Київський національний університет

імені Тараса Шевченка

БЄЛОУСОВА Наталія Борисівна

УДК 517.977:681.5.015

РОЗВИТОК АДАПТИВНИХ АЛГОРИТМІВ ІДЕНТИФІКАЦІЇ ТА КЕРУВАННЯ НА ОСНОВІ МЕТОДУ ФУНКЦІЙ ЛЯПУНОВА

01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико–математичних наук

Київ 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі моделювання складних систем факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор

ГАРАЩЕНКО Федір Георгійович,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка, факультет кібернетики,

завідувач кафедри моделювання складних систем

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

МАЗКО Олексій Григорович,

Інститут математики НАН України,

провідний науковий співробітник

кандидат фізико-математичних наук, доцент

НАВРОДСЬКИЙ Володимир Олександрович,

Київський національний університет культури і мистецтва,

доцент кафедри економіки

Провідна установа: Інститут кібернетики імені В.М.Глушкова НАН України,

відділ математичного моделювання проблем екології та енергетики, м. Київ.

Захист відбудеться „29” вересня 2005р. о 14 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д. 26.001.35 Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою:

03127, Київ, пр. Глушкова, 2, корп. 6, ф-т кібернетики, ауд. 40.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою:

01033, Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий „____” серпня 2005р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради ЗІНЬКО П.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Аналіз та розробка адаптивних систем керування з еталонною моделлю є одним з актуальних напрямів сучасної теорії автоматичного керування. Такі системи розглядались у працях багатьох вчених, зокрема: A. Annaswamy, I.D. Landau, G. Luders, K. Narendra, P.C. Parks, Ф.Г. Гаращенка, С.Д. Землякова, М.Ф. Кириченка, В.Ю. Рутковського, І.Б. Ядикіна та інших.

Загальна задача адаптивного керування полягає у сумісному розв’язуванні задачі ідентифікації параметрів об’єкта керування та задачі керування об’єктом уже з відомими параметрами, що вкладається в схему непрямого керування. Важливе значення має також і сама задача ідентифікації, про що свідчать численні приклади з практики. Наприклад, при проведенні конструкторських розробок нових літальних апаратів, коли на основі теоретичних та експериментальних досліджень формується досить широке коло математичних моделей, після виготовлення перших дослідних екземплярів виконується робота з постановки натурного експерименту, головною метою якого є корегування та настройка адекватної математичної моделі, яка буде використовуватися при розв’язуванні задач керування даним об'єктом.

Оскільки літальний апарат змінює режими польоту, що описуються різними лінійними моделями, то алгоритми ідентифікації також мають (у режимі реального часу) адаптивно настроюватися на такі зміни режимів польоту. З потреб ефективного й безпечного керування польотами виникає необхідність адаптивної ідентифікації, яка б забезпечила надійність функціонування систем керування літального об’єкта.

У багатьох наукових дослідженнях для розв'язання задач адаптивної ідентифікації та керування з еталонною моделлю значну увагу приділено застосуванню другого методу Ляпунова. Дослідженням з цієї тематики присвячено праці як вже згаданих вище авторів, так і Є.А.Барбашина, В.М. Кунцевича, М.М. Личака, Ж. Ла-Салля, С. Лєфшеца, І.Г. Малкіна

Алгоритми проектування систем керування лінійними об’єктами, що побудовані на основі прямого методу Ляпунова, використовуються як базові методи в поєднанні з інтелектуальними системами контролю для розв’язування задач керування об’єктами з суттєво нелінійною структурою. Наприклад, у сукупності з методами лінеаризації такими, як використання системи базисних функцій нечіткої логіки, нейронних мереж, переключення між множиною кусково-лінійних моделей.

