МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТРАНСПОРТНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

АРЧУК Олександр Васильович

УДК 539.3

ПРИКЛАДНА ТЕОРІЯ ТА МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ МЕХАНІКИ

СКЛАДЕНИХ КОНСТРУКЦІЙ ШАРУВАТОЇ СТРУКТУРИ

Спеціальність 05.23.17 – Будівельна механіка

ВТОРЕФЕРАТ

исертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

иїв – 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Національному транспортному університеті (м.Київ)

Міністерства освіти і науки України.

Науковий консультант: доктор технічних наук, професор

Піскунов Вадим Георгійович,

Національний транспортний університет,

завідувач кафедри опору матеріалів і машинознавства

(м.Київ).

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор,

кадеміНАН України

Григоренко Ярослав Михайлович,

Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України,

головний науковий співробітник (м.Київ);

октор технічних наук, професор

Городецький Олександр Сергійович,

Державний науково-дослідний інститут втоматизованих

систем у будівництві Державного комітету удівництва,

архітектури та житлової політики України,

заступник директора з наукової роботи (м.Київ);

доктор технічних наук, професор

Чибіряков Валерій Кузьмич,

Київський національний університет

будівництва й архітектури,

завідувач кафедри вищої математики (м.Київ).

провідна установа: АТ “Український науково-дослідний та проектний інститут сталевих конструкцій ім. В.М.Шимановського” Української державної корпорації з виконання монтажних і спеціальних будівельних робіт, науково-дослідний відділ технічного розвитку (м.Київ).

Захист відбудеться 20.01. 2006 . о 10 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради 26.059.02 при Національному транспортному університеті за адресою: 01010, м.Київ, вул. Суворова,1, зал засідань (ауд. 333).

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Національного транспортного університету за адресою: 01103, м.Київ, вул. Кіквідзе, 42

Автореферат розісланий 16.12. 2005 .

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради,

кандидат технічних наук, доцент І.А.Рутковська

АГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми. У сучасній техніці поширюється застосування конструктивних систем композитної структури, зокрема аруватих, із високим рівнем рiзномодульностi складових матеріалів, анізотропії тощо. Це конструкції літальних апаратів, наземного та підемного транспорту, будівельних, дорожніх та аеродромних споруд, машинобудівних систем, інших об’єктів.

Сучасні конструкції перебувають у складних умовах деформування: мають контакт з тілами різної жорсткості та різноманітні умови закріплення, вони підпорядковані дії локальних статичних та близьких до резонансних динамічних навантажень, що можуть спричинити порушення цілісності конструкції, зокрема розшарування композитної системи тощо. Зазначені особливості зумовлюють тривимірний напружено-деформованоий стан (НДС) цих конструктивних систем, зони з високими градієнтами його зміни.

Застосування прямих точних методів просторової теорії пружності для дослідження зазначених особливостей НДС ускладнено, а класичні напрямки теорії, побудовані на спрощених гіпотезах (гіпотези Кірхгофа-Лява,Тимошенка), не дають у цих випадках достатньої точності. Тому продовжують розвиватися наближені до моделей теорії пружності, так звані уточнені, або некласичні, моделі НДС, що зводять тривимірні задачі до двовимірних. Для шаруватих конструктивних систем розвинено два основних напрямки моделювання: континуальні теорії, які функціонально узагальнюють властивості системи за її товщиною, та дискретні теорії, що моделюють властивості структури пошарово. Кожен із цих напрямків має свої переваги та недоліки, що позбавляє їх універсальності.

У зв’язку з викладеним виникає потреба подальшого вдосконалення наведених напрямків моделювання та їх узагальнення у єдину теорію, а також побудови на цій основі ефективних аналітичних та числових методів дослідження НДС, що у цілому має створити можливість розрахунку конструкцій шаруватої структури складених із композитних частин з урахуванням різних умов їх контакту.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Результати досліджень дисертації пов’язані з науковими програмами Національного транспортного університету, були використані та увійшли до звітів науково-дослідних робіт, виконаних на кафедрі опору матеріалів та машинознавства за темами: “Теоретичні моделі та методи розрахунку шаруватих конструкцій транспортних споруд при дії багатоколісних транспортних засобів підвищеної вантажопід’йомності”(1996-1999 рр., № д. р. 0197И00544); “Динаміка та стійкість шаруватих середовищ нерегулярної структури з композитних матеріалів під дією рухомих навантажень” (1999-2002 рр., № д. р. 0100U002442); ”Уточнена методика розрахунку дорожнього одягу на плитних та ребристих залізобетонних прогонових будовах автодорожніх мостів”(№167 від 9.04.2002 р.).“Розробити методику розрахунку нежорстких дорожніх одягів з армуючими прошарками” (2003р. № д.р. 0102U003929); “Розрахунок збірно-монолітної, температурно-нерозрізної ребристої залізобетонної прольотної будови з прольотами 18 – 33 м.” (договір № 108 від 1.05.2003 р. з Державним підприємством “Укрдіпродор”).

Мета i завдання дисертації. Мета дисертації полягає у побудові узагальненої некласичної теорії розрахунку шаруватих композитних конструктивних систем на основі розвитку та об’єднаня континуального та дискретного напрямків моделювання їх напружено-деформованого стану, у реалізації запропонованої теорії аналітичними та числовими методами для розв’язку широкого кола задач статики, динаміки, стійкості та контактної взаємодії вказаних систем у складних умовах деформування.

