Дніпропетровський національний університет

ОСТРИК Володимир Іванович

УДК 539.3

РОЗРОБКА МАТЕМАТИЧНИХ МЕТОДІВ

І ДОСЛІДЖЕННЯ КОНТАКТНОЇ ВЗАЄМОДІЇ

ПРУЖНИХ ТІЛ ПРИ ВРАХУВАННІ ТЕРТЯ

01.02.04 механіка деформівного твердого тіла

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Дніпропетровськ 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка.

Науковий консультант член-кореспондент НАН України,

доктор фізико-математичних наук,

професор Улітко Андрій Феофанович,

Київський національний університет ім. Т. Шевченка,

професор кафедри теоретичної та прикладної механіки

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, старший науковий

співробітник Гомілко Олександр Михайлович,

Киівський національний торговельно-економічний

університет, професор кафедри вищої та прикладної

математики

доктор фізико-математичних наук,

професор Камінський Анатолій Олексійович,

Інститут механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України,

завідувач відділу механіки руйнування матеріалів

доктор фізико-математичних наук,

професор Смірнов Сергій Олександрович,

Дніпропетровський національний університет,

завідувач кафедри комп’ютерної обробки

фінансово-економічної інформації

Провідна установа Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного

НАН України, м. Харків.

Захист відбудеться “24” _____12______ 2004 р. о _14_ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 08.051.10 при Дніпропетровському національному університеті за адресою: 49625, м. Дніпропетровськ, просп. К. Маркса, 35, корпус 3, ауд. 57.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Дніпропетровського національ-ного університету за адресою: 49025, м. Дніпропетровськ, вул. Козакова, 8.

Відзив на автореферат просимо надсилати за адресою: 49050, м. Дніпропетровськ, вул. Наукова, 13, Дніпропетровський національний університет, вченому секре-тарю спеціалізованої вченої ради Д 08.051.10.

Автореферат розісланий “22” _____11______ 2004 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Дзюба А. П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Одним із важливих напрямків механіки твердого де-формівного тіла є вивчення контакту пружних тіл. Задачі контактної механіки важливі з точки зору застосувань у техніці для розрахунку на міцність контакту-ючих елементів конструкцій. Разом з тим, їх розв’язання, як мішаних задач теорії пружності, сприяє розвитку та вдосконаленню математичних методів теорії пружності та математичної фізики в цілому.

Урахування сил тертя при контакті пружних тіл у низці випадків значно ускладнює як постановку задачі, так і її розв’язання. До теперішнього часу точні аналітичні методи дослідження фрикційного контакту пружних тіл розроблені недостатньо. До того ж кількість досліджень в цьому напрямку надто мала у порівнянні з численними публікаціями щодо вивчення взаємодії пружних тіл в умовах гладкого контакту. В реальних умовах тертя присутнє завжди (у біль-шому або у меншому степені) і його вплив на напружено-деформований стан контак-туючих тіл слід враховувати. У зв’язку з цим необхідна розробка точних математичних методів розв’я-зання задач контактної механіки з урахуванням сил тертя.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження і результати, які увійшли в дисертаційну роботу, тісно пов’язані з наукови-ми дослідженнями, які проводяться на кафедрі теоретичної та прикладної механіки Київського національного університету ім. Тараса Шевченка з держбюджетної теми № 01БФ038-02 “Механіка деформівних середовищ та експери-ментальні методи механіки” (2001 2005).

Мета і задачі дослідження. Мета роботи визначена в темі дисертації. Досягнення постав-леної мети передбачає:

виведення інтегральних рівнянь низки контактних задач теорії пружності за наявності тертя;

розповсюдження метода Вінера Гопфа на вказаний клас задач;

дослідження особливостей контактної взаємодії пружних тіл різної геометрії за наявності тертя.

Об’єкт дослідження пружні тіла при їх контактній взаємодії з урахуван-ням сил тертя.

Предмет дослідження вплив тертя на напружено-деформований стан контактуючих пружних тіл.

Методи дослідження. Для виведення інтегральних рівнянь розглянутих у дисертації контакт-них задач застосовано інтегральні перетворення Мелліна, Фур’є, Мелера Фока. Використано зображення загального розв‘язку рівнянь теорії пружності через гармонічні функ-ції у формі Папковича Нейбера. Для розв’язання інтегральних рівнянь застосовано метод Вінера Гопфа.

Наукова новизна одержаних результатів.

1. Отримано інтегральні рівняння типу згортки нового класу кон-тактних задач за наявності тертя для пружного клина, конуса, півплощини, а також кусково-однорідного середовища з міжфазною тріщиною.

2. Здійснено єдиний підхід у застосуванні метода Вінера Гопфа до розв’я-зання отриманих інтегральних рівнянь, суть якого полягає в наступному:

проведена факторизація у нескінченних добутках мероморфних функцій, які зустрічаються при розв‘язанні основних граничних задач;

вивчено асимптотичну поведінку коренів трансцендентних рівнянь з елемен-тарними тригонометричними та спеціальними функціями (функціями Лежандра), а також обчислені корені цих рівнянь;

отримано асимптотичні оцінки канонічних добутків першого роду і нескінчен-них добутків, що виникають при факторизації.

3. Знайдено точні розв’язки контактних задач за наявності тертя для пруж-ного клина, конуса, міжфазної тріщини, задачі про невільне обертання контакту-ючих жорсткого і пружного дисків.

