НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МЕХАНІКИ ім. С. П. ТИМОШЕНКА

Гладун Олена Юріївна

УДК539.3

ПЛОСКА ЗАДАЧА ТРИВИМІРНОЇ СТІЙКОСТІ

ШАРНІРНО ЗАКРІПЛЕНОЇ ПЛАСТИНИ

З ЦЕНТРАЛЬНОЮ ТРІЩИНОЮ

01.02.0.4 – механіка деформівного твердого тіла

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико – математичних наук

Київ – 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України

Науковий керівник:

академік НАН України, доктор технічних наук, професор

Гузь Олександр Миколайович,

Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, директор.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Бабич Іван Юрійович,

Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України,

завідувач відділом механіки композиційних середовищ;

кандидат фізико-математичних наук,

Хіміч Олександр Миколайлович,

Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України,

старший науковий співробітник;

Провідна установа:

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка,

кафедра Механіки суцільного середовища, м. Київ

Захист дисертації відбудеться 30 вересня 2003р. о 1230 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д.26.166.01 в Інституті механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України за адресою: 03057, Київ-57, вул. Нестерова,3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України за адресою: Київ-57, вул. Нестерова,3.

Автореферат розісланий 21 серпня 2003р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради

доктор фізико-математичних наук О.П. Жук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Елементи тонкостінних конструкцій у формі стержнів, пластин та оболонок широко застосовуються у різних галузях народного господарства. Виробництво нових конструкцій спонукає до поглиблених досліджень широкого кола наукових задач і науково-технічних проблем, що стосуються розрахунків конструкцій або їх компонент. При визначенні оцінки несучої здатності конструкції необхідним етапом розрахунків є розрахунок її стійкості.

Конструкційні матеріали та елементи конструкцій мають, як правило, тріщини різного походження, які можуть виникати як у процесі виготовлення конструкції (при литті, ковці, загартуванні, механічній обробці і т. ін.), так і в процесі її експлуатації (тріщини втомленості, тріщини, що виникають при тривалій дії постійних навантажень, корозії, тощо). Наявність тріщин, очевидно, впливає на значення критичних параметрів конструкції і тому практично важливими є питання виявлення кількісних та якісних показників цього впливу.

В дисертаційній роботі розглядається лінійно пружна ізотропна прямокутна пластина, яка є досить протяжною у напрямку осі Ox3. У напрямку осі Ox2 на пластину діє одноосне навантаження P (рис. 0.1). Навантаження здійснюється по всій поверхні x2 =const, що забезпечує стан плоскої деформації у тілі пластини (рис. 0.2). Торці пластини є шарнірно закріпленими, а лицьові сторони – вільні від напружень. Вказані умови закріплення та навантаження забезпечують в пластині однорідний напружений докритичний стан , .

Досліджується вплив геометричних та механічних характеристик пластин на характер критичних параметрів.

Актуальність теми. Втрата стійкості конструкції є одним із механізмів її руйнування. Тому актуальною є задача визначення залежності критичних параметрів від геометричних та механічних характеристик її елементів. Наявність в елементах конструкції дефектів типу тріщин, очевидно, не зменшує актуальності проблеми. Для отримання досить точних (задовільних для практики) значень критичних параметрів доцільно застосовувати математичні моделі, які достатньо точно описують механічні процеси, що відбуваються у пружному матеріалі.

На даний час задачі стійкості конструкцій досліджені, в основному, з використанням різних прикладних теорій стійкості (стержньових, пластинчатих та оболонкових розрахункових схем), які застосовують різного типа гіпотези (Бернулі, Кірхгофа, Лява, Тимошенка і т. ін.). Гіпотези (припущення), що використовуються в прикладних теоріях стійкості дозволяють зменшити розмірність вихідних задач і, таким чином, істотно спростити їх розв’язок. Проте вживані гіпотези приводять до того, що механічні процеси, які відбуваються у матеріалі, відображаються суто наближено внаслідок наявності похибок, які не можна усунути. На даний час у зв’язку з необхідністю розв’язку нових, суттєво складніших задач стійкості матеріалів та конструкцій з них, актуальним є питання отримання більш достовірної інформації про критичні параметри, а також визначення похибок та меж застосування прикладних теорій. Вирішення цих питань є можливим, якщо до задач стійкості деформованих тіл застосувати тривимірні лінеаризовані рівняння, які отримані та досліджені О.М. Гузем. Результати, які отримуються із застосуванням цих рівнянь, є на сьогодні, найбільш адекватними механічним процесам, що відбуваються у реальних матеріалах.