Ця мета потребує реалізації таких завдань: –

обудови удосконаленої континуальної моделі деформування шаруватих плит і оболонок, яка дасть змогу враховувати умови контакту з іншими тілами на обох зовнішніх поверхнях – моделі з двома базовими поверхнями (двоповерхневої моделі), двовимірною за математичним змістом, але просторової за геометричною та фізичною сутністю;–

об’єднання на основі побудованої двоповерхневої моделі континуального та дискретного принципів моделювання шаруватих систем, складання іх із шаруватих пакетів, що узагальнює обидва напрямки моделювання в єдиній теорії, яка дасть змогу уточнювати НДС композитних конструкцій та надасть можливість розглядати не тільки плити та оболонки, а й масиви, напівпростір, шаруваті конструкції складеної структури за товщиною та в плані тощо;–

обудови для окремих випадків умов на контурі точних еталонних розв’язків рівнянь теорії пружності для шаруватих плит і пологих оболонок, зокрема при їх контакті з жорсткою основою та напівпростором, урахуванні неперервної неоднорідності шару за товщиною, при жорсткому та ковзкому контакті між шарами, що в цілому дасть можливість широкого тестування запропонованої теорії для обґрунтування її достовірності; –

налітичної реалізації запропонованої теорії та її тестування шляхом зіставлення із побудованими та відомими точними розв’язками, із результатами розрахунків за іншими двовимірними теоріями адач статики, динаміки та стійкості шаруватих систем;–

числової реалізації запропонованої теорії методом скінченних елементів та розробки напiваналiтичної скiнченно-елементної методики розрахунку шаруватих конструкцій, дослідження на цій основі задач НДС складних конструктивних систем;–

обудови на основі запропонованої теорії та методів її реалізації методики розрахунку різноманітних об’єктів: плит складеної будови в плані та за товщиною в контакті з пружним напівпростором, з урахуванням відриву від нього для розрахунку одягів автомобільних доріг та аеродромів, шарувато-ребристих систем для розрахунку конструкцій прогонових будов мостів, розв’язку інших прикладних задач.

Об’єктом дослідження є композитні конструкції складеної шаруватої структури з високим рівнем різномодульності матеріалів у різноманітних умовах деформування.

Предметом дослідження є напруженно-деформований стан, характеристики коливань та стійкості композитних конструкцій шаруватої структури залежно від фізико-механічних властивостей складових матеріалів, характеру статичних та динамічних навантажень, умов закріплення та міжшарового контакту, контактної взаємодії з різними тілами, інших особливостей деформування.

Методами дослідження є розроблювана універсальна некласична теорія композитних конструкцій та методики її аналітичної й числової реалізації, а також побудовані точні та наближенні методи розв’язання тривимірних задач теорії пружності стосовно об’єкта досліджень.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступному:-----–

озроблено нову континуальну модель деформування шаруватих систем, особливістю якої є наявність двох базових поверхонь, що при двовимірності за математичним змістом надає їй просторового характеру за геометричною та фізичною сутністю; –

на основі двоповерхневої моделі побудовано нову некласичну теорію розрахунку шаруватих систем, яка узагальнює континуальий та дискретний напрямки моделювання їх НДС і створює передумови для розрахунку конструкції складної структури за товщиною та в плані;–

розроблено новий варіант точних еталонних розв’зків івнянь теорії пружності для шаруватих плит та пологих оболонок із різними умовами контакту на зовнішніх поверхнях та міжшарового контакту, врахуванням неперервної неоднорідності шарів за товщиною для задач статики, динаміки з впливом дисипації енергії, стійкості, поздовжньо-поперечного згинання; –

побудовано новий скінченний елемент шаруватих масивів, особливістю якого є незалежність числа ступенів вільності від кількості шарів, можливість його суміщення з елементами іншої будови по зовнішніх поверхнях для розрахунку об’єктів кладеної неоднорідної структури за товщиною та в плані, при істотному зменшенні числа невідомих порівняно з дискретизацією об’єктів звичайними просторовими скінченними елементами; –

розроблено новий варіант напiваналiтичної скiнченно-елементної методики розрахунку шаруватих конструкцій з точним розв’язком диференціальних рівнянь відносно розподілення розшукуваних функцій за товщиною конструкції, яка дає змогу уточненого дослідження НДС складних конструктивних систем та підтвердження достовірності скінченно-елементної реалізації запропонованої теорії;–

на основі точних розв’язків івнянь теорії пружності, аналітичної та числової еалізації побудованої некласичної теорії виконано дослідження для широкого кола нових задач і вявлено нові ефекти НДС омпозитних конструкцій шаруватої структури залежно від фізико-механічних властивостей складових матеріалів, характеру статичних та динамічних навантажень, міжшарового контакту та контактної взаємодії з різними тілами, інших особливостей деформування.