4. В рамках теорії подібності Спенса розв’язано задачі про вдавлювання інденторів різного профілю у пружну півплощину з урахуванням зон зчеплення та проковзування в області контакту.

5. Досліджено вплив тертя на напружено-деформований стан пружних тіл, що знаходяться у контакті.

Теоретичне та практичне значення одержаних результатів.

1. Показано можливість застосування метода Вінера Гопфа до розв’язан-ня контактних задач теорії пружності з урахуванням тертя.

2. Отримано асимптотичну формулу для канонічних добутків першого роду, яка дозволяє знаходити асимптотичну поведінку на нескінченності множників факторизації, а також знаходити розподіл напружень на краю області контакту.

3. Разроблено методику отримання асимптотики коренів ускладнених транс-цендентних рівнянь з тригонометричними функціями. Складено таблиці коренів таких рівнянь.

4. Здійснено аналіз впливу тертя на розподіл контактних напружень та роз-мір області контакту, а за наявності часткового зчеплення на розмір зони зчеп-лення.

Особистий внесок здобувача. З представлених 27 публікацій 12 є самостій-ними роботами дисертанта. У роботах [1, 4-6, 8-11, 13, 23-26], виконаних разом з науковим консультантом членом-кореспондентом НАН України А. Ф. Улітко, здобувачу належить виведення основних співвідношень, вивчення коренів транс-цендентних рівнянь, факторизація мероморфних функцій і отримання асимпто-тичних оцінок множників факторизації, виконання розрахунків. У роботах [19, 20] дисертантом отримані чисельні результати.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації до-повідалися на Міжнародних симпозіумах українських інженерів-механіків у Львові (Львів, 1999, 2003), Міжнародній науковій конфе-ренції “Математичний аналіз та еконо-міка” (Суми, 1999), Міжнародних наукових конференціях “Математичні про-блеми механіки неоднорідних структур” (Луцьк, 2000; Львів, 2003), Симпозіумі, присвяченому 90-річчю академіка А. Ю. Ішлінського, який проводився у рамках IV Міжнародного аерокосмічного конгресу (Москва, 2003), III Всеросійській конференції з теорії пружності з міжнародною участю (Ростов-на-Дону, 2003), Міжнародній науковій конферен-ції “Сучасні проблеми механіки”, присвяченої 70-річчю А. Ф. Улітка (Київ, 2004).

У повному обсязі дисертація доповідалася на науковому семінарі “Пробле-ми механіки” Київского національного університету ім. Тараса Шевченка під ке-рівництвом акад. НАНУ В. Т. Грінченка і чл.-кор. НАНУ А. Ф. Улітка, на науко-вому семінарі “Комп’ютерні задачі механіки” Дніпропетровського національного університету під керівництвом акад. НАНУ В. І. Моссаков-ського, науковому се-мінарі Інституту прикладної фізики НАН України під керівництвом чл.-кор. НАНУ П. І. Фоміна, науково-технічній проблемній раді Інституту проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України.

Публікації. Матеріали дисертації опубліковано в наукових роботах: 19 статтях у спеціалізованих вітчизняних журналах, 4 статтях в іноземних виданнях, 4 тезах доповідей міжнародних конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Робота складається зі вступу, семи розді-лів, висновків, списка використаної літератури. Дисертація обсягом 377 сторінок містить 46 рисунків і 24 таблиці. Список використаної літератури включає 356 джерел.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету і задачі досліджень, викладені основні одержані результати, з’ясовано їх наукову новизну, практичну цінність.

Перший розділ містить огляд літератури, присвяченої дослідженню контакт-ної взаємодії пружних тіл як без урахування, так і з урахуванням сил тертя, що виникають в області контакту.

Вагомий внесок у розвиток математичних методів і вирішення задач кон-тактної механіки зроблено вітчизняними і зарубіжними дослідниками. Проблемами контактної взаємодії пружних тіл займалися такі вчені: В. М. Абра-мов, Б. Л. Абрамян, В. М. Алєксандров, Н. Х. Арутюнян, В. А. Бабешко, Н. М. Бєляєв, Н. М. Бородачов, И. И. Ворович, Л. А. Галін, Р. В. Гольдштейн, И. Г. Горячева, Д. В. Гриліцький, В. Т. Грінченко, В. С. Губенко, А. Н. Діннік, В. І. До-внорович, А. Ю. Ішлінський, М. Я. Лєонов, В. В. Лобода, А. І. Лур’є, В. І. Мосса-ковський, В. В. Панасюк, Г. Я. Попов, В. Л. Рвачов, Г. М. Савін, В. М. Сеймов, И. В. Симонов, М. Й. Теплий, А. Ф. Улітко, Я. С. Уфлянд, М. І. Чебаков, І. Я. Шта-єрман, М. Комніноу (M. Comninou), Я. Буссінеск (J. Boussinesq), Г. Фромм (H. Fromm), Дж. Гладуелл (G. M. L. Gladwell), Г. Герц (H. Hertz), Л. Е. Гудмен (L. E. Goodman), К. Джонсон (K. L. Johnson), А. Ляв (A. E. H. Love), Б. Нобл (B. Noble), О. Рейнольдс (O. Reynolds), Д. А. Спенс (D. A. Spence) та інші.

