МІНІСТЕРСТВО АГРАРНОЇ ПОЛІТИКИ УКРАЇНИ

ТАВРІЙСЬКА ДЕРЖАВНА АГРОТЕХНІЧНА АКАДЕМІЯ

ЛЕБЕДЄВ Володимир Олександрович

УДК 514.18

Дискретна інтерполяція
плоских дискретно представлених
кривих ліній на основі кутів згущення

Спеціальність 05.01.01 –

Прикладна геометрія, інженерна графіка

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Мелітополь – 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Таврійській державній агротехнічній академії Міністерства аграрної політики України.

Науковий керівник: - доктор технічних наук, професор

Найдиш Андрій Володимирович,

завідувач кафедри прикладної математики і обчислювальної техніки,

Таврійська державна агротехнічна академія
(м. Мелітополь);

Офіційні опоненти: - доктор технічних наук, професор

Корчинський В.М.

завідувач кафедри електронних засобів телекомунікацій,

Дніпропетровський національний університет,

(м. Дніпропетровськ);

- кандидат технічних наук, доцент

Кирюшко Віктор Іванович,

завідувач кафедри геометричного комп’ютерного моделювання,

Харківський національний аерокосмічний

університет ХАІ

(м. Харків).

Провідна установа: Донецький національний технічний університет,

кафедра нарисної геометрії і інженерної графіки,

Міністерство освіти і науки України
(м. Донецьк) 

Захист відбудеться "19"січня 2005 р. о 12 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К .819.02 у Таврійській державній агротехнічній академії за адресою:

72312, Запорізька обл., м. Мелітополь, просп. Б.Хмельницького, 18.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Таврійської державної агротехнічної академії за адресою:

72312, Запорізька обл., м. Мелітополь, просп. Б.Хмельницького, 18.

Автореферат розісланий " 16 " грудня 2004 р.

Вчений секретар

спеціалізованої ради,

кандидат технічних наук, доцент ____________________ О.Г. Караєв

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ.

Подальший розвиток виробництва й удосконалювання технологічних процесів ставлять перед наукою нові задачі по створенню геометричних моделей, адекватних явищам і процесам, з метою їхнього відповідного аналізу, розрахунку, оптимізації і прогнозування подальшого розвитку.

Актуальність теми. Процес моделювання завжди супроводжується уточненнями, переглядом допущень, переходом параметрів з несуттєвих в істотні, додаванням нових параметрів. Тому модель повинна допускати варіації, уточнення, коректування.

У якості вихідних даних виступають геометричні елементи і умови, найчастіше представлені в числовій формі (координати або значення параметрів), масиви яких можуть бути досить великими. У цих умовах методи глобального неперервного моделювання, коли відшукується єдине рівняння, що описує дискретно представлений геометричний образ, виявляються неефективними, тому що вимагають великої кількості обчислень, не можуть забезпечити необхідну точність і запобігти осциляції. Методи локальних і кусково-гладких наближень скорочують кількість обчислень, мають можливості підвищення точності, однак необхідність вирішення гладкого стикування окремих ланок і неможливість гарантувати відсутність осциляції звужують сферу їхнього застосування.

Зазначених недоліків позбавлені методи дискретного геометричного моделювання (ДГМ). При інтерполяції (згущенні) дискретно представленої кривої (ДПК) на площині здійснюється покроковий контроль розв’язку виникаючої при цьому похибки, забезпечуючи тим самим задану точність і відсутність осциляції шляхом своєчасної локальної корекції.

У процесі ДГМ беруть участь як лінійні, так і кутові параметри. Дотепер основна увага дослідників була звернена на методи, що базуються на лінійних параметрах, хоча кутові параметри в багатьох випадках дають можливість одержати більш прості моделі, підвищити точність. Крім того, кутові параметри графічної моделі не залежать від масштабу зображення, і ця обставина може бути вигідно використана при розв’язанні задач моделювання.

Зв'язок роботи з науковими програмами, темами, планами.

Робота виконана в рамках науково-технічної програми “Моделювання явищ і процесів в АПК” Таврійської державної агротехнічної академії (номер держреєстрації 0102U000695) відповідно до планів науково-дослідних робіт кафедр прикладної геометрії й інформаційних технологій проектування і прикладної математики й обчислювальної техніки. У процесі впровадження вирішувалися задачі профілювання кулачків газорозподільного механізму згідно з науково-виробничою програмою ГРП “Авто ЗАЗ-мотор” (м. Мелітополь) по удосконалюванню експлуатаційних показників автомобільних двигунів.

Мета роботи складається в розробці методу дискретної інтерполяції (згущення) плоскої ДПК довільної конфігурації на основі кутових параметрів за умови відсутності осциляції.

