ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ

ДОРОШЕНКО ВОЛОДИМИР ОЛЕКСІЙОВИЧ

УДК 621.3: 537.8: 517.9

ТЕОРІЯ ДИФРАКЦІЇ ЕЛЕКТРОМАГНІТНИХ ХВИЛЬ НА НЕОДНОРІДНИХ КОНІЧНИХ СТРУКТУРАХ

01.04.03 - радіофізика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Харків – 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Харківському національному університеті радіоелектроніки.

Науковий доктор фізико-математичних наук, професор,

консультант: засл. діяч науки РФ

Кравченко Віктор Пилипович,

Інститут радіотехніки та електроніки РАН (м. Москва),

головний науковий співробітник.

Офіційні доктор фізико-математичних наук, професор

опоненти: Гандель Юрій Володимирович,

Харківський національний університет ім. В.Н.Каразіна

Міністерства освіти і науки України, професор кафедри математичної фізики та обчислюваної математики.

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник

Куриляк Дозислав Богданович,

Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України (м.Львів), старший науковий співробітник відділу фізико-математичних основ неруйнівного контролю та діагностики.

доктор фізико-математичних наук, професор

Масалов Сергій Олександрович,

Інститут радіофізики та електроніки

ім. О.Я. Усикова НАН України (м. Харків),

завідуючий відділом радіоінтроскопії.

Провідна Національний Науковий Центр -

установа: “Харківський фізико-технічний Інститут”, теоретичний відділ.

Захист відбудеться “ 30 ” листопада 2005р. о 13 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.052.03 Харківського національного університету радіоелектроніки за адресою: 61166, м. Харків, пр. Леніна , ауд. .

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці ХНУРЕ: 61166, м. Харків, пр.Леніна .

Автореферат розісланий “ 20 ” жовтня 2005 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В.М. Безрук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Одним із важливих напрямів сучасної радіофізики є дослідження хвильових процесів у відкритих, нерегулярних та періодичних структурах, окремими виявами яких є плоскі кутові сектори, незамкнені конуси та біконуси, конічні та біконічні ґрати. Задачі цього класу постійно постають у зв’язку з потребами антенної техніки, мікроелектроніки, радіолокації, освоєнням міліметрового (мм) та субміліметрового (субмм) діапазонів довжин хвиль. Такі структури використовують при створенні радіофізичної та радіотехнічної апаратури, в якій вони відіграють роль елементів антен та відбивачів, ліній передач, систем захисту, приладів та пристроїв вимірювальної техніки. Наявність у цих структур вершин та ребер дає можливість застосовувати їх як моделі зондів або самих об’єктів контролю. Задача дифракції електромагнітних хвиль на імпедансному плоскому кутовому секторі може бути використані як для моделювання при відбитті електромагнітних хвиль від об’єктів природного походження (частина суші або збурена морська поверхня), так і для визначення характеристик мікросмугових антен та антен, що лінійно розширюються. За допомогою вказаних вище структур можна моделювати розподіл електромагнітних полів із урахуванням неоднорідностей, а також використати їх при розв’язанні проблем електромагнітної сумісності. Наприклад, особливості роботи конічної щілинної антени за наявності підстеленої поверхні (землі) можна вивчити за допомогою розв’язку задачі збудження конуса з поздовжніми щілинами, розташованого на ідеально провідній або імпедансній площині. Результати дослідження задачі збудження біконічної щілинної структури можна використати для врахування впливу тяг кріплення антени на режим роботи щілинної або дротової конічної антени. З метою захисту персоналу від впливу електромагнітного випромінювання застосовують захисні секторні та сіткові екрани, властивості яких можна вивчити за допомогою розв’язку задач дифракції електромагнітних хвиль на конусі та біконусі з поздовжніми щілинами та їх окремими виявами.

Останнім часом значно зросла зацікавленість дослідженнями задач надширокосмугової короткоімпульсної електродинаміки. Застосування надкоротких електромагнітних імпульсів для передачі інформації значно вигідніше та безпечніше, ніж використання наявних способів модуляції радіохвиль. Це пов’язано з тим, що електромагнітна енергія випромінюється впродовж вкрай короткого проміжку часу та зменшується середня потужність засобів зв’язку, дія яких негативно впливає на стан людини та навколишнього середовища. На стадіях проектування та розробки апаратури випромінювання коротких та надкоротких імпульсів необхідно використовувати результати теоретичного дослідження відповідних електродинамічних задач у часовій області (нестаціонарних задач) та розрахунки основних характеристик випромінювання та розсіювання елементів із кутовими параметрами, зокрема конусів та біконусів, що містяться у вузлах та блоках цієї апаратури. Отже, практично важливим є розвязок нестаціонарних задач дифракції електромагнітних хвиль на незамкнених ідеально провідних та імпедансних конусах та біконусах. Розгляд названих проблем базується на створенні, уточненні та узагальненні фізичних моделей відповідних процесів, а також їх математичних моделей та дослідженні еталонних дифракційних задач із використанням строгих методів розвязку крайових задач. Принциповою проблемою теорії дифракції є визначення поведінки поля поблизу сингулярностей (вершин, ребер) розсіювальних екранів. Наявні строгі теорії та методи переважно застосовують для одновимірних та двовимірних структур, що мають вказані неоднорідності. Результати дослідження поля поблизу сингулярностей трьохвимірних поверхонь, за винятком плоского кутового сектора, практично відсутні. Трьохвимірні незамкнені структури, що розглядаються у дисертації, привертають увагу тим, що мають різні типи сингулярностей. Отже, створення і розвиток ефективних математичних засобів для аналізу взаємодії хвиль із трьохвимірними об’єктами з різними типами геометричних сингулярностей дозволяють суттєво поширити можливості дослідження й значно спростити аналіз хвильових процесів у реальних радіофізичних приладах і пристроях.

