Національний аерокосмічний університет ім. М.Є. Жуковського

"Харківський авіаційний інститут"

КУРЄННОВ СЕРГІЙ СЕРГІЙОВИЧ

УДК 539.3

ОСесиметричні просторові задачі термопружності для неоднозв’язних областей, обмежених Площиною, поверхнями сфери та сфероїда

Спеціальність 01.02.04

"Механіка деформівного твердого тіла"

Автореферат

дисертації на здобуття

наукового ступеня кандидата технічних наук

Харків – 2004

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Національному аерокосмічному університеті ім. М.Є. Жуковського

"Харківський авіаційний інститут" Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор

Ніколаєв Олексій Георгієвич

Національний аерокосмічний університет ім. М.Є. Жуковського "Харківський авіаційний інститут", завідувач кафедри вищої математики.

Офіційні опоненти доктор технічних наук, професор Морачковський Олег Костянтинович

Національний технічний університет "Харківський політехнічний інститут", завідувач кафедри теоретичної механіки;

кандидат фізико-математичних наук

Стрєльнікова Олена Олександрівна

Інститут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного

НАН України, старший науковий спвробітник.

Провідна установа Інститут прикладних проблем математики і механіки

ім. Я.С. Підстригача НАН України.

Захист відбудеться 21.05.2004 р. о 13 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .062.04 в Національному аерокосмічному університеті ім. М.Є. Жуковського "ХАІ" за адресою: 61070, м. Харків, вул. Чкалова, 17.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Національнго аерокосмічного університету ім. М.Є. Жуковського "ХАІ", : 61070, м. Харків, вул. Чкалова, 17.

Автореферат розісланий 20.04. 2004 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Застелла О.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Зернисто-армовані та армовані короткими волокнами композиційні матеріали (КМ) одержали широке поширення в конструкціях аерокосмічної техніки. Порушення суцільності та відшарування дисперсної фази при термонавантаженні є одним з най поширених видів руйнування таких матеріалів. Тому визначення напружено-деформованого стану (НДС) та концентрації напружень навколо структурних неоднорідностей є однією з найважливіших проблем механіки КМ. Існуючі на даний момент методики визначення НДС при термонавантаженні засновані на застосуванні чисельних методів або аналітичних розв’язків для окремого концентратора в безкрайньому просторі. Перший підхід має певні проблеми через некомпактність границь представницького елементу, можливу наявність локальних неоднорідностей та громіздкість методу. Другий підхід не враховує взаємного впливу декількох концентраторів, тому не може застосовуватися при високому наповненні КМ. Звідси набуває актуальність розробка аналітичної методики для визначення термопружного НДС багатозв’язних областей, обмежених сферою та сфероїдом, для моделювання коротких волокон, куль та порожнин і яка могла бути поширеною в подальшому на випадок часткового відшарування наповнювача та на наявність перехідного шару між компонентами.

Крім того, деталі вказаної геометрії зустрічаються у металургійному виробництві – днища домен, конверторів, та ін., для яких термічні навантаження відіграють суттєву роль і для розрахунку яких також може бути застосована розроблена в дисертації методика.

Таким чином, розробка методик для знаходження та аналізу термопружного НДС деяких багатозв’язних тіл є актуальною для механіки твердого деформівного тіла та інженерних розрахунків і відображає прикладні запити різних галузей техніки щодо створення ефективних методів розрахунку термонапружень біля концентраторів і для розробки інженерних методів проектування термомеханічно навантажених агрегатів і конструкцій.

Зв’язок роботи з науковими програмами. Дослідження за темою дисертації виконувалися у рамках держбюджетної наукової теми “Розвиток теоретичних основ і математичних методів дослідження задач теорії пружності і теорії потенціалу для багатозв’язних тіл” номер державної реєстрації № U002199.

Мета і задачі дослідження. Метою дослідження є розвиток узагальненого метода Фур’є (УМФ) для розв’язування задач термопружності для багатозв’язних канонічних тіл, обмежених поверхнями сфери та сфероїду. До мети дисертації належить також розвиток УМФ для аналізу термопружного НДС періодичних та неперіодичних гетерогенних структур зі сферичними включеннями при рівномірному прогріві та вивчення в них НДС навколо частинок наповнювача при деяких ділатаційних навантаженнях та дослідження впливу дилатації на НДС поверхні включення в сферопласті.

Об’єктом дослідження є ізотропні пружні багатозв’язні тіла, які піддані дії термомеханічних полів.

Предметом дослідження є осесиметричний термонапружений стан багатозв’язних або гетерогенних тіл.

Методи дослідження. Для досягнення поставленої мети в роботі розвинено УМФ отримано коректний розв’язок задачі термопружності для зовнішності сфероїду та одержані теореми додавання (перерозкладання) для базисних частинних неоднорідних розв’язків термопружного рівняння Ламе для сфероїду та сфери. Дані теореми дозволяють подати загальний розв’язок задачі в системі координат, пов’язаною з кожною із граничних поверхонь і забезпечити точне виконання граничних умов.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в розвитку УМФ на розв’язання термопружних осесиметричних задач для деяких багатозв’язних канонічних тіл, який міститься в побудові регулярного частинного розв’язку термопружного рівняння Ламе для зовнішності сфероїду та побудові теорем додавання сферичних та сфероїдальних термопружних розв’язків для низки варіантів взаємного розташування обох поверхонь. Вперше застосовано УМФ для дослідження НДС одноперіодичних, де розглянуто декілька нових постановок, та неперіодичних гетерогенних тіл з різними термомеханічними коефіцієнтами компонентів.

