НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОБУДУВАННЯ ім. А.М. ПІДГОРНОГО

САЛО Валентин Андрійович

УДК 539.3

ЧИСЕЛЬНО-АНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД РОЗВ’ЯЗАННЯ

ЗАДАЧ СТАТИКИ НЕТОНКИХ ОРТОТРОПНИХ ОБОЛОНОК

З ОТВОРАМИ ДОВІЛЬНИХ РОЗМІРІВ І ФОРМ

01.02.04 – Механіка деформівного твердого тіла

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Харків – 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Національному технічному університеті

"Харківський політехнічний інститут" Міністерства освіти і науки України.

Науковий консультант: – доктор технічних наук, професор

Морачковський Олег Костянтинович,

Національний технічний університет

"Харківський політехнічний інститут",

завідувач кафедри теоретичної механіки.

Офіційні опоненти: – доктор технічних наук, професор

Кантор Борис Якович,

Інститут проблем машинобудування

ім. А.М. Підгорного НАН України,

завідувач відділу міцності тонкостінних конструкцій

доктор технічних наук, професор

Грищак Віктор Захарович,

Запорізький державний університет

Міносвіти та науки України,

завідувач кафедри прикладної математики.

доктор фізико-математичних наук, професор

Чехов Валерій Миколайович,

Таврійський національний університет

ім. В.І. Вернадського,

завідувач кафедри прикладної математики.

Провідна установа: – Інститут технічної механіки НАН і НКА України,

відділ механіки деформівного твердого тіла,

м. Дніпропетровськ.

Захист відбудеться " 26 " лютого 2004 р. о 14-00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.180.01 при Інституті проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України за адресою: 61046, м. Харків, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

З дисертацією можна ознайомитись у науково-технічній бібліотеці ІПМаш ім. А.М. Підгорного НАН України за адресою: 61046, м. Харків, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

Автореферат розісланий " 21 " січня 2004 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради

к.т.н., с.н.с. Б.П.Зайцев

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У сучасній техніці оболонки з отворами є одними з найбільш відповідальних конструктивних елементів, від міцності і жорсткості яких залежить працездатність і надійність конструкції в цілому.

Широке використання в інженерних конструкціях оболонок із сучасних матеріалів, а також ускладнення конструктивних форм оболонкових елементів приводять до необхідності розвитку механіки оболонок, побудови уточнених моделей і розрахункових схем.

У науковій літературі накопичено великий доробок по методах розрахунку на міцність і жорсткість пружних оболонок. Разом з тим у механіці деформівного твердого тіла залишаються актуальними проблеми, що пов’язані із створенням ефективних методів для визначення напружено-деформованого стану (НДС) статично навантажених анізотропних і неоднорідних оболонок довільної товщини, з отворами довільних розмірів і форм. Істотний прогрес у цьому напряму є неможливим без застосування сучасних ЕОМ, залучення повної системи співвідношень тривимірної теорії пружності й узагальнених теорій оболонок, що ґрунтуються на різних підходах до зведення розв’язку тривимірної задачі регулярною послідовністю розв’язків двовимірних задач.

З огляду на потреби в уточнених розрахунках нетонких анізотропних оболонок з отворами, які розповсюджені у різних галузях техніки, розробка науково обґрунтованих, універсальних, надійних і алгоритмічно простих, ефективних при чисельній реалізації методів розрахунку зазначених оболонок, є актуальною проблемою, розв’язання якої має важливе наукове і практичне значення.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Результати роботи отримані при виконанні держбюджетних науково-дослідних тем: “Створення теорії і методів розрахунку тонкостінних конструкцій з ізотропних і ортотропних матеріалів, що пошкоджуються при повзучості” (2000–2003 рр., № ДР 0100U001650), “Розробка математичного і алгоритмічного забезпечення високоточних систем навігації і керування” (2001–2003 рр., № ДР 0101V001803), “Розробка наукових основ і методів параметричного синтезу механічних систем, що перебувають під впливом випадкових зовнішніх збурювань, на підставі даних експериментальних досліджень” (2002–2004 рр., № ДР 0102U000978).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка, теоретичне і чисельне обґрунтування чисельно-аналітичного методу розв’язання задач статики однорідних і неперервно неоднорідних по товщині нетонких ортотропних оболонок з отворами довільних розмірів і форм.

Для досягнення сформульованої мети поставлені і вирішені такі задачі:

·

·

·

·

·

·

·

·

Об'єктом дослідження є пружні однорідні і неоднорідні по товщині ортотропні оболонки з отворами довільних розмірів і форм.

Предметом дослідження є поля напружено-деформованого стану в оболонках з отворами.

Методи дослідження містять:

·

·

·

·

·

Наукова новизна одержаних результатів. Виконані в роботі дослідження дозволили одержати нові наукові результати:

·

·

·

·

·

Практичне значення одержаних результатів. Практичну цінність роботи складає створений новий чисельно-аналітичний метод розрахунку оболонок з отворами, який можна використовувати при проектуванні відповідальних оболонкових елементів конструкцій сучасної техніки. Розроблений метод дозволив одержати уточнені розв’язки ряду прикладних задач, зокрема поля НДС для послабленого періодичною системою отворів корпусу гідромотора.

