ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ ім. Я. С. ПІДСТРИГАЧА

ЧЕРВІНКА
Костянтин Андрійович

УДК 539.3

Математичне моделювання та дослідження термопружних процесів
у локально неоднорідних тілах із врахуванням
тензорного характеру хімічного потенціалу

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук

Львів - 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Львівському національному університеті ім. Івана Франка.

Науковий керівник: | Доктор фізико математичних наук
НАГІРНИЙ Тарас Семенович,
Науково-учбовий центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України,
м. Львів, завідувач відділу

Офіційні опоненти: | Доктор фізико математичних наук
ПОВСТЕНКО Юрій Зиновійович,
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України,
м. Львів, провідний науковий співробітник.

Доктор технічних наук
КАРПІНОС Борис Сергійович,
Інститут проблем міцності ім. Г. С. Писаренка
НАН України,
м.Київ, провідний науковий співробітник.

Провідна установа: | Національний університет імені Тараса Шевченка, кафедра механіки суцільного середовища, Міністерство освіти і науки України, м.Київ.

Захист відбудеться " 31 " жовтня  2003 року о 1100 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.195.01 при Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України за адресою:
79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-б.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України за адресою:
79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-б.

Автореферат розіслано " 29 " вересня   2003 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради
| П. Р. Шевчук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В основі дослідження і прогнозування закономірностей поведінки деталей машин та приладів, а також розрахунку елементів інженерних конструкцій лежать матема-тичні моделі механіки суцільного середовища. Побудова та розвиток нових моделей, що врахо-вують конкретний набір властивостей реальних тіл, відноситься до актуальних проблем сучасної механіки. Звичайно, такі моделі дозволяють повніше, порівняно з існуючими, описувати поведінку тіл та розраховувати раціональні режими їх експлуатації. При цьому важливим є узгодження результатів, отриманих різними авторами за різних підходів.

До моделей, на основі яких в останні десятиліття проводиться широкий комплекс дослід-жень, належать локально неоднорідні моделі механіки. Це зумовлено як практичним використан-ням у точному приладо- та машинобудуванні тонкоплівкових та тонковолоконних структур, потребами опису різного роду розмірних явищ, у тому числі межі міцності, так і природнім розвитком науки. При побудові локально неоднорідних моделей можна виокремити підходи нелокальної теорії пружності та локально градієнтної термомеханіки.

В рамках першого підходу, залежність між тензорами напружень і деформацій приймаєть-ся, у загальному випадку, у вигляді інтегрального співвідношення за просторовими координатами. Підінтегральна функція впливу є функцією віддалі розглядуваної та біжучої точок, а тому визначальне співвідношення відображає той факт, що напруження у розглядуваній точці тіла залежать від деформацій як у цій, так і у сусідніх точках. В рамках такого підходу проведено широкий комплекс досліджень поведінки деформівних твердих тіл, у тому числі із врахуванням масштабних ефектів та приповерхневих явищ, пошкоджуваності матеріалу тощо. Значна увага приділялась вивченню хвильових процесів. Зазначимо, що цей підхід призводить до труднощів при врахуванні впливу немеханічних процесів, у тому числі теплових, на характер деформування тіла.

Другий підхід, що базується на загальних принципах термодинаміки нерівно-важних проце-сів, започатковано в роботах Я. Й. Бурака. В рамках цього підходу принцип локальної термодина-мічної рівноваги поширено на локально неоднорідні системи. Це дозволяє описувати, зокрема, низку явищ, пов’язаних із різними властивостями частинок у приповерхневих та внутрішніх областях твердого тіла, у тому числі розмірні ефекти. У моделях даного підходу звичним чином враховується вплив немеханічних процесів на напружено-деформований стан тіла. Дослідження в рамках цього підходу проводились на прикладі модельних одновимірних задач для пружного та електропровідного твердого тіл, а також твердого розчину.

Залежність між напруженнями і деформаціями у рамках локально градієнтної теорії пруж-ності можна звести до нелокальної форми. При цьому нелокальність є характерною лише для кульових складових, тоді як у нелокальній теорії пружності нелокальність властива також залежності між девіаторами тензорів напружень і деформацій. Дану неузгодженість результатів можна усунути, розглядаючи один з базових параметрів термодинамічного стану локально градієнтних моделей, – хімічний потенціал, – як тензор другого рангу. Зауважимо, що вперше хімічний потенціал та спряжений параметр, концентрація, як тензорні величини були введені у працях Я. С. Підстригача при дослідженнях в рамках дифузійної теорії деформації.

