НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ГЕОФІЗИКИ ім. С. І. СУББОТІНА

На правах рукопису

ДЕНИСЮК РОСТИСЛАВ ПАВЛОВИЧ

УДК 550.831

ГУСТИННЕ МОДЕЛЮВАННЯ РІЗНИХ ТИПІВ ГЕОЛОГІЧНИХ СТРУКТУР НА ОСНОВІ СТВОРЕНОЇ СИСТЕМИ РОЗВ’ЯЗКУ ОБЕРНЕНИХ ЗАДАЧ ГРАВІМЕТРІЇ

Спеціальність 04.00.22 — Геофізика

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора

геологічних наук

Київ — 1999 р.

Робота виконана в Івано-Франківському державному технічному університеті нафти і газу Міністерства освіти України

Науковий консультант — доктор фізико-математичних наук, професор Кобрунов О. І., Індустріальний інститут, м. Ухта

Офіційні опоненти:

1. Красовський С.С. — д. г.-м. н., професор, зав. відділом комплексної інтерпретації полів ІГФ НАН України, м. Київ.

2. Страхов В. М. — академік РАН, д. ф.-м. н., професор, директор ОІФЗ РАН, м. Москва.

3. Каратаєв Г. І. — д. г.-м. н., професор, зав. лабораторією Фізики Землі Інституту геологічних наук НАН Бєларусі, м. Мінськ.

Провідна організація: Національна гірнича академія України (кафедра геофізики), м. Дніпропетровськ.

Захист відбудеться 23 вересня 1999 року о 10 годині

на засіданні спеціалізованої Ради Д 26.200.01 при Інституті геофізики ім. С. І. Субботіна НАН України: 252680, м. Київ - 142, пр. Палладіна, 32.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту геофізики ім.

С. І. Субботіна НАН України.

Автореферат розісланий “ 17 ” _серпня___ 1999 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої Ради

Загальна характеристика роботи.

Актуальність. Одним з найважливіших завдань по вивченню геологічних характеристик окремих регіонів і площ, а також одержанню відомостей про глибинний склад Землі, є проблема підвищення інтерпретаційних можливостей окремих геофізичних методів і їхніх комплексів, тому що вони в даний час становлять основне джерело такого роду інформації. Інтепретація матеріалів геофізичних методів, здійснювана в рамках фізико-геологічних і фізико-математичних моделей, зводиться, власне кажучи, до розв’язування відповідних обернених задач і визначення параметрів цих моделей. Розподіл окремих геофізичних параметрів, а також їхньої сукупності, дає нові дані про геологічну будову регіонів, дозволяє уточнювати наявні дані про відомі і виявляти нові об'єкти, пов'язані з тими або іншими корисними копалинами.

Густинна модель середовища, що будується за даними гравіметрії, є однією з найбільш інформативних, тому що в розподілі густини відбивається речовинний склад порід, що зустрічаються в геологічному розрізі, їхня геологічна будова і тектоніка, а в нафтовій геології — поведінка одного з найважливіших параметрів порід-колекторів — коефіцієнта пористості.

Шарувата модель середовища, яка описується набором пластів різної густини, розділених границями, де густина або її градієнт терплять розрив, широко поширена в практиці геологорозвідувальних робіт, особливо в нафтовій і інженерній геології, гідрогеології, а також при вивченні внутрішньої будови земної кори.

У зв'язку з цим проблема підвищення інтерпретаційних можливостей структурної гравіметрії і побудові геогустинних моделей на основі розв’язування відповідних обернених задач у рамках шаруватих моделей середовищ є дуже актуальною.

Мета роботи полягає в створенні автоматизованої системи побудови геогустинних моделей шаруватих середовищ, придатної до експлуатації в різних геологічних ситуаціях на основі розвитку теорії і методики розв’язування обернених задач структурної гравіметрії (особливо тривимірних), використовуючи гравірозвідувальні матеріали та гнучко поєднуючи їх з наявними даними інших геофізичних методів,

Основні завдання досліджень:

1. Одержання лінійних і нелінійних інтегральних рівнянь, що дають розв’язки обернених задач структурної гравіметрії, погоджені з наявною додатковою геолого-геофізичною інформацією.

2. Побудова стійких ітераційних процесів, що дозволяють одержати чисельне рішення відповідних інтегральних рівнянь.

3. Побудова ефективних алгоритмів і обчислювальних схем і програмна реалізація розроблених алгоритмів.

4. Теоретичні і тестові дослідження для вибору й обгрунтування параметрів функціоналів, які мінімізуються, та обчислювальних схем.

5. Розробка й обгрунтування методики використання створених програмних комплексів, основане на теоретичних дослідженнях і результатах тестового моделювання й обробки польового гравіметричного матеріалу.

