КІЧМАРЕНКО ОЛЬГА ДМИТРІВНА

УДК 517. 9

УСЕРЕДНЕННЯ В ЗАДАЧАХ КЕРУВАННЯ

СИСТЕМАМИ ІЗ ЗАПІЗНЕННЯМ

01.01.09 – варіаційне числення і оптимальне керування

ВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Одеса – 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі оптимального керування і економічної кібернетики
Одеського національного університету ім. І.І. Мечникова Міністерства освіти і науки України

Науковий доктор фізико-математичних наук, професор

керівник Плотніков Віктор Олександрович,

Одеський національний університет ім. І.І. Мечникова,

завідувач кафедри оптимального керування і економічної кібернетики

Офіційні доктор фізико-математичних наук, професор

опоненти: Теплинський Юрій Володимирович,

Кам'янець-Подільський державний університет,

завідувач кафедри диференціальних рівнянь і геометрії;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Дмитришин Дмитро Володимирович,

Одеський національний політехнічний університет,

доцент кафедри вищої математики № 2.

Провідна Київський національний університет ім. Тараса Шевченка

установа: Міністерства освіти і науки України, кафедра моделювання складних систем факультету кібернетики, м. Київ.

Захист відбудеться “ 11 ” лютого 2005 року о 15.00 годині, ауд. 73
на засіданні спеціалізованої вченої ради К 41.051.05 при
Одеському національному університеті ім. І.І. Мечникова
за адресою: 65026, м. Одеса, вул. Дворянська, 2.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Одеського національного
університету ім. І.І. Мечникова (65026, м. Одеса, вул. Преображенська, 24).

Автореферат розісланий “ 6 ” січня 2005 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Вітюк О.Н.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Побудова асимптотичних розв'язків рівнянь керованого руху широко використовується при дослідженні складних систем.

Починаючи з робіт М.М. Моісеєва, асимптотичні методи застосовуються при дослідженні задач оптимального керування. В даний час існує два підходи в цьому напрямку. Перший – усереднення крайової задачі принципу максимуму Л.С. Понтрягіна, який розроблявся в роботах М.М. Моісеєва, Л.Д. Акуленка, В.Ф. Бутузова, А.Б. Васильєвої, М.Г. Дмитрієва, Ю.Г. Євтушенко, В.О. Плотнікова, Ф.Л. Черноусько, D.D., A.L., Tz.D., P.V., A., R.E.'Malley.

Другий підхід – усереднення рівнянь керованого руху. У роботах В.О. Плотнікова цей підхід був перенесений на загальний випадок вимірних керувань за допомогою узагальнення теореми М.М. Боголюбова на диференціальні включення. У роботах О.І. Булгакова, В.Г. Гайцгорі, А.А. Первозванського, А.В. Плотнікова, О.П. Філатова, М.М. Хапаєва, G., A.L., Tz.D., H.D. ці результати були поширені на системи з повільними і швидкими змінними, на рівняння в банаховому просторі. При цьому даний підхід розглядався тільки для систем без запізнення. Однак наявність запізнення впливає на якісну поведінку системи. Крім того, диференціальні рівняння із запізненням дозволяють описувати ефекти і явища в сучасній фізиці, космічній техніці, економіці, медицині, біології, екології й інших прикладних галузях.

Фундаментальні дослідження диференціальних рівнянь із запізненням в середині ХХ століт-тя проводили В. Вольтер, А.Д. Мишкіс, Р. Беллман, М.М. Красовський, Л.Е. Ельсгольц. Асимпто-тичні методи для диференціальних рівнянь із запізненням розробляли Ю.О. Митропольський, А.М. Самойленко, Д.І. Мартинюк, В.І. Фодчук, В.П. Рубаник, Г.Л. Харатишвілі та ін.

У дисертаційній роботі розроблено й обґрунтовано деякі алгоритми методу усереднення
рівнянь керованого руху з запізненням.

При дослідженні задач оптимального керування важливу роль відіграє вивчення властивос-тей в'язки траєкторій і побудова множини досяжності для систем керування. Різним алгоритмам наближеної побудови множин досяжності присвячені роботи О.Б. Куржанського, М.С. Нікольсь-кого, А.І. Овсеєвича, О.І. Панасюка, В.І. Панасюка, О.О. Толстоногова, Ф.Л. Черноусько, A.L.-ntchev, E., F.. У роботах О.І. Панасюка і В.І. Панасюка було отримано рівняння
інтегральної воронки, яке докладно досліджувалося О.О. Толстоноговим. Він установив зв'язок
розв'язків рівняння інтегральної воронки і відповідного йому рівняння з похідною Хукухари.