Практичне значення отриманих результатів полягає в тому, що розвинутий в дисертації метод дозволяє обчислювати НДС у будь-яких осесиметричних тілах описаної геометрії при наявності будь-яких термомеханічних полів. Це дозволяє розв’язувати задачі проектування у різних галузях техніки, що показано на прикладі знаходження крутного моменту кульової засувки для нафтохімічної промисловості.

Отримані результати також використані в механіці КМ, а саме при дослідженні впливу термомеханічних та геометричних характеристик компонентів сферопласту на термічні напруги, та напруги, що виникають при усадці, набряканні та ін. Зроблено низку рекомендацій стосовно проектування даних матеріалів. Завдяки швидкій збіжності розв’язків в деяких задачах отримані наближені інженерні формули по знаходженню НДС.

Особистий внесок здобувача Основні результати отримано здобувачем самостійно. У роботах [1-6, 8, 9, 13] дисертанту належать деякі ідеї стосовно побудови розв’язка, всі аналітичні викладки, числова реалізація та аналіз отриманих результатів. У роботах [7, 11, 12] дисертанту належать постановка задачі, аналітичні викладки, числова реалізація та аналіз результатів. У роботі [10] дисертанту належить числова реалізація та аналіз результатів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати досліджень доповідались і обговорювались на: IX Міжнародній науковій конференції ім. академіка М. Кравчука (Київ, 2002 р.), VII Міжнародному конгресі двигунобудівників (Рибаче, 2002 р.), IX Всеукраїнській науковій конференції “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” (Львів, 2002 р.), VI Міжнародній науковій конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Львів, 2003 р.), II Міжнародній науковій конференції “Актуальні проблеми механіки деформованого твердого тіла” (Донецьк, 2003 р.), Міжнародної науково-технічної конференції “Інформаційні комп’ютерні технології в машинобудуванні” (Харків, 2002 р.), III Всеросійській конференції по теорії пружності з міжнародною участю (Азов, 2003 р.).

Дисертація в повному обсязі доповідалась та отримала позитивний відгук на:_

проблемному семінарі з механіки Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (м. Львів) під керівництвом члена-кореспондента НАН України Г.С. Кіта і професора д. фіз.-мат. наук Р.М. Кушніра;_

сумісному засіданні кафедр міцності та вищої математики Національного аерокосмічного університету ім. М.Є. Жуковського “ХАІ”;_

семінарі Інституту проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України під керівництвом академіка НАН України А.О. Лебедєва.

Публікації. Основні наукові результати дисертації опубліковано у 17 наукових роботах [1-17], з них 13 – статті в наукових журналах та збірниках праць, які відповідають вимогам ВАК Україні до публікації результатів дисертації у фахових виданнях.

Структура роботи. Дисертація складається зі вступу, 4 розділів, які містять 23 рисунка, висновків, списку літератури із 187 найменувань та 16 додатків. Загальний обсяг роботи – 152 сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи; сформульовано мету та задачі досліджень; висвітлено новизну отриманих результатів, їх вірогідність та практичну значимість; наведено дані про апробацію результатів і публікації, що відображають основний зміст роботи, та особистий внесок здобувача.

У першому розділі на підставі огляду літературних джерел висвітлені існуючі методи розв’язання крайових задач теорії пружності та термопружності, а саме методи, засновані на теорії функцій комплексної змінної, узагальнених аналітичних функціях, теорії потенціалу, R-функціях, та ін. Відзначено основоположний вклад, який внесли в ці дослідження Б.Л. Абрамян, А.Я. Александров, В.М. Александров, А.Є. Андрєйків, Н.Х. Арутюнян, В.А. Бабешко, А.А. Баблоян, Н.М. Бородачов, І.І. Ворович, Л.А. Галін, В.Т. Головчан, Д.В. Гриліцкий, В.Т. Грінченко, В.С. Губенко, А.Н. Гузь, Г.С. Кіт, А.Д. Коваленко, Ю.М Коляно, С.О. Калоєров, А.С. Космодаміанский, В.Д. Купрадзе, М.Я. Леонов, А.И. Лурьє, М.А. Мартиненко, М.Д. Мартиненко, И.А. Мотовіловець, В.И. Моссаковский, Н.И. Мусхешвілі, С.А. Назаров, Ю.Н. Неміш, В.В. Панасюк, В.З. Партон, П.И. Перлін, Ю.Н. Подільчук, Я.С. Підстригач, Г.Я. Попов, А.К. Приварников, В.С. Проценко, В.Л. Рвачов, М.П. Саврук, Ю.І. Соловйов, А.Ф. Улітко, Я.С. Уфлянд, Л.А. Фільштинській, М.В. Хай, В.П. Шевченко, Д.И. Шерман, N.S., F., R.D., T., J.J., H.S., G.C. I., R., E., C.J., Z. та ін.