Науковим завданням пропонованої дисертаційної роботи є: побудова в рамках локально градієнтного підходу моделі термопружного твердого тіла із врахуванням тензорного характеру хімічного потенціалу; вивчення впливу температури на ефекти, пов’язані з локальною та приповерхневою неоднорідністю; розробка розрахункової схеми дослідження двовимірних задач локально градієнтної термопружності.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження за темою дисертації виконувались у Львів-ському національному університеті імені Івана Франка та Центрі математичного моделюван-ня ІППММ імені Я. С. Підстригача НАН України в рамках держбюджетної теми МД-23Б “Побудова математичних моделей та розробка методів дослідження крайових задач для диференціаль-них рівнянь і випадкових еволюцій” (номер держреєстрації 0100U001411) та проектів 1.4/312 "Математичне моделювання та дослідження фізико-механічних процесів у деформівних системах з врахуванням локальної градієнтності та інерційності", 01.07/128 "Фізико-математичне моделювання та дослідження нерівноважних процесів у деформів-них локально-неоднорідних багатокомпонентних твердих тілах" фонду фундаментальних досліджень Державної науково-технічної програми ДКНТ України.

Мета і задачі дослідження. Метою дослідження даної роботи є побудова математичної моделі для кількісного вивчення термомеханічних процесів у локально градієнтних твердих тілах із врахуванням тензорного характеру хімічного потенціалу, дослідження впливу температури на приповерхневу неоднорідність та явища, пов’язані з ефектами локальної градієнтності, розробка розрахункової схеми вивчення термомеханічних полів у деформівному середовищі з еліптичною порожниною.

Об'єктом дослідження дисертаційної роботи є термопружні тверді тіла, опис поведінки яких потребує врахування ефектів локальної неоднорідності та нелокальної залежності між напруженнями і деформаціями.

Предметом дослідження є вивчення поведінки таких тіл за різних умов навантаження, розрахунок характеристик, що мають прикладне значення.

Методи дослідження. У роботі використано методи математичного моделювання фізичних процесів, нерівноважної термодинаміки, нелінійної механіки суцільного середовища при побудові моделі, методи вивчення нелінійних коливань, симетрійні та числові методи дослідження дифе-ренціальних рівнянь при розв’язанні конкретних задач.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації побудовано модель локально градієнтного термопружного твердого тіла із врахуванням тензорного характеру хімічного потенціалу; вивчено у рамках локально градієнтного підходу вплив температури на приповерх-неву неоднорідність у деформівних твердих тілах простої геометричної конфігурації (шар, циліндр, порожниста та суцільна кулі), а також на розмірні ефекти поверхневих напружень, межi міцності, поверхневий натяг тощо; досліджено вплив температури на частоти власних коливань шару для різних умов закріплення його поверхонь; вивчено закономірності хвильових процесів у середовищі, енергія взаємодії у якому залежить від напрямку; розроблено розрахункову схему та вивчено рівноважний термомеханічний стан середовища з еліптичною порожниною.

Теоретичне значення отриманих результатів полягає у побудові математичної моделі для кількісного опису термопружних процесів у деформівних твердих тілах із врахуванням ефектів локальної градієнтності та узгодженні результатів нелокальної та локально градієнтної теорій; розробці методики дослідження хвильових процесів у термо-пружних тілах із врахуванням ефектів приповерхневої неоднорідності; побудові розрахункової схеми вивчення двовимірного термо-пружного стану локально градієнтного середовища з еліптичною порожниною. Практичне значення результатів роботи полягає в отриманні повної системи рівнянь, котра дозволяє розраховувати термопружний стан тіл із спостережуваними особливостями приповерхневої неоднорідності. Одержані результати дозволяють розраховувати певні експлуатаційні характеристики твердих тіл, у тому числі тонких плівок та волокон, і їх залежність від температури. Результати можуть знайти застосування в точному машино- та приладобудуванні для оцінки параметрів міцності елементів, що працюють в умовах теплового та механічного навантаження.