Диференціальні рівняння з похідною Хукухари введені в роботах F.S. Blasi, F., які досліджували основні властивості їх розв’язків. Подальші дослідження проводили А.В. Плотніков, В.О. Плотніков, О.О. Толстоногов, M., T., E.-Kumorek.

У роботах О.І. Панасюка рівняння інтегральної воронки було узагальнено на локально-компактний метричний простір, а потім на повний метричний простір і дістало назву квазідифе-ренціальних рівнянь. Квазідиференціальні рівняння дозволили позбутися вимоги лінійності
простору розв'язків і з єдиних позицій розглядати диференціальні рівняння в лінійних метричних просторах, рівняння з многозначними розв'язками, а також динамічні системи в нелінійних
метричних просторах.

У дисертаційній роботі проведено обґрунтування методу усереднення для рівнянь
керованого руху з похідною Хукухари і квазідиференціальних рівнянь із запізненням, а також розроблено чисельно-асимптотичні алгоритми розв'язування задач оптимального керування для відповідних систем.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалася в рамках теми "Розробка математичних методів розв'язування задач керування" (номер держреєстрації 0101U008298, код 2201020 ), яка виконується на кафедрі оптимального керування і економічної кібернетики Інституту математики, економіки і механіки Одеського національного університету ім. І.І. Мечникова.

Мета і задачі дослідження.

Мета роботи – розробка й обґрунтування алгоритмів чисельно-асимптотичного розв'язу-вання задач оптимального керування для систем із запізненням і дослідження за їх допомогою властивостей множин досяжності.

З цією метою було проведене обґрунтування методу усереднення для рівнянь керованого руху, рівнянь з похідною Хукухари і квазідиференціальних рівнянь, які містять запізнення.

Об'єктом дослідження є рівняння керованого руху, рівняння з похідною Хукухари та квазідиференціальні рівняння.

Предметом дослідження є вищезгадані рівняння з постійним та змінним запізненням.

Методи дослідження. У роботі використовуються методи усереднення, методи теорії оптимального керування, методи многозначного аналізу, а також результати теорії диференціальних рівнянь з похідною Хукухари і теорії квазідиференціальних рівнянь.

Наукова новизна отриманих результатів. У дисертаційній роботі отримано наступні нові результати:

§

§

§

§

§

Практичне значення отриманих результатів. Дисертаційна робота має, в основному,
теоретичний характер. Розроблені методи можуть бути застосовані для дослідження керованих систем із запізненням, отримані результати можуть бути використані при дослідженні динамічних систем, які описуються звичайними диференціальними рівняннями з запізненням, рівняннями з похідною Хукухари з запізненням і квазідиференціальними рівняннями з запізненням, при побудові оптимальних режимів функціонування цих систем, при конструюванні чисельних методів розв'язування задач оптимального керування, в задачах синтезу і диференціальних іграх.

Особистий внесок здобувача. У публікаціях [2, 4, 5] науковому керівнику В.О. Плотнікову належать постановки задач, визначення загальної ідеї дослідження, у роботі [7] авторові дисертації належить обґрунтування чисельно-асимптотичного методу розв'язання задачі оптимального керування із запізненням, а в роботі [8] авторові належить формулювання і доведення теорем 1 і 2.

Апробація результатів дисертації. Основні результати роботи доповідалися й обговорюва-лися на міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми математики" – Чернівці, 1998; The XXVI Summer School "Applications of mathematics in engineering and economics" – Sozopol, 2000 (Болгарія); міжнародній конференції з керування "Автоматика – 2000" – Львів, 2000 р.; міжнарод-ній конференції "Диференціальні й інтегральні рівняння" – Одеса, 2000 р.; International Conference "Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation" – Київ, 2001 р.; VIII міжнародній конфе-ренції "Математика. Комп'ютер. Освіта." – Пущино, 2001 р.; міжнародній конференції "Диферен-ціальні рівняння і нелінійні коливання" – Київ, 2001 р.; міжнародній конференції з керування
"Автоматика – 2001" – Одеса, 2001 р.; 6-й Кримській міжнародній математичній школі "Метод функцій Ляпунова і його застосування", Алушта, 2002 р.; міжнародній конференції П'яті Боголю-бовські читання. Теорія еволюційних рівнянь – Кам'янець-Подільський, 2002 р.; International
Conference "Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation" – Київ, 2003; міжнародній конференції Шості Боголюбовські читання – Чернівці, 2003 р.

