Чернівецький національний університет

імені Юрія Федьковича

Балабушенко Тоня Михайлівна

УДК 517.956.4

властивості розв’язків -параболічних систем, визначених у необмежених за часовою змінною областях

01.01.02 – диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Чернівці – 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі математичного моделювання Чернівецького національного університету ім. Юрія Федьковича Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник – доктор фізико-математичних наук, професор ІВАСИШЕН Степан Дмитрович,

професор кафедри математичного моделювання Чернівецького національного університету

імені Юрія Федьковича

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

професор МАТІЙЧУК Михайло Іванович,

завідувач кафедри диференціальних рівнянь

Чернівецького національного університету

імені Юрія Федьковича;

доктор фізико-математичних наук,

професор ЛАВРЕНЮК Сергій Павлович,

професор кафедри диференціальних рівнянь

Львівського національного університету

імені Івана Франка

Провідна установа – Інститут математики НАН України (м.Київ), відділ диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Захист відбудеться “ 23 ” квітня 2004 р. о 1400 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К76.051.02 у Чернівецькому національному університеті імені Юрія Федьковича за адресою: 58012, м.Чернівці, вул. Університетська, 28, аудиторія 8.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича (58012, м.Чернівці, вул. Л.Українки, 23).

Автореферат розісланий “ 22 ” березня 2004 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Бігун Я.Й.

загальна характеристика роботи

Актуальнiсть теми. На даний час добре розвинута теорiя задачi Кошi та крайових задач для загальних параболiчних за Петровським систем. Основними результатами цiєї теорiї є встановлення коректної розв'язностi цих задач у рiзноманiтних функцiональних просторах, одержання iнтегрального зображення розв'язкiв цих задач i детальне вивчення властивостей ядер цього iнтегрального зображення (фундаментальної матрицi розв'язкiв (ФМР) та матрицi Грiна (МГ)).

Дослiдженням ФМР задачi Кошi для параболiчних за Петровським систем займалися I.Г.Петровський, О.О.Ладиженська, С.Д.Ейдельман, В.Погожельський (W.Pogorzelski), Л.Н.Слободецький, Д.Г.Аронсон (D.G.Aronson), М.I.Матiйчук та iн. Всi цi працi стосувалися обмежених за часовою змiнною t областей.

Важливим питанням є дослідження властивостей розв’язків параболічних систем у необмежених за t областях. Характер задач, зв’язаних з таким дослідженням, уже дещо інший, ніж задач в обмежених за часовою змінною областях. Тут істотну роль починають відігравати молодші члени рівняння.

Цiкавий пiдхiд до дослiдження таких задач запропонував С.Д.Ейдельман. Ним при вивченні властивостей розв’язків параболiчних за Петровським систем першого порядку за t були введенi так званi Л-умови. Цi умови полягали в тому, що для ФМР задачi Кошi справджувалися оцiнки в необмежених iнтервалах змiни t, оцiннi функцiї з яких прямували до нуля при прямуваннi t до нескiнченностi. Дослiдження в цьому напрямку продовжувалося в працях С.Д.Ейдельмана та Л.М.Iвасишин, де Л-умови вже називаються і -умовами , а також розглядаються параболiчнi за Петровсь-ким системи довiльних порядкiв за часовою змінною. Для останніх систем -умови передбачають відповідні оцінки вже елементів МГ задачі Коші (-оцінки,). У працях С.Д.Ейдельмана та його послідовників знайдені важливі застосування -оцінок ФМР і МГ задачі Коші до доведення теорем про стійкість і стабілізацію розв’язків задачі Коші, теорем типу Ліувілля та до побудови і дослідження ФМР еліптичних систем, породжених параболічними.

Природним є бажання розширити класи систем рівнянь, для яких ФМР і МГ задачі Коші володіють оцінками типу -оцінок С.Д.Ейдельмана, одержати аналогiчнi оцінки для МГ крайових задач і за їх допомогою вивчити властивості розв’язків у необмежених за t областях.