Для досягнення поставленої мети в роботі необхідно вирішити наступні задачі:

-

-

-

-

-

Об'єктом дослідження є дискретно представлені плоскі криві довільної конфігурації в декартової системі координат.

Предметом досліджень є співвідношення між кутовими параметрами вихідної і згущеної ДПК, що визначають точки згущення за умови відсутності осциляції.

Методика досліджень. У процесі розв’язання поставлених задач використовувалися методи нарисної, аналітичної, диференціальної геометрій, теорії інтерполяції, обчислювальних методів.

Теоретичною базою для проведення досліджень послужили роботи провідних учених: Ю.І.Бадаєва, І.Г.Балюби, В.Д.Борисенко, С.М.Грибова, Г.С.Іванова, С.М.Ковальова, І.І.Котова, Л.М.Куценка, В.Є.Михайленка, А.В.Найдиша, В.М.Найдиша, В.О.Надолинного, В.С.Обухової, В.А.Осипова, С.Ф.Пилипаки , О.Л.Підгорного, А.М.Підкоритова, М.М.Рижова, І.А.Скидана і їхніх учнів, а також закордонних учених Р.Безье, В.Гилоя, З.Кунса, У.Ньюмена, Д.Роджерса, Р.Ризенфельда, А.Сазерленда, И.Фергюсона, А.Форреста, Д.Швейкерта й інших, а в області дискретного геометричного моделювання роботи В.М. Найдиша, С.М. Ковальова, С.М. Грибова, А.В. Найдиша.

Наукову новизну отриманих результатів складає метод дискретної інтерполяції плоских ДПК на основі співвідношень між кутами згущення, що забезпечують запобігання осциляції.

Зміст методу складають наступні нові результати:

-

-

-

-

-

-

-

Практична ефективність результатів досліджень складається в наданні проектувальникові широких можливостей урахування множини заданих вимог, проведення корекції розв’язку, одержання проектних рішень з поліпшеними конструктивними, технологічними, експлуатаційними показниками.

На захист виносяться метод дискретної інтерполяції плоских ДПК на основі кутів згущення і складові, що відбивають його зміст і наукову новизну.

Реалізація роботи здійснена у вигляді ППП дискретної інтерполяції плоских ДПК в ВГК ГРП “Авто-ЗАЗ-мотор” при моделюванні кулачків газорозподільного механізму, а також у навчальному процесі ТДАТА, що підтверджується довідками про використання пропонованого методу.

Особистий внесок здобувача. Особисто автор виконав теоретичні дослідження по розробці методу, складанню обчислювальних алгоритмів і програм, розрахункові тестових прикладів і впровадженню методу. У спільних публікаціях авторові належить виклад суті проведених ним досліджень і аналіз результатів тестових прикладів.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертації доповідалися й обговорювалися на Міжнародних науково-практичних конференціях “Сучасні проблеми геометричного моделювання” (Мелітополь, червень 2003 і 2004 р.; Львів, жовтень 2003 р.), на VI Міжнародної конференції по математичному моделюванню (МКММ 2003, м. Херсон), на щорічних наукових конференціях ТДАТА (Мелітополь, 2002, 2003, 2004 р.).

Публікації. За результатами наукових досліджень опубліковано 13 робіт (4 – одноосібно, 12 – у виданнях, рекомендованих ВАК України).

Структура й обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, 4-х розділів, висновку, списку використаних джерел (162 найменувань) і доповнень. Робота містить 166 сторінок друкованого тексту, 70 рисунків і 18 таблиць.

Зміст роботи

Вступ містить загальну характеристику роботи. У ньому обґрунтована актуальність теми дисертаційного дослідження, сформульована його мета і задачі, показана наукова новизна, практична цінність результатів, рівень їхньої апробації і публікацій, а також впровадження в практику.

У першому розділі розглядається аналіз відомих методів дискретного геометричного моделювання (ДГМ) плоских ДПК. При цьому наголос робиться на моделі дискретної інтерполяції (згущення) у порівнянні з іншими моделями ДГМ. При цьому звертається увага на дві обставини:

-

-

Формулюються вимоги до дискретної інтерполяції плоских ДПК: простота розрахункових алгоритмів і їхньої програмної реалізації; можливість досягнення заданої точності; локальність розрахунків і можливість проведення локальної корекції рішення; відсутність осциляції; можливість задоволення множини додаткових вимог диференціально-геометричного характеру.

З цього погляду аналізуються відомі методи неперервної інтерполяції. Показується, що жоден із цих методів не в змозі повною мірою задовольнити зазначеним вимогам.

