ІНСТИТУТ ЕЛЕКТРОДИНАМІКИ

На правах рукопису

БОЄВ Вячеслав Михайлович

УДК 621.3.01:538.3

АНАЛІЗ КВАЗІСТАЦІОНАРНИХ МАГНІТНИХ ПОЛІВ В НЕОДНОРІДНИХ СЕРЕДОВИЩАХ З ВИКОРИСТАННЯМ РОЗРИВНИХ ФУНКЦІЙ

Спеціальність: 05.09.05 –Теоретична електротехніка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Київ – 1999

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі теоретичних основ електротехніки Харківського державного політехнічного університету Міністерства освіти України, м. Харків

Офіційні опоненти:

-

-

-

Провідна установа – Національний технічний університет України "КПІ" Міністерства освіти Украіни, м. Київ, кафедра теоретичної електротехніки.

Захист дисертації відбудеться “13” жовтня 1999р. о 11 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.187.01 в Інституті електродинаміки НАН України (252680, м. Київ – 57, пр. Перемоги, 56)

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інституту електродинаміки НАН України.

Автореферат розісланий “27” серпня 1999р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Федій В.С.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Вступ. Аналіз і розрахунок квазістаціонарних магнітних полів в неоднорідних середовищах тісно пов'язаний з широким класом задач прикладного характеру. Більшість електротехнічних пристроїв може розглядатись як неоднорідне або кусочно-однорідне середовище. Зріст одиничної потужності установленого електрообладнання й пов`язане з цим збільшення питомих електромагнітних навантажень потребують удосконалення існуючих і розробки нових методів аналізу і розрахунку електромагнітних полів. На даному етапі розвитку електротехніки вже не достатньо вміти розраховувати основне магнітне поле, яке забезпечує працездатність даного електротехнічного пристрою, а існує важлива потреба в розрахунку полів розсіювання, різноманітність яких обумовлена конструктивними особливостями різних електротехнічних пристроїв. Електромагнітне поле різних електротехнічних пристроїв має свої особливості розподілу, обумовлені конфігурацією магнітної системи, розташуванням і характером джерел поля. Прагнення врахувати більшість різноманітних факторів, суттєво впливаючих на формування електромагнітного поля, обумовлює необхідність вибору найбільш раціонального підходу до побудови математичних моделей електротехнічних пристроїв на основі використання останніх досягнень науки і адекватного вибору спрощуючих припущень.

Одним з таких підходів може бути використання теорії розривних і узагальнених функцій, яка є одним з найбільш суттєвих досягнень математики двадцятого сторіччя. Важливим досягненням в області аналізу і розрахунку електромагнітних полів було використання ефективних чисельних методів, пов'язане з появою швидкодіючих електронно-обчислювальних машин. Однак, різноманітність практичних задач, які пов'язані з аналізом і розрахунком електромагнітного поля, потребує удосконалення методів аналізу і розрахунку електромагнітних полів. При цьому виникає необхідність все більш досконалого врахування полів розсіювання. Звідси випливає необхідність в методах аналізу і розрахунку, які дозволяють знаходити як основне магнітне поле, так і поля розсіювання (локальні або зовнішні необмежені). Якщо врахувати, що практично всі поля розсіювання мають тримірний характер, то слід додати, що обговорювані методи розрахунку повинні давати можливість знаходити розподіл магнітного поля в тримірному просторі, в тому числі й в нескінченному тримірному просторі.

З іншого боку існує проблема електромагнітної сумісності електрообладнання і розрахунку зовнішніх магнітних полів на деякій відстані від нього, про що свідчить симпозіум по даній проблемі, який відбувся у 1993 році у Санкт-Петербурзі. В зв`язку з ростом одиничної потужності електрообладнання, збільшенням питомих електромагнітних навантажень в ньому і, пов`язаним з цим, збільшенням рівня зовнішніх магнітних полів розсіювання, ставиться питання про вплив цих полів на інше, поряд установлене електрообладнання, на вимірювальні прилади, на людину і інші об`єкти. Звідси випливає необхідність розрахунку, вимірювання і зниження зовнішніх магнітних полів різного роду електротехнічних пристроїв.

Актуальність теми. Таким чином на даний момент існує необхідність в удосконаленні методів аналізу і розрахунку як внутрішніх, так і зовнішніх магнітних полів. Тісно пов`язане з розрахунком зовнішніх магнітних полів питання вимірювання і зменшення (компенсації) зовнішніх магнітних полів електротехнічних пристроїв також не можна вважати достатньо відпрацьованими. Існує можливість більш точного (вибіркового) здійснення цих операцій.

З іншого боку існує необхідність більш широкого використання в задачах електромагнетизму основ математичної теорії розривних і узагальнених функцій, використання яких на даний час як правило обмежується випадками епізодичного використання дельта-функцій та функції Хевісайда для опису зосереджених джерел поля або ступінчастой зміни електрофізичних властивостей електротехнічних пристроїв.