Наукова новизна. У роботі створена група методів розв’язку лінійних і нелінійних обернених задач гравіметрії на основі використання критеріального підходу для шаруватих складнопобудованих моделей середовищ. Реалізуючи поставлені завдання автором уперше:

- поставлена задача і отримані нелінійні інтегральні рівняння, що дають розв’язки оберненої задачі структурної гравіметрії в класі густинних границь, оптимальне в метриці простору L2, для випадку змінної по вертикалі і горизонталі густини шарів при завданні вертикальної похідної гравітаційного потенціалу;

- виведені такі ж рівняння, що дають рішення оберненої задачі для випадку завдання других похідних гравітаційного потенціалу;

- у рамках структурної моделі середовища поставлена і вирішена задача про пошук розподілів густини в шарах, найближчих до наперед заданих в метриці простору L2, і отримані відповідні лінійні інтегральні рівняння;

- побудовані стійкі процеси для чисельного рішення лінійних і нелінійних інтегральних рівнянь, що дають розв’язки обернених задач структурної гравіметрії, оптимальні в метриці L2;

- виведені співвідношення для розрахунку параметра релаксації ітераційних процедур, що забезпечує їхню збіжність і максимальну швидкість збіжності;

- розроблена методика одночасного пошуку, у рамках єдиної структурної моделі, рішень оберненої нелінійної задачі гравіметрії, оптимальних у метриці просторів L2 і С;

- розроблений метод пошуку рішень лінійної оберненої задачі, оптимальних у метриці простору С;

- створена методика одночасного рішення лінійної і нелінійної обернених задач структурної гравіметрії в рамках єдиної моделі.

Практична цінність. Теоретичні і методичні дослідження дозволили створити групу методів інтерпретації даних гравіметрії в рамках шаруватої моделі середовища. Вони реалізовані у вигляді двох комплексів програм, призначених для розв’язування двох і тривимірних задач. Перші варіанти комплексів були передані в ГосФАП СРСР і ЦГЕ МНП СРСР у 1986 і 1988 роках. Надалі дані комплекси були доповнені модулями, що здійснюють пошук рішень нелінійної задачі, оптимальних у метриці С (О.І. Кобрунов і О.І. Журавльова), а також модулями, призначеними для пошуку в рамках структурної моделі cередовища рішень лінійної оберненої задачі гравіметрії, оптимальних у метриці просторів L2 і С. Це значно розширило можливості комплексів і дозволило ні їхній основі створити автоматизовану систему інтепретації гравіметричних даних для структурних моделей середовищ складної геологічної будівлі. Двомірні модулі програм увійшли складовою частиною в автоматизовану систему комплексної інтепретації сейсмічних і гравіметричних матеріалів “ELENA” (О. І. Кобрунов, О. П. Петровський). Програмні комплекси були передані також у ряд виробничих і наукових організацій МНП і МінГео СРСР і використовувалися в Україні, на Сахаліні, у Якутії, Комі республіці, Казахстані, де за допомогою їх застосування отримані нові дані про геологічну будову досліджуваних районів. Дані комплекси значно збільшили можливості гравіметрії при вивченні складнопобудованих геологічних об'єктів. Окремі питання роботи висвітлювалися студентам геофізичної спеціальності Івано-Франківського державного технічного університету нафти і газу (ІФДТУНГ) при читанні лекцій по дисциплінах “Гравімагніторозвідка” і “Обчислювальна техніка в геофізиці”, а створене програмне забезпечення — при проведенні лабораторних занять по названих курсах.

Публікації й аппробація. По темі дисертації опубліковано більше 30 робіт, 9 звітів по НДР. Окремі положення роботи доповідалися на всесоюзних і міжнародних школах - семінарах і семінарах ім. Д. Г. Успенського “Теорія і практика інтепретації гравітаційних і магнітних полів” (м. Алма-Ата, 1984 р., м. Ленінакан 1987 р., м. Дніпропетровськ, 1991 р., м. Ухта, 1998 р.), Інституті Фізики Землі ім. О. Ю. Шмідта (1981 р.), Інституті геофізики ім. С.І. Субботіна (1981 р.), міжнародній конференції “XXI - сторіччя — проблеми і перспективи освоєння родовищ корисних копалин” (м. Дніпропетровськ, 1998 р.), науково - практичній конференції “Актуальні проблеми геології і раціонального природокористування” (м. Дніпропетровськ, 1999 р.), а також на багатьох конференціях профессорско- викладацького складу ІФДТУНГ (1984-1998 р.).

Об'єм і структура роботи. Дисертація складається зі вступу , дев'ятьох розділів, висновків і списку літератури. Об'єм дисертації 350 сторінок, у тому числі: списку літератури - 210 найменувань, рисунків - 60, таблиць - 4.

У перших шести розділах виведені інтегральні рівняння, що дають розв’язок лінійної і нелінійної оберненої задачам структурної гравіметрії при завданні вертикальної похідної гравітаційного потенціалу і її градіентів. Інтегральні рівняння отримані для двох і тривимірних варіантів задач. При цьому густина шарів може бути постійної, змінною по латералі і змінною як по горизонталі, так і по вертикалі. Приведено ітераційні процеси, призначені для рішення отриманих інтегральних рівнянь, і описані покрокові алгоритми для машинної реалізації цих процедур.

В інших трьох розділах висвітлені питання організації обчислювальних процедур на основі описаних алгоритмів, результати модельних експериментів, спрямованих на виробку методик вибору параметрів обчислювальних схем, застосування розроблених комплексів програм, а також результати випробування комплексів на польовому матеріалі в різних регіонах, виконані автором і іншими дослідниками, що показують працездатність програмного забезпечення.

Програмна реалізація окремих модулів здійснювалася за участю Анікєєва С.Г., Благого І.І., Петровського О.П., Суятінова В.М. і Журавльової О.І. Всім їм я дуже вдячний за співробітництво.