До розв’язання задач контактної механіки застосовано методи інтеграль-них перетворень, крайової задачі Рімана, Вінера Гопфа, граничних інтеграль-них рівнянь, асимптотичні методи. Розглянуто моделі гладкого контакту, контак-ту при повному зчепленні, ковзного контакту з тертям, фрикційного контакту зі зчепленням і проковзуванням.

У другому розділі дається розповсюдження метода Вінера Гопфа на кон-тактні задачі теорії пружності за наявності тертя. У п. 2.1 викладено загальну схему метода Вінера Гопфа розв’язання інтегрального рівняння на півосі з різ-ницевим ядром. Особливості методу проаналізовано для трьох типів ядер інте-грального рівняння, які виникають при розв’язанні контактних задач, розгляну-тих у дисертації. Основною задачею у методі Вінера Гопфа є факторизація коефіцієнта функціонального рівняння. На відміну від традиційного підходу, коли

факторизація проводиться в інтегралах типу Коші, було обрано менш розвину-тий, але більш ефективний шлях факторизації у нескінченних добутках. У п. 2.2 описується методика проведення факторизації мероморфних функцій з викори-станням теорії Вейєрштрасса розвинення цілих функцій у нескінченні добутки.

У п. 2.3 вивчається асимптотична поведінка коренів трансцендентних рів-нянь з елементарними тригонометричними і спеціальними функціями (функція-ми Лежандра). Саме такі рівняння виникають при розв’язанні методом Вінера Гопфа контактних задач для клина і конуса, які розглянуто у розділах 3 та 4.

Розглятуто також трансцендентні рівняння з функціями Лежандра першого роду. На підставі двочленної асимптотичної формули для функції Ле-жандра такі рівняння асимптотично зведені до рівнянь вигляду (2) і (4), після чого знайдено асимптотичну поведінку коренів цих рівнянь.

Значення перших коренів трансцендентних рівнянь, що виникають при роз-в’язанні контактних задач для клина і конуса, обчислені за допомогою метода Ньютона і зведені в таблиці. Чисельні значення коренів порівнюються з їх асимп-тотичними значеннями.

У п. 2.4 розроблено методику знаходження асимптотичних оцінок на не-скінченності нескінченних добутків, які виникають при факторизації мероморф-них функцій у методі Вінера Гопфа.

Для канонічного добутку першого роду отримано асимптотичну формулу, яка дає змогу отримати асимптотичні оцінки нескін-ченних добутків, які виникають при факторизації мероморфних функ-цій.

За допомогою асимптотичної формули (11) знайдено асимптотичні оцінки нескінченних добутків, які виникають при факторизації мероморфних функцій в контактних задачах для клина і конуса (розділи 4, 5). Як приклад розглянемо факторизацію мероморфної функції для задачі про фрикційний контакт пружного і жорсткого клинів з п. 3.3:

У третьому розділі розглянуто контактну взаємодію клиновидних тіл в умовах гладкого та фрикційного контакту. У п. 3.1 за допомогою інтегрального перетворення Мелліна отримано загальний розв’язок рівнянь теорії пружності для клина (плоска задача). У п. 3.2 знайдено розв’язок першої крайової задачі для пружного клина у полярних координатах у вигляді інтегралів Рімана Мелліна, який використовується у наступних пунктах при розв’язанні контактних задач для клина.

У п. 3.3 вивчається контакт з тертям пружного і жорсткого клинів. Нехай пружний клин і абсолютно жорсткий клин у ненавантаженому стані дотикаються один одного своєю загальною вершиною. До жорсткого клина вздовж його осі прикладено силу. У пружному клині напруження на нескінченності мають головний вектор, направлений уздовж осі клина до його вершини, і головний момент, рівний нулю відносно вершини. При такому навантаженні пружний клин деформується симетрично відносно своєї осі і його береги входять у контакт з гранями жорсткого клина поблизу їх загальної вершини. Вважаємо, що сили тертя, які виникають при контактній взаємодії берегів клинів, підпорядковані закону Амонтона (Кулона). Довжина області контакту заздалегідь не-відома і має бути визначена в процесі розв’язання задачі. Для того, щоб не вихо-дити за рамки лінійної теорії пружності, вважаємо кути зазору між клинами достатньо малими.

Крайові умови на берегах пружного клина в області контакту та поза нею запишемо у вигляді через коефіцієнт тертя. Запис другої крайової умови пов’язаний з припу-щенням, що в процесі навантаження граничні точки пружного клина в області контакту переміщуються у напрямку до вершини клина. Зроблене припущення необхідно підтвердити отриманим розв’язком задачі. Дов-жина області контакту визначається умовою рівноваги

Зображення розв’язку задачі, яке задовольняє умову зв’язку нормальних та дотичних напружень у формі другої рівності (18) у кожній граничній точці пруж-ного клина, на підставі розв’язаної у п. 3.2 першої крайової задачі для клина, подаємо у вигляді інтегралів Рімана Мелліна з однією щіль-ністю, яка є трансформантою Мелліна функції нормальних напружень. З першої крайової умови отримуємо інтегральне рівняння. Невідома функція виражається через функцію нормальних контактних напружень.

Точний розв’язок інтегрального рівняння (21) знаходиться методом Вінера Гопфа. Нормальні контактні напруження визначаються у вигляді.

