НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

ФІНКЕЛЬШТЕЙН Дмитро Леонідович

УДК 517.987.1; 517.983.3

ДЕЯКІ КЛАСИ МІР

ТА ПОВ’ЯЗАНІ З НИМИ ОПЕРАТОРИ

НА ПРОСТОРАХ КОНФІГУРАЦІЙ

01.01.01 — математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник

доктор фізико-математичних наук, професор

Кондратьєв Юрій Григорович,

Інститут математики НАН України,

завідувач відділу математичної фізики

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор,

академік НАН України

Березанський Юрій Макарович,

Інститут математики НАН України,

головний науковий співробітник

доктор фізико-математичних наук

Богданський Юрій Вікторович

Навчально-науковий комплекс

"Інститут прикладного системного аналізу"

в структурі НТУУ "КПІ", МОН та НАН України",

професор

Провідна установа

Київський Національний Університет імені Тараса Шевченка

Захист дисертації відбудеться "24" лютого 2004 р. о годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий "23" січня 2004 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Романюк А. С.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Простори конфігурацій як окремий математичний об’єкт стали предметом досліджень починаючи з х років минулого століття у різних областях математики: функціональному аналізі, математичній фізиці, теорії ймовірностей, топології. З різних точок зору їх вивчали такі автори, як І. М. Гельфанд, Р. Л. Добрушин, О. Калленберг, Й. Мекке, Р. А. Мінлос, Д. Рюель та інші.

Починаючи з робіт К. Іто великого значення набула побудова пуасонівського аналізу на просторах конфігурацій, з використанням хаотичного розкладу для пуасонівської міри й ізоморфізму простору квадратично інтегрованих відносно цієї міри функцій із простором Фока. Значні дослідження у цьому напрямку були зроблені у роботах І. Іто та І. Кубо, Ю. М. Березанського та його учнів, Ю. Г. Кондратьєва, Ж. Л. Сільви, М. Ж. Олівейри.

В роботах С. Альбеверіо, Ю. Г. Кондратьєва та М. Рьокнера були побудовані диференціальні структури на просторах конфігурацій й розпочато дослідження операторів типу Лапласа-Бельтрамі для пуасонівської та гібсівської мір.

В роботах Й. Мекке та його школи визначилася важливість задання мір на просторах конфігурацій за допомогою мір Кемпбела. К. Нгуєн та Х. Цессін показали, що таким чином можна задавати гібсовські міри, вже побудовані на той час в роботах Р. Л. Добрушина, К. Ленфорда та Д. Рюеля.

Проблема існування та єдинності гібсівських мір почала розглядатися в загальному вигляді в роботах Р. Л. Добрушина, але достатні умови на цей час сформульовані тільки для певного класу мір, заданих за допомогою двочастинкових потенціалів або багаточастинкових потенціалів спеціального вигляду. Інший підхід був реалізований Д. Рюелем для двочастинкового потенціалу. Саме цей підхід узагальнюється в дисертаційній роботі для класу мір на просторах конфігурацій, заданих за допомогою відносних енергій. Також у дисертаційній роботі вивчаються оператори на просторах конфігурацій із пуасонівськими та більш загальними мірами.

Зв’язок з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана в Інституті математики НАН України у відділі математичної фізики згідно із загальним планом дослідження в рамках науково-дослідної роботи "Методи нескінченновимірного аналізу в задачах математичної фізики".

Номер державної реєстрації 0101U000797.

Мета і задачі дослідження. Метою дослідження є теорія мір та операторів на просторах конфігурацій. Задачами дослідження є вивчення умов симетричності для диференціальних операторів другого порядку на просторах конфігурацій над областю та наявності спектральної щілини у таких операторів для пуасонівської міри; побудова класу мір на просторах конфігурацій за допомогою відносних енергій; вивчення характеризаційних властивостей таких мір та дослідження питань існування та єдинності; побудова та вивчення властивостей диференціальних та різницевих операторів в просторах з такими мірами.

Об’єктом дослідження є аналіз на просторах конфігурацій.

Предметом дослідження є міри та пов’язані з ними оператори на просторах конфігурацій.