Враховуючи викладене вище, актуальною є проблема створення та розвитку строгих методів і підходів щодо розв’язку нестаціонарних задач дифракції електромагнітних хвиль на нерегулярних та неоднорідних, зокрема незамкнених структурах, що не потребують апріорних обмежень параметрів, а також проведення всебічного аналізу характеристик і властивостей розсіювання таких структур. Вирішення цієї проблеми дозволяє всебічно вивчити особливості формування нестаціонарних полів структурами з різними типами геометричних сингулярностей у широких діапазонах зміни параметрів задачі, включаючи й ті, де наближені та евристичні методи є непридатними, суттєво розширює клас строгих математичних моделей у часовій області.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота є узагальненням результатів досліджень, що проводились автором на кафедрі вищої математики Харківського національного університету радіоелектроніки та присвячені розробці строгих математичних методів теорії дифракції хвиль на складних та незамкнених структурах. Результати дисертаційної роботи є складовою частиною науково-дослідних робіт, виконаних на кафедрі вищої математики Харківського національного університету радіоелектроніки за пріоритетними напрямками розвитку науки й техніки України в рамках держбюджетних тем: “Дослідження явищ просторово-часового перетворення електромагнітного випромінювання в нестаціонарному середовищі”, №ДР0194U021681 (1996-1998рр., виконавець); “Розробка аналітико-числових методів дослідження нестаціонарних електромагнітних явищ в активних середовищах”, №ДР0100U003412 (1999-2001рр., виконавець); “Дослідження формування імпульсних електромагнітних полів збудженням широкосмугових антенних систем”, №ДР0102U003740 ( 2002-2003рр., виконавець). Деякі результати роботи отримані у рамках спільного проекту досліджень і технологій “Україна-Греція” з Афінським університетом, Афіни, Греція: “Formation of high-power pulse electromagnetic fields through excitation of ultra wide-band antennas by relativistic electron beams” (2000-2002рр.), при виконанні якого автор був співвиконавцем від ХНУРЕ.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є побудова строгої математичної теорії дифракції електромагнітних хвиль у часовій області для складних нерегулярних та неоднорідних структур; дослідження за допомогою методів та підходів цієї теорії нових задач дифракції в областях з незамкненою конічною геометрією; на базі отриманих строгих розв’язків крайових електродинамічних задач виявлення нових фізичних ефектів, вивчення нових та недостатньо досліджених явищ, а також закономірностей та особливостей хвильових процесів у нерегулярних та незамкнених конічних структурах, якщо їх геометричні та електродинамічні параметри змінюються; розробка рекомендацій щодо практичного використання отриманих теоретичних результатів для створення радіофізичної апаратури.

Для досягнення означеної мети необхідно вирішити наступні наукові задачі:

· створити строгу та математично обґрунтовану модель, яка описує фізичний процес дифракції електромагнітних хвиль на ідеально провідних конічних структурах із неоднорідностями у вигляді періодичних поздовжніх щілин. Обґрунтувати адекватність побудованої моделі початково-крайової задачі досліджуваному фізичному процесу, довести твердження про подання розв’язку цієї задачі у формі інтегрального перетворення Мелера-Фока, твердження про дискретність спектру початково-крайової задачі;

· провести детальний аналіз процесу дифракції на основі побудованих моделей електродинамічних характеристик (діаграм розсіяння, поляризації поля, розподілу густини поверхневого струму) досліджуваних структур залежно від кутів розкриву конусів, кутової ширини щілин та їх кількості. Порівняти отримані результати з відомими;

· побудувати строгу математичну модель дифракції монохроматичних електромагнітних хвиль на незамкнених імпедансних конічних поверхнях, вивчити вплив параметрів структури (геометричних розмірів, кількості щілин, поверхневого імпедансу) на розсіювальні властивості поверхонь і провести фізичний аналіз отриманих результатів.

Об’єктом дослідження в роботі є фізичні процеси взаємодії електромагнітних полів з нерегулярними розсіювачами, що мають відмінні типи неоднорідностей різної фізичної природи.

Предметом дослідження є строгі математичні моделі дифракції хвиль на складних обєктах, електромагнітне поле, його модова структура та просторовий розподіл за наявності нерегулярних і неоднорідних поверхонь.