Публікації. Результати дисертаційного дослідження опубліковано 18 наукових роботах, з них: 5 статей ([1-5]) у фахових виданнях з переліку ВАК України, 3 роботи ([6-8]) у збірниках наукових праць, [9-18] – тези доповідей на наукових конференціях.

Структура й обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків і списку літератури, який включає 142 найменування. Загальний обсяг дисертації складає 162 сторінки машинописного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Перший розділ дисертації присвячений огляду першоджерел за темою роботи – дослідження керованих систем, які містять запізнення, задач оптимального керування такими системами, застосування асимптотичних методів до роз'язування вищезгаданих задач, а також огляд досліджень систем, які описуються рівняннями з похідною Хукухари і квазідиференціальними рівняннями, і застосування до них асимптотичних методів; визначено напрямки досліджень дисертаційної роботи та викладено її основний зміст.

В другому розділі викладено обґрунтування методу усереднення для рівнянь керованого руху з постійним, асимптотично великим і змінним запізненням, а також для рівнянь з максимумом, розроблено алгоритми відповідності між керуваннями початкової й усередненої систем для періодичного і неперіодичного випадків, дано обґрунтування чисельно-асимптотич-ного методу розв'язування задачі оптимального керування з термінальним функціоналом на траєкторіях із запізненням.

Нехай тут і далі x – n-вимірний фазовий вектор, е>0 – малий параметр, t>0, A – nxm матриця, ц:[0,Lе-1]xU?Rm, u є U – вектор керування, U є comp(Rr).

У підрозділі 2.1 розглядається керована система з постійним запізненням:

(t)=е[f(t,x(t),x(t-Д))+A(x(t),x(t-Д))ц(t,u(t))], x(s)=Ш(s), -Д?s?0, (1.1)

де f:[0,Lе-1]xRnxRn?Rn – 2р-періодична функція по t, Д – ?остійне запізнення, ц(t,u) – вектор-функція, 2р-періодична по t, Ш(s) – задана неперервна вектор-функція.

Системі (1.1) ставиться у відповідність усереднена система:

(y)+A(y,y)v, y(0)=Ш(0), ф=еt, 0?ф?L, (1.2)

де , . Інтеграл від многозначного відображення розглядаємо як інтеграл Аумана.

Відповідність між керуванням u(t) системи (1.1) і керуванням v(t) системи (1.2) встановлюється за алгоритмом 1:

1. Кожному керуванню v(ф) системи (1.2) ставиться у відповідність керування u(t) системи (1.1) за умовою:

, i=0,1,…. (1.3)

2. Кожному керуванню u(t) системи (1.1) ставиться у відповідність керування v(ф) системи (1.2) згідно (1.3).

Теорема 2.1. Нехай в області Q={t?0, x, y єD, u є U} виконуються умови: 1) функція f(t,x,y) – 2?-періодична по t, неперервна, обмежена константою M, задовольняє умові Ліпшіца по x, y з постійною ?; 2) функція A(x,y) задовольняє умові Ліпшіца по x, y з постійною ?, обмежена константою M; 3) функція ?(t,x) – 2р-?еріодична по t, неперервна за змінними u, t та обмежена константою M; 4) ?:[-Д,0]>D – ?еперервна функція; 5) для будь-яких припустимих керувань v(?) розв'язки y(?) системи (1.2) при y(0)єD', ф?[0,L] разом з ?-околом належать області D.

Тоді існують C>0 і ?0>0 такі, що для будь-якого ?є(0,е0] і для кожного t є [0,L?-1] справедливі наступні твердження:

1. Для будь-якого припустимого керування u(t)єU системи (1.1) існує керування v(?t) системи (1.2) таке, що

||x(t)-y(еt)||?Cе, (1.4)

де x(t) – розв'язок системи (1.1), породжений керуванням u(t), а y(?t) – розв'язок системи (1.2), породжений керуванням v(еt), ? x(0)=y(0)єD'.

2. Для будь-якого припустимого керування v(?)єV системи (1.2) існує керування u(t) системи (1.1) таке, що справедлива оцінка (1.4).

