МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДНІПРОПЕТРОВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Валько Наталія Валеріївна

УДК 517.946.9

ІМОВІРНІСНІ МОДЕЛІ І МЕТОДИ
БАРИЦЕНТРИЧНОГО УСЕРЕДНЕННЯ

ГРАНИЧНИХ ПОТЕНЦІАЛІВ

01.05.02 – математичне моделювання
та обчислювальні методи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Дніпропетровськ – 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі прикладної математики та математичного моделювання Херсонського національного технічного університету Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

Хомченко Анатолій Никифорович, Херсонський національний технічний університет Міністерства освіти і науки України, завідувач кафедри прикладної математики та математичного моделювання.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Тихоненко Микола Якович,

Одеський національний університет ім. І.І. Мечнікова

Міністерства освіти і науки України, завідувач кафедри математичного забезпечення комп’ютерних систем;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Говоруха Володимир Борисович,

Дніпропетровський національний університет Міністерства освіти і науки України, доцент кафедри обчислювальної математики та математичної кібернетики.

Провідна установа: Інститут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України, відділ моделювання теплових і механічних процесів, м. Харків.

Захист відбудеться „_2_”__грудня__ 2005 р. о _14_ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 08.051.09 при Дніпропетровському національному університеті за адресою: пр. Карла Маркса, 35, корп. 3, ауд. 25, м. Дніпропетровськ, 49044.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Дніпропетровського національного університету за адресою: вул. Козакова, 8, м. Дніпропетровськ, 49050.

Автореферат розісланий „_29_” _жовтня__ 2005 р.

Вчений секретар

спеціалізованої

вченої ради К 08.051.09 В.Я. Бурдюк

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Розрахунки стаціонарних фізичних полів для конструктивних елементів різноманітної конфігурації є важливими задачами при створенні споруд, приладів, механізмів. В математичній постановці – це задачі відновлення гармонічної функції в деякій області з заданими граничними умовами. Побудові математичних моделей в теорії граничних потенціалів, їх аналізу присвячені роботи багатьох вчених: М.М. Беляєва, А.А. Березовського, О.М. Білоцерковського, Б.М. Бублика, А.Т. Василенка, Я.М. Григоренка, В.С. Дейнеки, М.М. Калиткина, Б.Я. Кантора, Ю.М. Коляно, В.П. Коробей-нікова, Д.П. Костома-рова, Б.М. Лісіцина, І.І. Ляшка, Г.І. Марчука, Ю.О. Митропольського, Я.С. Підстригача, В.Г. Піскунова, Я.Г. Савули, О.А. Самарського, І.В. Сергієнка, В.В. Скопецького, А.П. Слесаренка, В.Л. Рвачева, А.А. Рядна, А.М. Тихонова, Б.Н. Четверушкіна та інших.

У зв’язку з бурхливим розвитком комп’ютерних технологій та розширенням сфери їх використання у виробництві великою популярністю користуються методи та моделі, пристосовані до паралельних обчислень. Поява нових наукових та прикладних задач, які потребують великої кількості обчислень, показала актуальність та перспективність розробок моделей та методів пристосованих до таких обчислень. Простота методу барицентричного усереднення дозволяє виконувати паралельні обчислення з великою швидкістю і застосовувати його до задач відновлення гармонічних функцій. Оскільки теоретичних розробок цього методу досить мало, то існує потреба у його детальному дослідженні.

Актуальність теми. Більшість чисельних методів, що орієнтовані на ЕОМ, використовують сітку. Це приводить до складання і розв’язування систем зі значною кількістю лінійних алгебраїчних рівнянь. Крім того, дані методи дають розв’язок у всіх вузлових точках області, тоді як для деяких задач важливо знати розв’язок лише в окремих точках області. Тому широке розповсюдження отримали стохастичні методи побудови наближених розв’язків крайових задач, оскільки при однаковій точності стохастичні моделі простіші для реалізації аніж детерміновані.

