ЧЕРНІВЕЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМ. Ю.ФЕДЬКОВИЧА

Ф і л і п ч у к М и к о л а П е т р о в и ч

УДК 517.929.7

МЕТОД УСЕРЕДНЕННЯ В КРАЙОВИХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ З ВІДХИЛЕНИМ АРГУМЕНТОМ

01.01.02 – диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Чернівці – 1999

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі прикладної математики і механіки

Чернівецького державного університету ім. Ю.Федьковича

Науковий керівник :

кандидат фізико-математичних наук, доцент

БІГУН Ярослав Йосипович,

Чернівецький державний університет ім. Ю.Федьковича,

кафедра прикладної математики і механіки

Офіційні опоненти :

доктор фізико-математичних наук, професор

БОЙЧУК Олександр Андрійович,

Інститут математики НАН України,

відділ звичайних диференціальних рівнянь,

провідний науковий співробітник

кандидат фізико-математичних наук, доцент

КЛЕВЧУК Іван Іванович,

Чернівецький державний університет ім. Ю.Федьковича,

кафедра математичного моделювання

Провідна установа :

Одеський державний університет ім. І.І. Мечникова,

кафедра економічної кібернетики і оптимального

керування,

м. Одеса

Захист відбудеться 11 червня 1999 р. о 14 годині

на засіданні спеціалізованої вченої ради К 76.051.02

в Чернівецькому державному університеті ім. Ю.Федьковича

за адресою: 274012, м. Чернівці, вул. Університетська, 28 (корпус 1)

З дисертацією можна ознайомитися у науковій бібліотеці

Чернівецького державного університету ім. Ю.Федьковича

( 274000, м. Чернівці, вул. Лесі Українки, 23)

Автореферат розісланий 7 травня 1999 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Садов’як А.М.

1

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Диференціальні рівняння з відхиленим аргументом знаходять широке застосування в теорії автоматичного регулювання, телемеханіці, радіолокації, електро- і радіотехніці, дослідженнях з ракетної техніки, термоядерного синтезу, кораблебудування, медицини, біологіїї, екології, довгострокового прогнозування в економіці та багатьох інших галузях науки і техніки.

Починаючи із середини 40-х років XX століття, запити вищезгаданих прикладних наук обумовили інтенсивний розвиток теорії диференціальних рівнянь з відхиленим аргументом. На даний час різні її аспекти висвітлено у фундаментальних монографіях Л.Е.Ельсгольца і С.Б.Норкіна; С.Б.Норкіна; А.Д.Мишкіса; Р.Беллмана і К.Л.Кука; Е.Пінні; В.П.Рубаника; Дж.Хейла; Ю.О.Митропольського і Д.І.Мартинюка; Ю.О.Митропольського, А.М.Самойленка і Д.І.Мартинюка; В.Б.Колмановського і В.Р.Носова; Є.Ф.Царькова; М.В.Азбелєва, В.П.Максимова і Л.Ф.Рахматулліної; О.А.Бойчука, В.Ф.Журавльова і А.М.Самойленка та ін.

Одне із чільних місць в теорії диференціальних рівнянь займають проблеми дослідження існування і побудови алгоритмів знаходження розв’язків крайових задач. Розробка конструктивних методів, які б дозволяли ефективно розв’язувати ці проблеми для досить широких класів задач, залишається одним із пріоритетних напрямів розвитку теорії диференціальних рівнянь. Посилена увага до теорії крайових задач обумовлена також і тим, що вона охоплює такий важливий розділ теорії диференціальних рівнянь, як теорія періодичних розв’язків.

У випадку звичайних диференціальних рівнянь теорія крайових задач володіє досить потужним арсеналом різноманітних методів. Тому природним чином постає питання про застосування цих методів до диференціальних рівнянь з відхиленим аргументом. Особливо важливого теоретичного та практичного значення, на наш погляд, набуває застосування такого ефективного методу, як метод усереднення. У випадку звичайних диференціальних рівнянь крайові задачі ним ефективно досліджували у спільних роботах Д.Д.Байнов, М.М.Константінов, С.Д.Мілушева, Ю.О.Митропольський, а також Л.Д.Акуленко; В.О.Плотніков і Т.С.Звєркова; В.О.Плотніков і В.В.Бардай. У випадку ж крайових задач для диференціальних рівнянь з відхиленим аргументом метод усереднення поки-що не знайшов належного застосування. Відзначимо у цьому напрямку результати, отримані Д.Д.Байновим і С.Д.Мілушевою; Ю.О.Митропольським, Д.Д.Байновим і С.Д.Мілушевою; В.П.Жолтіковим і В.В.Ефендієвим .