Методи дослідження, що використовуються в роботі, базуються на застосуванні строгих математичних методів розвязку крайових задач теорії дифракції електромагнітних хвиль у часовій області. За допомогою потенціалів Дебая, що визначають складові електромагнітного поля, електродинамічні задачі зводяться до розв’язку першої, другої і третьої крайових задач для хвильового рівняння в конічних областях. В основу досліджень покладено метод розподілу змінних, метод функцій Гріна, методи інтегральних перетворень Конторовича-Лебедєва, Лапласа, Мелера-Фока. Для розвязку парних суматорних рівнянь використано метод сполучення аналітичних функцій, метод сингулярних інтегральних рівнянь, метод дискретних особливостей, метод редукції та метод послідовних наближень.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що:

1. У роботі створено, послідовно розвинуто та апробовано нові аналітико-числові методи та підходи, застосування яких суттєво розширює можливості строгого електродинамічного аналізу в часовій області складних конічних поверхонь із поздовжніми щілинами. Ці методи та підходи базуються на використанні інтегрального перетворення Мелера-Фока, внаслідок чого електродинамічні задачі, що розглядаються в роботі, зводяться до системи звязаних парних суматорних рівнянь. У рамках запропонованих методів та підходів коректно враховуються геометричні, а також електродинамічні сингулярності та неоднорідності, забезпечується знаходження розв’язків із заданою точністю при мінімальних обмеженнях на геометричні розміри. До того ж:

1.1. Уперше запропоновано та строго обґрунтовано метод, в основу якого покладено використання інтегральних перетворень Мелера-Фока для розвязку нестаціонарних задач дифракції хвиль на суцільних та незамкнених конусах і біконусах.

1.2. Створено строгий аналітико-числовий підхід до розвязку нестаціонарних електродинамічних задач для ідеально провідних складних структур із поздовжніми щілинами.

1.3. Запропоновано математично строгий метод розв’язку системи зв’язаних парних суматорних рівнянь, що виникають при дослідженні задачі дифракції хвиль на складній конічній поверхні з поздовжніми щілинами, суть якого полягає у зведенні парних суматорних рівнянь до ров’язку нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь другого роду (СЛАР-2) фредгольмівського типу і сингулярних інтегральних рівнянь (СІР) із логарифмічним ядром та ядром типу Коші.

1.4. Вперше запропоновано й розвинено підхід до розвязку стаціонарних скалярних задач дифракції хвиль на системі плоских імпедансних секторів.

1.5. Побудовано математичні моделі стаціонарних задач дифракції електромагнітних хвиль на тонких резистивних і тонких діелектричних (із відносною діелектричною проникністю по модулю значно більшою за одиницю) конусах із поздовжніми щілинами та задачі збудження ідеально провідного незамкненого конуса, що розташований на імпедансній площині.

2. На основі запропонованих методів та підходів проведено аналітичне та числове дослідження нових (і поглиблений аналіз відомих) електродинамічних задач для ідеально провідних незамкнених конічних та біконічних структур із довільними геометричними параметрами. У рамках цих досліджень:

2.1. Вперше вивчені фізичні особливості дифракції монохроматичних електромагнітних хвиль на досліджуваних незамкнених конічних структурах. При цьому:

· отримані усереднені крайові умови на напівпрозорій конічній поверхні з внутрішнім суцільним екраном, що враховують її геометричні параметри;

· виявлено наявність у структурі поля ТЕМ-хвиль та встановлено закономірності формування полів цих хвиль у просторі;

· виявлено та всебічно вивчено фізичні ефекти, пов’язані з поведінкою поля поблизу вершини незамкненої конічної поверхні з внутрішнім суцільним екраном; показано, що зміною геометричних параметрів поверхні й типу джерела можливо керувати поведінкою та розподілом електромагнітного поля біля вершини;

· вивчено просторовий розподіл поля в одномодовому режимі для напівпрозорої конічної поверхні та випадку вузьких щілин; отримано прості наближені формули для поля, якщо джерело розташоване близько до вершини;

2.2. При збудженні нестаціонарним точковим джерелом складної незамкненої ідеально провідної конічної поверхні вперше:

· доведено, що просторовий спектр крайової задачі для досліджуваної складної конічної поверхні є дискретним, значення якого залежать від її геометричних розмірів;

· наведено наближення для поля в одномодовому режимі й показано, що найменше спектральне значення просторово-крайової задачі визначає поведінку поля поблизу центра (спільної вершини) складної конічної поверхні.

2.3. Вперше отримано строгий розв’язок нестаціонарної задачі дифракції поля електричного радіального диполя на конусі з періодичними поздовжніми щілинами у випадку великої кількості щілин, коли їх кутова ширина мала або порівнянна із періодом, вузьких щілин, вузьких конічних стрічок.

На основі отриманих результатів:

· означено усереднені крайові умови на поверхні напівпрозорого конуса у часовій області;

· показано існування сферичної ТЕМ-хвилі в структурі нестаціонарного поля, розсіяного конічною поверхнею з вузьких конічних стрічок; вивчено розподіл поля цієї хвилі у просторі;

· виявлено фізичний ефект зростання амплітуди поля при наближенні джерела до вершини конуса;

· отримано наближення та визначено закон спадання поля залежно від часу в усталеному режимі.

2.4. Вперше знайдено розв’язок у строгій постановці задачі щодо збудження електричним радіальним диполем ідеально провідної біконічної поверхні, яка містить суцільний конус та конус із періодичними поздовжніми щілинами. До того ж:

· виявлено фізичний ефект послаблення особливості поля поблизу спільної вершини конусів порівняно з особливістю поля окремо біля вершини кожного з них ;

· вивчена модова структура поля, розсіяного біконусом, та проведено її аналіз порівняно із поодиноким конусом;

· виявлено фізичний ефект погашення мод при дифракції на незамкненому поодинокому конусі внаслідок наявності суцільного екрану;

· отримано в одномодовому режимі наближення для поля, розсіяного біконусом; встановлено закономірності формування поля у просторі й часі залежно від кутових розмірів суцільного екрану.

