НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

БАКУН Володимир Володимирович

УДК 519.21

Локальні часи та узагальнені адитивні функціонали

від броунівського руху

01.01.05 теорія ймовірностей і математична статистика

А в т о р е ф е р а т

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ 2003

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті математики НАН України

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук

ДОРОГОВЦЕВ Андрій Анатолійович,

Інститут математики НАН України,

провідний науковий співробітник

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук

ІВАНОВ Олександр Володимирович,

Міжнародний християнський університет -– Київ,

завідувач кафедри;

кандидат фізико-математичних наук

ДЕНИСЬЄВСЬКИЙ Микола Олексійович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка,

доцент.

Провідна установа: Інститут кібернетики імені В.М.Глушкова НАН України.

Захист відбудеться 12.05.2003 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 при Інституті математики НАН України за адресою: 01 601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України за адресою: 01 601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

Автореферат розіслано 09.04.2003 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Пелюх Г.П.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Зростаючий випадковий процес, який називають локальним часом броунівського руху, був вперше введений P. Levy, після цього локальний час вивчався в працях таких авторів як H.F.Trotter, K.Ito, H.P.McKean, M.Yor.

Беручи до уваги важливість такої характеристики як локальний час для дослідження поведінки випадкових процесів, значні зусилля дослідників були покладені до поширення цього поняття на більш широкі класи випадкових функцій. Так, наприклад, в роботах S.M.Berman вивчався локальний час для гауссівських процесів. Не менш інтенсивно розв’язувалась задача з означення і дослідження локального часу для броунівського руху в багатовимірних просторах. Ще більше уваги привернула ця задача після того, як в роботах K.Szymanzik і S.Varadhan було вказано на важливість існування функціоналів типу локального часу, а саме, локальних часів самоперетину броунівського руху, для побудови евклідової квантової теорії поля. Але з’ясувалось, що локальний час для багатовимірного броунівського руху не існує як звичайна випадкова величина, і, отже, виникла необхідність означення поняття узагальненого локального часу і, відповідно, побудови шкали просторів узагальнених вінерівських функціоналів, узагальненого вінерівського процесу. Класичними в теорії узагальнених вінерівських функціоналів і узагальнених вінерівських процесів стали роботи T.Hida. В роботах таких дослідників як H.Kuo, J.Rosen, M.Yor, H.Watanabe, O.Nualart, P.Imkeller та інших виникла ідея побудови просторів узагальнених вінерівських функціоналів за простором послідовностей симетричних квадратично-інтегровних ядер, що з’являються у розкладах Іто-Вінера, за допомогою введення певних норм із степеневим або показниковим згладжуванням.

Початковим поштовхом для даної дисертаційної роботи стали результати досліджень H.Watanabe, S.W.He, W.Q.Yang, R.Q.Yao, J.G.Wang, P.Imkeller, V.Perez-Abreu, J.Vives, та в найбільшій мірі роботи А.А.Дороговцева, який одним з перших застосував метод розвинення в ряди за ортогональними симетричними полілінійними формами Гільберта-Шмідта для дослідження узагальнених вінерівських функціоналів, побудови теорії випадкових відображень і їх дії на випадкові елементи. Викликає великий інтерес для вінерівського процесу задача поширення таких понять як адитивність, однорідність, позитивність, тощо на узагальнені функціонали. Ці питання досліджувались у низці робіт таких авторів як T. Hida, H.H.Kuo, N.Asai, J.Potthoff, L.Streit, H.Watanabe, P.Imkeller, J.Vives та інших, але не є

остаточно розв'язаними до цього часу.

В дисертаційній роботі досліджуються узагальнені функціонали типу локального часу від броунівського руху в , вводиться і вивчається поняття узагальненого адитивного однорідного функціоналу для вінерівського процесу.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана в Інституті математики НАН у відділі теорії випадкових процесів згідно із загальним планом дослідження в рамках науково-дослідної роботи ``Методи дослідження локальної та асимптотичної поведінки систем, які не описуються класичними стохастичними рівняннями".

Номер державної реєстрації 0101 U 00109.