Істотним розширенням класу параболічних за Петровським систем є клас -параболічних систем, в яких кожна просторова змінна має свою вагу стосовно часової змінної. Такі системи були озна-чені С.Д.Ейдельманом у 1960 р. і почали ним вивчатися. У цілому ряді праць С.Д.Ейдельмана, С.Д.Івасишена та їх учнів добре розвинута тео-рія задачі Коші для -параболічних систем, у рамках якої уточнені та доповнені також відповідні результати для систем, параболічних за Петровським.

Однак дослiдження в необмежених вiдносно часової змiнної областях не проводилося. Правда, були деякi спроби отримати оцiнки ФМР у необмежених за t областях i застосувати їх до дослiдження певних властивостей розв'язкiв -параболiчних систем. У працях М.I.Матiйчука та В.В.Федорука такi оцiнки застосовувалися до встановлення зв'язку мiж ФМР деяких -параболiчних i вiдповiдних їм -елiптичних систем. Можна відзначити також працi М.Д.Марти-ненка i Л.Ф.Бойко, в яких була зроблена спроба одержати -оцiнку для ФМР задачi Кошi та застосувати її до дослiдження розв'язностi задач без початкових умов для -параболiчних систем.

Тому постало цiлком природне питання про детальне вивчення властивостей розв'язкiв -параболiчних систем довiльних порядкiв в необмежених за t областях. Зокрема, одержати узагальнення вище-описаних результатiв для параболiчних за Петровським систем. Вирішенню в основному цього питання i присвячена дисертацiйна робота.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацiя виконана в рамках науково-дослiдної роботи "Дослiдження математичних моделей, якi описуються диференцiальними рiвняннями з особливостями i виродженнями" (номер держреєстрацiї 0102U006596), що виконується на кафедрi математичного моделювання Чернiвецького нацiонального унiверситету iменi Юрiя Федьковича, аспiранткою якої була авторка.

Мета i задачi дослiдження. Метою роботи є дослiдження властивостей в необмежених за часовою змiнною областях розв'язкiв -параболiчних систем, а також крайових задач для деяких параболічних рівнянь, які виникають у прикладних задачах.

При досягненнi цiєї мети вирiшувалися такi задачi:

1) видiлення спецiальних класiв -параболiчних систем довiль-них порядкiв, якi задовольняють введенi в роботi -умови ;

2) застосування оцiнок ФМР і МГ задачі Коші з -умов до до-ведення теорем про стiйкiсть розв'язкiв задачі Коші, коректну розв’язність задачі без початкових умов, теорем типу Лiувiлля, до побудови і одержання оцінок ФМР -елiптичних систем, породжених -параболiчними;

3) встановлення коректної розв’язності та інтегрального зображення розв’язків крайових задач без початкових умов для деяких параболічних рівнянь, які виникають у прикладних задачах.

Об'єктом дослiдження є -параболiчнi системи диференціальних рівнянь довiльних порядкiв і крайові задачі для деяких параболічних рівнянь другого порядку з необмежено зростаючими при коефіцієнтами. Предметом дослiдження є властивостi розв'язкiв -параболiчних систем, якi задовольняють спеціальні -умови, а також розв’язків крайових задач для вищеуказаних параболічних рівнянь другого порядку. Методами дослiдження є метод фундаментальних розв'язкiв та методи теорiї потенцiалiв.

Наукова новизна одержаних результатiв. Усі одержані в дисер-тації результати є новими. Їх наукова новизна насамперед полягає в :

1) знаходженні умов на -параболічні системи, за яких для їх ФМР і МГ задачі Коші в необмежених за часовою змінною областях справджуються оцінки типу оцінок Ейдельмана (-оцінки);

2) застосуванні -оцінок до: –

доведення теорем про коректну розв’язність задачі Коші та задачі без початкових умов у необмежених за t областях;–

доведення теорем про коректну розв’язність задачі Коші і теорем типу Ліувілля;–

побудови і одержання оцінок ФМР -еліптичних систем, породжених -параболічними;

3) установленні коректної розв’язності та інтегрального зображення розв’язків крайових задач без початкових умов для деяких параболічних рівнянь другого порядку з необмежено зростаючими при коефіцієнтами і виродженням при.

