Національна Академія Наук України

Фізико-технічний інститут низьких температур

ім. Б.І. Вєркіна

РИБАЛКО Володимир Олександрович

УДК 517.9

УСЕРЕДНЕНІ МОДЕЛІ З ПАМ’ЯТТЮ

01.01.03 – математична фізика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Харків – 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б.І. Вєркiна НАН України.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор,

академік НАН України

Хруслов Євген Якович

Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркiна НАН України,

м. Харків, заступник директора

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник

Ковалевський Олександр Альбертович

Інститут прикладної математики і механіки НАН України, м. Донецьк,

провідний науковий співробітник

доктор фізико-математичних наук, доцент

Мельник Тарас Анатолійович

Київський національний університет імені Тараса Шевченка, м. Київ,

професор кафедри математичної фізики

Провідна установа:

Інститут математики НАН України, м. Київ.

Захист відбудеться 29.12.2003 р. о _14____ на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.175.01 у Фізико-технічному інституті низьких температур імені Б.І. Вєркіна НАН України за адресою: 61103, м. Харків, пр. Леніна, 47.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Фізико-технічного інституту низьких температур, м. Харків, пр. Леніна, 47.

Автореферат розісланий 28.11. 2003 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Горькавий В.О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми. У багатьох прикладних задачах виникає необхідність вивчення моделей середовищ з великим числом неоднорідностей (включень, пор, тріщин і т.д.). Такі середовища прийнято називати сильно неоднорідними середовищами. Фізичні процеси в таких середовищах як правило погано піддаються чисельному моделюванню. Ясно також, що явні аналітичні розв’язки можливо знайти тільки у виключних випадках. Тому на першу роль у цьому колі питань виходять асимптотичні методи.

Саме з дослідженням математичних моделей сильно неоднорідних середовищ і пов’язане виникнення в 1970-1980-тих роках нової галузі математичної фізики – теорії усереднення диференціальних рівнянь з частинними похідними. З математичної точки зору, в теорії усереднення ми маємо справу з крайовими задачами, що складним чином залежать від малого (великого) параметра (наприклад, коефіцієнти рівнянь – періодичні функції з малим періодом, або область перфорована великим числом “дірок”), і основне питання полягає у вивченні асимптотичної поведінки розв’язків цих задач за параметром. Виявилось, що при досить загальних припущеннях поведінка розв’язків у головному члені асимпотики описується усередненою задачею, що вже не залежить від параметра.

Вперше до питання усереднення крайових задач в областях з дрібнозернистою межею звернулись В.О. Марченко і Є.Я. Хруслов в роботі 1964 року, де була досліджена задача Діріхле; пізніше суттєві результати для задачі Неймана в перфорованих областях були отримані Є.Я. Хрусловим (1978) та D. Cioranescu і J. Saint Jean Paulin (1979). Перші дослідження аналогічних задач для нелінійних рівнянь пов’язані з іменами І.В. Скрипника і О.А. Ковалевського. До іншого важливого напрямку, що тісно пов’язаний з задачами в перфорованих областях, відносяться питання усереднення рівнянь з швидкозмінними коефіцієнтами. Тут перший результат було отримано М.І. Фрейдліним (1964) для лінійних рівнянь другого порядку з періодичними коефіцієнтами. В подальшому, задачі теорії усереднення привертали увагу багатьох вітчизняних і зарубіжних математиків. Вагомий внесок у розвиток теорії внесли такі вчені як В.О. Марченко, Є.Я. Хруслов, І.В. Скрипник, Н.С. Бахвалов, Г.П. Панасенко, О.А. Олійник, В.В. Жиков, С.М. Козлов, S. Spagnolo, E. De Giorgi, L. Tartar, F. Murat, E. Sanchez-Palencia, A. Bensoussan, J.L. Lions, G. Papanicolau.