Методи дослідження. Використання поліномів Шарльє, тотожності Мекке та властивостей операторів вторинного квантування для дослідження пуасонівської міри та відповідних операторів. Використання інтегральних рівнянь для кореляційних функцій для вивчення проблем існування та єдинності загальних мір. Використання узагальненої тотожності Мекке для дослідження операторів, побудованих за такими мірами.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну і виносяться на захист, такі:

1.

2.

3.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Результати роботи можна застосувати для подальшого дослідження мір та пов’язаних з ними операторів на просторах конфігурацій.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану дослідження, постановка задач належать науковому керівникові доктору фіз.-мат. наук професору Ю. Г. Кондратьєву. Доведення всіх результатів дисертації проведено особисто автором.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались і обговорювались на засіданнях семінару відділу функціонального аналізу (керівник: академік НАН України Березанський Ю. М.), київського семінару з функціонального аналізу (керівники: академік НАН України Березанський Ю. М., член-кор. НАН України Горбачук М. Л.), семінару відділу математичної фізики (керівник: доктор фіз.-мат. наук професор Кондратьєв Ю. Г.), а також на конференціях:

§

§ Міжнародна конференція на честь 90-річчя від дня народження Б. В. Гнеденка (Київ, 3-7 липня 2002 р.)

§ П’ята міжнародна конференція "Симетрія в нелінійній математичній фізиці" (Київ, 23-29 червня 2003 р.)

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в роботах [1-4], препринті [5] та тезах міжнародної конференції [6].

Структура й об’єм дисертації. Дисертація складається із вступу, трьох розділів, висновків і списку використаних джерел і містить 163 сторінки друкованого тексту.

Список використаних джререл містить 53 найменування.

Основний зміст

У вступі подано огляд робіт, пов’язаних з темою дисертації, обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету дослідження, проведено стислу анотацію результатів.

У першому розділі досліджується пуасонівська міра на просторі конфігурацій та пов’язані з нею диференціальні оператори.

Нехай — це простір всіх локально скінченних підмножин (конфігурацій) в :

(1)

де  означає кількість точок множини.

Ми можемо ототожнити з мірою Радона на, де  — це міра Дірака в точці і нульова міра. Нехай — це топологія, індукована слабкою топологією простору мір Радона, а — відповідна борелівська -алгебра.

Для вимірної множини покладемо

(2)

де.

Нехай — це неатомарна міра Радона на . Розглянемо міру Пуасона з мірою інтенсивності на та її проекцію на.

Нехай — множина всіх функцій вигляду

(3)

де  і . Множина є щільною у просторі. Якщо ж є поліномом, то відповідний клас позначатимемо.

Дотичним простором у точці називається простір, де — дотичне розшарування простору. Градієнт функції у точці визначається як елемент дотичного простору, такий що. Дивергенція визначається як оператор, дуальний градієнту відносно міри. Оператор Лапласа—Бельтрамі визначений як.

Нехай — замкнений оператор із щільною областю визначення в дійсному сепарабельному гільбертовому просторі. В роботі побудовано оператор вторинного квантування оператора у фоківському просторі.

Нехай і припустимо, що  Існує канонічний ізоморфізм Вінера—Іто—Сігала між просторами і . Нехай — це образ оператора під дією цього ізоморфізма. Відомо, що.

Покладемо тепер і припустимо, що  де  Розглянемо канонічний ізоморфізм між і . Позначимо через образ оператора під дією цього ізоморфізма.

Для регулярної області з гладкою границею встановлено аналог формули Гауса—Остроградського для пуасонівської міри.

Теорема 1.6.1 (Формула Гауса—Остроградського для пуасонівської міри) Для довільного циліндричного векторного поля справедлива формула

(4)

Нехай — симетричний диференціальний вираз вигляду

(5)

де , — функціональна матриця, така що, (всі функції вважаються дійсними), та .

Нехай оператор асоційований з диференціальним виразом. Тоді можна довести формули Гріна для оператора. Наведемо другу формулу Гріна.

Теорема 1.8.1 Для довільних справедлива формула

(6)

де — конормальна похідна, пов’язана з оператором.

Тоді мінімальний оператор є симетричним в  Визначимо максимальний оператор стандартним чином:. Припустимо, що.

Доводиться таке твердження.

Твердження 1.9.1 і для довільної

Припустимо, що  — алгебра, така що 

Симетричні розширення оператора які задані тим самим диференціальним виразом повністю описує така теорема.