Усі перераховані вище фактори підтверджують актуальність досліджень задач, розв’язок яких спрямований на покращення методів проектування та поліпшення (в певному сенсі) характеристик систем ідентифікації і керування лінійними об’єктами. Тому побудова конструктивних алгоритмів адаптивної ідентифікації та керування з покращеними асимптотичними властивостями є актуальною задачею. Саме розвязуванню цієї задачі й присвячено дану дисертаційну роботу.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана відповідно до плану наукових досліджень кафедри моделювання складних систем факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка в межах науково-дослідних тем НДР №97063 "Розвиток теорії проектування складних систем на основі теорії стійкості та недиференційованої оптимізації" і №01БФ015-05 "Розробка структурованих математичних та програмних технологій для моделювання, аналізу, оцінки та оптимізації складних систем".

Мета й задачі дослідження. Метою роботи є дослідження задач адаптивної ідентифікації та керування лінійними системами з використанням другого методу Ляпунова, а також побудова ефективних конструктивних алгоритмів та вивчення їх властивостей.

Поставлена мета зумовлює розв’язування таких основних задач:

здійснення систематизації відомих алгоритмів розв’язування задач адаптивної ідентифікації й керування та їх модифікацію;

дослідження властивостей розв’язків задач адаптивної ідентифікації й керування;

отримання обмежень на параметри, що впливають на збіжність алгоритмів адаптивної ідентифікації й керування;

побудова ітераційного та рекурентного алгоритмів оцінки параметрів і розв’язання питання про існування та єдиність розв'язку узагальненої задачі.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати дисертаційної роботи є новими. У дисертаційній роботі досліджено задачі адаптивної ідентифікації та керування, формулювання яких близьке до класичних задач ідентифікації та керування, але рівняння настройки параметрів мають модифіковану структуру. Для вирішення відомої у літературі проблеми залежності правих частин диференціальних рівнянь настройки матриць параметрів моделі від невідомих параметрів об’єкта у дисертації побудовано ітераційний і рекурентний алгоритми, що базуються на використанні градієнтних методів мінімізації деяких критеріїв. Сформульовано сумісну задачу непрямого керування з використанням рекурентного алгоритму ідентифікації. Досліджено диференціальні властивості функціоналів у ітераційному й рекурентному алгоритмах градієнтного типу, встановлено існування та єдиність розв'язків розглянутих задач і доведено теореми про збіжність методу проекції градієнта для задач мінімізації.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичне значення й можуть використовуватись при розв’язанні конкретних практичних задач. Алгоритми, розроблені в даній дисертаційній роботі, можуть знайти застосування для розв’язування задач ідентифікації при проведенні експериментальних досліджень зразків нової техніки. Запропонований рекурентний алгоритм ідентифікації дає можливість у режимі реального часу розв’язувати задачі непрямого керування. Деякі результати роботи використовуються при викладанні спеціальних курсів для студентів та аспірантів факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Особистий внесок здобувача. Усі основні результати дисертації отримано автором самостійно. У співавторстві з науковим керівником дисертантом побудовано алгоритми адаптивної ідентифікації та керування в лінійних системах, що базуються на другому методі Ляпунова та проведено дослідження властивостей запропонованих алгоритмів.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації доповідалися на VII Міжнародній науковій конференції імені акад. М. Кравчука (Київ, 1998); VIII Міжнародній науковій конференції імені акад. М. Кравчука (Київ, 2000); Міжнародній конференції "Моделювання та оптимізація складних систем" (Київ, 2001); Міжнародній конференції, присвяченій 80-річчю з дня народження академіка І.І. Ляшка (Київ, 2002); IV Міжнародній науково-технічній конференції "Гиро-технологии, навигация, управление движением и конструирование авиационно-космической техники" (Київ, 2003) і наукових семінарах кафедри моделювання складних систем Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Публікації. Основні положення дисертації опубліковано в десяти наукових працях, з яких 5 статей – у фахових наукових виданнях України та 5 наукових праць – у збірниках тез доповідей міжнародних конференцій.