У деяких випадках, застосування прикладних теорій до задач стійкості елементів конструкцій можна вважати виправданим при відсутності у тілі дефектів. Наприклад, встановлено (О.М. Гузь), що гіпотези Бернулі та Кірхгофа-Лява є асимптотично точними у теорії стержнів, пластин та циліндричних оболонок. Подібне обґрунтування для елементів конструкцій, що містять тріщини, на сьогодні відсутнє. На даний час переважна більшість розрахункових схем, які відповідають задачам стійкості конструкцій з тріщинами, не містять самих тріщин, що суттєво затруднює розв’язок питання оцінки достовірності результатів, отриманих в межах прикладних теорій.

З вищесказаного випливає необхідність застосування до задач стійкості конструкцій з тріщинами точного підходу. На сьогодні такий підхід базується на рівняннях тривимірної лінеаризованої теорії стійкості.

У дисертаційній роботі до визначення критичних параметрів у пластині з центральною тріщиною застосовуються рівняння тривимірної лінеаризованої теорії стійкості для випадку малих деформацій і крихких матеріалів, які відповідають закону Гука (другий варіант теорії). Точні розв’язки для поставлених задач на разі є відсутні. Для наближеного розв’язку застосовується сітковий підхід. Розглянуто варіант процедури оптимізації обчислень.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження за темою дисертації ввійшли до науково-дослідної роботи Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України (тема № д.р. 0199000895 “Напружено-деформований стан, стійкість, руйнування структурно-неоднорідних матеріалів та тонкостінних елементів конструкцій з дефектами різного типу при статичних навантаженнях” (1.1999—4.2002 рр., керівник теми академік НАН України, д.т.н., проф. О.М.Гузь.), шифр 1.3.1.317.

Мета і задачі дослідження. В роботі розглядається плоска задача тривимірної стійкості ізотропної пластини з центральною тріщиною. Пластина стискується вздовж тріщини і характеризується однорідним докритичним станом. Мета роботи полягає у розв’язку задач стійкості та вивченні впливу характеристик пластини на критичні фактори.

У роботі визначені наступні задачі дослідження:—

точна постановка задач стійкості шарнірно закріпленої пластини з центральною тріщиною у випадку одноосного навантаження;—

розробка методики наближеного розв’язку задач. До методики входить побудова (з використанням сіткового підходу) дискретних задач, реалізація процедури оптимізації обчислень та обґрунтування достовірності отриманих результатів;—

розв’язок конкретних задач та аналіз впливу механічних та геометричних параметрів пластини на поведінку критичних характеристик;—

побудова аналітичних виразів (наближених формул) для інженерних розрахунків критичного навантаження у пластині з тріщиною.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в слідуючому:—

вперше виконана, на основі тривимірної лінеаризованої теорії, постановка задач стійкості пластини з тріщиною для випадку однорідного докритичного стану та одноосного навантаження;—

розроблені та обґрунтовані дискретні (різницеві та алгебраїчні) задачі, що апроксимують відповідні задачі стійкості;—

реалізована процедура оптимізації обчислень, яка дозволяє суттєво підвищити точність наближеного розв’язку і одночасно зменшити витрати комп’ютерного часу на розрахунок варіанта задачі у порівнянні із традиційним способом розрахунку дискретної задачі.—

вперше отримані розв’язки задач стійкості пластин з тріщинами у точній постановці та вивчена залежність критичних параметрів від характеристик пластини;—

розроблені формули інженерних розрахунків, які дозволяють отримати наближені значення критичного навантаження.