Розривні ступінчасті функції успішно використовуються в теорії сигналів та електричних ланцюгів і слід очікувати позитивних результатів від використання таких функцій в задачах електромагнетизма, оскільки вони природним шляхом відповідають ступінчастій зміні електричних і магнітних характеристик електротехнічних пристроїв, які розглядаються як кусочно-однорідне середовище.

В даній роботі пропонується новий підхід до методів аналізу і розрахунку квазістаціонарних магнітних полів електротехнічних пристроїв на основі широкого використання розривних функцій. При цьому підставою для оперування розривними функціями в диференційних рівняннях є теорія узагальнених функцій, яка в основних своїх положеннях сформульована у п'ятидесяті, шістидесяті роки.

Із вище сказаного слід зробити висновок, що тема даної роботи, яка спрямована на удосконалення методів аналізу і розрахунку як внутрішніх, так і зовнішніх полів і використовує нетрадиційний математичний апарат, являється актуальною і своєчасною.

Зв`язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Необхідність удосконалення методів аналізу і розрахунку електромагнітних полів випливає із розділу .9. “Фізико–технічні проблеми енергетики” (п. 1.9.2.6) координаційного плану науково–дослідних робіт НАН України по комплексній проблемі “Наукові основи електроенергетики” на 1991–1995р.р. Раніш робота в цьому напрямку велась у зв`язку з комплексною науково–технічною програмою ДКНТ СРСР на 1986–90р.р. по проблемі 0.14.12, затвердженої постановою ДКНТ СРСР №555 від 30.10.85р. Дослідження по удосконаленню методів вимірювання та зниження рівня зовнішніх магнітних полів електрообладнання проводились в рамках виконання теми, розроблюємої згідно наказу Мінелектротехпрома № від 10.07.74р.

Мета і задачі дослідження. Метою являється розвиток аналітичних методів аналізу і розрахунку магнітних полів електротехнічних пристроїв на основі використання розривних функцій і постановки задачі в необмеженому просторі, а також обгрунтування принципів побудови і розрахунок обмоток, які вибірково вимірюють чи компенсують зовнішні магнітні поля.

Виходячи з поставленої мети в роботі вирішувались наступні задачі: –

розробка основних положень нового підходу до методів аналізу і розрахунку магнітних полів електротехнічних пристроїв в необмеженому просторі на основі використання розривних функцій; –

розробка додаткових правил оперування розривними функціями, які використовуються при розрахунку магнітних полів в необмеженому просторі; –

розробка правил опису електричних і магнітних властивостей нескінченного простору, який має в собі електротехнічний пристрій, в двомірній і тримірній постановці задачі за допомогою розривних функцій; –

дослідження ефективності використання розривних функцій в методах аналізу і розрахунку магнітних полів в двомірній і тримірній постановці на прикладах розрахунку магнітного поля простору, який містить в собі спрощену математичну модель електричної машини або тороідального трансформатора; –

дослідження ефективності використання розривних функцій в поєднанні з відомими математичними методами, такими як метод розподілу змінних, методи інтегральних перетворень Фур’є і Лапласа; –

дослідження ефективності використання розривних функцій для вирішення нелінійних задач на прикладах розрахунку електромагнітного поля в сталевому листі, одношаровому і двошаровому феромагнітному просторі; –

розробка принципів побудови і знаходження співвідношення розмірів контурних обмоток, які вибірково (по мультиполях) вимірюють або компенсують зовнішнє магнітне поле електротехнічних пристроїв.

Наукова новизна роботи полягає в наступному. Запропонований та науково обгрунтований новий підхід до аналізу і розрахунку квазістціонарний магнітних полів в неоднорідному середовищі, який базується на широкому використанні розривних функцій і передбачає постановку і одержання рішення задачі в необмеженому просторі. Вперше пропонується широке використання розривних функцій для опису електричних і магнітних властивостей електротехнічних пристроїв, а також загального рішення задачі.

В розвиток існуючих основних положень теорії розривних функцій автором розроблені нові правила оперування розривними функціями, які необхідні для практичної реалізації запропонованої ідеї.

Вперше розроблені правила опису електричних і магнітних властивостей неоднорідного середовища, яке має в собі електротехнічний пристрій, за допомогою розривних функцій, і одержані формули для магнітної проникності, питомої електропровідності і густини струму простору, який має в собі електричну машину або тороідальний трансформатор в двомірній і тримірній постановці задачі.

Розроблено нову методику розв’язання тримірних задач на основі використання розривних функцій. Доведено, що диференційні рівняння з розривними функціями мають більше можливостей для застосування математичних методів розподілу змінних і інтегральних перетворень Фур’є і Лапласа.

Розроблено нову методику розв’язання нелінійних задач на основі використання розривних функцій. Вперше одержано наближене аналітичне рішення задачі розрахунку магнітного поля у двошаровому нелінійному середовищі.

Одержано нове аналітичне рішення деяких задач прикладного характеру, існуюче рішення яких недостатньо ефективне:

1) задачі розрахунку тримірного магнітного поля спрощеної математичної моделі кріогенератора з урахуванням кінцевої довжини магнітопроводу;

2) задачі розрахунку розподілу індукції магнітного поля в поперечному перерізі стрічки витого магнітопроводу тороідального трансформатора і втрат на вихрові струми з врахуванням кінцевої ширини сталевої стрічки. При цьому відомі формули розподілу індукції і втрат на вихрові струми в стрічці випливають із одержаних нами, як частковий випадок;

3) задачі розрахунку електромагнітного поля в нелінійному середовищі і у сталевому листі з урахуванням нелінійності кривої намагнічування.