Структура дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел, що містить 103 найменування, і одного додатку. Обсяг дисертації становить 127 с., список посилань викладено на 7 с., додаток – 5 с. Загальний обсяг дисертації – 139 с.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету, відзначено наукову новизну одержаних результатів і висвітлено практичне значення результатів дисертації.

У першому розділі дисертаційного дослідження подано огляд наукових досліджень з тематики дисертаційної роботи, висвітлено основні методи розв’язування задач адаптивної ідентифікації та керування. Проаналізовано існуючі підходи та шляхи розв’язування задач адаптивної ідентифікації та керування, що базуються на використанні другого методу Ляпунова. Розглянуто питання, що стосуються використання схем непрямого керування, які вимагають розробки та застосування якісних алгоритмів адаптивної ідентифікації. Указано на відкриті проблеми, що стосуються розв’язання задач адаптивної ідентифікації та керування, обґрунтовано необхідність розробки ітераційного й рекурентного алгоритмів адаптивної ідентифікації.

У другому розділі запропоновано та досліджено алгоритми адаптивної ідентифікації на основі другого методу Ляпунова.

У третьому розділі побудовано та досліджено алгоритми адаптивного керування з використанням еталонної моделі на основі прямого методу Ляпунова. Для розв’язання задачі непрямого керування побудовано такі моделі:

Еталонна модель:

Математична модель об'єкта:

Математична модель, що настроюється на об’єкт

Математична модель об'єкта з матрицями параметрів, визначеними у моделі (17):

Задача адаптивного керування полягає в сумісному розв’язуванні задач адаптивної ідентифікації та керування, а отже, маємо схему непрямого керування.

Задача адаптивної ідентифікації полягаєв настройці матриць параметрів моделі (17) на невідомі матриці параметрів об’єкта (16) з метою виконання граничних умов.

Задача керування полягає в тому, що модель об'єкта, що задається системою (18), настроюється на еталонну модель (15) з метою виконання граничних умов.

У підрозділі 3.2 формулюється об’єднана система диференціальних рівнянь задач адаптивної ідентифікації та керування з використанням другого методу Ляпунова аналогічно викладкам другого розділу.

У підрозділі 3.4 сформульовано алгоритм розв’язування сумісної задачі адаптивної ідентифікації та керування. Для розв’язування задачі ідентифікації (16), (17) використовується рекурентний алгоритм адаптивної ідентифікації, який подано в підрозділі 2.5. З розв’язку задачі мінімізації функціонала за поточний проміжок часу отримуються нові значення оцінок параметрів об’єкта (матриці ), які використовуються в задачі адаптивного керування (15), (18) на наступному проміжку часу. Тут – постійні на проміжку часу матриці параметрів, значення яких змінюються при переході на наступний проміжок часу за рекурентним алгоритмом.

Задача адаптивного керування з відомими матрицями параметрів на дискретних проміжках часу розв’язується згідно з алгоритмом, опис якого подано в підрозділі 3.4.1.

У четвертому розділі проведено апробацію створеного алгоритмічного та програмного забезпечення на модельних задачах і на прикладі задачі адаптивної ідентифікації параметрів літальних апаратів. Подано результати чисельного експерименту, що стосуються асимптотичних властивостей запропонованих алгоритмів.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі досліджено задачі адаптивної ідентифікації та керування, формулювання яких близьке до класичних задач ідентифікації та керування, але рівняння настройки параметрів мають модифіковану структуру. Для розв’язання відомих проблем залежності правих частин диференціальних рівнянь настройки матриць параметрів моделі від невідомих параметрів об’єкта запропоновано ітераційний і рекурентний алгоритми, які базуються на використанні градієнтних методів мінімізації побудованих критеріїв. Сформульовано сумісну задачу непрямого керування з використанням рекурентного алгоритму ідентифікації та досліджено стійкість розв’язку сумісної задачі керування.

