НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

Інститут прикладних проблем

механіки і математики ім. Я.С. Підстригача

Хай Оксана Мирославівна

УДК 539.3

Усталені коливання у тривимірних тілах

з плоскими концентраторами напружень

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів – 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики

ім. Я.С. Підстригача НАН України.

Науковий керівник – доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

Михаськів Віктор Володимирович,

Інститут прикладних проблем механіки і математики

ім. Я.С. Підстригача НАН України,

провідний науковий співробітник.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

професор Осадчук Василь Антонович,

Національний університет “Львівська політехніка”,

завідувач кафедри “Зварювальне виробництво,

діагностика та відновлення металоконструкцій”

доктор фізико-математичних наук,

професор Попов Всеволод Генадійович,

Одеська національна морська академія,

завідувач кафедри вищої математики.

Провідна установа – Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України, відділ механіки композиційних матеріалів, м. Львів.

Захист відбудеться “25 ” грудня 2003 р. о 1500 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .195.01 в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів-60, вул. Наукова, 3б.

З дисертацією можна ознайомитися у науковій бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (м. Львів, вул. Наукова, 3б).

Відгук на автореферат просимо надсилати за адресою: 79060, м. Львів-60, вул. Наукова, 3б, ІППММ НАН України, вченому секретарю спеціалізованої ради.

Автореферат розісланий “18 ” листопада 2003 р.

Вчений секретар спеціалізованої ради

кандидат фізико-математичних наук П.Р. Шевчук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Міцність і довговічність конструкцій, що використовуються у сучасній інженерній практиці, суттєво залежить від структури їх матеріалу, який може містити пустоти, наповнювачі і інші дисперсні частинки, породжені процесами виготовлення чи експлуатації деталей та вузлів. Важливими у цьому аспекті є механічні властивості неоднорідностей, їх форма, розміри та взаємне розташування. Тріщини і чужорідні тонкі включення належать до класичних концентраторів напружень, що можуть для конкретних матеріалів визначати механізми руйнування. З іншого боку, структурування матеріалу контрастними за жорсткістю вставками у багатьох випадках забезпечує блокування процесу утворення та поширення тріщин. Вивчення цих явищ передбачає розв’язання задач про напружено-деформований стан тіл з неоднорідностями типу тріщин та жорстких включень. Знаючи характер концентрації напружень в околі неоднорідностей, а також критерії поширення дефектів, можна оцінювати міцність тіл з урахуванням їх структури та пошкодженості. Окрім цього, розгляд задач теорії тонких включень і тріщин у динамічній постановці дозволяє використовувати їх розв’язки у сейсміці, геомеханіці, дефектоскопії тощо.

Проблеми статичного деформування пружних тіл з тріщинами, об’ємними та тонкостінними включеннями висвітлені у літературі, зокрема – у фундаментальних роботах В.М. Александрова, О.Є. Андрейківа, Л.Т. Бережницького, Т.В. Бурчуладзе, Д.В. Гриліцького, О.М. Гузя, C.А. Калоєрова, А.О. Камінського, Б.Я. Кантора, М.К. Кассіра, Г.С. Кіта, Г. Лібовіца, О.М. Лінькова, В.В. Лободи, Б.П. Маслова, В.І. Моссаковського, В.А. Осадчука, В.В. Панасюка, В.З. Партона, Я.С. Підстригача, Ю.М. Подільчука, Г.Я. Попова, В.Л. Рвачова, М.П. Саврука, Г. Сі, В.П. Силованюка, С.О. Смірнова, М.М. Стадника, М.Г. Стащука, Г.Т. Сулима, А.Ф. Улітка, М.В. Хая, представників їх наукових шкіл та інших вчених.

Здебільшого в умовах експлуатації навантаження елементів конструкцій змінюються в часі, тому актуальним є дослідження механічних полів в околі тріщин та тонких включень на основі розв’язання динамічних задач теорії пружності. Питанням почасового (почастотного) розподілу напружень у тілах з різного роду дефектами присвячено значно менше робіт. Зокрема, це роботи вітчизняних вчених М.М. Бородачова, В.Т. Грінченка, О.М. Гузя, В.Ф. Ємця, О.Ю. Жарія, В.В. Зозулі, В.В Мелешка, В.В. Михаськіва, О.П. Піддубняка, В.Г. Попова, І.Т. Селезова, Г.Я. Попова, Л.А. Фільштинського, М.В. Хая, а також роботи зарубіжних вчених М. Аліабаді, Дж. Ахенбаха, Є.В. Глушкова, Р.В. Гольдштейна, Д. Гроса, Ч. Жанга, С. Кобаяші, Н.Ф. Морозова, В. Сладека, Я. Сладека та інших. При цьому особливу увагу звернуто на важливість опису хвильової картини у тривимірних тілах як такої, що відображає просторове розташування дефектів та задання зовнішніх чинників.