Визначені нові принципи побудови і одержані раніше невідомі співвідношення розмірів для контурних обмоток, які забезпечують вибіркове (по мультиполях) вимірювання або компенсацію зовнішніх магнітних полів електротехнічних пристроїв.

Практичне значення роботи полягає в тому, що розроблені автором на основі теоретичних досліджень методики і аналітичні залежності дали можливість провести розрахунки магнітних полів різних електротехнічних пристроїв.

Запропонована в даній роботі методика розрахунку магнітних полів з використання розривних функцій застосована в НДІ “Електроважмаш” при зіставному аналізі варіантів кріотурбогенераторів, розробляємих по комплексній науково-технічній програмі ДКНТ СРСР на 1986 – 90р.р. по проблемі 0.14.02, затвердженої постановою ДКНТ СРСР № 555 від 30.10.85р.

Результати даної роботи по засобам вимірювання і зниження зовнішніх полів електрообладнання використані у відділені магнетизму Інституту електродинаміки НАН України в магнітовимірювальному стенді і наукових рекомендаціях на проектування маломагнітного електрообладнання підприємствам, виготовляючим таке обладнання.

Технічні рішення за двома авторськими свідоцтвами використані в конкретних вимірювальних пристроях.

Основи методу розрахунку магнітних полів з використанням розривних функцій викладаються в курсі “ТОЕ. Електромагнітне поле” при підготовці інженерів-електромеханіків в ХДПУ, м. Харків. Копії відповідних актів впровадження представлені в додатку до дисертації.

Отримані в даній роботі нові, більш точні, формули розподілу індукції магнітного поля в поперечному перерізі сталевої стрічки магнітопроводу тороідального трансформатора і втрат в ній, у тому числі і для нелінійного магнітопроводу, можуть використовуватися на стадії проектування поряд з відомими формулами, які являються частковим випадком нових формул (запропоновані відповідні рекомендації).

Розроблена на основі використання розривних функцій методика розрахунку електромагнітного поля і втрат в сталевому листі і двошаровому просторі з урахуванням нелінійності кривої намагнічування може бути використана для рішення самих різноманітних задач електромагнетизму (екранування, індукційний нагрів, електричні машини з масивним ротором та ін.).

Нові співвідношення розмірів для контурних обмоток, які компенсують зовнішнє магнітне поле електротехнічних пристроїв, можуть використовуватися на стадії проектування маломагнітного електрообладнання з такого виду обмотками, які можуть використовуватися у вигляді активних або пасивних електромагнітних екранів.

Запропоновані в даній роботі вимірювальні контурні обмотки можуть використову-ватись у вимірювальних пристроях і магнітовимірювальних стендах на підприємствах, які виготовляють електрообладнання зі зниженим рівнем зовнішніх магнітних полів.

Основні положення запропонованого підходу, поряд з іншими методами розрахунку магнітних полів, можуть використовуватись в учбовому процесі при підготовці інженерів електротехнічних спеціальностей.

Особистий внесок. Основні наукові результати, що викладені в дисертації, одержані особисто автором.

запропоновані і доведені до практичного використання ідеї:

застосування розривних функцій для аналізу і розрахунку магнітних полів електротехнічних пристроїв в необмеженому просторі;

застосування розривних функцій для розрахунків тримірних і нелінійних задач;

контурних обмоток вибірково вимірюючих або компенсуючих зовнішне магнітне поле;

розроблені:

правила опису електрофізичних властивостей неоднорідних середовищ за допомогою розривних функції;

додаткові правила оперування розривними функціями;

створені нові методики:

розв'язання тримірних і нелінійних задач за допомогою розривних функцій;

розрахунку контурних обмоток, вибірково вимірюючих або компенсуючих зовнішне магнітне поле;

одержано нове аналітичне рішення деяких задач прикладного характеру за допомогою розривних функцій.

В спільних роботах авторові належить: ідея, постановка і математичне формулювання задачі і одержання основних результатів (окрім спільних робіт четвертого розділу, де задача вирішувалась разом з співавторами), аналіз одержаних результатів і наукові висновки.

Апробація роботи. Матеріали дисертації доповідались і обговорювались на Першій Всесоюзній конференції по теоретичній електротехніці (м. Ташкент, 1987р.), на республіканській науково-технічній конференції “Перспективи розвитку машинобудування на Україні” (м. Харків, 1988р.). Повністю дисертаційна робота доповідалась у 1995р. на кафедрах теоретичних основ електротехніки Харківського державного політехнічного університету, систем електричної тяги Харківської Державної академії залізничного транспорту, теоретичної та загальної електротехніки Української Інженерно-педагогічної академії, на НТС НДІ “Електроважмаш”, на семінарі “Методи і засоби зниження зовнішніх магнітних полів технічних об`єктів” Наукової Ради НАН України по комплексній проблемі “Наукові основи електроенергетики”, на семінарі Інституту проблем моделювання в енергетиці НАН
України (1996р.).

