Київський нацiональний унiверситет iменi Tараса Шевченка

Верес Максим Миколайович

УДК 517.977

Мінімаксні методи оцінювання в лінійних задачах із параметром

01.05.04 - системний аналiз i
теорiя оптимальних рiшень

АВТОРЕФЕРАТ
дисертацiї на здобуття наукового ступеня
кандидата фiзико-математичних наук

Київ - 2004

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Київському нацiональному унiверситетi

iменi Tараса Шевченка.

Науковий керiвник:    доктор фiзико-математичних наук, професор

Наконечний Олександр Григорович,

завiдувач кафедри системного аналiзу та теорії

прийняття рiшень Київського нацiонального

унiверситету iменi Тараса Шевченка.

Офіційні опоненти:    доктор фізико-математичних наук, професор

Сопронюк Федір Олексійович,

декан факультету комп’ютерних наук, завідувач

кафедри математичних проблем управління і

кібернетики Чернівецького національного

університету імені Юрія Федьковича.

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Матвієнко Володимир Тихонович,

доцент кафедри моделювання складних систем

факультету кібернетики Київського національного

університету імені Тараса Шевченка

Провідна установа:    Інститут кібернетики імені В.М.Глушкова

НАН України, відділ математичних методів

дослідження операцій, м. Київ.

Захист відбудеться 20 січня 2005 р. о 14 годині на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д 26.001.35 Київського національного

університету імені Тараса Шевченка

(03127, Київ, просп. Глушкова, 2, корпус 6, факультет кібернетики, ауд.40).

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці

Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою:

01033, Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий 17 грудня 2004 року

Вчений секретар

спецiалiзованої вченої ради Зінько П.М.

Загальна характеристика роботи

Актуальність дисертації. У зв’язку з розвитком технічного прогресу і виникненням великого класу задач для якого потребувались нові математичні методи в останні десятиріччя теорія мінімаксного оцінювання для різних систем неперервно розвивається і знаходить застосування при побудові систем керування, функціонуючих в умовах невизначеності, систем автоматизованої обробки спостережень експериментів в різних областях науки. Дослідження цього напрямку знайшли відображення в працях Л.С. Понтрягіна, М.М. Красовського, О.Б. Куржанського, Р. Белмана та інших.

Методи мінімаксного оцінювання параметрів становлять один із важливих напрямків теорії оцінювання в умовах невизначеності. Мінімаксний підхід дозволяє знаходити оптимальні оцінки параметрів у випадках обробки спостережень спотворених шумами, інформація відносно яких невідома повністю.

Для задач мінімаксного оцінювання спостережень принципові результати були отримані в роботах Б.М. Бублика та О.Г. Наконечного, Ю.К. Подлипенка, Б.М. Пшеничного, М.Ф. Кириченка, В.М. Кунцевича та їх учнів. При отриманні оптимальних оцінок використовувалась однозначна розв’язність задач при умові, що праві частини рівнянь і граничні умови належать відповідним функціональним просторам. В роботах О.Г. Наконечного знайдені системи операторних рівнянь, через розв’язки яких виражаються мінімаксні оцінки параметрів і похибки мінімаксного оцінювання вхідних рівнянь.

Незважаючи на значну кількість робіт в цьому напрямку, проблема мінімаксного оцінювання за неповними даними розв’язків рівнянь із параметрами по результатам спостережень з оточуючими шумами для алгебраїчних, різницевих та диференціальних рівнянь, при спеціальних обмеженнях на невідомі функції, до теперішнього часу була невивченою.

Актуальність цих проблем пов’язана із задачами, які виникають в різних областях, таких як, дослідження різного роду сигналів в радіофізиці (акустичних), електродинаміці, теплофізиці, які описуються диференціальними рівняннями з частинними похідними і при певних умовах можуть зводитись до задач оцінювання більш простих моделей з параметрами.

Розробка конструктивних методів дозволяє їх застосовувати до реальних задач прогнозування та прийняття рішень.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана на кафедрі системного аналізу та теорії прийняття рішень факультету кібернетики Київського національного університету iменi Тараса Шевченка в рамках держбюджетної теми № 01БФ015-01 "Розвиток теорії і програмного забезпечення стохастичних та алгебраїчних систем із застосуванням в економіці, соціології, техніці та освіті" (2001 - 2005 рр.).

