НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МЕХАНІКИ ім. С. П. ТИМОШЕНКА

Ткаченко Ярослав Володимирович

УДК. 629.785

ОПТИМАЛЬНІ РУХИ МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ ЗМІННОЇ МАСИ З ОБМЕЖЕНОЮ ВИТРАТОЮ ПОТУЖНОСТІ І АКУМУЛЮВАННЯМ ЕНЕРГІЇ

01.02.01 – теоретична механіка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата

фізико-математичних наук

Київ – 2003

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Київському національному університеті ім. Тараса Шевченка

Науковий керівник – | доктор фізико-математичних наук, професор

Кіфоренко Борис Микитович,

Київський національний університет ім. Тараса Шевченка, кафедра механіки суцільних середовищ, провідний науковий співробітник

Офіційні опоненти – | доктор фізико-математичних наук, професор

Ларін Володимир Борисович,

Інститут механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України, завідувач відділу динаміки складних систем

– | кандидат фізико-математичних наук,

Пічкур Володимир Володимирович,

Київський національний університет ім. Тараса Шевченка, кафедра моделювання складних систем, старший науковий співробітник |

Провідна установа – | Інститут математики НАН України, відділ динаміки і стійкості багатовимірних систем |

Захист відбудеться "8" липня 2003 р. о 1000 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26. 166.01 в Інституті механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України за адресою: 03057, м. Київ, вул. Нестерова, 3.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інституту механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України за адресою: 03057, м. Київ, вул. Нестерова, 3.

Автореферат розісланий "5" червня 2003 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради

доктор фізико-математичних наук Жук О П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Електроракетні двигунні системи відносяться до класу двигунних систем малої тяги і мають ряд переваг перед традиційними рідинними та твердопаливними ракетними двигунами: малу витрату робочої речовини на одиницю тяги, кращу керованість та здатність неперервно функціонувати протягом тривалого часу. Г.Л. Гродзовський та В.В. Белецький відзначають, що застосування електроракетних двигунних систем дасть змогу суттєво збільшити масу корисного навантаження космічного літального апарату (КЛА) при фіксованій початковій масі порівняно з традиційними ракетними двигунами. Сучасні роботи та практика підтверджують цей факт. На сьогоднішній день спостерігається інтенсивне впровадження електроракетних двигунів для практичного використання разом з розробками нових перспективних типів таких двигунних систем. Отже, дослідження оптимальних міжорбітальних переходів КЛА з електроракетними двигунами є актуальною сучасною задачею.

М. Камаком, Г. Л. Гродзовським та Б. М. Кіфоренком в 60-х роках минулого сторіччя була науково обґрунтована принципова можливість збільшення маси корисного навантаження за рахунок включення до складу електрореактивної двигунної системи акумулятора енергії. Б.М. Кіфоренко провів оцінку ефективності такого включення на прикладах окремих модельних маневрів зі спрощуючими припущеннями про характер керування рухом КЛА. В зв‘язку з появою акумуляторів з високими технічними характеристиками актуальною стала задача оптимізації траєкторій, керувань та параметрів двигунної системи КЛА, оснащеного електрореактивною двигунною системою з акумулятором енергії. Особливо актуальним є отримання аналітичних розв‘язків для модельних маневрів, які наближаються до реальних, для проведення параметричного аналізу та розробка нових або адаптація старих наближено-чисельних методів для розв‘язування задач про оптимальний рух КЛА з акумулятором енергії в складі двигунної системи.

Враховуючи вищенаведене можемо стверджувати, що тема представленої дисертації є актуальною.

Зв‘язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Представлена дисертаційна робота виконувалась згідно з розділом 2.1 "Оптимізація динамічних систем з малими керуваннями та фазовими обмеженнями" держбюджетної дослідної теми № 01БФ038-04 плану наукових досліджень Лабораторії диференціальних рівнянь та їх застосування в механіці механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботи є оптимізація руху КЛА, оснащеного двигунною системою малої тяги з акумулятором енергії, оптимізація масових співвідношень між складовими двигунної системи та оцінка ефективності включення акумулятора енергії до складу двигунної системи. Об‘єктом дослідження є рух матеріальної точки змінної маси з малими керуючими впливами. Предметом дослідження є оптимальний рух матеріальної точки змінної маси, яким моделюється рух КЛА, з малими керуючими прискореннями та акумулюванням енергії в навколопланетному просторі. Для досягнення поставленої мети необхідно розв‘язати наступні задачі:

– знайти аналітичний вигляд оптимальних програм складових вектора реактивного прискорення, зміни поточного запасу енергії в акумуляторі та обчислити значення функціоналу, екстремум якого відповідає максимуму корисного навантаження КЛА для маневрів переходу КЛА, оснащеного двигунною системою малої тяги з акумулятором енергії, між близькими круговими орбітами; –

розв‘язати задачу, аналогічну попередній для елементарних біляеліптичних маневрів (елементарним біляеліптичним маневром вважається маневр зміни одного з оскулюючих параметрів орбіти за час, що відповідає одному оберту навколо гравітаційного центру); –