Дана робота виконана багато в чому завдяки довголітньому науковому співробітництву з О.І. Кобруновим, чиї роботи лягли в її основу, а поради допомогли її виконанню. Поради, рекомендації і роботи В.М. Страхова, В.І. Старостенко, С.С. Красовського, С.М. Оганесяна, А.В. Чорного і, особливо Є.Г. Булаха, допомогли автору точніше поставити і вирішити дану проблему. Усім їм автор приносить щиру вдячність. Я вдячний також співробітникам кафедри польової нафтогазової геофізики (зав. Кузьменко Е.Д.) і геофізичних досліджень свердловин (зав. Федоришин Д.Д.) ІФДТУНГ за підтримку і допомогу при виконанні даної роботи.

Зміст роботи

ЗАГАЛЬНА СХЕМА ОДЕРЖАННЯ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ, ЩО ДАЮТЬ РОЗВ’ЯЗКИ ОБЕРНЕНИХ ЗАДАЧ СТРУКТУРНОЇ ГРАВІМЕТРІЇ

Проблемою пошуку рішень оберненої задачі структурної гравіметрії займалися багато дослідників як у напрямку вивчення аналітичних властивостей розв’язків, які одержуються, єдиності і стійкості їх, так і в напрямку розробки методів і алгоритмів інтепретації гравіметричних даних для шаруватих моделей середовищ. Найбільше поширення для рішення даних задач одержали методи підбору (Є. Г. Булах, В. М. Страхов, В. І. Старостенко й ін.), у яких окремі густинні шари апроксимуються набором елементарних тіл, гравітаційний ефект від яких порівняно легко обчислюється, і надалі шукаються або густина цих тіл (лінійна задача), або їхні геометричні характеристики (нелінійна задача). При цьому правильністю рішення служить міра близькості теоретичного й виміряного полів. Ця міра виражається функціоналом, що є нормою різницевого поля в деякому метричному просторі (як правило L2) і ставиться завдання безумовної мінімізації такого функціонала. При цьому кількість шуканих параметрів не повинна перевищувати кількості точок завдання поля. Однак для складних геологічних об'єктів з метою їхнього адекватного опису, особливо в тривимірному випадку, необхідно дуже багато таких тіл, що приводить у підсумку до погано обумовлених систем лінійних або нелінійних рівнянь великої розмірності, рішення яких саме по собі стає проблематичним. Це змушує зменшувати кількість обраних тіл, що погіршує аппроксимаційні можливості моделі, або застосовувати регуляризацію А. М. Тихонова, що часто приводить до згладжених розв’язків.

Багато в чому цих недоліків позбавлений критериальный підхід, запропонований О. І. Кобруновим, де невідомі шукані параметри знаходяться з використанням спеціальних функцій Лагранжа, що параметризують їх і мають завжди розмірність спостереженого гравітаційного поля. Дана робота направлена на побудову автоматизованої системи геогустинного моделювання на основі розвитку критеріального підходу до розв’язування обернених задач гравіметрії для шаруватих моделей середовищ.

Постановка оберненої задачі в рамках критеріального підходу автором формулюється наступним чином.

Нехай за деякими геолого геофізичними даними побудована густинна модель, що характеризується вектором параметрів X0. У структурній задачі під X0 ,будемо розуміти функції, які описують або глибини густинних границь f(x,y), або густини шарів (x,y), що залежать від горизонтальних координат. Необхідно знайти такий вектор параметрів X, який був би максимально близький до X0. За міру близькості приймається функціонал, що є нормою в деякому метричному просторі, частіше усього L2 і С. Тоді задачу можна поставити у наступному вигляді:

а.

б. (1)

Однак безпосередньо вирішувати задачу (1) неможливо, тому що її розв’язок є тривіальним — X=X0. Необхідно її доповнити деякою умовою. У гравіметрії природною умовою є необхідність того, щоб теоретичне поле, розраховане від параметрів X, збігалося з виміряним. Тоді постановка задачі буде виглядати:

, (2)

де U —вертикальна похідна гравітаційного потенціалу Uz або її градіенти Uxz , Uyz , , Uzz , A — оператор прямої задачі.

Виходячи з цього обернену задачу можна сформулювати таким чином — знайти таку модель середовища, яка описується параметрами X, що доставляють мінімум функціоналу (1), а поле від неї співпадає з виміряними його значеннями. Розв’язки задачі (2), що доставляють мінімум функціоналу (1), називаються оптимальними, тому що вони є найближчими до вихідної моделі по нормі деякого метричного простору. Тим самим рішення (2), що доставляє мінімум функціоналу (1а), буде оптимальним у метриці L2, а функціоналу (1б) — оптимальним у метриці С. При цьому вибір метрики L2 асоціюється з пошуком розв’язку, найближчого до початкової моделі, яка містить усю наявну інформацію, в середньоквадратичному розумінні, а метрика С — з пошуком моделі, найбільш кореляційно пов’язаної з вихідною. Вибір того чи іншого простору здійснюється залежно від конкретної геолого-геофізичної ситуації.

