КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

ЄЛІШЕВИЧ Михайло Аркадійович

УДК 517.928

АСИМПТОТИЧНЕ ІНТЕГРУВАННЯ ЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ З ВИРОДЖЕННЯМ ТА ОСОБЛИВОЮ ТОЧКОЮ В КОМПЛЕКСНОМУ БАНАХОВОМУ ПРОСТОРІ

Спеціальність 01.01.02 - диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ - 2003

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі вищої математики

Київського національного університету будівництва і архітектури

Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник:

кандидат фізико-математичних наук, професор

Сотніченко Микола Адамович,

Київський національний університет будівництва і

архітектури,

професор кафедри вищої математики

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Яковець Василь Павлович,

Ніжинський державний педагогічний університет

імені Миколи Гоголя,

ректор

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Підченко Юрій Петрович,

Національний педагогічний університет

імені Михайла Драгоманова (м. Київ),

доцент кафедри вищої математики

Провідна установа:

Національний технічний університет України

“Київський політехнічний інститут”,

навчально-науковий комплекс

“Інститут прикладного системного аналізу”

НАН України та Міносвіти і науки України

Захист відбудеться “23” червня 2003 р. о 16 годині 30 хвилин

на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.37 в

Київському національному університеті імені Тараса Шевченка

за адресою: 03022, м. Київ, 22, просп. Академіка Глушкова, 6, корпус 7,

механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці

Київського національного університету імені Тараса Шевченка

(м. Київ, вул. Володимирська, 58).

Автореферат розіслано “23” травня 2003 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради М.П.Моклячук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність проблеми. Лінійні диференціальні рівняння в комплексному банаховому просторі зустрічаються при розв’язанні багатьох прикладних задач. Точний аналітичний розв’язок таких рівнянь вдається отримати далеко не завжди. Вони досліджуються різноманітними наближеними методами, важливе місце серед яких належить асимптотичним методам, що базуються на ідеї розвинення шуканих розв’язків у ряд за степенями параметра або незалежної змінної. Ці методи беруть початок від робот Ж.Б.Фур’є, Ж.Ш.Ф.Штурма, Ж.Ліувілля, Дж.Горна, А.Пуанкаре, В.А.Стеклова і отримали широке розповсюдження в багатьох країнах світу завдяки працям Е.А.Коддингтона, Н.Левінсона, В.Вазова, М.П.Єругіна, А.М.Тихонова, М.М.Крилова, М.М.Боголюбова, Ю.О.Митропольського, М.І.Вішика, Л.А.Люстерніка, В.П.Маслова, В.С.Пугачьова, С.О.Ломова, А.Б.Васильєвої, В.Ф.Бутузова, А.М.Самойленка, Ю.Л.Далецького, М.Г.Крейна, С.Ф.Фещенка, М.І.Шкіля, М.І.Терещенка, М.А.Сотніченка, Ю.П.Підченка, В.К.Григоренка, Г.С.Жукової, В.П.Яковця та багатьох інших.

Актуальним напрямком в теорії лінійних диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами є рівняння з особливою точкою та оператором при похідній. Такі рівняння досліджувались в працях багатьох авторів. Зокрема, випадок з тотожним оператором при похідній розглянуто в роботах М.А.Сотніченка, Г.П.Давидюк, І.В.Денисова. Випадок з виродженим оператором при похідній, без особливої точки розглянуто в роботах Б.В.Осипова, С.П.Зубової, К.І.Чернишова, А.Г.Руткаса, Б.Кведараса, І.Маціоніса. Випадок з виродженим головним членом ряду розвинення оператора при похідній за степенями незалежної змінної, без особливої точки розглянуто в роботах М.О.Сидорова, Б.В.Логінова, І.В.Денисова, Б.Кведараса.

В той же час в комплексному банаховому просторі диференціальні рівняння з оператором при похідній, в якого вироджений головний член ряду розвинення за степенями незалежної змінної, та особливою точкою раніше не розглядались.

Об’єкт дослідження. В комплексному банаховому просторі розглядається лінійне однорідне диференціальне рівняння першого порядку

, (1)

де - незалежна змінна (комплексна скалярна); - шукана вектор-функція; - натуральне число; і - лінійні оператори, які діють в і для , , в деякому відкритому секторі -площини з кутом, меншим , допускають асимптотичні розвинення

, .