для вказаних в попередніх двох задачах маневрів визначити оптимальні співвідношення між масово-енергетичними параметрами двигунної системи при яких використання акумулятора енергії є доцільним; –

розробити наближену чисельну методику для визначення оптимальних керувань рухом КЛА з двигунною системою малої тяги, до складу якої включений акумулятор енергії, при виконанні довільних міжорбітальних переходів в навколопланетному просторі; –

розв‘язати задачі про оптимальний, в сенсі максимуму маси корисного навантаження КЛА, перехід з початкової низької монтажної орбіти з кутом нахилу 51.70 на ряд інших, майже кругових орбіт, що лежать в екваторіальній площині, включаючи геостаціонарну орбіту.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступному:–

вперше строго доведено неоптимальність руху КЛА, оснащеного двигунною системою малої тяги сталої потужності з акумулятором енергії, при повністю зарядженому або повністю розрядженому акумуляторі;–

сформульовано задачу оптимального керування поточним запасом енергії в акумуляторі для руху КЛА з заданою програмою зміни вектора реактивного прискорення – "задача з заданим прискоренням", та розроблено методику розв‘язування таких задач;–

досліджено оцінки доцільності включення акумулятора енергії до складу двигунної системи КЛА з одночасною оптимізацією параметрів двигунної системи на основі аналітичних розв‘язків для оптимальних маневрів переходу між близькими круговими орбітами та для елементарних біляеліптичних маневрів;–

досліджено ефективність використання акумулятора енергії в двигунній системі при виконанні космічним апаратом переходів між неблизькими круговими орбітами з використанням запропонованої в дисертації наближеної чисельної методики;–

проведено аналіз стабілізаційних маневрів кругової орбіти КЛА в несферичному гравітаційному полі за допомогою двигунної системи з акумулятором енергії.

Обґрунтованість і достовірність отриманих результатів забезпечується строгістю та коректністю постановок задач, використанням відомих рівнянь руху матеріальної точки змінної маси в центральному силовому полі, застосуванням класичних методів теорії оптимального керування, відпрацьованих чисельних методів, співпаданням відповідних результатів для маневрів переходу між близькими круговими орбітами та елементарних еліптичних маневрів при прямуванні ексцентриситету еліптичної орбіти до нуля, а також тим, що висновки не суперечать результатам, отриманим раніше іншими авторами.

Практичне значення одержаних результатів. Представлені в даній дисертаційній роботі результати та методики можуть бути використані на етапі розробки КЛА, призначеного для виконання заданого маневру або класу маневрів, для формування вимог до характеристик складових двигунної системи (джерела потужності, акумулятора енергії, двигуна) та для визначення оптимальних керувань рухом створеного КЛА з двигунною системою малої тяги, до складу якої включений акумулятор енергії.

Особистий внесок здобувача. Науковому керівнику Б. М. Кіфоренку належить визначення загального напрямку досліджень та постановка задач. Всі основні результати, отримані в роботі, одержані особисто здобувачем.

Апробація результатів дисертації. Окремі результати досліджень доповідалися: на Міжнародній конференції моделювання та оптимізація складних систем (МОСС–2001); на VI кримський міжнародній математичній школі "Метод функций Ляпунова и его приложения". В повному обсязі дисертація доповідалась та обговорювалась на засіданні кафедри механіки суцільних середовищ механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка, на науковому семінарі секції вченої ради за напрямком "Динаміка та стійкість руху механічних систем" Інституту механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України, на науковому семінарі "Моделювання та оптимізація систем з неповними даними" кафедри моделювання складних систем факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка та науковому семінарі Інституту космічних досліджень НАН України та НКА України.

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в 7 наукових роботах, серед яких 5 – це статті в фахових виданнях та 2 – це тези наукових конференцій.

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, п‘яти розділів, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації становить 155 сторінок, у тому числі 72 рисунки, 1 таблиця, список використаних джерел із 135 найменувань.

Автор висловлює щиру вдячність своєму науковому керівнику професору Б. М. Кіфоренку за постійну увагу до роботи і підтримку в роботі, та к. ф.-м. н. З. В. Пасічник за корисні наукові консультації.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету та задачі дослідження, висвітлено наукову новизну та відзначено достовірність і практичне значення отриманих результатів.

У першому розділі наведено огляд робіт, що стосуються оптимізації перельотів КЛА з двигунними системами малої тяги. Показано, що на сьогоднішній день електрореактивні двигунні системи (ЕРДС), які є двигунними системами малої тяги, інтенсивно впроваджуються в практику з одночасним проведенням робіт по створенню нових перспективних ЕРДС. Перший розділ закінчено коротким обґрунтуванням проведення подальших досліджень по оптимізації руху КЛА з двигунними системами малої тяги, до складу яких включено акумулятор енергії.