Динамічний вплив тріщин на міцність тіл достатньо повно вивчено як у двовимірній, так і тривимірній постановках задач. Розгляд неоднорідностей типу абсолютно жорстких включень у хвильовому полі обмежувався принциповими застереженнями щодо характеру напружено-деформованого стану тіла з дефектом (отримані результати стосувались випадків плоскої та осесиметричної деформації). Більш загальні тривимірні динамічні задачі для тіл з тонкими абсолютно жорсткими включеннями в літературі не розглядались. Залишалось відкритим також питання тривимірної динамічної взаємодії жорстких включень і тріщин.

Метою роботи є аналітико-числове визначення методом граничних інтегральних рівнянь (ГІР) динамічних коефіцієнтів інтенсивності напружень у тривимірних тілах з плоскими абсолютно жорсткими масивними включеннями і плоскими тріщинами в умовах дії усталених навантажень та хвильових полів, а також виявлення на цій основі інерційних ефектів для широкого спектру частот коливань, різних способів навантаження тіла, кількості та геометричних параметрів дефектів. У відповідності з основною метою розв’язано такі актуальні наукові завдання: гранично-інтегрального формулювання тривимірних динамічних задач теорії пружності для безмежного тіла з рухомим плоским жорстким включенням, яке включає побудову інтегральних подань розв’язків та зведення задач до ГІР типу хвильового потенціалу у часовій області і типу потенціалу Гельмгольца у частотній області гранично-інтегрального формулювання тривимірних динамічних задач усталеної взаємодії плоских жорстких включень і тріщин у безмежному тілі гранично-інтегрального формулювання тривимірних задач несинхронної усталеної взаємодії плоских тріщин у безмежному тілі розробки методик розв’язання отриманих ГІР у частотній області у широкому діапазоні хвильового числа аналізу коефіцієнтів інтенсивності напружень вздовж контурів поодиноких та взаємодіючих плоских жорстких включень та тріщин в умовах гармонічних за часом збуджень для різних способів взаємного розташування дефектів у безмежному тілі та прикладання зовнішніх гармонічних навантажень.

Об’єктом досліджень є тривимірні безмежні пружні тіла з плоскими дефектами типу абсолютно жорстких включень або тріщин, а також з системою довільно розташованих плоских жорстких включень і тріщин.

Предметом досліджень є напружено-деформований стан таких тіл, спричинений гармонічними в часі зовнішніми навантаженнями та хвильовими полями, а також комп’ютерно орієнтовані методики доведення до числа тривимірних динамічних задач теорії тріщин та жорстких включень.

Методика досліджень базується на зведенні відповідних задач до двовимірних ГІР на основі принципів взаємності у механіці та властивостей фундаментальних розв’язків тривимірних динамічних задач теорії пружності, з подальшим альтернативним розв’язуванням отриманих ГІР аналітичним методом малого параметра та числовим граничноелементним методом із залученням колокаційних процедур. Запропонований математичний підхід не накладає обмежень на характер просторового навантаження, форму, кількість і взаємне розташування неоднорідностей у тілі, а також передбачає використання можливостей сучасної комп’ютерної техніки.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Наукові результати, які склали основу дисертації, отримані здобувачем у процесі виконання досліджень за бюджетними темами Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України та темою Державного фонду фундаментальних досліджень Міністерства освіти та науки України. Це н/д теми “Дослідження методом граничних інтегральних рівнянь впливу геометричних параметрів дефектів типу тріщин на напружено-деформований стан тіл під дією статичних та динамічних силових і теплових навантажень” (1997-2001 р., № держреєстрації 0197U008954), “Дослідження дифракції пружних хвиль та концентрації напружень на тріщинах та тонких включеннях у тривимірних однорідних та кусково-однорідних тілах на основі гранично-інтегрального формулювання відповідних задач механіки” (2002-2005 р., № держреєстрації 0102U000450), “Розробка методів дослідження динамічних процесів у тривимірних пружних тілах з дефектами типу тріщин і тонких включень” (2001-2003 р., реєстраційний № .07/00133).

Наукова новизна результатів досліджень полягає:

·

·

·

·

·

·

Вірогідність отриманих результатів забезпечується: математичною строгістю постановок задач з повнішим врахуванням фізики явищ використанням для розв’язання сформульованих задач про включення та тріщини сучасного математичного апарату інтегральних зображень і інтегральних рівнянь співставленням ГІР з отриманими у літературі іншими методами та у часткових випадках аналізом та співставленням числових результатів, отриманих альтернативними підходами практичною перевіркою збіжності результатів при збільшенні густини вузлових точок числової процедури розв’язання ГІР.