Тут , - замкнені лінійні нормально розв’язні оператори. Крім того, вважається, що , - фредгольмові оператори, пучок операторів регулярний, а оператор має нульове власне значення (ізольовану точку спектру), - ціле невід’ємне число, степінь многочлена - головної частини ряду П.А.Лорана за змінною обмеженого оберненого до оператора, якщо він існує, або ж узагальненого оберненого до оператора, якщо такий обернений оператор не існує.

Поряд з однорідним рівнянням (1) розглядається неоднорідне рівняння

, (2)

де - комплексне число, - вектор-функція з , яка у вказаній вище частині -площини допускає асимптотичне розвинення

.

Мета роботи полягає в дослідженні умов існування частинних формальних розв’язків диференціальних рівнянь (1), (2), в побудові вказаних розв’язків з використанням розвинень за степенями незалежної змінної, в дослідженні асимптотичної поведінки отриманих розв’язків поблизу особливої точки.

Методи дослідження. Для розв’язання поставлених задач використовуються методи теорії лінійних операторів у банахових просторах (збурення, розв’язність лінійних операторних рівнянь, узагальнений обернений оператор, власні числа, жорданові ланцюжки та набори векторів, узагальнені жорданові ланцюжки векторів), метод невизначених коефіцієнтів, асимптотичні методи.

Основні результати. Наукова новизна роботи полягає у наступному:

- встановлено, що частинні формальні розв’язки однорідного рівняння поділяються на дві групи: відповідні власним числам пучка операторів та відповідні нульовому власному числу оператора , знайдено умови їх існування, визначено алгоритми їх побудови, доведено їх лінійну незалежність;

- розроблено алгоритм побудови частинного формального розв’язку неоднорідного рівняння в “нерезонансному” та “резонансному” випадках;

- досліджено асимптотичну поведінку отриманих розв’язків поблизу особливої точки.

Теоретична та практична цінність. Робота в цілому носить теоретичний характер. В ній розроблено нові асимптотичні алгоритми побудови частинних формальних розв’язків диференціальних рівнянь (1), (2), знайдено явний вигляд коефіцієнтів формальних розвинень за степенями незалежної змінної. Отримані результати можуть бути використані для розв’язання прикладних задач різноманітних галузей науки та техніки.

Апробація роботи. Результати роботи доповідались та обговорювались:

- на 55-58-й науково-технічних конференціях Київського державного технічного університету будівництва і архітектури (1994-1997 рр.),

- на науковій конференції “Математичні методи в науково-технічних дослідженнях” (м. Київ, КДТУБА, 15-16 травня 1996 р.),

- на П’ятій міжнародній науковій конференції імені академіка М.Кравчука (м. Київ, НТУУ(КПІ), 16-18 травня 1996 р.),

- на науковому семінарі відділу звичайних диференціальних рівнянь та теорії нелінійних коливань Інституту математики НАН України (керівник - академік НАН України А.М.Самойленко, 1997, 1999, 2002 рр.),

- на науковому семінарі кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка (керівник - член-кореспондент НАН України М.О.Перестюк, 1998, 2000 рр.),

- на науковому семінарі з теорії диференціальних рівнянь у Національному педагогічному університеті імені Михайла Драгоманова (керівник - доктор фізико-математичних наук, професор, академік АПН України М.І.Шкіль, 1999 р.).

Публікації. Основні результати роботи опубліковано в [1-5].

Структура та обсяг роботи. Робота містить перелік умовних позначень, вступ, три розділи, висновки і список використаних джерел, який має 90 назв. Повний обсяг роботи складає 139 сторінок друкованого тексту.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми роботи, викладено задачі і методи досліджень, сформульовано основні результати.

Розділ 1 містить огляд літератури за темою досліджень і допоміжні відомості.

У підрозділі 1.1 дано огляд робіт з застосування асимптотичних методів у теорії лінійних диференціальних рівнянь.

У підрозділі 1.2 дано огляд робіт з теорії лінійних диференціальних рівнянь з виродженням.

У підрозділі 1.3 викладено відомості з теорії лінійних операторів у банахових просторах.