У другому розділі приведено загальну постановку задачі оптимізації траєкторій, керувань та масово-енергетичних параметрів КЛА з двигунною системою малої тяги та акумулятором енергії. При проведенні досліджень рух КЛА моделюється рухом матеріальної точки змінної маси. Метою оптимізації є отримання максимуму маси корисного навантаження при фіксованій початковій масі КЛА під час виконання заданого динамічного маневру. Під динамічним маневром розуміємо перехід матеріальної точки змінної маси з заданої початкової точки фазового простору координат та проекцій швидкості в задану кінцеву точку за фіксований час.

Вважаємо, що КЛА складається з корисного навантаження, запасу робочої речовини, необхідної для виконання заданого маневру та двигунної системи з масами M, та M відповідно. Масу конструктивних елементів віднесено до маси корисного навантаження. В свою чергу двигунна система складається з рушія, джерела потужності та акумулятора енергії. Позначимо масу рушія через M , масу джерела потужності – M , масу акумулятора енергії – Me , N0 – максимальне значення потужності джерела, – максимальне значення потужності рушія, – енергоємність акумулятора енергії. Обмеження на реактивне прискорення КЛА не накладаються, потужність рушія обмежена. Якщо мають місце залежності

(1)

де , , – коефіцієнти пропорційності (питомі маси), то максимум маси корисного навантаження забезпечується мінімізацією функціонала Je з задачі

(2)

коли двигунна система КЛА є двигунною системою обмеженої потужності (потужність рушія обмежена), та з задачі

(3)

коли двигунна система КЛА є двигунною системою сталої потужності (при роботі рушій споживає сталу потужність, або він вимкнений і тяга не створюється). Співвідношення (2) та (3) записані в безрозмірній формі. В (2) та (3) введені позначення: – радіус вектор положення КЛА, – поточне значення енергії, накопиченої в акумуляторі, – вектор прискорення від дії зовнішніх сил, – вектор прискорення від дії тяги двигунів (реактивного прискорення), Ne – потужність, спрямована з акумулятора енергії в рушій при розрядці акумулятора (Ne>0), або з джерела потужності в акумулятор при його зарядці (Ne<0), =T*/ , = / , B = Me /M, k – добуток універсальної гравітаційної сталої на масу планети в околі якої аналізується рух, – керуюча функція, яка дорівнює 1 – на активних дугах траєкторії (рушій споживає свою сталу потужність, , відбувається розрядка акумулятора) та 0 – на пасивних ( і відбувається зарядка акумулятора, в рушій енергія не направляється). Збільшення числа перезаряджень акумулятора зменшує вплив початкового ea(t0) та кінцевого ea(t1) зарядів акумулятора на роботу двигунної системи. Тому в даній роботі будемо вважати початкові та кінцеві умови для ea(t) симетричними і рівними 0.5, щоб виключити з розгляду двигунні системи з акумулятором енергії, але без джерела потужності . Відмінність задачі (2) від задачі (3) полягає в тому, що замість невідомої функції часу Ne(t), нам треба визначити інтервали часу на яких функція дорівнює 1, а на яких – 0. Тобто визначити інтервали часу активних та пасивних дуг траєкторії. В цьому розділі строго доведено:

Твердження. 1. Нехай космічний літальний апарат оснащений двигунною системою малої тяги сталої потужності з акумулятором енергії. Тоді при виконанні оптимального космічного маневру його рух з повністю зарядженим (ea=1) або повністю розрядженим (ea=0) акумулятором енергії не є оптимальним, коли за критерій оптимальності вибрано максимум маси корисного навантаження при фіксованій початковій масі КЛА. Повністю зарядженим або розрядженим акумулятор може перебувати лише в точках відбиття оптимальної траєкторії від фазових обмежень.

В підрозділі 2.1 сформульовано постановку задачі про використання акумулятора енергії для підвищення маси корисного навантаження, або мінімізації витрати робочої речовини у випадку, коли реактивне прискорення не є керуванням, що визначається з умов оптимальності, а є вже відомою (обчисленою з інших міркувань) функцією часу або іншої незалежної змінної, наприклад, ексцентричної аномалії, істинної аномалії і т.п. Такі задачі можуть виникати при проведені геодезичних, астрономічних, або будь-яких інших досліджень з космосу, а також у нештатних ситуаціях. Реалізувати наперед задане реактивне прискорення космічного літального апарату можливо у випадку, коли він оснащений двигунною системою обмеженої потужності. Це викликано тим, що використання систем сталої потужності призводить до наявності частин траєкторії, на яких реактивне прискорення дорівнює 0.

Математичне формулювання цієї задачі має вигляд

(4)

де x – незалежна змінна, яка зв‘язана з часом диференціальним рівнянням

, .

На основі методу Гамкрелідзе доведено, що на внутрішніх (0<ea<1) дугах оптимальної траєкторії та граничних (ea=0, або ea=1) дугах оптимальної траєкторії робота джерела потужності відбувається при максимальному значенні потужності N=1. Задачу (4) зведено до задачі нелінійного програмування

(5)

використавши розклад ea(x) в ряд

де c = B / , X=x1-x0, A – матриця розмірності , – вектор невідомих сталих коефіцієнтів з Nf елементів, – вектор з 4(Nx+1) елементів, (Nx+1) – кількість точок на інтервалі [x0; x1], в яких вимагається виконання системи нерівностей з (4).