Публікації. По результатам дисертаційної роботи опубліковано 34 друковані праці, в тому числі 18 статей у фахових наукових виданнях, з яких 10 - без співавторів, 10 авторських свідоцтв на винаходи, 1 стаття в авторському учбовому посібнику, 3 депонованих рукописи, 2 тези доповідей на науково-технічних конференціях.

Стуктура і обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, шести розділів, висновків, додатків і списку використаних джерел, викладених на 335 сторінках, в тому числі 264 сторінок основного тексту, 26 сторінок малюнків і таблиць (33 мал., 14 табл.), 30 сторінок додатків
(5 додатків), 15 сторінок списку використаних джерел (173 назви).

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі проаналізовано стан наукової проблеми, обгрунтована актуальність теми, поставлена мета і задачі дослідження, дана загальна характеристика дисертаційної роботи. Відзначено необхідність удосконалення методів дослідження електротехнічних пристроїв, які можуть розглядатись як кусочно-однорідне середовищє. Методи аналізу електромагнітних процесів в електротехнічних пристроях базуються на математичних моделях, які повинні відображати реальні електрофізичні властивості і конструктивні відзнаки електротехнічного пристрою. Удосконалення цих методів може бути досягнуто шляхом адекватного вибору кусочно-однорідної математичної моделі і використання ступінчастих розривних функцій для аналітичного опису електрофізичних властивостей такого середовища.

У вступі викладається основна ідея запропонованого автором нового підходу до методів аналізу і розрахунку магнітних полів у необмеженому просторі, який базується на широкому використанні розривних функцій. Електротехнічний пристрій, який розглядається як кусочно-однорідне середовище, має розриви безперервності першого роду в функціях величин, які описують її електричні і магнітні властивості (питома електропровідність, густина струму, магнітна проникність). Якщо усунути ці розриви безперервності (як півсума значень функції зліва і справа від точки розриву), то питому електропровідність, густину струму та магнітну проникливість всього нескінченного середовища, в якому міститься електротехнічний пристрій, можна вважати безперервними функціями і підставляти в рівняння Максвела. Тоді рішення рівнянь Максвела буде справедливим для всього нескінченного простору і триматиме в собі рішення як для внутрішніх,так і зовнішніх полів електротехнічного пристрою. При цьому рішення шукається у вигляді суми функцій з обмеженим носієм, що досягається за допомогою одиничних розривних функцій, не рівних нулю тільки в даному кусочно-однорідному шарі середовища.

В першому розділі наведено огляд існуючих методів аналізу і розрахунку магнітних полів електротехнічних пристроїв і досвіда позитивного використання розривних фунцій, з якого випливає необхідність удосконалення цих методів і доцільність використання розривних функцій для цього. Далі викладено сутність запропонованого підходу на прикладах розв`язання двомірних задач: –

приведений опис електричних і магнітних властивостей простору, який містить в собі електричну машину в двомірній і тримірній постановці задачі; –

розроблені правила і порядок застосування методу розрахунку з використанням розривних функцій на прикладі розрахунку магнітного поля спрощеної математичної моделі електричної машини в двомірній постановці задачі;

–

магнітного поля простору, в якому міститься електрична машина, які описують магнітне поле в кожній однорідній області цього простору (обмотка збудження, повітряний прошарок, магнітопровод, навколишній простір);–

приведене порівняння результатів розрахунку магнітного поля за нашими формулами з даними обрахунків на ЕОМ інших авторів, а також показано, що формула індуктивності обмотки збудження, яка випливає із отриманого нами аналітичного опису магнітного поля, співпадає з формулою, отриманою іншими авторами і іншими методами;–

показано, що запропонований автором метод аналізу і розрахунку квазістаціонарних полів з використанням розривних функцій випливає із варіаційного методу Галеркіна і може вважатися деякою, більш простою, різновидністю цього методу.

Опис електричних і магнітних властивостей простору, який містить в собі любий електротехнічний пристрій, базується на використанні одиничних розривних функцій (рис.1):

.

Функція f2(x) дорівнює одиниці на відрізку (а, b) і нулю в усьому іншому просторі, функція f1(x) дорівнює одиниці при х > а і нулю в решті простору, функція f3(x) дорівнює одиниці при х < b і нулю в решті точок. На межах (в точках “а” і “b“) ці функції дають величину , тобто ці розриви першого роду в них усунені (як півсума значень функції зліва і справа від точок розриву).

Рис.1

Рис. 2 Рис.3

Для спрощеної математичної моделі електричної машини (рис. 2), яка складається із обмотки збудження (радіуси r1 і r2), магнітопроводу (радіуси r3 і r4), магнітну проникливість всього простору, яка рівняється магнітній проникності сталі в області магнітопроводу і в решті частин простору, можна записати в наступному вигляді:

. (1)

Аналогічно записується густина струму в обмотці збудження:

, (2)

де – кут, зайнятий однією половиною обмотки збудження двополюсної електричної машини.