Знайдений розподіл контактних напружень дозволяє зробити висновок про те, що наявність тертя в області контакту усуває логарифмічну особливість кон-тактних напружень у вершині клина, характерну при взаємодії клинів без ураху-вання сил тертя. Контактні напруження стають обмеженими і у вершині клина набувають скінченного значення. На краї області контакту вони мають наступну асимптотичну поведінку.

Для перевірки умови (19) були знайдені радіальні переміщення в області контакту. Із виразу (26) випливає, що в околі вершини клина виконується умова (19). У всій області контакту умова (19) буде виконана при деякий малий кут. Якщо ж , то друга крайова умова (18) по-требує уточнення. У цьому випадку на частині області контакту, що примикає до вершини клина, утворюється зона зчеплення. У такій постановці у випадку, коли пружний клин є півплощина, задача розглядається у розділі 5. Значення при для ; 0,2; 0,3 відповідно дорівнюють ;; ; для нестисливого матеріалу за наявності тертя досягає свого найменшого значення, рівного .

Результати обчислень контактних напружень за форму-лами (22), (23) у випадку (пружний клин чвертьплощина), подані на рис. 1. Криві 1; 2; 3 відпо-відають значенням коефіцієнта тертя ; 0,1; 0,3. Величина з (22), (23) при для вказаних зна-чень відповідно дорівнює ; 22,0; 7,3. Обчисленням радіальних переміщень за формулою (26) підтверджено вико-нання умови (19). Подані результати по-казують, що в розподілі контактних на-пружень спостерігається їх різке підви-щення в околі вершини клина. При цьому у вершині клина та поблизу неї зі збіль-шенням коефіцієнта тертя контактні на-пруження зменшуються.

У п. 3.4 розглянуто фрикційний контакт пружного клина з жорсткою насад-кою. Перед навантаженням грані клина в області, прилеглої до вершини, притулені до внутрішньої границі жорсткої насадки. В процесі наванта-ження область контакту залишається незмінною. Задача зводиться до однорідного інтегрального рівняння (21), розв’язок якого знаходиться методом Вінера Гопфа. Контактні напруження знаходяться у вигляді… За відсутності тертя контактні напруження у вершині клина набувають ненульового скінченного значення, а за наявності тертя обертаються в нуль. На краю області контакту напруження необмежені і мають на-ступну поведінку. На рис. 2 подані результати обчислень контактних напружень за формулами (28) у випадку . Крива 1 відповідає гладкому контакту, криві 2, 3 фрик-ційному контакту для значень і відповідно. Наявність тертя значно знижує контактний тиск, особливо поблизу вершини клина, а в самій вершині знімає його повністю.

У п. 3.5 і 3.6 розглянуто гладкий і фрикційний контакт двох пружних клинів.

У четвертому розділі розглянуто контактну взаємодію конусів при осеси-метричній деформації. У п. 4.1, 4.2 у сферичних координатах побудовано загаль-ний розв’язок рівнянь рівноваги теорії пружності для конуса у випадку осесиме-тричної деформації та розв’язана перша крайова задача для пружного конуса. У п. 4.3 і п. 4.4 вивчається гладкий і фрикційний контакт пружного і жорсткого конусів, які попередньо дотикаються один одного своїми вершинами, у п. 4.5 фрикційний контакт пружного конуса з жорсткою насадкою.

У п. 4.6 розв’язана задача про фрикційний контакт пружного конуса з жор-сткою конічною обоймою. У ненавантаженому стані внутрішня поверхня обойми щільно притулена до поверхні пружного конуса. При вдавлюванні обойми в конус утворюється область контакту , поверхонь ко-нуса та обойми. Отримане інтегральне рівняння на скінченному проміжку з різ-ницевим ядром за допомогою інтегрального перетворення Фур’є зведене до си-стеми двох функціональних рівнянь Вінера Гопфа, яка, в свою чергу, зведена до нескінченної системи алгебричних рівнянь з малим параметром. Розв’язок системи алгебричних рівнянь знайдено у вигляді ряда за степенями параметра. Для коефіцієнтів ряда отримані рекурентні співвідношення. Кон-тактні напруження виражені через розв’язок системи алгебричних рівнянь. Знай-дена поведінка контактних напружень на краях області контакту, де напруження необмежені зі слабкою степеневою особливістю (кореневою у випадку гладкого контакту).

На рис. 3 подані результати об-числень контактних напружень для числа Пуас-сона і півкута при вершині кону-са . Суцільні криві 1, 2, 3, 4 відповідають значенням відносної ширини обойми 5/4, 2, 4, 10 і коефіцієнту тертя . Норма-лізована осадка дорівнює 0,356, 0,410, 0,307, 0,172 відповідно. Розподіл контактних на-пружень у випадку = 5/4 для фрикційного контакту з меншим коефіцієнтом тертя показує штрих-пунктирна крива, для гладко-го контакту пунктирна крива. Для відносно вузьких обойм розподіл контакт-ного тиску вздовж радіальної коор-динати майже си-метричний. Для ши-роких обойм контактний тиск значно менший на частині області контакту, що примикає до меншої границі обойми. Наявність тертя зменшує контактний тиск, частково перерозподі-ляючи навантаження на дотичні зусилля в області контакту обойми і конуса.

