Національна академія наук України

Інститут кібернетики імені В. М. Глушкова

ДІАНОВА Тетяна Володимирівна

УДК 519.685:519.63

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСІВ

В ОБЛАСТЯХ З ВКЛЮЧЕННЯМИ

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ 1998

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Інституті кібернетики імені В. М. Глушкова

НАН України

Науковий керівник: член-кореспондент НАН України,

доктор фізико-математичних наук, професор

СКОПЕЦЬКИЙ Василь Васильович,

зав. відділом Інституту кібернетики ім. В. М. Глушкова НАН України.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

БЄЛОВ Юрій Анатолійович,

зав. кафедрою теоретичної кібернетики

Київського університету імені Т. Г. Шевченка,

кандидат фізико-математичних наук

ГАЛБА Євген Федорович,

ст. наук. спів. Інституту кібернетики ім. В. М. Глушкова НАН України.

Провідна установа: Дніпропетровський державний університет, кафедра аерогідромеханіки.

Захист відбудеться “____” _______________ 199__ р. о ____ год.

на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.194.02 при Інституті кібернетики імені В. М. Глушкова НАН України за адресою:

252022 Київ 22, проспект Академіка Глушкова, 40.

З дисертацією можна ознайомитися у науково-технічному архіві інституту.

Автореферат розісланий “____” _______________ 199__ р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради СИНЯВСЬКИЙ В.Ф.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дослідженню фільтраційних, температурних та інших полів присвячено багато наукових і прикладних праць. Це зумовлено, в першу чергу, практичними запитами. Дослідження фільтраційних процесів в різних середовищах має першочергове значення при розгляді проблем екології, іригації, проектування та функціонування гідротехнічних споруд, а також проблем вилуговування та розчинення мінералізованих і соленосних порід, інфільтраційного та гідротермального рудоутворення, інтрузії морських вод у прибережні підземні води і т. ін. Дослідження процесів теплопереносу грає важливу роль при розробці та експлуатації різноманітних виробів та пристроїв авіаційної та ракетно-космічної техніки, атомної енергетики, металургії і т.ін.

Реальні фільтраційні та температурні процеси, як правило, відбуваються в анізотропних середовищах, що мають складну геометричну форму, характеризуються наявністю багатьох шарів з різною проникністю (провідністю), а також тонких прошарків з проникністю суттєво більшою або суттєво меншою, ніж проникність основного середовища, які породжують розриви не тільки в полях, а й у потоках вологи (тепла).

Математичному моделюванню впливу тонких включень на фільтраційні процеси в складних областях було присвячено роботи І.В.Сергієнка, В. В. Скопецького, В. С. Дейнеки, І. І. Ляшка, І.М.Молчанова, Л. І. Демченко, Г. Ю. Мистецького, Ю. І. Калугіна, В. І. Лаврика, О.Я.Олійника, В.С.Сірого та ін. Вивченню питання формування температурних полів в областях з включеннями, крім перелічених авторів, присвячені роботи М. М. Бєляєва, О. А. Рядна, В. С. Авдуєвського, Г.А.Дрейцера, Є. К. Калініна, В. В. Костюка, А. А. Жукаускаса, Н.Д.Коваленка, А. А. Шмукіна, М. І. Гужви, В. П. Козлова та ін. Загальні умови, що враховують вплив довільно орієнтованих тонких слабко- та сильнопроникних включень на фільтраційні і температурні процеси в суттєво неоднорідних середовищах, були вперше одержані В.В.Скопецьким та В. С. Дейнекою і одержали назву неоднорідних умов спряження неідеального контакту. Разом з тим, актуальними залишаються проблеми теоретичного дослідження розв’язків загальних змішаних крайових задач з неоднорідними умовами спряження неідеального контакту.