Дана робота якраз і присвячена дослідженню розв’язності крайових задач для деяких класів систем диференціальних рівнянь з відхиленим аргументом за допомогою методу усереднення. При цьому cпецифікою розглядуваних типів рівнянь є те, що початкова множина для них складається із однієї точки. Такі рівняння останнім часом інтенсивно досліджуються, зокрема, з лінійно перетвореним аргументом вигляду , . Значна увага до них обумовлена незастосовністю добре відомого методу розв’язання початкових та деяких крайових задач – методу кроків.

У методі усереднення, викладеному в роботі, одним із головних припущень буде існування та відомий аналітичний вигляд розв’язків відповідних усереднених систем. У випадку систем диференціальних рівнянь з відхиленим аргументом, в яких запізнення не є обмеженим, його потрібно зберігати і в усереднених системах. Тому виникає проблема дослідження усереднених крайових задач. У деяких часткових випадках, наприклад,

, ,

де , заміною і позначенням приходимо до системи

, .

А крайові задачі для неї можна ефективно досліджувати за допомогою викладеного у одному із розділів чисельно-аналітичного методу. При цьому охоплено навіть значно ширший клас систем.

Зауважимо також, що для звичайних диференціальних рівнянь чисельно-аналітичний метод розвинутий у роботах А.М.Самойленка і М.Й.Ронто; М.Й.Ронто і Т.В.Савіної; А.М.Самойленка і С.В.Мартинюка; Є.П.Трофимчука і О.В.Коваленка, а його поширення на диференціальні рівняння з відхиленим аргументом є досить актуальною проблемою. Результати в цьому напрямку отримали Д.І.Мартинюк і А.М.Самойленко; Ю.О.Митропольський, А.М.Самойленко і Д.І.Мартинюк; А.Августиновіч і М.Квапіш; М.Квапіш та С.В.Янчук .

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана в рамках теми «Якісні і наближені методи дослідження диференціальних та диференціально-функціональних рівнянь і їх застосування», що виконується на кафедрі прикладної математики і механіки Чернівецького державного університету ім.Ю.Федьковича згідно з Координаційним планом наукових досліджень Міністерства Освіти України з напрямку «Геометричні та аналітичні методи в математиці і їх застосування».

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботи є строге математичне обгрунтування застосовності методу усереднення та чисельно-аналітичного методу до дослідження розв’язності крайових задач для деяких класів систем диференціальних рівнянь з відхиленим аргументом.

Наукова новизна одержаних результатів. Наукову новизну роботи визначають наступні основні результати:

–

–

–

–

Достовірність отриманих результатів забезпечується наявністю строгих математичних доведень.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має, в основному, теоретичний характер. Розроблені у ній методи дослідження можуть бути перенесені на аналогічні класи диференціальних рівнянь з відхиленим аргументом більш загального вигляду. Крім цього, отримані результати можуть бути використані при розв’язуванні конкретних прикладних задач.

Особистий внесок здобувача. У дисертації та двох спільних публікаціях науковому керівнику – Бігуну Я.Й. – належать постановки задач та визначення загальної схеми дослідження, а доведення всіх наведених тверджень – особисто дисертанту. Методика дослідження крайових задач за допомогою методу усереднення запозичена із робіт Р.І.Петришина; А.М.Самойленка і Я.Р.Петришина; Ю.О.Митропольського, Д.Д.Байнова і С.Д.Мілушевої, а за допомогою чисельно-аналітичного методу – із робіт А.М.Самойленка і М.Й.Ронто.

Апробація результатів дисертації. Основні результати роботи доповідалися і обговорювалися на Всеукраїнській конференції «Диференціально-функціональні рівняння та їх застосування» (Чернівці, 1996), Всеукраїнській школі-семінарі «Нелінійні крайові задачі математичної фізики та їх застосування» (Кам’янець-Подільський, 1997), Міжнародній конференції «Моделювання і дослідження стійкості систем» (Київ, 1997), Сьомій Міжнародній науковій конференції імені академіка М.Кравчука (Київ, 1998), Міжнародній науковій конференції «Сучасні проблеми математики» (Чернівці, 1998), наукових семінарах математичного факультету та кафедри прикладної математики і механіки Чернівецького державного університету ім. Ю.Федьковича.