В підрозділі 2.2 наведено системи координат та рівняння руху матеріальної точки змінної маси в навколопланетному просторі, які використовуються в роботі. Також виведені лінеаризовані рівняння руху матеріальної точки змінної маси в околі кругової навколоземної орбіти з урахуванням другої зональної гармоніки гравітаційного потенціалу Землі.

Третій розділ дисертації складається з двох підрозділів, кожен з яких складається з двох пунктів. Тут розв‘язані задачі про переліт КЛА з максимальною корисною масою, рух якого моделюється рухом матеріальної точки змінної маси, між близькими некомпланарними круговими орбітами з врахуванням акумулювання енергії бортового джерела. Лінеаризована система рівнянь руху в околі початкової орбіти має вигляд

(6)

де змінні , , являють собою поточне відхилення кутового положення КЛА від кутового положення на початковій орбіті, поточний приріст радіуса орбіти та кута нахилу відповідно. Величини W1, W2, W3 – це компоненти вектора реактивного прискорення. Рівняння (6) записані в безрозмірній формі: радіальне переміщення віднесено до радіусу початкової орбіти, прискорення – до прискорення вільного падіння на початковій орбіті, час – до періоду обертання по початковій орбіті розділеному на 2.

В підрозділі 3.1 розглядається випадок, коли двигунна система КЛА є двигунною системою сталої потужності. Отже, згідно з (3) та (6) задача про переліт КЛА з максимальною корисною масою, рух якого моделюється рухом матеріальної точки змінної маси, між близькими круговими орбітами зведеться до наступної задачі

(7)

де , T – час виконання маневру, – безрозмірний приріст радіуса орбіти, i – приріст кута нахилу орбіти. Значення фазової координати в кінцевий момент часу T не фіксується.

В пункті 3.1.1 розв‘язана задача (7) для випадку, коли час маневру відповідає половині оберту навколо гравітаційного центру. Задача (7) – це задача оптимального керування з фазовими обмеженнями на координату . Так як розглядаємо рух КЛА з двигунною системою сталої потужності, то згідно з твердженням 1 рівності , або можливі лише в точках відбиття оптимальної траєкторії. Отже, оптимальна траєкторія складатиметься з дуг, які, за винятком, можливо, своїх кінців, лежать у відкритому ядрі фазової області (тобто ). Згідно з методом Гамкрелідзе такі дуги траєкторії задовольняють принципу максимуму Понтрягіна. Застосувавши принцип максимуму отримаємо вирази для оптимальних керувань

(8)

,

де bC =((1+B)/N)+; c2, c3, c4, c5, c6 – сталі, що визначаються з кінцевих умов; – кусково-стала функція зі стрибками в точках виходу фазової координати на обмеження (, або ). Показано, що оптимальна траєкторія складається з трьох дуг: дві активні дуги (=1) однакової тривалості на початку і в кінці траєкторії відокремлені одна від одної пасивною дугою (=0) зарядки акумулятора. Позначимо тривалість руху вздовж активної дуги через . Тоді будемо мати

(9)

та дискретні точки виходу на фазові обмеження

(10)

Проінтегрувавши рівняння для фазового вектора в (7) з врахуванням (9), (10) та кінцевих умов, знаходимо вирази

. (11)

Це дає змогу знайти функціонал Je як функцію , дослідивши яку на мінімум знаходимо оптимальний взаємозв‘язок між параметром двигунної системи та довжиною активної дуги траєкторії при заданих , та . Тепер, користуючись формулами (11), можемо знайти оптимальні залежності B(), N() між параметрами, що характеризують двигунну систему, а також залежність Je()/J (тут J – функціонал відповідної задачі без акумулятора енергії в двигунній системі), яка визначає ефективність використання акумулятора енергії. Для Je()/J<1 використання акумулятора енергії є доцільним. І чим меншим буде значення Je()/J тим більша ефективність застосування акумулятора енергії в двигунній системі КЛА. На рис. 1–4 наведені криві (), B(), N() та Je()/J для значень =0.1 та =0.01, і для , коли значення параметру змінюється від 0 до max(). Тут max() значення , для якого Je()/J=1, тобто починаючи з якого використання акумулятора енергії втрачає сенс.

В пункті 3.1.2 розв‘язана задача (7) для випадку, коли час маневру відповідає повному оберту навколо гравітаційного центру. У цьому випадку T =2. Формули (8) залишаються в силі. Розподіл активних, пасивних та граничних дуг є симетричним продовженням отриманого розподілу для маневрів за півоберту на інтервал t[; 2]

(12)

з точками виходу на обмеження

(13)

Формули (11) у цьому випадку мають місце також. Криві, аналогічні кривим, зображеним на рис. 1–4 якісно не зміняться, але інтервал доцільності використання акумулятора енергії зменшиться на величину приблизно 0.1.