Таким чином, моделювання фізичних процесів у суттєво неоднорідних областях зводиться до розв’язання змішаних крайових задач, які можуть допускати розриви в розв’язку і в потоці. Оскільки постановка цих задач характеризується складністю геометрії області, у якій шукається рішення, різноманітністю крайових умов, розривністю розв’язку і т. ін., то широке розповсюдження одержали наближені методи їх розрахунків. Питання глибокого теоретичного аналізу згадуваних задач, застосування сучасних чисельних методів і обчислювальної техніки, створення необхідних програмних продуктів для проведення відповідних обчислювальних експериментів є дуже актуальними, їх розвитку присвячено багато робіт.

В Інституті проблем машинобудування НАН України створено обчислювальну систему ПОЛЕ для розв’язання двовимірних крайових задач для рівнянь еліптичного і параболічного типу практично без обмежень на характер крайових умов, форму області і границі (керівник В. Л. Рвачов). В Київському університеті розроблено ППП ФСП ОС для розв’язання задач фільтрації та масопереносу в грунтах, а також деяких задач гідромеханіки (керівник І. І. Ляшко). У Сибірському відділенні АН було створено ППП ЕФЕС, КСІ-БЕСМ для розв’язання рівняння Пуассона зі змішаними крайовими умовами в двовимірних і тривимірних областях з включенням (керівник В.П.Ільїн). У Московському університеті створена автоматизована система САФРА розрахунку рівнянь теплопровідності та Нав’єСтокса (керівник О.А.Самарський).

В Інституті кібернетики ім. В. М. Глушкова НАН України розроблено систему автоматизованого розрахунку полів і оптимізації конструкцій (САРПОК). Вона забезпечує високий рівень автоматизації розв’язання крайових і початково-крайових задач у частинних похідних, визначених у складних багатокомпонентних областях з розрізами. Комплекс САРПОК характеризується гнучким використанням одних і тих самих програмних модулів для розв’язання різноманітних фізичних задач, великою кількістю розглядуваних класів задач і універсальністю завдання областей з розрізами. Високоточні схеми розв’язання математичних задач розроблені на основі методу скінченних елементів.

Разом з тим, автору невідомі схеми чи алгоритми розрахунків, пакети програм або окремі програми, в яких було б реалізовано чисельний розрахунок змішаних крайових задач з неоднорідними умовами спряження неідеального контакту. Таким чином, актуальною є задача створення високоефективного алгоритмічного та програмного забезпечення розрахунку цього важливого класу крайових задач.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Частина одержаних дисертантом наукових і практичних результатів втілена в науково-дослідному проекті “Програмно-алгоритмічне та математичне забезпечення дослідження екологічного стану суттєво неоднорідних грунтових середовищ” № 0602 / 01717 за планом фундаментальних досліджень Міннауки України в 1997-1998 рр.

Мета роботи і основні завдання. Метою роботи є розробка в рамках системи САРПОК ефективних підсистем, у тому числі підвищеного порядку точності, для моделювання стаціонарних фізичних процесів в анізотропних багатокомпонентних областях складної геометричної форми з включеннями. Для опису цих процесів розглянуто змішані крайові задачі для рівнянь еліптичного типу з неоднорідними умовами спряження неідеального контакту, розв’язки яких допускають розриви по просторових координатах.

Для досягнення цієї мети в процесі досліджень вирішувалися такі задачі :

-

- розробка високоточних обчислювальних алгоритмів методу скінченних елементів для задач з розривними розв’язками та розривними потоками ;

- оцінки точності та збіжність наближених розв’язків для задач з розривними розв’язками та розривними потоками ;

- проблемне математичне та програмне забезпечення для розв’язання задач у суттєво неоднорідних середовищах.

Загальна методика досліджень грунтується на використанні варіаційних методів математичної фізики, теорії методу скінченних елементів (МСЕ), теорії графів та методів розв’язання систем алгебраїчних рівнянь.

Наукова новизна. Отримано математичні моделі стаціонарних процесів волого- і теплопереносу в анізотропних багатокомпонентних областях складної геометричної форми, що містять тонкі слабко- та сильнопроникні включення. Побудовано і теоретично обгрунтовано високоточні алгоритми методу скінченних елементів для чисельної реалізації цих моделей, що характеризуються розривом розв’язків і потоків. Отримано оцінки збіжності наближених узагальнених розв’язків. Створено відповідні програмні комплекси, адаптовані до системи САРПОК. Розв’язано модельні приклади. Математичні моделі, алгоритми та оцінки збіжності було розглянуто для задач як в декартовій, так і в циліндричній системах координат.