Значне місце серед стохастичних методів займає метод Монте-Карло. За часи існування методу з’явилося багато різних його варіантів, оскільки виникла проблема прискорення і зменшення обсягу обчислень. Особливу увагу привертають методи, які використовують випадкові блукання частинки. Були розроблені варіанти методу зі скороченою історією блукання, які дозволяють за один крок вивести частинку на границю області. Була запропонована нова модель блукання частинки по симплексу. Метод, який реалізує цю модель, називається методом барицентричного усереднення (МБУ). Такий підхід дозволив спростити розрахунки і скоротити час на їх виконання. Практика показала, що застосування цього методу дає хороші результати. Комп’ютерні експерименти свідчать про прийнятну точність при застосуванні МБУ у порівнянні з іншими методами. Були спроби теоретичного дослідження методу з імовірнісних позицій та за допомогою експериментальних даних. Однак існує нагальна потреба в теоретичному обґрунтуванні ефективності методу та його збіжності.

В роботі для обґрунтування використання принципу зваженого усереднення були розглянуті теоретичні основи методу і встановлено, що більшість класичних методів обчислювальної математики використовують зважене усереднення в різних формах. Проведені дослідження дали змогу по-новому підійти до задачі усереднення граничних потенціалів та побудувати нові моделі барицентричного усереднення, які не спираються на рівняння Лапласа, а використовують інтегральні критерії гармонічності функцій.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках індивідуального плану підготовки аспіранта та науково-дослідницької програми кафедри прикладної математики та математичного моделювання Херсонського національного технічного університету (номер державної реєстрації 0101U008069 “Геометричні моделі в алгоритмах обчислювальної математики” та 0105U002749 „Розробка інформа-ційної технології геометричного моделювання скалярних полів”) і відповідає державним науково-технічним програмам, які сформульовані в Законі України “Про наукову і науково-технічну діяльність” та в Законі України “Про національну програму інформатизації”.

Мета і завдання дослідження. Основною метою дисертаційної роботи є побудова нових моделей барицентричного (зваженого) усереднення, застосування моделей зваженого усереднення до розв’язання задачі про середній час виходу частинки на границю області та моделювання температурного поля, встановлення умов збіжності схеми барицентричного усереднення для рівнянь Лапласа та Пуассона в довільній точці круга.

Для досягнення поставленої мети сформульовані наступні задачі:

- встановити теоретичні зв’язки між моделями зваженого усереднення засобами геометричного моделювання;

- побудувати за допомогою способу геометричного моделювання базисні функції для двовимірних сирендипових елементів;

- обґрунтувати гіпотезу про заміну апостеріорних перехідних ймовірностей апріорними у однокрокових схемах випадкових блукань на симплексі;

- встановити умови збіжності схеми барицентричного усереднення при розв’язуванні задачі Діріхле для рівняння Лапласа в довільній точці круга та його зовнішності;

- встановити умови збіжності схеми барицентричного усереднення при розв’язуванні задачі Діріхле для рівняння Пуассона в довільній точці круга;

- побудувати моделі барицентричного усереднення та отримати наближені розв’язки окремих задач про розподіл температури у пластинах довільної форми та про середній час виходу частинки на границю області.

Об’єкт дослідження – моделі зваженого усереднення на дискретних елементах.

Предмет дослідження – імовірнісні властивості моделей та різновиди процедур барицентричного усереднення; базисні функції дискретних елементів; збіжність схеми барицентричного усеред-нення при розв’язуванні задачі Діріхле для рівнянь Лапласа і Пуассона в окремих однозв’язних областях.

Методи дослідження – при розв’язуванні поставлених задач викорис-то-вувались методи математичного аналізу, теорії функцій комплексної змінної, зокрема метод конформного відображення, математичний апарат теорії ймовірностей, методи обчислювальної математики, прикладні програми, комп’ютерна графіка.

Наукова новизна одержаних результатів. В роботі вперше розроблені теоретичні основи методу барицентричного усереднення; дано імовірнісне означення гармонічним функціям. До цього часу виходили з припущення про існування зв’язку між принципом барицентричного усереднення та диференціальним критерієм гармонічності.