Далі системі (1.1) ставиться у відповідність усереднена система:

(y)+A(y,y)v(w), y(0)=ш(0) (1.5)

де w(ф)?Rm – новий вектор керування, причому ||w(?)||=1, н(w)=, а функція p(t,w) визначається з умови:

(ц(t,p(t,w)),w)=(ц(t,u),w), (1.6)

де – скалярний добуток.

Відповідність між керуваннями u(t,е) системи (1.1) і w(еt) системи (1.5) встановлюється за алгоритмом 2.

Алгоритм 2.

1. Кожному керуванню w(еt) системи (1.5) ставиться у відповідність таке керування u(t,е) системи (1.1), що .

2. Кожному керуванню u(t,е) системи (1.1) ставиться у відповідність керування w(еt) системи (1.5) таким чином: оскільки , то за теоремою Каратеодорі існують , , , r=m+1 такі, що .

Будуємо w(еt)= t є [2рi,2р(i+1)], i=0,1,….

Тоді .

Теорема 2.2. Нехай в області Q={t?0, x, y єD, u є U} виконуються умови 1)-4) теореми 2.1 і, крім того: 1) для будь-яких припустимих керувань w(?) розв'язки y(?) системи (1.5) при y(0)єD', ф?[0,L] разом з ?-околом належать області D; 2) виконана умова єдиності, тобто, при всіх wєS1 функція p(t,w) в (1.6) визначена однозначно при майже всіх t є [0,2?].

Тоді існують C>0 і ?0>0 такі, що для будь-якого ?є(0,е0] і для кожного t є [0,L?-1] справедливі наступні твердження:

1. Для будь-якого припустимого керування u(t)єU системи (1.1) існує керування w(?) системи (1.5) таке, що

||x(t)-y(ф)||?Cе, (1.7)

де x(t) – розв'язок системи (1.1), породжений керуванням u(t), а y(?) – розв'язок системи (1.5), породжений керуванням w(?), x(0)=y(0)єD'.

2. Для будь-якого припустимого керування w(?)єV системи (1.5) існує керування u(t) системи (1.1) таке, що справедлива нерівність (1.7).

У теоремах 2.1 і 2.2 обгрунтовано метод усереднення для рівнянь керованого руху з постійним запізненням для алгоритмів відповідності керувань 1 і 2.

Для випадку, коли в рівнянні (1.1) функції f(t,x,y) і ц(t,x) є неперіодичними за часом t, розроблені аналогічні алгоритми відповідності керувань – 3 і 4 та доведені відповідні теореми, які обґрунтовують метод усереднення.

У підрозділі 2.2 дано обґрунтування методу усереднення для рівнянь керованого руху з
постійним асимптотично великим запізненням:

(t)=е[f(t,x(t),x(t-Д),x(t-l/е))+A(x(t),x(t-Д),x(t-l/е))ц(t,u(t))], x(s)=Ш(s,е), ,

де е?[0,Дl-1], – вектор-функція, t є [0,L?-1], Д – ?остійне запізнення, lе-1 – асимптотично велике запізнення, l є (0,L) – константа, ?(s,е) – задана неперервна функція.

У підрозділі 2.3. проведено обґрунтування методу усереднення для рівнянь керованого руху зі змінним запізненням:

(t)=е[f(t,x(t),x(б(t)))+A(x(t),x(б(t)))ц(t,u(t))], x(0)=x0,

де f:[0,Lе-1]xRnxRn?Rn – вектор-функція, 2р-періодична по t, t є [0,L?-1], б(t) – запізнення, 0?б(t)?t, ц(t,u) – вектор-функція, 2р-періодична по t.

У підрозділі 2.4 розглядаються диференціальні рівняння з максимумом. Теорема 2.7 дає обґрунтування методу усереднення для диференціальних рівнянь з максимумом, а теорема 2.8 дає обґрунтування схеми східчастого усереднення для диференціальних рівнянь з максимумом.

Далі розглядається рівняння керованого руху з максимумом:

, x(0)=x0, (1.8)

де f:[0,Lе-1]xRnxRn?Rn – вектор-функція, g(t) і г(t) – відомі функції, 0?g(t)?г(t)?t, , t є [0,L?-1].

Рівнянню (1.8) ставиться у відповідність усереднене рівняння

y(0)=x0, (1.9)

де , . (1.10)

Відповідність між функціями керування u(t)єU початкової системи (1.8) і функціями керування v(t)єV усередненої системи (1.9) установлюється за алгоритмом 3.