Публікації. За результатами досліджень, здійснених у дисертації, опубліковано 9 праць : 2 статті у наукових журналах, 3 статті у збірниках наукових праць Інституту математики НАН України, 2 статті у матеріалах міжнародних наукових конференцій та 2 тез у доповідях наукових конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, розбитих на 16 підрозділів, висновків та списку використаних джерел із 86 найменувань. Загальний обсяг дисертації – 142 сторінки машинописного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У першому розділі проаналізовано розвиток та застосування до диференціальних рівнянь з відхиленим аргументом методу усереднення і чисельно-аналітичного методу, а також коротко викладено основний зміст роботи.

У другому розділі за допомогою методу усереднення досліджуються крайові задачі для системи диференціальних рівнянь із змінним запізненням вигляду

, (1)

де ; – малий параметр, ; – неперервно диференційовна функція, причому , для всіх , – деяка стала. Функція вважається визначеною в області , де – обмежена область в , і -періодичною по .

Поряд із (1) розглядається відповідна усереднена система

, (2)

де

.

Зауважимо, що система (2) значно простіша від вихідної системи (1).

Під нормою матриці у цьому розділі розуміється сума модулів її елементів, а під і – розв’язки систем (1) і (2) відповідно, які при набувають початкового значення .

У теоремах 2.1.1 і 2.1.2 підрозділу 2.1, який носить допоміжний характер, при досить природних умовах на функцію для всіх , і встановлені відповідно оцінки

, ,

де , -досить мале, , і – сталі, що не залежать від .

У підрозділі 2.2 для системи (1) розглядаються нелінійні двоточкові крайові умови вигляду

, (3)

де – відома -вимірна вектор-функція.

Достатні умови розв’язності крайової задачі (1), (3) вказані у теоремі 2.2.1.

Теорема 2.2.1. Нехай виконуються умови:

1)

1)

(4)

при кожному має єдиний розв’язок , який лежить разом

з деяким -околом в області для всіх ;

1)

4) матриця

,

де значення похідних функції беруться при ,, є

невиродженою для кожного ;

5) існує стала така, що

.

Тоді існує таке досить мале , що для кожного крайова задача (1), (3) має єдиний розв`язок , який для всіх лежить в -околі розв`язку усередненої крайової задачі (2), (4), де стала, що не залежить від .

У теоремі 2.2.2 аналогічне твердження наведене у випадку нелінійних багатоточкових крайових умов для системи (1), а у теоремі 2.3.1 підрозділу 2.3 – у випадку інтегральних крайових умов вигляду

,

де – відомий -вимірний вектор.

Останнім часом значна кількість досліджень стосується крайових задач, які містять невідомі параметри у крайових умовах. Тому у підрозділі 2.4 для системи (1) розглядаються лінійні двоточкові крайові умови з невідомим скалярним параметром вигляду

, , (),

та

, , (),

де і – сталі матриці, , , , – відомий -вимірний вектор, – остання координата розв’язку , – задане значення.

Аналогічно як у теоремі 2.2.1, у теоремах 2.4.1 і 2.4.2 встановлено умови, що гарантують існування єдиних розв’язків розглядуваних задач в деяких -околах єдиних розв’язків відповідних усереднених крайових задач.

У підрозділі 2.5 система (1) розглядається без припущення періодичності правої частини. Назвемо таку систему неперіодичною і задамо для неї лінійні багатоточкові крайові умови вигляду

, (5)

де , – матриці, , – відомий -вимірний вектор,

Нехай існує границя

. (6)

Тоді покладемо у відповідність крайовій задачі (1), (5) усереднену крайову задачу

, ,

. (7)

У теоремі 2.5.1 вказані умови, які гарантують близькість на відрізку розв’язків крайових задач (1), (5) і (7).

Теорема 2.5.1. Нехай виконуються умови:

1)

1)

1)

1)

1)

Тоді для довільного існує таке , що для всіх вірна оцінка

.

У третьому розділі за допомогою методу усереднення досліджуються крайові задачі для системи диференціальних рівнянь із змінним обмеженим запізненням вигляду

, (8)

де ; – малий параметр, ; – неперервно диференційовна функція, причому , , для всіх , і – деякі сталі. Функція вважається визначеною в області , де – обмежена область в , і - періодичною по .