Практичне значення отриманих результатів полягає у розв’язку на базі запропонованої теорії та методів її реалізації прикладних задач розрахунку різноманітних конструктивних об’єктів: плит складної будови в плані та по товщині в контакті з пружним напiвпростором та з урахуванням відриву від нього для розрахунку одягів автомобільних доріг і аеродромів, шарувато-ребристих систем для розрахунку конструкцій прогонових будов мостів та інших конструкцій. Здобуті результати набули застосування під час проектування та будівництва реальних транспортних об’єктів.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації оголошено на таких конференціях: “Технологічні проблеми міцності несівних конструкцій (Запоріжжя, 1991); “Композитні матеріали в корпусах глибоководних технічних засобів” (Ніколаєв, 1991); “Шляхи підвищення ефективності дорожнього господарства України в нових умовах господарювання”(Київ, 1994); “Механіка композитних матеріалів (МКМ)” (Латвія, Рига, 1996, 1998, 2000), “Composite Science and Technology - ICCST/2” (South Africa, Durban, 1998); “Прогресивні технології i енергозбереження в дорожньому будівництві” (Київ, 2001); “роблеми економії енергії” (Львів, 2001), а також на ілоруському конгресі з теоретичної та прикладної механіки “Механика - 95” ( Мінськ, 1995); У повному обсязі дисертація доповідалася на семінарах у Національному транспортному університеті, Інституті механіки НАН України ім. С.П.Тімошенко, ВАТ “Укрндіпроектстальконструкція” ім. В.М.Шимановского, Придніпровській державній академії будівництва та архітектури.

Публікації. За темою дисертації загалом опубліковано 60 наукових праць, із яких в авторефераті наведено список із 30 найбільш суттєвих робіт, надрукованих у провідних спеціалізованих фахових виданнях, де викладено основний зміст дисертації. З них 13 самостійних публікацій автора.

Особистий внесок здобувача. Основна частина ідей, теоретичних та практичних розробок дисертації належить здобувачу особисто, що знайшло відображення в його індивідуальних працях: [5-11,13,15-17,22,30]. Співавтори статей [4,27,28] Огарков С.А. та Гриневицький Б.Г. приймали участь у розрахунках та обробці їх результатів. Статті [1-4,12,14,18,19-21,23-29] надруковано разом із науковим консультантом доктором технічних наук, професором В.Г.Піскуновим як постановником проблем дисертації, якому автор висловлює щиру подяку.

Структура і обсяг роботи. Дисертаційна робота складаеться з вступу, восьми розділів, висновків, бібліографії та додатку. Вона викладена на 353 cторінках основного тексту, містить 52 рисунк, 53 таблиці, список використаних джерел з 194 найменувань на 18 сторінках, додатка на 5 сторінках.

СНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтована актуальність теми дисертації, визначені мета i задачі досліджень, подана загальна характеристика роботи.

У першому розділі викладено огляд розвитку напрямків розрахунку шаруватих конструкцій. Зазначено, що в моделюванні їх напружено-деформованого стану можна виділити два основних напрямки: –

розв’язання рівнянь просторової теорії пружності; –

використання двовимірних рівнянь екласичної (уточненої) теорії, побудованої методом уведення відповідних гіпотез про розподіл компонент напруженно - деформованого стану за товщиною конструкції.

Істотний внесок в отримання просторових розв’язкiв теорії пружності зробили, Б.Г.Гальоркiн, А.І.Лурьє, Л.Е.Брюккер, Б.Ф.Власов, О.М.Гузь, Ю.М.Немiш, Я.М.Григоренко, А.Т.Василенко, Н.Д.Панкратова, М.О.Шульга, О.П.Прусаков, А.К.Приварнiков, В.С.Нiкiшин, В.К.Чібіряков, а також В.Бартон, А.Нур, Н.Пейгано, Дж.Реддi, М.Савоя, С.Срініваз та iн. Не зважаючи на обмежений клас задач, які можна розв’язати на основі рівнянь просторової теорії пружності, відзначається їх важлива роль у проведенні деяких дослідницьких числових експериментів, а також в одержанні еталонних розв’язків. Вказано на необхідність подальшого розвитку цього напрямку.

Зазначено, що передумови застосування методу гіпотез до побудови некласичної теорії закладені С.П.Тимошенком, який врахував деформації поперечного зсуву для задачі коливань балки, та Е. Рейсснером, який побудував теорію пластин середньої товщини, що врахувала деформації зсуву. Згодом ці передумови були розвинені для шаруватих, насамперед тришарових, конструкцій. На цьому напрямку було сформульовано два підходи: –

дискретний, коли гіпотези застосовують для кожного шару окремо i порядок системи розв’язувальних рівнянь залежить від кількості шарів; –

континуальний, коли гіпотези застосовують для усього пакета шарів i порядок системи розв’язувальних рівнянь не залежить від кількості шарів.

Значний внесок у розвиток дискретного підходу зробили В.В.Болотiн, Ю.М.Новiчков, Е.I.Григолюк, П.П.Чулков, Я.М.Григоренко, А.Т.Василенко, В.А.Баженов, В.І.Гуляєв, Є.А.Гоцуляк, П.П.Лізунов, О.І. Оглобля, Л.П.Хорошун, І.Ю Хома та ін. До переваги підходу належить його висока точність, до недоліку – високий порядок розрахункових рівнянь, що особливо помітно при великій кількості шарів – типовій структурі сучасних композитів.