Практичне значення одержаних результатiв. Дисертацiя має теоретичний характер. Її результати можна використати при подальших дослiдженнях -параболiчних систем та при дослiдженнях парабо-лiчних систем у необмежених за часом областях.

Особистий внесок здобувача. Основнi результати дисертацiї одержанi авторкою самостiйно. У спiльних з науковим керiвником пра-цях С.Д.Iвасишену належать постановка задач i аналiз одержаних результатiв.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати дисертацiї доповi-дались на: II всеукраїнськiй науковiй конференцiї "Нелiнiйнi проблеми аналiзу" (Iвано-Франкiвськ, 2000 р.); мiжнародних наукових конфе-ренцiях "Nonlinear Partial Differential Equations" (Київ, 2001 р.), "Новi пiдходи до розв'язування диференцiальних рiвнянь" (Дрогобич,2001 р.), iм. академiка М.Кравчука (Київ, 2002р.), "Шостi Боголюбовськi читан-ня" (Чернiвцi, 2003 р.); наукових читаннях, присвячених В.Скоробо-гатьку (Львiв, 2002 р.); наукових семiнарах математичного факультету i кафедри математичного моделювання Чернiвецького нацiонального унiверситету (Чернiвцi, 2000 – 2003 рр.).

Публiкацiї. Основнi результати дисертацiї опублiковано в 12 працях, з них 3 – у наукових журналах, 4 – статтi у збiрниках наукових праць, 5 – у матерiалах конференцiй. Серед публiкацiй 6 праць у науко-вих виданнях з перелiку ВАК України.

Структура i обсяг роботи. Дисертацiя складається зі вступу, п'яти роздiлiв, висновкiв i списку використаних джерел, який мiстить 99 найменувань. Повний обсяг роботи становить 135 сторiнок.

Авторка висловлює щиру подяку професору Івасишену С.Д. за наукове керівництво.

зміст роботи

У вступі обґрунтовується актуальність теми, ставляться мета і задачі дослідження, вказується на зв’язок дисертації з науковою темою кафедри, де вона виконувалась, наводяться основні результати, відзначається їх новизна, практичне значення й апробація.

У першому розділі робиться огляд літератури, присвяченої вивченню параболічних за Петровським і -параболічних систем. Оскільки дисертаційна робота присвячена дослідженню властивостей розв’язків параболічних систем у необмежених за часом областях, в основі якого лежать оцінки ФМР задачі Коші, то цей розділ містить огляд в основному тих праць, в яких вивчалися і використовувалися ФМР задачі Коші в таких областях.

Розділ 2 має допоміжний характер. У ньому наводяться в основному відомі результати, що стосуються ФМР і МГ задачі Коші для -параболічних систем.

Нехай – задані натуральні числа; – найменше спільне кратне чисел, якщо – мультиіндекс, n, Rn, , І – одинична матриця порядку N; i –уявна одиниця, – символ Кронекера.

Нехай, далі, , , де, а одержується з відкиданням тих членів, для яких. Тут t – одновимірна часова, а x – n-вимірна просторова змінні. Якщо, то відповідні вирази і мають такий матричний вигляд: і. У випадку, коли коефіцієнти виразів , , і не залежать від якихось змінних, то в позначеннях цих виразів опускаються відповідні аргументи.

У дисертації розглядаються системи рівнянь довільних і першого порядків за змінною t відповідно вигляду

(1)

і

(2)

Підрозділ 2.1 містить основні означення та інформацію про побудову та оцінки ФМР задачі Коші для систем (1) і (2).

Означення 1. Система (1) називається рівномірно -параболічною в зі сталою, якщо -корені рівняння задовольняють нерівність

для будь-яких і Rn.

У роботі використовуються наступні припущення щодо коефіцієнтів системи (1).