Поряд із (8) розглядається відповідна усереднена система

, (9)

де

.

Під нормою матриці у цьому розділі розуміється сума модулів її елементів, а під і – розв’язки систем (8) і (9) відповідно, які при набувають початкового значення .

У теоремах 3.1.1 і 3.1.2 підрозділу 3.1, який носить допоміжний характер, при досить природних умовах на функцію для всіх , і встановлені відповідно оцінки

, ,

де , – досить мале, , і – сталі, що не залежать від .

У підрозділі 3.2 для системи (8) розглядаються нелінійні двоточкові крайові умови вигляду

, (10)

де – відома -вимірна вектор-функція.

Достатні умови розв’язності крайової задачі (8), (10) вказані у теоремі 3.2.1.

Теорема 3.2.1. Нехай виконуються умови:

1)

1)

(11)

при кожному має єдиний розв’язок , який лежить разом з

деяким -околом в області для всіх ;

1)

4) матриця

,

де значення похідних функції беруться при , , є

невиродженою для кожного ;

5) існує стала така, що

.

Тоді існує таке досить мале , що для кожного крайова задача (8), (10) має єдиний розв`язок , який для всіх лежить в -околі розв`язку усередненої крайової задачі (9), (11), де стала, що не залежить від .

У теоремі 3.2.2 аналогічне твердження наведене у випадку нелінійних багатоточкових крайових умов для системи (8), а у теоремі 3.3.1 підрозділу 3.3 – у випадку інтегральних крайових умов вигляду

,

де – відомий -вимірний вектор.

У підрозділі 3.4 для системи (8) розглядаються лінійні двоточкові крайові умови з невідомим скалярним параметром вигляду

, , (),

та

, , (),

де і – сталі матриці, ,, , – відомий -вимірний вектор, – остання координата розв’язку , – задане значення.

Аналогічно як у теоремі 3.2.1, у теоремах 3.4.1 і 3.4.2 встановлено умови, що гарантують існування єдиних розв’язків розглядуваних задач в деяких -околах єдиних розв’язків відповідних усереднених крайових задач.

У підрозділі 3.5 система (8) розглядається без припущення періодичності правої частини. Назвемо таку систему неперіодичною і задамо для неї лінійні багатоточкові крайові умови вигляду

, (12)

де , – матриці, , – відомий -вимірний вектор,

Нехай існує границя

. (13)

Тоді покладемо у відповідність крайовій задачі (8), (12) усереднену крайову задачу

, ,

. (14)

У теоремі 3.5.1 вказані умови, які гарантують близькість на відрізку розв’язків крайових задач (8), (12) і (14).

Теорема 3.5.1. Нехай виконуються умови:

1)

1)

1)

1)

1)

Тоді для довільного існує таке , що для всіх вірна оцінка

.

Зауважимо, що якщо для системи (1) виконується умова обмеженості запізнення для всіх , – деяка стала, то можна використовувати як схему усереднення, викладену у другому розділі, так і схему усереднення, викладену у третьому розділі. При цьому зручніше використовувати саме останню схему, оскільки у ній усереднена система не містить запізнення.

Типовим представником систем (1), для яких запізнення не є обмеженим при , є система

, ,

де . Розглядаючи для неї, наприклад, лінійні двоточкові крайові умови вигляду

,

згідно з (2), отримуємо усереднену крайову задачу

, ,

.

Заміною і позначенням приходимо до крайової задачі

, ,

,

ефективне дослідження якої можна здійснити за допомогою викладеного у четвертому розділі чисельно-аналітичного методу.

У цьому розділі вивчаються крайові задачі для системи диференціальних рівнянь із перетвореним аргументом вигляду

, (15)

де – незалежна змінна, , ; , – довільне неперервне відображення. Функція вважається визначеною і неперервною по в області , де – замкнена обмежена область в . Припускається також, що функція в області обмежена вектором із додатними компонентами та задовольняє умову Ліпшіца по з матрицею із невід’ємними компонентами.

У підрозділі 4.1 для системи (15) розглядаються лінійні двоточкові крайові умови вигляду

(16)

де і – сталі матриці, – відомий сталий -вимірний вектор.

При цьому припускається, що для деяких фіксованих дійсних чисел і виконується умова

(17)

У пункті 4.1.1 розглядається випадок .

Позначимо через множину точок таких, що точки містяться в області разом зі своїм -околом, де

, ,

, .