Не зважаючи на значний прогрес у теорії усереднення, що здобуто в останні десятиріччя, багато напрямків продовжують розвиватись в теперішній час. Зокрема, предметом активних досліджень в останні роки є нестаціонарні моделі, що приводять в результаті усереднення до нелокальних за часом усереднених моделей (моделей з пам’яттю). Це явище звичайно пов’язане з втратою компактності при граничному переході, і тому класична техніка усереднення досить часто потребує суттєвих модифікацій. Найбільш відомим прикладом з цього приводу є модель подвійної пористості, яку досліджували вперше T. Arbogast, J. Douglas, U. Hornung (1990). Вона описується рівнянням дифузії з тензором коефіцієнтів дифузії, що не задовольняє умову рівномірної еліптичності. Пізніше споріднені питання розглядали Е.Я. Хруслов (1994), Н.С. Бахвалов, М.Е. Егліт (1995), A. Bourgeat, S. Luckhaus, A. Mikelic (1996), A. Bourgeat, A. Mikelic, А.Л. П’ятницький (1998), Г.В. Сандраков (1999), В.В. Жиков (2000). Зазначимо, що у всіх згаданих роботах дослідження проведені при припущенні, що міра множини, де тензор коефіцієнтів дифузії є рівномірно еліптичним, відділена від нуля. Проте, в багатьох практичних задачах (наприклад, теорії фільтрації в тріщиновато-пористих середовищах) цю умову не справджується. Таку модель розглянуто в першому розділі дисертації, де припускається, що тензор коефіцієнтів дифузії вироджується на множині асимптотично повної міри.

У другому розділі дисертації розглянуто модельну задачу типу подвійної пористості для рівняння реакції-дифузії. Ця задача має свою специфіку, пов’язану з її нелінійним характером і не вивчалась раніше. Дослідження другого розділу дисертаційної роботи узагальнюють результат, що отримали T. Arbogast, J. Douglas, U. Hornung для лінійної моделі, на напівлінійний випадок.

Третій розділ дисертаційної роботи присвячений задачі про коливання пружних середовищ з великим числом концентрованих мас (дрібних важких включень). Ця тематика бере свій початок у роботі E. Sanchez-Palencia (1983), де було вивчено модельну задачу про коливання тіла з одним важким включенням. Пізніше з’явилося багато робіт (О.А. Олійник (1988), C. Leal, J. Sanchez-Hubert(1989), Ю.Д. Головатий, С.А. Назаров, О.А. Олійник (1990), О.А. Олійник, J. Sanchez-Hubert, Г.А. Іосіф’ян(1991), та інші), що присвячені моделям з однією або декільками (фіксованим числом) концентрованими масами. Поряд з цим моделі коливань середовищ з великим числом концентрованих мас менше вивчені. Цим питанням присвячені роботи Lobo і Perez (1993,1995,2001), де розглянуті власні коливання структур з великим числом концентрованих мас на межі середовища, а також дослідження Т.А. Мельника (1999,2001) та Т.А. Мельника і С.А. Назарова (2000) власних коливань з’єднань з великим числом важких стержнів. На відміну від згаданих робіт в дисертації вивчається істотно векторна модель (для рівнянь теорії пружності) і без припущення періодичності щодо розподілу концентрованих мас.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослiдження виконане в рамках тематичного плану ФТIНТ за вiдомчою тематикою за темами “Асимптотичні методи дослідження розв’язків початково-крайових задач” , № 0196U002942, та “Дослідження асимптотичної поведінки розв’язків нелінійних еволюційних рівнянь”, № 0100U004485.

Мета i задачi дослiдження. Мета роботи полягає в побудові і обґрунтуванні усереднених моделей для сильно неоднорідних середовищ з ефектами макроскопічної памяті.

Об’єктом дослідження є модель подвійної пористості та її аналог для рівняння реакції-дифузії, спектральна та нестаціонарна моделі в задачі про коливання пружних середовищ з концентрованими масами.