онтинуальний підхід в теорії шаруватих конструкцій започаткували роботи С.А.Амбарцумяна, С.Г.Лнiцького. Внесок у розвиток цього підходу зробили Я.М.Григоренко, А.Т.Василенко, С.Н.Кан, Б.Л.Пелех, В.В.Пікуль, О.П.Прусаков, А.В.Плеханов, О.Ф.Рябов, О.О.Рассказов, В.Г.Пiскунов, В.Є. Вєриженко, В.С.Сіпетов, В.К.Присяжнюк, О.В.Горик, О.С.Сахаров, О.В.Гондлях, М.О.Шульга, В.Ф.Мєйш та iн. Переваги підходу полягають у незалежності порядку системи розв’зувальних рівнянь від кількості шарів при достатній точності визначення характеристик деформування всього пакета в цілому – прогинів, частот вільних, переважно згинальних коливань, критичних параметрів втрати стійкості усього пакета. У той же час напруження у слабких шарах, частоти складних коливань та значення переміщень i напружень при таких коливаннях, напружено-деформований стан у динамічних процесах, близьких до резонансних, критичні параметри втрати місцевої стійкості можуть визначатися зі значною похибкою або взагалі не можуть бути знайдені. Обмежена можливість урахування граничних умов окремих шарів, складної будови конструкції в плані та за товщиною, адекватного відображення роботи шаруватих конструкцій на жорстких основах, особливо у разі локального навантаження.

На основі викладеного зазначена необхідність створення моделі розрахунку, яка би узагальнювала та розвивала обидва підходи, ліквідуючи їх недоліки та підсилюючи переваги, що визначило поставлену мету дисертації та завдання для її реалізації.

У другому розділі побудовано модель шаруватих пологих панелей, особливістю якої віднесення шуканих функцій до двох зовнішніх лицьових поверхонь.

Розглянуто панель шаруватої структури з фiзико-механiчними характеристиками, що дискретно (пошарово) змінюються за товщиною. Кількість шарів довільна, а їх контакт абсолютно жорсткий.

У роботi застосовуься складання по нiмих нижнiх iндексах. Кома на рівні нижніх індексів позначає операцію диференціювання.

Побудову моделі проведено за ітераційним принципом, що був запропонований С.О.Амбарцумяном для створення уточнених одноповерхневих моделей плит та оболонок.

На першому кроці ітераційного процесу розподіл переміщень за товщиною шаруватої структури прийнято за лінійним законом для тангенціальних переміщень та за полілінійним – для нормальних переміщень:

, . (1)

Тут – шукані функції переміщень на зовнішніх поверхнях панелі;задані лінійні функції по поперечній координаті; – задані полілінійні функції по поперечній координаті (лінійні у межах шару), які враховують жорсткість у поперечному напрямку.

В окремому випадку одношарової однорідної структури функції розподілу переміщень за товщиною відповідають апроксимації переміщень скiнченних елементів масивів, але на відміну від них в якості вузлових ступенів вільності виступають функції переміщень на зовнішніх поверхнях конструкції.

На основі виразів для тангенціальних складових тензора напружень , що випливають iз введеної апроксимацiї (1), iнтегруванням рiвнянь рiвноваги в напруженнях за товщиною шаруватої структури, здобуто уточненi вирази складових та . Далі із закону Гука визначено деформації та . Інтегруванням за товщиною відповідних співвідношень Коші при виконанні умови по переміщеннях на лицьових поверхнях шаруватого пакета одержано уточнені вирази переміщень шаруватої структури, що створюють основу побудови гіпотез про розподіл переміщень за товщиною пакета.

Отже, на другому кроці ітерації беруть такі залежності для шуканих переміщень:

, . (2)

Тут шуканi функцi, що враховують поперечний зсув; функцiя поперечного обтиснення;, – заданi полiноми другого степеня, третього степеня, четвертого степеня, п’ятого степеня. Задані функції по поперечній координаті враховують фiзико-механiчнi властивостi шарiв та забезпечують умови нерозривності переміщень за товщиною шаруватої системи.

На рис.1 наведено приклад функцій розподілення перемiщень за товщиною тришарового пакета:

ис.1 Функції розподілення переміщень за товщиною тришарового пакету

У наступному етапі побудови моделі розглянуто два варіанти: модель з точним виконанням закону Гука для поперечних нормальних деформацій та напружень i модель з їх незалежною апроксимацією. У другому варіанті вираз поперечних нормальних напружень записано на основі співвідношень для тангенціальних переміщень другої ітерації та поперечних переміщень третьої ітерації, з утриманням складових, що містять похідні не вище другої (бажання враховувати вищи похідні надалі призводить до невиправданого підвищення порядку розрахункових диференціальних рівнянь).

апруження мають форму

, . (3)

Деформації отримано з допомогою таких співвідношень:

; , ;

, . (4)

Далі варіаційним шляхом одержано систему диференціальних рівнянь та відповідних граничних умов. Варіант моделі з виконанням закону Гука для поперечних нормальних деформацій та напружень підпорядковується такій лiнеарiзованiй системі диференціальних рівнянь у зусиллях:

=0;

+

. (5)

Для моделі з їх незалежною апроксимацію вони набирають такого вигляду:

=0;

+

+

. (6)

Якщо рівняння в зусиллях (5) i (6) мають деякі відмінності, то рівняння у переміщеннях, що випливають із них, відрізняються тільки значенням параметрів жорсткості щодо диференціальних операторів відносно шуканих функцій.

Отже, із застосуванням ітераційного підходу побудована двоповерхнева модель деформування шаруватих панелей двовимірна за математичним змістом, але просторова за геометричною та фізичною сутністю.