Нехай

(18)

і найбільше власне значення матриці не перевищує одиниці

. (19)

Розглянемо послідовність функцій

,

(20)

кожна з яких задовольняє крайові умови (16) для довільного значення параметра .

У теоремі 4.1.1 доведено збіжність послідовних наближень .

Теорема 4.1.1. Нехай виконуються умови (17)-(19). Тоді послідовність функцій вигляду (20) рівномірно збігається при в області до граничної функції , яка при проходить через точку і є розв`язком крайової задачі

,

де

.

Для відхилення від при всіх і вірна оцінка

(21)

Необхідні і достатні умови для того, щоб гранична функція була розв`язком крайової задачі (15), (16), вказані у теоремі 4.1.3.

Теорема 4.1.3. Нехай виконуються умови теореми 4.1.1. Тоді для того, щоб розв`язок початкової задачі

,

був одночасно розв`язком крайової задачі (15), (16), необхідно і досить, щоб визначальна функція

у точці перетворювалась в нуль

.

При цьому і для всіх , щодо відхилення точного розв`язку крайової задачі (15), (16) від її наближеного розв`язку вигляду (20) вірна оцінка (21).

На підставі теореми 4.1.3 сформульовано чисельно-аналітичний алгоритм побудови розв’язку крайової задачі (15), (16), головною проблемою при реалізації якого є побудова в аналітичному вигляді функції . Крім цього, важливо вміти зробити висновок про існування розв`язку розглядуваної крайової задачі не за граничною функцією, а за її -тим

наближенням . Тому введено до розгляду наближені визначальні функцію

(22)

та рівняння

.

Достатні умови розв`язності крайової задачі (15), (16) вказані у теоремі 4.1.4.

Теорема 4.1.4. Нехай виконуються умови теореми 4.1.1, а також умови:

1)

2) на межі області виконується нерівність

Тоді крайова задача (15), (16) має розв`язок , початкове значення якого

(23)

визначається таким , яке належить області .

Необхідні ж умови розв’язності крайової задачі (15), (16) вказані у теоремі 4.1.6.

Теорема 4.1.6. Нехай виконуються умови теореми 4.1.1. Тоді для того, щоб деяка область містила точку , яка визначає при початкове значення (23) розв`язку крайової задачі (15), (16), необхідно, щоб для всіх і довільного виконувалась нерівність

,

де і – матриці, елементами яких є модулі елементів матриць і відповідно.

У пункті 4.1.2 розглянуто випадок . Оскільки при цьому викладена у попередньому пункті схема чисельно-аналітичного методу є незастосовною, у теоремі 4.1.7 наведено її модифікацію, де немає потреби розв’язувати визначальне рівняння.

Теорема 4.1.7. Нехай виконуються умови:

1)

1)

де ( береться покомпонентно );

1)

Тоді крайова задача (15), (16) має в області єдиний розв`язок , який є границею послідовних наближень

,

причому для всіх і .

Результати, цілком аналогічні результатам підрозділу 4.1, отримані для системи (15) у підрозділі 4.2 у випадку лінійних багатоточкових крайових умов вигляду

де , – сталі матриці, , – відомий сталий -вимірний вектор, а у підрозділі 4.3 – у випадку інтегральних крайових умов вигляду

,

де – відомий сталий -вимірний вектор.

ВИСНОВКИ

Дисертація має, в основному, теоретичний характер. Наведені у ній результати доповнюють відомі дослідження крайових задач для диференціальних рівнянь з відхиленим аргументом за допомогою методу усереднення та чисельно-аналітичного методу. При цьому отримано наступні нові наукові результати:

–

–

–

–

–

Достовірність отриманих результатів забезпечується наявністю строгих математичних доведень.

Розроблені у дисертації методи дослідження можуть бути перенесені на аналогічні класи диференціальних рівнянь з відхиленим аргументом більш загального вигляду, а отримані результати – використані при розв’язуванні конкретних прикладних задач.

ПЕРЕЛІК ПУБЛІКАЦІЙ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.

1.

1.

4.

4.

6.

6.

6.

6.

АНОТАЦІЇ

Філіпчук М.П. Метод усереднення в крайових задачах для диференціальних рівнянь з відхиленим аргументом. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. – Чернівецький державний університет ім. Ю.Федьковича, Чернівці, 1999.

Для диференціальних рівнянь з відхиленим аргументом, початкова множина яких складається із однієї точки, у дисертації досліджується розв’язність крайових задач.