Предметом дослідження є асимптотична поведінка розв’язків початково-крайових задач для рівняння дифузії і реакції-дифузії з тензором коефіцієнтів дифузії, що не задовольняє умові рівномірної еліптичності; асимптотична поведінка власних значень і власних векторів задачі, що описує власні коливання пружних середовищ з великою кількістю важких абсолютно твердих включень, а також розв’язків нестаціонарної початково-крайової задачі, що описує вільні коливання таких середовищ.

Методи дослiдження. В дисертацiйній роботі використанi методи теорії усереднення: енергетичний метод (L. Tartar), метод варіаційних нерівностей (Е.Я. Хруслов), двохмасштабної збіжності (G. Nguetseng, G. Allaire, В.В. Жиков); методи функціонального аналізу, теорії функцій комплексного змiнного та спектральної теорії самоспряжених операторів.

Наукова новизна одержаних результатiв. В дисертації вперше:

1.

2.

3.

Практичне значення одержаних результатiв. Робота носить теоретичний характер. Її результати є певним внеском в теорію усереднення, а розвинуті методи можуть бути використані в подальших дослідженнях моделей сильно неоднорідних середовищ.

Особистий внесок здобувача. Всi основнi результати роботи отриманi автором самостiйно. В сумісних роботах [4],[5] Л.С. Панкратову належить постановка задач, в роботі [5] А.Л. П’ятницькому належить формальне виведення усередненої моделі.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати дисертацiї доповідалися на семiнарах відділу №23 Фiзико-технiчного iнституту низьких температур iм. Б.І. Вєркiна НАН України (керівник: академік НАН України, професор Є.Я. Хруслов), семінарах лабораторії математичної фізики і геометрії Університету Париж 7 Дені Дідро (керівники: професори A. Boutet de Monvel, H. Eliasson, A. Voros, J. Zinn-Justin), а також на міжнародних конференціях “Inverse problems and nonlinear equations” (Харків, 2002), AMAM 2003 (Ніца, Франція 2003).

Публікації. Основні результати опубліковано у 5 статтях [1]-[5] у наукових фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України, та в тезах конференції [6].

Структура та обсяг дисертацiї. Дисертацiйна робота складається з вступу, трьох розділів, висновків, списку використаних джерел, що містить 97 найменувань, та одного додатка. Повний обсяг роботи складає 145 стор., з них список використаних джерел займає 11 стор., додаток – 2 стор.

ОСНОВНИЙ ЗМIСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, визначено мету і задачі дослідження, вказано наукову новизну одержаних результатів.

У першому розділі вивчається модель дифузії з тензором коефіцієнтів дифузії, що вироджується на множині асимптотично повної міри. Розглядається наступна початково-крайова задача на скінченому інтервалі часу (0,T):

(1a)

(1b)

(1c)

де ? – обмежена область з кусково-гладкою межею, , v – вектор зовнішньої нормалі, е– малий параметр. Припускається, що тензор є симетричним, рівномірно (відносно параметра е) обмеженим та еліптичним на деякій області асимптотично малої міри,

(2)

і вироджується при е>0 на . Більш докладно, будемо вважати, що

(3)

причому

(4)

Вивчається асимптотичну поведінку розв’язків задачі (1), коли е>0.

Важливу роль в асимптотичному аналізі задачі (1) відіграє припущення сильної зв’язності (SC-умова) областей у сенсі наступного означення, що було введено Є.Я. Хрусловим.

Означення 1. Говоритимемо, що сім’я областей задовольняє SC-умову, якщо для довільної послідовності {u}, що задовольняє оцінку

і кожного M=1,2,… існує сім’я множин, таких що

(де Lip(M,Q) позначає клас неперервних в Q функцій u, що задовольняють для довільних x,yєQ нерівностям |u(x)|<M, |u(x)-u(y)|<M|x-y|), і

для достатньо малих е.

У підрозділі 1.2 вводиться також поняття збіжності в областях, що є аналогом сильної збіжності для областей асимптотично малої міри.