Мета і задачі дослідження. Мета дисертації полягає:

в розробці методів мінімаксного оцінювання лінійних функціоналів для алгебраїчних, різницевих та диференціальних рівнянь із параметрами, при спеціальних обмеженнях на невідомі функції;

для спеціального виду областей, одержати мінімаксні алгоритми оцінювання розв’язків задач з параметром;

дослідити властивості апріорних і апостеріорних мінімаксних оцінок і похибок мінімаксного оцінювання при спеціальних обмеженнях на невідомі функції.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що:

доведені теореми щодо вигляду мінімаксних оцінок і похибок мінімаксного оцінювання розв’язків лінійних алгебраїчних, різницевих, диференціальних рівнянь з параметром;

доведені теореми щодо властивостей апріорних і апостеріорних мінімаксних оцінок і похибок мінімаксного оцінювання при спеціальних обмеженнях на невідомі функції;

для спеціальних, практично важливих, класів функцій одержано конструктивні мінімаксні процедури оцінювання розв’язків в термінах перетворення Фур’є.

Отримані в дисертації результати доповнюють загальну теорію мінімаксного оцінювання.

Практичне значення одержаних результатів. Результати роботи можуть бути використані при дослідженні та побудові автоматизованих систем обробки різного роду сигналів в радіофізиці (акустичних джерел, та інших), електродинаміці, теплофізиці, та інших.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи, що виносяться до захисту, одержані автором особисто. Науковому керівнику проф. Наконечному О.Г. належить постановка задач та їх обговорення.

Апробація результатів дисертації. Основні результати доповідались на Міжнародній конференції “PROBLEMS OF DECISION MAKING AND CONTROL UNDER UNCERTAINTIES (PDMU-2002)”(Канів, травень 2002), Міжнародній конференції “PROBLEMS OF DECISION MAKING UNDER UNCERTAINTIES (PDMU-2003)”(Алушта, вересень 2003), Міжнародній конференції “PROBLEMS OF DECISION MAKING UNDER UNCERTAINTIES (PDMU-2004)”(Тернопіль, травень 2004), наукових семінарах факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Публікації. За темою дисертації у фахових виданнях затверджених ВАК України, опубліковано 5 статей, а також 3 тези.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, п’яти розділів, висновків, списку використаної літератури (70 назв). Загальний об’єм дисертації (119 сторінок), з них (105 сторінок) основного змісту.

Основний зміст

У вступі до роботи викладено актуальність проблеми викладеної в дисертації, сформульовано мету роботи.

У першому розділі приведений огляд літератури та відомих результатів мінімаксного оцінювання параметрів задач пов’язаних з напрямком досліджень.

Другий розділ присвячений дослідженню мінімаксних задач оцінювання і керування в умовах невизначеності для лінійних алгебраїчних рівнянь.

Нехай є розв’язком лінійного алгебраїчного рівняння

, (1)

де параметр із простору , - квадратна матриця, що має комплексні елементи і така що , для всіх , - вектор із гільбертового простору над полем комплексних чисел, - лінійний обмежений оператор при кожному , що діє із гільбертового простору в простір , так що , де , функції із гільбертового простору .

Припустимо, що при деякому невідомому векторі спостерігається комплекснозначна вектор функція вигляду

, (2)

де , - область із скінченовимірного простору , , - матрична функція із комплексними елементами, - реалізації випадкового поля, неперервного в середньоквадратичному сенсі, при чому припускається, що , корреляційна функція - невідома, , , - вимірні за Лебегом функції і такі що

, . (3)

Припустимо також, що кореляційна функція належить деякій обмеженій множині - гільбертового простору .

Введемо функціонали , та та позначимо скорочено або . Лінійною оцінкою величин - назвемо вирази , де , , та - комплексні величини.

Означення 2.1. Оцінки , що знаходяться з умови

,

називаються лінійними мінімаксними середньоквадратичними (ЛМСК), а величини - мінімаксними похибками оцінювання.

Нехай функції , , є розв’язками рівнянь

, (4)

, (5)

де , - спряжені до матриць та відповідно, тоді мають місце твердження.