Результати роботи впроваджені в практику АО “СКБ Укрелектромаш” (м. Харків) при аналізі міцності послабленого отвором вала асинхронного двигуна спеціального призначення й УМГ “Харківтрансгаз” (м. Харків) при визначенні та аналізі НДС газопроводів. Це підтверджено відповідними актами про використання розробок і результатів наукових досліджень дисертаційної роботи.

Результати роботи використовуються також у навчальному процесі Національного технічного університету "Харківський політехнічний інститут".

Особистий внесок здобувача. Усі результати, наведені в дисертаційній роботі, отримані здобувачем самостійно. У спільних публікаціях здобувачу належать: у роботах [3, 18] – математичне обґрунтування практичного застосування апостеріорної оцінки точності наближених розв’язків задач, сформульованих на основі принципу Рейсснера; у роботах [4, 29] – математичне обґрунтування застосування методу Рітца для функціонала Рейсснера; у роботах [12] – математична постановка, метод розв’язання задачі і всі чисельні результати розрахунків; у роботі [13] – математичні дослідження запропонованої оцінки точності наближених розв’язків задач; у роботі [14] – математичні дослідження двосторонньої оцінки точності розв’язків задач; у роботі [15] – математичне обґрунтування достатньої ознаки збіжності методу Рітца для варіаційного принципу Рейсснера; у роботі [31] – аналіз властивостей чисельної реалізації різних аналітичних виразів функціонала Рейсснера.

Окремі теоретичні дослідження за темою дисертаційної роботи обговорювалися з науковим консультантом д.т.н., проф. О.К. Морачковським.

Апробація результатів дисертації. Основні положення і результати дисертаційної роботи доповідалися й обговорювалися на наукових конференціях, симпозіумі, з'їзді: 2-й Всесоюзній конференції по теорії пружності, Тбілісі, 1984 р.; 3-й Всесоюзній конференції “Змішані задачі механіки деформівного тіла”, Харків, 1985 р.; 7-й Всесоюзній науково-технічній конференції по керованих і автоматичних механічних приводах і передачах, Одеса, 1986 р.; 1-му Всеукраїнському з'їзді по теорії механізмів і машин, Харків, 1997 р.; міжнародних науково-технічних конференціях “Інформаційні технології: наука, техніка, технологія, освіта, здоров'я”, Харків, 1997-2003 рр.; міжнародних науково-технічних конференціях “Фізичні і комп'ютерні технології в народному господарстві”, Харків, 2000-2003 рр.; 6-му Міжнародному симпозіумі українських інженерів-механіків, Львів, 2003 р.

Основні результати дисертаційної роботи обговорювалися на наукових семінарах кафедри “Теоретична механіка” НТУ “ХПІ” (керівник – д.т.н., проф. Морачковський О.К.) протягом 1997 – 2003 рр.; на засіданні вченої ради інженерно-фізичного факультету НТУ “ХПІ” (2002 р.) і на науково-технічній проблемній раді ІПМаш ім. А.М. Підгорного НАН України (Харків, 2003 р.).

Публікації. За результатами досліджень, наведених у дисертаційній роботі, опубліковано 34 (з них 25 без співавторів) наукові праці, серед яких 1– монографія (без співавторів); 26 – статті, опубліковані в наукових журналах і збірниках наукових праць з переліку фахових видань ВАК України; 7 – доповіді і тези, опубліковані в збірниках робіт наукових конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, п'ятьох розділів, висновків, списку використаних літературних джерел з 220 найменувань (на 21 стор.) і додатку. Повний обсяг роботи складає 317 стор., у тому числі основний текст – 271 стор., 58 рисунків по тексту, 60 рисунків на 15 стор., 35 таблиць по тексту, 9 таблиць на 5 стор., 5 додатків на 5 стор.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтована актуальність теми дисертації, сформульовані мета й основні задачі досліджень, висвітлені наукова новизна, теоретичне і практичне значення одержаних результатів, надані відомості про публікації, особистий внесок автора, ступінь апробації роботи.

У першому розділі наведена характеристика наближених методів розв’язання задач механіки суцільних середовищ, дано огляд сучасного стану проблеми визначення концентрації напружень в оболонках з отворами, однієї з найважливіших проблем механіки деформівного твердого тіла, у розв’язанні якої фундаментальні результати одержані в Інституті механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України.