Означення 2. Послідовність функцій збігається до функції u, якщо існує апроксимуюча послідовність {uMєLip(M,Щ)}, що збігається сильно в Щ до функції u при M?8

Для формулювання основних результатів першого розділу означимо локальні характеристики множин, пов’язані з задачею (1). Нехай K – куб з центром в точці z і ребрами довжини h (h<<1), орієнтованими за координатними осями. Введемо локальну характеристику множини :

де г>0, l=(l1, l2,…, ln). Легко бачити, що функціонал є квадратичним за l:

Введемо, далі, локальну характеристику

де Іf,Im – характеристичні функції множин.

Основним результатом першого розділу є наступна теорема, що описує асимптотичну поведінку розв’язків задачі (1) при .

Теорема 1. Нехай виконуються умови (2)-(4), а також наступні умови.

(A1) Існує неперервна функція (x)>0, така що

для всіх x є Щ.

(A2) Сім’я множин (є>0) задовольняє SC-умову.

(A3) Для деякого 0<?<2,і всіх x є Щ, існують границі

Крім того, тензор задовольняє умову еліптичності з постійною ?0>0, що

не залежить від x є Щ.

(A4) Для деякого 0<?<2, і кожного ?>0, існує функція b(x,?), така що

і (д<1) при л>+?.

(A5) Справедливе представлення f=f1+ f2, де f1єС(?), при і

послідовність збігається до деякої функції f2.

Тоді, для всіх t є (0,T) розв’язки задачі (1) збігаються сильно в до tf1(x) (при ?>0) і збігаються до розв’язку u(t,x) наступної початково-крайової задачі

де “*” позначає згортку за змінним t,

а - аналітична за ? функція, що співпадає з b для дійсних ?>0 і x є Щ.

Доведення теореми 1 проводиться в підрозділах 1.4 і 1.5, і складається з наступних основних етапів. За допомогою перетворення Лапласа задача (1) зводиться до стаціонарної задачі для u(x,л)=?exp(-л t)u(t,x)dt. Асимптотичну поведінку розв’язків останньої задачі вивчено в підрозділі 1.4 варіаційними методами. Цей підрозділ є найбільш складним місцем доведення теореми 1, а його головний результат, що сформульовано нижче, має самостійний інтерес.

Теорема 2. Нехай виконуються умови теореми 1. Тоді для кожного ?>0 сім’я розв’язків задачі (5) збігається сильно до f1/ л (п?и е>0) і збігається до розв’язку наступної задачі

Доведення теореми 1 завершується у підрозділі 1.5, де твердження про збіжність розв’язків стаціонарної задачі (5) розповсюджується за допомогою оберненого перетворення Лапласа на розв’язки задачі (1).

У підрозділі 1.6 розглядається періодичний випадок, коли множина F утворюється періодичною системою з тонких ортогональних шарів орієнтованих за координатними плоскостями. В цьому випадку усереднену модель знайдено в явному вигляді.

Другий розділ дисертації присвячений моделі типу подвійної пористості для рівняння реакції-дифузії. Розглядається наступна початково-крайова задача на скінченому інтервалі часу (0,T):

Du/dt- Дa(x,x/е)u + g(u) = h(x), (t,x)є?Е ; (6a)

?u/?v=0; (6b)

u(0,x))=U(x) (6c)

де ? – обмежена область в R з кусково-гладкою межею, v– вектор зовнішньої нормалі В (6) g– нелінійна функція класу C(R), що задовольняє такі умови :

(B1) для деяких і ,

g(u)<(A1+u)

причому p<q якщо n=2.

(B2) -8<inf g’(u).