Публікації та особистий внесок здобувача. За темою дисертації опублі-ковано 10 наукових праць, у тому числі 5 статей у фахових наукових журналах. Основні результати, викладені в дисертації, отримані автором самостійно.

У роботах, опублікованих разом з співавторами, здобувачу належить побудова та аналіз у рамках локально градієнтного підходу моделі термопружного твердого тіла із врахуванням тензорності хімічного потенціалу [3]; дослідження впливу температури на: частоти власних коливань шару із врахуванням приповерхневих явищ [5,9], параметри локальної неоднорідності [8], границю міцності і її розмірний ефект для низки тіл простої геометричної конфігурації [2,4,6]; участь у розробці методики досліджень [1,7]. Співавторам належать: модель локально градієнт-ного термопружного тіла, у рамках якої хімічний потенціал є скалярною величиною, та відповідні ключові системи рівнянь [1-9]; методика дослідження хвильових процесів у локально градієнтно-му пружному тілі [1,9]; врахування впливу домішок на взаємозв'язані термомеханічні процеси [2,6]. Співавтори брали участь у обговоренні загальних постановок задач та одержаних результатів.

Апробація роботи. Результати роботи доповідалися на міжнародних конференціях "Strength, Durability and Stability of Materials and Structures" (Panevezys, Lithuania, 1999), "Матема-тичні проблеми механіки неоднорідних структур" (Львів, 2000), "Нові підходи до розв'язання диференціальних рівнянь" (Дрогобич, 2001), конференції молодих науковців та спеціалістів ФМІ НАН України (Львів, 2002), звітних конференціях викладачів Львівського національного універси-тету імені Івана Франка (2000, 2001, 2002). Дисертаційна робота в цілому доповідалася та обгово-рювалася на семінарі кафедри математичного моделювання Львівського національного універ-ситету імені Івана Франка, семінарі Науково-учбового центру матема-тичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і матема-тики імені Я. С. Підстригача, кваліфікаційному семінарі Інституту прикладних проблем механіки і матема-тики імені Я. С. Підстригача, на семінарі із сучасних проблем механіки при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка.

Структура та об'єм дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, 4 розділів, висновків та списку літератури із 150 найменувань на 11 сторінках. Дисертація містить 17 рисунків на 8 сторінках. Загальний обсяг роботи 152 сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі проведено порівняння локально градієнтного підходу в термомеханіці та нелокальної теорії пружності, обґрунтовано актуальність та важливість проведених досліджень, сформульовано мету та задачі дослідження, описано новизну роботи та зв’язок з науковими програмами і планами, наведено короткий огляд роботи за розділами, практичне значення, особистий внесок здобувача та дані про апробацію результатів.

Перший розділ присвячений огляду публікацій за тематикою роботи, висвітленню основних етапів та підходів у дослідженні проблеми, а також аналізу сучасного стану питання.

У другому розділі методами термодинаміки нерівноважних процесів та нелінійної механіки побудовано модель локально неоднорідного термопружного тіла, у якій хімічний потенціал є тензором другого рангу.

Розглянуто локально градієнтне термопружне тверде тіло, яке перебуває під дією силового навантаження в умовах теплової взаємодії із зовнішнім середовищем. Термопружні процеси у фізично малій підсистемі тіла повинні справджувати балансові рівняння для повної енергії, імпульсу, ентропії та густини маси, які у локальній формі, записані для величин, введених відносно початкової геометричної конфігурації, мають вигляд

,

, ,

. (1)

Тут – повна енергія, – імпульс механічного поступального руху, – тензор напружень Піоли-Кірхгофа, – вектор швидкості, – вектор потоку ентропії, , – абсолютна темпер-атура та ентропія, – тензор потоку маси (тензор третього рангу), , – тензори (другого рангу) хімічного потенціалу та густини маси, – виробництво ентропії, – час, верхній індекс відзначає транспонування тензора; індексом “0” відзначено величини введені відносно початко-вої геометричної конфігурації (). Якщо прийняти, що хімічний потенціал та густина маси є скалярними, а потік маси – векторною величинами, то дана система рівнянь співпадає з відомою системою рівнянь моделі локально градієнтного термопружного тіла.