Дослідженням із зазначеної проблеми присвячені роботи Ю.О. Ашмаріна, А.В. Бурлакова, С.П. Гавелі, С.О. Голобородька, Е.І. Григолюка, В.З. Грищака, О.М. Гузя, М.І. Длугача, С.В. Закори, О.І. Зірки, С.О. Калоєрова, В.Г. Карнаухова, Я.Ф. Каюка, О.С. Космодаміанського, А.І. Лур'є, Г.І. Львова, Ю.М. Немиша, В.А. Осадчука, Б.Л. Пелеха, І.М. Пірогова, І.М. Преображенського, А.К. Приварнікова, В.П. Ревенка, Г.М. Савіна, О.О. Сясьського, Л.А. Фільштинського, М.П. Флейшмана, Х.С. Хазанова, І.Ю. Хоми, І.А. Цурпала, Д.І. Чернописького, І.С. Чернишенка, Вал.М. Чехова, Вік.М. Чехова, В.О. Шалдирвана, Ю.О. Шевлякова, К.І. Шнеренка, М.О. Шульги і багатьох інших учених.

За результатами аналізу наукової літератури з теорій та методів розрахунку оболонок з отворами зроблено висновок, що розробка в рамках уточнених теорій ефективних методів розрахунку оболонок з отворами довільних розмірів і форм належить до актуальної проблеми, вирішення якої особливо важливо при розрахунку анізотропних оболонок із сучасних неоднорідних матеріалів. Основним питанням теорії оболонок є проблема переходу від тривимірних задач теорії пружності до двовимірних. Методи побудови двовимірних теорій оболонок можна поділити на дві основні групи: методи, що базуються на прийнятті різних гіпотез (класична теорія і зсувні моделі прикладних теорій) і методи з регулярним процесом наближення до розв’язків тривимірної задачі теорії пружності (асимптотичний метод і метод розкладань по поперечній координаті).

Досить повно вивчено і практично завершено теорію тонких оболонок, що ґрунтується на гіпотезах Кірхгофа-Лява (класична теорія). Основний внесок у розвиток теорії оболонок зробили С.О. Амбарцумян, В.З. Власов, А.С. Вольмір, І.І. Ворович, О.Л. Гольденвейзер, Е.І. Григолюк, Я.М. Григоренко, О.М. Гузь, М.О. Кільчевський, А.І.Лур'є, Х.М.Муштарі, В.В. Новожилов, К.Ф. Черних та ін.

До теорій оболонок, що ґрунтуються на менш жорстких припущеннях, ніж гіпотези Кірхгофа-Лява, віднесені теорії С.П. Тимошенка, С.О. Амбарцумяна, Я.М. Григоренка, П. Нагді, В.В. Пікуля, В.Г. Піскунова, О.О. Рассказова, Е. Рейсснера, В.О. Родіонової та ін. Теоретичні і прикладні аспекти досліджень оболонок на основі різних моделей деформування знайшли своє відображення в роботах А.Т. Василенка, В.Т. Грінченка, В.З. Грищака, В.С. Гудрамовича, В.І. Гуляєва, П.Д. Доценка, В.О. Заруцького, Б.Я. Кантора, М.М. Крюкова, В.Д. Кубенка, Л.В. Курпи, В.А. Максимюка, М.В. Марчука, О.К. Морачковського, М.М. Николишина, В.П. Ольшанського, Н.Д. Панкратової, Б.Л. Пелеха, О.В. Плєханова, Г.Я. Попова, В.С. Проценка, О.П. Прусакова, В.Л. Рвачова, М.С. Синекопа, І.І. Соколовської, Г.Т. Сулима, М.А. Сухорольського, А.Ф. Улітка, І.Ю. Хоми, В.І. Шваб’юка, Ю.М. Шевченка та ін.

Метод гіпотез застосовується в основному для розрахунку тонких оболонок. Для нетонких оболонок, у задачах по вивченню просторової концентрації напружень біля отворів необхідно залучати тривимірну теорію пружності й узагальнені теорії оболонок, що ґрунтуються на заміні розв’язання тривимірної задачі теорії пружності регулярною послідовністю розв’язків двовимірних задач. Асимптотичні підходи, запропоновані в роботах В.О. Олександрова, І.І. Воровича, О.Л. Гольденвейзера, О.С. Космодаміанського та ін., ґрунтуються на розкладанні розв’язків у ряди по ступенях малого параметра, які в основному залежать від відносної товщини оболонки. Методи, що ґрунтуються на зображенні розв’язків у вигляді розкладень по поперечній координаті наведено в роботах І.М. Векуа, В.О. Баженова, В.І. Гуляєва, О.Ю. Калєкіна, М.О. Кільчевського, П.П. Лізунова, Х.М. Муштарі, О.В. Плеханова, О.П. Прусакова, І.Г. Терегулова, І.Ю. Хоми та ін.

У розділі докладно проаналізовано відомі у літературі уточнені теорії оболонок. Відзначено, що їхнє різноманіття і притаманні їм недоліки створюють певні ускладнення в виборі і практичному застосуванні теорії оболонок. В більшості теорій використовуються різні гіпотези про деформування оболонок та зміну метрики оболонки по товщині, що обмежує достовірність результатів визначення НДС оболонок, призводить до суттєвих похибок у розрахунках нетонких анізотропних оболонок, при вивченні концентрації напружень біля отворів.