Для періодичних систем із змінним запізненням отримано достатні умови існування єдиних розв’язків крайових задач з двоточковими, багатоточковими та інтегральними крайовими умовами в деяких -околах єдиних розв’язків відповідних усереднених крайових задач.

Для неперіодичних систем із змінним запізненням в припущенні існування єдиних розв’язків вихідних та усереднених багатоточкових крайових задач встановлено умови, які гарантують їх близькість.

Для систем із перетвореним аргументом обгрунтовано чисельно-аналітичний метод дослідження крайових задач із двоточковими, багатоточковими та інтегральними крайовими умовами.

Ключові слова: метод усереднення, крайова задача, диференціальне рівняння, відхилений аргумент, змінне запізнення, перетворений аргумент, чисельно-аналітичний метод.

Филипчук Н.П. Метод усреднения в краевых задачах для дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения. – Черновицкий государственный университет им. Ю.Федьковича, Черновцы, 1999.

Для дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, начальное множество которых состоит из одной точки, в диссертации исследуется разрешимость краевых задач.

Для периодических систем с переменным запаздыванием обоснован метод усреднения в начальных задачах, для разности решений исходных и усредненных систем получена явно зависящая от малого параметра оценка частной производной по начальному значению. Получены достаточные условия существования единственных решений краевых задач с двухточечными, многоточечными и интегральными краевыми условиями в некоторых -окрестностях единственных решений соответствующих усредненных краевых задач. Исследованы также краевые задачи с линейными двухточечными краевыми условиями, содержащими неизвестный скалярный параметр. Для непериодических систем с переменным запаздыванием в предположении существования единственных решений исходных и усредненных многоточечных краевых задач получены условия, гарантирующие их близость. Как в периодическом, так и в непериодическом случаях, запаздывание в исходных системах можеть быть неограниченным, поэтому оно сохранено и в усредненной системе.

Для периодических систем с переменным ограниченным запаздыванием обоснован метод усреднения в начальных задачах, для разности решений исходных и усредненных систем получена явно зависящая от малого параметра оценка частной производной по начальному значению. Получены достаточные условия существования единственных решений краевых задач с двухточечными, многоточечными и интегральными краевыми условиями в некоторых -окрестностях единственных решений соответствующих усредненных краевых задач. Исследованы также краевые задачи с линейными двухточечными краевыми условиями, содержащими неизвестный скалярный параметр. Для непериодических систем с переменным ограниченным запаздыванием в предположении существования единственных решений исходных и усредненных многоточечных краевых задач получены условия, гарантирующие их близость. Как в периодическом, так и в непериодическом случаях, усредненная система не содержит запаздывания.

Для систем с преобразованным аргументом обоснован численно-аналитический метод исследования краевых задач в случае линейных двухточечных, многоточечных, а также интегральных краевых условий. Для каждой рассматриваемой задачи построена равномерно сходящаяся последовательность функций, определена связь предельной функции с точным решением, на основании свойств приближенных определяющих уравнений получены достаточные и необходимые условия разрешимости краевой задачи. Для каждой краевой задачи дополнительно предложена схема численно-аналитического метода без определяющего уравнения.

Ключевые слова: метод усреднения, краевая задача, дифференциальное уравнение, отклоняющийся аргумент, переменное запаздывание, преобразованный аргумент, численно-аналитический метод.

Filipchuk M.P. Averaging method in the boundary value problems for differential equations with deviated argument. – Manuscript.

Dissertation for candidate’s degree by speciality 01.01.02 – differential equations. – Chernivtsi State University named by Yu. Fedkovych, Chernivtsi, 1999.

The solvability of boundary value problems in dissertation is investigated for differential equations with deviated argument initial set of which contains one point.

The sufficient conditions for existence of unique solutions of boundary value problems with twopoint, multipoint and integral boundary conditions in some -vicinities of unique solutions of respective averaging boundary value problems were obtained for periodic systems with variable delay.

Assuming existence and uniqueness of solutions of original and averaging multipoint boundary value problems, the conditions which assure their closeness were obtained for nonperiodic systems with variable delay.

The numerical-analytic method of investigation of boundary value problems with twopoint, multipoint and integral boundary conditions was substantiated for systems with transformed argument.

Key words: averaging method, boundary value problem, differential equation, deviated argument, variable delay, transformed argument, numerical-analytic method.