3. Вперше запропоновано та розвинено строгі підходи до розвязку стаціонарних задач дифракції хвиль на неідеально провідних структурах із незамкненими конусами. За допомогою цих підходів:

3.1.Уперше у сторогій постановці отримано розвязок нової задачі дифракції електромагнітних монохроматичних хвиль на незамкненому неідеально провідному конусі, за допомогою якого:

· виявлено особливості, що виникають при дифракції хвиль на незамкненому конусі із змінним імпедансом;

· виявлено фізичний ефект випромінювання при збудженні незамкненого конуса із змінним поверхневим імпедансом;

· проведено порівняльний аналіз поведінки поля біля вершини імпедансного та ідеально провідного незамкнених конусів; виявлено фізичний ефект посилення особливості поля поблизу вершини незамкненого імпедансного конуса.

3.2. Вперше знайдено строгий розв’язок задачі дифракції електромагнітних хвиль на ідеально провідному конусі з поздовжніми щілинами, розташованого на неідеально провідній площині; проаналізовано вплив підстеленої поверхні на випромінювання хвиль із незамкненого конуса.

Практичне значення отриманих результатів полягає в тому, що вони створюють наукову основу і дають практичні рекомендації для побудови строгих математичних моделей інших класів нерегулярних та неоднорідних структур та їх фізичного аналізу. Запропонований метод є базовим для розв’язку широкого класу нестаціонарних задач дифракції електромагнітних хвиль як на ідеально провідних, так і на неідеально провідних структурах, що містять незамкнені конічні та біконічні поверхні. Отримані в дисертаційній роботі результати можуть використовуватись як еталонні при розробці та апробації наближених методів. Розв’язок задач дифракції та збудження для незамкнених конусів та біконусів, а також їх окремих виявів, закладають основу строгої теорії широкосмугових та надширокосмугових антен. Дослідження розглянутих задач дифракції для неідеально провідних структур дозволяє розширити базу еталонних задач при моделюванні поглинальних покриттів. Виявлені фізичні ефекти, особливості та закономірності формування та поведінки полів, а також створені програмні засоби щодо їх визначення, можуть використовуватись у проектуванні, розробці та створенні широкосмугових і надширокосмугових антенних та радіолокаційних систем, приладів діагностики й контролю, апаратури для формування високоенергетичних імпульсних сигналів, захисних екранів для вирішення проблем електромагнітної сумісності, пристроїв мм і субмм діапазонів довжин хвиль.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертаційної роботи отримані автором самостійно. В роботах, опублікованих у співавторстві [1-6,8,16,34], особистий внесок здобувача полягає у постановці задач, розробці та розвиткові методів і підходів щодо розв’язку розглянутих задач, в отриманні та проведенні аналізу їх аналітичних розв’язків, участі в обговоренні результатів та формулюванні висновків; у роботах [9-11,22,28] здобувач самостійно розробив підходи і методи розв’язку задач, провів аналітичні дослідження, взяв участь в аналізі і обговоренні результатів та формулюванні висновків; у роботах [17-21] здобувачеві належить постановка задач, обґрунтування методів досліджень, отримання аналітичних розв’язків, участь у розробці чисельного алгоритму та обговоренні результатів, формулювання висновків.

Апробація результатів дисертації проводилася на міжнародних конференціях “Antenna Theory and Techniques” (Київ, 1997; Севастополь, 1999; Севастополь, 2003;), на міжнародних симпозіумах “Методи дискретних особливостей в задачах математичної фізики” (Феодосія, 1997; Харків-Крим, 1999; Орел, Росія, 2000; Херсон, 2001), на міжнародних конференціях “Теорія і техніка передачі, прийому та обробки інформації” (Туапсе, Росія, 1995, 1997, 1999), на міжнародних конференціях “Mathematical Methods in Electromagnetic Theory” (Харків, 1998; Київ, 2002; Дніпропетровськ, 2004), на міжнародній науково-технічній конференції “Електродинаміка і техніка НВЧ та КВЧ” (Самара, Росія, 1999), на міжнародному симпозіумі “Antennas, Propagation and EM-Theory” (Бейань, Китай, 2000), на міжнародній конференції “ Modern Trends in Computational Physics ” (Дубна, Росія, 2000), на міжнародному семінарі “Mathematical Modelling of Physical Processes in Inhomogeneous Media” (Гуанахуто, Мексика, 2001), на міжнародній конференції “Transparent Optical Networks” (Варшава, Польща, 2003), на міжнародному симпозіумі “Antennas and Propagation” (Колумбус, США, 2003), на міжнародній конференції “Advanced Optoelectronics and Lasers” (Алушта, 2003), на міжнародному семінарі “Дні дифракції 2004” (Санкт-Петербург, Росія, 2004).

Публікації. За темою дисертації автор має 17 статей у співавторстві, 7 статей без співавторів у національних та зарубіжних наукових журналах і збірниках, що входять до списку ВАК України, а також 10 тез доповідей на симпозіумах і конференціях.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, шести розділів, висновку, списку використаних джерел. Загальний обсяг роботи

361с., включаючи 65 рисунків та 2 таблиці, список використаних літературних джерел на 30 сторінках, а також 2 додатки на 3 сторінках.