Зроблено висновок, що одним із перспективних шляхів побудови уточненої теорії оболонок є підхід І.М. Векуа. За цим підходом компоненти вектора переміщень і тензора напружень зображено по поліномах Лежандра від поперечної координати, за рахунок чого наближені послідовності є асимптотично збіжними до розв’язків тривимірних задач з необхідною точністю. Поширення підходу І.М. Векуа на нетонкі анізотропні оболонки дано в монографії І.Ю. Хоми. Такий підхід реалізовано для оболонок обертання в роботах П. Чікала з використанням принципу Лагранжа й у роботах О.Ю. Калєкіна на основі принципу Кастильяно. У даній дисертації підхід І.М. Векуа використовується вперше на основі принципу Рейсснера для нетонких ортотропних оболонок з отворами.

За даними аналізу наукових праць, що присвячені питанням теорії і методам розрахунку оболонок з отворами, зроблено висновок, що до цього часу залишаються відсутніми науково обґрунтовані й ефективні для чисельної реалізації методи розрахунку на міцність і жорсткість статично навантажених нетонких ортотропних оболонок з отворами довільних розмірів і форм. Вирішення цієї проблеми має важливе наукове і практичне значення.

У другому розділі проаналізовані існуючі варіаційні принципи теорії пружності, вклад у розвиток і практичне застосування яких внесли Н.П. Абовський, В.Л. Бердичівський, К. Васідзу, О.С. Вольмір, П.П. Ворошко, К.З. Галімов, О.М. Гузь, Б.Я. Кантор, Р. Курант, К. Ланцош, А.І. Лур'є, Л.В. Масловська, С.Г. Міхлін, П. Нагді, В.В. Новожилов, В. Прагер, Е. Рейсснер, К. Ректорис, Л.О. Розін, В.І. Слівкер, І.Г. Терегулов, Е. Тонті, К.Ф. Черних та ін.

У розділі відзначені особливості використання в розрахунковій інженерній практиці двоїстих принципів Лагранжа і Кастильяно й узагальнених варіаційних принципів теорії пружності. Виконано порівняльний аналіз існуючих у літературі варіаційних методів, зроблений висновок про те, що для підвищення точності розв’язання крайової задачі і побудови алгоритмів розрахунку уточнених математичних моделей доцільно незалежно визначати параметри напруженого і деформованого станів за допомогою змішаних варіаційних принципів. Обґрунтовано доцільність застосування для розв’язання досліджуваних задач принципу Рейсснера, наведені аналітичні вирази різних форм функціонала Рейсснера, основна форма якого в декартовій системі координат ( ) має вигляд

де і – компоненти вектора переміщення і тензора напружень ; – пружний потенціал; – компоненти вектора об'ємних сил ; – компоненти одиничного вектора зовнішньої нормалі до граничної поверхні досліджуваної просторової області .

Границя складається з частин і , на яких задані переміщення і компоненти вектора поверхневих напружень :

У функціоналі (1) незалежно варіюються вектор і тензор , а в точці стаціонарності має місце . Варіаційний принцип Рейсснера полягає в тому, що варіаційне рівняння Рейсснера еквівалентне крайовим умовам (2), рівнянням рівноваги

і співвідношенням між і компонентами тензора деформацій , у яких виражені відповідно до співвідношень Коші через компоненти :

де – компоненти тензора податливості матеріалу деформівного тіла.

Досвід використання змішаних варіаційних підходів свідчить про їхню ефективність, однак складності пов’язані із відсутністю екстремуму в точці стаціонарності змішаного функціоналу. Це заважало чисельній реалізації таких підходів і ускладнювало оцінку точності результатів. У дисертації ця проблема вирішена за рахунок доведеної достатньої ознаки збіжності послідовності Рітца при відшуканні точки стаціонарності функціонала Рейсснера.

Система диференціальних рівнянь (4) і (5) в операторному вигляді

де матричний диференціальний оператор визначено на лінійній множині функцій, що відповідають умовам (2) та є неперервними разом зі своїми першими похідними й інтегруються з квадратом в ; – символ Кронекера;

Як відомо, для крайової задачі збіжність послідовностей Рітца до точного розв’язку й еквівалентність методів Рітца і Бубнова-Гальоркіна доведені у випадку, коли – оператор, що позитивно визначений у гільбертовому просторі . Така властивість не притаманна оператору (6), однак справедлива доведена в роботі лема: при точному задоволенні структур наближених розв’язків усім крайовим умовам метод Рітца для варіаційної задачі, сформульованої на основі принципу Рейсснера, буде збігатися з методом Бубнова-Гальоркіна для диференціальних рівнянь Ейлера функціонала Рейсснера.

За умов припущення такого розкладання оператора :

С.Г. Михліним сформульовано достатню ознаку збіжності методу Бубнова-Гальоркіна: метод Бубнова-Гальоркіна збігається, якщо має не більш одного розв’язку та існує розкладання вигляду (9) і при цьому в :

У роботі наведено розкладання вигляду (9), для якого виконані умови (10), і за допомогою методів і варіаційних нерівностей теорії операторів доведено теорему 1: послідовності Рітца збігаються із точним розв’язком крайової задачі, сформульованої на основі змішаного варіаційного принципу Рейсснера, якщо структури наближених розв’язків точно задовольняють усі крайові умови.