Достовірність одержаних результатів зумовлена тим, що:—

розв’язок задачі здійснено у точній постановці (застосовані рівняння тривимірної лінеаризованої теорії стійкості, яка на сьогоднішній день найточніше відображає механічні процеси, що відбуваються у пружному середовищі);—

розроблена методика наближеного розв’язку дискретних задач. Ця методика, порівняно з традиційним способом розв’язку різницевих задач, суттєво збільшує точність розв’язків сіткових рівнянь за рахунок можливості отримання розв’язків задач на досить густих сітках в практично придатний термін;—

програма розв’язку різницевих задач апробована на модельних задачах, у якості яких приймалися відповідні задачі стійкості пластин та стержнів без тріщини;—

достовірність результатів підтверджується також практичною збіжністю, яка полягає у порівнянні результатів розв’язку на двох різницевих сітках, що суттєво (удвічі, або у чотири рази) відрізняються по числу кроків. Ітераційний процес закінчується при співпаданні чотирьох знаків критичного навантаження на двох послідовних різницевих сітках;—

отримані результати не містять протиріч і узгоджуються з міркуваннями фізичного характеру та відомими в літературі теоретичними і експериментальними даними.

Практичне значення одержаних розв’язків полягає в наступному:—

розроблена методика дає можливість ефективного розв’язку реальних задач стійкості пластин з тріщинами;—

багаточисельні розрахунки та їх аналіз дозволяє побудувати таблиці та графіки залежності критичних параметрів пластини від довжини тріщини, параметра тонкостінності та технічних сталих матеріалу;—

розроблені формули інженерних розрахунків дозволяють отримати наближені значення критичного навантаження, коли вказана точність задовольняє потреби користувача, або при відсутності належного програмного забезпечення.

Особистий внесок здобувача. Дисертанту належить:—

формулювання плоских задач тривимірної стійкості пластини з тріщиною при одноосному навантаженні;—

побудова та обґрунтування дискретних (різницевих та алгебраїчних) задач;—

реалізація процедури оптимізації обчислень;—

проведення числових розрахунків, аналіз отриманих результатів, виявлення нових механічних ефектів;—

побудова аналітичних виразів для визначення наближених значень критичних навантажень у пластинах з центральними тріщинами.

Апробація результатів. Результати досліджень, що викладені в дисертації, доповідались на семінарі відділу динаміки і стійкості суцільних середовищ (Київ, 2002 та 2003 р.р.) і на семінарі за напрямком “Механіка композитних і неоднорідних середовищ, а також представлені на Міжнародних конференціях: “Dynamical System Modeling and Stability Investigation” (м. Київ, травень 1999 р.) “Dynamical System Modeling and Stability Investigation” (м. Київ, травень 2001 р.) [4,5].

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковані п’ять наукових робіт. З них три роботи у фахових журналах і дві – тези на міжнародних конференціях. Основні результати дисертації опубліковані в роботах [1-5]. У роботі [3], написаній у співавторстві, співавтору, академіку НАН України О.М. Гузю, належить загальний задум проведення дослідження, теоретичні положення, що лежать в основі постановки задачі та аналіз результатів. Дисертанту належить постановка задачі, розробка і реалізація алгоритму розв’язку задач, отримання та аналіз результатів.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, п’яти розділів, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації налічує “108” сторінок, в тому числі “21” рисунка, “2” таблиці та бібліографічний список із “131” найменувань.

Автор висловлює глибоку вдячність науковому керівникові академіку НАН України, доктору технічних наук, професору Олександру Миколайовичу Гузю за постановку задачі та постійну увагу до роботи.

Основний зміст роботи

У вступі викладено сутність та стан наукової проблеми, що розглядається, обґрунтовано її актуальність. Сформульовано мету дисертації, відмічено новизну, а також наукову і практичну значимість роботи. Відображено зв’язок дисертаційної роботи з науковими темами та проблемами Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України.

У першому розділі розглядається стан проблеми отримання достовірних розв’язків задач стійкості елементів конструкцій, що містять тріщини. Виконано аналіз підходів до розв’язку вказаної проблеми та огляд праць за даною тематикою. Зроблено висновок про необхідність застосування точного підходу до розв’язку задач стійкості конструкцій з тріщинами, а також про достовірність розв’язку тривимірних лінеаризованих рівнянь стійкості методом скінчених різниць.

Під час проведення оцінки несучої здатності конструкцій необхідним етапом розрахунків є розрахунки конструкції або її елементів на стійкість. На даний час теорія і методи розрахунків задач стійкості конструкцій та їх елементів достатньо добре розвинута.