В підрозділі 3.2 розглядаються задачі, еквівалентні тим, що розглянуті в підрозділі 3.1, однак тепер КЛА вважається оснащеним двигунною системою обмеженої потужності. У відповідності до виразів (2) та (8) будемо мати

(14)

В пункті 3.2.1 розв‘язана задача (14) при умові, що безрозмірний час виконання маневру T =. Це відповідає половині оберту по початковій орбіті. Задача (14) є задачею з фазовими обмеженнями на координату . На відміну від оптимальних фазових траєкторій для задач розв‘язаних в підрозділі 3.1 оптимальні фазові траєкторії задачі (14) можуть мати дуги, що цілком належать фазовим обмеженням або .

Згідно з методом Гамкрелідзе отримуємо умови оптимальності керувань на дугах траєкторії з відкритого ядра фазової області:

(15)

де b=(1+B+N), . Тут k сталі числа, які не дорівнюють нулю, а їх кількість m дорівнює кількості виходів фазової траєкторії на обмеження, що передували поточному моменту часу, c0 – стала величина. Як випливає з (15), у відкритому ядрі фазової області оптимальна траєкторія, як і у випадку оснащення КЛА двигунною сталої потужності, складатиметься з активних () та пасивних дуг.

На граничних дугах фазової траєкторії отримуємо

(16)

Встановлено оптимальну послідовність активних, пасивних і граничних дуг траєкторії: активна дуга (розрядка акумулятора, вектор реактивного прискорення визначається співвідношеннями (15)), гранична дуга (вектор реактивного прискорення визначається співвідношеннями (16)), пасивна дуга (зарядка акумулятора, вектор реактивного прискорення дорівнює нулю), гранична дуга , активна дуга. Покладемо тривалість активної дуги , граничних дуг – . Тоді будемо мати

(17)

Приймаючи до уваги, що з (14), одержимо

(18)

Тепер при фіксованих величинах r1, i, , функціонал Je є функцією від . Як і в п.п. 3.1.1, покладемо =0.01 і =0.1, а . Мінімізуючи функціонал Je за , знаходимо залежності (), B(), N() та Je()/J, які зображені на рис. 1–4.

Рис. 1. Оптимальні залежності (),. |

Рис. 2. Оптимальні залежності B(). |

Рис. 3. Оптимальні залежності N(). |

Рис. 4. Оптимальні залежності Je()/JПорівнюючи криві, приведені на рис. 1–4, бачимо, що для КЛА з двигунною системою обмеженої потужності діапазон зміни параметру , в якому застосування акумулятора енергії має сенс, ширше, чим для КЛА з двигунною системою сталої потужності. Криві на рис. 4 також показують, що ефективність використання акумулятора енергії в двигунній системі при досить малих значеннях параметру майже однакова для систем сталої та обмеженої потужності, а при значеннях більше деякої величини ефективність використання акумулятора енергії вища для двигунних систем обмеженої потужності.

В пункті 3.2.2 покладено час виконання маневру T =2, що відповідає часу за який КЛА здійснить повний оберт. У цьому випадку формули (15), (16) та (18) залишаються в силі. Згідно логіці вибору оптимальної послідовності розподілу Вздовж оптимальної траєкторії маємо наступну послідовність активних, пасивних та граничних дуг траєкторії:

Тут також криві, аналогічні кривим, зображеним на рис. 1 – 4 якісно не зміняться, але інтервал доцільності використання акумулятора енергії зменшиться на величину приблизно 0.1.

При використанні обох розглянутих типів двигунних систем для маневрів переходу з початкової кругової орбіти на близьку до неї кругову орбіту, коли час виконання маневру T=2, при збільшенні приросту радіуса і сталому прирості кута нахилу орбіти ефективність використання акумулятора збільшується, а при збільшенні приросту кута нахилу орбіти і сталому прирості радіуса – зменшується. У випадку коли час виконання маневру T =2 при збільшенні зміни приросту радіуса та сталому прирості кута нахилу ефективність використання акумулятора енергії зменшується, а при збільшенні приросту кута нахилу і сталому приросту радіуса орбіти – збільшується.

В четвертому розділі при моделюванні руху КЛА рухом матеріальної точки змінної маси розглянуто задачу оптимізації керувань, траєкторій та параметрів двигунної системи КЛА, який виконує маневр, метою якого є мала зміна оскулюючих параметрів еліптичної орбіти. КЛА оснащений двигунною системою малої тяги сталої потужності з акумулятором енергії. Критерієм оптимальності є максимум маси корисного навантаження. Запишемо математичне формулювання цієї задачі з лінеаризованими, завдяки малості компонентів вектора реактивного прискорення (двигун малої тяги) та малості зміни оскулюючих параметрів орбіти, рівняннями руху

(19)

де E – ексцентрична аномалія, – вектор, елементами якого є значення оскулюючих параметрів орбіти ( – орбітальний параметр, , – кутова відстань перицентру до вузла, – кут нахилу, – довгота висхідного вузла, – велика піввісь), а вирази функції наведені в роботі [4], , ,

,

.

Використовуючи твердження 1 та принцип максимуму, знаходимо

де елементи матриці A явно виписуються після підстановки виразів W1e, W2e, W3e в (19). Отже, задача звелась до визначення функції , або що теж саме, до визначення послідовності розподілу вздовж оптимальної траєкторії активних та пасивних дуг траєкторії.