Мета і задачі дослідження. Означення поняття узагальнених функціоналів типу локального часу броунівського руху в та , дослідження порядку регуляризації таких функціоналів, означення узагальненого адитивного функціоналу від вінерівського процесу. Вивчення можливості відновлення узагальненого адитивного однорідного функціоналу за його характеристикою. Дослідження збіжності узагальнених однорідних адитивних функціоналів.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну і виносяться на захист, такі:

1.

за узагальненими функціями повільного зростання для броунівського руху в та .

2.

3.

4.

5.

6.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Результати роботи можна застосувати у створенні загальної теорії узагальненого броунівського руху.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану дослідження, постановка задач належать науковому керівникові А.А.Дороговцеву. Доведення всіх результатів дисертації проведено особисто автором.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались і обговорювались на засіданнях семінару відділу теорії випадкових процесів (керівник: член-кор. НАН України Портенко М.І.), семінару ``Числення Маллявена та його застосування" (керівник: доктор фіз.-мат.наук Дороговцев А.А.) Інституту математики НАН України, семінару відділу теорії ймовірностей (керівник: доктор фіз.-мат.наук Ліньков Ю.М.) Інституту прикладної математики і механіки НАНУ (м. Донецьк), а також на конференціях:

·

·

·

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в роботах [1 3] і тезах міжнародних конференцій [4 6].

Структура та об'єм дисертації. Дисертація складається із вступу, трьох розділів, висновків і списку використаних джерел і містить 123 сторінки друкованого тексту.

Список використаних джерел містить 47 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі подано огляд робіт, пов'язаних із темою дисертації, обгрунтовано актуальність теми, сформульовано мету дослідження, проведено стислу анотацію результатів.

У першому розділі досліджується дія узагальненої функції повільного

зростання на значення вінерівського процесу.

Нехай вінерівський процес із значеннями в , який задано на повному ймовірнісному просторі , де -алгебра є поповненням по мірі , .

Якщо випадкова величина , то її можна разкласти в ряд Іто-Вінера за кратними вінерівськими интегралами :

де симетричні квадратично інтегровні ядра вінерівських інтегралів, при цьому, тут звичайна норма в. Надалі розвинення (1) коротко позначається.

Для вивчення узагальнених функціоналів від будується шкала просторів, що добре пристосована для цього класу задач.

Нехай A додатний самоспряжений лінійний оператор на. Вкладаючи простори в, доозначивши нулем всі функції з на, означимо множину просторів

та

,

при позначеннях спряжений простір до відносно скалярного добутку в.

Покладемо

Означення 1.1.1. Функціонал називаєтся узагальненим вінерівским функціоналом відносно системи норм, породжених

оператором A (або, скорочено, - узагальненим вінерівським функціоналом).

Досліджується питання про компактність вкладень просторів при.

Теорема 1.1.1 Нехай A лінійний додатний самоспряжений оператор в H такий, що A>c>0. Тоді вкладення просторів є компактним тоді і тільки тоді, коли оператор компактний і його норма.

Аналогічно означаються узагальнені вінерівські функціонали у випадку

багатовимірного вінерівського процесу

.

Нехай простір узагальнених функцій повільного зростання, визначених на просторі Шварца , тобто, на просторі швидкоспадних функцій. Використовуючи відоме розвинення функціоналу, побудованого по гауссівській щільності, в ряд Іто-Вінера

,

формально означається значення узагальненої функції повільного зростання на вінерівському процесі w як

де многочлен Эрміта з першим коефіцієнтом одиниця:

.

Доводиться теорема.

Теорема 1.2.1. Нехай A лінійний додатний самоспряжений оператор на H і Тоді для всіх

В деяких випадках перехід до границі в (2) не є формальним. Доводиться тверждення.

Теорема 1.2.2. Нехай на оператор A накладені умови з теореми 1.2.1 і функція є похідною порядку деякої функції Тоді для довільних t>0, p>0

при

за нормою простору.

Таким чином є підстави для означення.

Определение 1.2.1. Для довільної покладемо, що

.

Аналогічно означаються функції на значеннях багатовимірного вінерівського процесу і доводиться твердження, аналогічне теоремі 1.2.2.