Твердження 2.1. Нехай множини

, (6)

де , , , непорожні, тоді має місце рівність

(7)

де

. (8)

Твердження 2.2. Нехай , та , тоді існує ЛМСК оцінка.

Нехай далі в рівнянні (1) доданок має вигляд

,

Припустимо, що при деяких наперед невідомим векторам , та реалізації випадкового поля спостерігається комплекснозначна вектор функція виду (2), де - розв’язок рівняння

,

де , - вектори із гільбертового простору та над полем комплексних чисел, відповідно.

Доведено існування ЛМСК оцінки для функціоналів ,

, де функція із , та вектори із та , відповідно.

Далі покладемо обмеження на невідомі функції.

Нехай розв’язок рівняння (1). Припустимо, що спостерігається комплекснозначна функція , ,

, (9)

де - обмежена область із , - відомі матричні функції з, причому - реалізації випадкового, неперервного в середньоквадратичном полі, з нульовим математичним сподіванням

, . (10)

Отже вважаючи, що інформація відносно невідома, а також другі моменти поля невизначені точно та задовольняють умові

(11)

будемо шукати оцінки скалярного добутку , де - заданий вектор із , у класі лінійних оцінок вигляду . При обмеженнях (10), (11) на функції мають місце наступні лема та теореми.

Лема 2.1. Нехай задовольняють умовам (10), (11), введемо , як розв’язок рівняння

, (12)

при умові, . Тоді має місце рівність

.

Теорема 2.1. Припустимо, що множина - непорожня, тоді мінімаксна оцінка функціоналу має вигляд

,

де , , а функція визначається як розв’язок системи рівнянь

(13)

при цьому .

Теорема 2.2. При умовах Леми 2.1 мінімаксна оцінка функціоналу має вигляд

,

де функція визначається з розв’язку системи рівнянь

(14)

Нехай далі в рівнянні (1) доданок має вигляд . Отже визначається, як розв’язок лінійного алгебраїчного рівняння

. (15)

Припустимо, що спостерігається комплекснозначна функція , виду (9), причому задовольняє умовам (10), (11), також будемо вважати що - невідома функція із гільбертового простору над полем комплексних чисел, невизначена точно та задовольняє умові

. (16)

Будемо шукати оцінки скалярного добутку , де - заданий вектор із , у класі лінійних оцінок вигляду . При обмеженнях (10), (11), (16) на функції , мають місце наступні лема та теореми.

Лема 2.2. Нехай задовольняють умовам (10), (11), (16), введемо як розв’язок рівняння , тоді має місце рівність

.

Теорема 2.3. Мінімаксна оцінка фунціоналу має вигляд

,

де , , а функція визначається як розв’язок системи рівнянь

(17)

Теорема 2.4. При умовах Леми 2.2 мінімаксна оцінка функціоналу має вигляд

,

де функція визначається з розв’язку системи рівнянь

(18)

Далі розглянемо випадок, коли спостерігається комплекснозначна функція , , що залежить від випадкових величин, тобто спостереження мають вигляд

, (19)

де - реалізація випадкового вектора із простору , що має відомий розподіл, - вимірні за Лебегом по сукупності змінних функції і такі що , а розв’язок лінійного алгебраїчного рівняння (15), де , а на матрицю та оператор накладаються обмеження . Будемо шукати оцінки скалярного добутку , де - заданий вектор із , у класі лінійних оцінок вигляду , де , . При обмеженнях (10), (11), (16) на функції , мають місце наступні лема та теореми.

Лема 2.3. Нехай , задовольняють умовам (10), (11), (16), введемо як розв’язок рівняння , тоді має місце співвідношення

.

Означення 2.2. Оцінка вигляду , де вектор мінімізує функціонал виду

,

називається квазімінімаксною.

Теорема 2.5. Квазімінімаксна оцінка функціоналу має вигляд

,

де , , а функція визначається як розв’язок системи рівнянь

(20)

Теорема 2.6. При умовах Леми 2.3 квазімінімаксна оцінка функціоналу має вигляд

, при ,

де функція визначається з розв’язку системи рівнянь

(21)

причому .

Наслідок 1. Нехай - приймає скінчене значення , з відповідними ймовірностями , тоді квазімінімаксна оцінка функціоналу має вигляд

, ,

де вектор має вигляд , а функція , визначається з розв’язку системи рівнянь

(22)

Отже для дискретного має місце твердження.