Для рівнянь керованого руху з максимумом доведена наступна теорема, яка обґрунтовує метод усереднення.

Теорема 2.9. Нехай в області Q={t?0, x, y єD, u є U} виконані наступні умови: 1) функції f(t,x,y), A(x,y), ?(t,u) неперервні по t, рівномірно обмежені, задовольняють умові Ліпшіца по x, y, u; 2) функції g(t) і ?(t) рівномірно неперервні; 3) рівномірно відносно x, y існує границя (1.10); 4) розв'язок рівняння (1.9) при x0єD' і будь-якому припустимому керуванні v(t) разом з ?-околом належить області D.

Тоді для будь-якого як завгодно малого ?>0 і будь-якого як завгодно великого L>0 існують ?0>0 і ?0>0 такі, що для будь-якого ? є (0,е0] і для кожного t є [0,L?-1] справедливі наступні твердження:

1. Для будь-якого припустимого керування u(t)єU системи (1.8) існує керування v(t) системи (1.9) таке, що

||x(t)-y(t)||?з, (1.11)

де x(t) – розв'язок системи (1.8), породжений керуванням u(t), y(t) – розв'язок системи (1.9) породжений керуванням v(t), і x(0)=y(0)=x0єD'.

2. Для будь-якого припустимого керування v(t)єV системи (1.9) існує керування u(t)
системи (1.8) таке, що справедливою є оцінка (1.11).

У підрозділі 2.5 розглядається застосування алгоритмів 1, 2, 3, 4 для розв'язування задач оптимального керування системами з запізненням і термінальним функціоналом.

Нехай рівняння руху керованого об'єкту описується рівнянням (1.8), у якому функції f(t,x,y) і ц(t,u) – 2р-періодичні по t.

Потрібно знайти керування u(t)єU системи (1.8), яке мінімізує функціонал

J[u]=Ф(x(Lе-1)). (1.12)

Задачі оптимального керування (1.8), (1.12) ставиться у відповідність усереднена задача з
функціоналом

(1.13)

на траєкторіях системи (1.9), причому відповідність керувань встановлена за алгоритмом 1.

Теорема 2.10. Нехай в області Q={t?0, D, u є U} виконуються умови теореми 2.9 і, крім того: 1) функція Ф(x) задовольняє умові Ліпшіца з постійною ?; 2) існує оптимальне керування u*(t)єU задачі (1.8),(1.12), x*(t) – відповідна оптимальна траєкторія і J* – оптимальне значення функціоналу.

Тоді для кожного L>0 існують C>0 і ?0(L)>0 такі, що для кожного ? є (0,е0] справедливі наступні нерівності , J[uv*]-J[u*]<Cе, ?е – оптимальне значення функціоналу задачі (1.9),(1.13), uv*(t) – керування системи (1.8), яке побудоване за алгоритмом 1 і відповідає оптимальному керуванню v*(t) задачі (1.9),(1.13).

Теорема 2.10 дає обґрунтування чисельно-асимптотичного методу розв'язування задачі оптимального керування на траєкторіях із запізненням.

Далі, у теоремі 2.11, доведено існування ?-оптимального за Парето керування для початкової й усередненої задач оптимізації на траєкторіях із запізненням і векторним критерієм.

У третьому розділі обґрунтувано метод усереднення для диференціальних рівнянь з похідною Хукухари і запізненням та для рівнянь керованого руху з похідною Хукухари і запізненням, а також обґрунтовано чисельно-асимптотичний метод розв'язування задачі оптимального керування на траєкторіях систем із запізненням, які описуються рівняннями з похідною Хукухари.

У підрозділі 3.1 розглядається диференціальне рівняння з похідною Хукухари, яке містить змінне запізнення:

DhX(t)=еF(t,X(t),X(б(t))) X(0)=X0,

де X:R1?conv(Rn), DhX(t) – похідна Хукухари, F:R1xconv(Rn)xconv(Rn)?conv(Rn) – многозначне відображення, яке ставить у відповідність кожній точці (t,X,Y) деяку компактну опуклу підмножину із Rn, 0?б(t)?t – запізнення.

Теореми 3.1-3.3 обґрунтовують метод повного і часткового усереднення для диференціальних рівнянь з похідною Хукухари і змінним запізненням.