Теорема 1.9.1 Оператор є симетричним в  тоді, і тільки тоді, якщо оператор є симетричним в  і для всіх

(7)

Більше того, у цьому випадку

Нехай — образ вторинного квантування лапласіана з умовами Неймана на границі обмеженої області: (). Він буде істотно самоспряженим у  () та має лише точковий спектр. Але власний підпростір оператора, що відповідає нульовому власному значенню, вже буде нескінченно вимірним. Точніше справедливе таке твердження.

Твердження 1.11.1 Нехай — (незамкнене) ядро незамкненого оператора. Тоді

Звідси можна отримати нерівність спектральної щілини на просторі конфігурацій.

Теорема 1.11.1 Для довільної функції справедлива нерівність спектральної щілини

(1)

де стала залежить лише від області.

Показано також, що нерівність Пуанкаре не виконується.

Можна довести властивість концентраційного типу.

Теорема 1.11.2 Нехай. Тоді для довільного

де.

Розглядається також образ вторинного квантування оператора, породжений диференціальним виразом на у просторі. Тут є додатною функціональною матрицею. Нас буде цікавити випадок матриці, що зростає при. Найпростіший, але зручний і модельний приклад, — це випадок

Доводиться, що оператор є істотно самоспряженим в, має дискретний спектр (якщо) та справедливе твердження:

Твердження 1.12.1 Для довільної виконується нерівність Пуанкаре

У другому розділі розглядається клас мір, що задовольняють такому означенню.

Нехай дано ймовірнісну міру на, і розглянемо невід’ємну -вимірну функцію. Ми припустимо, що визначена для -м.в. і м.в. (відносно міри Лебега) (підкреслимо, що ми завжди припускаємо, що). Функцію будемо називати щільністю відносної енергії.

Означення 2.2.1 Ймовірнісна міра називається гібсівською мірою, що відповідає щільності відносної енергії, якщо для довільної невід’ємної -вимірної функції виконується тотожність Кемпбела—Мекке:

(2)

Всюду далі ми будемо розглядати тільки ймовірнісні міри, що мають локальні скінченні моменти всіх порядків: тоді, і тільки тоді, коли

(3)

для всіх натуральних та вимірних обмежених.

Для — простору всіх скінченних конфігурацій — покладемо:

Доведено, що це визначення є коректним.

Означення 2.3.2 Кореляційним функціоналом у скінченному (вимірному) об’ємі називається функція, така що

(4)

де

(5) —

міра Лебега—Пуасона.

Розглянемо деякі умови. Умова стабільності є класичною умовою у статистичній фізиці. У нашому випадку вона прийме таку форму:

· (S) Нехай існує стала, така що

(6)

Будемо казати, що кореляційний функціонал міри задовольняє умові Рюеля, якщо існує стала, така що для -м.в.

(7)

· (IS) (Умова інтегро-стабільності) Існує зростаюча функція, така що для довільної, для м.в. та для довільного

(8)

Тут,

Зазначимо, що для випадку гібсівської міри, заданої за допомогою двочастинкового потенціалу, умова (IS) є виконаною при виконанні традиційних умов стабільності та інтегрованості.

За цієї умови можна довести рівняння Кірквуда—Зальцбурга

Теорема 2.5.1 (Рівняння Кірквуда—Зальцбурга)Нехай умови (IS) та (RB) виконані. Тоді для -м.в. та для м.в.

(9)

Справедлива теорема існування.

Теорема 2.6.1 Нехай — це зростаюча послідовність обмежених вимірних множин з , а — це послідовність кореляційних функціоналів у відповідних скінченних об’ємах, причому ці функціонали задовольняють рівномірній оцінці Рюеля, тобто існує стала, така що для -м.в.

Нехай також виконані умови (S) та (IS) для. Тоді існує міра, що задовольняє тотожності (CM).

Для формулювання теореми єдинності ми почнемо з ще однієї умови, яка полягає в іншій оцінці для того ж інтегралу, що й в умові (IS).

· (MIS) (Модифікована умова інтегро-стабільності) Нехай існують зростаюча функція та стала, такі що для довільної, для довільного та для довільного

(10)

· де функція, така що для довільної існує, такий що

(11)

Знов-таки, для двочастинкового потенціалу ця умова є виконаною.