Розділ 2 присвячено побудові частинних формальних розв’язків однорідного рівняння.

У підрозділі 2.1 сформульовано постановку задачі.

У підрозділі 2.2 побудовано частинні формальні розв’язки рівняння (1), відповідні власному числу (ізольованій точці спектру) пучка операторів . Вони мають наступний вигляд:

, (3)

де - скалярна функція, -вектор-функція з , які зображаються у вигляді формальних розвинень

, , (4)

- натуральне число, яке визначається як довжина жорданового ланцюжка -приєднаних векторів, тут можна взяти будь-який фіксований корінь степеня з .

Надалі введемо наступні позначення: , , - лінійні оператори; - узагальнений обернений оператор до оператора ; - -наближений розв’язок, який отримується з розв’язку (3), (4) шляхом обривання розвинень (4) на -му члені і задовольняє в точці ту саму початкову умову, що й ; - скалярна функція, отримана з функції (4) шляхом обривання розвинення на -му члені; - нульова квадратна матриця -го порядку; - одинична матриця -го порядку; - квазідіагональна матриця -го порядку; - символ Л.Кронекера; - деяка дійсна стала, незалежна від .

Коефіцієнти розвинень (4) істотно залежать від відповідного нульовому власному числу оператора повного - жорданового набору векторів.

У пункті 2.2.1 розглянуто випадок одного жорданового ланцюжка -приєднаних векторів одиничної довжини.

Теорема 1. Якщо власному числу пучка операторів відповідає один власний вектор, який не має -приєднаних векторів, то рівняння (1) має частинний формальний розв’язок вигляду (3), (4) для .

Доведення теореми полягає в побудові алгоритму визначення коефіцієнтів розвинень (4).

Теорема 2. Якщо виконується умова теореми 1, то в тій частині -площини, яка розглядається, для досить великих існує такий точний розв’язок рівняння (1), для якого побудований формальний розв’язок (3), (4) з тією самою початковою умовою є його асимптотичним зображенням для . Для -наближеного розв’язку для будь-якого натурального виконується нерівність

. (5)

У пункті 2.2.2 розглянуто випадок одного жорданового ланцюжка -приєднаних векторів скінченної довжини.

Теорема 3. Якщо власному числу пучка операторів відповідає один жордановий ланцюжок -приєднаних векторів довжини , , і, крім того, виконується умова , де та - елементи нуль-просторів операторів і відповідно, вибрані таким чином, щоб виконувались рівності

, ,

,

то рівняння (1) має частинних формальних розв’язків вигляду (3), (4).

Для побудованих розв’язків має місце асимптотична за оцінка

. (6)

У пункті 2.2.3 розглянуто випадок скінченної кількості жорданових ланцюжків -приєднаних векторів одиничної довжини.

Теорема 4. Якщо власному числу пучка операторів відповідають , , власних векторів, які не мають -приєднаних векторів, і, крім того, всі власні значення -матриці , де , , та , , - базисні набори елементів нуль-просторів операторів і відповідно, вибрані таким чином, щоб виконувались рівності

, ,

прості, то рівняння (1) має частинних формальних розв’язків вигляду (3), (4) для .

Для побудованих розв’язків має місце асимптотична за оцінка (5).

У пункті 2.2.4 розглянуто випадок скінченної кількості жорданових ланцюжків -приєднаних векторів скінченної однакової довжини.

Теорема 5. Якщо власному числу пучка операторів відповідають , , жорданових ланцюжків -приєднаних векторів довжини , , кожен і, крім того, всі власні значення -матриці , де , , та , , - базисні набори елементів нуль-просторів операторів і відповідно, вибрані таким чином, щоб виконувались рівності

, , ,

, ,

прості і відмінні від нуля, то рівняння (1) має частинних формальних розв’язків вигляду (3), (4).

Для побудованих розв’язків має місце асимптотична за оцінка (6).

У пункті 2.2.5 розглянуто випадок скінченної кількості жорданових ланцюжків -приєднаних векторів скінченної довільної довжини.