В дисертації одержані такого роду формули для магнітної проникності і густини струму тримірної математичної моделі електричної машини, в тому числі і з урахуванням нелінійності магнітопроводу, коли крива намагнічування апроксимується ламаною лінією (кусочно-лінійна апроксимація).

Підставляючи магнітну проникність і густину струму (1), (2) в рівняння Максвела для двомірного магнітного поля електричної машини в циліндричній системі координат ()

,

,

одержимо диференційне рівняння для тангенціальної складової напруженості магнітного поля :

, (3)

де – дельта-функція Дірака.

Для того, щоб двомірне диференційне рівняння набуло вигляду звичайного диференційного рівняння можливо використати метод розподілу змінних або розклад в ряд Фур’є за координатою :

;

.

Підставляючи в (3), одержимо диференційне рівняння для к-гармоніки тангенціальної складової напруженості магнітного поля

, (4)

яке за межами обмотки (j = 0) стає однорідним рівнянням Ейлера, а в області обмотки () – неоднорідним рівнянням Ейлера

,

рішення якого відоме:

.

Рішення диференційного рівняння (4) для необмеженого простору записується за допомогою розривних функцій в наступному вигляді:

+

. (5)

Підставляючи (5) в (4) і прирівнюючи множники при однакових розривних функціях

, , ,

знаходимо коефіцієнти .

Тангенційна складова індукції магнітного поля знаходиться за формулою:

,

а радіальна складова – за формулою:

;

.

Одержані формули для напруженості і індукції магнітного поля перевірялись шляхом порівняння результатів розрахунку за цими формулами з даними розрахунків на ЕОМ НДІ “Електроважмаш”. Крім цього, для першої гармоніки (к = 1) вдалося отримати рішення диференційного рівняння (4) безпосереднім інтегруванням, що також підтверджує правильність отриманих з використанням розривних функцій рішень. При цьому непрямим шляхом підтверджується і правильність використаних нових правил оперування розривними функціями.

Розроблені в першому розділі і викладені вище в двомірній постановці задачі правила практичної реалізації запропонованого методу розрахунку квазістаціонарних магнітних полів можуть використовуватись для будь якої задачі (в тому числі тримірної). Вони включають в себе наступні основні етапи:

1)

1)

1)

1)

1)

1)

1)

Порівняння вищевикладеної методики з варіаційним методом Галеркіна (в двомірній постановці задачі) показало, що вона може вважатися деякою, більш простою, різновидністю методу Галеркіна. В методі Галеркіна рішення диференційного рівняння (наприклад, рівняння (4)) шукається у вигляді кінцевого ряду спеціально підібраних функцій ук (х), які прийнято називати базисними або координатними функціями:

. (6)

Невідомі коефіцієнти знаходяться за методом моментів, який заключається в тому, що ряд (6) підставляють у диференційне рівняння, яке потім послідовно перемножують на кожну із базисних функцій і інтегрують в межах існування рішення. В результаті отримують систему алгебраїчних рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів (так звані моментні рівняння). Точність рішення за методом Галеркіна залежить від вибору характеру і кількості базисних функцій. Наприклад, вдалим являється вибір базисних функцій у вигляді власних функцій диференційного рівняння. В інших випадках базисні функції вибираються виходячи із передбачуваного виду і характеру рішення (із фізичних міркувань).

Загальний вид рішення, одержаного з використанням розривних функцій, (5) може бути прийнятий як ряд (6) методу Галеркіна з базисними функціями типу:

.

Підставляючи рішення (5) в диференційне рівняння (4), перемножуючи його послідовно на кожну із базисних функцій ряду (5) і інтегруючи від нуля до нескінченності, отримаємо моментні рівняння методу Галеркіна для визначення коефіцієнтів . При цьому одержується така сама система алгебраїчних рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів , що і з використанням розривних функцій. Однак сам процес рішення по методу Галеркіна значно важче, тому що в ньому, крім підстановки рішення (5) в диференційне рівняння (4), потім іде перемноження на кожну із базисних функцій і інтегрування від нуля до нескінченності, що являє собою досить трудомістку операцію. Одержані при цьому інтеграли являються невласними інтегралами від розривних функцій і потребують використання деяких знань із теорії узагальнених функцій.

Слід відмітити, що варіаційний метод Галеркіна, а значить і обговорюваний тут метод, як його різновидність, може застосовуватись і для нелінійних диференційних рівнянь.

Другий розділ присвячений обгрунтуванню правил оперування розривними функціями, які використовуються в запропонованому методі. Приведені самі правила оперування розривними функціями, як відомі із літератури, так і новорозроблені. Проведений аналіз правил оперування, використаних в запропонованому методі і методі Галеркіна. Надані змістовні пояснення процесу одержання систем алгебраїчних рівнянь відносно невідомих постійних коефіцієнтів рішення при використанні розривних функцій і складання моментних рівнянь в методі Галеркіна. Показано, що в моментних рівняннях в методі Галеркіна сума співмножників при функціях, , повинна дорівнювати нулеві, що може бути додатковою підставою того, щоб і в обговорюваному методі, який є деякою різновидністю методу Галеркіна, прирівнювати до нуля додатки при функціях

,, .