Підрозділ .2 присвячено обґрунтуванню методу усереднення для керованих диференці-альних рівнянь з похідною Хукухари і запізненням:

DhX(t)=е[F(t,X(t),X(б(t)))+A(X(t),X(б(t)))ц(t,u)] X(0)=X0, (1.14)

де 0?б(t)?t, A:conv(Rn)xconv(Rn)?conv(Rn), ц:R1xU?R1, u(t)єU – вектор керування, U є conv(Rm).

Рівнянню (1.14) ставиться у відповідність наступне усереднене рівняння:

DhX(t)=е[(Y(t),Y(б(t)))+A(Y(t),Y(б(t)))v(t)], Y(0)=X0 , (1.15)

де , .

Теорема 3.4. Нехай в області Q={t?0; X,YєDconv(Rn), uєUconv(Rm)} виконуються умови: 1) відображення F(t,X,Y) неперервне і 2?-періодичне по t; 2) відображення F(t,X,Y) і A(X,Z) задовольняють умові Ліпшіца по X, Z з постійною ?, обмежені постійною M; 3) функція ?(t,u) – неперервна по u, t, 2?-періодична по t, обмежена постійною M; 4) функція ?(t) рівномірно неперервна при t=0 ; 5) розв'язок Y(t) рівняння (1.15) при ? є (0,у], t?0 разом з ?-околом належить області D для будь-якого припустимого керування u(t).

Тоді для кожного L>0 існують ?(L) є (0,у] і C>0 такі, що при всіх ? є (0,е0] і t є [0,L?-1] справедливі наступні твердження:

1. Для будь-якого припустимого керування u(t)єU існує припустиме керування v(t)єV таке, що:

h(X(t),Y(t))?Cе. (1.16)

2. Для будь-якого припустимого керування v(t)єV існує припустиме керування u(t)єU таке, що справедлива оцінка (1.16).

Далі розглядається задача оптимального керування системою (1.14) з функціоналом

J[u]=Ф(X(Lе-1)), (1.17)

де Ф:conv(Rn)?conv(R1).

Задачі (1.14), (1.17) ставиться у відповідність усереднена задача оптимального керування системою (1.15) з функціоналом

(v)=Ф(Y(L/е)).

Обґрунтування чисельно-асимптотичного методу розв'язування задачі оптимального керування (1.14), (1.17) подано у теоремі 3.5.

У підрозділі 3.3 розглядається лінійне рівняння керованого руху з похідною Хукухари і запізненням:

DhX(t)=е[A(t)X(t)+A1(t)X(б(t))+G(t)] X(0)=X0, (1.18)

де A(t), A1(t) – матриці nxn, G:R1?conv(Rn), 0?б(t)?t – змінне запізнення.

Для рівняння (1.18) доведені теореми про усереднення для періодичного (теорема 3.6) і неперіодичного (теорема 3.7) випадків; розроблено алгоритм чисельно-асимптотичної побудови множини досяжності, а також обґрунтовано чисельно-асимптотичний метод розв'язування задачі оптимального керування на траєкторіях, які описуються лінійними диференціальними рівняннями з похідною Хукухари та запізненням.

У четвертому розділі розглядаються квазідиференціальні рівняння з постійним і змінним запізненням у локально-компактному метричному просторі, а також задача оптимального керування системами, які описуються квазідиференціальними рівняннями з запізненням.

У підрозділі 4.1 розроблено і обґрунтовано алгоритм усереднення квазідиференціальних рівнянь з постійним запізненням у локально-компактному метричному просторі.

Нехай X – метричний простір з метрикою , ц:[0,у)x[t0,t0+T)xX?X – відображення, яке задає локальний квазірух, тобто виконуються умови:

D1) аксіома початкових умов: ц(0,t,x)=x;

D2) аксіома квазіприпасування: д(ц(h,t0,x0),ц(hm,tm-1,xm-1))=o(h),

де , , ,

D3) аксіома неперервності: ц(h,t,x) – неперервне.

Далі вважаємо, що X – локально-компактний метричний простір. Розглядається квазідифе-ренціальне рівняння з постійним запізненням:

д(x(t+h),ш(е,h,t,x(t),x(t-Д)))=o(h) x(s)=Ф(s), -Д?s?0. (1.19)

Доведено теорему 4.3 про неперервну залежність розв'язку квазідиференціального рівняння (1.19) від початкових умов.