Детальніше розглянуто роботи, в яких використовується узагальнений метод Фур’є, висвітлені основні етапи і напрямки його розвитку. Відмічені фундаментальні дослідження Ю.М. Подільчука, А.Ф. Улітка, В.Т. Головчана, В.С. Проценка, О.Г. Ніколаєва, які присвячені побудові точних розв’язків основних задач теорії пружності та термопружності в канонічних просторових однозв’язних та багатозв’язних областях і теорем додавання для них.

Розглянути деякі аспекти знаходження напружено-деформованого стану простору з великою (практично нескінченою) кількістю неоднорідностей. Відмічено великий вклад в структурну механіку КМ, який внесли В.Т. Головчан, В.І. Кущ, Мошев В.В., Б.Є. Побєдря та ін. Відмічено недостатність робот, де досліджується термопружний стан багатозв’язних гетерогенних середовищ та вплив дилатації на НДС.

Виходячи із наведеного огляду літератури обґрунтовано застосування УМФ для знаходження термонапружень в багатозв’язних тілах і вказані основні особливості цього методу. Показано місце роботи серед досліджень, що проводяться з даної тематики.

Другий розділ є теоретичною основою роботи. Він присвячений розвитку узагальненого метода Фур’є, який заключається у побудові термопружних розв’язків рівняння Ламе для кулі та сфероїду у вигляді суперпозиції базисних векторних функцій. Пункт 2.1 містить стислий виклад математичної техніки УМФ стосовно розв’язку основних осесиметричних задач теорії пружності (температурне поле відсутнє) для області, яка обмежена поверхнями сфери і сфероїду та являється підсумком відповідних робот О.Г. Ніколаєва.

Введемо співнаправлені сферичну (r, и, ц), циліндричну (), витягнуту () та стиснуту () сфероїдальні системи координат. Рівняння (k=1, 2) відповідають сфероїдальним граничним поверхням.

Наведені базисні зовнішні та внутрішні осесиметричні розв’язки рівняння Ламе для сфері () та сфероїду (, j=6 для стиснутого і j=5 для витягнутого; s=1, 2), які побудовані як результат застосування векторних диференційних операцій до спеціально підібраних комбінацій гармонічних функцій. Індекс “+” (“_”) означає зовнішні (внутрішні) розв’язки. Напруження та переміщення на відповідних координатних поверхнях наведені також в координатній формі у вигляді рядів Фур’є по функціям Лежандра. Загальний розв’язок згідно техніки узагальненого методу Фур’є будується як сума відповідних загальних розв’язків для сфери та сфероїду

, (1)

де _невідомі коефіцієнти, що визначаються із граничних умов; _нормуючи множники.

Граничні умови також мають бути представлені у вигляді розкладів у ряди Фур’є по функціям Лежандра у базисі циліндричної системи координат (, ):

Наведені векторні теореми додавання

, (2)

де p=4, 5, 6; m=4, 5, 6, при p?m; , _відомі коефіцієнти, _символ Кронекєра.

На базі векторних теорем додавання (2) показані розв’язки основних задач теорії пружності для кулі з концентричною сфероїдальною неоднорідністю, сфероїда з концентричною сфероїдальною неоднорідністю, простору зі сферичною та витягнутою сфероїдальною неоднорідністю. При задовольнянні граничним умовам використовуючи ортогональність функцій Лежандра отримаємо нескінчену систему лінійних алгебраїчних рівнянь (НСЛАР) відносно (1). В роботах О.Г. Ніколаєва, наукового керівника дисертанта, було доведене, що оператор даних НСЛАР є фредгольмовим. Це дає можливість знаходити їх розв’язки методом редукції.

У пункті 2.2. розвинуто УМФ на розв’язок термопружних задач. Розподіл температури та НДС знаходяться в результаті розв’язку незв’язаної здачі термопружності

, (3)

, (4)

де Т – температурне поле, – вектор переміщень, _коефіцієнт Пуассона, _коефіцієнт лінійного температурного розширення (КЛТР).

Згідно техніки УМФ розв’язок рівняння теплопровідності (3) будується як суперпозиція відповідних сферичних () та сфероїдальних () гармонічних функцій, помножених на невідомі коефіцієнти ()

, (5)

які знаходяться при задовольнянні граничним умовам, даним у формі узагальнених рядів Фур’є по відповідним функціям. Отримані НСЛАР відносно мають фредгольмові оператори та розв’язуються методом редукції.

Загальний розв’язок термопружного рівняння Ламе (4) будується як сума загального розв’язку (1) однорідного рівняння Ламе та частинного розв’язку неоднорідного (термопружного) рівняння (4), яке, згідно з тою формою, в якій побудований розв’язок задачі теплопровідності, будується як сума відповідних термопружних сфероїдальних () та сферичного () розв’язків.

. (6)

Побудовані термопружні розв’язки мають наступний вигляд:

, , (7)

, ,

де , , , .