Постановка (2) є основною при критеріальном підході. Задачі, аналогічні (2), називаються екстремальними. Якщо функціонал I(X) диференціюється за Фреше, то її рішенням служить рівняння Эйлера - Лагранжа:

(3)

де — похідна Фреше функціонала I(X), — оператор, спряжений до похідною Фреше оператора А, — функція Лагранжа. Спряжений оператор визначається з умови , де y* — деякий функціонал на U, — символ скалярного добутку. Як випливає з вищезазначеного, кількість параметрів X не пов'язана з кількістю точок вимірюваного поля. Додатковою умовою, накладеною на (1), може бути умова, щоб поля збігалися в одній, двох або довільній кількості точок. Однак можливий випадок, коли в деяких точках поле від X0 збігається з виміряним і, задавши тільки їх, уточнення моделі не вдасться домогтися. Взагалі кажучи, чим вужче область значень оператора А (задано мало точок поля), тим ширше множина його визначення і можливий випадок, коли вона перетинається з множиною, обумовленою (1). Якщо ці множини перетинаються або дотикаються, то розв’язок задачі (2) буде єдиним і точним. Якщо ж вони не мають спільних елементів, то можна одержати розв’язок (2) із деякої нев’язкою між полями, тобто в рамках прийнятої моделі не можна точно підібрати окремі компоненти гравітаційного поля.

На основі рівняння (3) отримані усі вирази для розв’язків обернених задач структурної гравіметрії, оптимальних у метриці простору L2, так як в цьому випадку функціонал диференціюється по Фреше. Функціонали (1а) і (1б) при пошуку рішень оберненої задачі стуктурної гравіметрії в класі густинних границь мають вид:

, (4)

, (5)

де N — кількість густинних границь, S — проекція області завдання границь на площину Z=0, f(x,y) — шукані глибини границь, f*(x,y) — глибини границь початкової моделі, 2 — функція похибки побудови f*(x,y), — перепади густини на границях, F — деякі лінійні оператори.

При розв’язуванні задачі про пошук розподілу густини в шарах функціонал (4) запишеться:

(6)

Конкретні вирази для рівняння (2) залежать від виду оператора А и будуть наведені нижче.

Функціонали (4) і (6) дають можливість одержати розв’язки, параметри яких найближчі до вихідної моделі в середньоквадратичному розумінні. Це правомірно, якщо параметри початкової моделі не містять систематичних похибок, а залежать від багатьох випадкових величин, кожна з яких істотного впливу на точність їхньої побудови не робить. Функціонал (5) дає рівномірне наближення параметрів, що суттєво, якщо у вихідній моделі присутні систематичні похибки.

В усіх розглянутих випадках приймається наступна модельна ситуація.

У декартовій системі координат XYZ, із віссю Z спрямованій вниз, до мас, в області нижнього напівпростору V, проекція якої на площину Z=0 є S, існує N шарів із густинами (x,y,z), розділених N+1-єю густинною границею, що допускає опис у вигляді довільної функції горизонтальних координат f(x,y). Підошвою i-го шару служить fi(x,y), покрівлею — fi-1(x,y). Вплив порід, що залягають поза областю V, відомий і віднятий зі спостереженого поля, завданого в області S0 площини Z=0. Тим самим передбачається, що 0 = N+1 = 0.

ОДЕРЖАННЯ РОЗВ’ЯЗКІВ ОБЕРНЕНОЇ ЗАДАЧІ СТРУКТУРНОЇ ГРАВІМЕТРІЇ, ОПТИМАЛЬНИХ У МЕТРИЦІ L2, ПРИ ЗАВДАННІ ВЕРТИКАЛЬНОЇ ПОХІДНОЇ ГРАВІТАЦІЙНОГО ПОТЕНЦІАЛУ

Для розглянутого випадку функціонал , що мінімізується , має вид (4). Конкретний вид операторного рівняння AX=U буде залежати від оператора прямої задачі — густина шарів моделі постійна або змінна, поле Uz задано неперервно або дискретно і т.п. Розглянемо, для прикладу, ситуацію, коли густина шарів змінюється довільно в горизонтальному напрямку і лінійно у вертикальному. Поле задане неперервно. Розподіл густини в i-тому шарі можна записати рівнянням — i(x,y,z) = ai(x,y)z+bi(x,y), де a(x,y), b(x,y) — довільні функції горизонтальних координат. Тоді зв'язок густинної моделі з компонентою Uz запишеться наступним рівнянням:

Проінтегрувавши даний вираз по z і, з огляду на те, що 0 = N+1 = 0, та підставивши межі інтегрування, одержимо:

, (7)

де ai(x,y)=ai-1(x,y)-ai(x,y), bi(x,y)=bi-1(x,y)-bi(x,y).

Постановка (2) запишеться:

, (8)

Функціонал (4) диференціюється по Фреше і можна записати явний вид рівняння (3):

i=0,1,...,N. (9)

Тут (x0,y0) — функція Лагранжа, що має розмірність Uz і пов’язана з ним. Вираз (9) є нелінійне інтегральне рівняння щодо f(x,y). Множини, утворені (9), О. І. Кобруновим названі екстремальними класами, тому що вони дають мінімум функціоналу (1). Загальна схема розв’язку рівнянь типу (9) наступна. Підставивши (9) у (7) розв’язуємо отримане рівняння відносно (x0,y0). Якщо права частина (7) містить похибки, то цього розв’язку може не існувати. Тоді, використовуючи ідеї методу підбору, можна одержати його “квазірозв’язок” *(x0,y0). Далі, підставивши знайдене значення (x0,y0) у (9), знаходимо всі глибини густинних границь f(x,y). Такий підхід легко можна реалізувати у випадку лінійності оператора А, що буде описано нижче при розгляді пошуку густини шарів. У даному випадку оператор А нелінійний і цей підхід призводить до складних інтегральних рівнянь, що важко вирішити чисельними методами. Рівняння, аналогічні (9) отримані і для двомірної постановки задачі. Вони описують елементи з екстремальних класів для різних видів оператора А.