Рівнянню (1.19) ставиться у відповідність усереднене квазідиференціальне рівняння:

д(y(t+h),(h,y(t),y(t-Д)))=o(h), y(s)=Ф(s), -Д?s?0 (1.20)

. (1.21)

Теорема 4.4. Нехай в області Q={hє[0,у), tє[0,T), x,yєDX} виконані умови 1) ?y(h,t,x)=ц(h,t,x,y(t)) ?адовольняє умовам D1, D2, D3, де y(t) задовольняє умові Ліпшіца з постійною ?; 2) границя (1.21) існує рівномірно відносно h, y, z; 3) д(Ф(s'),Ф(s''))?л|s'-s''|; 4) ?ідображення , цz(е,h,t,y)=ш(е,h,t,y,z(t)) ?адовольняють по y умові: (де z(t) задовольняє умові Ліпшіца з постійною ?1), умовам D1, D2, D3, умові Ліпшіца по h з постійною ?; 5) розв'язок y(t) квазідиференціального рівняння (1.20) існує при tє[0,T) і разом з ?-околом належить області D.

Тоді для кожного ?>0 існує ?0(з)>0 ?аке, що для ? є (0,е0) і t є [0,T) справедлива оцінка ?(x(t),y(t))?з, ?е x(t) – розв'язок рівняння (1.19), а y(t) – розв'язок рівняння (1.20).

У теоремі 4.4 подано обґрунтування методу усереднення для квазідиференціальних рівнянь з постійним запізненням. Для квазідиференціальних рівнянь, які містять асимптотично мале запізнення, доведена аналогічна теорема 4.5 про усереднення. Обґрунтування методу усереднення для квазідиференціальних рівнянь, які містять постійне й асимптотично мале запізнення, дано в теоремі 4.6.

У підрозділі 4.2 розглядається квазідиференціальне рівняння із змінним запізненням у локально-компактному метричному просторі:

д(x(t+h),ш(h,t,x(t),x(б(t))))=o(h), x(0)=x0,

де D?X, ш:[0,у)x[0,T)xDxD?X – відображення, яке задає локальний квазірух, , 0?б(t)?t – запізнення.

У теоремі 4.7 доводиться існування розв'язку квазідиференціального рівняння із змінним запізненням і пропонується конструктивний алгоритм його побудови.

Далі розглядається квазідиференціальне рівняння з малим параметром, яке містить змінне запізнення:

д(x(t+h),g(е,h,t,x(t),x(б(t))))=o(h), x(0)=x0, (1.22)

де t є [0,T), g:(0,е0]x[0,у)x[0,T)xDxD?X, , е – малий параметр, б(t) – запізнення і 0?б(t)?t.

Квазідиференціальному рівнянню (1.22) ставиться у відповідність усереднене:

, (1.23)

(1.24)

Теорема 4.8 дає обґрунтування методу усереднення для квазідиференціальних рівнянь із змінним запізненням у локально-компактному метричному просторі.

Теорема 4.8. Нехай в області Q={?є(0,е0],hє[0,у),tє[0,T),DX} при кожному фіксованому е ? (0,е0] виконані умови 1) границя (4.24) існує рівномірно відносно h, x, y; 2) відображення (h,x,y) і gz(е,h,t,x)=gz(е,h,t,x,z(t)) ?адовольняють умовам D1, D2, D3 і умові Ліпшіца по h з постійною ?, де z(t) – задовольняє умові Ліпшіца з постійною ?1; 3) відображення g(е,h,t,x,y) ?адовольняє нерівності |д(x1,x2)-д(g(е,h,t,x1,y),g(е,h,t,x2,y))|?hгд(x1,x2), де ? – константа; 4) функція ?(t) – неперервна; 5) розв'язок y(t) рівняння (1.23) існує і разом з ?-околом належить області D.

Тоді для кожного з>0 ?снує таке ?0(з)>0, ?о для будь-якого е ? (0,е0] і для кожного tє[0,T) справедлива оцінка д(x(t),y(t))?з, де x(t) – розв'язок рівняння (1.22), а y(t) – розв'язок рівняння (1.23).

У підрозділі 4.3 обґрунтовано чисельно-асимптотичний метод побудови оптимальних керувань для керованих процесів у локально-компактних метричних просторах.