Твердження.2.9 Мінімаксна оцінка функціоналу має вигляд

,

де вектор мінімізує функціонал виду

,

де - матриця з елементами.

, а функція визначається, як розв’язок системи рівнянь (22).

Далі розглядаються апостеріорні мінімаксні оцінки для лінійних алгебраїчних рівнянь.

Нехай спостерігається комплекснозначна функція , виду (9). Введемо множину

Тоді має місце теорема.

Означення 2.3. Вектор , який знаходиться з умови

,

називається мінімаксною апостеріорною оцінкою виразу , а величина - мінімаксною апостеріорною похибкою оцінювання, де - розв’язок рівняння .

Теорема 2.7. Апостеріорна мінімаксна оцінка функціонала співпадає з мінімаксною . Нехай визначаються з рівнянь (21), (22) тоді

,,

при цьому

.

Третій розділ присвячений дослідженню мінімаксних задач оцінювання і керування в умовах невизначеності для різницевих рівнянь.

Нехай є розв’язком різницевого рівняння

, , (23)

, де - комплексна матриця, , , лінійний неперервний оператор , , - невідомі функції із гільбертового простору над полем комплексних чисел відповідно.

Розглянемо на інтервалі комплекснозначну функцію ,

, (24)

де- відомі матричні функції з комплексними елементами, - функція із , причому , , - вимірні за Лебегом функції і такі що , або крім того - обмежена по , , , . При деяких наперед невідомих векторах , та реалізації випадкового поля спостерігається вектор функція виду (24), де - розв’язок рівняння (23). Доведено твердження існування ЛМСК оцінки для функціоналів , , де функція із , та вектори із та , відповідно, мають місце твердження аналогічні відповідному випадку першого розділу.

У випадку коли - реалізації випадкового, неперервного в середньоквадратичному полі, з нульовим математичним сподіванням

, (25)

, (26)

де - неперервні функції на множині відповідно і неперетворюються там в нуль. При оцінюванні лінійного функціоналу , в класі лінійних оцінок вигляду , де , за умов (25), (26) мають місце наступні теореми.

Теорема 3.1. Мінімаксна оцінка функціоналу має вигляд

,

де , а функція визначається як розв’язок системи рівнянь

(27)

Теорема 3.2. При умовах Теореми 3.1 мінімаксна оцінка функціоналу має вигляд

,

де функція визначається з розв’язку системи рівнянь

(28)

Нехай далі в рівнянні (23) доданок має вигляд , отже є розв’язком різницевого рівняння

, . (29)

Припустимо, що на інтервалі спостерігається комплекснозначна функція виду (24), причому задовольняє умовам (25), (26), також будемо вважати що - невідомі функції із гільбертового простору , над полем комплексних чисел відповідно, невизначені точно та така, що функції належать множині вигляду

, (30)

де - неперервні функції на множині відповідно і неперетворюються там в нуль. При обмеженнях (25), (26), (30) на функції мають місце наступні теореми.

Теорема 3.3. Мінімаксна оцінка функціоналу має вигляд

,

де , а функція визначається як розв’язок системи рівнянь

(31)

Теорема 3.4. При умовах Теорема 3.3 мінімаксна оцінка функціоналу має вигляд

,

де функція визначається з розв’язку системи рівнянь

(32)

У випадку, коли на інтервалі спостерігається комплекснозначна функція , виду

,

де - реалізація випадкового вектора із простору - вимірні за Лебегом по сукупності змінних функції і такі що , а розв’язок різницевого рівняння (29), причому функції , задовольняє умовам (25), (26), (30), оцінюється скалярний добуток вигляду , мають місце твердження аналогічні відповідному випадку першого розділу.

Далі розглядаються апостеріорні мінімаксні оцінки для різницевих рівнянь.

Нехай на інтервалі спостерігається комплекснозначна функція виду (24). Введемо множину

.

Тоді має місце теорема.

Теорема 3.5. Апостеріорна мінімаксна оцінка функціонала співпадає з мінімаксною . Нехай визначаються з рівнянь (31), (32), тоді

,,

при цьому

.