Теорема 6. Якщо власному числу пучка операторів відповідають , , жорданових ланцюжків -приєднаних векторів довжини відповідно , , кожен і, крім того, рівняння

, ,

в яких , , та , , - базисні набори елементів нуль-просторів операторів і відповідно, вибрані таким чином, щоб виконувались рівності

, , , , ,

, , , ,

мають тільки прості відмінні від нуля корені, то рівняння (1) має частинних формальних розв’язків вигляду (3), (4) з заміною на , .

Для побудованих розв’язків має місце асимптотична за оцінка

, .

У підрозділі 2.3 побудовано частинні формальні розв’язки рівняння (1), відповідні нульовому власному числу оператора . Вони мають наступний вигляд:

, (7)

де - скалярна функція, - вектор-функція з , які зображаються у вигляді формальних розвинень

, , (8)

- натуральне число, яке визначається як довжина жорданового ланцюжка -приєднаних векторів, тут можна взяти будь-який фіксований корінь степеня з .

У окремих випадках рівняння (1) має також частинний формальний розв’язок вигляду

, (9)

де - натуральне число, яке визначається як довжина узагальненого -жорданового ланцюжка векторів, зменшена на 1, - скалярна функція, - вектор-функція з , які зображаються у вигляді формальних розвинень (8) для .

Надалі введемо наступні позначення: - узагальнений обернений оператор до оператора ; , де підсумовування ведеться за всіма можливими наборами з натуральних індексів, сума яких дорівнює , - лінійні оператори; - -наближений розв’язок, який отримується з розв’язку (7) або (9), (8) шляхом обривання розвинень (8) на -му члені і задовольняє в точці ту саму початкову умову, що й ; - скалярна функція, отримана з функції (8) шляхом обривання розвинення на -му члені.

Коефіцієнти розвинень (8) істотно залежать від відповідного нульовому власному числу оператора повного -жорданового набору векторів.

У пункті 2.3.1 розглянуто випадок одного жорданового ланцюжка -приєднаних векторів одиничної довжини.

Теорема 7. Якщо нульовому власному числу оператора відповідає один власний вектор, який не має -приєднаних векторів, і, крім того, виконується умова

, (10)

де та - елементи нуль-просторів операторів і відповідно, вибрані таким чином, щоб виконувалась рівність , то рівняння (1) має частинний формальний розв’язок вигляду (7), (8) для .

Теорема 8. Якщо виконується умова теореми 7, то в тій частині -площини, яка розглядається, для досить великих існує такий точний розв’язок рівняння (1), для якого побудований формальний розв’язок (7), (8) з тією самою початковою умовою є його асимптотичним зображенням для . Для -наближеного розв’язку для будь-якого натурального виконується нерівність

. (11)

Якщо умова (10) не виконується, то треба розглядати більш складну умову.

Теорема 9. Якщо нульовому власному числу оператора відповідає один власний вектор, який не має -приєднаних векторів, і, крім того, для деякого натурального виконується умова

, ,

,

то рівняння (1) має частинний формальний розв’язок вигляду (9), (8).

Для побудованого розв’язку має місце асимптотична за оцінка

.

У пункті 2.3.2 розглянуто випадок одного жорданового ланцюжка -приєднаних векторів скінченної довжини.

Теорема 10. Якщо нульовому власному числу оператора відповідає один жордановий ланцюжок -приєднаних векторів довжини , , і, крім того, виконується умова (10), де та - елементи нуль-просторів операторів і відповідно, вибрані таким чином, щоб виконувались рівності

, ,

,

то рівняння (1) має частинних формальних розв’язків вигляду (7), (8).

Для побудованих розв’язків має місце асимптотична за оцінка

. (12)

У пункті 2.3.3 розглянуто випадок скінченної кількості жорданових ланцюжків -приєднаних векторів одиничної довжини.

Теорема 11. Якщо нульовому власному числу оператора відповідають , , власних векторів, які не мають -приєднаних векторів, і, крім того, всі власні значення -матриці , де , , та , , - базисні набори елементів нуль-просторів операторів і відповідно, вибрані таким чином, щоб виконувались рівності

, ,

прості і відмінні від нуля, то рівняння (1) має частинних формальних розв’язків вигляду (7), (8) для .

Для побудованих розв’язків має місце асимптотична за оцінка (11).