Зміст дисертації

Вступ містить загальну характеристику проблеми, обґрунтування необхідності проведення досліджень за темою дисертації та їх актуальність. В ньому сформульовано мету та задачі дисертаційної роботи, розглянуто коло питань, розвязання яких покладено в основу дисертаційної роботи, визначено новизну і практичну цінність отриманих результатів.

У першому розділі “Розвиток строгих підходів і методів дослідження задач дифракції електромагнітних хвиль на неоднорідних конічних структурах (огляд літературних даних)” проведено огляд літератури, в якому розглянуто стан проблеми та основні напрямки досліджень задач дифракції електромагнітних хвиль на структурах із замкненою та незамкненою конічною геометрією. Проаналізовано відомі методи та підходи, які застосовуються до розв’язку стаціонарних та нестаціонарних електродинамічних задач для конічних та біконічних структур. Зроблено висновок, що використання наявних методів та підходів не дозволяє розв’язати сформульовані в дисертації задачі, а саме: дослідити за допомогою строгих методів та підходів нестаціонарних, зокрема й стаціонарних, задач дифракції електромагнітних хвиль на складних як ідеально провідних, так і імпедансних конічних поверхнях із поздовжніми щілинами та різними типами сингулярностей (вершинами, ребрами).

Отже, виникає проблема, для вирішення якої необхідне створення та узагальнення відомих строгих методів та підходів до розв’язку нестаціонарних електродинамічних задач у незамкнених конічних областях. З цієї метою в дисертації на основі використання інтегральних перетворень Мелера-Фока, методу напівобернення та методу сингулярних інтегральних рівнянь вперше запропоновано строгі аналітико-числові методи та підходи до дослідження нестаціонарних задач дифракції хвиль на конічних поверхнях.

Другий розділ “Збудження складної незамкненої ідеально провідної конічної структури зосередженими нестаціонарними джерелами” присвячено побудові математичного апарату строгої теорії для дослідження початково-крайових задач електродинаміки в незамкнених конічних областях, що базується на використанні методу інтегральних перетворень для розв’язку нестаціонарних задач. У цьому розділі описано геометрію класу досліджуваних відкритих конічних структур та сформульовано вихідну нестаціонарну задачу дифракції. Ця задача полягає у необхідності знайти в однорідному та ізотропному середовищі із проникністями , , що містить нестаціонарне джерело та складну конічну структуру , електромагнітне поле , , яке задовольняє рівнянням Максвелла всюди поза джерелом та поверхнею, крайовій умові на ідеально провідній конічній поверхні, принципу причинності та умові скінченності енергії. Електродинамічна задача в такій постановці має єдиний розв’язок. Складна конічна поверхня (рис.1а) складається з необмежених кругових тонких біконуса з періодичними поздовжніми щілинами та внутрішньогосуцільного конуса (). У загальній постановці припускається, що конуси , мають різне число щілин , із шириною , відповідно. За позначено кути розкриття конусів , а за , періоди конусів ,. Ширина щілин та періоди – це величини двогранних кутів, які утворені площинами, що проходять через вісь біконусу та ребра сусідніх конічних стрічок (секторів). У введеній сферичній системі координат з початком у спільній вершині конусів () останні визначаються рівняннями . Джерелом електромагнітного поля є електричний () або магнітний () диполь, який розташовано у точці із моментом . Момент диполя можна розкласти у локальній системі координат на радіальну та поперечні складові. Задача збудження радіальним диполем(джерело включення) із моментом

, при , (1) є ключовою, розв’язок якої необхідно знайти.

Для зручності розв’зання початково-крайової електродинамічної задачі можна ввести електричний та магнітний потенціали Дебая, що скрізь поза джерелом та конічною поверхнею задовольняють хвильовому рівнянню, принципу причинності, першій () або другій () крайовій умові та умові скінченності енергії. Крайові задачі для хвильового рівняння розв’язуються з використанням функції Гріна для складної конічної поверхні. При цьому доводяться твердження про можливість представлення шуканої функції Гріна у вигляді інтегрального перетворення Мелера-Фока

, (2)

, , (3)

, , - функція Лежандра першого роду. Ці твердження та їх наслідки покладені в основу методу розвязку нестаціонарних задач з конічною геометрією. У зв’язку з цим потенціал Дебая , що визначає розсіяне складною конічною поверхнею поле, подається у вигляді інтеграла Мелера-Фока

(4)

,

, - функція Хевісайда, - коефіцієнти, що повязані з місцезнаходженням джерела, а функція містить невідомі коефіцієнти , які належать гільбертовому простору нескінченних послідовностей. Шукані коефіцієнти є розв’язком системи зв’язаних парних суматорних рівнянь, які у разі рівного числа щілин конусів ,, мають вигляд

, стрічки , , (5)

, лини, (6)

- найближче до ціле число , , , , , , , - відомі коефіцієнти. У разі поодинокого конуса з поздовжніми щілинами, незамкненого конуса із внутрішнім суцільним конічним екраном, симетричної біконічної поверхні із поздовжніми щілинами зв’язані системи (5), (6) або перетворюються в одну систему, або у дві незалежні системи, для розв’язку яких можна використати метод напівобернення або метод сингулярних інтегральних рівнянь. Внаслідок використання методу напівобернення для визначення невідомих коефіцієнтів отримуємо нескінченну систему лінійних алгебраїчних рівнянь другого роду фредгольмівського типу

, (7)

розвязок якої можна знайти за допомогою методу редукції. За великої кількості щілин, якщо їх ширина мала або порівнянна з періодом структури , вузьких конусів, вузьких щілин та вузьких стрічок, розв’язок СЛАР-2 (7) можна також знайти, використовуючи метод послідовних наближень.