ОДЕРЖАННЯ РОЗВ’ЯЗКІВ ОБЕРНЕНОЇ ЗАДАЧІ СТРУКТУРНОЇ ГРАВІМЕТРІЇ, ОПТИМАЛЬНИХ У МЕТРИЦІ L2, ДЛЯ ДРУГИХ ПОХІДНИХ ГРАВІТАЦІЙНОГО ПОТЕНЦІАЛУ

Другі похідні гравітаційного потенціалу більш чутливі, ніж Uz, до густинних неоднорідностей у верхній частині розрізу, і при побудові густинних моделей геологічних об'єктів, розташованих на невеликих глибинах, більш доцільно використовувати їх, а не Uz. Найбільш часто використовуються градієнти Uz — Uxz, Uyz, Uzz. Тому доцільно одержати рівняння розв’язку оберненої задачі для градієнтів вертикальної похідної потенціалу. Використовуючи модель, приведену вище, отримані рівняння, що описують елементи з екстремальних класів, для всіх градієнтів при різних видах оператора А. Розглянемо, наприклад, ситуацію, коли завдана компонента Uxz на площині Z=0 у довільному дискретному наборі точок. Густина шарів змінюється довільно в горизонтальному напрямку і лінійно у вертикальному. Рівняння зв'язку густинної моделі з гравітаційним полем має вид:

, j=1,2,...,L, (10)

де ai(x,y)=ai(x,y)-ai+1(x,y), bi(x,y)= bi(x,y)-bi+1(x,y), L — кількість точок, де завдане поле.

Постановка (2) буде виглядати в таким чином:

, j=1,2,...,L. (11)

А вираз (3), що дає розв’язк поставленої задачі , запишеться:

, (12)

де j — множники Лагранжа, i=0,1,...,N.

У роботі наведені рівняння типу (12) для постійної, змінної по латералі густини шарів, а також для випадку, коли густина шарів змінюється у вертикальному напрямку за параболічним законом. При цьому поле задається або неперервно на площині Z=0, або в дискретних точках цієї площини. Аналогічні співвідношення отримані і для компонент Uyz, Uzz.

Тим самим, вирази, подібні (9), (12), описують у вигляді нелінійних інтегральних рівнянь глибини границь структурної моделі як довільну функцію горизонтальних координат f(x,y). Усі границі, незалежно від їхньої кількості, параметризовані однією функцією Лагранжа (x0,y0) (або множниками Лагранжа ). Ці границі є найближчими до попередньо побудованих границь f*(x,y) у метриці простору L2. Вони будуть оптимальними стосовно вихідної моделі, якщо остання не містить систематичних похибок, а випадкові похибки її побудови підпорядковані нормальному закону з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією. Такі випадки дуже часто зустрічаються в реальних геологічних ситуаціях. Рівняння типу (9) є основою побудови алгоритмів пошуку границь , що залягають на значних глибинах, а типу (12) — для пошуку границь у верхній частині геологічного розрізу. тому що в других похідних у порівнянні з Uz.більш різко відображається положення об'єктів , що залягають неглибоко.

ОДЕРЖАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ ОБЕРНЕНОЇ ЗАДАЧІ ГРАВІМЕТРІЇ, ОПТИМАЛЬНИХ У МЕТРИЦІ С.

Якщо вихідна геогустинна модель містить систематичні похибки, то рішення, отримані по рівняннях типу (9) або (12), будучи найкращим наближенням у середньому, не будуть оптимальними стосовно неї. Таке може трапитися, коли геогустинні границі f*(x,y) побудовані, наприклад, за сейсмічними даними із використанням t0 при неточному завданні середніх швидкостей або неправильному виборі фази на часовому розрізі СГТ. У цьому випадку найкращим наближенням буде рівномірне, при якому функціонал, що мінімізується, має вид (1б). Рівномірне наближення дає можливість одержувати розв’язки, максимально “схожі” на вихідну модель, тобто максимально корреляційно з нею пов'язані. Для розв’язування оберненої задачі в класі густинних границь функціонал має наступний вид:

, (13)

де F — лінійні замкнуті оператори. Як оператори F можуть виступати оператори згортки, домноження на вагову функцію, або їхня комбінація. Приймемо, що область S необмежена. Тоді постановка задачі (2) запишеться (для постійної густини шарів):

, (14)

де — перепади густини на границях.

Так як функціонал (13) уже не диференціюється по Фреше, то одержати рівняння Эйлера - Лагранжа (3) неможливо. Для такого випадку О. І. Кобруновим запропоновано вирішувати задачу (14) на деякому спеціальному класі функцій. Показано, що розв’язок рівняння

на класі функцій із представленням

,

де (x,y) — неперервна функція, одна і та ж сама для всіх границь fi(x,y) є розв’язком задачі (14).

О.І. Кобруновим і О.І. Журавльовою отримані наступні рівняння, що дають розв’язок поставленої задачі:

, (15)

для постійної густини і

, (16)

для змінної по латералі густини пластів, i=0,1,...,N.