A1. Система рівномірно -параболічна в.

A2. Коефіцієнти обмежені, неперервні за t (неперервність старших коефіцієнтів рівномірна щодо Rn) і задовольняють рівномірну умову Гельдера за відносно -параболічної відстані в.

A3. Існують похідні, які мають в властивості, описані в умові A2 для самих коефіцієнтів.

A4. Існують похідні з властивостями, описаними в умові A2.

Умови A1 – A4 для коефіцієнтів системи (2) позначаються відповідно через A1 – A4 .

Відомо, що за умов A1 – A3 для системи (1) (аналогічно за умов A1 – A3 для системи (2)) існує ФМР Z задачі Коші, яка має відповідну гладкість і володіє відповідними оцінками. У п.2.1.3 з'ясовується, як залежать сталі з цих оцінок від інтервалу H.

Підрозділ 2.2 містить означення МГ задачі Коші для системи (1) та інформацію про її структуру.

Означення 2. Матрицею Гріна задачі Коші для системи (1) нази-вається матриця, , така, що компоненти розв’язку colзадачі Коші для системи (1) з початковими умовами Rn, , в області зображуються у вигляді,

для будь-якого та довільних гладких і фінітних функцій.

У розділі 3 проводиться дослідження ФМР та МГ задачі Коші у необмежених за часом областях через введення спеціальних -умов. Тут– невід'ємне ціле число або Rn.

Підрозділ 3.1 містить формулювання -умов для систем першого порядку за змінною t та приклади класів систем, що задовольняють введені умови.

Означення 3. Система (2) задовольняє -умову, якщо для неї існує ФМР, Rn, задачі Коші, яка має похідні, і справджуються оцінки

Rn, ,

де сталі, функції невід’ємні, неспадні і такі, що і при, а.

Твердження 3.1. Система (2), для коефіцієнтів якої виконуються в умови A1 –A3, задовольняє -умову з R.

Твердження 3.2. Нехай коефіцієнти системи

(3)

неперервні й обмежені в та існує стала така, що для довільних Rn CN справджується оцінка де – скалярний добуток у просторі CN. Тоді система (3) задовольняє -умову з.

Твердження 3.3. Нехай і -параболічна система (4)

задовольняє такі умови: дійсні частини -коренів рівняння дорівнюють нулеві тільки при, а дійсні частини власних чисел матриці не дорівнюють нулеві при. Тоді система (4) задовольняє -умову з для для.

Твердження 3.4. -параболічна система

(5)

для якої дійсні частини -коренів рівняння не дорівнюють нулеві ні при яких Rn, задовольняє -умову з і.

Твердження 3.5. Якщо коефіцієнти системи

(6)

неперервні й обмежені в та існує стала така, що для довільних Rn, R i CN справджується нерівність то ця система задовольняє -умову з і.

Твердження 3.6. Нехай коефіцієнти системи (6) неперервні та обмежені в; існують числа такі, що для будь-яких і справджуються нерівності -корені рівняння задовольняють умову для довільних Rn, R таких, що Тоді система (5) задовольняє -умову з і.

У підрозділі 3.2 формулюються -умови для систем довільних порядків і наводяться приклади систем, які ці умови задовольняють.

Означення 4. Система (1) задовольняє -умову, якщо для неї іс-нує в МГ задачі Коші, елементи якої мають похідні, і справджуються оцінки

Rn,

де функції такі ж, як і в означенні 3, а – деякі кусково-сталі функції.

Твердження 3.7. Система (1), для коефіцієнтів якої виконуються в умови A1 –A3, задовольняє -умову з, R.

Твердження 3.8. -параболічна система

задовольняє -умову з та функціями такими ж, як у твердженні 3.7.