Задачі стійкості конструкцій досліджуються, у більшості випадків, з використанням прикладних теорій стійкості. При неможливості розв’язання вихідної задачі використовуються, крім або паралельно з прикладними теоріями, також наближені методи, що містять різні спрощення, які полегшують розв’язок задачі (використання до задач стійкості рівнянь лінійної теорії пружності, нехтування деякими членами рівнянь, спрощення граничних умов, використання частини даних, які отримані з експерименту, тощо).

Кількість публікацій (статті, монографії, підручники, довідкові посібники), які присвячені задачам стійкості конструкцій в межах прикладних та наближених підходів, на сьогодні досить велика і практично не піддається обліку. У цьому напрямку працює велика кількість вчених. Серед представників київської школи назвемо слідуючи вчених-механиків: О.М. Гузь, І.Ю. Бабич, В.О. Заруцький, О.О. Рассказов, Л.П. Хорошун, М.О. Шульга та багато інших.

Застосування до задач стійкості деформованих середовищ прикладних підходів не завжди є доцільним. Існують області теорії стійкості деформованих систем, при дослідженні яких бажано, а в більшості випадків і необхідно застосування тривимірних рівнянь стійкості

( під тривимірними рівняннями стійкості розуміються рівняння, для отримання яких не застосовуються допоміжні гіпотези, що дозволяють звести тривимірні рівняння до двовимірних, або, у випадку осесиметричних та плоских задач- двовимірні до одновимірних)

Прикладні підходи містять похибки, які не можна усунути. Ці похибки зумовлені зменшенням розмірності вихідних задач. Тому, (навіть з випадків, коли застосування прикладних підходів є можливим), значення критичних параметрів, які отримані з розв’язків двовимірних чи одновимірних рівнянь теорії стійкості, не завжди задовольняють потреби практики.

У зв’язку з необхідністю розв’язку нових складніших задач стійкості матеріалів та конструкцій з них, актуальними є питання отримання більш достовірної інформації про критичні параметри навантаження, а також визначення похибок та областей застосування прикладних теорій стійкості. Розв’язання цих питань можливо, якщо до задач стійкості застосувати тривимірний (точний) підхід, в якому не використовуються гіпотези, що зменшують розмірність вихідних задач. Точному підходу відповідає тривимірна лінеаризована теорія стійкості.

Окремі проблеми тривимірної лінеаризованої теорії стійкості розглядали різні вчені. Серед них: Біо (Biot M.A.), Каппус (Kappus R.), Нейбер (Neuber H.), Новожилов В.В, Саусвелл (Southewell R.V.), Трефтц (Treffts E.) та ін. Проте, найбільш повно та строго точний підхід розроблено в роботах О.М. Гузя.

Конструкційні матеріали і елементи конструкцій містять, як правило, тріщини різної конфігурації. Ці тріщини виникають в процесі виготовлення конструкції або під час її експлуатації. На сьогодні одним з головних напрямків досліджень є вивчення крихкої міцності конструкцій, які містять тріщини, і пояснюється це великою ймовірністю наявності в конструкціях та їх елементах тріщин різного походження.

До розв’язку задач механіки пружних середовищ з тріщинами застосовують переважно наближені або прикладні підходи. В межах таких підходів працювали: Баженов В.А., Болотін В.В, Гоцуляк Є.А., Григолюк Е.І., Гузь О.М., Гуляєв В.М., Джонс Р. М., Дишель М.Ш., Качанов Л.М., Михайлов О.М., Обреімов І.В., Цурпал І.А. та інші.

Широко розповсюдженим підходом є балочний підхід або балочне наближення. Одною з перших робіт цього напрямку є робота І.В. Обреімова. Пізніше підхід був застосований в роботах О.М Михайлова, Л.М. Качанова, Л.И. Слєпяна і інших авторів. Сутність підходу полягає у тому, що область окола тріщини замінюється областю, що має форму стержня (балки), довжина якого, звичайно, приймається рівною довжині тріщини, а ширина вибирається, виходячи з міркування фізичного характеру. Граничні умови на кінцях стержня, які є невідомими, вибираються по-різному (від шарнірного до жорсткого закріплень) і, очевидно, є суто наближеними. Критичне навантаження знаходиться звичайно за формулою Ейлера. З урахуванням того, що значення критичної сили для шарнірного та жорсткого закріплень балки відрізняються в чотири рази, випливає, що похибка балочного наближення може сягати декілька сотень відсотків. Отже, при балочному підході похибки зумовлюються наступними факторами: заміна неоднорідного напруженого стану однорідним; спрощення геометрії конструкції, неточність задання граничних умов, використання гіпотез, які зменшують розмірніть задачі.