Четвертий розділ присвячений дослідженню мінімаксних задач оцінювання і керування в умовах невизначеності для диференціальних рівнянь.

Нехай розв’язок звичайного диференціального рівняння

, , (33)

припустимо, що належить при кожному - комплексна матриця, що має неперервні при кожному елементи на лінійний неперервний оператор , - невідомі функції із гільбертового простору над полем комплексних чисел відповідно.

На інтервалі спостерігається комплекснозначна функція , ,

, (34)

де - відомі матричні функції з , причому - вимірні за Лебегом функції і такі що .

Нехай далі припустимо, що при деяких наперед невідомим векторам та реалізації випадкового поля спостерігається вектор функція виду (34), де - розв’язок рівняння (33). Доведено твердження існування ЛМСК оцінки для функціоналів , , де функція із , та вектори із та , відповідно, мають місце твердження аналогічні відповідному випадку першого розділу.

У випадку коли - реалізації випадкового, неперервного в середньоквадратичного процесу, з нульовим математичним сподіванням

, , (35)

, (36)

де - неперервні функції на множині відповідно і неперетворюються там в нуль, а - функція із При оцінюванні лінійнного функціоналу , , де функція із , вектор із , в класі лінійних оцінок вигляду , за умов (35), (36) мають місце наступні теореми.

Теорема 4.1. Припустимо що множина непорожня. Тоді мінімаксна оцінка функціоналу має вигляд

,

де , , , а функція визначається як розв’язок системи рівнянь

(37)

Теорема 4.2. При умовах Теореми 4.1 мінімаксна оцінка функціоналу має вигляд , де функція визначається з розв’язку системи рівнянь

(38)

Розглянемо далі випадок коли , , а також другі моменти випадкового, неперервного, середньоквадратичного процесу невизначені точно, а відомо що вони задовольняють деяким умовам.

Нехай розв’язок звичайного диференціального рівняння

, . (39)

Припустимо, що на інтервалі спостерігається комплекснозначна функція , виду (34), причому задовольняє умовам (35), (36), також будемо вважати що , - невідомі функції із гільбертового простору , над полем комплексних чисел відповідно, невизначені точно та такі, що функції , належать множині вигляду

,

де неперервна на функція причому при деякій константі виконується нерівність , - константа. При обмеженнях (35), (36) на функції та , , що належать множині , мають місце наступні теореми.

Теорема 4.3. Мінімаксна оцінка функціоналу має вигляд

,

де , , а функція визначається як розв’язок системи рівнянь

(40)

Теорема 4.4. При умовах Теорема 4.3 мінімаксна оцінка функціоналу має вигляд

,

де функція визначається з розв’язку системи рівнянь

(41)

У випадку, коли на інтервалі спостерігається комплекснозначна функція , виду

, (42)

де - реалізація випадкового вектора із простору , - вимірні за Лебегом по

сукупності змінних функції і такі що , а розв’язок диференціального рівняння (39), причому задовольняє умовам (35), (36), також , належать множині , оцінюється скалярний добуток вигляду , мають місце твердження аналогічні відповідному випадку першого розділу.

Далі розглядаються апостеріорні мінімаксні оцінки для диференціальних рівнянь .

Нехай на інтервалі спостерігається комплекснозначна функція виду (34). Введемо множину

.

Тоді має місце теорема.

Теорема 4.5. Апостеріорна мінімаксна оцінка функціонала співпадає з мінімаксною . Нехай визначаються з рівняннь (40), (41), тоді

при цьому

П’ятий розділ присвячений дослідженню мінімаксних задач оцінювання і керування в умовах невизначеності для рівнянь з частинними похідними.

У першому параграфі розглядаються мінімаксні задачі спостереження для параболічних рівнянь.

Нехай на інтервалі спостерігаються функції , виду , причому узагальнений розв’язок рівняння

, (43)

де , при деяких наперед невідомих функціях , що належать простору та - відповідно, - диференціальний оператор вигляду

причому , - неперервні по функції.

Припускаємо, що функції належать множині вигляду

,

де неперервна на функція причому при дякій константі виконується нерівність . Шукаємо оцінку лінійного функціоналу вигляду , , в класі лінійних оцінок , . Як відомо мінімаксна оцінка знаходиться із умови .