Теоретична та практична цінність результатів роботи. У роботі розв’язано загальні практично важливі задачі визначення концентрації напружень у пружних тілах з дефектами типу абсолютно жорстких включень і тріщин у припущенні тривимірної постановки задач та динаміки навантаження. Цінність результатів при обчисленнях полягає у пониженні розмірності вихідної моделі на одиницю, що досягається залученням методу ГІР у задачах теорії пружності. Такий підхід дозволяє широко використовувати можливості сучасної обчислювальної техніки для отримання числових значень та аналізу величин коефіцієнтів інтенсивності напружень, які входять у критерії міцності. Таким чином створені на основі розробленого у роботі теоретичного апарату програмні продукти можуть застосовуватися для комп’ютерного розрахунку міцності елементів конструкцій, коли відома дефектність структури матеріалу.

Результати роботи щодо опису хвильових полів у тілах з різнотипними неоднорідностями мають безпосереднє відношення до проблем створення нових структурних матеріалів із заданою динамічною міцністю, поширення хвиль у гірських породах, можуть служити як тестові для неруйнівних методів діагностики дефектів.

Апробація роботи. Окремі результати роботи доповідались і обговорювались на Міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми механіки і математики” (м. Львів, ),
5-му Міжнародному симпозіумі українських інженерів-механіків у Львові (м. Львів, ).

У повному обсязі дисертаційна робота доповідалась на семінарі відділу математичних методів механіки руйнування та контактних явищ Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України кваліфікаційному семінарі “Механіка деформівного твердого тіла” цього ж інституту під керівництвом чл.-кор. НАН України,
д. ф.-м. н. Кіта Г.С. науковому семінарі відділу механіки композиційних матеріалів Фізико-механічного інституту ім. Г.В. Карпенка НАН України під керівництвом д. ф.-м. н., професора М.П. Саврука семінарі кафедри механіки Львівського національного університету ім. І. Франка під керівництвом д. ф.-м. н., професора Г.Т. Сулима.

Публікації та особистий внесок здобувача. Результати дисертаційної роботи викладені у 8-и працях [1-8], з них 6 статей, опублікованих у наукових фахових виданнях із переліку ВАК України для здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук.

Результати роботи отримані автором самостійно. Робота [5] опублікована без співавторів. В публікаціях, виконаних у співавторстві, Кіту Г.С. та Михаськіву В.В належать постановки задач, перенесення ідеї про аналогію процесів у спектральній області перетворення Фур’є за часом та частотній області на динамічні задачі теорії включень, вибір конкретних геометрій задач для якісної оцінки числових результатів Станкевичу В.З. належить постановка задачі про вплив зосереджених гармонічних за часом сил на плоску тріщину автору дисертації належить виведення ГІР відносно функцій стрибків напружень на поверхнях поодинокого плоского включення у частотній [2] і часовій [3] областях, виведення ГІР тривимірної усталеної взаємодії плоских жорстких включень та тріщин [6], а також несинхронної взаємодії тріщин [7], отримання асимптотичних співвідношень для коефіцієнтів інтенсивності напружень методом малого параметра [2], регуляризація та числове граничноелементне обернення ГІР у частотній області [4], аналіз аналітичних та числових результатів [1, , ].

Структура і обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, п’яти розділів, які містять 44 рисунки і 2 таблиці, висновків та списку використаних джерел із 191 найменування. Обсяг основного тексту дисертації становить 139 сторінок. Загальний обсяг роботи – 164 сторінки.

основний Зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність проблематики, розкрито її сутність і стан, сформульовано мету дисертаційного дослідження, аргументовано її новизну, наукове та практичне значення, наведено дані про апробацію отриманих результатів і публікації, які відображають основний зміст роботи.

У першому розділі зроблено огляд наукових праць, що стосуються проблеми визначення статичних та динамічних напружень у тілах, які містять дефекти типу плоских абсолютно жорстких включень та тріщин. Коротко проаналізовано такі дослідження та місце робіт автора у науковій проблемі, якій присвячена робота.

У другому розділі здійснено гранично-інтегральне формулювання тривимірних динамічних стаціонарних задач для безмежного пружного тіла з поодиноким плоским жорстким включенням. Принагідно наведено результати аналогічного формулювання для випадку наявності у тілі поодинокої тріщини з метою їх подальшого використання у задачах усталеної взаємодії різнотипних неоднорідностей.