Твердження 3.9. -параболічна система

,

для якої дійсні частини -коренів рівняння відмінні від нуля для всіх Rn, задовольняє -умову з для і для

Твердження 3.10. Система полікалоричного типу де– диференціальний вираз із системи (4), для якої виконуються умови з твердження 3.3, задовольняє -умову з m i такими ж, як у твердженні 3.3, і для, і для

Твердження 3.11. Система де–диференціальний вираз із системи (5), для якої виконуються умови з твердження 3.4, задовольняє -умову з, m i такими ж, як у твердженні 3.4, і для і для

Розділ 4 присвячений застосуванню -оцінок МГ задачі Коші до дослідження властивостей розв'язків -параболічних систем у півпросторах

У підрозділі 4.1 одержані інтегральні зображення та оцінки у відповідних нормах визначених у півпросторах розв'язків системи (1), яка задовольняє -умови, (теореми 4.1 і 4.2). Ці результати використовуються в підрозділі 4.2 для встановлення коректної розв'язності задачі Коші в та задачі без початкових умов у (теореми 4.3 і 4.4), а в підрозділі 4.3 для доведення теорем про стійкість розв'язків задачі Коші та теорем типу Ліувілля (теореми 4.5 – 4.7).

Нехай Rn, , де– деяка неперервна функція. Розглядаються такі регулярні розв’язки однорідної системи (1) (системи (10)) в, які задовольняють для будь-якого нерівність

(7)

Означення 5. Нульовий розв’язок системи (10) називаєть-ся -стійким, якщо для будь-якого існує таке, що для будь-якого розв’язку цієї системи, який задовольняє умову (7) та умову, справджується нерівність.

Теорема 4.5. Нехай система (1) задовольняє -умову зі сталими R і функціями. Тоді нульовий розв’язок системи (10) є -стійким з довільним і, та функцією

Теорема 4.6. Якщо система (10) задовольняє -умову з досить великим, то компоненти всякого її регулярного розв'язку в, які задовольняють умови

,

є многочленами від степеня, не вищого.

У підрозділі 4.4. побудовані та одержані оцінки ФМР поліноміальної в’язки -еліптичних систем, , породжених -параболічною системою яка задовольняє-умову і ФМР якої є. При цьому визначається інтегралом або підходящою його регуляризацією (теореми 4.8 і 4.9).

У розділі 5 розглядаються в області задачі Діріхле і Неймана без початкових умов для деяких параболічних рівнянь другого порядку з необмежено зростаючими при коефіцієнтами, які легко зводяться до модельного рівняння де – неперервна функція така, що при. Останнє рівняння при виникає в теорії сигналів та при дослідженні дифузійного випадкового процесу Уленбека-Орнштейна. Встановлені інтегральні зображення розв'язків указаних задач та їх коректна розв'язність.

Висновки

Дисертація присвячена дослідженню властивостей в необ-межених за часовою змінною областях розв’язків -параболіч-них систем, а також крайових задач для деяких рівнянь другого поряд-ку зі зростаючими коефіцієнтами, які виникають у прикладних задачах.

Для -параболічних систем одержані такі основні результати:

–

–

–

–

–

Ці результати істотно розширюють і доповнюють відомі результати для параболічних за Петровським систем.

Крім того, у дисертації встановлені коректна розв'язність та інтегральнi зображення розв'язків крайових задач Діріхле і Неймана без початкових умов для деяких конкретних рівнянь другого порядку з необмежено зростаючими при коефіцієнтами і виродженням при.

Для обгрунтування результатів дисертаційної роботи модифіковані методи, які розроблені при дослідженні параболічних за Петровським систем.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Балабушенко Т.М. Про оцiнки в необмежених вiдносно часової змiнної областях фундаментальної матрицi розв'язкiв задачi Кошi для -параболiчних систем // Мат.студiї.– 2002. – Т. 17, N 2. – C.163 – 174.

2. Балабушенко Т.М. Властивостi розв'язкiв -параболiчних систем в областях, необмежених вiдносно часової змiнної // Мат. студiї. 2002. – Т. 18, N 1. – C. 69 78.

3. Балабушенко Т.М., Iвасишен С.Д. Про властивостi розв'язкiв -параболiчних систем у необмежених за часовою змiнною областях // Мат. методи та фiз.-мех. поля.– 2002. – Т.45, N 4. – C. 19 – 26.