Коефіцієнт a(x) в (6) задається наступним чином. Нехай Y=(0,1), і нехай задані дві множини F,M. Позначимо через IF та IM – характеристичні функції множин, продовжені Y періодично на весь простір. Будемо вважати, що множина F є відкритою, зв’язною, та має кусково-гладку межу. Тоді a(x) задається формулою

a(x)=a(x,x/e)IF+k(e) a(x,x/e)IM

де a(x,y) – додатна (та відділена від нуля) Y- періодична за y функція, k– додатний параметр, що прямує до нуля.

Вивчається асимптотична поведінка розв’язків задачі (6).

Основним результатом другого розділу є наступна теорема.

Теорема 3. Нехай функція g в (6) задовольняє умови (B1), (B2); сім’я функцій h є обмеженою; початкові дані задовольняють нерівність

з константою A2, що не залежить від е; послідовності функцій та двохмасштабно збігаються до h=h(x,y), та U=U(x,y), відповідно; норми h та U в L2 прямують до норм h та U, відповідно. Тоді гранична функція U має вигляд U=Uf , і справедливі наступні твердження.

(i)

Duf/Dt-div(graduf)+g(u)=S(u) (7a)

uf=0 x є DG (7b)

uf(0)=Uf x є G (7c)

Dum/Dt-divy(grady um)+g(u)=h (7d)

um=0 xєDM\DF (7e)

функція um – Y-періодична (7f)

um(0)=Uf –Um (7g)

де елементи тензора визначаються формулою (8).

(ii)

u/Dt-div(gradu)+g(u)=S(u)

u=0 x є DG

u(0)=U x є G

де тензор визначається через (8) – (9) .

Зазначимо, що у критичному випадку функція S в (7a) виражається як функціонал від x та uf. Важливою властивістю цього функціоналу є той факт, що він залежить не тільки від значень u в момент часу t, але від всієї траєкторії. Таким чином, права частина в рівнянні (7a) є нелокальною за часом. Це представляє ефект пам’яті в усередненій моделі.

Доведення теореми 3 проводиться в підрозділі 2.4 за допомогою апарату двохмасштабної збіжності поєднаного з варіаційними методами.

У третьому розділі розглядається задача про коливання пружного однорідного ізотропного середовища з системою із ідентичних абсолютно твердих однорідних тіл (включень). Припускається, що включення займають (в еталонній конфігурації) однозв’язні області F з гладкими межами; пружне середовище займає G, де G – обмежена область. Густина всього композитного середовища задається функцією p

де p– (постійна) густина пружного середовища та включень, відповідно.

Математичні моделі коливань такого середовища в рамках припущень лінійної теорії пружності (мова йде про малі коливання) приведено у підрозділі 3.1. У підрозділі 3.2 ці моделі переписуються в операторній формі.

Введемо гільбертів простір V вектор-функцій u зі скалярним добутком

Тут K – клас вектор-функцій u, звуження яких на F мають вигляд u=a+bx де x – радіус-вектор точки x. Визначимо самоспряжений додатний оператор A в V за правилом: uєD(A) і Au=f тоді і тільки тоді, коли uєH і задовольняє рівність (9).

В введених позначеннях власні коливання композитного середовища описуються спектральною задачею

Au-lu=0 (10)

а його вільні коливання – задачею Коші

Du/Dt+Au=0 (11a)

u(0)=U1,Du/Dt(0)=U2 (11b)

Для фіксованих значень параметра n ці задачі є класичними: задача (10) має дискретний спектр з власних значень скінченої кратності, відповідні власні вектори можуть бути вибрані ортонормованими в V; задача (11) однозначно розв’язна при традиційних припущеннях на початкові дані. Вивчається асимптотичну поведінку розв’язків зазначених задач коли число включень і їх густина стають великими.