Відомі методи дискретної інтерполяції удосконалюються в трьох напрямках: на основі геометричних співвідношень між елементами ДПК і параметрами моделювання; на основі тотожностей згущення; на основі базисних функцій інтерполяції.

Дана робота виконується в рамках першого напрямку на основі кутових параметрів згущення. Відправними роботами про проведенні досліджень з'явилися роботи Найдиша В.М. і Найдиша А.В. і їхніх учнів по дискретній інтерполяції плоских ДПК; роботи Ковальова С.М. і його учнів по дискретному моделюванню плоских ДПК статико-геометричним методом; роботи Грибова С.М. і його учнів по геометрії рівноланкових ДПК. Найбільш близькими до розроблювальної тематики є роботи Верещаги В.М., Щербини В.М., Мацулевича О.Є. по моделюванню плоских ДПК на основі кутів суміжності ланок СЛЛ.

Формулюється задача дослідження відповідно до отриманих результатів і зазначених вимог до дискретної інтерполяції плоских ДПК.

В другому розділі роботи розглядаються основні геометричні співвідношення між елементами плоских ДПК на основі кутових параметрів.

У роботі прийнята глобальна декартова система координат віднесення, а також локальні декартові системи координат, зв'язані з ділянками згущення. Для ДПК довільної конфігурації розглядаються кутові параметри ланок її СЛЛ: кут нахилу ланки до осі і кут суміжності сусідніх ланок у вузлі .

де – довжина ланки . Умовою опуклості ДПК є монотонність зміни кутів або сталість знака кутів . Ділянка ДПК, на якій відбувається зміна напрямку монотонності кутів або знака кутів , є ділянкою перегину ДПК. Важливим є те, що функція кутів від номера або від сумарної довжини ланок СЛЛ є східчастою, а функція кутів – імпульсивною, що має певні значення тільки у вузлах СЛЛ (між вузлами ). На рис.1 представлений фрагмент опуклої СЛЛ і множина виникаючих між різними її ланками кутів суміжності.

Аналітично і геометрично доводиться

Твердження 1. Сума кутів суміжності декількох підряд розташованих ланок опуклої СЛЛ дорівнює кутові суміжності замикаючих ланок.

На рис.1 розглядаються кути суміжності

Для ДПК довільної конфігурації доводиться

Твердження 2. Алгебраїчна сума кутів суміжності ланок СЛЛ плоскої ДПК довільної конфігурації дорівнює кутові суміжності між напрямками першої й останньої ланок.

Для геометричного доказу в роботі запропоновані радіально-кругові діаграми, що моделюють процес підсумовування кутів з урахуванням їх знаків.

На рис. 2. представлено фрагмент опуклої СЛЛ деякої ДПК і в околі т. побудовані точки згущення за допомогою запропонованих у роботі кутів згущення, що складаються ланками згущеної і заданої СЛЛ, що виходять з одного вузла.

Точка побудована на перетині променів: вихідного з вузла під кутом і вихідного з вузла під кутом до ланки. У такий спосіб у кожнім - вузлі заданої СЛЛ є два кути згущення: передує вузлові і – вихідний з вузла. Справедливе співвідношення

де показник 1 означає номер кроку згущення (0 - до згущення). Очевидно, що для опуклої згущеної ДПК.

Для координування точки згущення вводиться локальна система координат (див. рис. 2). Тоді

Перехід до глобальних координат здійснюється за формулами

У роботі вводитися смуга обмежень значень кутових параметрів згущення. Її фрагмент, для деякої ДПК, представлений на рис. 3.

Її основу складає східчаста функція кутів (суцільна подвійна лінія). Верхні і нижні точки умовно з'єднані тонкими лініями. Смуга, що утворилася між ними, визначає всі кутові параметри згущення. Зокрема, ширина смуги в
вузлі відповідає значенню. При побудові точки згущення вибираються кути і , що визначають у точці згущення кут (див. штрихові лінії). Смуга звужується, кути суміжності ланок зменшується, крок сітки зменшується вдвічі. При багаторазовому згущенні ширина смуги прагне до нуля, а її графік – до графіка кутів нахилу дотичних до осі .

Запропонованій схемі згущення повною мірою відповідає кутова система координат (КСК), запропонована Найдишем В.М. Вона характеризується базою і кутами, що визначають т. на площині. Формули переходу від КСК до декартової системи нагадують (4):

Розглядаються рівняння прямих ліній і кіл в КСК, використовувані в розділі 4 при побудові обводів із їх дуг.