4. Балабушенко Т.М., Iвасишен С.Д. Крайовi задачi Фур'є для рiв-няння Колмогорова дифузiйного процесу Уленбека-Орнштейна з ви-родженням // Наук. вiсник Чернiвецького ун-ту: Зб. наук. пр. Вип. 46. Математика. – Чернiвцi: Рута, 1999. – С. 5 – 12.

5. Балабушенко Т.М. Оцiнки фундаментальної матрицi розв'язкiв задачi Кошi для -параболiчних систем у необмежених вiдносно ча-сової змiнної областях та їх застосування // Вiсник Нац. ун-ту "Львiв-ська полiтехнiка". N 411. Прикладна математика. – 2000. – C. 6– 11.

6. Балабушенко Т.М. Побудова та оцiнки фундаментальних матриць розв'язкiв полiномiальної в'язки -елiптичних систем, пород-жених -параболiчною системою // Наук. вiсник Чернiвецького ун-ту: Зб. наук. пр. Вип. 160. Математика. – Чернiвцi: Рута, 2003. – С. 5 – 10.

7. Балабушенко Т.М., Iвасишен С.Д. Крайова задача Дiрiхле без по-чаткової умови для рiвняння Колмогорова дифузiйного процесу Улен-бека-Орнштейна з виродженням // Дослiдження математичних моделей: Зб. наук. пр. – К.: Iн-т математики НАН України, 1997. – С. 21– 29.

8. Balabushenko T.М. On estimates of Green matrix of the Cauchy problem for -parabolic systems in unbounded with respect to time variab-le domains and their applications // Intern. Conf. "Nonlinear Partial Diffe-rential Equations" (Kyiv, August 22– 28, 2001): Book of abstracts. – Do-netsk, 2001. – P. 13.

9. Балабушенко Т.М., Iвасишен С.Д. Про коректну розв'язнiсть задач без початкових умов для деяких параболiчних систем // Мiжнар. наук. конф. "Диференцiальнi рiвняння i нелiнiйнi коливання" (27 29 серпня 2001 р., Чернівці): Тези доп. – Київ, 2001. – С. 11 - 12.

10. Балабушенко Т.М. Властивостi фундаментальної матрицi розв'язкiв задачi Кошi для -параболiчних систем на нескiнченному часовому iнтервалi // Мiжнар. наук. конф. "Новi пiдходи до розв'я-зування диференцiальних рiвнянь" (1 – 5 жовтня 2001 р., Дрогобич): Тези доп. – C. 9.

11. Балабушенко Т.М., Ивасишен С.Д. Свойства решений общих -параболических систем в неограниченных по временной перемен-ной областях // Дев'ята Мiжнар. наук. конф. iменi академiка М.Крав-чука (16 – 19 травня 2002 р., Київ): Матерiали конференцiї. – Київ:НТУ “КПІ”, 2002. C. 16.

12. Балабушенко Т.М. Про властивостi розв'язкiв -параболiчних систем довiльних порядкiв в необмежених за часовою змiнною областях // Мiжнар. наук. конф. "Шостi Боголюбовськi читання" (26 – 20 серпня 2003 р., Київ): Тези доп. – С. 24.

Анотація

Балабушенко Т.М. Властивості розв’язків -параболiчних систем, визначених у необмежених за часовою змінною областях . – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, Чернівці, 2003.

Дисертація присвячена дослідженню властивостей в необмежених за часовою змінною t областях розв’язків -параболiчних систем, а також крайових задач для деяких конкретних рівнянь другого порядку. Для -параболiчних систем у термінах оцінок фундаментальних мат-риць розв'язків і матриць Гріна задачі Коші введені спеціальні -умови, наведені приклади класів систем, які задовольняють такі умови, встановлені інтегральні зображення та оцінки розв'язків, а також коректна розв'язність задачі Коші і задачі без початкових умов відповідно в півпросторах і, доведені теорема про стійкість розв'язків задачі Коші та теореми типу Ліувілля. Побудовані та досліджені фундаментальні матриці розв'язків поліноміальної в'язки -еліптичних систем, породженої -параболiчною системою. Для деяких конкретних рівнянь другого порядку з необмежено зрос-таючими при коефіцієнтами і виродженням при встановлені інтегральні зображення розв'язків та коректна розв'язність крайових задач Діріхле і Неймана без початкових умов.