Практична цінність. Запропоновані в дисертації математичні моделі, обчислювальні алгоритми та програмне забезпечення розширюють можливості системи САРПОК, а результати, отримані на основі проведених обчислювальних експериментів, можуть використовуватися при проектуванні гідротехнічних споруд, виробів авіаційної та ракетно-космічної техніки, атомної енергетики, металургії, а також при дослідженнях вологотеплопереносу в грунтах.

Достовірність наукових положень, висновків і практичних рекомендацій, що містяться в дисертації, підтверджується строгими теоретичними викладками і результатами розв’язків тестових прикладів.

Апробація роботи. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на Шостій міжнародній науковій конференції ім. академіка М.Кравчука (Київ, 1997), Міжнародній конференції “Питання оптимізації обчислень” (Київ, 1997), школі-семінарі “Прикладнi проблеми математики, механiки та iнформатики” (Рівне, 1997), наукових семінарах Інституту кібернетики ім. В. М. Глушкова НАН України (1997-1998).

Публікації. За матеріалами проведених досліджень опубліковано 7 наукових праць.

Особистий внесок дисертанта в роботах, виконаних у співавторстві, полягає в участі у постановці математичних задач, отриманні основних рівнянь, розробці чисельних алгоритмів, створенні програм розрахунків, інтерпретації результатів та участі в написанні статей.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, трьох глав, висновків та списку літератури. Загальний обсяг роботи складає 150 сторінок. Бібліографія містить 126 найменувань. Текст дисертації містить 19 рисунків та 3 таблиці.

Автор вважає за свій обов’язок висловити шану й подяку консультанту д-ру фіз.-мат. наук, проф. В.С. Дейнеці за слушні зауваження та конструктивні рекомендації щодо дисертаційної роботи.

ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність теми досліджень, формулюється мета та основні завдання роботи, наукова новизна одержаних результатів та їх практична цінність. Наводиться стислий зміст розділів дисертації.

У першій главі роботи розглянуті математичні моделі стаціонарних процесів у середовищах, що містять в собі тонкі слабко- і сильнопроникні включення.

Постановка диференціальної задачі в декартових координатах має наступний вигляд. Нехай в кожній з обмежених двовимірних областей , що не перетинаються між собою, з лінією їх розділу (, рисунок) і зовнішньою границею (, ) має місце рівняння

(1)

Тут - відомі функції, причому ; u=u(x,y) - шукана функція.

На границі задані змішані крайові умови

(2)

(3)

, (4)

де - відомі функції; n - зовнішня нормаль до .

Рисунок

Для врахування впливу тонкого слабко- і сильнопроникного включення на фізичний процес використовуються неоднорідні умови спряження неідеального контакту, що записуються у вигляді

(5)

(6)

Тут , - функція джерела або стоку на відрізку , n - нормаль до включення , направлена з області 1 в область 2; [ . ] - стрибок відповідної функції на .

Означення 1. Класичним розв’язком змішаної крайової задачі (1)-(6) з розривним розв’язком і розривним потоком називається функція , що задовольняє рівняння (1).

Тут М - множина функцій v(x,y), які на кожній з областей належать класу функцій , мають обмежені неперервні другі частинні похідні на i (i=1,2) і задовольняють неоднорідні змішані крайові умови (2)-(4) та неоднорідні умови спряження (5), (6).

Для крайової задачі (1)-(6) сформульовано дві еквівалентні узагальнені задачі.

Варіаційна задача. Необхідно знайти функцію , яка надає мінімум функціоналу енергії:

(7)

де Н - множина функцій, які належать простору С.Л.Соболєва і задовольняють головну крайову умову (2).