Основні результати дисертації:

сформульовано задачу адаптивної ідентифікації та побудовано систему рівнянь настройки параметрів об’єкта на основі другого методу Ляпунова; встановлено асимптотичні властивості задачі адаптивної ідентифікації та доведено теореми про експоненціальну й асимптотичну стійкість;

отримано додаткові обмеження на функції Ляпунова, що забезпечують збіжність алгоритмів адаптивної ідентифікації та керування;

побудовано ітераційний і рекурентний алгоритми оцінки невідомих матриць параметрів об’єкта;

досліджено диференціальні і аналітичні властивості функціоналів у ітераційному та рекурентному алгоритмах градієнтного типу, доведено існування та єдиність розв'язків сформульованих задач і встановлено умови збіжності методів проекції градієнта для розглянутих задач мінімізації;

сформульовано сумісну задачу непрямого керування з використанням рекурентного алгоритму ідентифікації та досліджено стійкість розв’язку даної задачі;

розроблено програмне забезпечення та виконано чисельні експерименти з дослідження впливу різних параметрів розроблених алгоритмів на їх збіжність.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ

ДИСЕРТАЦІЇ

Гаращенко Ф.Г., Бєлоусова Н.Б. Алгоритми адаптивної ідентифікації та керування в лінійних системах, основані на другому методі Ляпунова // Вісн. Київ. ун-ту, фіз.-мат. науки. – 1998. – № 4. – С. 115-121.

Гаращенко Ф.Г., Белоусова Н.Б. Об устойчивых алгоритмах адаптивного управления линейными системами // Кибернетика и вычислительная техника. – 1999. – № 124. – С. 3-7.

Бєлоусова Н.Б. Матричні алгоритми ідентифікації у лінійних системах та аналіз їх стійкості // Вісн. Київ. ун-ту, фіз.-мат. науки. – 2000. – №2. – С.156-161.

Бєлоусова Н.Б. Рекурентний алгоритм адаптивної ідентифікації лінійних систем з використанням функцій Ляпунова // Вісн. Київ. ун-ту, фіз.-мат. науки. – 2003. – № 3. – С. 165-169.

Бєлоусова Н.Б. Дослідження алгоритму сумісного розв'язку задач адаптивного керування та ідентифікації в лінійних системах з використанням функцій Ляпунова // Журнал обчислювальної та прикладної математики. – 2003. – №. 2(89) – С. 1-4.

Гаращенко Ф.Г., Бєлоусова Н.Б. Розвиток адаптивних алгоритмів керування та ідентифікації на основі методу функцій Ляпунова // Мат. VII міжнар. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука. – Київ. – 1998. – С. 106.

Бєлоусова Н.Б. Розробка алгоритму адаптивної ідентифікації з використанням функцій Ляпунова // Мат. VIII міжнар. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука. – Київ. – 2000. – С. 108.

Бєлоусова Н.Б. Розробка та дослідження алгоритму адаптивного керування з використанням функцій Ляпунова // Мат. міжнар. конф. "Моделювання та оптимізація складних систем". – Київ. – 2001. – С. 75-76.

Бєлоусова Н.Б. Аналіз асимптотичних властивостей алгоритму адаптивної ідентифікації // Мат. міжнар. конф., присвяченої 80-річчю від дня народження академіка І.І. Ляшка – Київ. – 2002. – С. 13.

Бєлоусова Н.Б. Рекурентний алгоритм адаптивної ідентифікації лінійних систем з використанням функцій Ляпунова // Сб. докладов IV міжнар. наук.-техн. конф. "Гиротехнологии, навигация, управление движением и конструирование авиационно-космической техники". – Киев. – 2003. – Ч. 2. – С. 56-59.

АНОТАЦІЇ

Бєлоусова Н.Б. Розвиток адаптивних алгоритмів ідентифікації та керування на основі методу функцій Ляпунова. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2005.