Вперше обґрунтовано застосування методу барицентричного усереднення до отримання наближеного розв’язку рівнянь Лапласа та Пуассона; поставлена і вирішена задача дослідження умов збіжності схеми барицентричного усереднення на класичних областях. В роботах по застосуванню методу барицентричного усереднення, які публікувались раніше, ефективність обчислень перевірялась порівнянням із результатами, отриманими за допомогою класичних дискретних методів, збіжність яких доведена.

Вперше застосування методу барицентричного усереднення поєднано із використанням методу конформного відображення області, яка розглядається, на одиничний круг. Це відкриває можливості отримання умов збіжності методу барицентричного усереднення для довільних областей, що допускають конформне відображення на круг та застосування цього методу до областей зі складною границею.

Обґрунтованість і достовірність наукових положень, висновків і рекомендацій. Основні результати дисертаційної роботи отримані у вигляді теорем, при доведенні яких використовуються аналітичні перетворення, класичні теореми про конформне відображення областей, відомі формули Гаусса, Пуассона. Отримані результати добре узгоджуються з практичною побудовою наближених розв’язків рівнянь Лапласа і Пуассона методом барицентричного усереднення в конкретних областях, та з результатами використання цього методу іншими авторами. Обґрунтованість і достовірність наукових положень, висновків і рекомендацій підтверджується коректним використанням математичних підходів та порівнянням з відомими результатами, що одержані іншими методами та іншими авторами, серією комп'ютерних та фізичних експериментів.

Практичне значення одержаних результатів. Отримані теоретичні результати, які стосуються імовірнісного підходу до визначення критерію гармонічності функції, можна використовувати для подальшого дослідження моделей бари-цен-тричного усереднення.

Сформульовані та доведені в роботі теореми збіжності схеми барицентричного усереднення при розв’язуванні задачі Діріхле для рівнянь Лапласа та Пуассона, дають можливість розповсюдити метод на нові класи задач та сприяють подальшому дослідженню методу барицентричного усереднення.

Практичне значення роботи полягає в тому, що отримані розрахункові формули застосовувати для отримання наближеного розв’язоку задачі про середній час виходу траєкторії блукаючої частинки на границю в окремих областях. Розроблені алгоритми оптимізації пошуку точок підвищеної збіжності можна використовувати при розв’язуванні задачі про розподіл температури в пластині. Побудовані моделі та алгоритми швидких обчислень можуть бути застосовані у науково-дослідних, конструкторських та проектних організаціях при розрахунках споруд, конструкцій, елементів машин. Результати роботи знайшли застосування у розрахунках і впроваджені на ВАТ „Херсонський завод карданних валів”, ВАТ „Херсонський електромашинобудівний завод”.

Отримані в роботі алгоритми побудови моделей зваженого усереднення використовується у навчальному процесі Херсонського національного технічного університету при викладанні курсів “Обчислювальна математика” та “Прикладна математика”; у навчальному процесі Херсонського державного університету при викладанні курсів “Чисельні методи” та “Теорія систем та математичне моделювання”.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи, що виносяться на захист, отримані автором особисто. У працях, написаних у співавторстві, здобувачеві належать: в [3] - доведення збіжності методу барицентричного усереднення для класичної області – круга; в [4, 7] - побудова різних моделей методу барицентричного усереднення із застосуванням інтегрального критерію гармонічності; в [5, 9, 10] - побудова базисних функцій для мультиплексів із використанням геометричного підходу; в [6] – знаходження розв’язку задачі про середній час виходу блукаючої частинки на границю області у барицентричних координатах, а також, побудова узагальненої комбінаторної формули інтегралу Ейлера І роду; в [11] - побудова формули зваженого усереднення шаблону типу „хрест” для тривимірного випадку; в [12, 17, 18, 19] - встановлення зв’язку між гармонічними функціями та геометричною ймовірністю, аналіз розрахункових формул класичних чисельних методів з точки зору інтегрального критерію гармонічності; в [14] - розрахунки напруги, яка виникає при крученні призматичного стержня; в [15] - розрахунки температурного поля пластин різної конфігурації методом барицентричного усереднення; в [16] - аналіз однокрокових моделей зваженого усереднення з точки зору інтегрального критерію гармонічності.