Єдиним підходом, який дозволяє отримати практично точні значення критичних параметрів в будь-яких задачах стійкості матеріалів та елементів конструкцій з тріщинами, є підхід, в якому в якості математичної моделі використовуються рівняння тривимірної лінеаризованої теорії стійкості. Цей підхід є точним тривимірним підходом. Далі точний тривимірний підхід називатимемо точним підходом. Точний підхід нині досить швидко розвивається у напрямку дослідження стійкості матеріалів з тріщинами в роботах О.М. Гузя, І.О. Гузя, Ю.М. Лапусти, В.М. Назаренка та інших вчених.

Виконаний аналіз праць, присвячених питанням стійкості елементів конструкцій з тріщинами, свідчить про те, що на даний час критичні параметри знаходяться, в основному, з використанням прикладних підходів. В межах точного тривимірного підходу розв’язки задач стійкості елементів конструкцій з тріщинами практично відсутні.

Таким чином, явище втрати стійкості прямокутних пластин з тріщинами, що перебувають в стані плоскої деформації, під дією осьового навантаження, досліджено недостатньо і являє собою науковий та практичний інтерес.

У другому розділі приведені основні положення та співвідношення загальної тривимірної лінеаризованої теорії стійкості. Сформульовані динамічний та статичний підходи до проблеми пружної стійкості. Виконані постановки основних задач теорії пружності визначення незбуреного пружного стану та критичних параметрів. Сформульовані задачі для випадку однорідного докритичного стану. Досліджено властивості операторів диференціальних задач та визначені умови існування розв’язків задач стійкості. Отримані у розділі результати відносяться до другого варіанту тривимірної лінераризованої теорії стійкості.

Загальні рівняння тривимірної лінеаризованої теорії стійкості зводяться, у випадку простого навантаження, до узагальненої задачі на власні значення.

Для визначення параметрів критичного навантаження в плоских задачах тривимірної стійкості пружних тіл відшукується власний розв’язок , що задовольняє рівнянням у збуреннях

, ; (1)

та граничним умовам

(2)

Геометричні та фізичні співвідношення мають вигляд

sii =Aikekk , s12 =2Ge12; ; (3)

, ; (4)

Критичні навантаження отримується з співвідношення:

(5)

Задача (1)–(5) може мати нульові власні розв’язки (lk,wk)= (0,wk), кратність нульового власного числа. У цьому випадку умовою існування збуреного стану є рівність

(6)

Початковий стан, компоненти якого позначаються індексом “°”, визначаються з рівняння лінійної теорії пружності

(7)

та граничних умов

(8)

В (1)–(8) позначено: , sij, eij , um — компоненти тензорів напружень, деформацій, переміщень; E, G, v — технічні сталі ізотропного тіла; – область, яку займає пружне тіло. , – дільниці границі Г, на яких m - тa компонента граничних умов задана в напруженнях (переміщеннях); , – компоненти зовнішніх сил.

У третьому розділі приводяться основні співвідношення тривимірної лінеаризованої теорії стійкості для ізотропної прямокутної пластини з центральною тріщиною, яка стискується у напрямку тріщини і відповідає умовам шарнірного закріплення. Сформульована постановка задачі та отримані умови існування її розв’язку. Виконана постановка задачі стійкості пластини у безрозмірній формі.

Безрозмірні величини вводяться за формулами

; ; ; ; ;

(9)

; .

В (9) здійснено перехід до безрозмірних величин так, щоб у якості параметра навантаження виступала деформація e22.

