи вищих порядків. Оскільки аналітичні дослідження стають занадто громіздкими, то для одержання інформації про режими, що виникають в системі після зняття виродження, ми використовуємо альтернативні чисельні методи. Як показує пряме чисельне інтегрування системи (3) при поблизу КНС народжується граничний цикл , амплітуда якого зростає при зменшенні параметру . Еволюція граничного циклу при зміні відстежувалась шляхом побудови біфуркаційної діаграми Пуанкаре (рис.2).

Рис.2. Діаграма Пуанкаре при та зменшенні . Рис. 3. Біфуркаційна діаграма тору.

На діаграмі рис.2 представлено типовий сценарій розвитку коливань в системі (3) для . А саме, граничний цикл розвивається в режимі каскаду біфуркацій подвоєння періоду циклу, що приводить до утворення атрактора складної структури (область А рис.2). При подальшому зменшенні на місці області А, де спостерігаються складні режими, виникає періодична траєкторія, на фоні якої невдовзі виникає інший складний атрактор (область В). Більш детальний аналіз каскаду біфуркацій в областях А і В дозволяє зробити висновки про наявність в системі хаотичних атракторів. Використовуючи відповідність точкових відображень та фазового потоку системи диференціальних рівнянь можна відстежити деякі біфуркаційні явища в системі, такі як народження граничного циклу подвійного періоду, або народження тору. Для відшукання точок біфуркацій та їх типів використано метод стрільби. Встановлено, що при -координати точок біфуркацій подвоєння періоду циклу утворюють послідовність , структура якої описується універсальними Фейгенбаумівськими залежностями. Вже перші елементи послідовності масштабних коефіцієнтів є близькими до значення (константи Фейгенбаума). Задовільна узгодженість перших точок біфуркацій подвоєння періоду циклу системи (3) з теоретичними з одного боку та існування хаотичного (спектр ляпуновських показників атрактора при містить позитивний показник) атрактора з іншого боку свідчить про те, що в системі реалізується нескінчений каскад подвоєння, результатом якого і є утворення хаотичного атрактора в області А. В той час, як утворення та структура атрактору в області А добре узгоджується з теорією Фейгенбаума, хаос в області В має своєрідну природу. Перевірка таких критеріїв хаотичності атрактору, як діаграми Пуанкаре (рис. 4, 5), фазовий портрет, спектр Фур'є, одновимірні точкові відображення, вказує на внутрішню біфуркацію хаотичного атрактору (за термінологією Афраймовича).

Рис.4. Збільшення області В рис.2. Рис.5. Збільшення області А рис.2.

Виявлена біфуркація, вивчення якої здійснювалось в рамках двопараметричної біфуркаційної діаграми, супроводжується утворенням складки в параметричному просторі. При зменшенні параметру мультиплікатори змінюються на комплексно спряжені, що є ознакою наближення до точки утворення тору. Вперше для моделей з просторовою нелокальністю було виявлено та побудовано його біфуркаційну діаграму (рис.3).

Структура хаосу в області В, факт існування тору та відокремлених траєкторій наводять на думку про можливість існування гомоклінічних петель – випадок повернення сепаратриси сідла або сідло-фокуса в особливу точку. Згідно теорем Шильнікова руйнування петлі може привести до утворення хаотичного атрактору. Спроба чисельного відшукання петлі сідло-фокуса (рис.6.7) була здійснена за допомогою прийому, описаного в працях Кузнецова, Демехіна та Шкадова. Введемо функцію

(10)

де – координати біжучої точки на траєкторії розв'язку. Розглянемо мінімум функції по

(11)

обмежуючись областю фазового простору, яка лежить всередині кулі достатньо великого радіусу. При перетині кривої нейтральної стійкості особлива точка (4) динамічної системи (3) перетворюється на сідло-фокус з одновимірним стійким многовидом та двовимірним нестійким. Шляхом переходу до базису із власних векторів матриці лінеаризації можна досягти такого положення інваріантних поверхонь особливої точки, що вони будуть дотичними до осі Z та площини XOY. Якщо вибрати початкову умову на вісі OZ, що є дотичною до стаціонарного

Рис. 6. Фазовий портрет солітоноподібного розв'язку. Рис. 7. Розгортка Z-координати солітоноподібного розв'язку при .