Всі використані в даній роботі правила оперування розривними функціями можна розділити на три групи: відомі із літератури правила; правила, які не потребують доказів; нові правила.

Приводимо тут деякі із відомих правил, які використовуються при оперуванні розривними функціями:

1)

1)

1)

1)

1)

1)

1)

1)

1)

1)

1)

1)

1)

Друга група правил оперування розривними функціями основана на очевидному неспівпаданні носіїв перемножуваних функцій і фільтруючій властивості дельта-функції

1)

1)

1)

1)

1)

1)

1)

Тут

В процесі створення нових правил оперування розривними функціями ми виходимо з того, що підставою для доказів цих правил являється, крім правил оперування попередніх двох груп, варіаційний метод Галеркіна і основні положення теорії узагальнених функцій:

1)

1)

1)

1)

1)

1)

1)

1)

1)

Вище приведені основні правила оперування розривними функціями дають можливість оперувати більш складними виразами, записаними за допомогою розривних функцій. Наприклад, для магнітної проникності простору, який містить в собі спрощену математичну модель електричної машини, в процесі рішення двомірної і тримірної задач використовувались наступні співвідношення:

1)

1)

1)

1)

1)

1)

1)

.

Тут .

Третій розділ присвячений розрахунку тримірних магнітних полів з використанням розривних функцій, дослідженню можливостей запропонованого методу розрахунку магнітних полів в поєднанні з найбільш широко застосованими математичними методами, такими як метод розподілу змінних і методи інтегральних перетворень Фур’є і Лапласа.

Встановлено, що застосування розривних функцій дозволяє розраховувати аналітично тримірні магнітні поля , наприклад, магнітне поле електричної машини, не роблячи при цьому таких спрощуючих допущень, як замкнутий обмежений простір розрахункової моделі (що являється обов`язковим для чисельних методів розрахунку). При цьому розрахунок ведеться відносно проекції вектора напруженості магнітного поля, а не відносно використовуваного в більшості існуючих методів розрахунку скалярного магнітного потенціалу, що дає можливість визначати розподіл магнітного поля і в області обмоток з струмом, який є особливо важливим для кріогенних електричних машин.

Одержані аналітичні вирази для напруженості і індукції тримірного магнітного поля спрощеної математичної моделі електричної машини. Наприклад, для області повітряного прошарку перша гармоніка тангенціальної складової напруженості магнітного поля описується наступним рядом

;

для області обмотки зі струмом густиною j

;

для зовнішньої області:

.

Тут I1, K1, L1 – модифіковані функції Бесселя першого і другого роду і функція Струве відповідно.

Порівняння результатів розрахунку індукції магнітного поля за цими аналітичними виразами з експериментальними даними підтверджує, як правильність запропанованого методу, так і правильність використаних при цьому нових правил оперування розривними функціями.

Показано, що в поєднанні з розривними функцями можна використовувати такі загальновідомі математичні методи, як метод розподілу змінних, методи інтегральних перетворень Фур’є і Лапласа. При цьому виявилось, що використання розривних функцій в методі розподілу змінних дає можливість при рішенні задач на власні значення і власні функції, шукати останні з двозначним розривним множником, тобто шукати двозначні власні функції, що в значній мірі розширює клас вирішуваних задач на власні значення і власні функції. Наприклад, в процесі вирішення задачі розрахунку тримірного магнітного поля спрощеної математичної моделі електричної машини використовувались двозначні власні функції виду:

,

які в області магнітопроводу (-l < z < l) дають функцію , а зовні магнітопроводу () – функцію .

При використанні розривних функцій будь яка задача ставиться і вирішується в безмежному просторі, що в деякій мірі полегшує застосування інтегральних перетворень Фур’є і Лапласа, які передбачають інтегрування з нескінченими межами. Використання інтегрального перетворення Лапласа у сполученні з розривними функціями проілюстровано на прикладі розрахунку магнітного поля круглого феромагнітного провідника з струмом в необмеженому просторі. Застосування перетворень Фур’є у сполученні з розривними функціями проілюстровано на прикладах розрахунку тримірного поля прямокутного провідника з струмом і тримірного поля обмоток кріогенератора. Зокрема, магнітне поле всередині прямокутного провідника з струмом густиною j і розміром поперечного перерізу описується наступною формулою:

.

В четвертому розділі розглянуті питання розрахунку магнітного поля та втрат на вихрові струми в тороідальному трансформаторі з витим стрічковим магнітопроводом. З використанням розривних функцій одержані аналітичні вирази, які описують електричні і магнітні якості простору, який містить в собі тороідальний трансформатор, в тримірній постановці задачі. Використане при цьому рівняння спіралі Архімеда (для опису властивостей витого стрічкового магнітопроводу) містить в собі взаємозалежність координат, що не дозволило одержати рішення рівнянь Максвела після підстановки в них такого роду функцій.