У відповідності з співвідношеннями (1)–(9) задача стійкості у безрозмірній формі для шарнірно закріпленої пластини з центральною тріщиною зводиться до узагальненої спектральної задачі, яка задовольняє слідуючи співвідношення: рівняння у збуреннях

, ; (10)

граничні умови на сторонах

()(); (11)

умови на берегах тріщини

t1m = 0, . (12)

Зв’язок між напруженням та деформацією має вигляд

tii = cik ekk, t12 = 2 e12;

(13)

Умова (6) існування біфуркаційного стану приймає вигляд

. (14)

З (14) виходить, що нульовий власний розв’язок задачі (10) –(13) є простим і min¦p¦=p1 , де p1 > 0 перше власне значенням задачі (10)–(13).

Критичні параметри отримуються з співвідношень:

v = 0,28; , , , . (15)

Безрозмірна пластина з тріщиною займає область , , .

У четвертому розділі викладено методику побудови дискретних задач методом скінченних різниць, виконано постановку різницевих та алгебраїчних задач. Запропонована процедура оптимізації обчислень. Обґрунтована достовірність результатів.

Для наближеного розв’язання задач використовується скінченно-різницевий підхід. Побудова дискретних моделей виконана з використанням концепції базової схеми, яка є різницевою схемою отриманою на шаблоні комірки сітки з кроками h1, h2 . Шляхом відповідного сумування значень базової схеми у кожному вузлі сіткової області отримується дискретна задача, що відповідає конкретній континуальній задачі з розглядуваного класу задач. Диференціальній задачі (10)-(13) на сітці ставиться у відповідність узагальнена різницева задача на власні значення

Av = pBv, Amv = pBmv , (16)

де

(17)

; ; H=h1h2 (18)

tii = cik ekk, , ;

, ; . (19)

Для розв’язання дискретних задач застосовано методи ітерування підпростору та градієнтного спуска.

Запропонована процедура оптимізації обчислень, яка полягає у формулюванні задач стійкості з урахуванням симетрії розв’язку, використанні динамічної сітки та комбінованому застосуванні сіткових методів розв’язання задач.

У п’ятому розділі виконано аналіз результатів розв’язків плоскої задачі стійкості шарнірно закріпленої пластини з тріщиною при одноосному навантаженні. Визначені характерні ознаки поведінки критичних параметрів, а також зв’язок між значеннями параметрів пластини і критичними характеристиками. На основі аналізу результатів розв’язків розроблені формули які дають змогу отримати для пластини з тріщиною значення критичного навантаження залежно від механічних та геометричних характеристик Досліджуються збурення переміщень (форма втрати стійкості) в координатних пластини.

Характерні ознаки поведінки критичних параметрів розглянуто для пластини яка має такі безрозмірні вихідні дані: E/G=2,56, v=0,28; , t=0,7.Досліджується збурення переміщень v=(v1,v2)=(u,v) (форма втрати стійкості) в координатних перетинах та нормоване Ейлеровою силою критичне навантаження

На рис.2 представлені форми втрати стійкості компоненти u(y) в перетинах x=const Функція u(x,y) досить точно описується формулою

, (20)

є парною по координаті і досягає екстремальних значень в точках (мінімум)) та x=(0,0) (максимум) (рис.2, криві 1,3). Рівність вказує на відсутність в напрямку як розкриття, так і натискання берегів тріщини.

Форма втрати стійкості для компоненти v(y) у перетинах x=const приведена на рис.3. Видно, що ліва (, крива 4) лицьова сторона пластини стискається, а права(крива 3) — розтягується (пластина є випуклою вправо).

В перетині у напрямку координати y має місце взаємодія берегів тріщини (криві1,2). При цьому характер зміщень сторін тріщини протилежний характеру зміщень відповідних лицьових сторін пластини. З рисунків 2 та 3 виходить, що для пластини без тріщини середня лінія пластини є нейтральною відносно збуреного стану.

На рис.4 зображені значення функції v(x) у перетинах y=const. З рисунка видно, що функція v(x) є неперервною на інтервалах , де відсутня тріщина, і є розривною на інтервалі , де має місце тріщина.

Розрив функції в точках тріщини свідчить про наявність взаємодії берегів тріщини у напрямку її розташування. Функція v(x,y) є непарною , слабконелінійною і достатньо точно описується формулою .