Апробація результатів дисертації. Основні результати досліджень доповідались і обговорювались на:

- семінарах кафедри прикладної математики та математичного моделювання Херсонського державного технічного університету (1997 – 2004 р.);

- ІІ міжнародній науково-практичній конференції “Математичне моделювання в освіті, науці та виробництві”, м. Тирасполь (2001 р.);

- міждержавній науково-методичній конференції “Комп’ютерне моделювання”, м. Дніпродзержинськ (2001 р.);

- міжвузівському науковому семінарі “Актуальні проблеми прикладної математики і механіки”, Запорізький державний університет (2001 р.);

- науковому семінарі факультету прикладної математики, Дніпропетровський національний університет (2001 р.);

- ІІ міжнародному конгресі студентів, молодих вчених і спеціалістів “Молодь та наука – третє тисячоліття”/YSTM ’02, Москва (2002 р.);

- VІ міжнародній конференції по математичному моделюванню, м. Херсон (2003 р.);

- другій міжнародній науково-практичній конференції "Математичне та програмне забезпечення інтелектуальних систем", м. Дніпропетровськ (2004 р.);

- IV міжнародній науково-практичній конференції „Математичне моделювання в освіті, науці та виробництві”, м. Тирасполь (2005 р.).

Публікації. По темі дисертації опубліковано 19 робіт (12 у збірниках наукових праць, 7 у матеріалах і тезах конференцій), з них 5 статей у виданнях, що включені ВАК України до переліку фахових.

Структура й обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел. Повний обсяг дисертації становить 170 сторінок, серед яких 49 рисунків, 13 таблиць, список використаних джерел з 186 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність обраної теми, зазначено її зв’язок з науковими програмами, планами, темами. Сформульовано мету і задачі дослідження, подано характеристику науковій новизні, теоретичне і практичне значення отриманих результатів, відзначено особистий внесок здобувача, ступінь апробації результатів, вказано кількість публікацій автора за темою дисертаційної роботи.

Перший розділ дисертації присвячено аналітичному огляду літератури за темою дисертації. Розкриваються основні етапи розвитку ідеї зваженого усереднення.

Процедура усереднення має глибокі традиції і має багато інтерпретацій: середнє арифметичне, середнє геометричне, середнє квадратичне, середнє гармонічне та ін. Найбільш популярним є арифметичне усереднення. Для оцінки стратифікованої вибірки стали використовувати більш тонкий прийом – зважене усереднення. Цей прийом був відомий ще Архімеду і використовувався при розв’язуванні багатьох задач геометрії та механіки.

Методологія зваженого усереднення містить набір принципів і прийомів вдосконалення математичної моделі на основі зважування ординарних моделей. В результаті такого зважування нова модель стає кращою, точнішою.

Широке застосування зваженого усереднення обумовлене передусім існуванням глибоких зв’язків між різними методами дискретизації.

Кожній матеріальній точці ставиться у відповідність число m, яке називають її масою. Як відомо, для будь-яких трьох мас, що відповідають вершинам трикутника, однозначно визначена точка, яку називають центром мас. Справедливе і інше твердження: будь-яка внутрішня точка трикутника може стати центром мас, якщо його вершини наділити відповідними масами. В цьому випадку ставиться обернена задача про відповідний розподіл одиничної маси у вузлах симплексу. Обернені задачі найчастіше бувають некоректними, тобто, при їх розв’язуванні не можна говорити про єдиний розв’язок. Це дозволяє моделювати різні підходи до їх розв’язання.

У другому розділі на основі інтегрального критерію гармонічності проаналізовано ефективність класичних та нетрадиційних методів відновлення гармонічної функції в крузі, узагальнені результати на області довільної конфігурації.

Найчастіше знаходження гармонічної функції пов’язують з розв’язуванням рівняння Лапласа. Інтегральне представлення гармонічної функції стало основою для знаходження її середнього значення.