У п. 4.7 і п. 4.8 досліджується гладкий і фрикційний контакт двох пружних конусів. Результати обчислень контактних напружень у випадку, коли півкути в осьових перерізах конусів , , а числа Пуассона матеріалів кону-сів , представлені на рис. 4. Графіки побудовані для величини , де зведений модуль пружності матеріалів конусів, кут зазору між поверхнями конусів. Крива 1 відповідає відношенню модулів зсуву і коефіцієнту тертя . Для порівняння побудовані крива 2, яка відповідає контакту без тертя, та крива 3, яка відповідає контакту пружного і жорсткого конусів з урахуванням сил тертя. У вказаних випадках особливості контактних напружень у вер-шині конусів мають вигляд , , відповідно. Наявність тертя та пружні характеристики матеріалів конусів мають значний вплив на розподіл кон-тактних напружень поблизу загальної вершини конусів. На значній відстані від вершини зведені напруження мало залежать від вка-заних факторів.

У п’ятому розділі вивчається контактна взаємодія індентора і пружної пів-площини за наявності зон зчеплення та проковзування в області контакту. У п. 5.1 і п. 5.2 побудовано загальний розв’язок рівнянь рівноваги теорії пружності для півплощини у біполярних координатах і розв’язана основна мішана задача для півплощини, коли на відрізку межі півплощини задані переміщення, а поза відрізком напруження. Отриманий розв’язок мішаної задачі використовується у наступних пунктах розділу для розв’язання контактних задач про вдавлювання індентора різної геометрії в пружну півплощину за наявності тертя та часткового зчеплення в області контакту.

У п. 5.3 вивчається симетричний контакт зі зчепленням та проковзуванням жорсткого клина і пружної півплощини. Нехай жорсткий клин з кутом піврозхи-лу, близьким до , перед навантаженням дотикається своєю вершиною межі пружної півплощини; вісь клина перпен-дикулярна до межі півплощини. Клин під дією сили, направленої уздовж осі клина, вдавлюється в пружну півплощину. Декартову систему координат вважаємо зв’язаною з жорстким клином. В результаті навантаження береги клина входять у контакт з пружною півплощиною поблизу вершини клина. Розмір області контакту заздалегідь невідомий і визначається в процесі розв’язання зада-чі. Припускаємо, що на частині області контакту виникає зона зчеплення меж півплощини і клина, в якій відношення до-тичних зусиль до нормального тиску не перевищує коефіцієнта тертя. В зонах проковзування контактуючі точки межі півплощини зміщуються, як і при гладкому контакті, в напрямку до вершини клина, а нормальні та дотичні зусилля підпорядковані закону тертя Амонтона.

Хоча задача розглядається у статичній постановці, проте при формулюванні крайових умов необхідно враховувати як відносний напрямок руху контактуючих меж тіл, так і історію навантаження. Область контакту, яка в початковий момент утворилась у точці, збільшується у розмірі при монотонному (за часом) зростанні навантаження. При цьому будь-яка точка межі півплощини, яка знаходиться поблизу точки початку контакту, згодом потрапляє в область контакту: спочатку в зону проковзування, потім в зону зчеплення. Тому в зоні зчеплення має місце не рівна нулю (окрім точки початку контакту) так звана “защемлена” повздовжня деформація. Як показав Д. А. Спенс, при вдавлюванні у півпло-щину індентора поліноміального профілю (при індентор є клин) “защемлена” деформація пропорційна , тобто стала у випадку клина. Цей висновок Д. А. Спенса дає змогу ставити крайову умову на тангенціальні переміщення в зоні зчеплення і виділяти так званий подіб-ний розв’язок, коли поле напружень в процесі навантаження залишається подібним самому собі, а відношення розмірів зон зчеплення та проковзування зберігається незмінним.

Мішані крайові умови формулюємо для зони зчеплення, зон проков-зування і зон, вільних від навантаження, межі пружної півплощини.

Використовуючи розв’язок основної мішаної задачі, отриманий у п. 5.2, зво-димо задачу до інтегрального рівняння на півосі з ядром, перша складова якого залежить від різниці, а друга від суми змінних. Інтегральне рівняння методом Вінера Гопфа зводимо до нескінченної системи алгебричних рівнянь, яку зами-кає ще одне алгебричне рівняння, що випливає з розгляду двох крайових нерів-ностей із (30).

Чисельні результати отримано для коефіцієнта Пуассона і коефіцієнта тертя . Відносний розмір зони зчеплення виявився рівним . Розподіл контактних напружень показано на рис. 5. Графіки безрозмірних величин і , які відповідають нормальним та дотич-ним контактним напруженням, в залеж-ності від відносної координати області контакту показані суцільною лі-нією (крива 1 та 2 відповідно). Пунк-тирна лінія побудована для величини у випадку гладкого контакту жорсткого клина і пружної півплощини. Представлені графіки показу-ють, що наявність тертя збільшує контактний тиск поблизу вершини клина, де він має логарифмічну особливість, і дещо зменшує його на краї області контакта.

У п. 5.4 розглянуто задачу Галіна про втискання штампа з прямолінійною основою в пружну півплощину за наявності тертя і зчеплення. Задачу зведено до нескінченної системи алгебричних рівнянь. Крім того, за наявності значного тертя отримано асимптотично точний розв’язок задачі. В останньому випадку відносний розмір зони зчеплення визначається виразами …, а для контактних напружень знайдено явні формули. Проводиться порівняння об-числених значень відносного розміру зони зчеплення з наближеними значен-нями, знайденими Л. А. Галіним і Д. А. Спенсом.