Застосування iтерацiйного підходу побудови моделі призводить до певних непогодженостей при задовiльненнi умовам на поверхнях чи закону Гука. Запобігання цих непогодженостей спричиняє необхiднiсть використання штучних прийомiв, наприклад множникiв Лагранжа. Штучні прийоми ускладнюють модель i можуть як покращити, так i погіршити показники її якості. Саме тому запропонована модель побудована у двох варіантах: із точним виконанням закону Гука та з незалежною апроксимацією поперечних нормальних деформацій та напружень. Ці варіанти, неістотно відрізняючись за формою, допускають узагальнену реалізацію та забезпечують можливість розв’язання задач із широким спектром фiзико-механiчних властивостей конструкцій.

Характерною особливістю запропонованої моделі прив’язка розшукуваних функцій переміщень до зовнішніх поверхонь конструкції. Це дає можливість у разі потреби ділити конструкцію за товщиною на смуги, які можуть бути однорідними або шаруватими, й описувати їх НДС окремо системою диференціальних рівнянь. Тим самим надано можливість переходити від континуального до дискретного підходу під час розрахунку шаруватих конструкцій, підвищуючи його точність. При цьому збільшується клас конструкцій, який можна розглядати, – шаруваті пологі оболонки, плити, масиви, напівпростір тощо. Варіант моделі з незалежною апроксимацію поперечних нормальних напружень використовується при розрахунку шаруватих систем у рамках континуального підходу з незалежністю порядку розв’язувально системи рівнянь від числа шарів, а варіант моделі з точним виконанням закону Гука – при дискретному підході. Саме таке використання варіантів моделі забезпечить максимальну точність розрахунку.

Диференціальні оператори щодо розшукуваних функцій у запропонованій моделі подібні відомим у класичній теорії оболонок. Це дає можливість використовувати апробовані методики для розв’язання задач. Формальна аналогія між розшукуваними функціями прогину лицьових поверхонь, функціями зсуву та обтиснення істотно спрощує розв’язання системи диференціальних рівнянь високого порядку.

Далі розроблена модель застосовується для розв’язання задач статичного навантаження, динамічного деформування з урахуванням дисипації енергії, стійкості, повздовжньо-поперечного деформування шаруватих конструкцій.

Третій розділ присвячений побудові точних еталонних розв’язкiв для задач статики, динаміки та стiйкостi шаруватих конструкцiй. Запропоновано аналітичну модель, у якій переміщення та напруження записано у вигляді добутку функцій їх розподілу в плані та за товщиною з урахуванням зміни в часі:

, . (7)

Якщо перші з цих функцій взяти у виглядi ; ; , що вiдповiда граничним умовам типу Нав’, то рiвняння рiвноваги вiдносно шуканих функцiй набувають вигляду:

; ;

;

;

;

. (8)

Складові від попередньо напруженого стану наступні:

;

. (9)

Розподіл шуканих функцій за товщиною шаруватого тіла такий:

якщо ,

, ;

, ; (10)

якщо ,

;

, . (11)

Степінь урахування нелінійних складових у виразах для деформацій залежить від співвідношень (4).

апропонований аналітичний розв’язок точним у межах відомих припущень про пологість конструкцій i точним для плоских конструкцій. Далі на його основі отримано еталонні розв’язки для задач статичного навантаження конструкцій, вільних та вимушених коливань з урахуванням різних видів дисипації енергії, стійкості конструкцій, повздовжньо-поперечного деформування конструкцій. Розв’язки здобуто для пологих оболонок, плит, масивів, напiвпростору. Розглянуто жорсткий контакт шарів, а також контакт із проковзуванням. У межах шару фiзико-механiчнi характеристики можуть бути постійними, а також неперервно змінними.

У четвертому розділі двоповерхневу модель шаруватих панелей, побудовану в другому розділі, реалізовано в подвійних тригонометричних рядах. Результати розрахунку зіставлено із запропонованим у третьому розділі аналітичним розв’язком, а також із відомими розв’язками за альтернативними моделями.

Для задач статики отримано задовільний збіг результатів розрахунку по двоповерхневiй моделі з просторовими моделями Н.Пейгано, А.Е.Брюккера, а також двовимірними прикладними моделями О.О.Рассказова, В.Г.Пiскунова, Дж.Реддi. При цьому виявлено, що запропонована модель певною мірою уточнює результати прикладних моделей при розрахунках шаруватих плит із низькомодульними прошарками. При розрахунках шаруватих плит із сильно обтиснутим заповнювачем вона конкурує за точністю, в межах континуального підходу, із просторовою моделлю А.Е.Брюккера. Перехід до розрахунку в межах дискретного підходу із складанням конструкції з окремих частин по товщині та забезпечення відповідних умов їх контакту зумовлює подальше уточнення.

Вплив уведених узагальнених функцiй (зсуву та обтиснення) на точнiсть запропоновано моделi розглянуто на прикладi розрахунку шарувато плити зображеної на рис.2 ( ; ; ;; ; ). На верхній поверхні плити діє поперечне навантаження, розподілене за синусоїдним законом, на нижній заборонені нормальні переміщення. У табл. 1 наведено результати розрахунку цієї плити при різних коефіцієнтах (; ; – реакцiя жорстко основи; Т – точний розв’язок плити з ковзким контактом шарів). При мао тришаровий масив, при присутність третьго шару не спостерігаься, тобто моделюься ковзкий контакт.