Розглянемо тривимірне безмежне ізотропне пружне тіло (матриця) з густиною , модулем зсуву G та коефіцієнтом Пуассона , що містить плоске жорстке включення заданої маси M, яке займає однозв’язну область S з гладким контуром. Декартова система координат O x1 x2 x3 вибрана таким чином, щоб протилежним поверхням S неоднорідності відповідали значення x3 = 0. Розглянуто гармонічні збуджувальні навантаження та хвильові поля у тілі з включенням, для яких розподіл за часом t і просторовою координатою x(x1, x2, x3) задано співвідношенням p(x, t) = p(x)(–i t) (  – постійна кругова частота коливань p(x) – амплітуда коливань зовнішнього чинника i = (–1)12 – уявна одиниця). Специфіка таких задач про усталені коливання полягає у можливості їх зведення до аналізу лише амплітудних значень шляхом вилучення з розгляду спільного експоненціального часового множника у всіх параметрах напружено-деформованого стану. Збудниками p(x) хвильового процесу можуть бути падаючі гармонічні хвилі, що описуються вектором переміщень uin (x) і тензором напружень {in (x)} зосереджена гармонічна сила чи момент сил P у точці поза включенням тощо (у випадку дефекту типу тріщини можуть задаватися також самозрівноважені гармонічні зусилля N (x) ( N+ = – N – N ), що діють безпосередньо на поверхнях S тріщини).

Вихідним під час розв’язання дифракційних задач є принцип суперпозиції, згідно з яким результуюче поле компонент переміщень і напружень в тілі з включенням утворюється накладанням полів відомих переміщень uin(x) і напружень {in(x)} падаючих хвиль, які мали б місце у суцільному тілі від заданих навантажень, та полів невідомих переміщень u(x) і напружень {(x)} відбитих від дефекту хвиль. Тоді задача зводиться до відшукання розв’язку рівняння Ляме для усталених коливань

(1)

де ( x1, x2, x3 ) – тривимірний набла-вектор j = cj ( j = 1,2 ) – хвильові числа c1 , c2 – швидкості поширення у матриці поздовжніх і поперечних хвиль.

Граничні умови на компоненти поля відбитих хвиль від ідеально з’єднаного з матрицею включення, рух якого може бути лише поступальним з переміщеннями uj0 його центра мас і обертовим навколо осей координат з кутами j , записуються наступним чином:

(2)

З метою забезпечення коректності задачі вимагається виконання умов випромінювання на нескінченності.

Неперервний стосовно компонент переміщень розв’язок задачі (1), (2) дифракції гармонічних хвиль на жорсткому включенні із використанням формули Соміліано подано інтегрально у вигляді

(3)

Тут невідомі густини j потенціалів Гельмгольца характеризують стрибки компонент напружень на місці розташування дефекту, а саме:

(4)

x –  – відстань між точкою тіла x(x1, x2, x3) і точкою інтегрування (1, 2).

Шляхом задоволення сконструйованими поданнями (3) граничних умов (2) на місці розташування включення виведено систему ГІР з ядром потенціалу Гельмгольца відносно функцій стрибків напружень j , яка після виконання операцій диференціювання буде

(5)

Слабосингулярні (полярні) ядра рівнянь мають вигляд

(6)

де ljk – поліноміальні функції з коефіцієнтами, залежними від хвильового числа.

Невідомі сталі у правих частинах рівнянь (5), які мають зміст переміщень і поворотів включення, входять у рівняння його руху як абсолютно жорсткого цілого і визначаються через густини потенціалів j співвідношеннями ( ij – радіус інерції області включення S відносно осі Oxj ):

(7)

Система рівнянь (5) розділяється на дві незалежні. Перше рівняння відповідає антисиметричній задачі поперечних коливань включення у пружному тілі. З нього визначається функція 3 , а потім за формулами (6) – нормальна складова u30 вектора переміщення включення та його повороти 1 , 2  навколо осей Ox1 , Ox2 . Система двох інших рівнянь відповідає симетричній задачі поздовжніх коливань включення. З них визначаються функції 1 , 2 , через які обчислюються дотичні складові u10, u20 вектора переміщення включення та його поворот 3  навколо осі Ox3 .

Використання аналогії динамічних задач у частотній області та області зображень Фур’є за часом з параметром перетворення (фіктивна частота коливань) дозволило узагальнити гранично-інтегральне формулювання на тривимірні задачі дифракції на плоскому абсолютно жорсткому включенні у безмежному тілі нестаціонарної хвилі. Шляхом оберненого перетворення Фур’є щодо розв’язків у спектральній (частотній) області, з урахуванням початкових умов, отримано інтегральні подання розв’язків нестаціонарних задач у вигляді комбінацій класичних хвильових потенціалів

(8)

Для відшукання невідомих стрибків напружень j (x, t) виведено систему ГІР у часовій області за допомогою граничного переходу в інтегральних зображеннях переміщень (8) до поверхонь включення, на яких задаються граничні умови. Побудовані ГІР є сингулярними рівняннями типу хвильового потенціалу, в яких часове запізнення обмежене часом проходження поперечною хвилею відстані, що дорівнює діаметру включення. Система ГІР замикається диференціальними рівняннями руху включення та початковими умовами на його кінематичні параметри.