Коефіцієнти , знаходяться при підстановці (7) в рівняння (4).

Зовнішній сфероїдальний розв’язок, побудований по формі (7) містить нерегулярність у першому доданку, і тому регулярний розв’язок, йому відповідний будується окремо.

,

, . (8)

, ,

де с – параметр сфероїду.

Знайдено в координатній формі напруги, що відповідають побудованим термопружним розв’язкам на відповідних координатних поверхнях.

Отримано теореми додавання для термопружних розв’язків (7, 8) для суміщених та рознесених сферичної та сфероїдальної систем координат. За їх допомогою одержані сферичні термопружні переміщення та напруження на поверхні сфероїда а також сфероїдальні – на поверхні сфери для описаних вище випадків їх взаємного розміщення. Переміщення та зусилля на сфері та сфероїді показані у координатній формі.

У третьому розділі на базі отриманих в попередньому розділі результатів та викладеної методики досліджені розв’язки задач термопружності для низки тіл, обмежених поверхнями сфери та сфероїда при різних варіантах граничних умов.

В пункті .1 досліджуються основні задачі термопружності для сфероїда з нагрітим концентричним сферичним ядром, або, відповідно, порожниною при нульовій температурі зовнішньої (сфероїдальної) поверхні.

На ріс.1 показані графіки радіальних нормальних напружень в екваторіальній площині стиснутого сфероїда в залежності від відстані від ядра, віднесеної до відстані між граничними поверхнями в цьому напрямку. Навантаження зумовлено температурою ядра, більшою на один градус температури зовнішньої поверхні при нерухомих зовнішніх поверхнях

Ріс.1. | Цифровим позначення графіків відповідають наступні значення більшої півосі сфероїду: 2,0; 2,5; 3,33; 3,33 та меншої півосі 1,5; 1,5; 2; 2,5 відповідно. Радіус внутрішній неоднорідності дорівнює одиниці, м=0,25. Розвантаження поблизу включення зумовлено прагненням цього шару при температурному розширенні збільшити свій діаметр.

Розв’язані та досліджені також задачі для ненавантаженого сфероїда, що містить нагріте концентричне сферичне нерухоме ядро і задача, в якої тверде ядро має можливість переміщатися під дією власної ваги та дії на нього температурних напружень (поверхня сфероїда нерухома). Знаходження переміщення ядра забезпечується доповненням отриманої НСЛАР рівнянням рівноваги ядра.

Досліджені основні задачі термопружності для кулі з нагрітим сфероїдальним ядром або порожниною при перепаді температури між граничними поверхнями в один градус.

Рис. 

Вплив ексцентриситету витягнутого сфероїдального включення на концентрацію термонапружень біля його вершини показано на рис.2. По горизонтальній вісі відкладено відносну відстань від сфероїду вздовж осі 0z. Граничні поверхні нерухомі. Цифровим позначенням графіків відповидають наступні значення меншої піввісі сфероїда: 0,45; 0,4; 0,35; 0,3. Більша піввісь сфероїда дорівнює 0,5; (м=0,25).

В додатках до дисертації проілюстровано вплив коефіцієнту Пуассона на вказане явище, а також на термонапруження при вільних граничних поверхнях.

Розв’язані та досліджені основні задачі термопружності для пружного простору, що містить співвісні неперетинні сферичну та витягнуту сфероїдальну порожнини чи нерухливі тверді включення. Друга основна задача досліджується за умов нульової температури на нескінченності. Для цих умов загальний розв’язок будується у формі

, (9)

,

При дослідженні першої основної задачі розв’язок узагальнено на ненульову температуру на нескінченості () шляхом доповнення (5) відповідним доданком.

Зусилля на граничних поверхнях, які відповідають переміщенням (9) доповнюється складовим, яке відповідає , , де символ означає зусилля відповідні на площинки з нормаллю .

Досліджено НДС області, що розглядується, у випадку нульової температури сферичної порожнини та на нескінченості і одиничної – сфероїдальної порожнини. Окремо розглянуто випадок рівномірного прогріву.

У всіх розв’язаних задачах для тіл, обмежених сферою та сфероїдом, у розв’язку (6) утримувалось 3-7 членів ряду. Дослідження показали, що необхідність збільшення кількості утриманих членів до 10-15 виникає при ексцентриситеті сфероїду менше 0,2 та при малої відстані між граничними поверхнями.

У пункті 3.4 досліджено вплив внутрішнього тиску та температури на крутний момент кульового затвору для нафтохімічної промисловості. Зроблено висновок про значний внесок температурного розширення поворотної частини на крутний момент і винесено рекомендації стосовно експлуатації та проектування затворів для гарячих речовин. Одним найефективніших засобів зменшення моменту визнано використання термоізоляції затвору.

Четвертий розділ присвячено розв’язку низки задач для областей, що містять пружні сферичні включення з термомеханічними характеристиками, відмінними від навколишнього середовища; НДС викликано прогрівом області на T0 від стану рівноваги.

Ріс. 