При формуванні динамічних обводів і їхнього згущення важливе значення має кривина моделюємої кривої у даному вузлі. У роботі приймається, що радіус кривини дорівнює радіусові прилеглого кола, що проходить через заданий вузол ДПК і сусідні з ним вузли, тобто

де – кут суміжності сусідніх ланок у вузлі . Доводиться, що в процесі згущення прагне до значення кривини моделюємої кривої.

У третьому розділі досліджується дискретна інтерполяція на основі кутів згущення. При цьому для будь-якого вузла, як було раніше зазначено, дотримується співвідношення (3). У процесі згущення необхідно враховувати, що кути суміжності вихідної ДПК змінюються відповідно до внутрішньої геометрії кривої вихідної ДПК. Цю геометрію необхідно витримати при проведенні згущення. Для цього вводяться безрозмірні коефіцієнти , , , так, що

Від їхнього вибору залежить геометрія згущеної СЛЛ ДПК. Подальші дослідження присвячені встановленню оптимальних співвідношень між коефіцієнтами.

У роботі пропонується алгоритм 1 згущення ДПК на основі кутів згущення, коли коефіцієнти заздалегідь задані або розраховані.

Алгоритм 1.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

При необхідності повторного згущення точки перенумеровуються і розрахунок повторюється.

Відповідно до алгоритму 1 виконаний 1 крок згущення тестової ДПК при . На рис. 4 представлений графік згущеної СЛЛ.

Тестові розрахунки відповідно до алгоритму 1 показали наступне:

- точки згущення зміщаються убік вузлів з більшими кутами суміжності;

- точки згущення ближче усього до своєї хорди там, де кут суміжності мінімальний;

- при необхідності корекції локальної ділянки необхідно змінити співвідношення між і ;

- для забезпечення гнучкості розрахункових алгоритмів варто перейти до співвідношень .

Подальші дослідження присвячені встановленню різних співвідношень між шляхом накладення на кутові параметри обмежень, що не суперечать умовам неосцилюючого згущення.

Нехай для всієї ДПК і

де – деякий заздалегідь призначуваний коефіцієнт (звичайно ). Отримуємо систему обмежень за умови відсутності осциляції ( ):

Невідомими в цій системі є і . Вони визначаються шляхом її графічного розв’язання, де з області припустимих значень вибираються прийнятні і . Потім розраховуються з (13), інші з (12) і точки згущення. Для програмної реалізації складено алгоритм 2 згущення при обраному й визначених і , тобто , . Аналогічний алгоритм 3 розроблений для випадку , а при фіксованому .

Розглядаються загальні залежності між коефіцієнтами за умови . Вони повинні задовольняти системі рівнянь

Розв’язком (14) є в'язка (рис. 5) прямих у системі з центром .

Розглядається можливість побудови умовного кусково-лінійного графіка зміни кутів суміжності від номера при згущенні. Доводиться твердження 3.

Твердження 3. Значення коефіцієнтів дають можливість побудувати неосцилююче згущення з кусково-лінійним законом зміни кутів суміжності згущеної СЛЛ опуклої ДПК незалежно від співвідношень кутів суміжності ланок її вихідної СЛЛ.

При повторному згущенні кусково-лінійна властивість графіка кутів суміжності зберігається.

Більш того, справедливо наступне.

Твердження. За умови для опуклої ДПК вибором значень і завжди можна домогтися прямолінійного розташування точок на графіку від .

Інакше виглядає залежність від сумарної довжини ланок СЛЛ.

Твердження 4. При прямолінійність розташування точок на графіку від при неможлива.

Надалі доцільніше розглядати залежність від .

У роботах В. М. Найдиша підкреслювалося, що для досягнення ефективних результатів моделювання доцільно враховувати апріорну інформацію. На рис. 6 представлена деяка ДПК. Якщо з'єднати парні її точки парною апріорною ламаною лінією, то непарні точки вихідної ДПК можна розглядати, як точки згущення парної апріорної ДПК.

При цьому з парних вузлів виходять промені вихідної й апріорної ДПК, що складають відповідні кути згущення. Відношення кожного з цих кутів до відповідного кута суміжності парної СЛЛ дає значення відповідного коефіцієнта або . Ці значення необхідно зберегти при наступних кроках згущення, тоді буде збережена геометрія ДПК. Аналогічні співвідношення складаються для непарних вузлів і відповідних їм коефіцієнтів за допомогою непарної апріорної ДПК. На рис. 7 зображена згущена за даною методикою ДПК.

Велике значення в розробці розрахункових алгоритмів згущення грають різницеві схеми. У даній роботі вони будуються на основі співвідношень між кутами згущення. Суть способу полягає в наступному.