Нехай узагальнений розв’язок рівняння належить по змінній простору .

Для функцій визначимо перетворення Фур’є

.

Рівнянню (43) поставимо у відповідність систему звичайних диференціальних рівнянь вигляду

, , (44)

де , .

Відмітимо, що так як в силу рівності Парсеваля то задача мінімаксного оцінювання може бути зведена до відповідної задачі для перетворення Фур’є, що є розв’язком рівняння (43) . У цьому випадку мають місце наступні лема і теореми.

Лема 5.1. Нехай функції налжать множині та задовольняють обмеженням . Введемо функцію як розв’язок рівняння

, де . (45)

Тоді має місце рівніст

.

Теорема 5.1. Мінімаксна оцінка має вигляд , де , а функція визначається, як розв’язок рівняння

,

де , при цьому .

Теорема 5.2. При умовах теореми 5.1, мінімаксна оцінка має вигляд

,

де функція знаходиться з розв’язку системи рівнянь

(46)

Теорема 5.3. Маємо місце альтернативне представлення , де є розв’язком рівняння

при цьому , де є розв’язком рівняння

У другому параграфі приводяться аналогічні розв’язки для гіперболічних рівнянь.

У третьому параграфі приводяться чисельні розрахунки для хвильового рівняння.

Висновки

В дисертаційній роботі досліджені задачі мінімаксного оцінювання розв’язків лінійних алгебраїчних, різницевих та диференціальних рівнянь із параметром в умовах невизначеності. Досліджені мінімаксні лінійні середньоквадратичні оцінки розв’язків та правих частин, а у випадку детермінованих невизначеностей – апостеріорні оцінки та похибки оцінювання. При спеціальних обмеженнях на невідомі параметри для диференціальних рівнянь, досліджені властивості мінімаксної оцінки та похибки оцінювання.

В роботі отримано такі результати:

У випадку загальних обмежень на невідомі функції та їх другі моменти при спостереженнях інтегрального типу доведені теореми існування оцінок.

Доведені теореми щодо вигляду мінімаксних оцінок і похибок мінімаксного оцінювання розв’язків лінійних алгебраїчних, різницевих, диференціальних рівнянь із параметром.

Доведені теореми щодо властивостей апріорних і апостеріорних мінімаксних оцінок і похибок мінімаксного оцінювання при спеціальних обмеженнях на невідомі функції.

Для спеціальних, практично важливих, класів функцій одержано конструктивні мінімаксні алгоритми оцінювання розв’язків в термінах перетворення Фур’є.

Список опублікованих праць автора за темою дисертаційної роботи

Верес М.М. Мінімаксний метод в задачах оцінки інтенсивності джерел з використанням перетворення Фур’є // Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки. - 2001. - №3. - С.200-205.

Верес М.М. Перетворення Фур’є в задачах мінімаксного оцінювання розв’язків задач Коші для параболічних рівняннь // Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки. - 2002. - №3. - С.173-178.

Верес М.М. Перетворення Фур’є в задачах мінімаксного оцінювання розв’язків задач Коші для рівнянь гіперболічного типу // Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки. - 2003. - №3. - С.170-175.

Наконечный А.Г. , Верес М.Н. К минимаксным оценкам решений и правых частей линейных алгебраических уравнений с параметром // Проблемы управления и информатики. - 2004. - №2. - С.75-85.

Верес М.М. До мінімаксних оцінок розв’язків та правих частин диференціальних рівнянь з параметром// Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки. - 2004.- №2. - С.189-193.

Верес М.М. Перетворення Фур’є в задачах мінімаксного оцінювання роз’язків краєвих задач // Тези міжнародної конференції “Problems of decision making and control under uncertainties (PDMU-2002)”, 2002. - С.56.

Верес М. М. Перетворення Фур’є в задачах мінімаксного оцінювання розв’язків рівнянь гіперболічного типу // Тези міжнародної конференції “Problems of decision making and control under uncertainties (PDMU-2003)”, 2003. - С.78.

Верес М. М. До мінімаксного підходу в задачах оцінки розв’язків алгебраїчних рівнянь із параметром.// Тези міжнародної конференції “Problems of decision making and control under uncertainties (PDMU-2004)”, 2004. - С.96-97.