На рис. 5 зображені значення функції u(x) у перетинах y=const, яка досить точно (з похибкою ) апроксимується прямою лінією. Встановлено, що у збуреному стані пластина рівномірно переміщується в напрямку осі Ох, що також стверджує практичну відсутність натискання поперечних пружних волокон. При цьому товщина пластини практично не змінюється. Функція u(x) набуває найбільших значень у перетині ¦y¦=0. З умови випливає відсутність горизонтальних зміщень берегів тріщини в центрі пластини.

Кількісні зміни критичних параметрів визначаються значеннями механічних та геометричних характеристик пластини.

При дослідженні залежності критичних параметрів від механічних характеристик пластини встановлено, що критичне навантаження Pkp змінюється прямо пропорційно модулю Юнга при довільних фіксованих значеннях ( рис.6).

На рис.7 приведено епюри функції при фіксованому значенні модуля Юнга та різних значеннях коефіцієнта Пуассона .

На основі проведених чисельних розрахунків встановлено, що зміна коефіцієнта Пуассона в межах 0=v=0,4 при різних значеннях здійснює незначний (в межах 5 %) вплив на величину критичного навантаження (рис.7).

При дослідженні впливу геометричних характеристик пластини на значення критичних параметрів встановлено, що геометричні параметри пластини не впливають на якісний характер форми втрати стійкості та на величину (рис.8). Встановлено, що в інтервалі 0<t=0,5 тріщина практично не впливає на значення величини .

Показано також, що при зменшенні величини параметра тонкостінності зменшується величина відносної зміни амплітуди функції u(x,y) (рис.2), а також збільшується точність гіпотези плоских перетинів і вплив величини тріщини на значення критичного навантаження.

На основі аналізу впливу механічних та геометричних характеристик пластини на критичні навантаження та форми втрати стійкості збурень пружних зміщень розроблені формули інженерних розрахунків критичного навантаження для розглянутого в дисертаційній роботі класу задач стійкості пластин з центральними тріщинами.

Виконано аналіз похибок балочного наближення при визначенні критичного навантаження для пластини з тріщиною. Показано, що при цьому величини критичних навантажень можуть бути як завишені, так і занижені і похибки можуть досягати великих значень.

У висновках проведено узагальнення результатів роботи.

ВИСНОВКИ

Основні результати дисертації полягають у наступному:

1. Здійснена постановка задачі стійкості пластини з тріщиною із застосуванням тривимірної лінеаризованої теорії стійкості пружних тіл. Досліджені властивості операторів диференціальних задач та сформульовані умови існування розв’язку задач стійкості.

2. Розвинено сітковий підхід у напрямку розв’язку задач тривимірної стійкості пластин з тріщинами. Отримані, з використанням концепції базової схеми, дискретні (різницеві та алгебраїчні) задачі. Розвинені методи розв’язків сіткових рівнянь.

3. Розроблена методика чисельного розв’язання задач тривимірної стійкості прямокутних пластин з тріщинами. Застосована процедура оптимізації розрахунків.

4. Отримано наближений спосіб аналітичного визначення критичного навантаження залежно від параметрів пластини.

5. Виконана оцінка похибок балочного наближення при визначені критичного навантаження в пластині з тріщиною.

6. На основі отриманих результатів можна сформулювати наступні висновки практичного характеру:

5.1. У збуреному стані пластини з тріщиною відсутнє як натискання берегів тріщини, так і їх розкриття.

5.2. Залежність критичного навантаження від довжини тріщини досить точно апроксимується трьома прямолінійними відрізками.

5.3. Зі зменшенням параметра тонкостінності пластини збільшується вплив тріщини на величину критичного навантаження

5.4. Зміна коефіцієнта Пуассона в межах здійснює незначний вплив на значення і при розрахунках може не враховуватися.

5.5. Встановлено, що застосування балочного наближення до задач стійкості пластин з тріщинами не доцільно, завдяки можливості отримання досить великих похибок.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ:

1. Гладун Е. Ю. Плоская задача трехмерной устойчивости пластины с трещиной // Доповіді НАНУ.-2000.-№9.-С.53-58.

2. Гладун Е. Ю. Зависимость критической нагрузки от геометрических характеристик шарнирно закрепленной пластины с трещиной // Прикладная механика.-2000.-С.112-122.

3. Гузь А. Н., Гладун Е. Ю. О трехмерной устойчивости пластины с трещиной // Прикладная механика.-2001.-№10.- С.53-62.