Одним з основних положень локально градієнтного підходу є подання потоку маси сумою оборотної та необоротної складових. Тому для розглядуваних у роботі однокомпонентних твердих тіл для потоку маси , враховуючи його тензорний характер, приймаємо подання

, (2)

а тензор називатимемо тензором зміщень маси.

Врахуємо що повна енергія є сумою внутрішньої U0 та кінетичної K0 енергій. Для приросту кінетичної енергії dK0 приймаємо відоме зображення у вигляді внутрішнього добутку вектора швидкості та приросту вектора імпульсу. Тоді, використовуючи рівняння балансу імпульсу та маси, а також подання (2), з рівняння балансу повної енергії системи рівнянь (1) одержуємо

(3)

де – радіус-вектор розглядуваної точки, верхній індекс T(13) відзначає транспонуван-ня тензора третього рангу шляхом перестановки першого та третього індексів. Зазначимо, що в літературі рівняння, відповідне до (3) називають рівнянням балансу внутрішньої енергії. Воно є базовим при встановленні визначальних співвідношень моделі.

Для енергії розсіяння приймаємо загальноприйнятий для термопружного тіла вираз

.

За допомогою перетворення Лежандра

вводимо у розгляд енергію , що визначена у просторі таких параметрів стану як температура, градієнт місця, тензор хімічного потенціалу та тензор градієнту хімічного потенціалу. Відповідно до (3) рівняння Гібса для введеного потенціалу є таким

.

Воно дозволяє записати наступні рівняння стану моделі

, , , , (4)

що зв'язують спряжені параметри стану з базовими.

Виходячи з виразу для енергії розсіяння та беручи до уваги те, що потік ентропії є спричинений термодинамічною силою, кінетичне рівняння записуємо у вигляді

, . (5)

Параметрична залежність від відображає той факт, що термодинамічні процеси відбуваються на базі розглядуваного стану і за відсутності сили відсутній потік.

Рівняння балансу імпульсу, маси та ентропії системи (1), визначальні співвідношення (4), (5) та вираз для виробництва ентропії і імпульсу складають повну систему рівнянь моделі локально градієнтного термопружного тіла із врахуванням тензорного характеру хімічного потенціалу. У роботі розглянуто два випадки для подання імпульсу: класичне та узагальнення на випадок тензорного характеру густини , котре для вибору густини у вигляді кульового тензора співпадає з класичним.

Виключивши з рівняння стану для напружень тензор хімічного потенціалу за допомогою рівняння балансу маси, отримано диференціальне співвідношення, яке пов’язує напруження та деформації, і показано, що воно є просторово нелокальним. Як і у співвідношеннях нелокальної теорії пружності, просторова нелокальність є властивою як для кульових так і для девіаторних складових тензорів. Таким чином у рамках локально градієнтного підходу отримано модель деформівного твердого тіла, опис напруженого стану в якій узгоджується з описом у нелокальній теорії пружності.

У наближенні геометричної лінійності (індекси “0” опускаємо), прийнявши лінійну залежність між термодинамічними потоками і силами та обмежившись квадратичними доданками в розкладі енергії F у ряд Тейлора за збуреннями базових параметрів в околі початкового стану, ключову систему рівнянь моделі записуємо у вигляді

,

,

.

Тут – сталі, – вектор переміщення, і – збурення температури T та тензора хімічного потенціалу H відносно початкових значень , , – одиничний тензор; імпульс вибираємо в одному з двох наведених вище виглядів. При цьому за початковий стан приймаємо стан безмежного однорідного вільного від силового навантаження середовища; вважаємо також, що збурення температури є значно меншим від початкового значення абсолютної температури.

В останньому підрозділі на основі сформульованих лінеаризованих систем рівнянь проведено вивчення закономірностей поширення плоских гармонійних хвиль у початково однорідному безмежному середовищі. Отримано та проаналізовано дисперсійні рівняння. Встановлено, що на відміну від моделі локально градієнтного пружного тіла, у якій хімічний потенціал є скаляром, дана модель описує дисперсію як хвиль стиску, так і хвиль зсуву. Проведено порівняння одержаних результатів для часткових випадків з аналогічними результатами нелокальної теорії пружності та показано їх узгодженість.