У пункті .1 розв’язана задача для простору (1), який містить періодичну систему розташованих вздовж однієї осі пружних куль (2) радіуса R. Відстань між центрами сусідніх включень 2a.

Сумістимо з центром одного з включень сферичну (r, , ) та циліндричну (, z, ) системи координат.

Періодична задача зведена до задачі для шару постановкою граничних умов

, , (10)

де w _відоме переміщення. Найбільш характерними значеннями являються: w=0, що відповідає гладкому закріпленню плоскої границі, та .

Умови сполучення переміщень на напружень на поверхні включення

, . (11)

Загальний розв’язок для кожної з підобластей j з урахуванням симетрії

, (12)

, (13)

де _невідомі коефіцієнти та функції; , _осесиметричні варіанті базисних розв’язків рівняння Ламе для сфери та півпростору; _вектор, що забезпечує виконання граничних умов (10) ,; _вектор, що забезпечує граничні умови на нескінченості , при вільній від навантаження границі, або при нерухомій границі.

Напруження на площадці з вектором нормалі мають структуру

, , (14)

де _складова, яка побудована як суперпозиція напружень, що відповідають базисним розв’язкам рівняння Ламе; , _напруження, які відповідають і ; _напруження, які зумовлені наявністю температурного поля.

Побудувавши за допомогою відповідних теорем додавання у координатній формі в циліндричної та сферичної систем координат (12), (14) та (14) і задовольнивши граничним умовам (10), (11) отримуємо НСЛАР відносно . Доведено, що оператор отриманої НСЛАР є фредгольмовим.

Досліджено НДС на поверхні включення у низки постановок задач, висвітлено вплив на нормальні та дотичні напруження граничних умов на нескінченості, КЛТР та відношень a до R і до , а також коефіцієнтів Пуассона.

На рис.4 наведено графіки нормальних напружень на поверхні включення при ; ; w=0; R=1; відношення до відповідно до цифрових позначень дорівнює 2; 2; 3; 3; відношення a до R відповідно дорівнює 1,25; 1,5; 1,25; 1,5. Вплив на максимальні (при и=0) нормальні напруження відношень a до R і до при описаних вище параметрах показано на рис. .

Ріс. .

Ріс. .

На базі попередньої задачі у пункті .2 розглянута проблема дослідження напружень на поверхні твердих включень у зернисто-армованому КМ, що виникають внаслідок усадки полімерної матриці чи нагріву та запропонована методика оцінки цих напружень. Для забезпечення об’ємного ступеню усадки k=3%, що характерний для широкого спектру епоксидних смол ( та  ГПа), у добутку , який присутній в формулах напружень (14) припущено різницю температур від стану рівноваги зі станом, що досліджується в T0=1 С0, а еквівалентний КЛТР знайдено із співвідношення , звідки . Розглянуто випадок наповнення смоли твердими (наприклад, скляними) включеннями радіусом 50 мкм і низку величин зазорів між ними від 5 до 20 мкм, що відповідає середнім зазорам при наповненні КМ дисперсною фазою від 65 до 50 відсотків. Досліджено випадки незакріпленої () та закріпленої () плоскої границі на нескінченості, які відповідають нульовому та повному наповненню КМ дисперсною фазою. Запропонована одноперіодична модель дозволяє дослідити напруження як у зазорах між включеннями, так і дослідити вплив на НДС вільного простору при різних умовах на нескінченості. Отримана “вилка” з граничних випадків дає уяву про напруження у КМ. Дослідження показують, що в ході усадки на поверхні включення виникають нормальні напруження 15-18 МПа, а дотичні до 1 МПа, що, незважаючи на заміну стохастичної структури одноперіодичною, говорить про істотний вплив даного явища на міцностні характеристики матеріалу, особливо у випадку слабого адгезіонного зв’язку між компонентами.

Для виявлення частки ділатаційних напружень у термосиловому навантаженні розв’язана задача для , де _КЛТР композита, _модуль пружності КМ, а _навантаження КМ. Розрахунки проводились для випадку розглянутої вище смоли () при наповненні 50% сферами з карбіду кремнію ( мкм, , ГПа), при цьому . Показано впливову роль термічних напружень на НДС (5-10% від експлуатаційних напружень) та проведено зрівняння напружень, отриманих за допомогою даної моделі без впливу температурного розширення, з результатами, отриманими в Інституті механіки суцільних середовищ РАН (Російська Федерація, м. Перм) за допомогою метода фізичної дискретизації та методу скінчених елементів. Вірогідність отриманих результатів дає можливість використання даної моделі як представницького осередку зернистих КМ.

Необхідно відмітити, що швидка збіжність НСЛАР в даної задачі дозволила отримати наближені інженерні формули для знаходження напружень на поверхні включення для найбільш поширеного випадку , які мають вигляд

, ,

де , _визначені коефіцієнти.

Дослідження показали їх розбіжність з точним розв’язком менше 10% для відношень до більше 10 та a до R більше 1,25.

У пункті 4.3 розв’язана термопружна задача (рівномірний прогрів) для шару товщиною 2а, закріпленого на плоских границях, який містить центральне сферичне включення. Дана задача є моделлю клейового з’єднання жорстких деталей і необхідна для оцінки внеску розширення клею на напруження біля неоднорідності. Граничні умови для шару

.