Визначимо деякі додаткові характеристики середовища, необхідні для формулювання основних результатів розділу. Введемо позначення: xjn– центр мас j-го включення; d– радіус мінімальної кулі з центром в xjn, що містить F; d– мінімум з відстаней до межі. Далі, нехай L – простір вектор-функцій, які мають вигляд u=a+bx i на R\F задаються рівністю u=w, де w – розв’язок задачі (9). Визначаючи в L скалярний добуток, знаходимо 6-вимірний евклідів простір. Позначимо через Tk власні значення оператора A:L-L. A має шість (враховуючи кратність) додатних власних значень, які не залежать від j. Відповідні власні вектори можуть бути вибрані ортонормованими в L. Маючи це на увазі, поставимо в відповідність j-му включенню шість матриць з елементами B. Величини и і матриці B є основними локальними характеристиками середовища. За допомогою матриць B визначимо узагальнені матриці-функції. Для описання асимптотичної поведінки розв’язків задачі (11) введемо також узагальнені вектор-функції Zkl (l=1,2), пов’язаніз початковими даними.

Нехай параметр n приймає значення в деякій нескінченій підмножині N множини натуральних чисел, і нехай виконуються наступні умови:

(С1) існує стала C>0, що не залежить від n, така що an<Cd;

(С2) існують слабкі границі Bk,k=1,..,6;

(С3) величини tk мають (скінчені або нескінчені) границі.

Поряд з цими умовами, у випадку задачі Коші (11), накладаються такі обмеження на початкові дані:

(С4) послідовності норм Un – обмежені;

(C5)) Un слабко збігається ;

(C6) Zkl збігається для всіх к=1,…,6.

При умовах (C1)-(C3) асимптотичний спектральний аналіз операторів A приводить до спектральної задачі для дрібно-раціонального операторного пучка S (що залежить від спектрального параметра)

Цей пучок має дискретний спектр з власних значень скінченої кратності, які можуть нагромаджуватись тільки в точках tk (k=1,…,K) і на нескінченості.

Теорема 4. Нехай нехай виконуються умови (C1)-(C3). Тоді, для довільних a,b, послідовність рахуючих функцій власних значень операторів A збігається до функції N.

З теореми 4 видно, що при граничному переході власні значення операторів A можуть нагромаджуватись в деяких скінчених точках. Тому виникає істотне питання: описати всі границі лінійних комбінацій власних векторів, що відповідають близьким власним значенням. Точний сенс цим об’єктам надається у наступному означенні.

Означення 3. Говоритимемо, що {u є V} – послідовність нормованих квазівласних векторів (Q-послідовність), якщо для кожного d>0 знайдеться s, таке що, коли n>s u належить до лінійної оболонки власних векторів A, які відповідають власним значенням з інтервалу (-d,d).

Зазначимо, що оператори A діють в різних просторах V, які всі вкладені в V. З цієї причини описання границь Q-послідовностей надається саме в цьому просторі V. Твердження, що наведено далі, містить властивості оператор-функції S необхідні для формулювання основного результату щодо асимптотичної поведінки квазівласних векторів.

Твердження 1. Для кожного існують сильні операторні границі, що є скінченовиміними операторами в V.

Теорема 5. Нехай виконуються умови теореми 4, тоді

(i)

(ii)

Порівнюючи теореми 4 і 5, приходимо до висновку, що існують Q-послідовності, які сильно в V збігаються до нуля (локальні коливання). При цьому відповідні власні значення прямують до точок tk.

Основним результатом, що описує асимптотичну поведінку розв’язків задачі (11) при припущеннях (C1)-(C6), є наступна теорема.

Теорема 6. Нехай виконуються умови (C1)-(C6). Тоді послідовність розв’язків задачі (11) збігається в C([0,T];V), для кожного скінченого інтервалу часу (0.T), до єдиного розв’язку u задачі

Du/dt-Au+K*u=0

де позначає згортку за змінним часу .

Сформульовані вище результати відносяться до ситуації, коли включення є дуже дрібними (умова (C1)). Розглядається також випадок, коли включення мають більші розміри, чим в умові (C1). А саме, припустимо, що замість умов (C1), (C3) виконуються наступні умови:

(С1’) C не залежить від n;

(С3’) tk при n.