Таким чином, хоча геометричні і статичні крайові умови (2) є природними для функціонала Рейсснера, пошук його точки стаціонарності доцільно здійснювати на класі напружень і переміщень, що задовольняють усі крайові умови. У такому випадку, по-перше, відповідно до доведеної теореми послідовності Рітца для функціонала Рейсснера будуть збігатися по енергії оператора задачі до точного розв’язку; по-друге, знаходження розв’язку можна одержати при певному числі координатних функцій, що знижує нагромадження похибок і обчислювальні витрати; по-третє, у варіаційному рівнянні зникають поверхневі інтеграли і вихідна система рівнянь Рітца має симетричну матрицю стрічкової структури. Разом з тим рівняння Ейлера, що відповідають стаціонарності функціонала Рейсснера, є системою диференціальних рівнянь першого ступеня відносно переміщень і напружень, а більшість варіантів крайових умов, які розглядаються у теорії оболонок, відповідають крайовим умовам роду. Ці обставини істотно спрощують структури розв’язків досліджуваних задач.

Вирішення проблеми достовірності результатів при розв’язуванні задач прямими методами суттєво залежить від ефективності контролю збіжності. У дисертації на базі теорії подвійності опуклого аналізу запропонована апостеріорна інтегральна оцінка точності чисельних розв’язків, одержуваних при відшуканні точки стаціонарності функціонала Рейсснера . Як відомо, розв’язанням варіаційної задачі для функціонала Лагранжа є поле кінематично можливих переміщень , а розв’язанням двоїстої задачі для функціонала Кастильяно – поле статично можливих напружень . У дисертації показано, що аналітичний вираз лагранжіана , сформульованого за допомогою перетворення Лежандра на перемінних основної і двоїстої задач, збігається з функціоналом Рейсснера , якщо останній визначити на класі кінематично можливих переміщень і статично можливих напружень. Тоді існує єдина для сідлова точка , компоненти якої будуть розв’язками основної і двоїстої задач. Справедливі доведені в роботі рівності:

Згідно з (12), задача мінімізації функціонала Лагранжа і двоїста їй задача максимізації функціонала Кастильяно – еквівалентні задачі щодо визначення сідлової точки функціонала Рейсснера . Цій висновок покладено в основу апостеріорної оцінки отриманих за допомогою функціонала наближених розв’язків і . Шукані компоненти і прийняті у вигляді:

де , – R–функції, що описують граничні поверхні і , на яких задані функції , (2); , – шукані сталі; , – апроксимуючі функції.

Після підстановки (13) у (3) отримано систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно ,. Для оцінки збіжності розв’язків (13) підраховуються значення функціоналів Лагранжа , Кастильяно , Рейсснера і величини :

Величина відповідає двоїстому зазору, що застосовується у теорії неопуклого програмування:

Показано, що із порівняння величин трьох функціоналів з’являються умови для створення процесу регулярного уточнення розв’язків за рахунок збільшення кількості апроксимацій в (13), поки не буде виконано рівність (11) з наперед заданою точністю. Процедуру наближення до сідлової точки запропоновано здійснювати за схемою: фіксуючи , шукаємо таке значення , при якому функціонал досягає мінімуму; приймаючи , шукаємо , при якому функціонал досягає максимуму. За умовами збіжності значень функціоналів та доведеної одиничності сідлової точки одержуємі і будуть енергетично еквівалентні точним розв’язкам. Це сформульовано в теоремі 2: стаціонарні значення функціоналів Лагранжа, Кастильяно і Рейсснера збігаються на класі кінематично можливих переміщень і статично можливих напружень. У роботі розглянуті приклади, що мають аналітичні розв’язки (розтягання циліндра, задача Ламе) і ілюструють точне виконання рівностей (11).

У третьому розділі викладено чисельно-аналітичний метод розв’язання задач статики нетонких ортотропних оболонок з отворами довільних розмірів і форм; наведені структури розв’язків, що точно задовольняють усі граничні умови для досліджуваних у дисертаційній роботі крайових задач. Метод ґрунтується на застосуванні загальних рівнянь тривимірних задач теорії пружності, варіаційного принципу Рейсснера, методу І.М.Векуа та теорії R-функцій.

Розглянуто елемент оболонки (рис. 1), як тривимірне тіло, обмежене лицевими поверхнями і бічною поверхнею , що перетинається з серединною поверхнею уздовж лінії . Введено в ортогональну криволінійну систему координат таку, що координатні лінії , і головні осі ортотропії матеріалу оболонки збігаються з лініями головних кривин , вісь спрямована по нормалі к .