Застосування методу, викладеного у роботі, дозволяє отримати СІР відносно функції , що визначені на стрічках () або на щілинах (), наступного вигляду:

, (8)

,

, при .

Невідома функція повязана з густиною поверхневого струму на стрічках () або з полем у щілині (). У роботі розв’язок СІР (8) знаходиться методом дискретних особливостей. Далі під просторовим спектром початково-крайової задачі слід розуміти множину простих полюсів коефіцієнтів підінтегральної функції у (4) після переходу до інтегрування вздовж уявної осі (). Спектральні значення залежать від кутових розмірів складної конічної поверхні та визначають модову структуру розсіяного поля. В наступних розділах проведено дослідження спектрів електродинамічних задач, вивчено модову структуру розсіяного поля залежно від поляризації поля джерела (первинного поля) і параметрів задачі.

У третьому розділі “Збудження зосередженими гармонічними джерелами конічних областей, утворених ідеально провідними нерегулярними стрічками” на основі строгих методів та підходів, запропонованих та розвинених у другому розділі, проведено дослідження електродинамічної задачі у випадку гармонічного джерела включення (1) в асимптотичному наближенні усталеного режиму. Показано, що в цьому разі потенціали Дебая та складові електромагнітного поля подаються у вигляді інтегрального перетворення Конторовича-Лебедєва, яке є окремим випадком інтегрального перетворення Мелера-Фока. Одержані вирази для потенціалів Дебая та складових поля подаються у вигляді, якщо в самій постановці електродинамічної задачі вважати поле джерела змінним відповідно гармонічного закону.

Для ТЕ і ТМ типів первинного поля при збудженні, відповідно, електричним та магнітним радіальними диполями знайдені строгі аналітичні розв’язки для напівпрозорого конуса , який визначається існуванням границі

, (9)

із внутрішнім суцільним екраном (рис.1б). Наведені усереднені (еквівалентні) крайові умови на поверхні напівпрозорого конуса (9), які отримані із строгого розв’язку та враховують кривину поверхні. На базі аналітичного розвязку проведено аналіз модової структури поля, розсіяного напівпрозорим конусом із внутрішнім екраном. Показано, що в структурі поля існує сферична ТЕМ-хвиля, поява якої обумовлена поверхневими властивостями напівпрозорого конуса, залежними від поляризації первинного поля. Встановлено, що поле ТЕМ-хвилі визначає поведінку розсіяного поля поблизу спільної вершини конусів. У разі аксіально-симетричного збудження () магнітним радіальним диполем конуса з вузькими щілинами і суцільною вставкою отримано аналітичний розв’язок , вивчено вплив щілин та суцільного екрану на розподіл поля у просторі. Виявлено в структурі поля наявність сферичної ТЕМ-хвилі, що розповсюджується вздовж вузьких щілин та відповідає найменшому спектральному значенню крайової задачі

, (10)

, . (11)

У граничному випадку (9) значення (10) збігається з найменшим спектральним значенням крайової задачі для напівпрозорого конуса з внутрішнім суцільним екраном, а при - з найменшим спектральним значенням для поодинокого конуса з поздовжніми вузькими щілинами. Якщо джерело розташоване поблизу спільної вершини, то поле ТЕМ-хвилі у розсіяному полі стає переважним і характеризує його просторовий розподіл, який відносно кутових координат визначається наступною функцією (одномодовий режим):

,, (12)

.

Поле поблизу центра суцільного ідеально провідного біконуса та вершини суцільного ідеально провідного конуса при збудженні магнітним радіальним диполем особливості не має. Наявність вузьких поздовжніх щілин приводить до появи поблизу вершини сильної особливості магнітного поля (електричне поле обмежене), яка визначається параметром (11):

, , , - хвильове число.

Із представлення (12) випливає, що відносно кутових координат і поблизу ребра конічних стрічок складові електромагнітного поля, які перпендикулярні до ребра, мають відому кореневу особливість. Показано, що із збільшенням кількості вузьких щілин особливість поля поблизу вершини послаблюється. Найбільша особливість поля спостерігається біля вершини конічної поверхні з одною щілиною. У разі однієї щілини наведені графічні залежності параметра від кутів розкриття конусів , та довільних кутових розмірів щілини . У результаті порівняльного аналізу поведінки поля біля вершини конуса з поздовжньою щілиною і вставкою та конуса без вставки при збудженні магнітним радіальним диполем показано, що наявність вставки у вигляді суцільного конуса слабко впливає на поведінку поля біля вершини.