Теорема 7. Нехай нехай виконуються умови (C1’), (C2), (C3’). Тоді справедливі наступні твердження.

(i)

Au-w(B+pI)u=0. (12)

(ii)

(iii)

Теорема 8. Нехай і нехай виконуються умови (C1’), (C2), (C3’), (C4)-(C6). Тоді послідовність розв’язків задачі (11) збігається в C([0,T];V), для кожного скінченого інтервалу часу (0,T), до єдиного розв’язку u задачі

(p+Ф)Du/dt-Au=F

Доведення означених вище результатів наводиться в підрозділі 3.6, його основними етапами є усереднення резольвент операторів A енергетичним методом і дослідження асимптотичної поведінки спектральних сімей цих операторів. Суттєвим чином в доведенні використовуються результати попередніх підрозділів 3.4 і 3.5, де вивчаються властивості оператор-функції S і спектральна задача для ”локальних” операторів A. В підрозділі 3.7 наведено (в явному вигляді) усереднені моделі для випадку, коли включення – однакові кулі, що розповсюджені періодично в області G.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі вивчено три моделі сильно неоднорідних середовищ, що виказують ефект пам’яті. У всіх трьох моделях цей ефект з’являється при усередненні, тоді як вихідні нестаціонарні задачі є локальними за часом. В роботі:

1.

2.

3.

Зазначимо, що ефекти пам’яті в розглянутих моделях обумовлено різними причинами. Якщо в першій та другій моделі вони спричинені контрастними транспортними властивостями різних компонентів середовища, в останній моделі ефект пам’яті виникає завдяки великій інертності включень.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

АНОТАЦІЯ

Рибалко В.О. Усереднені моделі з пам’яттю. – Рукопис. – Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.03 – математична фізика. – Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, Харків, 2003.

В дисертаційній роботі вивчено три моделі сильно неоднорідних середовищ, що виказують ефект пам’яті.

Досліджено модель дифузії з тензором коефіцієнтів дифузії, що вироджується на множині асимптотично повної міри. Вивчено асимптотичну поведінку розв’язків відповідної початково-крайової задачі і показано, що головний член асимптотик описується усередненою моделлю з пам’яттю.

Вивчено початково-крайову задачу для рівняння реакції-дифузії з коефіцієнтом дифузії, що асимптотично вироджується на періодичній множині. Знайдено усереднену двохмасштабну модель, що описує асимптотичну поведінку розв’язків цієї задачі коли .

Досліджено спектральну та нестаціонарну моделі коливань пружних середовищ з великим числом важких абсолютно твердих включень. Для спектральної моделі знайдено усереднену спектральну задачу для дрібно-раціонального операторного пучка, яка асимптотично описує глобальні коливання (коливання, що збуджують все середовище). Показано, що існують також локальні коливання (які зосереджені в околі включень), вони відповідають власним значенням, які нагромаджуються в полюсах пучка. Для нестаціонарної моделі знайдено усереднену задачу, що є нелокальною за часом. Доведено теореми збіжності.

Ключові слова: крайові задачі, усереднені моделі, ефекти пам’яті, асимптотична поведінка.

АННОТАЦИЯ

Рыбалко В.А. Усредненные модели с памятью. – Рукопись. – Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 – математическая физика. – Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины, Харьков, 2003.

В последнее время значительный интерес в теории усреднения дифференциальных уравнений в частных производных вызывают нестационарные модели, которые приводят в результате усреднения к нелокальным по времени усредненным моделям (моделям с памятью). Это явление обычно связано с потерей компактности при предельном переходе и поэтому стандартная техника усреднения требует зачастую существенных модификаций.

В диссертационнной работе изучены три модели сильно неоднородных сред, которые проявляют эффект памяти. Во всех трех моделях этот эффект возникает в усредненной модели (т.е. на макроскопическом уровне), в то время как исходные нестационарные задачи описываются локальными по времени уравнениями.