Це дозволяє визначити у такому вигляді вектор переміщення , де

та компоненти тензора на довільних з нормаллю площадках оболонки:

У дисертації подані в ортогональній криволінійній системі координат аналітичні вирази варіаційного рівняння Рейсснера тривимірних задач статики ортотропних оболонок довільної гауссової кривини. Крайові умови сформульовані на поверхні відповідно до енергетичних пар:

а також на лицевих поверхнях (; , ) оболонки:

Далі на основі теорії R-функцій і методу розкладання функцій у ряди Фур'є по поліномах Лежандра, залежних від поперечної координати , створені нові структури розв’язків, які точно задовольняють усі варіанти крайових умов (18) і (19). В роботі, не порушуючи загальності, надані структури розв’язків для оболонок, послаблених одним отвором, поверхня якого має рівняння , або періодичною уздовж однієї з ліній () системою отворів. З цих структур можна одержати структури для оболонок з неперіодичною системою довільного числа однакових чи різних за формою і розмірами отворів.

Наприклад, розрахунки оболонок з навантаженням і формою отвору (кругового, еліптичного, прямокутного та ін.), що симетричні відносно поверхонь , виконані в межах (в плані) області , яка відповідає на рис. 2. Рівняння поверхонь і () визначались функціями і (, ):

Напрямні косинуси нормалі (рис. 2) на поверхні отвору з використанням теорії R-функцій обчислені так:

де – нормалізоване рівняння першого порядку, при цьому:

Крайові умови на поверхнях оболонки повинні задаватися згідно з (18), на поверхнях і ( ) оболонки з одним отвором – згідно з (19), а для оболонки з періодичною (двоякоперіодичною) системою отворів уздовж однієї (кожної) з ліній на – умови періодичності розв’язку вигляду:

З урахуванням (20) справедливі вирази:

Шукані компоненти вектора і тензора приймалися у вигляді рядів:

Введені в (25) функції () разом з задовольняють граничні умови (14) на поверхні отвору:

де ; – шукані сталі; і – апроксимуючі функції; – поліноми Лежандра; ( ); , і , – непарні і парні апроксимуючі функції; і – шукані сталі.

Для оболонки з одним отвором функції і прийняті у вигляді:

У структурах (26) функції узгоджені з умовами (18), (19) та узагальнено надані так:

Сталі , , , , , у виразах (29) приймають значення одиниці (задане переміщення) чи нуля (задано напруження) і необхідні для того, щоб у кожному математичному запису крайових умов на поверхнях оболонки не зустрічалися взаємно відповідні величини із шуканих переміщень і напружень. Наприклад, однорідним крайовим умовам на поверхні отвору можна поставити у відповідність такі комбінації значень сталих , , :

Для оболонки з періодичною (наприклад, уздовж лінії ) системою отворів на формулюються умови (23), які будуть виконані, якщо у (28) прийняти:

Конкретна модель оболонки визначається завданням кількостей в апроксимаціях переміщень і напружень (26) поліномів Лежандра. Вибір моделі відповідає комбінації величин , де – число утримуваних членів у розкладанні по координаті тангенціальних переміщень ; – нормального переміщення ; – тангенціальних напружень ; – поперечних дотичних напружень і – поперечного нормального напруження . При величина характеризує порядок -го наближення теорії оболонок. Завдання параметрів дозволяє автоматизувати процес уточнення моделі оболонки. У рамках розробленого методу з'явилася можливість переходу до різних двовимірних теорій оболонок і створення послідовної класифікації існуючих у літературі і нових уточнених теорій оболонок.

Так, варіанту (2,1,2,1,0) відповідає теорія оболонок типу Тимошенка – Рейсснера; (2,2,2,2,1) – уточнена теорія Я.М. Григоренка, В.Т. Василенко і Н.Д. Панкратової, що враховує поперечні зсуви й обтиснення по товщині оболонки; (2,3,2,3,2) – теорія Рейсснера–Нагді; (3,1,3,1,0) і (4,2,4,2,1) – прикладні теорії В.В. Пікуля; (3,2,3,2,1) – прикладна теорія В.Г. Піскунова і О.О. Рассказова; (4,3,4,3,2) – прикладна теорія В.О. Родіонової, Б.Ф. Тітаєва і К.Ф. Черних.

Структури розв’язків (26) інваріантні для однорідних і неоднорідних ортотропних оболонок, враховують зміну метрики по товщині оболонки і точно задовольняють більшість варіантів граничних умов, що формулюються в задачах статики багатозв'язних і однозв'язних оболонок.

У розділі розглянуті тестові тривимірні задачі для циліндричних оболонок, у серединній поверхні радіуса яких введена система координат , де – відстань, обмірювана уздовж твірної, – довжина дуги напрямної, – відстань уздовж нормалі к . Так, вирішена задача про деформування циліндра, навантаженого на ділянці внутрішньої поверхні рівномірним тиском , а на ділянці зовнішньої поверхні – .

Для різних моделей () ізотропного циліндра довжини в табл. 1 подано (, ) значення переміщень і напружень , (при , ); на рис. 3 (цифри на графіках – числа апроксимацій при ) – розподіл шуканих величин по товщині циліндра (трикутниками позначені результати, до яких асимптотично збігаються уточнені розв’язки).