Проведено числовий аналіз нормованого просторового розподілу розсіяного поля в азимутальній площині хвильової зони (тобто області простору, де розсіяне поле подається у вигляді сферичної хвилі, що віддаляється від конуса) на основі побудованих діаграм, що ілюструють характер його формування в залежності від кутових розмірів конічної поверхні та місцезнаходження джерела. Встановлено, що при осесиметричному збудженні магнітним радіальним диполем поодинокого конуса з поздовжньою щілиною, її вплив на розподіл поля малий, якщо . З розширенням щілини спостерігається зміна форми діаграми з локалізацією максимуму у напрямку, протилежному осі щілини (), внаслідок чого форма діаграми змінюється від кардіоїди до еліпса. Незначне зміщення джерела з осі конуса приводить до помітної зміни форми з розширенням у напрямку розташування джерела. У разі аксіально-симетричного збудження магнітним радіальним диполем суцільного ідеально провідного конуса, на його поверхні наводиться струм, що має тільки азимутальну складову. Наявність поздовжньої щілини приводить до появи також і радіальної складової струму. Для радіальної складової густини поверхневого струму, наведеного на поверхні конуса із поздовжньою щілиною, отримано вираз, в якому явно виділено кореневу особливість поблизу ребра відносно азимутальної координати сферичної системи. При наближенні до вершини у радіальній складовій густини поверхневого струму з’являється особливість порядку . Проведено числовий аналіз розподілу модуля цієї складової і показано його зростання при наближенні джерела до вершини.

На основі отриманого числового розв’язку задачі аксіально-симетричного збудження магнітним радіальним диполем конуса з поздовжньою щілиною та внутрішнім екраном встановлено, що внесення суцільного конуса у внутрішню область незамкненого суттєво змінює розподіл поля у просторі порівняно з поодиноким конусом, що має поздовжню щілину (рис. 2а). В результаті аналізу діаграм нормованого розподілу розсіяного поля в азимутальній площині виявлено, що формування поля відбувається навпроти щілини (рис. 2б). Якщо кутова ширина близька до , то значення модуля нормованого розподілу є найбільшим. З метою вивчення поляризаційних властивостей конічної поверхні в роботі використано характеристику

. (13)

У разі аксіально-симетричного збудження суцільного конуса магнітним радіальним диполем поляризація розсіяного поля є лінійною (, ). Внаслідок появи щілини азимутальна складова магнітного розсіяного поля стає відмінною від нуля, що змінює його поляризацію. На рис. 3 наведені криві залежності аргументу і модуля поляризаційної характеристики (13) від азимутальної координати для різних значень кутової ширини щілини та фіксованих значень кутів і відповідно внутрішнього та зовнішнього конусів.

У ході аналізу характеристики (13) показано, що поляризація розсіяного поля у випадку конуса з поздовжньою щілиною та внутрішнім екраном є переважно еліптичною. Критерієм вірогідності отриманого числового розв’язку є відповідність числового розв’язку СЛАР-2 (7) аналітичному розв’язку у випадку вузьких щілин, а також збіг з точністю із значеннями коефіцієнтів Фурє , що знайдені методом СІР.

У четвертому розділі “Дифракція плоских монохроматичних електромагнітних хвиль на структурі з двох коаксіальних незамкнених ідеально провідних конусів” проведено дослідження в строгій постановці векторної задачі дифракції плоских електромагнітних хвиль на структурі, що складається з двох напівбезмежних коаксіальних ідеально провідних конусів , із періодичними щілинами та спільною вершиною (рис. 1в) з використанням підходів та методів строгої теорії, запропонованих у другому розділі. Показано, що вихідна електродинамічна задача є еквівалентною першій та другій крайовим задачам рівняння Гельмгольця для потенціалів Дебая в конічній області, а останні – парним суматорним рівнянням відносно незалежних від хвильового числа коефіцієнтів Фур’є . Внаслідок застосування методу напівобернення розв’язок парних суматорних рівнянь у разі одинокого незамкненого конуса та незамкненого конуса із внутрішнім суцільним екраном зведено до розв’язку двох незалежних СЛАР-2 фредгольмівського типу.

Показано, що спектр електродинамічної крайової задачі не залежить від поляризації плоскої хвилі первинного поля. Отримано строгий аналітичний розв’язок задачі дифракції плоскої -поляризованої хвилі на напівпрозорому конусі (9) з внутрішнім суцільним екраном, що розповсюджується вздовж його осі. Під час аналізу аналітичного розвязку виявлено, що зміною параметру прозорості можна керувати властивостями пропускання та відбиття такої конічної поверхні. Внаслідок аналізу структури розсіяного поля напівпрозорим конусом із вставкою у граничних випадках параметру прозорості показано, що в ній присутні тільки збурені моди полів у разі вказаних поверхонь відповідно до способів їх збудження. Поведінка електромагнітного поля поблизу вершини напівпрозорого конуса з внутрішнім екраном визначається найменшим із спектральних значень першої та другої крайових задач для потенціалів Дебая. Внесення суцільного конуса у внутрішню область напівпрозорого конуса або послаблює особливість поля поблизу вершини останнього, або впливає на швидкість спадання поля при наближенні до вершини порівняно з поведінкою поля біля вершини поодинокого напівпрозорого конуса.