Тут hi(x,y)=fi(x,y)-zi — перевищення глибин границь над деякими постійними рівнями, — операції прямого і оберненого перетворення Фур'є, W=(2+2)1/2, U(,) — спектр різниці полів від вихідної моделі й виміряного, K(, ) — спектр функцій, максимально “схожим” на які повиен бути розв’язок. Звичайно за них приймаються функції, що описують глибини границь початкової моделі. Шукані перевищення для випадку змінної густини шарів визначаться — . Знайшовши в такий спосіб перевищення обчислимо шукані глибини границь за формулою — .

Для вищих похідних гравітаційного потенціалу також можна одержати рівняння подібні (15) і (16), однак простіше використовувати зв'язок спектра похідної зі спектром функції при перетворенні Фур'є і застосовувати для пошуку границь у верхній частині розрізу формули (15) і (16). Наведені рівняння описують необмежені оператори і безпосередні обчислення по них неможливі. Для одержання розв’язків (15) і (16) варто застосовувати регуляризацію А. М. Тихонова і стійкі ітераційні процедури, описані нижче.

ІТЕРАЦІЙНІ ПРОЦЕСИ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ

ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

Як уже відзначалося, будувати обчислювальні алгоритми за рівняннями типу (9) і (12) неможливо через нелінійність оператора А, а (15) і (16) — через його необмеженість. Такі задачі, як відомо, належать до некоректно поставлених і характеризуються значною нестійкістю. Загальні методи регуляризації для таких типів рівнянь разглядались в роботах А. М. Тихонова, М. М. Лаврєньтьєва, В. К. Іванова, В. М. Страхова, В. І. Старостенко, В. В. Гласко та інших. У роботі для розв’язування подібних рівнянь побудовані стійкі ітераційні процедури. В операторній формі для одержання рішень, оптимальних у метриці L2, вони мають вид:

, (17)

де n — параметр релаксації n — різницеве гравітаційне поле на n-ому кроці ітераційного процесу.

Конкретні вирази для опису таких процедур залежать від виду оператора А — завдана вертикальна похідна гравітаційного потенціалу або її градіенти, неперервно на площин Z=0 або у дискретних точках цієї площини, густини шарів постійні, змінні по латералі або змінюються як по горизонталі, так і по вертикалі і т.п. Як приклад, наведемо ітераційні процеси, що застосовуються для розв’язування інтегральних рівнянь (9) і (12). Вони запишуться в такий спосіб:

, (18)

,

, (19)

.

В. І. Старостенко і С. М. Оганесян показали, що процеси, подібні (18), (19), є такі, що саморегуляризуються, чим підвищується їхня стійкість.

В ітераційних процедурах (18), (19) параметр релаксації n відповідає за їхню збіжність, підвищує стійкість процесів і забезпечує їх максимальну швидкість збіжності. Він обчислюється на кожному кроці ітераційних процесів виходячи з умови досягнення максимального зменшення різницевого поля. В опрераторной формі вираз для розрахунку n виглядає таким чином:

. (20)

А явний його вигляд для випадку, коли завдана вертикальна похідна гравітаційного потенціалу у вузлах прямокутної мережі на площині Z=0, а густини шарів моделі є сталими величинами, слідуючий:

, (21)

де ,

.

Інший вид мають процеси, призначені для розв’язування рівнянь (15) і (16). Через необмеженість оператора дані рівняння є нестійкими і необхідно застосовувати регуляризацію. Регуляризоване рівняння (15) має вид:

. (22)

Тут — параметр регуляризації. Введення в знаменник члена W2+1 приводить до того, що на високих частотах “гасяться” компоненти випадкових похибок, що мають, як правило, високочастотний склад спектра, і, тим самим підвищується стійкість розв’язку. Для створення ефективних алгоритмів О. І. Журавльовою і О. І. Кобруновим запропонований наступний ітераційний процес:

, (23)

призначений для розв’язку рівняння (22).

Процеси, подібні (18), (19) отримані для всіх перерахованих вище ситуацій і послужили основою для створення алгоритмів і обчислювальних схем пошуку розв’язків оберненої задачі гравіметрії в класі густинних границь, оптимальних у метриці L2, а процеси типу (23) — для пошуку рішень, оптимальних у метриці С для сталої та змінної по латералі густини шарів. Для процедур, аналогічних (23), отримані співвідношення для оцінки параметра регуляризації, що дає можливість його автоматичного розрахунку в процесі обчислень.

ВИВЧЕННЯ РОЗПОДІЛУ ГУСТИНИ В ШАРАХ ПРИ РОЗВ’ЯЗУВАННІ ОБЕРНЕНОЇ ЗАДАЧІ СТРУКТУРНОЇ ГРАВІМЕТРІЇ

Як уже зазначалося, у оберненій задачі структурної гравіметрії, крім визначення глибин густинних границь, існує проблема знаходження густини шарів. У методах підбору її вирішують шляхом розрахунку густин тіл, що апроксимують шари. Однак, при складній будові, кількість тіл аппроксимаційної конструкції може складати значне число, що приводить до систем лінійних рівнянь великої розмірності. Ці системи, як правило, погано обумовлені і, як наслідок, нестійкі, що затруднює застосування методів підбору в складних геологічних ситуаціях. У критеріальному підході, що дозволяє працювати з багатопараметричними моделями, розв’язування лінійної оберненої задачі, реалізоване в комплексах “Маса”, здійснюється в рамках сіткової моделі середовища. Переведення структурної моделі в сіткову приводить до їх неадекватності. Експерименти показали, що різницеве гравітаційне поле, що управляє приведеними вище ітераційними процедурами, отримане при використанні структурної моделі і її сіткового аналога можуть відрізнятися на 50 і більш відсотків, у залежності від кроку дискретизації сіткової моделі. Інша проблема виникає, коли потрібно прив'язати результати розв’язку, отриманого для сіткової моделі середовища, до вихідної шаруватої моделі. У зв'язку з цим виникає необхідність пошуку в рамках критеріального підходу розподілів густини в шарах із використанням шаруватих моделей середовищ.