Теорема 12. Якщо нульовому власному числу оператора відповідають , , власних векторів, які не мають -приєднаних векторів, і, крім того, всі власні значення матриці прості, одне з них дорівнює нулю та для деякого натурального виконується умова

, ,

,

де та - елементи нуль-просторів матриць та відповідно, то рівняння (1) має частинних формальних розв’язків вигляду (7), (8) для і один вигляду (9), (8).

Для перших розв’язків з них має місце асимптотична за оцінка

,

для останнього розв’язку має місце асимптотична за оцінка

.

У пункті 2.3.4 розглянуто випадок скінченної кількості жорданових ланцюжків -приєднаних векторів скінченної однакової довжини.

Теорема 13. Якщо нульовому власному числу оператора відповідають , , жорданових ланцюжків -приєднаних векторів довжини , , кожен і, крім того, всі власні значення -матриці , де , , та , , - базисні набори елементів нуль-просторів операторів і відповідно, вибрані таким чином, щоб виконувались рівності

, , ,

, ,

прості і відмінні від нуля, то рівняння (1) має частинних формальних розв’язків вигляду (7), (8).

Для побудованих розв’язків має місце асимптотична за оцінка (12).

У пункті 2.3.5 розглянуто випадок скінченної кількості жорданових ланцюжків -приєднаних векторів скінченної довільної довжини.

Теорема 14. Якщо нульовому власному числу оператора відповідають , , жорданових ланцюжків -приєднаних векторів довжини відповідно , , кожен і, крім того, рівняння

, ,

в яких , , та , , - базисні набори елементів нуль-просторів операторів і відповідно, вибрані таким чином, щоб виконувались рівності

, , , , ,

, , , ,

мають тільки прості відмінні від нуля корені, то рівняння (1) має частинних формальних розв’язків вигляду (7), (8) з заміною на , .

Для побудованих розв’язків має місце асимптотична за оцінка

, .

У підрозділі 2.4 доведено лінійну незалежність частинних формальних розв’язків, побудованих у підрозділах 2.2 та 2.3.

У підрозділі 2.5 дано приклади.

Розділ 3 присвячено побудові частинних формальних розв’язків неоднорідного рівняння.

У підрозділі 3.1 сформульовано постановку задачі.

У підрозділі 3.2 вказано два випадки, які далі розглядаються при її розв’язанні: “нерезонансний”, коли величина не дорівнює жодному з власних значень пучка операторів , та “резонансний”, коли вона дорівнює одному з них (ізольованій точці спектру). Однак шуканий розв’язок у обох випадках має вигляд:

, (13)

де - вектор-функція з , яка зображається у вигляді формального розвинення

, (14)

коефіцієнти якого істотно залежать від вказаного вище випадку, - ціле число, рівне нулю в “нерезонансному” випадку та натуральне в “резонансному”.

У “резонансному” випадку рівняння (2) може мати також частинний формальний розв’язок вигляду

, (15)

де - натуральне число, яке визначається як вимірність власного підпростору оператора , скалярні величини , , визначаються з диференціальних рівнянь

, , (16)

, , і - вектор-функції з , і , , - скалярні функції, які зображаються у вигляді формальних розвинень

, , , ,

. (17)

Надалі введемо наступні позначення: , , - лінійні оператори; - узагальнений обернений оператор до оператора (в “резонансному” випадку); , де підсумовування ведеться за всіма можливими наборами з натуральних індексів, сума яких дорівнює , - лінійні оператори; - -наближений розв’язок, який отримується з розв’язку (13), (14) або (15) - (17) шляхом обривання розвинень (14) або (17) на -му члені і задовольняє в точці ту саму початкову умову, що й .

У підрозділі 3.3 побудовано частинний формальний розв’язок рівняння (2) в “нерезонансному” випадку.

Теорема 15. Якщо величина не дорівнює жодному з власних чисел пучка операторів , то рівняння (2) має частинний формальний розв’язок вигляду (13), (14) для .

Теорема 16. Якщо виконується умова теореми 15, то в тій частині -площини, яка розглядається, для досить великих існує такий точний розв’язок рівняння (2), для якого побудований формальний розв’язок (13), (14) з тією самою початковою умовою є його асимптотичним зображенням для . Для -наближеного розв’язку для будь-якого натурального виконується нерівність

. (18)

У підрозділі 3.4 побудовано частинний формальний розв’язок рівняння (2) в “резонансному” випадку. Вигляд цього розв’язку істотно залежить від базисного набору елементів нуль-простору оператора .