Приймається деяка умова, зокрема

На підставі якої отримується основне співвідношення 1

Накладенням додаткових умов на (16) між різними кутами згущення виходять різні різницеві схеми. Наприклад, при отримується стійка різницева схема 1-го порядку

розв'язувана за методикою вибору значення керуючого параметра із системи обмежень опуклості згущеної ДПК із наступним розрахунком усіх кутів згущення і точок згущення.

У роботі запропоновано ще 2 основні співвідношення типу (16) і на їхній основі ще 8 різницевих схем, що володіють стійкістю обчислювальних алгоритмів.

Різницеві схеми мають той недолік, що заздалегідь задаються деякі основні співвідношення і на їхній основі – співвідношення між кутами згущення. Це деякою мірою обмежує можливості згущення.

У роботі пропонується глобальна дискретна інтерполяція, на основі послідовного розрахунку кутів у залежності від обраного значення керуючого параметра і значень (рис. 8).

- коефіцієнт вибору, ,

При цьому пропонується 3 способи побудови точок згущення, оскільки множина кутів ще їх не визначає.

Останній з цих способів складається у формуванні зустрічних кутів згущення на тій же ідеї, що і кути. Спосіб більш трудомісткий, але надає багато можливостей у виборі кутів згущення й у корекції локальних ділянок.

У розділі 4 розглядаються прикладні задачі моделювання. Основною серед них є задача інтерполяції перехідних ділянок (рис. 9). При цьому приймаються наступні допущення:

1. Ділянка перегину – це продовження опуклої ДПК ліворуч і увігнутої ДПК праворуч назустріч одна одній.

2. Ділянку перегину обмежують кути суміжності, що мають протилежні знаки.

3. СЛЛ згущеної ДПК обов'язково перетинає ланку ближче до вузла, де менше за модулем. Якщо кути суміжності рівні за модулем, то точка перегину знаходиться посередині ланки .

На цій основі пропонується 4 способи дискретної інтерполяції перехідних ділянок, що спираються на різні способи послідовного розрахунку кутів згущення. Зокрема другий спосіб (рис. 9) заснований на тім, що ділянка перегину, що примикає до вузла з більшим кутом суміжності (за модулем), має більшу кривину. Тому з вузла , рис. 9, проводиться промінь під кутом і на медіатрисі ланки відзначається точка згущення . Отримана точка з'єднується з вузлом і побудови повторюються.

Нерідкі ситуації, коли вихідна ДПК має прямолінійні ділянки. При їхньому моделюванні необхідно вирішити 2 задачі:

1. Здійснити наближення криволінійної ділянки до прямолінійного в точці їхнього стику,

2. Здійснити згущення прямолінійної ділянки так, щоб точки згущення розташовувалися на заданій прямолінійній ділянці.

У роботі вводиться поняття порядку наближення як відношення кута суміжності в точці стику на останньому -му кроці згущення з заданим коефіцієнтом до вихідного кута суміжності.

Визначається число кроків згущення в цьому вузлі для досягнення заданого .

На рис. 10 показано 2 кроки згущення тестової ДПК із прямолінійною ділянкою відповідно до запропонованого алгоритму, що є органічним доповненням загального алгоритму 1.

Важливою задачею прикладного моделювання є дискретне диференціювання ДПК, тобто призначення дотичних у її вузлах. У дисертації пропонується 3 способи: на основі смуги обмежень кутових параметрів; на основі розв’язання системи обмежень при ; на основі різницевих схем.

Основним при цьому є перший спосіб, заснований на тім, що, щоб уникнути осциляції дотична в даному вузлі повинна розташовуватися усередині кута суміжності ланок СЛЛ.

Будується згадана в другому розділі (рис.3) смуга кутів нахилу ланок вихідної СЛЛ, усередині якої вибираються кути нахилу дотичних і розраховуються їхні тангенси, що є значеннями 1-ї похідної. Очевидно, що за графіком можна побудувати їхню смугу, усередині якої вибрати аналогічні кути нахилу і розрахувати значення других похідних і т.д. Така методика дозволяє диференціювати ДПК довільної конфігурації, уникаючи нескінченних значень тангенсів на ділянках з вертикальними дотичними.

У практиці досить розповсюдженими є обводи із дуг кіл. У роботі отримані основні співвідношення між кутами згущення і заданими кутами нахилу дотичних до майбутнього обводу. Розглядаються 3 випадки завдання вихідних даних і даються формули розрахунку координат центрів і величин радіусів дуг обводу.