Загальний розв’язок задачі побудовано у формі (12), (13). При задовольнянні граничним умовам отримано НСЛАР відносно та доведено, що її оператор є фредгольмовим. Досліджено вплив на НДС поверхні включення термомеханічних та геометричних характеристик підобластей. Відмічено виникнення позитивних напружень на поверхні включення при малих відношеннях a до R (при за умов ), що загрожує відшаруванням клею при роботі з’єднання на відрив та початком його руйнування. Наприклад, термічне розширення шару товщиною 250 мкм (ГПа, , С0), тверда куля діаметром 160 мкм породжує напруги 120 МПа, що загрожує відшаруванням включення.

Дисертація містить 15 додатків, в яких наведені дослідження швидкості збіжності отриманих розв’язків; порівняння результатів розв’язку однієї задачі, отриманих запропонованим методом та методом скінчених елементів; порівняння результатів розв’язку задачі для геометрії, близької до двох концентричних сфер з класичним результатом; для всіх задач проілюстровано вплив на НДС коефіцієнта(тів) Пуассона та ін.

ВИСНОВКИ

У дисертації наведене узагальнення УМФ на розв’язання задач термопружності для багатозв’язних тіл, які обмежені поверхнями сфери та сфероїду, а також використання УМФ для розв’язання задач термопружності для областей, що містять періодичних та неперіодичні сферичні включення. Розвинення УМФ призначено для створення нових методик аналізу термопружного НДС у КМ або конструкціях, що мають відповідну геометрію. Останнє проілюстровано на прикладі знаходження зворотного крутного кульової засувки.

У роботі отримано такі основні наукові і практичні результати результати:

1. В єдиній формі побудовані зовнішні та внутрішні базисні розв’язки термопружного рівняння Ламе для сфери та обох типів сфероїдів.

2. Отримані теореми додавання для частинних розв’язків термопружного рівняння Ламе для перелічених вище поверхонь при різних варіантах їх взаємного положення.

3. За допомогою розвинутого в дисертації апарата розв’язані задачі термопружності для низки тіл, обмежених поверхнями сфери та сфероїду при різних граничних умовах. Виконано параметричний аналіз НДС. Проведено дослідження впливу граничних умов на крутний момент кульової засувки та висунуто рекомендації стосовно його зменшення (теплоізолювання, використання податливих матеріалів та ін.).

4. Отримано розв’язки задач термопружності для простору, що містить одноперіодичну систему пружних кульових включень за умов рівномірного прогріву.

5. Запропонована модель оцінки напруг у зернисто-армованому КМ, що виникають внаслідок усадки матриці та одновісному навантаженні. Показано істотний вплив дилатації на НДС. Завдяки швидкої збіжності розв’язку отримано наближені формули по оцінці термопружного НДС в КМ. Висунуто низку рекомендацій стосовно зменшення впливу усадки на НДС (зменшення коефіцієнту Пуассона смоли, забезпечення вільних граничних поверхонь та ін.).

6. Розв’язана задача термопружності для шару зі сферичним включенням.

Резюмуючи комплекс проведених досліджень, отримано наступні висновки:

1. УМФ є природним узагальненням методу Фур’є для термопружних задач для однозв’язних тіл, і дозволяє ефективно розв’язувати задачі для багатозв’язих тіл.

2. Характерною особливістю УМФ є експонентне убування матричних коефіцієнтів розв’язуючих систем, що дозволяє знаходити розв’язок задачі при відносно невеликих розмірах системи (3 перших члена ряду дають похибку при перевірці граничних умов близько 3% для більшої частини геометричних параметрів). Це дає можливість отримання наближених формул для інженерних розрахунків.

3. Числовий аналіз результатів показав швидку збіжність і достатню точність навіть при близькому розташуванні граничних поверхонь, що дає можливість використати УМФ для широкого класу задач у різних галузях техніки

Публікації за темою дисертації

1. Куреннов С.С., Николаев А.Г. Вторая осесимметричная краевая задача термоупругости для шара со сфероидальным включением // Вестник Нац. технич. ун-та “ХПИ”. – 2002. _№20. – С.92-97.

2. Куреннов С.С., Николаев А.Г. Вторая осесимметричная термоупругая задача для сжатого сфероида с твёрдым подвижным сферическим ядром // Вопросы проектирования и производства конструкций летательных аппаратов: Сб. науч. трудов. Вып. 32(1) Харьков: НАКУ, 2003._С. 19-23.

3. Курєннов С.С., Ніколаєв О.Г. Знаходження термопружних переміщень у просторі зі сферичним та сфероїдальним твердими включеннями // Вісник Нац. технич. ун-ту “ХПІ”, Темат. випуск “Технології машинобудування”. – 2002. _№19. – С.89-94.

4. Куреннов С.С., Николаев А.Г. Осесимметричная термоупругая задача для сжатого сфероида с твердым сферическим включением // Вопросы проектирования и производства конструкций летательных аппаратов: Сб. науч. трудов. Вып.30(3) Харьков: НАКУ, 2002._С. 85-91

5. Куреннов С.С., Николаев А.Г. Первая осесимметричная термоупругая задача для шара со сжатосфероидальной полостью // Пробл. машиностроения. _._№3. – С. 57-63.