У пункті 3.4.1 розглянуто випадок одного власного вектора.

Теорема 17. Якщо власному числу пучка операторів відповідає один власний вектор і, крім того, виконується умова

, (19)

де та - елементи нуль-просторів операторів та відповідно, то рівняння (2) має частинний формальний розв’язок вигляду (13), (14) для .

Для побудованого розв’язку має місце асимптотична за оцінка (18).

Якщо умова (19) не виконується, то треба розглядати більш складну умову.

Теорема 18. Якщо власному числу пучка операторів відповідає один власний вектор і, крім того, для деякого натурального виконується умова

, ,

,

то рівняння (2) має частинний формальний розв’язок вигляду (13), (14) для .

Для побудованого розв’язку має місце асимптотична за оцінка (18).

Теорема 19. Якщо власному числу пучка операторів відповідає один власний вектор, який не має -приєднаних векторів, то рівняння (2) має частинний формальний розв’язок вигляду (15) - (17) для .

Для побудованого розв’язку має місце асимптотична за оцінка

. (20)

У пункті 3.4.2 розглянуто випадок скінченної кількості лінійно незалежних власних векторів.

Теорема 20. Якщо власному числу пучка операторів відповідають , , лінійно незалежних власних векторів і, крім того, матриця невироджена, де , , та , , - базисні набори елементів нуль-просторів операторів та відповідно, то рівняння (2) має частинний формальний розв’язок вигляду (13), (14) для .

Для побудованого розв’язку має місце асимптотична за оцінка (18).

Якщо матриця вироджена, то треба розглядати більш складну умову. Допустимо, що її нульовому власному значенню відповідає один елементарний дільник тієї ж кратності. Позначимо через узагальнену обернену матрицю до , та - елементи нуль-просторів матриць та відповідно. Розглянемо наступні квадратні матриці -го порядку:

, ,

(тут ),

,

де підсумовування ведеться за всіма можливими наборами з натуральних індексів, більших або рівних 2, сума яких дорівнює .

Теорема 21. Якщо власному числу пучка операторів відповідають , , лінійно незалежних власних векторів, матриця має нульове власне число, якому відповідає один елементарний дільник такої ж кратності, і, крім того, для деякого натурального виконується умова

, ,

,

то рівняння (2) має частинний формальний розв’язок вигляду (13), (14) для .

Для побудованого розв’язку має місце асимптотична за оцінка (18).

Якщо нульовому власному числу матриці відповідає більше одного елементарного дільника, та вона відмінна від нульової, то треба використати оператор проектування нуль-простору оператора на нуль-простір матриці . Якщо ж матриця є нульовою, то замість неї треба розглядати матрицю , збільшивши значення на 1, і т.д.

Теорема 22. Якщо власному числу пучка операторів відповідають , , лінійно незалежних власних векторів, які не мають -приєднаних векторів, і, крім того, всі власні значення матриці прості, то рівняння (2) має частинний формальний розв’язок вигляду (15) - (17).

Для побудованого розв’язку має місце асимптотична за оцінка (20).

У підрозділі 3.5 дано приклади.

Основні результати дисертації опубліковано в роботах:

1. Єлішевич М.А. Асимптотичне інтегрування лінійного однорідного диференціального рівняння з виродженням та особливою точкою в банаховому просторі // Вісник Київського університету імені Тараса Шевченка. Серія: фізико-математичні науки. - 1997. - Вип. 4. - С. 36-41.

2. Єлішевич М.А. Асимптотичне інтегрування лінійного однорідного диференціального рівняння з виродженням та особливою точкою в комплексному банаховому просторі // Вісник Київського університету імені Тараса Шевченка. Серія: фізико-математичні науки. - 1998. - Вип. 1. - С. 45-55.

3. Елишевич М.А. Асимптотическое интегрирование линейного неоднородного дифференциального уравнения с вырождением и особой точкой // Доповіді НАН України. - 1998, № 11. - С. 24-29.