інваріантного одновимірного многовиду, то перевірка умови дозволяє відстежити гомоклінічну траєкторію, яка є образом “некласичного” солітона. (рис. 6, 7).

Більш інформативним з точки зору структури околу гомоклінічної кривої є побудова двопараметричної діаграми в площині (рис.8). На площині параметрів відтінком сірого кольору позначались точки, для яких значення функції (11) потрапляли в задані інтервали. Чорний колір відповідає точкам, для яких , тобто траєкторіям максимально наближеним до петлі гомоклініки. Білий колір відповідає траєкторії, що вийшла за межі області визначення функції, або траєкторії, що закінчилась в іншій особливій точці чи на лінії непродовжуваності. Більш глибоке вивчення введеної множини значень функції (11) показало, що множина солітоноподібних розв'язків має фрактальну структуру, існують області, в яких не спостерігається гомоклінічної структури, при фіксованих значеннях параметра солітони розміщуються в певних інтервалах по параметру . Структура множини залишається якісно подібною, якщо початкову умову на осі OZ для одержання значень функції (11) зменшити в 2, 5, 10 разів.

В третьому розділі з'ясовується взаємовплив просторової і часової нелокальності. В модель з часовою нелокальністю у вигляді малого збурення додавався вираз, що описує вплив просторової нелокальності. Вивчалась зміна структури розв'язків для випадків, детально досліджених в працях Сидорця В. М. та Владімірова В. А. Як показують наші дослідження, збурення правої частини системи (3) не руйнує множини періодичних, мультиперіодичних та хаотичних розв'язків. Отримана система зберігає властивості, притаманні моделі з просторовою нелокальністю, а саме, співіснування двох режимів: граничного циклу та хаотичного атрактора з мультиперіодикою, яка його супроводжує. Внесення збурення у вигляді виразу, що відповідає часовій нелокальності в систему з просторовою нелокальністю не руйнує структури множини автохвильових розв'язків, в чому можна переконатись застосувавши кількісні методи (метод стрільби, аналіз спектру ЛХП). Як видно з діаграм Пуанкаре,

Рис.8. Біфуркаційна діаграма значень функції (11) при при початковій умові . Рис.9. Біфуркаційна діаграма множини розв'язків типу рис. 6.

побудованих в цьому розділі, збільшення малого параметра h, який стоїть перед сингулярним збурюючим членом, згортає область існування хаотичного атрактора. Причому згортання відбувається за сценаріями, які подібні до сценаріїв при вищих . Оскільки солітоноподібні розв'язки досі були знайдені лише для моделі з просторовою нелокальністю, то дослідженню впливу сингулярногозбурення на ці розв'язки було приділено особливу увагу. Виявляється, що структура розв'язків, які задаються умовою (11) (рис. 6, 7), якісно зберігається, однак біфуркаційна діаграма зміщується в напрямі менших порівняно із незбуреним випадком.

В четвертому розділі представлено застосування методу КФП з наступним використанням чисельного прийому знаходження гомоклінічної петлі на прикладі, запропонованої Владіміровим В. А., гідродинамічної моделі структурованого середовища з двома релаксаційними процесами в елементах структури:

(12)

де величина –пропорційна густині середовища, – внутрішні параметри середовища. В роботі для інваріантних розв'язків типу

(13)