Ключові слова: -параболiчна система рівнянь з частинними похідними, -еліптична система, задача Коші, задача без початкових умов, фундаментальна матриця розв’язків, матриця Гріна, коректна розв’язність, інтегральне зображення розв’язків, стійкість розв'язків, теорема типу Ліувілля.

Abstract

Balabushenko T.M. Properties of solutions of -parabolic systems, determined in unbounded on time variable domains. – Manuscript.

The thesis for obtaining the scientific degree of the candidate of physical and mathematical sciences on the speciality 01.01.02 – dif-ferential equations. Chernivtsy National University, Chernivtsi, 2003.

Thesis is devoted to a research of properties in unlimited on time vari-able t domains of solutions of -parabolic systems, and also of boundary value problems for some specific second-order equations.

For -parabolic systems in terms of estimations of fundamental mat-rixes of solutions and Green's matrixes of the Cauchy problem the special -conditions are introduced, the examples of classes of systems, which satisfy such conditions, are reduced, integral representations and estimations of solutions are established, and also a correct resolvability of the Cauchy problem and of a problem without the initial conditions in half-spaces and accordingly are established, the theorem of stability of solutions of the Cauchy problem and theorems of Liouville type are proved .

The fundamental matrixes of solutions polynomial bunch of -elliptic systems, which generated by the -parabolic system, are constructed and investigated.

For some specific second-order equations with unbounded growing as coefficients and degenerations as integral representations of solutions and and correct resolvability of boundary value Dirichlet and Neumann problems without initial conditions are established.

Key word: a -parabolic system of partial differential equations, a -elliptic system, the Cauchy problem, a problem without initial conditions, fundamental matrix of solutions, Green's matrix, a correct resolvability, a integral representation of solutions, a stability of solutions, theorem of Liouville type.

Аннотация

Балабушенко Т.М. Свойства решений -параболических сис-тем, определенных в неограниченных по временной переменной облас-тях . – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения. Черновицкий национальный университет, Черновцы, 2003.

Диссертация посвящена исследованию свойств в неограниченных по временной переменной t областях решений -параболических сис-тем, а также краевых задач для некоторых уравнений второго порядка с растущими коэффициентами, возникающих в прикладных задачах.

Для -параболических систем в терминах оценок фундамен-тальных матриц решений и матриц Грина задачи Коши введены специ-альные -условия, приведены примеры классов систем, удовлетво-ряющих таким условиям, установлены интегральные представления и оценки решений, а также корректная разрешимость задачи Коши и задачи без начальных условий соответственно в полупространствах и, доказаны теорема об устойчивости решений задачи Коши и теоремы типа Лиувилля. Построены и изучены фундаменталь-ные матрицы решений полиномиального пучка -эллиптических систем, порожденного -параболической системой.

Эти результаты существенно расширяют и дополняют известные результаты для параболических по Петровскому систем.

Кроме того, для некоторых конкретных параболических уравнений второго порядка с неограниченно растущими при коэффи-циентами и вырождением при в диссертации установлены интегральные представления решений и корректная разрешимость краевых задач Дирихле и Неймана без начальных условий.

Для обоснования результатов диссертационной работы модифици-рованны методы, разработанные при исследовании параболических по Петровскому систем.

Ключевые слова: -параболическая система уравнений с частны-ми производными , -эллиптическая система, задача Коши, задача без начальных условий, фундаментальная матрица решений, матрица Гри-на, корректная разрешимость, интегральное представление решений, устойчивость решений, теорема типа Лиувилля.