У другому розділі досліджуються узагальнені функціонали виду

побудовані за узагальненими функціями з. У випадку, де -функція Дірака в точці , функціонал можна розглядати як локальний час для вінерівського процесу w в. Тому функціонали названо узагальненими локальними часами вінерівського процесу, що відповідають функціям повільного зростання , або просто локальними часами. Так як ядра розвинень локальних часів мають особливість в точці t=0, то для функціоналів потрібна деяка регуляризація, залежна як від розмірності простору, в якому лежать значення вінерівського процесу w, так і від порядку функції і степеня згладження оператора A, по якому будується шкала узагальнених вінерівских функціоналів. Головним результатом другого розділу є

Теорема 2.2.1. Нехай w вінерівський процес із значеннями в, узагальнена функція повільного зростання порядку і A додатний самосопряжений лінійний оператор на такий, що:

1)

2)

Тоді для всіх і цілих функціонал, де

та послідовність ядер кратних вінерівских інтегралів у розвиненні у ряд Іто-Вінера, тобто

Як приклад досліджено випадок, коли узагальнений локальний час на гладкій поверхні, доводиться твердження.

Теорема 2.2.2. Нехай для процесу w і оператора A виконуються умови попередньої теореми, а узагальнена функція повільного зростання є простим прошарком, тобто

де Г обмежена замкнена (тобто) гладка поверхня в корозмірності dim Г=r, v неперервна функція на Г.

Тоді

1)

2)

В третьому розділі формулюється означення та вивчаються властивості узагальнених адитивних однорідних функціоналів.

Нехай -алгебра, і нехай, де w вінерівський процес в , тоді випадкову квадратично інтегровну -вимірну величину можна розкласти в ряд Іто-Вінера

де симетрична частина простору

Позначимо через, поповнення простору за нормою

Елементи простору, називають узагальненими вінерівськими

функціоналами порядку p. Наприклад, якщо p=0, то отримаємо звичайні квадратично інтегровні -вимірні вінерівські функціонали.

Лемма 3.1.1. Якщо узагальнена функція порядку ,то при всіх функціонал .

Нехай B дійсний сепарабельний банахів простір з нормою .

Означення 3.2.1. Узагальненим випадковим відображенням порядку простору B в називається вимірна функція.

Кожному випадковому відображенню відповідає послідовність невипадкових вимірних функцій-ядер, за допомогою яких відображення G записується формальним рядом

.

Нехай випадковий -вимірний елемент в просторі B такий, що для всіх

Розглянемо для кожного - значне розвинення Іто-Вінера

де симетричні -значні інтегровні з квадратом на функції-ядра. Після симетризації за всіма k+j змінними отримаємо ядро (тут оператор симетризації), що є елементом простору. Наступне означення є аналогом означення А.А.Дороговцева дії випадкового відображення на випадкові елементи.

Означення 3.2.2. Випадковий елемент з B входить в область визначення випадкового відображення G, якщо формальний ряд

є елементом простору; при цьому сума (3) називається значенням G на .

Лема 3.2.1. Нехай G випадкове відображення простору C([0,s]) із значеннями в для деяких p>0, 0<s<t, таке, що для довільних і

де і послідовність ядер розвинення Іто-Винера для G.

Тоді при кожному відповідність

визначена і є випадковим відображенням в .

Означення 3.3.2. Узагальненим адитивним однорідним функціоналом G порядку від процесу w в називається множина узагальнених випадкових відображень, що задані на і задовольняють умови:

1)

2)

,

де послідовність ядер із розвинення Іто-Вінера для;

3)

4)

5)

При цьому дія на випадкове відображення G порядку p оператора зсуву траєкторії вінерівського процесу w на h означається наступним чином:

Означення 3.3.1. Зсув це випадкове відображення, що діє з B в за правилом

де послідовність ядер з розвинення Іто-Вінера відображення G, а кратні інтеграли беруться за приростами вінерівського процесу

Наведена наступна теорема.

Теорема 3.4.1. Нехай узагальнений однорідний адитивний функціонал G при кожному фіксованому має неперервну на похідну по змінній t у просторі і нульовий доданок розвинення Іто-Вінера для похідної задовольняє умови:

де.

Тоді функціонал G є узагальненим локальним часом, що відповідає деякій узагальненій функції повільного зростання порядку m.

Розглянуто приклад, що демонструє, як звичайний адитивний функціонал від вінерівського процесу вкладається в запропоновану схему.