Під елементарним біляеліптичним маневром будемо розуміти такий маневр космічного апарата, при якому відбувається мала зміна одного з параметрів еліптичної орбіти за один оборот, тобто при Ei =0 і Ef =2.

В підрозділах 4.1 – 4.4 для кожного елементарного маневру (маневри зміни та розглянуті в одному підрозділі), використовуючи оптимальні програми реактивного прискорення для відповідних задач без акумулятора енергії, знайдено оптимальну послідовність активних та пасивних дуг вздовж оптимальної траєкторії, вектор сталих , оптимальний взаємозв‘язок між собою масово-енергетичних параметрів двигунної системи та їх оптимальний зв‘язок з тривалостями активних або пасивних (для маневрів зміни та ) дуг траєкторії. Виявлено, що найбільша ефективність використання акумулятора енергії спостерігається для елементарних маневрів зміни кута нахилу орбіти I і зміни довготи висхідного вузла . Для елементарних маневрів зміни ексцентриситету e і кутової відстані перицентру ефективність використання акумулятора нижча, і, нарешті, найменш сприятливим для використання акумулятора енергії є елементарний маневр по зміні великої піввісі еліптичної орбіти.

В підрозділі 4.5 показано, що при ei 0 (еліптична орбіта прямує до кругової) результати, отримані для маневру зміни кута нахилу еліптичної орбіти, прямують до результатів, отриманих для маневру зміни кута нахилу кругової орбіти. Це дає змогу говорити про достовірність отриманих результатів в рамках прийнятих моделей руху та двигунних систем.

П‘ятий розділ присвячено розробці наближеної чисельної методики розв‘язання задач про перельоти КЛА з максимальною корисною масою, які мають двигунну систему малої тяги обмеженої потужності з акумулятором енергії. Отримати точний розв‘язок для задач про оптимальний перехід КЛА з максимальною корисною масою в строгій постановці для маневрів, які вже розглянуті, вдалося завдяки симетричності і відносно простому вигляду програм реактивного прискорення при відсутності в двигунній системі КЛА акумулятора енергії. Цей факт дав змогу визначити послідовність розподілу вздовж оптимальної траєкторії активних, пасивних та граничних (у випадку рушія обмеженої потужності) дуг. Отже, застосовувати такий підхід, як в попередніх двох розділах, можливо, коли оптимальна програма реактивного прискорення КЛА без акумулятора енергії для маневру, що розглядається, дозволяє визначити згадувану вище оптимальну послідовність активних, пасивних та граничних дуг вздовж траєкторії.

Тому в підрозділі 5.1 запропоновано методику, яка дозволяє отримувати квазіоптимальний розв‘язок задачі про оптимальний перехід КЛА між довільними неблизькими еліптичними орбітами. Тут під квазіоптимальним розв‘язком розуміємо такий розв‘язок, в якому вектор реактивного прискорення отримується не з висхідної задачі, а з розв‘язку задачі про перехід між тими ж орбітами, що і у висхідній задачі, при відсутності акумулятора енергії в двигунній системі КЛА. Оптимальна траєкторія для переходу КЛА без акумулятора енергії в складі двигунної системи отримується за допомогою методу осереднення. Після чого на кожному оберті відновлюється оптимальне реактивне прискорення. Отже, отримаємо на кожному оберті одновимірну задачу оптимального керування поточним запасом енергії в акумуляторі з обмеженнями на фазову координату ea, яку, користуючись методикою описаною в підрозділі 2.1, зводимо до задачі нелінійного програмування.

Знайдено квазіоптимальні розв‘язки задач про перехід з максимальною корисною масою з низької монтажної орбіти з параметрами

ai =6745.593 км, ei=0.01, i =0, Ii=51.70 , =0,

на геостаціонарну орбіту та ряд інших майже кругових орбіт, що лежать в екваторіальній площині. Так як рівняння руху при куті нахилу I=0 мають невизначеності, то за базову площину вибрана площина, що нахилена до площини екватора під кутом –100. При цьому Ii=61.70. Тоді кінцеві орбіти матимуть наступні оскулюючі параметри

ef =0.01, f =0, I f =100, f =0,

а півосі кінцевих орбіт наведені в таблиці 1. Також в таблиці 1 наведено час виконання маневрів, відповідну кількість повних обертів навколо гравітаційного центру та оцінку ефективності використання акумулятора енергії. Розрахунки проводились при наступних значеннях параметрів двигунної установки =0.01, N =1.5, c=0.5 (нагадаємо, що c=B/).