Анотація

Верес М.М. Мінімаксні методи оцінювання в лінійних задачах із параметром. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.04 - системний аналіз і теорія оптимальних рішень. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2004.

В дисертації розглянуті методи мінімаксного оцінювання рівнянь із параметром при деяких наперед невідомих функціях та коли функції невизначені точно, а відомо що вони задовольняють деяким умовам.

Доведені теореми щодо вигляду мінімаксних оцінок і похибок мінімаксного оцінювання розв’язків лінійних алгебраїчних, різницевих, диференціальних рівнянь з параметром. Для перерахованих вище рівнянь доведені теореми щодо властивостей апріорних і апостеріорних мінімаксних оцінок і похибок мінімаксного оцінювання при спеціальних обмеженнях на невідомі функції. Показано, що такі оцінки виражаються через розв’язки спеціальних систем рівнянь, що мають єдиний розв’язок. Для спеціальних, практично важливих, класів функцій одержано конструктивні мінімаксні алгоритми оцінювання розв’язків у термінах перетворення Фур’є.

Ключові слова: мінімаксні оцінки, мінімаксні прогнозні оцінки, спостереження, системи інтегро-диференціальних рівнянь, перетворення Фур’є.

АННОТАЦИЯ

Верес М.М. Минимаксные методы оценивания в линейных задачах с параметром. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.04 - системный анализ и теория оптимальных решений. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2004.

В диссертации рассмотрены методы минимаксного оценивания решений уравнений с параметром при некоторых заведомо неизвестных функциях, также, если функции неопределенны точно, а известно, что они удовлетворяют некоторым условиям.

Пусть решение линейного алгебраического уравнения

,

где , - функция из , - матрица с комплекснозначными элементами, , линейный непрерывный оператор , неизвестная функция , где – гильбертово пространство.

Предположим, что наблюдается комплекснозначная функция , ,

,

где - ограниченная область из , - известные матричные функции из , - решение уравнения (1) из , - реализации случайного, непрерывного в среднеквадратичном поле, удовлетворяют условиям

,

где - непрерывные функции на множестве и неравны там нулю.

Задача минимаксного оценивания состоит в том, чтобы по наблюдениям , при условиях на и на неизвестную функцию найти оценки скалярного произведения ,, где - заданный

вектор из в классе линейных оценок вида

, где , .

Минимаксная линейная оценка находится из условия

,

а минимаксная погрешность оценивания .

Доказаны теоремы относительно вида минимаксных оценок и погрешностей минимаксного оценивания решений линейных алгебраических, разностных, дифференциальных уравнений с параметром. Для вышеперечисленных уравнений доказанные теоремы относительно свойств априорных и апостериорных минимаксных оценок и погрешностей минимаксного оценивания при специальных ограничениях на неизвестные функции. Показано что такие оценки выражаются через решение специальных систем уравнений, которые имеют единственное решение. Для специальных, практически важных, классов функций получены конструктивные минимаксные процедуры оценивания решений в терминах преобразования Фурье.

Ключевые слова: минимаксные оценки, минимаксные прогнозные оценки, наблюдения, системы интегро-дифференциальных уравнений, преобразование Фурье.

the SUMMARY

Veres M.M. Minimax methods of estimation in linear problems with parameter. - Manuscript.

Thesis for the Degree of Candidate of Sciences in Physics and Mathematics in speciality 01.05.04 - system analysis and theory of optimal decisions. Taras Shevchenko National University, Kyiv, 2004.

In the dissertation methods of minimax estimation of the equations with parameter are considered at some obviously unknown functions, also if functions are not determined precisely, and it is known that they satisfy some conditions.

Theorems concerning a kind minimax estimations and errors of minimax estimation of decisions linear algebraic, difference and differential equations are proved. For the set forth above equations the proved theorems concerning properties aprioristic and a posteriori minimax estimations and errors minimax estimation at special restrictions on unknown functions. It is shown that such estimations are expressed through the decision of special systems of the equations, which have the unique decision. For special, practically important, classes of functions constructive minimax procedures of estimation of decisions in terms of Couchet transformation are received.

Key words: minimax estimations, minimax prognosis estimations, supervision, systems of integro-differential equations, Couchet transformation.