В первом разделе диссертации изучена модель диффузии с тензором коэффициентов диффузии вырождающимся на множестве асимптотически полной меры. Применяя преобразование Лапласа по времени, соответствующую нестационарную задачу сведено к семейству стационарных задач с параметром. Асимптотическое поведение решений последних задач исследовано вариационными методами усреднения. Возвращаясь с помощью обратного преобразования Лапласа в пространство оригиналов, получена усередненная начально-краевая задача, которая является нелокальной по времени. Доказано теорему о сходимости решений исходных начально-краевых задач к решению усредненной задачи, и слабой сходимости потоков. В одном периодическом случае усредненная модель найдена в явном виде.

Во втором разделе работы исследована модель типа двойной пористости для уравнения реакции-диффузии. Используя технику двухмасштабной сходимости и вариационные методы, найдена усредненная двухмасштабная задача и доказана теорема о сходимости решений исходных задач к решению усредненной задачи. В отличие от линейных моделей, эффект памяти в полученной усредненной задаче – нелинейный, соответствующий член уравнений не сводится к интегро-дифференциальному оператору типа свертки, как в линейном случае.

В третьем разделе рассмотрены спектральная и нестационарная модели колебаний сред с большим числом тяжелых абсолютно твердых включений. В рамках спектральной модели получена усредненная спектральная задача для дробно-рационального операторного пучка, которая асимптотически описывает глобальные колебания (колебания, которые возбуждают всю среду). Показано, что в таких средах возникают также локальные колебания, сосредоточенные в окрестности включений, и доказано, что эти колебания отвечают собственным значениям, которые аккумулируются в полюсах пучка. Для нестационарной модели найдена усредненная задача, которая является нелокальной по времени. Установлены теоремы сходимости, доказательство которых базируется на анализе специальных локальных операторов связанных с колебательными процессами в окрестности включений, и усреднении резольвент энергетическим методом. Приведены периодические примеры, для которых усредненные модели найдены в явном виде.

Изученные модели интересны как с математической точки зрения, так и для приложений, а развитые в работе методы могут быть использованы в дальнейших исследованиях задач теории сильно неоднородных сред. Отметим, что эффекты памяти в рассмотренных моделях физически обусловлены разными причинами. Если в моделях типа двойной пористости (которые исследуются в первом и втором разделах работы) они вызваны контрастными транспортными свойствами компонент среды, то в задаче о колебаниях упругих сред с тяжелыми включениями эффект памяти обусловлен большой инертностью включений.

Ключевые слова: краевые задачи, усредненные модели, эффекты памяти, асимптотическое поведение.

ABSTRACT

Rybalko V.O. Homogenized models with memory. – Manuscript. – The thesis for the scientific degree of candidate in physics and mathematics by speciality 01.01.03 – mathematical physics. – B. Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kharkiv, 2003.

The thesis deals with three models of strongly inhomogeneous media, that exhibit a memory effect.

The diffusion model, whose tensor of coefficients of diffusion degenerates on a set of asymptotically full measure, is investigated. The asymptotic behaviour of solutions of the corresponding initial boundary-value problem is studied. It is shown that the leading term of the asymptotics is described by a homogenized problem with memory.

The initial boundary-value problem for a reaction-diffusion equation, whose coefficient of diffusion degenerates asymptotically on a periodic set, is investigated. The homogenized two-scale model describing the asymptotic behaviour of solutions is obtained.

The spectral and nonstationary models for vibrating elastic media with a large number of heavy rigid inclusions are investigated. For the spectral problem, a homogenized spectral problem for a linear fractional operator pencil is obtained, that asymptotically describes global vibrations (i.e., those affecting the whole medium). It is shown also that there exist local vibrations (that are only significant in a small neighbourhood of inclusions); they correspond to eigenvalues accumulating in poles of the pencil. For the nonstationary model, a homogenized problem is obtained, that is nonlocal in time. The convergence theorems are proved.

Key words: boundary-value problems, homogenized models, memory effects, asymptotic behaviour.