Задача в слабкій постановці. Треба знайти функцію , яка для довільної функції задовольняє інтегральне співвідношення

(8)

Тут - множина функцій v(x,y), які на кожній з областей i належать простору С. Л. Соболєва і набувають нульового значення на частині 1 границі .

Мають місце

Теорема 1. Варіаційна задача (7) і задача в слабкій постановці (8) мають і причому єдиний спільний розв’язок Якщо розв’язок варіаційної задачі або, що те ж саме, задачі в слабкій постановці - неперервний і неперервно диференційований на кожній з областей і має обмежені неперервні другі частинні похідні на , то - єдиний класичний розв’язок крайової задачі (1)-(6) з розривним розв’язком і розривним потоком на , а крайові умови (3), (4) і умови спряження (5), (6) виконуються автоматично.

Теорема 2. Класичний розривний розв’язок крайової задачі (1)-(6) є єдиним розв’язком варіаційної задачі (7) і задачі в слабкій постановці (8).

Означення 2. Функція , що є розв’язком варіаційної задачі (7) (або, що те саме, задачі в слабкій постановці (8)), називається узагальненим розривним розв’язком крайової задачі (1)-(6).

Постановка диференціальної задачі, що описує усталені процеси в багатошарових областях з тонкими включеннями, в циліндричних координатах для осесиметричного випадку має такий вигляд:

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

де - відома функція, область задовольняє умову , а всі інші позначення аналогічні задачі в декартових координатах.

Означення 3. Класичним розв’язком змішаної крайової задачі (9)-(14) з розривним розв’язком і розривним потоком називається функція , що на області задовольняє рівняння (9). Тут М - множина функцій , що задовольняють неоднорідні змішані крайові умови (10)-(12) та неоднорідні умови спряження (13), (14).

Для крайової задачі (9)-(14) одержано дві еквівалентні узагальнені задачі.

Варіаційна задача. Необхідно знайти функцію , яка надає мінімум функціоналу енергії

. (15)

Задача в слабкій постановці. Треба знайти функцію , яка для довільної функції задовольняє інтегральне співвідношення

(16)

Мають місце теореми про існування і єдиність розв’язку узагальнених задач та про співвідношення узагальненого розв’язку з класичним розв’язком задачі (9)-(14), цілком аналогічні теоремам 1 і 2.

У другій главі розглянуті обчислювальні схеми для задач з розривними розв’язками та розривними потоками. Чисельний розв’язок таких задач відшукується як наближений розв’язок узагальненої задачі у варіаційній постановці. Дискретизація узагальненої задачі реалізована за допомогою методу скінченних елементів з використанням класів кусково-поліноміальних розривних функцій різного порядку точності. При цьому кожна з областей багатокомпонентної двовимірної області з розрізами ( може бути і багатозв’язною) розбивається на скінченне число трикутних елементів, загальна кількість яких на області буде N. Потім на кожному з елементів вводиться необхідна кількість вузлових точок (залежно від порядку апроксимації), які нумеруються спеціальним чином.

Наближений узагальнений розв’язок знаходимо в класі () кусково-поліноміальних функцій , розривних на включеннях, неперервних на j, що є поліномами степеня k на кожному з елементів тріангуляції області . Допустимі функції задовольняють головну крайову умову у вузлових точках, розміщених на . Підставляючи в функціонал енергії, отримуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР), з якої знаходимо наближений узагальнений розв’язок

, (17)

де vi - значення шуканої функції в i-й вузловій точці області ; Q - кількість вузлових точок розбиття області . Матриця А є симетричною і додатно визначеною.

У дисертаційній роботі наведено точний вигляд коефіцієнтів матриці А і вектора b для класів функцій при k=1,2 (тобто для кусково-лінійних і кусково-квадратичних розривних допустимих функцій) для задач в декартових і циліндричних координатах.