4. Елишевич М.А. Асимптотическое интегрирование линейных дифференциальных уравнений с вырождением в банаховом пространстве // Математичні методи в науково-технічних дослідженнях. - К.: Ін-т математики, КДТУБА, 1996. - С. 100-107.

5. Елишевич М.А. Асимптотическое интегрирование линейных неоднородных дифференциальных уравнений с вырождением в банаховом пространстве // П’ята Міжнародна наукова конференція імені академіка М.Кравчука (16-18 травня 1996 р., м. Київ). Тези доповідей. - К.: НТУУ (КПІ), 1996. - С. 138.

Єлішевич М.А. Асимптотичне інтегрування лінійних диференціальних рівнянь першого порядку з виродженням та особливою точкою в комплексному банаховому просторі. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2003.

Дисертацію присвячено дослідженню в комплексному банаховому просторі лінійних однорідного і неоднорідного диференціальних рівнянь першого порядку з іррегулярною особливою точкою і оператором при похідній, в якого вироджений головний член розвинення в ряд за степенями незалежної змінної. У дисертації розроблено алгоритм побудови частинних формальних розв’язків, досліджено їх асимптотичну поведінку поблизу особливої точки, доведено їх лінійну незалежність у випадку однорідного рівняння.

Ключові слова: диференціальне рівняння, комплексний банаховий простір, особлива точка, оператор, виродження, розвинення в ряд, асимптотична оцінка, власне число, вектор, функція, жордановий ланцюжок.

Елишевич М.А. Асимптотическое интегрирование линейных дифференциальных уравнений первого порядка с вырождением и особой точкой в комплексном банаховом пространстве. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2003.

Диссертация посвящена исследованию в комплексном банаховом пространстве линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка

,

где - независимая переменная (комплексная скалярная), - искомая вектор-функция, - натуральное число, и - линейные операторы, действующие в и при , , в некотором открытом секторе -плоскости с углом меньше допускающие асимптотические разложения

, .

Здесь , - замкнутые линейные нормально разрешимые операторы. Кроме того, предполагается, что , - фредгольмовы операторы, пучок операторов регулярный, а оператор имеет нулевое собственное значение (изолированную точку спектра), - целое неотрицательное число, степень многочлена - главной части ряда Лорана по ограниченного обратного к оператора, если он существует, или обобщенного обратного к оператора, если такой обратный оператор не существует.

Рассматривается также неоднородное уравнение

,

где - комплексное число, - вектор-функция из , которая в указанной выше части -плоскости допускает асимптотическое разложение

.

Частные формальные решения однородного уравнения делятся на две группы: соответствующие собственным числам пучка операторов (изолированным точкам спектра) и соответствующие нулевому собственному числу оператора .

Решения первой группы имеют вид:

,

где - скалярная функция, - вектор-функция из .

Решения второй группы имеют вид:

, ,

где - скалярная функция, - вектор-функция из , , - натуральные числа.

Найдены условия существования указанных решений, определены алгоритмы их построения, доказана их линейная независимость, исследовано асимптотическое поведение вблизи особой точки.

Частное формальное решение неоднородного уравнения имеет вид:

,

где - вектор-функция из .

Найдены условия его существования, определен алгоритм его построения в “нерезонансном” и “резонансном” случаях, исследовано асимптотическое поведение вблизи особой точки.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, комплексное банахово пространство, особая точка, оператор, вырождение, разложение в ряд, асимптотическая оценка, собственное число, вектор, функция, жорданова цепочка.

Elishevich M.A. Asymptotic Integration of Linear Differential Equations of First Order with Degeneracy and a Singular Point in the Complex Banach Space. - Manuscript.

Thesis for candidate degree by speciality 01.01.02 - differential equations. - Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2003.

The Dissertation is devoted to the investigation in complex Banach space of the linear homogeneous and heterogeneous differential equations of the first order with an irregular singular point for the case, when the main term of the expansion into series by independent variable of the operator next to the derivative of the highest order, is singular. The algorithm of the construction of the partial formal solutions has been created. The asymptotic behaviour of the solutions near singular point is considered. Linear independence of the solutions has been proved for the case of homogeneous equations.

Key words: differential equation, complex Banach space, singular point, operator, degeneracy, expansion into a series, asymptotic estimation, proper number, vector, function, Jordan chain.