В останньому підрозділі розділу 3 розглянуто питання про збіжність узагальнених однорідних адитивних функціоналів. Наведено наступне означення.

Означення 3.5.1. Послідовність узагальнених однорідних адитивних функціоналів

від вінерівського процесу називається збіжною при до узагальненого однорідного адитивного функціоналу порядку, якщо для всіх фіксованих іпри у просторі

Наведено приклад 3.5.1, в якому доведено, що послідовність звичайних квадратично-інтегрованих функціоналів, що є локальними часами, побудованих за допомогою узагальнених функцій повільного зростання (тут - це -функція в точці х), послідовність функціоналів, яка не збігається в звичайному розумінні, збігається за означенням 3.5.1. до узагальненого локального часу, що відповідає похідній -функції в точці нуль.

А також, в цьому підрозділі наведено твердження, з якого випливає, що при певних умовах збіжність узагальнених однорідних адитивних функціоналів повністю визначається відповідною збіжністю їх характеристик, а саме:

Теорема 3.5.1. Нехай послідовність узагальнених однорідних адитивних функціоналів

порядку від вінерівського процесу є такою, що:

1)

2)

Тоді рівність

визначає на множині лінійний неперервний функціонал, що продовжується до узагальненої функції повільного зростання порядку m, і послідовність функціоналів при збігається до узагальненого локального часу, що відповідає функції .

Висновки

В дисертаційній роботі досліджуються узагальнені адитивні функціонали типу локального часу, побудовані за узагальненими функціями повільного зростання в якості ядер, для одновимірного і багатовимірного вінерівського процесу. Отримано такі результати:

1.

2.

3.

4.

5.

Список опублікованих робіт здобувача за темою дисертації:

1.

2.

3.

Тези міжнародних конференцій

4.

5.

6.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівникові

доктору фізико-математичних наук Дороговцеву Андрію Анатолійовичу за

постановку задач, постійну увагу і допомогу в роботі.

Анотації

Бакун В.В. Локальні часи та узагальнені адитивні функціонали від броунівського руху. – Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 – теорія ймовірностей і математична статистика. Інститут математики НАН України, Київ, 2002.

У дисертаційній роботі досліджуються узагальнені функціонали типу локального часу, побудовані за повільно зростаючими узагальненими функціями (розподілами Шварца) як за узагальненим ядром для одновимірного і багатовимірного броунівського руху. Знайдена залежність регуляризації узагальних вінеровських функціоналів вказаного типу як від розмірності простору вінеровського процесу, так і від порядку узагального ядра і простору узагальнених вінерівських функціоналів.

Як приклад, розглядається узагальнений локальний час на гладкій поверхні для багатовимірного броунівського руху. Встановлено залежність його регуляризації від корозмірності поверхні і розмірності броунівського руху.

Наведено означення узагальненого випадкового відображення, за його допомогою сформульовано нове означення узагальненого однорідного адитивного функціоналу, що містить у собі добре відоме означення Є.Б.Динкіна. Знайдені достатні умови відновлення узагальненого однорідного адитивного функціоналу за його характеристикою. Досліджена збіжність узагальнених адитивних функціоналів.

Ключові слова: розвинення Іто-Вінера, узагальнені вінерівські функціонали, узагальнене випадкове відображення, узагальнений однорідний адитивний функціонал.

Bakun V.V. The Local Times and Generalized Additive Functionals for Brownian Motion. – Manuscript. Thesis for the Candidate degree by speciality 01.01.05 – theory of probability and mathematical statistics. Institute of mathematics of NASU, Kiev, 2002.

The paper deals with the generalized functionals of local time type constructed via the Schwartz distributions as the generalized kernels for one-dimensional and multi-dimensional Brownian motion. The dependence of order of renormalization for generalized Wiener functionals of mentioned type upon dimension of Wiener process, the order of generalized kernel and space of generalized Wiener functionals are found. As an example, the generalized local time on smooth surface for multidimensional Brownian motion are considered. The dependence of its renormalization order upon codimension of the surface and dimension of Brownian motion are revealed.

The definition of the generalized random map and a new definition of the generalized additive homogeneous functional are given. The sufficient conditions for renewal of generalized additive homogeneous functional via its characteristic are obtained, the convergence of generalized additive functionals is studied.