встановлено необхідні умови існування гомоклінічних петель сідло-фокуса. При значеннях параметрів , , за допомогою чисельних прийомів, описаних в другому розділі, у вихідній системі (12) було знайдено розв'язок, близький до гомоклінічної петлі сідло-фокуса типу рис.6 та побудувано біфуркаційну діаграму в площині параметрів (рис.9). На відміну від діаграми, поданої на рис.8, точки, в яких найбільш вірогідно очікувати утворення петлі сідло-фокуса, утворюють множину без канторової структури. Дослідження модельної системи є прикладом ефективного використання аналітичних та чисельних методів до пошуків гомоклінічної траєкторії. Питання про можливість автомодельної еволюції інваріантних розв'язків та їх стійкості відносно малих збурень з'ясовувалось за допомогою чисельного моделювання систем диференціальних рівнянь з частинними похідними (1) та (12). Модельна система (12) досліджувалась за допомогою чисельних схем Лакса-Вендрофа та неявною схемою кінцево-різницевого методу. Розв'язання тестових задач (еволюція інваріантної хвилі п.4.4) для вказаних чисельних схем підтвердили їх коректність в роботі. Проводилось дослідження стійкісних властивостей солітоноподібного розв'язку, фазовий портрет якого представлено на рис.7. Як показано в п.4.5, солітоноподібний розв'язок є нестійким. Вказана властивість не є характерною особливістю даного розв'язку, оскільки, незалежно від того, чи початкове збурення автомодельне, чи ні, при обраних значеннях параметрів має місце колапс хвилі розрідження. Моделювання солітоноподібного розв'язку, поданого на рис. 7, системи (1) з просторовою нелокальністю здійснювалось в рамках неявної схеми кінцево-різницевого методу та за допомогою методу прямих. Чисельні схеми методів досліджувались на стійкість спектральним методом для лінеаризованої системи (1) в околі стаціонарного розв'язку, який відповідає особливій точці (4). Як показує чисельний експеримент, форма солітоноподібного розв'язку якісно не змінюється і не виявляє ознак режиму із загостренням (рис.10).

Рис.10. Еволюція солітоноподібного розв'язку моделі з просторовою нелокальністю в рамках неявної схеми кінцево-різницевого методу при .

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі проведено аналіз структури автохвильових розв'язків моделі середовища з просторовою та часово-просторовою нелокальностями. Дослідження динамічної системи, яка отримується за методом теоретико-групової редукції вихідної системи рівнянь в частинних похідних, виявили періодичні, мультиперіодичні, квазіперіодичні, хаотичні та солітоноподібні режимі. Таким чином з'ясовано, що сценарій утворення хаотичного атрактора є результатом зчисленного числа біфуркацій подвоєння і реалізується при зменшенні біфуркаційного параметру – швидкості хвильового фронта. Тобто спостереження такого каскаду належить очікувати в міру послаблення нелінійної хвилі. Показано, що хаотичний атрактор описується спектром ляпуновських характеристичних показників з одним додатним показником і, як наслідок, є “дивним”. Виявлено області в двопараметричній площині з відокремленими режимами: а) випадок гістерезису в області хаосу, який показує, що навантаження та розвантаження структурованого середовища може здійснюватись за різними сценаріями; б) співіснування інших структур з граничним циклом, що виявляє вибірковий характер протікання фізичних процесів в структурованих середовищах. Доведено шляхом аналізу фазових діаграм та одновимірних точкових відображень, що модель з просторовою нелокальністю допускає квазіперіодичні режими, досліджено їх біфуркаційні властивості. Тобто врахування просторової нелокальності в рівнянні стану дозволяє описати появу режиму “биття” при зменшенні швидкості нелінійної хвилі внаслідок дисипативних процесів. Чисельно показано, що фазовий простір динамічної системи містить траєкторії, подібні до петель гомоклініки сідло-фокуса. Досліджено структуру та біфуркаційні властивості множини солітоноподібних розв'язків. Тим самим показано, що просторова нелокальність, що є одним із проявів ієрархічної будови середовища (зокрема геофізичного), відіграє ключову роль у формуванні локалізованих структур солітонного типу. Здійснено аналіз характеру зміни структури автохвильових розв'язків моделей з часовою (просторовою) нелокальністю при малому збуренні у вигляді додавання просторової (часової) нелокальності. Показано, що ці збурення не руйнують автохвильових структур і дозволяють більш повно проявити притаманні їм риси. Тим самим продемонстровано формотворчі властивості врахування нелокальності в динамічному рівнянні стану. На прикладі модельної системи продемонстровано ефективність використання локального нелінійного аналізу динамічних систем до пошуків множин значень параметрів, при яких можливе виникнення петлі гомоклініки, що є образом бісолітона. Шляхом використання неявних схем кінцево-різницевого методу та чисельних схем методу прямих в класі моделей з просторовою нелокальністю показано, що структура солітоноподібного розв'язку не руйнується на досліджуваному просторово-часовому проміжку. Таким чином, проведений локальний нелінійний та чисельний аналіз структур в околі стаціонарного стану динамічної системи виявив більшість відомих на сьогодні автохвильових режимів та їх біфуркацій. Вперше проведено детальний аналіз структури підмножини розв'язків систем в класі моделей з просторово-часовою нелокальністю. Вперше з'ясовано еволюційні властивості автохвильових розв'язків моделей з просторовою нелокальністю.