На основі отриманого числового розв’язку задачі дифракції плоскої монохроматичної хвилі на конусі з поздовжньою щілиною та внутрішнім суцільним екраном проведено числове дослідження характеристик розсіяння поверхні, що розглядається, у разі довільних її кутових розмірів. В результаті числового аналізу залежності спектральних значень від кутових розмірів показано, що на відміну від структури поля, розсіяного напівпрозорим конусом із внутрішнім суцільним екраном, у структурі поля у випадку конуса з одною щілиною та внутрішнім суцільним конусом присутні всі моди, які існують внаслідок дифракції електромагнітних хвиль на конусі з поздовжніми щілинами та суцільною вставкою. Так, у випадку поодинокого конуса із поздовжньою щілиною при необмеженому звуженні щілини або її розширенні в структурі розсіяного поля з’являються ТЕМ-хвилі, які розповсюджуються вздовж вузької щілини або в напрямку вузької конічної стрічки. У разі дифракції Е-поляризованої плоскої хвилі, що розповсюджується вздовж осі конуса з поздовжньою щілиною, помітний вплив щілини на розподіл розсіяного поля у хвильовій зоні виявляється, якщо її ширина перевищує . При зміні кутової ширини між та і фіксованому куті розкриття конуса діаграма розподілу в азимутальній площині хвильової зони має форму кардіоїди, а починаючи з , форму еліпса. У випадку -поляризованої плоскої хвилі, яка розповсюджується вздовж осі конуса з поздовжньою щілиною, зміна форми діаграми відбувається, починаючи з кутової ширини, меншої за , та зберігає форму кардіоїди до кутової ширини, що дорівнює (рис. 4а,б), після чого має форму еліпса (рис. 4б).

Встановлено, що поблизу вершини конуса з поздовжньою щілиною електромагнітне поле поводить себе наступним чином:

, . (14)

Залежність параметрів і від кутових розмірів конуса наведено на рис. 5. При поширенні кута конуса з’являється точка перетину кривих для і (рис. 5а), яка із збільшенням зсувається у напрямку зростання ширини щілини . Це свідчить про те, що для визначеної ширини щілини та кута розхилу конуса особливості електричного і магнітного поля збігаються. У разі півплощини (,), згідно з рис. 5б, і, відповідно (14), поблизу ребра поле має відому кореневу особливість біля краю півплощини. Внесення суцільного екрана у внутрішню область конуса з поздовжньою щілиною приводить до зникнення у структурі поля ТЕМ-хвилі у випадку вузької конічної стрічки, але слабко впливає на поле ТЕМ-хвилі у разі вузької щілини. На базі наведених діаграм розподілу поля у хвильовій зоні для конуса з поздовжньою щілиною і вставкою у випадку -поляризації вивчено вплив суцільного екрана на форму діаграми. Вплив суцільного екрана виявляється, якщо кутова ширина щілини перевищує . При цьому діаграма зберігає форму кардіоїди при зміні ширини щілини між і . Показано, що присутність суцільного конуса послаблює особливість електричного поля біля вершини поверхні та незначно впливає на поведінку магнітного поля поблизу неї.

У п’ятому розділі “Збудження неперіодичних полів у складній незамкненій конічній структурі” на основі строгої теорії для розв’язку початково-крайових задач електродинаміки в конічних областях, побудованої у другому розділі, створена математична модель збудження неперіодичних полів у конічних структурах із поздовжніми щілинами. В цьому розділі проведено дослідження задачі збудження нестаціонарними джерелами складної незамкненої конічної структури (рис. 1а). Інтегральне представлення (4) для потенціалів Дебая розсіяного поля зручне зокрема для аналізу поля поблизу хвильового фронту. Наведені вирази для потенціалів Дебая та складових електромагнітного поля поблизу хвильового фронту. Для вивчення модової структури поля доцільно подати у вигляді ряду лишків підінтегральної функції у представленні (4) після переходу до інтегрування вздовж уявної осі. У разі аксіально-симетричного збудження складної незамкненої конічної поверхні потенціал Дебая повного поля можна записати у вигляді:

, (15)

, . (16)

Функція виражається через (4), а вигляд функції (16) визначається конкретною геометрією конічної поверхні. Доведено твердження та про те, що спектральні значення просторового спектру початково-крайової задачі для та електродинамічної задачі є дискретними і збігаються зі спектральними значеннями відповідних стаціонарних крайових задач. Представлення (15) зручне для вивчення поля в одномодовому наближенні, що відповідає випадкам близького розташування джерела до спільної вершини конусів (), усталеному режимі () та визначенню поведінки поля біля вершини (). В цьому наближенні одна із складових розсіяного електричного поля при збудженні конічної поверхні електричним диполем має вигляд:

, (17)

,

,.

Обґрунтовано, що найменше спектральне значення визначає поведінку нестаціонарного поля поблизу спільної вершини поверхні та його просторовий розподіл у випадку близького розташування джерела до вершини. Наведено вираз для (17) у разі - імпульсу, прямокутного імпульсу та гаусовського імпульсу. У разі збудження поодинокого конуса із поздовжніми щілинами, а також біконуса, що складається із суцільного конуса та конуса з поздовжніми щілинами, вивчено вплив поздовжніх щілин на просторову структуру поля. Наведено криві залежності спектральних значень від геометричних параметрів задачі. Встановлено, що значення параметра, який характеризує поведінку поля біля вершини плоского кутового сектора, збігається з відомими з відносною точністю до .

На