Сформульовано розв’язуючі системи рівнянь для динамічної, квазістатичної та статичної задач локально градієнтної термопружності у термінах збурень температури, хімічного потенціалу та переміщень, а також систему рівнянь в термінах напружень, температури і хімічного потенціалу для квазістатичного наближення у випадку, коли хімічний потенціал є скалярною величиною.

У третьому розділі систему рівнянь локально градієнтного термопружного тіла для якої хімічний потенціал є скаляром використано для вивчення поведінки тіл простої геометричної конфігурації (шару, безмежного кругового циліндра, порожнистої та суцільної кулі) із врахуванням ефектів приповерхневої неоднорідності. Основна увага зосереджена на вивченні впливу температури на ефекти, пов’язані з локальною градієнтністю.

У першому підрозділі вивчено термомеханічні стаціонарні поля та хвильові процеси у локально градієнтному твердому шарі. З цією метою розглянуто шар, що займає область простору. При вивченні стаціонарних процесів приймається, що при до шару прикладено силове навантаження інтенсивності і відповідно. Поверхні шару вільні від зовнішнього силового навантаження і на них задано постійні значення температури та хімічного потенціалу .

Одержано та проаналізовано розв’язок сформульованої задачі. Показано, що температура шару не змінює характер розподілу механічних полів у ньому, впливаючи на їх значення. У залежності від значення зміни величин механічних полів можуть бути суттєвими. Встановлено, що при , найбільшими розтягуючими напруженнями у шарі є напруження на поверхнях

, (6)

де , – сталі.

Дану формулу використано для дослідження впливу температури на межу міцності і її розмірний ефект. При цьому за критерій міцності матеріалу тіла вибрано критерій першої класичної теорії міцності. для критичного значення інтенсивності зовнішнього силового навантаження , що приводить до руйнування шару, одержано

.

Тут – критичне значення інтенсивності силового навантаження для шарів, товщина яких значно більша від характерного розміру області приповерхневої неоднорідності, при початковій температурі.

Для товстих, порівняно з характерним розміром області приповерхневої неоднорідності, шарів, для яких , дане співвідношення набуває вигляду

. (7)

Останні рівняння можна трактувати як такі, що описують залежність межі міцності від температури, у тому числі для тонких плівок, для яких є суттєвим розмірний ефект, тобто залежність межі міцності від характерного розміру тіла.

Приведено порівняння одержаних результатів з відомими у літературі експериментальними даними. На рисунку суцільною лінією зображено розраховану на основі формули (7) залежність критичної інтенсивності силового навантаження від темпе-ратури, символом "+" відзначено відомі в літературі експериментальні дані для ніобієвого сплаву 10ВМЦ. На основі цих експериментальних даних проведено оцінку нових, порівняно з моделлю локально градієнтного пружного тіла, параметрів моделі.

Одержаний розв’язок задачі використано для вивчення впливу температури на поверхневий натяг у вільному від силового навантаження шарі. Встановлено, зокрема, що температура не впливає точку переходу приповерхневих розтягуючих напружень у стискаючі, а залежність поверхневого натягу від температури є лінійною.

Вивчення хвильових процесів проведено на основі системи рівнянь у термінах вектора переміщень, збурень хімічного потенціалу і температури

.

Тут – сталі, – густина матеріалу тіла у відліковому стані.

У тілах, динамічна поведінка яких описується нелінійною системою рівнянь, існують повільно змінні на періоді зовнішнього навантаження та коливні складові розглядуваних полів. Тому розв’язок вихідної системи рівнянь , використовуючи операцію осереднення, представимо у вигляді суми осередненої та коливної складових

, .

Методика вивчення хвильових процесів у термопружних тілах із врахуванням приповерх-невої неоднорідності зводиться до послідовного вивчення осереднених складових при наступному дослідженні хвильових процесів на основі системи рівнянь зі змінними коефіцієнтами. При нехтуванні осередненою складовою сили інерції лінеаризована система рівнянь для осереднених складових описує процес квазістатичного деформування із врахуванням приповерхневих явищ.