6. Куреннов С.С., Николаев А.Г. Первая основная осесимметричная задача термоупругости для сжатого сфероида с концентрической сферической полостью // Прикладная механика и техническая физика. – 2004. _Т.45, № 1, С. 92-98.

7. Куреннов С.С., Николаев А.Г. Температурные напряжения в слое, содержащем упругое сферическое включение // Вопросы проектирования и производства конструкций летательных аппаратов: Сб. науч. трудов. – Харьков: Нац. аэрокосм. ун-т “ХАИ”, 2003. – Вып. 34(3) – С. 91-95.

8. Куреннов С.С., Николаев А.Г. Термоупругие напряжения сжатого сфероида со сферическим включением при заданных перемещениях границ // Авіаційно-космічна техніка і технологія: Зб. наук. праць. – Харків: Нац. аерокосм. ун-т, 2002._Вип.30._С.111-115.

9. Куреннов С.С. Термоупругие напряжения вытянутого сфероида со сферическим твердым ядром // Вопросы проектирования и производства конструкций летательных аппаратов: Сб. научн. тр. – Харьков: Нац. аэрокосм. ун-т “ХАИ”, 2002. – Вып. 34. – С. 126-129.

10. Николаев А.Г., Куреннов С.С. Неосесимметричная контактная термоупругая задача для полупространства с неподвижным жестким сферическим включением // Инженерно-физический журнал. – 2004, Т.77, №1. – С. 168-178.

11. Николаев А.Г., Куреннов С.С. Температурные напряжения в упругом пространстве, содержащем периодическую систему упругих шаровых включений // Теоретическая и прикладная механика: Сб. науч. трудов. Вып.37 _Донецк: ДонНУ, 2003. _С. 37-41.

12. Николаев А.Г., Куреннов С.С. Термоупругие напряжения в пространстве с периодически расположенными упругими шаровыми включениями // Проблемы машиностроения – 2004, №1. – С. 35-48.

13. Ніколаєв О., Курєннов С. Основні задачі термопружності для багатозв'язної області, яка обмежена поверхнями сфери та витягнутого сфероїда // Вісник львівського ун-ту, Серія прикладна мат-ка та інформатика. – 2003. _№7, С. .

14. Куреннов С.С., Ніколаєв О.Г. Основні задачі термопружності для багатозв’язної області, яка обмежена поверхнями сфери та сфероїда // Дев’ята всеукраїнська наукова конференція “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики”. м. Львів. 2002._С.78.

15. Николаев А.Г., Куреннов С.С. Основные осесимметричные задачи термоупругости для областей, ограниченных поверхностями сферы и сфероида // Тези доповідей міжнародної наукової конференції “Інформаційні комп’ютері технології в машинобудуванні – ІКТМ’2002”, Харків: НАКУ. _2002. – С. .

16. Николаев А.Г., Куреннов С.С. Основные осесимметричные краевые задачи термоупругости для шара со сфероидальной неоднородностью // Матеріали IX Міжнародній науковій конференції ім. академіка М. Кравчука, Київ, 16-19 травня, 2002. – С. 143.

17. Николаев А.Г., Куреннов С.С., Вознюк С.Н., Щербакова Ю.А. Некоторые задачи теории упругости и термоупругости для ряда пространственных канонических изотропных и трансверсально изотропных тел с трещинами и включениями // Математичні проблеми неоднорідних структур, Сб. тез конференції, _Львів: ІПММ ім. Я.С. Підстригача НАН України. _С. .

[1-8, 10-16] – автору дисертації належать постановки задач, аналітичні викладки, аналіз результатів та деякі ідеї методик розв’язання;

[17] – автору дисертації належить частина тез доповіді, в якої викладено задачі термопружності.

Анотація. Курєннов С.С. Осесиметричні просторові задачі термопружності для неоднозв’язних тіл, обмежених площиною, поверхнями сфери та сфероїду. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеню кандидата технічних наук за фахом 01.02.04 – механіка деформованого твердого тіла. Національний аерокосмічний університет ім. М.Є. Жуковського “Харківський авіаційний інститут”, Харків, 2003 р.

У формі базисних векторних функцій побудовані термопружні розв’язки для сфери та сфероїда (витягнутого та стиснутого). За допомогою одержаних в роботі теорем додавання термопружних розв’язків термопружні переміщення та напруження, що їм відповідають, побудовано у координатній формі в обох типах систем координат для різних випадків їх взаємного розташування. Розв’язана та досліджена низка задач термопружности для двозв’язних тіл, обмежених даними поверхнями. Проілюстровано вплив геометричних та механічних факторів на НДС.

Застосовано УМФ для знаходження НДС простору з періодичною системою кульових пружних включень, та шару зі пружною кулею при рівномірнім прогріві. Запропоновано методику для оцінки напружень у дисперсно армованому КМ при його ділатаційном навантаженні.