Для задач в декартових і циліндричних координатах досліджені питання збіжності наближених розв’язків і точності апроксимації. Має місце

Теорема 3. Нехай класичний розв’язок u змішаної крайової задачі в декартових координатах (1)-(6) (або задачі в циліндричних координатах (9)-(14)) з розривним розв’язком і розривним потоком на кожній з областей i (i=1,2) має обмежені k+1-ші частинні похідні, а функція на 1 є поліномом не вище k-го степеня. Тоді для наближеного узагальненого розв’язку МСЕ (k=1,2) справедлива оцінка

де h - найбільша з довжин сторін усіх трикутників тріангуляції області , k - степінь поліномів МСЕ. При k=1 , - половина величини найбільшого з кутів усіх трикутників розбиття області ; при k=2 , - найменша з величин кутів згаданих трикутників;

Зауваження. Якщо в умовах теореми функція не є поліномом степеня k, але на 1 має обмежену k+1-шу похідну, то

де - енергетична норма, яка в декартових координатах має вигляд

,

а в циліндричних -

.

У третій главі описана побудова автоматизованого програмного комплексу в рамках системи САРПОК для розрахунку фізичних процесів у багатокомпонентних анізотропних середовищах з тонкими включеннями. Розглянута програмна реалізація обчислювальних алгоритмів МСЕ, що були описані в другій главі, для задач в декартових та циліндричних координатах.

Детально описані всі підсистеми цього програмного комплексу. Для введення вхідної інформації стосовно геометрії області і тонких включень, а також фізичних параметрів середовища і зовнішніх впливів, класів допустимих функцій і параметрів скінченно-елементного розбиття області створений спеціальний інтерактивний графічний інтерфейс.

Далі розглянуті алгоритми розбиття багатокомпонентної області з розрізами на скінченні елементи (трикутники), введення на них необхідної кількості вузлових точок в залежності від порядку апроксимації МСЕ, а також початкової нумерації вузлів. Відомо, що перенумерація вузлів, виконана спеціальним чином, дає велику перевагу в комп’ютерній пам’яті та в часі, що є необхідним для розрахунків. У роботі розглянута перенумерація вузлів за допомогою двох різних підходів: методу КатхіллаМаккі і методу паралельних перерізів відповідно для профільної і блочної схем зберігання елементів розрідженої симетричної матриці А системи лінійних алгебраїчних рівнянь (17). Наведено порівняльний аналіз ефективності цих двох методів.

Для задач у декартових і циліндричних координатах розглянуті питання формування дискретних рівнянь МСЕ для допустимих функцій-поліномів першого і другого степеня. Залежно від схеми зберігання матриці реалізовані різні алгоритми розсилки її елементів.

Для розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь було застосовано і порівняно такі методи: метод Холесського для матриць розрідженої структури та явний і неявний двошаровий ітераційний метод. Програмна реалізація цих методів була оптимізована спеціально для профільної і блочної схем зберігання елементів матриці А.

Чисельна реалізація тестових задач і прикладів дозволила розглянути питання ефективності алгоритмів, що були застосовані для отримання наближеного розв’язку, а також провести їх порівняльний аналіз. Показано, що застосування МСЕ на основі класів кусково-лінійних і кусково-квадратичних функцій для вищенаведених способів зберігання матриці і методів розв’язання системи алгебраїчних рівнянь є високоефективним і дозволяє отримати високоточні результати. Обраний метод перенумерації вузлів, зберігання елементів матриці і її розв’язку не впливає на кінцеву точність отриманих результатів для фіксованої кількості елементів розбиття області. Разом з тим внаслідок значного виграшу в машинній пам’яті і в часі, застосування процедур перенумерації, спеціальних схем зберігання кінцевої матриці СЛАР та її розв’язання суттєво зменшує загальні витрати на отримання чисельного розв’язку задач з розривним розв’язком і розривним потоком.

У роботі було досліджено і порівняно переваги і недоліки профільної схеми і методу паралельних перерізів при перенумерації вузлів розбиття, формуванні і розв’язанні кінцевої СЛАР. Застосування блочної схеми зберігання матриці дозволяє в декілька разів знизити вимоги до машинної пам’яті порівняно з профільною схемою. Крім того, для розв’язання СЛАР, матриця якої переупорядкована за допомогою методу паралельних перерізів, треба менше часу, ніж для переупорядкованої профільним методом. При цьому для отримання самої перенумерації та блочної структури матриці необхідно трохи більше часу, ніж для профільного переупорядкування, і алгоритми, за допомогою яких вона будується і експлуатується, є набагато складнішими.