аблиця 1. Моделювання ковзкого контакту прошарком

| | 1 | 0,3020 | -5,995 | 0,6658 | 10 | 0,3056 | -6,051 | 0,6947 | 100 | 0,3195 | -6,168 | 0,7615 | 1000 | 0,3199 | -6,172 | 0,7638 | Т | 0,3227 | -6,224 | 0,7600 | озкладання розшукуваних переміщень по складових при різних коефіцієнтах показано на рис. 3.

Для задач стійкості отримано близький збіг результатів розрахунку, здобутих за запропонованою моделлю, з відомими розв’язками С.Срiнiваза, О.О.Рассказова та тривимірним розв’язком, який побудовано в третьому розділі. Можливості запропонованої моделі продемонстровано на прикладі розрахунку тришарової плити (;; ; ; ; ). Результати наведено у табл. 2. При розрахунку першого варіанта конструкції використано континуальний варіант моделі (П), другий, третій та четвертий варіанти конструкції розраховано дискретним варіантом моделі (П_3), з складанням конструкції з трьох шарів та описанням кожного шару запропонованою системою диференціальних рівнянь із забезпеченням відповідних умов їх контакту. Для підтвердження достовірності результатів усі варіанти конструкції перераховано з розбиттям на 16 частин по товщині (П_16). Отримано збіг критичних деформацій за запропонованою прикладною моделлю та розв’язком, розглянутим у третьому розділі.

Запропонована модель дає можливість досліджувати стійкість шаруватих конструкцій, у яких заборонено вертикальні переміщення на нижній поверхні, а також конструкції, що спираються на напiвпростiр. Як приклад розглянуто масив, наведений на рис. 4, із такими параметрами: ; ; . Характеристики двох верхніх шарів збігаються з

ис.4. Схема

Масиву | озглянутими у попередньому випадку. Характеристики третього шару такі: ; . Втрата стійкості цієї конструкції виникає при . Критична деформація (), визначена за допомогою запропоновано прикладної моделі, становить , а аналiтично, розглянуто у третьому роздiлi, – . У цьому | ипадку було достатньо розв’язку в межах континуального підходу. В разі потреби можливий перехід до дискретного підходу, що значно розширює можливості запропонованої методики.

Для задач визначення частот вільних коливань результати, здобуті за запропонованою прикладною моделлю, порівнювались з відомими просторовими розв’язками С.Срiнiваза, А.Нура, а також за аналітичною моделлю, розглянутої у третьому розділі. Отримано збіг результатів розрахунку. Наявність розв’язку, розглянутому в третьому розділі, дало змогу провести широке коло тестових зіставлень. Виявлено, що запропонована модель демонструє високу точність у межах континуального підходу для широкого кола задач. Необхідність застосування дискретного варіанта виникає при знаходженні частот планарнх коливань конструкцій, при моделюванні напiвпростору, зокрема зі змінним модулем пружності по товщині, для конструкцій з проковзним контактом шарів.

Запропонована модель дає змогу розглядати власні коливання попередньо напружених конструкцій. Якщо співвідношення i попередня деформацiя для усiх шарiв однакова, задача визначення частоти власних коливань попередньо напружених конструкцiй зводиться до задачi визначення частоти власних коливань ненапружено конструкцi з подальшим визначенням частоти власних коливань напружено конструкцi за допомогою залежності . На рис. 5 зображено графіки перших трьох частот власних коливань трьох різних варіантів попередньо напруженої плити з композитними ортогональними шарами ( ).

Варіант 1 Варіант 2 Варіант 3

ис 5. Графіки перших трьох частот власних коливань різних варіантів попередньо напруженої плити

Спостерігається близький збіг результатів розрахунку за запропонованою моделлю (цифри в дужках) та за тривимірним розв’язком, наведеним у третьому розділі. У разі попереднього завантаження тільки середнього шару плити з просковзуючим двостороннім контактом шарів (варіант 3) на третю частоту попереднє напруження практично не впливає. Коливання на цій частоті планарне з неістотним взаємовпливом шарів.

На рис. 6 наведено епюри напружень першого варiанта конструкцi під дією статичного та динамiчного навантаження (вимушенi гармонiчнi коливання на першiй резонанснiй частотi) при рiзнiй величинi попереднього навантаження. Точнiсть прикладної моделі при такому розрахунку в межах континуального підходу достатня.

Запропоновані моделі (прикладна та точна аналітична) дають змогу розглядати вимушені коливання шаруватих конструкцій з коефіцієнтом згасання . У табл. 3 наведено результати розрахунку амплітуд (; ; ;; ) тришарово плити з такими фiзико-механiчними властивостями: ; . Другий та третій шари виконані з такого самого матеріалу, але повернуті почергово на кут . Навантажується верхня поверхня плити (). Перші три резонансні частоти для неї при такі: ().

аблиця 3. Амплітуди вимушених коливань на резонансних частотах із розсіюванням енергi

При статичному розрахунку плити та при динамічному на першій резонансній частоті прикладну модель застосовано у межах континуального підходу. Для отримання достовірних результатів при коливаннях на другій та третій частоті виникла необхідність застосовування дискретного підходу, з складанням плити з чотирьох частин однакової товщини.

Епюри розподілу переміщень при вільних (тонка лінія) та вимушених (товста лінія) коливаннях за товщиною плити зображені на рис.7. На першій резонансній частоті (переважно поперечних) коливань вони збігаються i практично однакові з розподілом за товщиною розглядуваних величин при статичному поперечному навантаженні. На другій та третій резонансних частотах (переважно планарних) вони відрізняються i мають інший характер, ніж розподіл переміщень та напружень за товщиною при статичному поперечному навантаженні.