Список опублікованих автором праць за темою дисертації

1. Владіміров В.А., Скуратівський С.І. Автоколивні та солітоноподібні розв'язки в нелокальній моделі структурованого середовища // ДАН України.- 2000. - № 11.- С.7-12.

2. Владіміров В.А., Скуратівский С.І. Дослідження інваріантних розв'язків моделі структурованого середовища, що враховує нелокальні ефекти // Вісник ЖІТІ. - 1999.- №11. -С.24-29.

3. Скуратівський С.І. Метод стрільби для визначення характеристик автохвильових розв'язків нелінійної моделі структурованого середовищa // Праці Інституту математики НАН України. - 2001.- Т.36. - С.269-275.

4. Vladimirov V.A., Sidorets V.N., Skurativsky S.I. Complicated travelling wave solutions of a modeling system describing media with memory and spatial nonlocality // Reports on Math. Phys. - 1999. - Vol. 44, № 1/2. - P.275-282.

5. Vladimirov V.A., Skurativsky S.I. Soliton-like solutions and other wave patterns in the nonlocal model of structured media // Reports on Math. Phys. - 2000. - Vol. 46, №1/2. - P.287-294.

6. Vladimirov V.A., Skurativsky S.I. On invariant wave patterns in non-local model of structured media // Proc. International Conf. "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics" III. – Kiyv (Ukraine). - 1999. - P.239-244.

7. Скуратівський С.І. Еволюція тестового автохвильового розв'язку моделі середовища з нелокальностями. // Вісник ЖІТІ. - 2002. - №19. - С.147-152.

8. Skurativskyy S.I. On the autowave solutions of some model of structured media accounting for effects of spatio-temporal nonlocality. // Nonlinear Phenomena in complex Systems.- 2001.- №4:4. – P. 390-396.

9. Vladimirov V.A. and Skurativskyy S.I. On the localized invariant traveling wave solutions // in Proceedings of Fourth International Conference ``Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics'' (9--15 July, 2001, Kyiv), Editors A.G. Nikitin, V.M. Boyko and R.O. Popovych, Kyiv, Institute of Mathematics, 2002, V.43, Part 1, 234--239.

АНОТАЦІЯ

Скуратівський С.І. Автохвильові розв'язки моделі середовища з просторовою та часовою нелокальністю.– Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.01-“фізика приладів, елементів і систем”. – Національний політехнічний університет, Одеса, 2002 р.

У дисертації проведено детальний аналіз структури підмножини автохвильових розв'язків моделі середовища з просторовою нелокальністю. Засобами нелінійного локального якісного аналізу та чисельно доведено існування каскаду біфуркацій подвоєння періоду циклу, “дивного” атрактору, торів. Виявлено явище внутрішньої біфуркації хаотичного атрактора, області з гістерезисною поведінкою фазового потоку, області з відокремленими траєкторіями. Досліджено структуру множини розв'язків, близьких до гомоклінічних петель сідло-фокуса. Побудовано двопараметричні біфуркаційні діаграми виявлених режимів. Вивчено динаміку змін в структурі множини автохвильових розв'язків у моделях з часово-просторовою нелокальністю. Встановлено необхідні умови існування петлі сідло-фокуса для спрощеної моделі гідродинамічного типу та чисельно знайдено петлеподібний розв'язок при фіксованих значеннях керуючих параметрів. Проведено аналіз стійкісних властивостей солітоноподібного розв'язку моделей за допомогою чисельного моделювання еволюції автохвильового режиму в рамках кінцево-різницевого методу та методу прямих.

Ключові слова: структуроване середовище, інваріантний розв'язок, динамічна система, атрактор, солітон, біфуркації.

АННОТАЦИЯ

Скуратовский С.И. Автоволновые решения модели среды с пространственной и временной нелокальностями.– Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.01- “физика приборов, елементов и систем”. – Национальний политехнический университет, Одесса, 2002.