Для одержання рішень, оптимальних у метриці L2, функціонал, що мінімізується, має вид (6), або, переходячи до стрибків густини на густинних границях, його еквівалент може бути записаний у такий спосіб:

(24)

І, тим самим, для випадку, коли задана компонента Uz неперервно на площині Z=0, розв’язується наступна задача:

. (25)

Рівняння Эйлера-Лагранжа (3) для (25) буде виглядати:

(26)

Рівняння (26) є лінійним стосовно функції , і для її знаходження можна скористатися загальною схемою, описаною раніше. Підставимо (26) у друге з рівнянь (25) і, зробивши елементарні перетворення, одержимо наступне лінійне інтегральне рівняння для визначення :

, (27)

де - різниця між полем і - полем від початкової моделі.

Якщо у правій частині (27) містяться похибки, то, використовуючи ідеї методів підбору, можна одержати його “квазірозв’язок”. Далі, підставивши знайдене у рівняння (26), одержимо стрибки густини , а потім і густини шарів. Однак на такому шляху також зустрічаються зазначені труднощі, оскільки розмірність має розмірність виміряного гравітаційного поля. Для тривимірних моделей кількість точок завдання поля може досягати десятків тисяч, що приводить до погано обумовлених систем лінійних рівнянь великої розмірності. В.М. Страховим показано, що рівняння такого типу є нестійкими. Тому у роботі приведений інший шлях. Оскільки (26) по своїй структурі подібно рівнянням, отриманим при дослідженні пошуку рішень у класі густинних границь, то для його розв’язування можна застосувати ітераційні процеси, подібні (18), (19). Це уніфікує обчислювальні алгоритми і дозволяє перенести всі результати, отримані при дослідженні даних процесів на випадок пошуку густини в шарах. Для рівняння (26) процес має вид:

, (28)

де .

Рівняння, типу (26), (27) і ітераційні процеси, аналогічні (28), отримані для усіх видів оператора А при різному завданні компоненти Uz і її градієнтів.

При вивченні розподілів густини в шарах, найближчих до наперед заданих в метриці С використовується модифікований процес (23). Він виглядає таким

чином:

. (29)

У процедурі (29), на відміну від (26), за функції К, із якими здійснюється згортка різницевого поля, необхідно брати не глибини границь f, а стрибки густини .

Приведені співвідношення (28) і (29) дозволяють створити ефективні алгоритми пошуку розподілів густини в шарах у рамках шаруватих моделей середовищ.

Тим самим, проведені дослідження дозволили створити автоматизовану систему побудови геогустинних моделей геологічних структур, основану на групі методів розв’язку лінійної і нелінійної обернених задач структурної гравіметрії, використовуючи ітераційні процедури, подібні вище приведеним і алгоритми, що випливають із них. У роботі наводяться покрокові алгоритми, які реалізують описані процедури і є основою створення обчислювальних схем.

ОРГАНІЗАЦІЯ ОБЧИСЛЮВАЛЬНИХ ПРОЦЕДУР

У главі описана конкретна організація обчислювального процесу, що реалізує розроблені алгоритми і складає основу головних модулів автоматизованої системи. Загальна структура обчислень складається із наступних етапів:

1. Введення і формування вхідних даних.

2. Попередня обробка і переформування даних.

3. Реалізація ітераційних процедур.

4. Вивід отриманих результатів.

Перший, другий і четвертий етапи не є предметом досліджень і вони виконані, базуючись на найбільш поширених підходах. Другий етап необхідний для приведення даних до виду, прийнятому при постановці задачі. На цьому етапі здійснюється розрахунок і вирахування з заданого гравітаційного поля ефекту, обумовленого впливом порід, що залягають поза областю пошуку рішень, обчислення скачків густини на границях, переформування вагових функцій, що визначають точність завдання глибин густинних границь і стрибків густини на них у вихідній моделі і т.п.

На третьому етапі виконуються основні розрахунки, в основу яких лягли наведені результати досліджень. Цей етап можна розбити на наступні підетапи:

1. Розв’язок прямої задачі.

2. Обчислення різницевого поля і його спектра.

3. Обчислення параметрів релаксації і регуляризації .

4. Визначення чергового наближення.

5. Порівняння рішення з наявними обмеженнями.

При розв’язуванні прямої задачі область інтегрування розбивається на підобласті, у межах яких довільні функції f, a, b, заміняються їхніми середніми значеннями, а самий інтеграл по області S — сумою інтегралів від підобластей. Останні, у свою чергу, є вже елементарними і легко обчислюються на ЕОМ. Тим самим, наприклад, пряму задачу для випадку змінної по горизонталі густини шарів вертикальну похідну гравітаційного потенціалу можна виразити:

, (30)

де — кількість точок дискретизації моделі по осях x і y відповідно, і — середні значення цих величин в підобластях. Співвідношення, аналогічні (30), реалізовані у всіх модулях системи.