При дослідженні ітераційних методів розв’язку СЛАР було показано, що при їх застосуванні внаслідок дуже великої різниці в кількості ітерацій, необхідних для досягнення конкретної точності, неявна схема в загальному випадку працює набагато швидше, ніж явна. Оскільки розв’язання СЛАР, матриця якої була попередньо переупорядкована методом паралельних перерізів, потребує набагато менше часу, ніж для профільного переупорядкування, то застосування цього переупорядкування дає значний виграш у часі при застосуванні як у явній, так і в неявній ітераційних схемах.

Показано, що застосування кусково-лінійної і кусково-квадратичної апроксимації для більшості задач дає наближені розв’язки однакового порядку точності. Але було знайдено і досліджено класи задач з сильно осцилюючим за просторовими координатами розв’язком, застосування до яких МСЕ другого порядку точності дозволило отримати цілком задовільні результати, в той час як застосування МСЕ першого порядку точності не дозволило в принципі розв’язати задачу.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ

1.

1.

1.

1.

1.

1.

Основні положення дисертації опубліковані в таких працях:

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

ДІАНОВА Тетяна Володимирівна. Математичне моделювання процесів в областях з включеннями. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Інститут кібернетики імені В. М. Глушкова НАН України, Київ, 1998.

Розглянуті актуальні питання математичного моделювання фізичних процесів у складних областях з тонкими включеннями. Одержані оригінальні узагальнені постановки задач з розривними розв’язками і розривними потоками, показано існування та єдиність узагальнених розв’язків. Запропоновані і теоретично обгрунтовані високоточні схеми методу скінченних елементів для розв’язку задач з розривними розв’язками та розривними потоками. Розглянуті питання програмної реалізації обчислювальних алгоритмів у рамках системи САРПОК і підвищення ефективності систем скінченно-елементного розрахунку розривних полів.

Ключові слова : математичне моделювання, задачі з розривними розв’язками і розривними потоками, узагальнені задачі, метод скінченних елементів, програмна реалізація.

ДИАНОВА Татьяна Владимировна. Математическое моделирование процессов в областях с включениями. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. - Институт кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины, Киев, 1998.

Рассмотрены актуальные вопросы математического моделирования физических процессов в сложных областях с тонкими включениями. Получены оригинальные обобщенные постановки задач с разрывными решениями и разрывными потоками, показано существование и единственность обобщенных решений. Предложены и теоретически обоснованы высокоточные схемы метода конечных элементов для решения задач с разрывными решениями и разрывными потоками. Рассмотрены вопросы программной реализации вычислительных алгоритмов в рамках системы САРПОК и повышения эффективности систем конечно-элементного расчета разрывных полей.

Ключевые слова : математическое моделирование, задачи с разрывными решениями и разрывными потоками, обобщенные задачи, метод конечных элементов, программная реализация.

DIANOVA Tatyana Vladimirovna. Mathematical simulation of the processes at the fractured domains. - Manuscript.

Thesis for a Dr. Philosophy by the speciality 01.05.02 - mathematical modelling and numerical methods. - V. M. Glushkov Institute of Cybernetics, NAS of Ukraine, Kyiv, 1998.

Actual problems related to mathematical modeling of the physical processes in complex domains with thin inclusions are considered. It is obtained the original generalized settings of the tasks with discontinuous solutions and streams; the existence and uniqueness of generalized solutions is shown. High-precision systems of the finite-element method capable for solving tasks with discontinuous solutions and streams are proposed and theoretically substantiated. Some issues connected with program realization of computing algorithms within the framework of the system SARPOK and efficiency increasing of finite-element systems for calculation of discontinuous fields are considered.

Key words: mathematical modeling, tasks with discontinues solutions and streams, generalized tasks, finite-element method, program realization.