Система рівнянь для хвиль основної гармоніки та метод розвинення за малим параметром задачі використано для вивчення впливу температури на власні коливання шару для різних умов закріплення його поверхонь. При цьому приймається, що можна незалежно забезпечити граничні умови для осереднених та коливних складових розглядуваних полів. Зокрема для частот власних коливань шару з вільними від силового навантаження поверхнями одержано формулу

, .

Тут – сталі, – швидкість поширення поздовжньої пружної хвилі при початковій температурі у локально однорідному середовищі, матеріал якого є ідентичним матеріалу тіла.

Показано, що вплив осередненої температури на частоти власних коливань тіла враховується опосередковано через врахування такого впливу на приповерхневу неоднорідність хімічного потенціалу. Якісна залежність частот власних коливань шару від температури є однаковою для різних умов закріплення поверхонь шару, але кількісна залежність є відмінною, причому більш суттєвою для тонких плівок у порівнянні з товстими шарами.

У другому та третьому підрозділах вивчено стаціонарні термомеханічні поля у безмежному круговому циліндрі та порожнистій і суцільній кулях із врахуванням приповерхневих явищ. Приймається, що циліндр при перебуває під дією силового навантаження інтенсивності , а куля – під дією тисків і на внутрішній та зовнішній поверхнях відповідно. Основна увага зосереджена на вивченні впливу температури на механічні поля, межу міцності та поверхневий натяг, а також розмірні ефекти. Встановлено, що, як і для шару, однорідна температура тіла не змінює точки переходу розтягуючих приповерхневих напружень у стискаючі, впливаючи при цьому на їх значення.

У четвертому розділі розроблено розрахункову схему та досліджено двовимірний термо-пружний стан середовища з циліндричною еліптичною порожниною із врахуванням ефектів приповерхневої неоднорідності. Відповідно до результатів другого розділу розв’язуючу систему рівнянь моделі приймаємо у вигляді

, , ,

, , (8)

де – стала, .

Вважаємо, що межа тіла вільна від силового навантаження і на ній задано постійні значення збурень хімічного потенціалу і температури . Тіло навантажене рівномірними зусиллями на безмежності під кутом до осі .

Ввівши у розгляд функцію напружень V, систему рівнянь для знаходження V, приводимо до вигляду

, , (9)

де – сталі. При цьому приймаємо, що температура є відомою функцією координат, визначеною на основі третього рівняння системи (8) та відповідних граничних умов.

Розв’язування системи рівнянь (9) проведено у припущенні, що вплив напружень на хімічний потенціал чи хімічного потенціалу на напруження є малим. При цьому рівняння на хімічний потенціал, записане у змінних , пов’язаних із конформним відображенням області тіла на зовнішність одиничного круга, має вигляд

, (10)

де , якщо нехтується впливом напружень на хімічний потенціал і , якщо нехтується впливом хімічного потен-ціалу на напруження; , . При цьому є -періодичною функцією за змінною .

Розв’язок рівняння (10) шукаємо за допомогою методу розділення змінних . Для і одержуємо рівняння

,

, (11)

де , , – довільна дійсна стала. Розв’язком першого рівняння є функції Мат’є. Розв’язок другого рівняння знаходимо за допомогою методу послідовних наближень. Відповідно до цього записуємо у вигляді ряду по тих значеннях параметра , при яких розв’язки першого рівняння (11) є -періодичними. Коефіцієнти ряду визначаємо використовуючи граничні умови задачі. Цю розрахункову схему застосовано для дослідження закономірностей поведінки хімічного потенціалу біля поверхні тіла.

При вивченні напруженого стану, для розглядуваних наближень, використано методи теорії функції комплексної змінної та потенціалів Колосова-Мусхелішвілі. Встановлено, що вплив поля хімічного потенціалу на функцію напружень є аналогічним до дії потенціального поля масових сил. Вплив однорідної температури на напруження здійснюється опосередковано через хімічний потенціал.

У останньому підрозділі проаналізовано застосовність запропонованої методики до дослід-ження поведінки локально градієнтних тіл іншої геометричної конфігурації і виявлено, що дана методика може бути застосована без модифікації для тіл, границя яких має форму еліпса чи кола і на ній задано неоднорідні значення термомеханічних полів.