Тепер доводиться так зване модифіковане рівняння Кірквуда—Зальцбурга. Будемо використовувати позначення з умови (MIS). Спочатку означимо для функцію

(12)

Тоді з умови (MIS) дістанемо Також розглянемо функцію

Теорема 2.7.1 (Модифіковане рівняння Кірквуда—Зальцбурга) Нехай (IS), (RB) та (MIS) виконані. Тоді для довільної

Тепер можна довести теорему єдинності.

Теорема 2.7.3 Нехай умови (S) та (MIS) виконані. Нехай стала задана. Тоді якщо функція, така що

(1)

то існує не більше одного кореляційного функціоналу, що задовольняє рівнянню (KS) та умові (RB) зі сталою.

Наведемо тепер теорему існування та єдинності.

Теорема 2.7.4 Нехай функція задовольняє умовам (S), (IS) та (MIS), і нехай стала така, що

Тоді існує єдина міра, така що задовольняє умові (RB) зі сталою Рюеля.

У третьому розділі у сім’ї просторів, де розглядається сім’я операторів, таких що

(2)

Припустимо також, що для довільної існують функції, , такі що для -м.в. і що

Тоді розглянемо білінійну форму на, побудовану за сім’єю:

для.

Твердження 3.1.1 Для довільних виконується рівність

де

Припустимо, що для -м.в..

Розглянемо в якості оператор Дірихле, що відповідає білінійній формі

де і є гладкими функціями на.

Оскільки, то оператор, побудований за сім’єю має простий вид

Розглянемо тепер оператор у просторі, де є проекція міри на, а є регулярною областю в.

Твердження 3.2.1 Справедлива перша формула Гріна для оператора:

де

Наслідок 3.2.1 Справедлива друга формула Гріна для оператора:

Розглянемо тепер мінімальний оператор який є симетричним у просторі. Визначимо максимальний оператор :

Твердження 3.2.2 і для довільної

У випадку, коли не залежить від:, маємо, що

тобто звичайна ко-нормальна похідна.

Тоді оператор є симетричним у просторі.

Наводиться також явний клас двочастинкових потенціалів, для якої виконуються всі попередні припущення.

Нехай тепер всі оператори, є одиничними. Без використання Твердження 3.1.1 можна знайти, що оператор, який відповідає білінійній формі, дорівнює

(3)

Цей різницевий оператор є генератором динаміки глауберового типу для неперервних систем.

Твердження 3.4.1 Нехай умови (RB) та (IS) виконані. Тоді для довільної.

Навпаки, нехай дана ймовірнісна міра, така що її кореляційна функція існує та задовольняє умові Рюеля, та не пов’язана з нею щільність відносної енергії, що задовольняє (IS) та визначає вираз.

Тоді у твердженні 3.4.2 показано, що є оператором в. Більше того, теорема 3.4.1 показує, що якщо рівність

(4)

виконується для широкого класу функцій, тобто міра є інваріантною відносно оператора, то міра задовольняєз цим самим.

Висновки

У дисертаційній роботі досліджуються міри та пов’язані з ними оператори на просторах конфігурацій. Отримано такі результати:

1.

2.

3.

Список опублікованих робіт здобувача за темою дисертації:

1.

2.

3.

4.

Препринти:

5.

Тези міжнародних конференцій:

6.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівникові доктору фізико-математичних наук професору Кондратьєву Юрію Григоровичу за постановку задач, постійну увагу та допомогу в роботі.

Анотації

Фінкельштейн Д. Л. Деякі класи мір та пов’язані з ними оператори на просторах конфігурацій. — Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальністю 01.01.01 — математичний аналіз. Інститут математики НАН України, Київ, 2003.

У дисертаційній роботі досліджуються міри та пов’язані з ними оператори на просторах конфігурацій. Для пуасонівської міри на просторі конфігурацій над областю встановлені формули Гауса—Остроградськьго та Гріна, знайдені необхідні та достатні умови симетричності диференціальних операторів другого порядку. Доведені нерівність для спектральної щілини та нерівність Пуанкаре для диференціальних операторів другого порядку. Вивчено клас мір на просторах конфігурацій, визначених за допомогою відносних енергій. Досліджені характеристичні властивості цих мір, знайдені достатні умови їх існування та єдинності. Побудовано клас операторів на просторах конфігурацій, що відповідають формам Дірихле мір Кемпбела. Досліджено властивості диференціальних операторів та одного класу марківських генераторів на просторах конфігурацій.