Встановлено залежності між динамічними коефіцієнтами інтенсивності напружень відриву K1 , поперечного K2  та поздовжнього K3  зсувів щодо матриці для кругового жорсткого включення радіуса a та розв’язками отриманих ГІР. Із аналізу сингулярності напружень поблизу контуру включення випливає, що ( – кутова координата точки контуру включення):

(9)

Третій розділ відведено розробці методів розв’язування виведених ГІР у частотній області та дослідженню динамічних коефіцієнтів інтенсивності напружень для кругового абсолютно жорсткого включення внаслідок дифракції на ньому поздовжніх та поперечних плоских гармонічних хвиль.

Для низьких частот коливань збуджувальних хвиль запропоновано метод малого параметра, за яким розв’язки ГІР (5) будуються у вигляді розвинень за хвильовим числом 2 . Тоді для відшукання коефіцієнтів розвоїв отримується рекурентна система ГІР з ядрами, що допускають аналітичне обернення рівнянь. Цим методом розглянуто падіння на кругове включення під довільним кутом плоскої гармонічної хвилі переміщень з постійною амплітудою коливань. На основі асимптотичного розв’язку виявлено почастотну поведінку коефіцієнтів інтенсивності напружень у початковому діапазоні хвильових чисел.

Для широкого діапазону хвильових чисел розроблена альтернативна методика числового розв’язання двовимірних ГІР (5), яка передбачає відшукання розв’язку в класі необмежених на контурі області включення (області інтегрування) функцій та побудову регулярного аналогу рівнянь. У випадку кругового включення радіуса a використовується подання розв’язку

(10)

де j () – невідомі функції в області S.

В основу регуляризації ГІР покладено адитивне виділення сингулярностей за допомогою статичних потенціалів з подальшим переходом від фізичної області включення S на математичну прямокутну область через введення нових змінних y(y1, y2), (1, 2):

(11)

Заміною (11) усувається особливість на контурі області інтегрування, коли 1 = 2. Як результат, одержано регулярне подання ГІР (5) у вигляді

(12)

Тут A , B – відомі сталі, залежні від коефіцієнта Пуассона  = 2a – нормалізоване хвильове число – відображення області S з виключенням малого околу точки y R , j ( j = ) – задані функції , , ( j = ), , – складні функції, утворені заміною аргументів виду (11) у функціях j , ujin, Rj ( j = ) відповідно з урахуванням виразів (6).

Шляхом рівномірного поділу прямокутної області на граничні елементи з кусково постійною апроксимацією шуканих функцій на цих елементах і задоволення ГІР (12) у колокаційних точках отримано систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно значень шуканих функцій у вузлових точках.

Граничноелементний метод застосовано до аналізу дифракції на круговому включенні плоских поздовжньої та поперечної гармонічних хвиль з паралельним і перпендикулярним до включення фронтами. Для усіх задач побудовано залежності відносних амплітуд коефіцієнтів інтенсивності напружень від нормалізованого хвильового числа. Проведено також почастотний аналіз поступальних переміщень та поворотів включення як жорсткого цілого.

Рис. 1 Рис. 2

Рис. , стосуються задачі дифракції поздовжньої хвилі переміщень з постійною амплітудою U0 , фронт якої паралельний до кругового включення. Показано залежності відносних амплітуд коефіцієнта інтенсивності напружень відриву  = K1K , де K = 2 (a)12U0G (рис. ) та відносної амплітуди нормального переміщення включення як жорсткого цілого  = u30U0 (рис. ) від нормалізованого хвильового числа  = 2a . У низькочастотному діапазоні коливань співставлено значення , які отримувались обома методами (суцільні криві одержано числовим граничноелементним методом, марковані трикутниками криві – аналітичним методом малого параметра). Криві 1-5 відповідають наступним значенням  = M (a3): 1 3 5 10 20. Під час всіх подальших розрахунків приймалось  = 0,3.

Четвертий розділ присвячений розглядові тривимірних задач дії у безмежному тілі з плоским концентратором напружень типу жорсткого включення та тріщини зосереджених гармонічних сил. Тоді векторне поле переміщень uin(u1in, u2in, u3in) від заданих у точці зовнішніх силових факторів задається у вигляді

(13)

де Pl = P0 l (P0 – амплітуда сили l – кут між напрямком дії сили та віссю Oxl ) Ulj (x, ) – елементи матриці фундаментальних розв’язків Купрадзе.

За законом Гука через переміщення (13) можна обчислити компоненти тензора напружень (x) ( i, = ) від дії зосередженої сили, які фігурують як праві частини ГІР задачі для тіла з тріщиною.

Числовий розв’язок у випадку включення отримано з використанням запропонованої у попередньому розділі методики розв’язування слабосингулярних ГІР, числовий розв’язок у випадку тріщини – відомим з робіт В.В. Михаськіва методом розв’язування гіперсингулярних ГІР.