Дисертаційну роботу присвячено розробці та дослідженню задач адаптивної ідентифікації та керування. Запропоновано алгоритми адаптивної ідентифікації та керування на основі прямого методу Ляпунова, у яких диференціальні рівняння для настройки матриць параметрів моделі мають модифіковану порівняно з класичними методами структуру. Для розв’язання відомих проблем залежності правих частин диференціальних рівнянь настройки матриць параметрів моделі від невідомих параметрів об’єкта запропоновано ітераційний і рекурентний алгоритми, які базуються на використанні градієнтних методів мінімізації деяких критеріїв. Досліджено питання диференціальних властивостей функціоналів ітераційного та рекурентного алгоритмів градієнтного типу, встановлено існування та єдиність розв'язків розглянутих задач і доведено теореми про збіжність методів проекції градієнта в задачах мінімізації. Сформульовано сумісну задачу непрямого керування з використанням рекурентного алгоритму ідентифікації та досліджено стійкість розв’язку сумісної задачі керування.

Ключові слова: адаптивна ідентифікація, адаптивне керування, другий метод Ляпунова, функція Ляпунова, градієнт, непряме керування.

Белоусова Н.Б. Развитие адаптивных алгоритмов идентификации и управления на основе метода функций Ляпунова. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 – математическое моделирование и вычислительные методы. – Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2005.

Диссертационная работа посвящена разработке и исследованию задач адаптивной идентификации и управления. В приведенном обзоре существующих методов решения задач адаптивной идентификации и управления обращено внимание на два направления обеспечивающих получение дифференциальных уравнений настройки неизвестных параметров, а именно использование второго метода Ляпунова и градиентных методов минимизации некоторых критериев. В представленной работе сделана попытка совместного применения этих методов. На основе прямого метода Ляпунова предложены алгоритмы адаптивной идентификации и управления, в которых дифференциальные уравнения для настройки матриц параметров модели имеют модифицированную в сравнении с классическими методами структуру. Для решения проблемы зависимости правых частей дифференциальных уравнений настройки матриц параметров модели от неизвестных параметров объекта предложен итерационный и рекуррентный алгоритмы, которые базируются на использовании градиентных методов минимизации квадратичных критериев. Исследован вопрос о дифференциальных свойствах функционалов итерационного и рекуррентного алгоритмов градиентного типа, установлено существование и единственность решений рассмотренных задач и доказаны теоремы о сходимости методов проекции градиента в задачах минимизации. Сформулирована совместная задача непрямого управления с использованием рекуррентного алгоритма идентификации, исследована устойчивость решения совместной задачи управления.

Результаты диссертации имеют теоретическое значение и могут использоваться при решении конкретных практических задач. Алгоритмы, разработанные в диссертации, могут использоваться для решения задач идентификации при проведении экспериментальных исследований образцов новой техники.

Ключевые слова: адаптивная идентификация, адаптивное управление, второй метод Ляпунова, функция Ляпунова, градиент, непрямое управление.

Belousova N.B. Development of adaptive algorithms of identification and control based on Lyapunov’s function

Thesis for a candidate’s degree of physics and mathematics by speciality 01.05.02 — mathematical simulation and numerical methods. — Kyiv Taras Shevchenko National University, Kyiv, 2005.

The thesis is devoted to development and investigation of adaptive identification and control problems. The algorithms of adaptive identification and control based on direct Lyapunov’s method are proposed. Differential equations for tuning a matrix of model parameters have modified structure as compared with classical ones. To solve well-known problems, in which right-hand sides of differential equations for tuning a matrix of model parameters depend on unknown object’s parameters, the iterative and recurring algorithms based on gradient methods of minimization of some criteria are proposed. The differential properties of iterative and recurring gradient type algorithms are investigated, the existence and uniqueness of solution of considered problems are established, the theorems on convergence of projection gradient methods for minimization problems are proved. The joint problem of indirect control using recurring identification algorithm is posed, the stability and convergence of solution of joint control problem are investigated.

Keywords: adaptive identification, adaptive control, the second Lyapunov’s method, Lyapunov’s function, gradient, indirect control.