НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ФІЗИКО-ТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ НИЗЬКИХ ТЕМПЕРАТУР

ім. Б. І. ВЄРКІНА

БОЙКО Максим Сергійович

УДК 517.986

ДИНАМІЧНА ЕНТРОПІЯ АВТОМОРФІЗМІВ

ГРУП ТА ГРУПОВИХ АЛГЕБР

01.01.01 Ї ?атематичний аналіз

А в т о р е ф е р а т

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Харків – 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Фізико-технічному інституті низьких температур

ім. Б.І. Вєркіна НАН України.

Науковий керівник:

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник

Нeссонов Микола Іванович,

Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, м. Харків,
старший науковий співробітник відділу математичної фізики

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, член-кор. НАН України, професор

Самойленко Юрій Стефанович,

Інститут математики НАН України, м. Київ,

завідувач відділу функціонального аналізу

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Лодкін Андрій Олександрович,

Санкт-Петербурзький державний університет, м. Санкт-Петербург,

доцент кафедри математичного аналізу

Провідна установа:

Харківський національний університет ім. В.Н. Каразіна, механіко-математичний факультет, кафедра математичного аналізу, м. Харків

Захист відбудеться “20” грудня 2005 року о 13-30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.175.01 у Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України за адресою: 61103, м. Харків, пр. Леніна, 47.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України за адресою: 61103, м. Харків, пр. Леніна, 47.

Автореферат розісланий “15” листопада 2005 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В.О.Горькавий

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Поняття ентропії як міри інформації з’явилося в 40-х роках минулого сторіччя у роботах К. Шеннона. Адаптація цих ідей А.М. Колмогоровим та Я.Г. Сінаєм (1958–1959 р.р.) до важливих задач ергодичної теорії поклала початок ентропійної теорії динамічних систем. Першим видатним досягненням у цьому напрямку стало доведення того факту, що ентропія є повним інваріантом еквівалентності зсувів Бернуллі (А.М. Колмогоров – Я.Г. Сінай – Д. Орнстейн).

Ентропійна теорія на протязі свого розвитку знайшла і знаходить застосування у різних задачах квантової фізики, алгебри, функціонального аналізу. Відзначимо, що дуже цікаві ентропійні властивості мають динамічні системи алгебраїчного походження. Наприклад, В.А. Рохліну належить видатний результат, який твердить, що ентропія ергодичного автоморфізму компактної абелевої групи позитивна. Цей факт став одним із стимулів для досліджень у цій роботі.

У 70–х роках було введено поняття класичної топологічної ентропії та досліджено його зв'язок з ентропією метричного автоморфізму. Природним розвитком ентропійної теорії стали спроби поширити поняття ентропії на випадок автоморфізмів алгебр фон Неймана (метричний варіант), або, більш узагальнено, на випадок автоморфізмів –алгебр (топологічний варіант). У 1975 р. відповідне узагальнення було запропоновано А. Конном та Е. Стермером для автоморфізму –алгебри зі скінченим інваріантним слідом. Пізніше, у 1987 р., визначення ентропії було поширено А. Конном, Х. Нарнхофер та У. Тіррінгом на загальний випадок –алгебри та на випадок –алгебри, яка має інваріантний відносно автоморфізму стан. Цей інваріант отримав назву CNT–ентропія.

Д. Войкулеску у 1995 р. запропонував поняття топологічної ентропії, що відрізняється від CNT–ентропії. Ентропія Войкулеску є узагальненням класичної топологічної ентропії та, взагалі кажучи, мажорує CNT–ентропію.

Відзначимо, що у класичній ентропійній теорії багато уваги приділяється ентропії автоморфізмів абелевих груп. При цьому ентропія автоморфізму дискретної групи у класичній теорії, як правило, розуміється як ентропія відповідного автоморфізму дуальної компактної групи. На компактних групах розглядається міра Хаара, і, таким чином, для групового автоморфізму групи можна досліджувати ентропію Колмогорова-Сіная.

Дж. Петерс ще у 1979 р. ввів інше (алгебраїчне) визначення ентропії автоморфізму дискретної комутативної групи, яке еквівалентне розглянутому раніше поняттю. Нещодавно, у 2002 році, М. Чода та Н. Браун і Е. Жерме запропонували два різних поняття ентропії автоморфізму дискретної аменабельної зліченної групи. Подальше дослідження та розвиток цих понять видаються цікавими у зв'язку з їх застосуванням до оцінки динамічної ентропії для деяких систем алгебраїчного походження.