Рис. 3

Встановлено резонансні ефекти в околі жорсткого кругового включення, спричинені дією пари протилежно спрямованих зосереджених сил на різних відстанях d1 , d2  від центру дефекту. Розрахунки проведено і проілюстровано графічно як для симетричного розташування відносно включення точкових сил ( d1 = d2 = d ), так і для несиметричного відносно дефекту розташування сил ( d1  d2 ). На рис. подано залежності відносних амплітуд коефіцієнта інтенсивності напружень поперечного зсуву  = K2K , де K = (a3)12P0 2, від нормалізованого хвильового числа  = 2a  для випадку симетричного навантаження тіла з включенням вздовж осі Ox3 . Криві 1-7 відповідають наступним значенням приведеної віддалі = d a : 0,4 0,5 0,6 0,8 1,1 1,5 2.0.

З метою порівняння резонансних ефектів для контрастних неоднорідностей досліджено почастотну зміну амплітуд коефіцієнтів інтенсивності напружень в околі кругової тріщини від дії зосередженої в точці ( , 0, d ) сили з постійною амплітудою коливань P0 .

Рис. 4 Рис. 5

На рис. , наведено залежності відносних амплітуд коефіцієнтів інтенсивності напружень  = KjKj ( j = 1,2  K1, K2 відповідні статичні аналоги) від нормалізованого хвильового числа  = 2a . Криві 1,2 відповідають значенням = d a : 1,01,5.

У п’ятому розділі метод ГІР поширено на задачі тривимірної усталеної взаємодії у безмежному пружному тілі довільної кількості M плоских абсолютно жорстких включень та M плоских тріщин. Локальні системи координат O (m)Bx1(m)Bx2(m)Bx3(m)B для m-го включення і O (m)Tx1(m)Tx2(m)Tx3(m)T для n-ї тріщини вибрано так, щоб їх центр збігався з відповідним геометричним центром неоднорідності, а їх протилежним поверхням S (k) відповідали значення ( k = 1,…,M + MВключення мають рівномірно розподілені маси M (m) ( m = ) і ідеально з’єднані із матрицею. Вважається, що на поверхні тріщин S (k)T ( n = ) діють самозрівноважені гармонічні зусилля із заданими компонентами амплітуди Nj(n)+ = –Nj(n)– = Nj(n) ( j = ).

Граничні умови задачі визначаються умовами руху включень як жорстких тіл

(14)

та заданням зусиль на поверхнях тріщин

(15)

де uj0(m) і j(m) – невідомі сталі, які характеризують переміщення та поворот m-го включення.

Згідно з принципом накладання хвильових полів, вектор переміщень u в матриці подано у вигляді суми

(16)

де u(m)B ( m = ), u(n)T ( n = ) – сконструйовані в другому розділі інтегральні подання переміщень від стрибків напружень j(m) на m-му включенні та від стрибків переміщень uj(n) поверхонь n-ї тріщини відповідно.

Задоволенням за допомогою подання (16) граничних умов (14) і (15) на поверхнях усіх дефектів, задача про визначення полів напружень і переміщень у безмежному тілі з множинними концентраторами напружень переведена у площину розв’язання системи 3( M + M ) ГІР з полярною особливістю на включеннях та гіперсингулярною особливістю на тріщинах. Ядра рівнянь записано у диференціальній формі для довільно розташованих неоднорідностей.

Для випадку компланарних (розташованих в одній площині x3(m)B = x3(n)T = 0 ) включень і тріщин ядра ГІР отримано у бездиференційній формі. Тоді система рівнянь відносно невідомих стрибків напружень j(m) і стрибків переміщень uj(n) розпадається на дві незалежні підсистеми, що відповідають симетричному (2M + M рівнянь) і антисиметричному (M + 2M рівнянь) навантаженню тіла. Зокрема, система ГІР симетричної задачі має вигляд

x(m)B  S (m)B  x(m)B O(k)BO(m)B x(m)B  x(km)TB O(k)TO(m)B x(m)B 

x(n)T  S (n)T  x(kn)T = O(k)TO(n)T + x(n)T  x(kn)BT = O(k)BO(n)T + x(n)T  (17)

де Rj , Lj , K – ядра типу потенціалу Гельмгольца, що залежать від відстані між точками інтегрування та джерела O(k)O(m) – вектор, що з’єднує початки k-ї і m-ї систем координат.

У перших 2M рівняннях (17) слабосингулярні (з полярною особливістю) у точці (m)B = x(mm)B ядра Rj ( x(mm)B, (m)B ) збігаються з ядрами системи двох ГІР симетричної задачі про ізольоване включення у пружному тілі, регулярні ядра Rj ( x(km)B= x(nn)T ( k  m ) і Lj ( x(km)TB, (k)T ) описують вплив на m-ве включення k-го включення і k-ї тріщини відповідно. В інших M рівняннях гіперсингулярне в точці (n)T = x(nn)T ядро K( x(nn)T, (n)T ) має ту ж форму, що й у ГІР симетричної задачі про ізольовану тріщину в пружному тілі, регулярні ядра K( x(kn)T, (k)T ) ( k  n ) і Lj ( x(kn)BT, (k)B ) описують вплив на n-ту тріщину k-ї тріщини і k-го включення відповідно.