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена вирішенню наукового завдання — побудові моделі локально градієнтного термо-пружного твердого тіла, котра дає змогу отримати узгодження результатів до-сліджень за локально градієнтного і нелокального підходів у теорії пружності; дослідженню впли-ву температури на поведінку і властивості твердих тіл, зокрема на розмірні ефекти та приповерх-неву неоднорідність; одержанню та аналізу розв’язку двовимірної задачі локально неоднорідного термопружного твердого тіла. Основні результати дисертації розширюють область застосовності термодинамічного підходу до опису нелокальної залежності між тензорами напружень та деформацій, дозволяють проводити оцінку впливу температури і геометричних характеристик тіла на ряд поверхневих явищ.

Основними результатами є

· Отримані ключові системи рівнянь, що описують поведінку локально градієнтного термопружного твердого тіла.

· У рамках локально неоднорідної моделі одержано опис стану деформівних твердих тіл, у яких проявляються ефекти нелокальної залежності між тензо-рами напружень і деформацій. Такий опис може бути здійснений шляхом вибору хімічного потенціалу у вигляді тензора другого рангу.

· Встановлено, що пружні хвилі, поширюючись у локально неоднорідному термопружному тілі, зазнають дисперсії. За ізотемпературного випадку дисперсійні рівняння є аналогічними до отриманих у моделях нелокальної теорії пружності.

· Досліджено закономірності впливу температури на поведінку локально неоднорідного твердого тіла, зокрема

§ отримано лінійну залежність межі міцності та поверхневого натягу від температури і на основі відомих з літератури експериментальних даних для межі міцності визначено одну з матеріальних сталих моделі;

§ вивчено вплив однорідної температури на власні коливання шару та показано, що для товстих шарів врахування впливу температури на частоти власних коливань можна проводити шляхом врахування залежності від температури швидкості поширення пружної хвилі;

§ встановлено, що однорідна температура не впливає на положення точки переходу розтягуючих приповерхневих напружень у стискаючі і не змінює якісно розподілу напружень у тілі, хоча може викликати значні кількісні зміни.

· Розроблено методику та вивчено термомеханічні поля у локально неоднорідному середовищі з еліптичною порожниною. На основі аналізу знайденого розв’язку

§ встановлено, що збурення енергії взаємодії, спричинене наявністю поверхні тіла, зменшу-ється тим швидше, чим менший кут між даним напрямком і великою віссю еліпса;

§ показано, що значення хімічного потенціалу залежить від величини розтя-гуючого силового навантаження та від температури у рамках отриманої моделі за лінійним законом;

§ приповерхневі напруження є розтягуючими і накладаються на напруження, зумовлені зовнішнім силовим навантаженням, змінюючи величину остан-ніх. Максимальний їх вплив припадає на область у вершині еліпса.

Результати роботи можуть стати основою для розрахунку деталей машин та елементів конструкцій, що працюють у різних температурних умовах, особливо у випадку, коли необхідно враховувати поверхневі ефекти. Отримані результати мають загальний характер і їх можна використати при подальших теоретичних дослідженнях, зокрема при побудові нових моделей деформівних твердих тіл. Результати можна використати для оцінки та обґрунтування методів врахування температурних полів у нелокальній теорії пружності.

СПИСОК ПУБЛІКАЦІЙ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Червінка К. А. Математичне моделювання та дослідження термопружних процесів у локально неоднорідних тілах із врахуванням тензорного характеру хімічного потенціалу. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-матема-тичних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. – Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів, 2003.

У дисертації методами термодинаміки нерівноважних процесів побудовано модель термо-пружного твердого тіла, що враховує тензорний характер хімічного потенціалу. Отримана модель розширює моделі локально градієнтного термопружного тіла на врахування просторово нелокальної залежності як між кульовими, так і між девіаторними складовими напружень та деформацій. Це дає змогу узгодити локально градієнтний та нелокальний підходи в теорії пружності. У роботі проведено дослідження впливу температури на поверхневий натяг, міцність розтягнутого шару і циліндра, частоти власних коливань шару та ряд інших ефектів у локально неоднорідних тілах. Вперше отримано розв’язок двовимірної задачі в рамках моделі локально градієнтного тіла.

Ключові слова: математичне моделювання, термопружні тіла, приповерхневі явища, локальна градієнтність, тензорний характер нелокальності.