Запропоновані моделі (прикладна та аналітична) дають змогу розглядати дисипацію енергії за моделями Сорокіна та Фойхта шляхом уведення комплексного подання модулів пружності конструкції ( ). Розглянута можливість заміни розрахунку за вказаними моделями дисипації енергії розрахунком із коефіцієнтом згасання коливань . При невисоких коефіцієнтах розсіювання енергії така заміна правомірна i веде до значного спрощення розрахунку. При високих коефіцієнтах таке спрощення призводить до значної похибки. У табл. 4 подано результати розрахунку ( )

ис.6. Епюри наружень конструкцi при статичному

та динамiчному навантаженнi з урахуванням попереднього поперечного навантаження

ис.7. Епюри розподiлу перемiщень за товщиною при вiльних та вимушених коливаннях

ришарово оболонки ( ; ; ) з взано ортогонально орiтованими ортотропними шарами ) при вимушених коливаннях на першiй резонанснiй частотi (; ; ; ) з такими параметрами дисипацi енергi: .

Таблиця 4. Результати розрахунку при різних варіантах розсіювання енергії

ид розсіювання |

T П |

Т П |

Т П | =0,1 | 173,0 172,9 | 103,8 104,41 | 64,17 63,37 | 0,1 | 173,0 172,7 | 103,2 103,69 | 63,85 62,99 | =0,25 | 69,26 69,22 | 42,60 42,85 | 26,33 26,00 | 0,25 | 69,18 69,08 | 41,29 41,51 | 25,54 25,19 | =0,5 | 34,72 34,41 | 23,15 23,28 | 14,28 14,12 | 0,5 | 34,73 34,68 | 20,73 20,83 | 12,82 12,65 | татика | 17,62 17,57 | 10,48 10,64 | 6,397 6,316 |

Отже, запропонована модель демонструє високу точність під час розв’язання задач статики, динаміки та стійкості шаруватих конструкцій. Вона має можливість розрахунку шаруватих конструкцій у межах континуального підходу, з незалежністю числа розв’язувальних рівнянь від числа шарів, з подальшим уточненням результату розрахунку, у разі переходу до дискретного варіанта моделі. Збільшення степенi дискретизації за товщиною дає змогу наближуватись до точного результату. При цьому можливе застосування ітераційних підходів до реалізації дискретного варіанта моделі з використанням результатів, отриманих у разі використання континуального підходу як початкових. Переваги такого підходу особливо істотні під час розв’язання задач стійкості та власних коливань. Зазначені переваги запропонованої моделі дають можливість застосовувати для розглядання широкого класу шаруватих конструкцій – плит, оболонок, масивів, напівпростору. Запропоновану модель слід вважати узагальненням континуального та дискретного підходів до розрахунку шаруватих конструкцій.

У п’ятому розділі на основі запропонованої двоповерхневої моделі побудовано скінченний елемент шаруватого масиву (рис.8). Прийнято такі ступенi вільності:

– горизонтальнi перемiщення та – вертикальні перемiщення i кути повороту вiдносно осей X ,Y верхньо (1) та нижньо (2) поверхонь масиву; (3,4,5) – ступенi вiльностi пов’язанi з урахуванням функцiй зсуву та обтиснення.

Рис.8. Схема скінченного елемента шаруватих масивів та його ступенi вільності

иференцiальнi оператори вiдносно розшукуваних функцiй аналогiчнi розглянутим у класичнiй теорi оболонок. Це дало можливість застосувати для апроксимації розшукуваних функцій вiдомi поліноми, якi ранiше використовувались при побудовi скiнченних елементiв оболонок.

Побудований елемент шаруватих масивів можна використовувати для розв’язання задач статичного навантаження конструкцій, динамічного деформування з урахуванням дисипації енергії, стійкості конструкцій, статичного та динамічного навантаження попередньо напружених конструкцій. Він розширює клас дискретно-континуальних схем (ДКС МСЕ) та дає змогу при розрахунку шаруватих конструкцій у межах одного елемента за товщиною конструкції розглядати декілька шарів, що істотно зменшує порядок розрахункової системи рівнянь порівнянно з дискретними схемами, в яких кожний шар моделюється окремими елементами. Коло задач, коли за товщиною достатньо взагалі одного елемента досить широке i воно висвітлювалось у четвертому розділі.

Розроблений елемент дає можливість моделювання конструкції складеної будови за товщиною та в плані з урахуванням різних умов контакту між складовими частинами конструкції.

У шостому розділі для подальшого розширення класу можливих тестових розрахунків розроблена напiваналiтична модель розрахунку шаруватих композитних конструкцій. Розділення змiнних проводиться таким чином:

(12)

ут овжина скiнченного элемента ,, , озшукуванi функцi розподiлення перемiщень i напружень у -му вузлi. Нормальні поздовжні напруження визначені за формулою

(13)

Диференціальні рівняння рівноваги скінченного елемента шару отримано за допомогою варіаційного принципу Рейсснера у такiй формi:

(14)

Тут

; – попередн напруження в шарi.

истема диференціальних рівнянь для шару має вигляд

деомери точок, в яких визначаються вiдповiднi розшукуванi функцi з урахуванням граничних умов на контурi.