На сьогодні динамічна ентропія обчислена для багатьох систем топологічного, алгебраїчного та фізичного походження: некомутативних бернулліївських та марковських зсувів, зсувів алгебр Темперлі-Ліба, класу бінарних зсувів та боголюбовських автоморфізмів CAR та CCR-алгебр. Отримано також оцінки для ентропії автоморфізмів некомутативних торів та канонічних зсувів алгебр Окнеану. Обчисленню ентропії присвячені роботи А. Конна, Д. Войкулеску, Е. Стермера, В.Я. Голодця, М. Чоди, Н. Брауна, Е. Жерме, С.В. Нешвєєва.

Таким чином, видається актуальним дослідження ентропії автоморфізмів груп, а також отримання явних формул та оцінок для динамічної ентропії автоморфізмів, що мають алгебраїчне походження.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Tему дисертаційної роботи затверджено на засіданні Вченої ради математичного відділення ФТІНТ ім. Б.І. Вєркіна НАН України (протокол № 5 від 20 листопада 2003 року). Роботу виконано у рамках тематичних планів ФТІНТ за темами 1.4.10.22.7 "Алгебраїчні та аналітичні методи в теорії операторів та теорії динамічних систем" (№ держреєстрації 0100U000485) та 1.4.10.22.8 "Аналітичні методи в теорії операторних алгебр, динамічних систем та теорії розсіювання" (№ держреєстрації 0103U000313).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є обчислення та оцінка ентропії для деяких класів автоморфізмів груп та –алгебр, а саме:

- отримання формул для динамічної ентропії автоморфізмів зсуву на II1–фактор-зображеннях групи ,

- обчислення ентропії боголюбовських автоморфізмів на II1–фактор-зображеннях групи ,

- обчислення ентропії для класу автоморфізмів зліченної підгрупи тора та оцінка динамічної ентропії відповідних автоморфізмів схрещеного добутку цієї підгрупи та –алгебри неперервних функцій на торі.

Об'єкт дослідження. Ентропія автоморфізмів груп та динамічна ентропія автоморфізмів – (–) алгебр.

Предмет дослідження. Ентропія автоморфізмів зліченної підгрупи тора та динамічна ентропія пов'язаних з ним автоморфізмів схрещеного добутку, динамічна ентропія автоморфізмів зсуву на II1–фактор-зображеннях групи і боголюбовських автоморфізмів на II1–фактор-зображеннях групи .

Методи дослідження. У дисертаційній роботі використані методи ентропійної теорії, теорії зображень груп, асимптотичної теорії характерів великих груп, теорії симетричних та суперсиметричних функцій, а також методи гармонічного аналізу.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі результати роботи є новими та полягають у наступному:

1) отримано явну формулу для обчислення CNT–ентропії автоморфізму зсуву на II1–фактор-зображені групи . Формула дозволяє обчислити ентропію автоморфізму зсуву в залежності від набору параметрів Тома;

2) отримано явну формулу CNT–ентропії для класу усіх боголюбовських автоморфізмів на II1–фактор-зображеннях групи , за винятком тих автоморфізмів, які відповідають унітарному оператору з сингулярною спектральною мірою і діють на зображені такому, що ;

3) розвинено апарат обчислення ентропії Чоди автоморфізмів дискретних груп. Доведено зв'язок ентропії Чоди з класичною ентропією Колмогорова-Сіная у комутативному випадку;

4) отримано оцінку топологічної ентропії Войкулеску для деякого класу автоморфізмів –алгебр, конструкція яких отримана як схрещений добуток алгебри неперервних функцій на торі та дискретної підгрупи тора.

Практичне значення одержаних результатів. Робота носить теоретичний характер. Її методи та результати можуть бути використані при дослідженні ергодичних властивостей автоморфізмів операторних алгебр, а також для подальшого вивчення ентропії автоморфізмів дискретних груп.