Важливим впровадженням пропонованого методу є профілювання кулачка газорозподільного механізму автомобільного двигуна. Існуюча в двигунобудуванні методика припускає розрахунок профілю і кінематичних характеристик з'єднання, де головну роль відіграють швидкість і прискорення переміщення штовхальника, заданого графіком у залежності від кута повороту розподільчого валу. За існуючою методикою швидкість і прискорення розраховуються шляхом чисельного диференціювання зі згладжуванням. Пропонована в роботі методика ґрунтується на методиці дискретного диференціювання. Таким шляхом проаналізовані існуючий графік переміщень і похідні від нього графіки швидкості і прискорення. Порівняння результатів розрахунку показало необхідність корекції графіка переміщень у двох точках профілю. Результати повторного розрахунку швидкостей і прискорень після корекції показують, що пропонована методика повною мірою дозволяє профілювати кулачки відповідно до кінематичних, технологічних і експлуатаційних вимог.

ВИСНОВКИ

На підставі проведених у дисертаційній роботі досліджень вирішена важлива науково-прикладна задача підвищення точності геометричного моделювання при розв’язанні задач інтерполяції плоских дискретно представлених кривих ліній на основі визначених співвідношень між кутовими параметрами ланок їх супроводжуючих ламаних ліній.

З цією метою в роботі запропонований новий метод, що спирається на співвідношення між введеними в роботі кутами згущення, що складають вихідні з того самого вузла ДПК ланки вихідної і згущеної супровідних ламаних ліній.

Метод відрізняється простотою розрахункових алгоритмів і їхньої програмної реалізації, локальністю розрахунків і широкими можливостями корекції розв’язку при обов'язковій відсутності осциляції. За рахунок цього забезпечується підвищення точності інтерполяції.

Значення для науки запропонованого методу складається в подальшому розвитку теорії дискретної інтерполяції на основі кутових параметрів ланок СЛЛ для плоскої ДПК довільної конфігурації.

Використання ідей методу й отриманих на його основі результатів доцільно в наукових дослідженнях при розробці нових методів геометричного моделювання, а також при розв’язанні прикладних задач на основі дискретної інтерполяції.

Значення для практики полягає в підвищенні точності моделювання, у наданні користувачеві можливості широкої корекції розв’язку, у скороченні термінів проектування.

Загальні висновки по роботі

1. На основі критичного огляду існуючих методів інтерполяції взагалі і дискретної, зокрема, особливо, на основі співвідношень між кутовими параметрами ланок супроводжуючої ламаної лінії (СЛЛ) ДПК показано, що можливості останнього напрямку в розробці методів, орієнтованих на підвищення точності дискретної інтерполяції ДПК довільної конфігурації, далеко не вичерпані.

2. Запропоновано новий метод згущення ДПК, основу і зміст якого складають:

2.1. Твердження про суму кутів суміжності ланок плоскої СЛЛ ДПК довільної конфігурації;

2.2. Введене в роботі поняття кутів згущення, що складають вихідні з того самого вузла ДПК ланки вихідної і згущеної СЛЛ;

2.3. Безрозмірні коефіцієнти вибору кутів згущення в межах даного і сусідніх вузлів ДПК, що дозволяють формувати припустиму множину кутів згущення, забезпечуючи заданий закон їхньої зміни;

2.4. Способи розв’язання систем нерівностей глобального формування кутів згущення на основі вихідних кутів суміжності за умови відсутності осциляції;

2.5. Спосіб складання і розв’язання різницевих схем глобального формування кутів згущення, що забезпечує шляхом вибору значень керуючих параметрів відсутність осциляції і глобальну корекцію розв’язку;

2.6. Локальна кутова система координат (КСК), органічно ув'язана зі способом побудови точок згущення на основі кутів згущення і яка дозволяє досить просто описати деякі геометричні образи, зокрема, обводи із дуг кіл при різних варіантах завдання вихідних даних;

2.7. Чотири способи згущення перехідних ділянок, які разом з пропонованими способами дискретної інтерполяції опуклих ділянок складають єдиний програмний продукт згущення плоских ДПК довільної конфігурації на основі кутів згущення.

3. Як розвиток методу, з метою розширення його можливостей, у роботі запропоновані:

3.1. Спосіб формування множини кутів згущення на основі використання апріорної інформації;

3.2. Спосіб дискретного диференціювання ДПК на основі кутових параметрів СЛЛ вихідної ДПК;

3.3. Спосіб згущення ДПК, що має прямолінійні ділянки, на основі досліджень ступеня наближення опуклої ділянки до прямолінійної в їхньому загальному вузлі з метою уникнути стрибка кривини на стику.

4. Розроблено програмне забезпечення пропонованого методу, що відбиває розроблені способи і призначене для розв’язання задач прикладного характеру.