Оскільки теоретичні поля розраховуються в тих же точках, де завдане вимірюване поле, то визначення різницевого поля здійснюється прямим вирахуванням одного з іншого, а його спектр — застосуванням дискретного перетворення Фур'є.

Параметр релаксації розраховується за формулами, аналогічними (21), використовуючи при обчисленні інтегралів методику, застосовувану при розв’зуванні прямої задачі. Слід зазначити, що збільшення об'єму обчислень, пов'язане з визначенням параметра релаксації, компенсується тим, що при цьому розраховуються масиви В в (21), які використовуються надалі при обчисленні чергового наближення, що визначається в такий спосіб:

(31)

Якщо при вивченні параметрів моделі (глибин границь або стрибків густини) відомі і задаються обмеження на їхні значення, то на останньому етапі обчислень здійснюється порівняння отриманих результатів з ними по наступному правилу ( наприклад, для глибин границь) :

(32)

де і відповідно нижні і верхні обмеження на шукані глибини. Те ж саме здійснюється і при визначенні стрибків густини. Ітераційні процедури закінчують обчислення по досягненню заданої середньоквадратичної нев’язки полів, її градіенту або при виконанні заданої кількості кроків ітерації.

ПЕРЕВІРКА АЛГОРИТМІВ І ОБЧИСЛЮВАЛЬНИХ СХЕМ НА ТЕОРЕТИЧНИХ МОДЕЛЯХ І РОЗРОБКА МЕТОДИКИ ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ

Через складність рівнянь, що доставляють розв’язок оберненим задачам структурної гравіметрії, теоретичні дослідження всіх її аспектів неможливі. І єдиним способом перевірки прийнятих припущень та вироблення методики застосування автоматизованих комплексів програм є їхнє випробування на теоретичних моделях. У роботі наводяться результати експериментів, що показують залежність розв’язків від параметрів початкової моделі. Показано, що, якщо вагова функція правильно відбиває ступінь зв'язку параметрів моделі і нульового наближення, то використання розроблених методів приводить до результатів, близьких до реальних.

Оскільки в вимірюваному гравітаційному полі і в операторі прямої задачі А можуть міститися різного роду похибки, то проведені експерименти на дослідження стійкості рішень, що отримуються, стосовно помилок. При цьому передбачалося, що вихідне поле містить тільки випадкові похибки з нульовим математичним сподіванням, а оператор А — систематичні, викликані неточним завданням або густин шарів або глибин границь. На прикладах показана стійкість розроблених алгоритмів, а помилки в розв’язках не перевершують неточність завданих величин.

У попередніх розділах розглядалась методика пошуку розв’язків оптимальних або у метриці простору L2, або С . Але на практиці часто зустрічаються ситуації, коли у вихідній моделі окремі границі або стрибки густини можуть містити випадкові похибки, а інші — систематичні. І розв’язок, знайдений з використанням процедур, наприклад (18), буде оптимальним стосовно одних границь і неоптимальним відносно інших. Для вирішення цієї проблеми запропонована методика одночасного пошуку розв’язків лінійних і нелінійних обернених задач структурної гравіметрії, оптимальних як у метриці L2, так і С, базуючись на ітераційних процесах, подібних (18), (19), (23), (28), (29).

Параметром , що пов'язує процеси (18) і (23) служить значення різницевого поля і його спектр, а сам розв’язок в рамках цих процедур здійснюється для кожної з границь окремо. Тому реалізована можливість організації обчислень таким чином, що при їх виконанні деякі границі підбираються по (18), а інші — по (23). Це відноситься навіть до окремих фрагментів границь. Аналогічна процедура реалізована і при пошуку густини в шарах із використанням процесів типу (28) і(29). Тим самим надається можливість більш гнучко враховувати якість геолого-геофізичної інформації, на основі якої побудована початкова модель, і одержувати розв’язки, найбільш адекватні їй.

У прийнятих вище моделях передбачається, що функція, що описує глибини густинних границь — однозначна. Однак у складних геологічних умовах це може порушуватися і вона приймає багатозначні значення. У зв’язку з цим виникає необхідність розробки методики розв’язку поставленої задачі у випадку багатозначних функцій. Вона полягає в тому, що багатозначні границі заміняються серією однозначних, які в області багатозначності описують свою гілку функції. Розглянуто також можливість безпосереднього завдання багатозначної функції і показана еквівалентність цих підходів.

Пошук рішення лінійної і нелінійної обернених задач у рамках критеріального підходу реалізований раніше в комплексах “Маса” і “Границя”. Однак, як відзначалося вище, комплекси “Маса” працюють у рамках сіткових моделей, що не адекватні структурним, прийнятим у комплексах “Границя”. Це утруднює їхнє спільне використання для одночасного пошуку як глибин границь, так і густин шарів для складних моделей середовищ. Використання їх приводить до того, що на першому етапі необхідно здійснювати пошук розв’язку тільки з використанням комплексів “Границя”, тому що перехід від сіткових моделей до структурних в багатьох випадках досить складний. Розроблені методи розв’язування оберненої задачі в класі розподілу густини в шарах, реалізовані з використанням процедур типу (28) і (29), дають можливість вирішувати змішані задачі. При цьому, оскільки розв’язки шукаються в рамках єдиної структурної моделі, на першому етапі можна визначати або глибини густинних границь, або стрибки густини