У п. 5.5 вивчається фрикційний контакт похилого штампа з пружною пів-площиною. Абсолютно жорсткий штамп з похилою (під кутом ) прямолінійною основою, який спочатку дотикається межі пружної півплощини своєю передньою кромкою, вдавлюється в півплощину під дією нормальної і тангенціальної сил, які монотонно зростають у часі, так що їх відношення залишається незмінним. В результаті деформації пружної півплощини на частині основи штампа, що примикає до краю основи, утворюється область контакту. Припускається, що об-ласть контакту поділяється на зону зчеплення, де, згідно з теорією подібності Спенса, “защемлена” деформація незмінна, і зону проковзу-вання.

За припущенням існування двох зон контакту (однієї зони зчеплення і однієї зони проковзування) побудовано точний розв’язок задачі методом Вінера Гопфа і показано, що контактні напруження осцилюють у малому околі краю штампа, так що відношення дотичних зусиль до нормального тиску у цій малій області стає необмеженим. Осциляції напружень приводять до неможливості ви-конання обмеження на дотичні зусилля в зоні зчеплення поблизу краю штампа. Щоб усунути виявлене протиріччя, вводиться ще одна мала зона проковзування на краю основи штампа і визначається її розмір. Розглянуто також випадок, коли область контакту охоплює всю основу штампа і у взаємодію з півплощиною вхо-дить дальній край штампа. Показано, що у цьому випадку відношення довжин більшої зони проковзування і зони зчеплення не залежить від навантаження і залишається таким, яким воно було перед входом у контакт дальнього краю штампа. Відносна довжина малої зони проковзування на передньому краї штампа у розглядуваному випадку збільшується із зростанням притискуючої сили до деякого свого граничного значення.

У п. 5.6 вивчається несиметричний контакт зі зчепленням та проковзуван-ням жорсткого клина і пружної півплощини. Тобто узагальнюється задача, роз-глянута у п. 5.3, на випадок дії на жорсткий клин системи сил: притискуючої сили і зсувної сили. Задача зводиться до системи двох інтегральних рівнянь, яка, в свою чергу, зводиться до нескінченної системи алгебричних рівнянь. Пока-зано, що несиметричність навантаження майже не впливає на розподіл контакт-них напружень та розміщення меж області контакта по відношенню до вершини клина і суттєво змінює розподіл дотичних контактних напружень та розміщення зони зчеплення всередині області контакту.

У п. 5.7 дається узагальнення задачі про фрикційний симетричний контакт клиноподібного індентора і пружної півплощини, розглянутої у п. 5.3, на випадок індентора поліноміального профілю з довільним цілим невід’ємним показником.

На рис. 6 показано розпо-діл контактних напружень для n = 1, 2, 3, 4, 10, а також у випадку штампа. Су-цільні криві відповідають фрик-ційному контакту, пунктирні гладкому контакту. Відносна довжина зо-ни зчеплення для всіх значень дорівнює 0,5432. В зоні зчеплення наявність тертя дещо збільшує контактний тиск, а в зоні проковзування зменшує його.

У шостому розділі досліджується невільне рівномірне обертання пепередньо стиснутих жорсткого і пружного дисків при врахуванні сил тертя в контакті. У п. 6.1 проаналізовано розв’язок задачі Фромма про невільне обертання двох стисну-тих ідентичних пружних дисків, коли до валу ведучого диска прикладено оберто-вий момент. Згідно з розв’язком Г. Фромма, у точці входу матеріалів дисків у контакт проковзування відсутнє і область контакту поділяється на зону зчеплен-ня зі сталою “защемленою” тангенціальною деформацією та зону проковзування при виході матеріалів дисків з контакту. “Защемлена” деформація в зоні зчеплен-ня додатна, що є наслідком того факту, що для двох ідентичних дисків, які знахо-дяться у невільному рівномірному обертовому русі, кутова швидкість веденого диска завжди менша кутової швидкості ведучого диска. Дослідження Г. Фромма доповнені розрахунком вихідної потужності на валі веденого диска і потужності утрат у зоні проковзування.

У п. 6.2 методом Вінера Гопфа побудовано точний розв’язок задачі про невільне кочення жорсткого диску по пружній півплощині. Встановлено, що мікрозоною проковзування у точці входу в контакт можна знехтувати (ефект Аб-рамова у випадку, коли осцилюючі напруження обертаються в нуль в точці зміни крайових умов), тобто приходимо до результату Г. Фромма про наявність лише однієї зони проковзування. Однак, принципова відмінність від задачі Фромма по-лягає в тому, що при невільному коченні жорсткого диска по пружній півплощи-ні “защемлена” деформація може набувати від’ємних значень. Перенісши ці ре-зультати, згідно з теорією Герца, на задачу невільного рівномірного обертання стис-нутих жорсткого і пружного дисків з ведучим жорстким диском, знайдено, що кутова швидкість веденого пружного диска стає більшою за кутову швидкості веду-чого жорсткого диска, початково горизонтальна площадка контакту стає похилою і точка прикладання рівнодійної нормальних напружень зміщується з лінії, яка з’єднує центри валів дисків. Як значення момента на валу веденого диска, так і вихідна передана потужність виявилися меншими за їх задані значення на валу ведучого жорсткого диска. Різниця вхідної і вихідної потужностей у проведених розрахунках збіглася зі значенням потужності втрат у зоні проковзування.