5. Результати досліджень і програмне забезпечення прийняті до впровадження у відділі головного конструктора ГРП “Авто – ЗАЗ – мотор” при профілюванні кулачків газорозподілу автомобільних двигунів “Таврія”. Загальна інформація про метод і його можливості включена в програму курсу “Прикладна математика” у навчальному процесі ТГАТА.

Вірогідність отриманих результатів підтверджується доказами сформованих у роботі тверджень, розрахунками тестових прикладів і їхньою візуалізацією, а також розв’язанням практичних задач профілювання в процесі впровадження.

Список основних опублікованих робіт з теми дисертації

1. Лебедєв В.О. Нові способи формування кутів суміжності при згущенні ДПК. // Прикладна геометрія та інженерна графіка. Київ: КНУБА, 2004. – Вип. 73. С. 255–260.

2. Найдиш В.М., Лебедєв В.О. Інтерполяція дискретно представлених кривих ліній на основі кутів суміжності. // Вісник Херсонського державного технічного університету. Херсон: ХДТУ, 2003. Вип. 3 (19). – С. 315–318.

3. Лебедєв В.О. Алгоритми дискретної інтерполяції на основі кутів згущення // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2003. Вип. 4. – Т. 22. – С. 93–98.

4. Лебедєв В.О. Дискретна інтерполяція перехідних ділянок ДПК // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2004. Вип. . – Т. 23. – С. 103–109.

5. Лебедєв В.О. Обводи із дуг кіл в кутовій параметризації // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2004. Вип. 4. – Т. . – С. 106–112.

6. Найдиш А.В., Лебедєв В.О. Кутові параметри дискретної інтерполяції // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2004. Вип.4. – Т. 27. – С. 14–19.

7. Найдиш А.В., Лебедєв В.О. Згущення точкових рядів на основі кутів суміжності // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2003. Вип. 4. – Т. 19 – С. 26–31.

8. Найдиш А.В., Лебедєв В.О. Алгоритми згущення дискретно представлених кривих на основі кутових параметрів.// Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2003. Вип. . – Т. 20 – С. 43–48.

9. Найдиш В.М., Лебедєв В.О. Дискретна інтерполяція плоских точкових рядів на основі кутів згущення // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2003. Вип. 4. – Т. 21 – С. 3–8.

10. Найдиш В.М., Лебедєв В.О. Дискретне диференціювання на основі кутових параметрів // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2003. Вип. 4. – Т. 24. – С. 3–9.

11. Найдиш В.М., Мацулевич О.Є., Лебедєв В.О. Особливості геометричного моделювання профіля кулачка газорозподільного механізму двигуна внутрішнього згоряння. // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2004. Вип. 4. – Т. 26 – С. 3–10.

12. Найдиш А.В., Мацулевич О.Є., Лебедєв В.О. Корекція прямолінійних ділянок НГВ–ДПК // Працi Таврійської державної агротехнічної академії. Мелiтополь: ТДАТА, 2003. Вип. 4. – Т. 18. – С. 20–23.

13. Найдиш В.М., Найдиш А.В., Лебедєв В.О. Використання кутових параметрів при згущенні дискретно представлених кривих. // Матеріали міжнародної наук. – практ. конф. “Сучасні проблеми геометричного моделювання”, Львів, 2003, С. 23–25.

Анотації

Лебедєв В.О. Дискретна інтерполяція плоских дискретно представлених кривих ліній на основі кутів згущення. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.01.01 – Прикладна геометрія, інженерна графіка. – Таврійська державна агротехнічна академія. Україна, Мелітополь, 2004.

Захищається дисертація і 13 наукових праць, у яких досліджується новий метод дискретної інтерполяції дискретно представлених кривих ліній (ДПК) на основі запропонованих в роботі кутів згущення, що утворюють між собою ланки вихідної та згущеної супроводжуючих ламаних ліній СЛЛ, що виходять із одного і того ж вузла.

Досліджуються властивості кутів суміжності та кутів згущення опуклої ДПК. Вводяться безрозмірні коефіцієнти, що показують, яку частку займає кут згущення від кута суміжності ланок вихідної СЛЛ. Шляхом встановлення співвідношення між цими коефіцієнтами за умов запобігання осциляції формуються розрахункові схеми та алгоритми побудови точок згущення. Пропонується використання апріорної інформації стосовно кутових параметрів вихідної СЛЛ для проведення процесу згущення, а також різницеві схеми. Обґрунтуванням для вказаних розрахунків і побудов є п’ять доведених у роботі тверджень.

Розглядаються прикладні задачі моделювання для перехідних ділянок ДПК, ДПК з прямолінійними ділянками, дискретне диференціювання ДПК довільної конфігурації та ін.