Ключові слова: простір конфігурацій, міра Пуасона, міра Гібса, формула Гауса—Остроградського, формули Гріна, нерівність для спектральної щілини, нерівність Пуанкаре.

Finkelshtein D. L. Some Classes of Measures and Corresponding Operators on Configuration Spaces. — Manuscript. Thesis for the Candidate degree by speciality 01.01.01 — calculus. Institute of mathematics of NASU, Kiev, 2003.

The paper deals with measures and corresponding operators on the configuration spaces. Gauss-Ostrogradskij and Green formulas for the Poisson measure on the configuration space over a domain are proved; nessesary and sufficient conditions of the symetricity of the second order differential operators are found. Spectral gap and Poincare inequality for the second order differential operators are obtained. Classes of measures on the configuration spaces which defined by relative energies are studied. Characterisation properties of such measures are revealed and sufficient conditions for the existence and uniqeuness problems in terms of the relative energies are proposed. Class of operators on configuration spaces corresponding to Dirichlet forms of Campbell measures is constructed. Main properties of second-order differential operators and some class of Markov generators on configuration spaces are studied.

Key words: configuration space, Poisson measure, Gibbs measure, Gauss-Ostrogradskij formula, Green formulas, spectral gap inequality, Poincare inequality.

Финкельштейн Д. Л. Некоторые классы мер и связанные с ними операторы на пространствах конфигураций. — Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 — математический анализ. Институт математики НАН Украины, Киев, 2003.

В диссертационной работе исследуются меры и связанные с ними операторы на пространствах конфигураций. Для пуассоновской меры на пространстве конфигураций над областью установлены формулы Гауса—Остроградского и Грина, найдены необходимые и достаточные условия симметричности дифференциальных операторов второго порядка. Доказаны неравенство для спектральной щели и неравенство Пуанкаре для дифференциальных операторов второго порядка. Изучен класс мер на пространствах конфигураций, заданных при помощи относительных энергий. Исследованы характеристические свойства этих мер, найдены достаточные условия для их существования и единственности. Построен класс операторов, отвечающих формам Дирихле мер Кемпбелла. Исследованы свойства дифференциальных операторов второго порядка и одного класса марковских генераторов на пространствах конфигураций. Работа состоит из введения, трех глав, выводов и списка использованных литературных источников. Во вступлении освещается исторический аспект научных проблем, рассматриваемых в диссертационной работе, приводится цель и постановка задач работы, дается краткая характеристика результатов работы. В диссертационной работе исследуются вопросы анализа на пространствах конфигураций над областями в, доказывается формула Гауса—Остроградского. Найден явный вид образов операторов вторичного квантования дифференциальных операторов второго порядка при изоморфизме Винера—Ито—Сигала. Для них доказаны формулы Грина, которые используются для построения минимального оператора и изучения его симетричных и самосопряженных расширений. Доказано неравенство спектральной щели и отсутствие неравенства Пуанкаре для оператора Лапласа на пространстве конфигураций над ограниченной областью. Доказано неравенство Пуанкаре для образа вторичного квантования дифференциального оператора второго порядка с растущими коэффициентами. Построена экспоненциальная модель для пространства конфигураций на прямой. Во второй главе изучен класс мер на пространствах конфигураций, заданных при помощи относительных энергий и обобщенного тождества Мекке. Для этих мер установлены характеристические свойства — уравнения Рюеля и Добрушина-Ленфорда-Рюеля. Найдены достаточные условия существования и единственности таких мер в терминах относительных энергий, при чем условия эти в случае мер, заданных двохчастичным потенциалом совпадают с условиями, полученными Рюелем в 1970 г. В третьей главе строится класс операторов на пространствах конфигураций, отвечающих формам Дирихле мер Кемпбелла. Он включает в себя все изученные к этому моменту операторы на пространствах конфигураций. Для дифференциальных операторов второго порядка получены достаточные условия их симметричности на пространствах конфигураций над областями. Для марковских генераторов специального вида получена характеризация меры, заданной относительными энергиями, как меры, инвариантной относительно этого оператора. Приводится библиография, состоящая из 50 единиц.

Ключевые слова: пространство конфигураций, мера Пуассона, мера Гиббса, формула Гауса—Остроградского, формулы Грина, неравенство спектральной щели, неравенство Пуанкаре.