В диссертационной работе проведен анализ структуры автоволновых решений модели среды с пространственной и пространственно-временной нелокальностями. Примерами таких сред служат суспензии, аэрозоли, песок, жидкости со взвешенными частицами и др. Результаты работы касаются представленых выше многокомпонентных сред, построеных в приближении односкоростного континуума. Исследования динамической системы, полученной методами теоретико-групповой редукции исходной системы нелинейных уравнений в частных производных, показали существование периодических, мультипериодических, квазипериодических, хаотических и солитоноподобных режимов. В рамках качественных исследований динамической системы построены фазовые портреты и бифуркационные диаграммы характерных траекторий: предельных циклов разной кратности, торов, хаотических атракторов, траекторий, качественно подобных гомоклиническим петлям седло-фокуса. Установлено, что сценарий рождения хаотического атрактора есть результат бесконечного числа бифуркаций удвоения, который имеет место при уменьшении бифуркационного параметра – скорости волнового фронта. Поэтому наблюдение такого каскада следует ожидать по мере затухания нелинейной волны. Показано, что хаотический атрактор описывается спектром ляпуновских характеристических показателей с одним положительным показателем и, как следствие, есть “странным”. Изучение двупараметрической бифуркационной диаграммы показало существование внутренней бифуркации хаотического атрактора, которая сопровождается возникновением складки в пространстве бифуркационных параметров. Обнаружены области в двупараметрической плоскости со скрытыми траекториями 1) случай гистерезиса в области хаоса, указывающий на то, что нагрузка и розгрузка структурированой среды может происходить по разным сценариям, 2) сосуществование этих структур с предельным циклом, что демонстрирует избирательный характер протекания физических процессов в структурированых средах. Доказано путём анализа фазовых диаграм и одномерных точечных отображений, что модель с прстранственной нелокальностью допускает квазипериодические режими, исследовано их бифуркационные свойства. Тем самым подтверждается тот факт, что учет пространственной нелокальности в уравнении состояния предоставляет возможность описания режима "биения" при уменьшении скорости нелинейной волны вследствие диссипативных процессов. Численно показано, что фазовое пространство динамической системы содержит траектории, подобные петлям гомоклиник седло-фокуса. Исследована структура и бифуркационные свойства множества солитоноподобных решений. Проведен анализ характера изменения структуры автоволновых решений моделей со временной (пространственной) нелокальностью при малом возмущении в виде пространственной (временной) нелокальности. Показано, что эти возмущения не разрушают автоволновых структур. На примере модельной системы показано эффективность использования локального нелинейного анализа динамических систем для поиска множества значений параметров, при которых возможно возникновение петли гомоклиники. Путём использования неявных схем конечно-разностного метода и численных схем метода прямых в классе моделей с пространственной нелокальностью показано, что структура инвариантного солитоноподобного решения сохраняется в процессе эволюции.

Ключевые слова: структурированная среда, инвариантное решение, динамическая система, солитон, бифуркации.

ANNOTATION

Skurativskyy S.I. Autowave solutions of a model of medium with temporary and spatial non-locality. – Manuscript.

Thesis to obtaining the degree of Physical and Mathimetical Sience on speciality 01.04.01- physics of devices, elements and systems. – National politechnique University of Ukraine, Odesa, 2002.

Analysis of subset of autowave solutions of a model of medium with spatial nonlocality is carried out in the dissertation in details. Existence of the period doubling bifurcation cascade, “strange” attractor and tori are proved by means of local nonlinear qualitative analisys and numerically. There are discovered phenomenon of internal bifurcation of the chaotic attractor, regions with chistaretic behavior of phase flow, regions with hidden trajectories. There is investigated a structure of a set of solutions, which resemble the homoclinic saddle-focus loops. Necessary analitical conditions of existence saddle-focus loop in the simplified system of hydrodynamical tape are stated. Also there are proved these solutions unstability with respect to perturbation of initial data. Two parametric bifurcation diagram of recognized regimes are built. Dynamics of changes of autowave solutions structure of a model with temporary and spatial nonlocalities is studied. Necessary conditions of existence saddle-focus loop in the simplified system of hydrodynamical tape are stated and loop-like trajectory is found numericaly under fixed control parameters. Analysis of stability properties of soliton-like solution is performed with the help of numerical modeling of autowave regime evolution within finite-difference method and straight lines method.

Key words: structured medium, invariant solution, dynamical system, attractor, soliton, bifurcations