Таблиця 1

Велика піввісь кінцевої орбіти af, км | Час виконання маневру

T, діб | Кількість обертів

N | Je/J | =0.1 | =0.0542164.614

(геостаціонарна) | 90 | 456 | 1.008 | 0.984 | 18164.614 | 30 | 192 | 0.997 | 0.974 | 14164.614 | 15 | 107 | 0.992 | 0.969 | 12164.614 | 10 | 77 | 0.988 | 0.965 | 8164.614 | 5 | 49 | 0.976 | 0.954 | 7164.614 | 5 | 53 | 0.972 | 0.950 | 6745.593 | 5 | 55 | 0.968 | 0.945 | Як випливає з таблиці 1, для всіх розглянутих маневрів, за винятком маневру переходу з початкової орбіти на геостаціонарну орбіту у випадку =0.1, при вибраних значеннях параметрів , , N , c – Je /J, тобто використання акумулятора енергії в двигунній системі КЛА є доцільним.

В підрозділі 5.2 Отримано квазіоптимальний розв‘язок задачі про синтез оптимального регулятора, що враховує несферичність гравітаційного потенціалу Землі, для утримання КЛА на заданій круговій орбіті. Дана характеристика перехідних процесів. Проведено оцінку включення акумулятора енергії до складу двигунної системи КЛА, що виконує маневр по утриманню заданої кругової орбіти в несферичному гравітаційному полі. Показано, що область зміни параметрів N , c, в якій зберігається доцільність включення акумулятора енергії в двигунну систему КЛА, доволі мала порівняно з розглянутими вище випадками при низькій ефективності включення акумулятора енергії до складу двигунної системи.

ВИСНОВКИ

При оптимізації руху КЛА з двигунною системою малої тяги та акумулятором енергії, якщо цей рух моделюється рухом матеріальної точки змінної маси, а метою оптимізації є досягнення максимуму маси корисного навантаження при фіксованій початковій масі КЛА, отримано наступні результати:

1. Доведено, що при виконанні довільного маневру космічним літальним апаратом з двигунною системою сталої потужності рух з повністю зарядженим, або повністю розрядженим акумулятором не є оптимальним. На оптимальній траєкторії повністю зарядженим або розрядженим акумулятор енергії може бути лише ізольовані моменти часу.

2. Розв‘язана задача про оптимальні переходи між двома близькими некомпланарними круговими орбітами у випадках оснащення КЛА двигунними системами сталої та обмеженої потужності. Вказані аналітичні залежності оптимальних керувань від часу та оптимальні співвідношення між масовими параметрами, що характеризують двигунну систему КЛА. Отримані області зміни питомих конструктивних параметрів акумулятора і бортового джерела потужності, при яких використання акумулятора енергії має сенс для обох типів двигунних систем. Показано перевагу систем обмеженої потужності. Виявлено, що для маневру, який відбувається за півоберту навколо гравітаційного центру при збільшенні приросту радіуса і сталому прирості кута нахилу орбіти ефективність використання акумулятора збільшується, а при збільшенні приросту кута нахилу орбіти і сталому прирості радіуса – зменшується. А для маневру за повний оберт при збільшенні зміни приросту радіуса та сталому прирості кута нахилу ефективність використання акумулятора енергії зменшується, а при збільшенні приросту кута нахилу і сталому приросту радіуса орбіти – збільшується.

3. Для кожного елементарного біляеліптичного маневру КЛА, оснащеного двигунною системою сталої потужності, знайдено аналітичний вигляд для програми оптимального реактивного прискорення, оптимальний взаємозв‘язок між масово-енергетичними параметрами двигунної системи та їх зв‘язок з оптимальними тривалостями активних або пасивних дуг траєкторії. Встановлено умови доцільності використання акумулятора енергії в двигунній системі КЛА при виконанні ним маневрів малої зміни одного з оскулюючих параметрів початкової еліптичної орбіти за один оберт навколо гравітаційного центру (елементарних біляеліптичних маневрів).

4. Запропоновано формулювання і методику знаходження розв‘язку задач про використання акумулятора енергії для можливості підвищення маси корисного навантаження, або мінімізації витрати робочої речовини у випадку, коли реактивне прискорення не є керуванням, що визначається з умов оптимальності, а є вже відомою (заданою) функцією часу або іншої незалежної змінної шляхом зведення їх до задач нелінійного програмування, для яких існують відпрацьовані чисельні алгоритми. Такий підхід дозволяє отримувати чисельний розв‘язок для будь-якого наперед заданого прискорення, якщо воно є інтегрованою функцією.

5. Розроблено наближену чисельну методику, яка дозволяє отримувати квазіоптимальний розв‘язок задачі про оптимальні міжорбітальні переходи КЛА. Приставка "квазі" обумовлена тим, що програму реактивного прискорення отримуємо із розв‘язку оптимальної задачі без акумулятора енергії. Використовуючи цю методику розв‘язана задача про оптимальний маневр КЛА з двигунною системою обмеженої потужності, для випадків, коли КЛА виконує перехід з низької майже кругової орбіти з кутом нахилу на ряд майже кругових орбіт, що лежать в екваторіальній площині. Отримано оцінку ефективності включення акумулятора енергії до складу двигунної системи.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Ткаченко Я.В. Оптимальные околокруговые движения космических аппаратов с накопителем энергии // Прикл. механика. – 1999. – T. 35, №10. – С. 93 – 100.