Червинка К. А. Математическое моделирование и исследование термоупругих процессов в локально неоднородных телах с учетом тензорного характера химического потенциала. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела. – Институт прикладных проблем механики и математики им. Я. С. Подстригача НАН Украины, Львов, 2003.

В диссертации методами термодинамики неравновесных процессов построена модель термоупругого твердого тела, которая учитывает тензорный характер химического потенциала. Полученная модель расширяет модели локально градиентного термоупругого тела на учет пространственно нелокальной зависимости как между шаровыми, так и между девиаторными составными напряжений и деформаций. Это дает возможность согласовать локально градиентный и нелокальный подходы в теории упругости. В работе проведены исследования влияния температуры на поверхностное натяжение, прочность растянутого слоя и цилиндра, частоты собственных колебаний слоя и ряд других эффектов в локально неоднородных телах. Впервые получено решение двумерной задачи в рамках модели локально градиентного тела.

Ключевые слова: математическое моделирование, термоупругие тела, припове-рхностные явления, локальная градиентность, тензорный характер нелокальности.

Tchervinka K. A. Mathematical modelling and investigation of thermoelastic processes in locally nonhomogeneous solids with tensor chemical potential. – Manuscript.

Thesis for a candidate's degree by speciality 01.02.04 – mechanics of solids. – Y.Institute of Applied Problems of Mechanics and Mathematics, Lviv, 2003.

The thesis is devoted to modelling and investigation of thermoelastic behaviour of locally non-homogeneous solids. The research is carried out with use of nonequilibrium thermodynamics and nonlinear mechanics methods within the framework of local gradient approach. The local gradient models are known for the research of different kind of effects related to local nonhomogeneity being uncovered within experiments and related first of all to interface phenomena. The models are used to simulate the behaviour of thin films and fibres with regard for coupled physical processes, describe size effects of the different kind etc. This approach allows expanding the local equilibrium principle to describe locally nonhomogeneous media. The constitutive relation for stress-strain dependence in the existing models of local gradient solid may be written in spatially nonlocal form, that is stresses depend on deformations in the current point as well as deformations in other points of the body. The nonlocal dependence between stress and strain is a point of departure of nonlocal theory of elasticity models. In such models in the general case stress-strain dependence is integral over spatial coordinates. The analysis shows that spatially nonlocal dependence between stress and strain deviators can be found in nonlocal approach. In local gradient approach the nonlocal dependence between stress and strain does not affects deviators. It will be noted that the approach of nonlocal elasticity does not supply the way of taking into account the influence of different physical nature fields on processes of deformation while the local gradient approach does.

In the thesis a model of local gradient thermoelastic solid with taking into account tensority of chemical potential is constructed. In the second chapter there is shown that chemical potential tensority assumtion in the model of locally gradient solid expands the model on taking into account spatially nonlocal dependence between stress and strain deviators. This allows agreeing of locally gradient and nonlocal approaches in elasticity theory. In the last section of the chapter the plain wave propagation in infinite space is studied on the base of full differential equation system of the model. There is shown that waves in locally nonhomogeneous media are dispersive. This model is capable to be used for describing the media, in which wave propagation velocity is direction dependent.

In the third chapter the influence of temperature on behaviour and properties of solids is studied in some one-dimensional spatial problems. The stretched layer and cylinder as well as hollow sphere under load on inner and outer surface are examined for the strength according to first classical criterion. The obtained results show that temperature influence on strength is linear that agrees with known experimental data. The waves propagation in layer is under research and the dependences of normal mode vibration on temperature are found also.

The last chapter is devoted to investigation of plane two-dimensional problem of local gradient thermoelastic solid occupying the exterior of ellipse cylinder hollow. The proposed methods allow investigating thermoelastic fields in such region and studying the interface nonhomogeneity and temperature influence on stressed state of the solid. The variable separation method is used for problem of investigation of chemical potential on the base of the system written in coordinates related to conformal mapping onto exterior of unit circle. The stresses investigation problem is being solved with use of method of complex potentials. The examination of two-dimensional field of chemical potential shows its dependence on curvature of body surface.

Keywords: mathematical modelling, thermoelastic solids, interface phenomena, local gradientallity, tensority of nonlocallity effects.