На основі однотипності слабосингулярних чи гіперсингулярних ядер у випадках взаємодіючих та поодинокого включення чи поодинокої тріщини, для розв’язання отриманих ГІР (17) використано поєднання запропонованої у другому розділі методики чисельного розв’язання слабосингулярних рівнянь та відомої методики розв’язання гіперсингулярних рівнянь, що включають регуляризаційні процедури та побудову їх дискретних аналогів.

Для прикладу досліджено взаємодію кругового включення з радіусом aB і кругової тріщини з радіусом aT під нормальними гармонічними зусиллями з постійною амплітудою N3 N0 const. Під час обчислень співвідношення радіусів неоднорідностей вибиралося як aTaB = 0,1 приведена маса включення = M (a) вважалася одиничною.

Рис. 6 Рис. 7

На рис. подано залежності відносних амплітуд коефіцієнта інтенсивності напружень розриву в околі тріщини  = K1TK1*, ( K1* = 2N0(aT)12 – статичний коефіцієнт інтенсивності напружень розриву для ізольованої тріщини під дією зусиль N0 ) від нормалізованого хвильового числа  =  aTc2 у ближній до включення точці контуру тріщини з кутовою координатою T = 0. Цифрами позначено криві, що відносяться до різних розмірів d перетинки між неоднорідностями: 1 – d aT = 0,05 2 – ,07 3 – ,1 4 – ,15. Рис. ілюструє зміну вздовж контуру тріщини, віддаленої на відстань d aT = 0,05 від включення, для фіксованих значень хвильових чисел:
1 –  = 0,2 2 – ,0 3 – ,5. Всюди марковані криві описують відповідну поведінку коефіцієнта інтенсивності напружень розриву у випадку ізольованої тріщини.

Останній параграф цього розділу містить результати дослідження взаємодії тріщин, на поверхнях яких діють несинхронні (контрастні за частотою (n)  (m) ) гармонічні навантаження. У цьому випадку часову координату не вдається вилучити із аналізу величин напружено-деформованого стану введенням спільного експоненціального часового множника. Тоді вектор переміщень u (x, t) у тілі із взаємодіючими тріщинами допускає подання

(18)

Тут u(mn) – невідома амплітуда переміщень у тілі з тріщинами, викликана розкриттям n-ї тріщини від дії на поверхнях m-ї тріщини гармонічних зусиль з круговою частотою (m). Таке подання інтерпретує хвильовий процес як багатомодовий, причому кожна з мод описує коливний процес за наявності навантажень лише на одній із тріщин і за відсутності навантажень на решти. Для відшукання невідомих величин отримано систему 3M  ГІР типу потенціалу Гельмгольца шляхом альтернування правих частин ГІР задач про синхронні коливання аналогічної системи тріщин.

Після розв’язання ГІР проаналізовано коефіцієнти інтенсивності напружень відриву під час несинхронної взаємодії двох однакових кругових компланарних тріщин для різних співвідношень між частотами коливань нормальних зусиль, заданих на тріщинах. Раніше у співавторстві з науковим керівником проводились дослідження для однотипних (синусоїдальних або косинусоїдальних) навантажень тріщин. В даній роботі розглядаються навантаження, які відрізняються як частотою, так і фазою коливань. Несинхронна взаємодія компланарних тріщин проілюстрована графіками залежностей коефіцієнтів інтенсивності напружень від нормалізованого хвильового числа.

У висновках коротко наведено основні підсумки роботи та сформульовано отримані результати.

Основні результати та висновки

Дисертаційна робота присвячена аналітико-числовому дослідженню динамічних коефіцієнтів інтенсивності напружень біля поодиноких та взаємодіючих дефектів типу плоских жорстких рухомих включень та плоских тріщин у безмежному тілі у допущенні тривимірності постановок задач, довільного розташування, форми та кількості дефектів, просторового задання зовнішніх навантажень чи хвиль, що дифрагують на неоднорідностях. Найбільш вагомі результати доповнюють теоретичні засади методу ГІР стосовно розглянутого класу задач і включають:

1. Побудову інтегральних зображень компонент переміщень та напружень для задачі стаціонарних (нестаціонарних) коливань масивного включення у безмежному тілі.

2. Виведення систем ГІР з ядрами потенціалу Гельмгольца для опису усталених процесів та хвильового потенціалу для опису перехідних процесів у тривимірному тілі з включенням.

3. Отримання інтегральних подань компонент переміщень та напружень у безмежному тілі під час усталеної взаємодії у ньому довільно розташованих плоских жорстких включень та плоских тріщин з подальшим зведенням задач до ГІР.