Key words: Ito-Wiener expansion, generalized Wiener functionals, generalized random map, generalized additive homogeneous functional.

Бакун В.В. Локальные времена и обобщенные аддитивные функционалы от броуновского движения. – Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 – теория вероятностей и математическая статистика. Институт математики НАН Украины, Киев, 2002.

В диссертационной работе исследуются обобщенные функционалы типа локального времени, построенные по обобщенным функциям медленного роста (распределениям Шварца) как по обобщенному ядру для одномерного и многомерного броуновского движения. Найдена зависимость регуляризации обобщенных винеровских функционалов указанного типа как от размерности пространства винеровского процесса, так и от порядка обобщенного ядра и пространства обобщенных винеровских функционалов. Как пример, рассматривается обобщенное локальное время на гладкой поверхности для многомерного броуновского движения. Установлены зависимости его регуляризации от коразмерности поверхности и размерности броуновского движения. Приведены определения понятий обобщенного случайного отображения и обобщенного однородного аддитивного функционала в случае, когда шкалы обобщенных винеровских функционалов строятся по соболевским пространствам с отрицательным индексом. Найдены достаточные условия восстановления обобщенного однородного аддитивного функционала по его характеристике.

Работа состоит из введения, трех глав, выводов и списка использованных литературных источников.

Во вступлении освещается исторический аспект научных проблем, рассматриваемых в диссертационной работе, приводится цель и постановка задач работы, дается краткая характеристика результатов работы.

В диссертационной работе, используя известное разложение Ито-Винера по кратным винеровским интегралам для функционала , построенного по гауссовской плотности и винеровскому процессу , дается определение значения произвольной обобщенной функции медленного роста на значениях винеровского процесса , проводя формальный переход к пределу при в свертке . Доказано, что в некоторых, достаточно общих случаях, такой переход к пределу не есть формальным. Далее исследуются обобщенные функционалы от винеровского процесса типа локальных времен, при построении которых интегральное ядро, являющееся -функцией Дирака, заменяется произвольной обобщенной функцией медленного роста. Так как ядра разложения такого типа функционалов в ряд Ито-Винера не определены при t, стремящемся к нулю, то требуется некоторая регуляризация функционалов. Найдена зависимость порядка регуляризации этих аналогов обобщенных локальных времен от размерности пространства, порядка обобщенной функции медленного роста и степени “сглаживания” самосопряженного положительного оператора, по которому строится шкала обобщенных винеровских функционалов. В качестве примера рассматривается обобщенное локальное время на гладкой поверхности для броуновского движения в .

В последней главе дано определение обобщенного случайного отображения вещественного сепарабельного банахова пространства, а также действия такого отображения на случайные элементы. Приводятся вспомогательные утверждения об обобщенных случайных отображениях, необходимые для определения обобщенного аддитивного однородного функционала. Найдены достаточные условия восстановления аддитивного функционала по его характеристике в случае ее дифференцируемости по времени по норме соответствующего пространства обобщенных винеровских функционалов. Приводится пример, показывающий, как обычное локальное время для винеровского процесса может быть описано в терминах обобщенного аддитивного однородного винеровского функционала и может быть восстановлено по его характеристике.

Даётся определение сходимости последовательности обобщённых однородных аддитивных функционалов, и приводится пример сходимости в смысле данного определения последовательности обычных квадратично-интегрируемых однородных аддитивных функционалов к обобщенному аддитивному функционалу. Найдены достаточные условия сходимости обобщённых однородных аддитивных функционалов в зависимости от сходимости их характеристик.

Приводится библиография, состоящая из 47 единиц.

Ключевые слова: разложение Ито-Винера, обобщенные винеровские функционалы, обобщенное случайное отображение, обобщенный однородный аддитивный функционал.

Підп. до друку 24.03. 2003. Формат 60х90/16. Папір офс. Офс.друк.

Ум.друк.арк. 1,16. Ум.фарбо-відб. 1,16. Обл.-вид. арк. 0,9.

Тираж 100 пр. Зам. . Безкоштовно

Віддруковано в Інституті математики НАН України

01 601 Київ-4, МСП, вул. Терещенківська, 3