Розв’язок системи диференциальних рiвнянь розшукуься у такiй формi:

. (16)

ут ; орнi характеристичного рiвняння розв’язувально системи диференцiальних рiвнянь; власнi вектори; талi iнтегрування, якi визначають з умов контакту шарiв та умов на зовнiшнiх поверхнях у кожному вузлi сiтки розбиття конструкцi на скiнченнi елементи; агальна

кiлькiсть розшукуваних функцiй у шарi.

Рис. 9. Похибка методу

при статичному навантаженні

Рис.10. Похибка методу

в задачах стійкості та динаміки

тертям, урахування вiдлипання шарiв один вiд одного по частинi поверхнi шарiв. Зовнiшнi поверхнi можуть бути вiльними, обпиратися на абсолютно жорстку основу, мати нескiнченну товщину (переходити у напiвпростiр).

У сьомому розділі побудований у п’ятому розділі скінченний елемент шаруватих масивів тестований шляхом зіставлення з аналітичними розв’язками, здобутим у четвертому розділі, та напiваналiтичними розв’язками, отриманими в шостому розділі. Продемонстровано збіжність елемента в задачах статики, динаміки та стійкості шаруватих конструкцій.

На основі запропонованого елемента розв’язано коло задач, які демонструють його переваги над відомими елементами шаруватих конструкцій.

Розглянуто задачі згинання конструкцій з ковзним контактом шарів при урахуванні тертя між шарами. Доведено, що вплив тертя може призвести до суттєвої зміни результатiв розрахунку. На рис.11 зображені графіки зміни тангенціальних та нормальних перемiщень, а на рис.12 – графiки змiни напружень; ; за планом плити на рiвнi розшарування (; центр координат збігається з центром плити в планi, за висотою розташований у місці контакту шарів; тонка лiнiя – без урахування тертя; середня лiнiя – з урахуванням тертя, без перерозподiлу напруження ; товста лiнiя – з урахуванням тертя, з перерозподiлом ). Iзотропна лита

Рис.13. Перемiщення та напруження Рис.14. Вплив тертя в задачах

в зонi розшарування масиву контакту плити та напiвпростору

озшарована на дві складові частини (; ; ; ). Верхня поверхня навантажена, нижня вільна. Розрахунки проводились по запропонованому елементу шаруватих масивів у межах континуального підходу з уведенням низько-модульного прошарку, та в межах дискретного підходу з окремим розгляданням шарів. Результати порівнювались з розв’язком по запропонованому напiваналiтичному підходу. Доведено їх фактичний збіг. У розглянутих задачах вплив урахування перерозподілу поперечних нормальних напружень при розрахунку конструкцій з ковзким контактом шаріза наявності тертя незначний. Тобто розрахунок з урахуванням тертя можна було проводити у два етапи з використанням принципу суперпозиції: спочатку визначити напруження у зонi контакту шарів без тертя, а потiм доповнити його розрахунком на тертя. Перерозподiлом напружень при цьому можна було знехтувати.

На рис.13 зображено графіки зміни тангенцiальних переміщень та напружень у зонi розшаруваня, якщо воно дiлить плиту за висотою на двi рiвнi частини та нижня поверхня закрiплена на жорсткiй основi. Коефіцієнт тертя (при бiльшому тертi шари не проковзують). У цьому випадку перерозподіл напружень також не спостерігається.

На рис.14 наведено результати аналізу впливу тертя на напруження у задачах контакту плити з напiвпростором (; апруження з урахуванням тертя, апруження без урахуванням тертя) залежно вiд спiввiдношення жорсткостi основи та плити. Із зменшенням жорсткості плити відносно основи вплив тертя істотно збільшується.

Запропонований скінченний елемент застосовано для дослідження напружено-деформованого стану шаруватих конструкцій при дії локальних навантаженнь. Розглянуто тришарову плиту ( ; ; ) з шарнiрним обпиранням по контуру, навантажену вертикально в центрi локальним навантаженням, розподіленним по квадрату. Сторона квадрата дорівнює висоті плити. На рис. 15 наведено результати розрахунку цієї конструкції з вільною та закріпленою нижньою поверхнею ( цифри без дужок отримано розв’язком в рядах за аналітичною моделлю; цифри в дужках – за дискретним варіантом скінченного елемента; цифри в подвійних дужках – за континуальним варіантом скінченного елемента).

Рис. 15. Напруження в шаруватій плиті при дії локального штампа

При розрахунку плити з вільною нижньою поверхнею континуальний підхід приводить до задовільної точності, розглядаючи кожен шар окремо, підвищуємо . Застосування континуального підходу до розрахунку конструкції із закріпленою поверхнею при локальному навантаженні не приводить до коректного результату, дискретний підхід з розбиттям конструкції на три шари забезпечує задовільну точність. Розглянуто також задачу динамічного локального навантаження на попередньо напружену конструкцію. Попереднє напруження може істотно впливати на напружено-деформований стан конструкції.

Запропонований скінченний елемент застосовано для розрахунку конструкцій складених з шаруватих плит та ребер. Цим елементом моделюється напружено-деформований стан як ребер, так i шаруватої плити. Як приклад розглянуто розрахунок квадратної в плані шаруватої ребристої плити, розрахункову схему якої наведено на рис. 16. Плита рівномірно навантажена розподіленим навантаженням по поверхні. За умови симетрії розглянуто четверту частину. Співвідношення розмірів у плані та за товщиною, а також між фізико-механічними характеристиками шарів зображено на рис.