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота має, в основному, теоретичний характер. Наведені в ній результати доповнюють відомі дослідження рівнянь керованого руху з запізненням. При цьому отримано наступні нові наукові результати:

§

§

§

§

§

Розроблені методи можуть бути використані при розв'язуванні конкретних прикладних задач.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

1. Кичмаренко О.Д. Обоснование схемы частичного усреднения // Вісник Одеського держав-ного университету. Серія: фізико-математичні науки.– 1999. – Т. 4, вип. 4. – С. 130-133.

2. Плотников В.А., Кичмаренко О.Д. Квазидифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом // Нелiнiйнi коливання. – 2000. – N 3. – С. 393-399.

3. Кичмаренко О.Д. Существование и непрерывность решений квазидифференциальных уравнений с переменным запаздыванием // Вісник Одеського державного университету. Серія: фізико-математичні науки. – 2000. – Т. 5, вип. 3. – С. 89-93.

4. Плотников В.А., Кичмаренко О.Д. Численно-асимптотическое построение множества достижимости для управляемых систем с переменным запаздыванием // Кибернетика и вычислительная техника. – 2000. – Вып. 126. – С. 63 –68.

5. Плотнiков В.О., Кічмаренко О.Д. Усереднення диференцiальних рівнянь з максимумом // Науковий вісник Чернівецького університету: Зб. наук. пр. Вип. 150. Математика. – Чернівці: Рута, 2002. – С. 78-82.

6. KichmarenkoQuazidifferential equations with delay // Applications of Mathematics in Engiand Economics '26. – Sofia:Heron Press, 2001. – P. 100 – 105.

7. Плотников В.А., Бойцова И.А., Кичмаренко О.Д., Бенумерова Т.В. Усреднение уравнений управляемого движения // Мiжнародна конференція з управління "Автоматика – 2000". – Львів. – 2000. – Т. 1. – С. 189-193.

8. Кичмаренко О.Д., Кострова Г.В., Плотникова Л.И. Численно-асимптотическое построение равновесных стратегий для игр в метрическом пространстве // Труды Одесского политехнического университета. – 2000. – Вып. 3(12). – С. 156-160.

9. Плотников В.А., Кичмаренко О.Д. Квазидифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом // Материалы международной научной конференции "Современные проблемы математики", часть 2. – Черновцы-Киев, 1998. – С. 212 – 215.

10. Кичмаренко О.Д. Усреднение уравнений управляемого движения системами с за-паздыванием // Диференцiальнi та iнтегральнi рівняння. Тези доповідей міжнародної кон-ференції . – Одеса. – 2000. – С. 133-134.

11. Кичмаренко О.Д., Плотников В.А. Построение множества достижимости для систем с переменным запаздыванием // International Conference "Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation". Thesis of reports. – Kyiv. – 2001. – P. 59.

12. Кичмаренко О.Д. Решение задачи управления системами с запаздыванием и векторным критерием // Тезисы докладов VIII международной конференции "Математика. Компьютер. Образование" – Пущино. – 2001. – C. 164.

13. Кічмаренко О.Д. Усереднення диференціальних рівнянь з похідною Хукухари із затрим-кою. // Диференціальні рівняння і нелінійні коливання. Тези доповідей міжнародної конфе-ренції, 27-29 серпня 2001 р. – Київ. – 2001. – С. 67-68.

14. Кичмаренко О.Д. Усреднение уравнений движения в задачах управления с запаздыванием //Мiжнародна конференція з управління "Автоматика–2001".– Одеса.– 2001.– Т.1.– С. .

15. Кичмаренко О.Д. Усреднение дифференциальных уравнений с максимумом. // Тезисы докладов, 6-я Крымская международная математическая школа "Метод функций Ляпунова и его приложения". – Симферополь. – 2002 – С. 72.

16. Кичмаренко О.Д. Усреднение уравнений управляемого движения с максимумом. // Міжна-родна конференція П’яті Боголюбовські читання. Теорія еволюційних рівнянь. Тези допо-відей. – Кам’янець-Подільський. – 2002.– С. 84.

17. Кичмаренко О.Д. Усреднение управляемых дифференциальных уравнений с производной Хукухары с запаздыванием. // Thesis of conference reports, Kyiv, International Conference "Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation" – Kyiv. – 2003, 2003 – P. 71.

18. Кичмаренко О.Д. Усреднение управляемых дифференциальных уравнений с производной Хукухары с запаздыванием. // Тези доповідей. Міжнародна конференція Шості Боголюбов-ські читання. – Чернівці. – 2003 – С. 96.