4. Гладун Е. Ю. Плоская задача трехмерной устойчивости пластины с трещиной. //Тезисы докладов Междунар. конф. “ Dynamical systems modeling and stability investigation”.– Киев,22-25 мая 1999 г.– C.86.

5. Гладун Е. Ю. Устойчивость прямоугольной пластины с трещиной //Тезисы докладов Междунар. конф. “Dynamical systems modeling and stability investigation”.– Киев, 22-25 мая 2001 г.– C.265.

АНОТАЦІЯ

Гладун О.Ю. Плоска задача тривимірної стійкості шарнірно закріпленої пластини з центральною тріщиною.– Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико–математичних наук за спеціальністю 01.02.04.– механіка деформівного твердого тіла. – Інститут механіки ім С.П. Тимошенко НАН України, Київ, 2003.

Дисертація присвячена розв’язанню плоскої задачі тривимірної стійкості ізотропної шарнірно закріпленої пластини з центральною тріщиною при одноосному стиску. Здійснено постановку задачі для ізотропної пластини з тріщиною із застосуванням загальних рівнянь тривимірної лінеаризованної теорії стійкості, які відповідають малим деформаціям і випадку, коли основний стан визначається з рівнянь лінійної теорії пружності. Розвинено методику наближеного розв’язання поставлених задач на основі сіткового підходу з використанням концепції базової схеми. Застосована процедура оптимізації розрахунків. Визначені форми втрати стійкості у координатних перетинах пластини. Досліджено вплив механічних та геометричних характеристик пластини на поведінку та кількісні значення критичного навантаження. Отримано наближений спосіб аналітичного визначення критичного навантаження в залежності від параметрів пластини. Ключові слова: шарнірно закріплена пластина, тріщина, тривимірна стійкість, лінеаризована теорія, критичне навантаження, форма втрати стійкості, дискретна задача, базова схема, сіткові рівняння.

АННОТАЦИЯ

Гладун Е.Ю. Плоская задача трехмерной устойчивости шарнирно закрепленной пластины с центральной трещиной.– Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук по специальности 01.02.04.– механика деформируемого твердого тела. – Институт механики им С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев, 2003.

Диссертация посвящена решению плоской задачи трехмерной устойчивости изотропной шарнирно закрепленной пластины с центральной трещиной при одноосном сжатии. Выполнена постановка задачи для изотропной пластины с трещиной с использованием общих уравнений трехмерной линеаризованной теории устойчивости, соответствующих малым деформациям и случаю, когда основное состояние определяется из уравнений линейной теории упругости. Разработана методика приближенного решения поставленных задач на основании сеточного подхода с использованием концепции базовой схемы. Применена процедура оптимизации вычислений. Определены формы потери устойчивости в координатных сечениях пластины. Исследовано влияние механических и геометрических характеристик пластины на поведение и количественные значения критической нагрузки. Получен приближенный способ аналитического определения критической нагрузки в зависимости от параметров пластины. Ключевые слова: шарнирно закрепленная пластина, трещина, трехмерная устойчивость, линеаризированная теория, критическая нагрузка, форма потери устойчивости, дискретная задача, базовая схема, сеточные уравнения.

SUMMARY

Gladun O.Yu. The plane three-dimensional stability problem of the hinged plate with crack.– Manuscript.

Thesis for the Candidates’s Degree in Physics and Mathematics by the speciality 01.02.04 – mechanics of deformable solids. – S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv,2003.

The Thesis is devoted to the decision plane task of the three-dimensional stability of an isotropic plate with a crack using total equations of three-dimensional linearized stability theory, corresponding a little deformations and the case, when defined a basic condition from the linear elasticity theory equations. The technique of approximate solution of put problems on the base of the net approach using the conception of base scheme is developed. The procedure of calculations optimization is employed. The stability loss form in coordinate crosses of a plate is defined. The influence of mechanical and geometrical parameters of the plate on the behaviour and a value of the critical load are investigated. The approximate method of the analytical definition of the critical load from parameters of a plate is received.

Key words: hinged plate, crack, three-dimensional stability, linearized theory, critical load, stability loss form, base scheme, net equations, discretion problem.