Застосування звичного для такого роду задач приближення, яке полягає в тому, що тороідальний стрічковий магнітопровод з обмоткою розглядається в розгорнутому вигляді і подається в вигляді пакету ізольованих між собою листів сталі нескінченої довжини з рівномірно розподіленою по довжині одношаровою обмоткою (рис. 3), тримірна задача
зведена до двомірної. При цьому записані в комплексній формі рівняння Максвела в області сталевих листів (стрічок) зводяться до рівняння:

, (7)

а поза сталевих листів – до рівнянь:

;

. (8)

Рішення рівнянь (8) описується формулою:

,

з якої випливає, що в середині об`єму, охоплюваного обмоткою, зовні сталевої стрічки, індукція магнітного поля постійна і дорівнює:

,

а зовні цього об`єму – дорівнює нулю.

Рішення рівняння (7) для області всередині сталевих стрічок здійснено методом розподілу змінних. Одержані формули розподілу індукції магнітного поля по перерізу сталевих стрічок і середньої по перерізу індукції з врахуванням кінцевих розмірів поперечного перерізу сталевої стрічки

;

, (9)

які тримають в собі, як частковий випадок, відомі із літератури формули для нескінченно протягнутого сталевого листа, не враховуючи кінцевість розмірів поперечного перерізу сталевої стрічки. Якщо в формулах (9) спрямувати розмір “а” до нескінченності, то отримаємо відомі формули:

(10)

Тут – амплітудне значення індукції на межі сталевої стрічки (листа);

rcр – середній радіус витка сталевої стрічки (або групи витків);

;

– магнітна проникність і питома електропровідність сталі.

За результатами розрахунку на ЕОМ проведена порівняльна оцінка погрішності формул (9) і (10), дані практичні рекомендації – в яких випадках допустимо використання існуючих спрощених формул (10), а в яких необхідне використання формул (9) з врахуванням кінцевої ширини сталевої стрічки магнітопроводу.

В четвертому розділі розроблений аналітичний метод розрахунку вихрових струмів і втрат від них в стрічковому магнітопроводі, враховуючи розміри поперечного перерізу сталевої стрічки. Одержані формули, які описують розподіл вихрових струмів у поперечному перерізі стрічки (включаючи межу перерізу). Зокрема в кутових точках перерізу густина вихрових струмів дорівнює нулю ). Одержані формули для втрат на вихрові струми в залежності від граничної В0 або середньої Вср по перерізу стрічки індукції магнітного поля, які включають в себе, як частковий випадок, відомі в літературі формули для нескінченно протягнутого листа:

. (11)

Відмітимо тут, що ряд (11) із збільшенням “n” спадає як , що дає можливість в інженерних розрахунках використовувати члена ряду.

Питомі втрати на вихрові струми визначаються за формулою:

, (12)

де Вср – середнє по перерізу стрічки амплітудне значення індукції;

.

Якщо спрямувати розмір “а” сталевої стрічки в нескінченність , то можна вважати

.

Тоді

.

Підставляючи В1 в (12), одержимо відому із літератури формулу втрат на вихрові струми для нескінченно протягнутого сталевого листа:

. (13)

За допомогою одержаних нових формул для індукції і втрат на вихрові струми проаналізовано вплив розмірів поперечного перерізу сталевої стрічки магнітопроводу на рівномірність розподілу індукції магнітного поля по перерізу стрічки та на питомі втрати на вихрові струми. Зокрема при фіксованій товщині сталевої стрічки (розмір “b”) з збільшенням ширини стрічки (розмір “а”) середня по перерізу стрічки індукція зменшується, тобто збільшується нерівномірність розподілу індукції по перерізу стрічки.

Таким чином в четвертому розділі одержані аналітичні рішення задачі розрахунку розподілу індукції магнітного поля і вихрових струмів в поперечному перерізі стрічки витого магнітопроводу тороідального трансформатора і втрат на вихрові струми з урахуванням кінцевої ширини сталевої стрічки. При цьому відомі формули розподілу індукції магнітного поля і втрат на вихрові струми в листі (стрічці) витікають із одержаних нами, як частковий випадок.

В п`ятому розділі з використанням розривних функцій розроблено наближений аналітичний метод розрахунку розподілу поля і втрат на вихрові струми в сталевому листі, одношаровому і двошаровому нелінійному середовищі. Кусочно-лінійна апроксимація кривої намагнічування дозволяє звести нелінійне диференційне рівняння

до двох лінійних диференційних рівнянь

; .

Тут і – магнітна проникність до і після точки перегину (B0, H0) кусочно-лінійної апроксимації кривої намагнічування.

Рішення лінійних рівнянь узгоджуються в точці H1 = H2 = H0 за допомогою розривних функцій (рис. 1) і підставляються у нелінійне диференційне рівняння, з якого знаходять умови погодження рішень лінійних дифeренційних рівнянь

,

які означають незмінність напруженості магнітного поля і вихрових струмів (згодом і напруженості електричного поля, оскільки ) у точці ), Цей висновок узгоджується з ідеєю Неймана Л.Р. про можливість розгляду нелінійного середовища (у разі кусочно-лінійної апроксимації кривої намагнічування) у вигляді суми двох (та більше) лінійних середовищ.