2. Ткаченко Я.В. Застосування акумулятора енергії в космічних апаратах з двигунами малої тяги для міжорбітальних переходів // Механіка гіроскопічних систем. Випуск 17 – 18. – Київ: МНДІ ПМ "Ритм". – 2002. – С. 243 – 252.

3. Ткаченко Я. В. Оптимальные переходы космических аппаратов с накопителем энергии и двигателем ограниченной мощности // Прикл. механика. – 2003. – T. 39, №1. – С. 134 – 140.

4. Кифоренко Б. Н., Ткаченко Я. В. Некоторые оптимальные околоэллиптические маневры космических аппаратов с движителем постоянной мощности и аккумулятором энергии // Проблемы управления и информатики. – 2003. – №1. – С. 84–100.

5. Ткаченко Я. В. Синтез квазіоптимального регулятора для космічного апарату в несферичному гравітаційному полі // Вісник київського університету. Сер. фіз.-мат. науки. – 2002. Вип. 4. – С. 237 – 244.

6. Ткаченко Я. В. Оптимальні кругові маневри літального апарату з рушійною системою малої тяги та акумулятором енергії // Праці міжнародної конференції "Моделювання та оптимізація складних систем" (МОСС-2001). – Том 2. – Київ: Видавничо-поліграфічний центр "Київський університет". – 2001. – С. 147 – 148.

7. Ткаченко Я. В. Оптимальное удержание космического аппарата в окрестности заданной круговой орбиты с учетом несферичности гравитационного поля Земли. // Тезисы докладов шестой крымской международной математической школы "Метод функций Ляпунова и его приложения". – 2002. – С. 141.

АНОТАЦІЯ

Ткаченко Я.В. Оптимальні рухи матеріальної точки змінної маси з обмеженою витратою потужності і акумулюванням енергії. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.01 – теоретична механіка. – Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ, 2003.

Дисертаційна робота присвячена оптимізації траєкторій, керувань та параметрів двигунної системи космічного літального апарату, рух якого моделюється рухом матеріальної точки змінної маси, при виконанні ним перельотів в навколопланетному просторі. Метою оптимізації є отримання максимуму маси корисного навантаження при фіксованій початковій масі апарату. Апарат оснащено двигунною системою малої тяги, до складу якої включений акумулятор енергії, з метою підвищення ефективності роботи автономного бортового джерела потужності. До розгляду прийняті двигунні системи сталої та обмеженої потужності. На основі методу Гамкрелідзе досліджено задачі оптимального переходу матеріальної точки змінної маси між близькими некомпланарними орбітами, як круговими, так і деякими випадками еліптичних. Досліджена оптимізаційна задача про використання акумулятора енергії в двигунній системі малої тяги космічного літального апарату при виконанні маневрів по переходу між неблизькими орбітами. Запропонована методика отримання квазіоптимального розв‘язку цієї задачі шляхом зведення її до задачі нелінійного програмування. Отримані оцінки ефективності застосування акумулятора енергії для ряду міжорбітальних переходів. Також знайдено квазіоптимальний розв‘язок задачі про підвищення ефективності використання джерела потужності при утриманні штучного супутника на круговій орбіті в несферичному гравітаційному полі Землі.

Ключові слова: матеріальна точка змінної маси, мала тяга, оптимізація, міжорбітальний перехід, кругова орбіта, еліптична орбіта, максимум маси корисного навантаження, акумулятор енергії.

АННОТАЦИЯ

Ткаченко Я. В. Оптимальные движения материальной точки переменной массы с ограниченным расходом мощности и накоплением энергии. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.01 – теоретическая механика. – Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев, 2003.

Диссертационная работа посвящена оптимизации траекторий, управлений и параметров двигательной системы космического летательного аппарата (КЛА), движение которого моделируется движением материальной точки переменной массы, выполняющего перелеты в околопланетном пространстве. Целью оптимизации является получение максимума массы полезной нагрузки при фиксированной начальной массе аппарата. Аппарат оснащен двигательной системой малой тяги, в которую, с целью повышения эффективности использования энергии автономного бортового источника, включен накопитель (аккумулятор) энергии.

Диссертация состоит из пяти разделов.

В первом разделе приведен обзор литературы по теме диссертации и освещено современное состояние проблемы оптимизации перелетов с малой тягой и накоплением энергии.

Во втором разделе приведены общие постановки задач об оптимальном маневре материальной точки переменной массы с малыми управляющими ускорениями и накоплением энергии. Для КЛА, оснащенных двигательной системой постоянной мощности, показана неоптимальность движения с полностью заряженным или разряженным накопителем. Сформулирована постановка задачи об использовании накопителя энергии для возможности увеличения массы полезной нагрузки в случае, когда реактивное ускорение не является управлением, определяемым из условий оптимальности, а есть уже известной (вычисленной) функцией времени или другой независимой переменной. Предложена методика решения такого типа задач путем их сведения к задачам нелинейного программирования, для которых существуют отработанные численные алгоритмы. Такой подход позволяет получать численное решение для любого, наперед заданного, ускорения, если оно является интегрируемой функцией.

В третьем разделе получено решение задачи о переходах материальной точки