Розрахунки проведені для ко-ефіцієнта Пуассона і коефі-цієнта тертя . На рис. 7 показано графічне зображення без-розмірних нормальних напружень (суцільні криві) і дотичних напружень (штрихові линії), де радіуси дисків, модуль зсуву, довжина області контакту. На графіках криві 1, 2, 3 відповідають відношенню сил, рівному 0,01; 0,1; 0,15 (горизонтальна сила на валу ведучого диска викликана прикладе-ним моментом). В табл. 1 подані значення відносної довжини зони проковзування, нормованої “защемленої” деформації, нормованого кута нахилу площадки контакту, відносного зміщення точки приведення рівнодійної нормальних напружень з лінії центрів дисків та нормованої утраченої потужності в зоні проковзування у за-лежності від відношення сил.

У сьомому розділі розглянуто контактні задачі для міжфазної тріщини у кусково-однорідному середовищі за наявності тертя. Відомо, що задачі про рів-новагу пружних кусково-однорідних тіл з тріщинами на межі розділу в класичній постановці (на берегах тріщин задані напруження) мають осцилюючі поблизу вершин тріщини розв’язки. Осциляція нормальних переміщень берегів тріщини біля її вершин приводить до фізично хибного результату, оскільки поблизу вер-шин тріщини відбувається взаємне проникнення матеріальних частинок, розміщених на протилежних берегах розрізу. Для одержання фізично коректного роз-в’язку М. Комніноу (M. Comninou) запропоновано вводити малі зони контакту берегів тріщини біля її вершин. У відповідності з моделлю Комніноу у даному розділі методом Вінера Гопфа знайдено точні розв’язки деяких плоских і осесиметричних контактних задач для міжфазної тріщини.

У п. 7.1 із застосуванням інтегрального перетворення Мелліна у полярних координатах знайдено розв’язок основної крайової задачі для двох жорстко з’єднаних уздовж променя пружних півплощин з різних матеріалів при довіль-них напруженнях на берегах напівнескінченного розрізу. Цей розв’язок викорис-товується для розв’язання контактної задачі для міжфазної напівнескінченної трі-щини, розглянутої у п. 7.2.

У полярній системі координат розглядаються дві пружні півплощини: верх-ня і нижня з модулями зсуву і та коефіцієнтами Пуассона і відповідно, жорстко з’єднані між собою вздовж променя. На берегах розрізу на одна-ковій відстані від початку координат до півплощин прикладено зосереджені сили. У відповідності до моделі Комніноу вважаємо, що вказане навантаження приводить до виникнення області контакту берегів розрі-зу поблизу його вершини, де нормальні та дотичні зусилля пов’язані законом Амонтона (Кулона). Довжина області контакту заздалегідь невідома.

Відносно невідомої функції контактного тиску, задача зводиться до інте-грального рівняння Вінера Гопфа. Мероморфна функція факторизується у гамма-функціях. Вимагаючи обмеженість контактних напружень в точці, знаходимо розмір області контакту. Нормальні контактні напруження виражаються через гіпергеометричну функ-цію Гауса. У випадку гладкого контакту контактні напруження знаходяться в елементарних функціях. Асимптотична поведінка контактних напружень поблизу вершини розрізу наступна. Видно, що наявність тертя зменшує кореневу особливість напружень, яка має місце при гладкому контакті берегів розрізу.

В зоні спряження півплощин маємо наступні явні вирази для напружень. Нормальні напруження мають скінченне граничне значення. Дотичні напруження мають слабку степеневу особливість у вершині розрізу.

Розподіл контакт-них напружень на межі розділу півпло-щин в околі вершини тріщини показано на рис. 8. Суцільні лінії відповідають фрикцій-ній моделі контакту, пунктирні лінії моделі гладкого контакту. При цьому відносна довжина області контактного тиску відповідно дорівнює і . Видно, що наявність тертя дещо збільшує довжину об-ласті контактного тиску і зменшує напруження на межі півплощин поблизу вер-шини тріщини.

У п. 7.3 у біполярних координатах знайдено розв’язок основної крайової за-дачі теорії пружності для двох жорстко з’єднаних різнорідних півплощин зі скін-ченним розрізом на межі при довільних напруженнях на берегах розрізу. Отрима-ний розв’язок використовується у п. 7.4 і п. 7.5 для розв’язання контактних задач для скінченної тріщини, що знаходиться на межі півплощин з різних матеріалів.

У п. 7.7 розглядається симетрична контактна задача для скінченної тріщини на межі двох різнорідних півплощин. У точках берегів розрізу до півплощин прикладені нормальні зосереджені сили інтенсивності . Згідно з моделлю Комніноу вважаємо, що біля вершин розрізу виникають області контактного тиску, розмір яких заздале-гідь невідомий.