Особистий внесок здобувача. Тема дослідження та постановки задач із розділів 2-4 належать Нессонову Миколі Івановичу. Постановки задач із розділу 5 належать Голодцю Валентину Яковичу. Спільно з Нессоновим М.І. отримано результати пунктів 2.3.2, 2.3.4 та підрозділу 3.1. Спільно з Голодцем В.Я. отримано Теорему 5.4. Усі інші результати одержані здобувачем самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідалися на Міжнародній конференції “John von Neumann Centennial Conference”, (м. Будапешт, листопад 2003 р.), на Міжнародній конференції “Representation Theory, Dynamical Systems, and Asymptotic Combinatorics”, присвяченій 70-річчю зі дня народження А.М. Вершика (м. Санкт-Петербург, червень 2004 р.), та на семінарі ФТІНТ ім. Б.І. Вєркіна НАН України з ергодичної теорії.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у статтях [1-3].

Структура та обсяг дисертації. Дисертація викладена російською мовою та складається зі вступу, основної частини (розділи 1-5), висновків та списку використаних джерел (60 найменувань). Обсяг дисертації 133 сторінки. Обсяг списку використаних джерел 6 сторінок.

Автор щиро дякує науковому керівнику Нессонову М.І. за постановки задач та увагу до роботи над дисертацією, а також Голодцю В.Я. за постановки задач та плідну співпрацю.

ВИСНОВКИ

У дисертації доведено нескінченність CNT–ентропії автоморфізму зсуву на II1–фактор-зображенні групи у випадку , де та – параметри Тома характеру . Одержано явну формулу для обчислення CNT–ентропії автоморфізму зсуву на –фактор-зображенні групи у випадку . Формула дозволяє обчислювати ентропію автоморфізму за набором параметрів Тома (,).

Доведено нескінченність CNT–ентропії боголюбовського автоморфізму на II1–фактор-зображені групи у випадку та оператора , де . Для характеру у випадку та довільного унітарного оператора отримана явна формула для CNT–ентропії автоморфізму . Побудовано приклад унітарного оператора з сингулярною спектральною мірою, такою що CNT–ентропія боголюбовського автоморфізму дорівнює 0.

Розвинено апарат обчислення ентропії Чоди автоморфізмів дискретних груп. Доведено зв’язок ентропії Чоди з класичною ентропією Колмогорова-Сіная. Одержана оцінка топологічної ентропії Войкулеску для певного класу автоморфізмів –алгебри, конструкція якої отримана як схрещений добуток алгебри неперервних функцій на торі та дискретної підгрупи тора.

Методи та результати досліджень можуть бути використані при дослідженні ергодичних властивостей автоморфізмів операторних алгебр, а також для подальшого вивчення ентропії автоморфізмів дискретних груп.

СПИСОК ПУБЛІКАЦІЙ ЗДОБУВАЧА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Boyko M. S., Golodets V. Ya. Dynamical entropy for a class of algebraic origin automorphisms // Математична фізика, аналіз, геометрія. – 2001. – Вип.8. – №4. – С. 385–391.

2. Boyko M. S., Nessonov N. I. Entropy of Bogoliubov automorphisms on II1–representations of the group // Methods Funct. Anal. Topology. – 2003. – V.9. – №4. – P. 317–332.

3. Boyko M. S., Nessonov N. I. Entropy of the shift on II1–representations of the group // Український математичний вісник. – 2005. – Вип.2. – №1. – С. 15–37.

АНОТАЦІЯ

Бойко М.С. Динамічна ентропія автоморфізмів груп та групових алгебр. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Фізико-технічний інститут низьких температур НАН ім. Б.І. Вєркіна України, Харків, 2005.

Одержано явну формулу для обчислення CNT–ентропії автоморфізму зсуву на II1–фактор-зображенні групи . Формула дозволяє обчислити ентропію автоморфізму зсуву в залежності від набору параметрів Тома. Для класу боголюбовських автоморфізмів на II1–фактор-зображеннях групи також одержано явну формулу CNT–ентропії.

Розвинено апарат обчислення ентропії Чоди автоморфізмів дискретних аменабельних груп. Доведено зв'язок ентропії Чоди з класичною ентропією Колмогорова-Сіная у комутативному випадку. Отримано оцінку ентропії Войкулеску для деякого класу автоморфізмів –алгебр, конструкція яких отримана як схрещений добуток алгебри неперервних функцій на торі та дискретної підгрупи тора.

Ключові слова: ентропія автоморфізму, динамічні системи, фактор-зображення, автоморфізми тору.

АННОТАЦИЯ

Бойко М.С. Динамическая энтропия автоморфизмов групп и групповых алгебр. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины, Харьков, 2005.