У всіх задачах доведено швидку збіжність розв’язків, що дозволяє використовувати їх для одержання інженерних проектувальних формул.

Результати дисертації впроваджено у Харківському Науково-дослідницькому Інституті Технології Машинобудування.

Ключові слова: термопружність, узагальнений метод Фур’є, термомеханічне навантаження, багатозв’язне тіло.

Аннотация. Куреннов С.С. Осесимметричные пространственные задачи термоупругости для неодносвязных тел, ограниченных плоскостью, поверхностями сферы и сфероида. Рукопись.

Диссертация на получение научного степени кандидата технических наук по специальности 01.02.04 – механика деформированного твердого тела. Национальный аэрокосмический университет им. М.Е. Жуковского “Харьковский авиационный институт”, Харьков, 2004 г.

Диссертация посвящена развитию обобщенного метода Фурье (ОМФ) на решение термоупругих задач для двусвязных тел, ограниченных поверхностями сферы и сфероида, а также нахождению термоупругого состояния, вызванного равномерным прогревом ряда неодносвязных тел, которые содержат сферические упругие включения.

В единой форме базисных векторных функций построены термоупругие решения для сферы и сфероида (вытянутого и сжатого). Термоупругие перемещения и напряжения, которые им отвечают, построены в координатной форме в соответствующих системах координат. Сформулированы теоремы сложения термоупругих решений и с их помощью в координатной форме построены термоупругие перемещения и соответствующие им напряжения в системе координат, связанной со второй координатной поверхностью. При помощи развитого аппарата решен ряд задач термоупругости для двусвязных тел, ограниченных поверхностями сферы и сфероида при различном взаимном расположении граничных поверхностей и различных типах граничных условий. Для указанных задач проведено параметрическое исследование НДС области. Выявлен ряд эффектов, возникающих при температурном нагружении, и проведено истолкование полученных результатов. Выполнено сравнение результатов полученных для концентрических сферы и сфероида с классическим результатом для толстостенной сферы. На основе задачи для сферы с нагретой вытянутой сфероидальной полостью предложена методика определения поворотного момента шаровой задвижки для нефтехимической промышленности и предложен ряд рекомендаций по его уменьшению.

ОМФ применен для нахождения НДС пространства с периодической системой упругих шаровых включений при различных граничных условиях на бесконечности при равномерном прогреве. Решен ряд модельных задач и выявлено влияние на НДС на поверхности включения геометрических параметров и термоупругих характеристик подобластей. На основе решенной задачи предложен метод оценки НДС дисперсно-армированного КМ, вызванного усадкой связующего и однонаправленным нагружением. Решена модельная задача и проведено сравнение полученных результатов с известными, полученными при помощи метода физической дискретизации. Проведено сравнение напряжений, вызванных одноосным нагружением КМ и дилатацией, сделан вывод о существенном вкладе последних.

Решена задача для закрепленного по плоским сторонам слоя, содержащего упругое сферическое включение. Проведен анализ НДС в ряде постановок задач.

Результаты диссертации внедрены в Харьковском Научно-исследовательском Институте Технологии Машиностроения.

Ключевые слова: термоупругость, обобщенный метод Фурье, термомеханическое нагружение, многосвязные тела.

The summary. Kurennov S.S. An axisymmetric space problem of thermoelasticity for multiply connected bodies, which are bounded by plane, sphere and spheroid.

Dissertation for a learned degree of scientific of the Candidate of Technical Science for speciality 01.02.04 - Mechanics of the deformed solid body. Zhukovskii National Airspace “Kharkov Aviation Institute ”, Kharkov, 2004.

Dissertation is devoted to development Generalized Fourier's Method (GFM) on the thermoelasticity problems for connected bodies which are bounded by surfaces of sphere and a spheroid, and also to determination thermoelastic states, which are induced by uniform heat in some multiply connected bodies which spherical elastic inclusion.

Thermoelastic solution fore sphere and spheroid are constructed in unique form of basis vector functions. Thermoelastic displacements and stress are constructed in coordinate form in corresponding coordinate systems. The addition theorems thermoelastic solutions are proved and make used for expression thermoelastic displacements and stresses in each coordinate system. Some thermoelastic problem for connected bodies, which are bounded by surfaces of sphere and spheroid with different mutual placement boundary conditions are solved. Parametric investigation of displacements and stress for indicated problems is carried out. GFM is make used for determination displacements and stresses in space with periodical system elastic spheres under uniform heat. The method of estimate of displacements and stresses of dispersiblis-armore composite material under shperinkage of binding is problem.

The results of dissertation are introduced in the Kharkov Scientific Investigation Institute of Machine Building.

Key word: thermoelasticity, generalized Fourier`s method, thermomechanical stress, multiply connected bodies.

Підписано до друку 16.04.2004 р.

Умовн. друк. арк. 1. Тираж 100 екз. Заказ №

Національний аерокосмічний університет ім. М.Є. Жуковського

"Харківський національний інститут"

61070, м. Харків, вул. Чкалова, 17,

Видавничій центр "ХАІ"

61070, м. Харків, вул. Чкалова, 17,