Інтегральне рівняння на півосі, ядро якого є сумою різницевої складової і складової, яка залежить від суми змінних, методом Вінера Гопфа зведено до не-скінченної системи алгебричних рівнянь. Завдяки тому, що розмір області кон-такту на декілька порядків менший від довжини тріщини, нескінченна система рівнянь з високою точністю допускає асимптотичне спрощення, після чого її роз-в’язок знаходиться у явному вигляді. Виявляється, що розмір області контакту у 2 рази більший, ніж у задачі для напівнескінченної тріщини (п. 7.2), а контактні на-пруження і напруження в зоні спряження півплощин поблизу вершини тріщини у разів менше відповідних напружень для напівнескінченної тріщини.

Значення відносного розміру області контакту подані у табл. 2 при різ-них значеннях коефіцієнта тертя і відношеннях модулів зсуву. Значення відносного коефіцієнта інтенсивності зсувних напружень при різних значеннях , представлені у табл. 3.

У п. 7.5 досліджено несиметричну контактну задачу для скінченної міжфаз-ної тріщини в однорідному полі розтягуючих і зсувних напружень. В умовах роз-тягу та зсуву біля однієї вершини тріщини утворюється мікрозона контакту, біля другої вершини відносно велика зона контактного тиску. Система двох інте-гральних рівнянь на півосі методом Вінера Гопфа зведена до нескінченної алге-бричної системи, розв’язок якої знайдено у явному вигляді завдяки існуванню мікрозони контакту біля однієї з вершин тріщини.

Розрахунки проведені для значення . На рис. 9 показана за-лежність відносної довжини біль-шої області контакту (біля правої вершини тріщини) від відношення розтягую-чого і зсувного навантаження при гладкому контакті (крива 1) і фрикційному контакті (крива 2). Вплив коефіцієнта тертя на від-носний розмір більшої області контакту у випадку тільки зсувного наванта-ження ілюструє рис. 10. При цьому відносний розмір малої області контакту (біля лівої вершини тріщини) змінюється від до . Проте, при чисельному розв’язанні відповідних сингулярних інтегральних рівнянь величина набуває значень між і . Тобто чи-сельний розв’язок не дає вірогідного значення довжини малої області контакту. Значення нормалізованих коефіцієнтів інтенсивності зсувних напружень при різних значеннях коефіцієнта тертя у випадку подані у табл. 4. Останні дані свідчать про суттєвий вплив тертя на значення коефіцієнтів інтенсивності на-пружень при контакті берегів тріщини за умови зсувного навантаження.

У п. 7.6 розв’язана осесиметрична контактна задача для кругової міжфазної тріщини. У циліндричній системі координат розглядаються два пів-простори, між якими в круговій області їх межі зна-ходиться плоска тріщина. Поза тріщиною вздовж межі півпростори жорстко з’єднані між собою. На нескінченності прикладене розтя-гуюче навантаження. Згідно з моделлю Комніноу припускаємо, що наванта-ження приводить до виникнення кільцевої області контактного тиску поверхонь тріщини біля її контуру. У цій області нормальні переміщення неперервні, а нормальні і дотичні зусилля підпорядковані закону тертя Амонтона.

Розв’язок задачі подається у формі Папковича Нейбера через чотири гар-монічні функції (по дві для кожного півпростору), які у тороїдальних координа-тах мають вигляд інтегралів Мелера Фока. Задовольняючи крайові умови, окрім умови на нормальні переміщення в області контакту, напруження та пере-міщення виражаються через невідому функцію контактних напружень. Із крайо-вої умови на нормальні переміщення в області контакту виводиться інтегральне рівняння задачі. Відносний розмір області контакту . При інте-гральне рівняння допускає асимптотичне спрощення з високою точністю (поряд-ка ) і переходить у рівняння на півосі з різницевим ядром. Точний розв’язок інтегрального рівняння знаходиться методом Вінера Гопфа.

Ширина області контакту визначається рівністю. Розподіл контактних напружень для фрикційного і гладкого контакту дається фор-мулами. Коефіцієнт інтенсивності зсувних напружень набуває значення.

Числові значення відносної ширини області контакту і коефіцієнта ін-тенсивності напружень, обчислені за формулами (42) і (44) при різних зна-ченнях коефіцієнта тертя і відношеннях модулів зсуву, подані у табл. 5, 6.

Таким чином, ширина області контакту поверхонь кругової тріщини, як і у випадку плоскої деформації, на декілька порядків менша від характерного розмі-ру тріщини. З огляду на надзвичайно малий розмір області контактного тиску урахування контакту поверхонь тріщини не впливає на напружено-деформований стан півпросторів поза малим околом контуру тріщини. Проте введення області контакту, по-перше, дозволяє уникати фізичних суперечностей щодо перекриття її поверхонь і, по-друге, дає можливість коректно визначити коефіцієнт інтенсив-ності зсувних напружень.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі на підставі методу Вінера Гопфа розроблено єдиний математичний підхід до розв’язання деяких класів гранич-них задач меха-ніки контактної взаємодії пружних тіл з урахуванням тертя. Основні результати роботи полягають у наступному.

1. Здійснено розвиток методу Вінера Гопфа для його застосування до роз-в’язання мішаних задач теорії пружності для клина і конуса у випадку гладкого контакту і контакту з тертям, а саме:

запропоновано метод отримання асимптотичних оцінок для нескінченних до-бутків, які виникають при проведенні факторизації мероморфних функцій;

розроблено методику знаходження асимптотики