Установлено, що по мірі уточнення моделі оболонки необхідно підвищувати точність інтегрування (тобто збільшувати кількість вузлів квадратурних формул Гаусса) коефіцієнтів Рітца. Згідно з табл. 2 (при ; ), зі збільшенням чисел і чисельні розв’язки сходяться до розв’язків точних (показані напівжирним шрифтом). Однак при подальше збільшення та погіршує збіжність розв’язків. Разом з тим, як випливає з табл. 3 (у чисельниках результати для моделі , у знаменниках – ), при підвищенні точності інтегрування збіжність розв’язків спостерігається знову. У конкретному розрахунку нескладно визначити для обраної моделі оболонки мінімальне число , при якому результати збігаються.

На основі різних моделей оболонок виконані дослідження зі збіжності розв’язків для задачі про деформування вільно обпертого по торцях циліндра (довжини a), навантаженого внутрішнім тиском при . Порівняння розрахункових даних наведено в табл. 4 та на рис. 4, де

Індекси плюс і мінус в (39) відповідають і ; – масштабний множник. У знаменниках табл. 4 (; ) – відомі літературні дані. На рис. 4 (; ) наведено розподіл по товщині величин (39); цифри на графіках відповідають числам ().

Уточнені розв’язки істотно відрізняються від результатів, що одержані за використанням теорії типу Тимошенка (штрихпунктирні лінії на рис. 4; штрихові лінії – модель (4,3,4,3,2) прикладної теорії оболонок). При великих показниках змінюваності навантаження слід використовувати уточнені теорії навіть при малій товщині оболонок.

У розділі розглянута перспективна можливість застосування створеного методу для розрахунку неоднорідних оболонок у випадку відомих залежностей пружних характеристик матеріалу від координат точок тіла. Безпосередня підстановка у варіаційне рівняння Рейсснера цих залежностей і одержаних структур розв’язань, використання запропонованої апостеріорної інтегральної оцінки чисельних результатів дозволяють успішно досліджувати НДС неоднорідних оболонок, чисельні розрахунки яких подані в п'ятому розділі.

У четвертому розділі на основі розробленого методу виконані розрахунки однозв'язних і послаблених отворами ізотропних, транстропних і ортотропних циліндричних оболонок; проведено оцінки збіжності результатів; досліджено вплив товщини, граничних умов і вигляду навантаження на НДС пружного циліндра; встановлено вірогідність одержаних результатів шляхом їхнього порівняння з відомими в літературі чисельними й експериментальними даними.

Виконано розрахунки ізотропних циліндрів під дією локального тиску . У табл. 5 і 6 – результати розрахунків у випадку жорстко закріплених торців (37). У першому рядку табл. 5 – розв’язки при використанні моделі (2,1,2,1,0); у другому – (7,7,7,7,7).

На рис. 5 і 6, у табл. 7 – результати (, ) для умов на торці циліндра:

При жорсткому закріпленні торців (40d) на рис. 5 цифрами 1, 2, 3 і 4 позначені графіки в перерізах відповідно, а на рис. 6 цифрами 1, 2 і 3 – графіки в перерізах при різних умовах на торцях циліндра: суцільними (40a), штриховими (40c) і штрихпунктирними (40d) лініями. Числа в квадратних дужках (табл. 5 – 7) і графіки рис. 5, показані штриховими лініями, є результатами роботи Григоренка Я.М. і Крюкова М.М.

Досліджено напружений стан ортотропного циліндра (довжини a) під дією тисків, що змінюються по параболічному закону уздовж твірної (). Граничні умови на лицевих поверхнях циліндра:

На рис. 7 (; ; ; ; ) суцільними () і штриховими () лініями при наведено розподіл напружень , штрихпунктирною – графік із роботи Неміша Б.Ю. для транстропного циліндра, коли умову на вільних торцях () замінено інтегральною умовою . Така заміна вносить похибку у поле напружень у безпосередній близькості до торців.

Досліджено дію на циліндричні оболонки (при ) несиметричного тиску . У табл. 8 для ізотропного циліндра довжини з жорстко закріпленими торцями (37) подані при значення переміщень і напружень , а на рис. 8 – 10 – розподіли і , по товщині ортотропного циліндра (; ).

На рис. 8 цифри 0, 1 і 2 належать до значень (), на рис. 9 і 10 цифрами 1, 2 і 3 позначені графіки () при . Побудовані суцільними лініями на рис. 8–10 функції відповідають завданню на торцях умови (37); штриховими – умови (35). Більш тонкими лініями побудовані графіки, які подані в роботі Крюкова М.М., у квадратних дужках табл. 8 результат роботи Григоренка Я.М. і Крюкова М.М.

Наступний цикл досліджень, що наведені в розділі, присвячено циліндричним оболонкам з отворами. Розглянуто послаблений еліптичним отвором циліндр (рис. 11), до торцевої поверхні якого прикладені осьові сили з інтенсивністю . Досліджено вплив розмірів отворів, анізотропії матеріалу і товщини оболонки на величину коефіцієнтів концентрації мембранних і максимальних по товщині згинаючих напружень на поверхні отвору, де . Відзначений задовільний збіг отриманих уточнених розв’язків з відомими в літературі даними.