Запропонована методика розрахунку електромагнітного поля в нелінійному середовищі дозволяє визначити ступінь несінусоїдальності поля в середині нелінійного середовища. На
рис. 4, 5 зображені криві напруженості і індукції магнітного поля в сталевому листі товщиною для (Bm; Hm) = (1,64; 4000); (B0; H0) = (1,35;1125), з яких випливає, що з віддаленням від поверхні збільшується запізнювання і зменшується амплітуда електромагнітної хвилі, форма кривої напруженості магнітного поля H(t) має загострений характер, а індукції B(t) – сплoщений. Для найбільш простого випадку – феромагнітного напівпростору формули поля, яке збуджується плоскою електромагнітною хвилею , мають вигляд:

Рис.4

Рис.5

.

Другий результат досліджень п`ятого розділу – формула втрат на вихрові струми в сталевому листі з урахуванням нелінійності кривої намагнічування, з якої, як частковий випадок, випливає відома формула втрат в сталевому листі з постійною магнітною проникністю (13).

Одержано наближене рішення задачі розрахунку розподілу електромагнітного поля у двошаровому нелінійному середовищі, формули якого мають в собі, як частковий випадок, рішення для лінійного двошарового середовища і для лінійно–нелінійного двошарового середовища.

В шостому розділі розглянуті питання вимірювання і компенсації зовнішніх магнітних полів електротехнічних пристроїв, тісно пов`язані з розрахунком магнітних полів цих пристроїв в необмеженому просторі, який реалізується за допомогою методу розривних функцій.

Зовнішнє магнітне поле будь-якого джерела може бути представлено у вигляді суми полів мультиполів порядку “n” (сферичних гармонік), які зменшуються по різному в залежності від відстані R:

. (14)

Тут – сферичні координати точки спостереження;

U – скалярний магнітний потенціал;

gnm, hnm – коeфіцієнти ряду ;

– приєднані поліноми Лежандра;

n – порядок мультиполя.

Величина зовнішнього магнітного поля будь-якого джерела вже на невеликій відстані від нього (за розмірами рівній габаритам джерела) буде визначатися двома-трьома мультиполями, переважно нижчого порядку, оскільки напруженість поля мультиполів більш високого порядку швидко зменшується з відстанню (як).Тому вимірюванню та компенсації (зменшенню) підлягають тільки ці мультиполі нижчих порядків, а не все зовнішнє поле джерела. Звідси слідує необхідність розробки пристроїв, які вибірково (по мультиполях) вимірюють і компенсують зовнішнє поле електротехнічних пристроїв.

В шостому розділі розроблені вибіркові контурні обмотки для вимірювання і компенсації зовнішнього магнітного поля електротехнічних пристроїв, розташовані на координатних поверхнях та координатних лініях різноманітних систем координат (сідлообразні і кільцеві – в циліндричній системі координат, кільцеві і сферичні сегментні – в сферичній системі координат, квадратні – в декартовій системі координат). В залежності від конструктивних особливостей електротехнічних пристроїв можуть застосовуватися контурні обмотки тієї чи іншої конфігурації. Наприклад, сідлообразні і кільцеві вибіркові обмотки (для компенсації або вимірювання радіальних і осьових полів) зручно розташувати на циліндричній поверхні електричних машин (всередині або назовні) і т.д.

Вибірковість контурних обмоток реалізується тим, що iз вимірів або компенсацй виключаються всі нижчі і не менш як три наступні за вимірюваним (компенсованим), вищі мультиполі. Для досягнення такого роду вибірковості в даній роботі одержані відповідні співвідношення розмірів для сідлообразних, кільцевих, сегментних і квадратних контурних обмоток. Наприклад, для 2n сідлообразних вимірювальних обмоток з розмiрами i розташованих на циліндричній поверхні радіуса r, умови вибірковості для мультиполя порядку “n” мають наступний вигляд:

; .

Дві соосні кільцеві обмотки радіусу r, розташовані на відстані 2z0 одна від одної вимірюють діпольне поле (n = 1) – при узгодженому включенні і співвідношенні розмірів r = 2z0, або квадрупольне поле (n = 2) – при зустрічному включенні і співвідношенні розмірів . Вимірювана діпольними обмотками ЕРС дорівнює:

,

а квадрупольними:

,

звідки можуть бути знайдені відповідні члени ряду (14), або магнітні моменти джерела (дипольний М1 і квадрупольний М2):

.

Якщо кільцеві обмотки розташовувати на сфері радіуса R соосно по відношенню до осі на відстані “l“ одна від одної, то для вимірювання діпольного поля потрібні дві узгоджено ввімкнені обмотки з співвідношенням розмірів , а для вимірювання поля мультиполів порядку потрібно “n“ зустрічно ввімкнених обмоток з співвідношенням розмірів, приведеними в таблиці.

Таблиця

Співвідношення розмірів для

n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5

2

Тут нумерація чисел витків і кута відраховується від двох крайніх, симетрично розташованих відносно початку координат (тобто центру джерела поля) обмоток з числом витків w1 до