Результати досліджень впроваджені у виробництво при профілюванні кулачків механізму газорозподілу автомобільного двигуна, а також у навчальному процесі академії.

Ключові слова: дискретно представлена крива, супроводжуюча ламана лінія, осциляція, кут суміжності, кут згущення.

Лебедев В.А. Дискретная интерполяция плоских дискретно представленных кривых линий на основе углов сгущения. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.01.01. – Прикладная геометрия, инженерная графика. – Таврическая государственная агротехническая академия. Украина, Мелитополь, 2004.

Защищается диссертация и 13 научных работ, в которых исследуется новый метод дискретной интерполяции плоских дискретно представленных кривых линий (ДПК) на основе предложенных в работе углов сгущения, которые образуют между собой звенья исходной и сгущенной сопровождающих ломаных линий (СЛЛ), исходящие из одного и того же узла.

Исследуются свойства углов смежности и углов сгущения звеньев СЛЛ выпуклой ДПК. Вводятся безразмерные коэффициенты, которые показывают, какую долю занимает угол сгущения от угла смежности звеньев исходной СЛЛ. Путем установления определенных соотношений между этими коэффициентами при условии предотвращения осцилляции сгущенной ДПК формируются расчетные схемы и алгоритмы построения точек сгущения. Математической основой построения алгоритмов являются решение систем неравенств-ограничений с одним или двумя управляющими параметрами, разностных схем 1-го и 2-го порядков, где управляющие параметры определяются из области их допустимых значений, исключающих осцилляцию. Предлагается использование априорной информации об угловых параметрах исходной СЛЛ ДПК с тем, чтобы свойственные ей значения безразмерных коэффициентов были сохранены при дальнейшем сгущении. Тем самым не нарушается внутренняя геометрия ДПК. При этом реализуется как глобальная дискретная интерполяция, когда устанавливается зависимость между углами сгущения вдоль всей ДПК, так и локальная, являющаяся основой для проведения локальной коррекции решения. Обоснованием для указанных расчетов и построений являются пять утверждений, доказанных в работе.

Исследуется угловая система координат и ее связь с декартовой системой координат. На этой основе рассматривается дискретный аналог кривизны ДПК в заданном узле, а также уравнения некоторых геометрических образов.

В качестве дальнейшего развития возможностей предложенного метода рассматриваются прикладные задачи моделирования, среди которых: дискретная интерполяция переходных участков ДПК (предложено 4 способа); интерполяция ДПК с прямолинейными участками, где вводится понятие порядка приближения криволинейного участка к прямолинейному и образуются - кратные точки в месте их стыка; дискретное дифференцирование ДПК произвольной конфигурации; построение гладких окружностных обводов.

Дискретное дифференцирование используется при анализе кинематических характеристик кулачкового механизма и определении профиля кулачка.

Разработанный метод обладает простотой и локальностью расчетов, высокой точностью за счет предотвращения осцилляции, широкой возможностью коррекции решения и удовлетворения множества заданных метрических и позиционных условий.

Результаты исследований внедрены в производство при профилировании кулачков газораспределительного механизма автомобильного двигателя, а также в учебном процессе академии.

Ключевые слова: дискретно представленная кривая, сопровождающая ломаная линия, осцилляция, угол смежности, угол сгущения.

Lebedev V. Discrete interpolation of the plane discretely presented curves on the basis of condensation corners. – Manuscript.

Dissertation for the academic degree of candidate of engineering science by speciality 05.01.01. – Applied Geometry, Engineering graphics. – Tavria state agrotechnical academy. Ukraine, Melitopol, 2004.

Defended is the dissertation and 13 scientific contributions investigating the new method of discretely presented curves (DPC) based on proposed condensation corners with the curves mutually forming links of original and condensed accompanying broken lines (ABL) originating from the same unit.

Properties of contiguity corners and condensation corners of convex DPC are investigated. Dimensionless factors showing the share occupied by condensation corners in relation to contiguity of original ABL links. Different schemes and algorithms of condensation point’s construction are formed by determination of parity between the factors under the condition of oscillation prevention. The use of aprioristic information about angular parameters of original ABL for carrying out the condensation process as well as different schemes are proposed. Five statements proved in the dissertation are the substantiation for the given calculations and constructions.

As the further development of opportunities for the proposed method the applied tasks of modeling such as discrete interpolation of DPC transitive sites, DPC interpolation with rectilinear sites discrete DPC differentiation of any configuration, smooth circular contours construction are considered.

The results of research were introduced in manufacturing under engine control mechanism cam profiling and in educational process of Academy as well.

Key words: discretely presented curve, accompanying broken line, oscillation, contiguity corner, condensation corner.