Виконано розрахунок послабленого наскрізним прямокутним отвором із закругленими кутами радіуса склопластикового циліндра (рис. 12) під дією осьових стискаючих сил . У силу симетрії розрахунок зведений до дослідження (у плані) області – ділянки (рис. 13). Рівняння поверхонь , визначаються функціями , ( ):

де – символи R-операцій теорії R-функцій.

Чисельну реалізацію задачі здійснено для нетонкого () циліндра. На рис. 14 показано (суцільними лініями для ізотропної, а штриховими для ортотропної оболонки зі склопластику) розподіл приведених переміщень і напружень () на контурі отвору при ( і відповідно) у випадку застосування моделі (4,3,4,3,2). З наведених графіків випливає, що максимальні напруження виникають в околі точки (рис. 13) кутової зони прямокутного отвору. Для ізотропного циліндра: ; і (експериментальні дані Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка: 2.9; 2.7 і 2.4 відповідно).

У різних галузях техніки практично важливими є задачі розрахунку НДС циліндрів при дії відцентрових навантажень. У розділі наведені результати розрахунків ослаблених немалим отвором ортотропних циліндрів, що обертаються навколо осі симетрії з постійною кутовою швидкістю . У роботі надано аналітичний вираз змішаного варіаційного рівняння Рейсснера з урахуванням співвідношення для інтенсивності сил інерції :

Рівність у (42) відповідає недеформованій схемі навантаження, а – деформованому стану, коли відцентрове навантаження залежить від зміни розмірів пружного тіла при його деформації. На відміну від звичайної постановки деформована схема навантаження приводить до нелінійної залежності компонентів вектора і тензора від величини , тому при наближенні параметра ( – нормуюча величина; ) до визначеної величини починають швидко зростати значення напружень і переміщень.

У табл. 9 для різних товщин і співвідношень склопластикового циліндра надані (при ) значення безрозмірних колових напружень, обчислених по деформованій (чисельники) і по звичайній (знаменники) схемах. У першому рядку таблиці – дані максимальних напружень в точці (рис. 11) контуру кругового отвору на внутрішній поверхні циліндра, у другому рядку – у тій же точці циліндра без отвору. При напруження за уточненою схемою є більшими до 10% для циліндра з отвором і до 1% – без отвору.

При розкладанні по координаті компонентів тензора перші два члени тангенціальних напружень і перший член поперечних дотичних напружень у структурах (27) статично відповідають прикладеним у серединній поверхні зусиллям і моментам. Інші члени – самозрівноважені по товщині оболонки напруження, на величини яких впливають різні фактори (товщина, вид навантаження оболонки, наявність отворів та анізотропії матеріалу). Внесок самозрівноважених напружень у загальний напружений стан збільшується з відмінністю закону розподілу шуканих напружень по координаті від лінійного для і закону квадратичної параболи для , загальноприйнятих в теорії тонких оболонок з кінцевою зсувною жорсткістю.

Це ілюстровано для товстостінного () циліндра порівнянням даних (при ) напружень першого рядка табл. 9 і напружень третього рядка без обліку самозрівноваженої частини, де різниця складає до 10% при . При збільшенні величини параметра чи відносної товщини неврахування самозрівноважених частин напружень може призвести до значних похибок, а різниця між результатами, одержуваними за двома схемами деформування циліндричної оболонки, може стати (особливо для анізотропних оболонок) суттєвою.

У розділі наведені результати прикладних досліджень. Досліджено циліндричний корпус гідромотора з періодичною системою порожнин, на поверхні яких діє рівномірно розподілене навантаження інтенсивності . Для випадку, коли порожнини отворів навантажені силами, що не змінюються уздовж осі корпуса і перпендикулярні до цієї осі, частина корпуса, вилучена від торців, зазнає плоскої деформації. У циліндричній системі координат визначення НДС пружної області з періодичною системою кругових отворів радіуса зводиться до дослідження періодичної ділянки (рис. 15), що відповідає проміжку ().

Чисельну реалізацію задачі виконано для ізотропного корпуса, що має ; . На рис. 16 показані графіки розподілу уздовж контуру отвору напруження , а в табл. 10 для характерних точок області наведені значення і , які знайдені при різних величинах міжцентрової відстані і радіуса отвору.

Одержані результати, що встановлені у вигляді залежності напруженого стану корпуса гідромотора від розмірів отворів і від їхнього розташування в розрахунковій області, використані при проектуванні гідромотора.

У п'ятому розділі розглянуті результати досліджень з концентрації напружень на базі створеного в роботі методу для розв’язування задач статики ортотропних (зокрема, ізотропних і транстропних) однорідних і неоднорідних сферичних оболонок із полюсними круговими отворами радіуса .

Положення довільної точки в сферичній оболонці (рис. 17) товщини визначалося координатами і , що введені в серединній поверхні радіуса . Поверхня оболонки складається з лицевих і бічних поверхонь (, ) двох співвісних отворів, рівняння яких визначаються функціями і :

У роботі виконано розрахунки оболонки під дією внутрішнього тиску у випадку, коли отвори закриті кришками. При граничні