4. Спосіб побудови ГІР тривимірних задач несинхронної взаємодії тріщин у безмежному тілі.

5. Отримання залежностей для динамічних коефіцієнтів інтенсивності напружень через розв’язки ГІР у випадку кругових включень.

6. Ефективні альтернативні підходи до обернення систем ГІР вихідних динамічних стаціонарних задач теорії жорстких включень.

На основі розв’язання ГІР та аналізу параметрів коливного процесу у тривимірному безмежному тілі з плоскими круговими концентраторами напружень виявлено нові якісні і кількісні закономірності.

·

·

·

·

·

Основний зміст дисертаційної роботи відображено у публікаціях:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Анотація. Хай О.М. Усталені коливання у тривимірних тілах з плоскими концентраторами напружень. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. – Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, Львів, 2003.

У дисертації методом граничних інтегральних рівнянь (ГІР) досліджуються динамічні коефіцієнти інтенсивності напружень у тривимірних безмежних пружних тілах з поодинокими та взаємодіючими плоскими абсолютно жорсткими включеннями і тріщинами під дією усталених навантажень та хвильових полів. Метод базується на побудові інтегральних зображень розв’язків у вигляді комбінацій потенціалів Гельмгольца, в яких невідомі густини характеризують стрибки напружень на протилежних поверхнях включень або стрибки переміщень протилежних поверхонь тріщин. Задачі зведено до двовимірних інтегральних рівнянь з інтегруванням вздовж областей дефектів, що мають довільне розташування і конфігурацію. Метод ГІР поширено на тривимірні задачі несинхронної взаємодії тріщин. Для розв’язання систем ГІР розглянутих динамічних стаціонарних задач запропоновано аналітичний метод малого параметра в низькочастотній області та числовий граничноелементний метод для широкого діапазону хвильового числа. Проведено аналіз параметрів коливного процесу (включаючи явища резонансного типу) у тілі з плоскими круговими концентраторами напружень для широкого спектру частот коливань, різних зовнішніх чинників, геометричних параметрів та кількості дефектів.

Ключові слова: безмежне пружне тіло, плоске жорстке включення, плоска тріщина, взаємодія дефектів, гармонічні за часом збудження, метод граничних інтегральних рівнянь, коефіцієнти інтенсивності напружень.

Аннотация. Хай О.М. Гармонические колебания в трехмерных телах с плоскими концентраторами напряжений. – Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела. – Институт прикладных проблем механики и математики им. Я.С. Подстригача НАН Украины, Львов, 2003.

В диссертации методом граничных интегральных уравнений (ГИУ) исследуются динамические коэффициенты интенсивности напряжений в трехмерных бесконечных упругих телах с одиночными и взаимодействующими плоскими абсолютно жесткими включениями и трещинами под действием гармонических нагрузок и волновых полей. Метод базируется на построении интегральных представлений решений в виде комбинаций потенциалов Гельмгольца, в которых неизвестные плотности характеризуют скачки напряжений на противоположных поверхностях включений или скачки перемещений противоположных поверхностей трещин. Задачи сведены к двумерным интегральным уравнениям с интегрированием по областям дефектов, что имеют произвольное расположение и конфигурацию. Метод ГИУ распространено на трехмерные задачи несинхронного взаимодействия трещин. Для решения систем ГИУ рассмотренных динамических стационарных задач предложен аналитический метод малого параметра в низкочастотной области и численный граничноэлементный метод для широкого диапазона волнового числа. Проведено анализ параметров колебательного процесса (включая явления резонансного типа) в теле с плоскими круговыми концентраторами напряжений для широкого спектра частот колебаний, разных внешних факторов, геометрических параметров и количества дефектов.

Ключевые слова: бесконечное упругое тело, плоское жесткое включение, плоская трещина, взаимодействие дефектов, гармонические во времени возбуждения, метод граничных интегральных уравнений, коэффициенты интенсивности напряжений.

Abstract. KhayThe steady-state vibrations in 3-D solids with plane stress concentrators. – Manuscript.

The thesis for a Candidate’s Degree in Physics and Mathematics; speciality: 01.02.04 – Mechanics of Deformable Bodies. – Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, L’viv, 2003.

The thesis is dedicated to analytical and numerical determination of dynamic stress intensity factors in 3-D infinite elastic solids with single and interacting plane absolutely rigid inclusions of given mass and plane cracks under steady-state loadings and wave fields by the boundary integral equations (BIEs) method. The method is based on the integral representations of solutions by Helmholtz potential combinations for the problem of time-harmonic vibrations of inclusion in the solid. By using the inverse Fourier transformation, the solutions of non-stationary 3-D problems about the stress-strain state in the solid, containing a plane rigid inclusion, are obtained in the form of wave potential combinations. This possibility is motivated by formal analogy of the dynamic problems in