Диссертационная работа относится к энтропийному разделу эргодической теории. В работе изучены некоторые классы динамических систем алгебраического происхождения и получены явные формулы или оценки для энтропии соответствующих автоморфизмов.

В частности, в диссертации впервые изучается энтропия автоморфизмов на II1–пред-ставлениях групп и . Эти группы относятся к классу так называемых больших групп. На факторах типа II1, построенных по представлениям групп и , естественным образом возникают соответственно автоморфизмы сдвига и боголюбовские автоморфизмы. В то же время, множества характеров данных групп описываются соответствующими наборами параметров. Вычислению CNT–энтропии рассматриваемых автоморфизмов в зависимости от наборов параметров, которые соответствуют характеру представления, посвящены 2-4 разделы диссертационной работы.

В разделе 2 получена явная формула для вычисления CNT–энтропии автоморфизма сдвига на II1–фактор-представлении группы . Формула позволяет вычислить энтропию автоморфизма сдвига по набору параметров Тома. Важную роль в исследованиях энтропии автоморфизма сдвига играют операторы, изученные в работах А. Окунькова. В случае, когда сумма параметров Тома меньше единицы, доказана бесконечность CNT–энтропии автоморфизма сдвига. Если же параметры в сумме дают единицу, в диссертации доказываются оценки CNT–энтропии сверху и снизу. При этом разработаны два метода получения оценки снизу: первый – для случая конечного числа параметров, отличных от нуля, а второй – для случая бесконечного числа ненулевых параметров Тома. При доказательстве оценки сверху CNT–энтропии автоморфизма сдвига в работе используется конструкция фактора Пауэрса.

В разделах 3-4 получена явная формула CNT–энтропии для боголюбовских автоморфизмов на II1–фактор-представлениях группы . Формула справедлива для всех автоморфизмов, кроме тех, которые отвечают унитарному оператору с сингулярной спектральной мерой и действуют на таком представлении группы , что . В случае регулярного представления построен пример такого унитарного оператора с сингулярной спектральной мерой, что энтропия соответствующего боголюбовского автоморфизма равна нулю.

В разделе 5 исследована связь энтропии автоморфизмов дискретных счетных аменабельных групп с классической энтропией. Развит аппарат вычисления энтропии Чоды автоморфизмов дискретных групп. Доказано совпадение энтропии Чоды с классической энтропией Колмогорова-Синая в коммутативном случае. Получена монотонность энтропии Чоды при сужении автоморфизма на подгруппу дискретной счетной аменабельной группы. Данные результаты применены к оценке топологической энтропии Войкулеску для некоторого класса автоморфизмов –алгебр. Конструкция этих алгебр получена как скрещенное произведение алгебры непрерывных функций на торе и дискретной подгруппы тора, определяемой экспансивным автоморфизмом тора. Автоморфизм скрещенного произведения индуцирован тем же экспансивным автоморфизмом тора.

Работа имеет теоретический характер. В ней развиты методы для изучения динамических систем на больших группах с энтропийной точки зрения. Явные формулы для динамической энтропии позволяют отвечать на вопросы об изоморфизме конкретных автоморфизмов факторов. Результаты, полученные в работе, могут быть использованы для изучения эргодических свойств автоморфизмов динамических систем и для дальнейшего изучения энтропии автоморфизмов дискретных групп.

Ключевые слова: энтропия автоморфизма, динамические системы, фактор-представления, автоморфизмы тора.

ABSTRACT

Boyko M.S. Dynamical entropy for automorphisms of groups and group algebras. - Manuscript.

Thesis for a candidate's degree of physical and mathematical sciences by speciality 01.01.01 - mathematical analysis. – B. Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering, Kharkiv, 2005.

We obtain an explicit formula for the CNT–entropy of the shift automorphism on II1–factor-representations of the infinite symmetric group . This formula enables us to calculate the shift entropy by the Thoma-parameters of the representation. For Bogoliubov automorphisms on II1–representations of we obtain explicit formula for the CNT–entropy as well.

We develop the methods for the calculation of Choda entropy for automorphisms of discrete amenable groups. It is proved that the Choda entropy equals to the classical Kolmogorov-Sinai entropy in the case of an Abelian group. We obtain the upper bound of the Voiculescu entropy for some class of -algebra automorphisms. The construction of the considered dynamical systems has the algebraic origin and it is generated by the expansive torus automorphism.

Key words: automorphism entropy, dynamical systems, factor-representations, torus automorphisms.