У 1906 році Кьобе була доведена теорема про те, що неперервна в області G функція u, яка приймає в кожній точці Р області значення, що дорівнює середньому арифметичному значень цієї функції на будь-якому колі з центром в точці Р, що цілком належить області G, є гармонічною в G. Тобто, виконується властивість середнього :

. | (1)

де ы - значення функції u(x;y) на колі Cr радіуса r з центром в точці Рx;y); dl- елемент дуги кола. Ці результати були узагальнені І.І. Приваловим на двовимірний випадок (подвійний інтеграл для круга) та на тривимірний (поверхневий інтеграл по сфері та інтеграл по об’єму). Також ним була встановлена еквівалентність між диференціальним та інтегральним критеріями гармонічності.

Інтегральну умову гармонічності можна записати у дискретному вигляді. Для цього коло розбивається на n рівних дуг, в центрі кожної з дуг вибирають точку. Тоді значення функції u у центрі кола (контрольній точці) буде знаходитись за формулою:

, | (2)

Можливості рівності (1) обмежуються тільки обчисленням значення для центральної точки. У випадку, коли контрольна точка не є природним барицентром області, формула (2) змінюється наступним чином:

, | (3)

Замість арифметичного усереднення в цьому випадку використовується зважене усереднення. Такий підхід дозволяє моделювати значення коефіцієнтів, внаслідок чого з’являються різні розрахункові формули. Це дає можливість по-новому розглянути деякі класичні методи.

Аналіз роботи попередників висвітив коло питань, що залишились невирішеними. В даній роботі для обґрунтування використання принципу зваженого усереднення були розглянуті теоретичні основи методу і встановлено, що більшість класичних методів обчислювальної математики використовують зважене усереднення в різних формах. Проведені дослідження дали змогу по-новому підійти до задачі усереднення граничних потенціалів та побудувати нові моделі барицентричного усереднення.

З урахуванням поставленої мети, у цьому розділі проводиться огляд сучасного стану проблем, пов’язаних з побудовою моделей та методів барицентричного усереднення.

В результаті аналітичного огляду публікацій з обраної тематики було визначено напрямки та проблеми для подальшого дослідження моделей та методів зваженого усереднення.

Третій розділ присвячений побудові моделей випадкових блукань на дискретних елементах та застосуванню процедури зваженого усереднення на цих елементах.

Формула усереднення граничних потенціалів (3) має чітко виражений імовірнісний зміст. Величини k можна розглядати як перехідні ймовірності у прискорених схемах випадкових блукань. Значення коефіцієнтів k можна обчислити без моделювання багатокрокових, зигзагоподібних, багаторазових випадкових блукань по сітці. Це дозволяє спростити алгоритми обчислень та заощадити час у машинних розрахунках.

Заміна апостеріорних перехідних ймовірностей апріорними дає можливість відмовитися від накладання сітки на область, не відслідковувати довгі переходи частинки по вузлах решітки. За допомогою барицентричних координат фактично моделюється стрибок з будь-якої внутрішньої точки у одну із вершин симплекса, тому їх використання у якості перехідних ймовірностей значно прискорює розрахунки. Доведені такі теореми.

Теорема 3.1. Ймовірність переходу частинки з внутрішньої точки у вузол дискретного елементу не залежить від вибору маршруту.

Теорема 3.2. Ймовірність переходу частинки з внутрішньої точки у вузол дискретного елементу визначається як відповідна барицентрична координата точки відносно елемента.

Формула (1) може бути трактована у термінах теорії ймовірностей. В рамках закону про рівномірний розподіл (1) являє собою математичне сподівання випадкової величини. Це дає нове означення гармонічності функції як випадкової величини.

Через М() позначимо математичне сподівання величини . За означенням математичного сподівання неперервної випадкової величини маємо:

,

де - щільність ймовірності величини . Якщо функція u(r; ) гармонічна в крузі , то, як відомо з теорії функцій комплексної змінної, вираз у правій частині даної рівності дорівнює значенню функції u(r; ) в центрі круга:

. (4)

Отже, значення u(0;0) в цьому випадку є математичним сподіванням випадкової величини .

Якщо зроблені вище припущення справедливі для будь-якого круга, що повністю міститься в деякій області Т, то за допомогою рівності (4) та паралельного переносу координат в довільну внутрішню точку Р цієї області можна означити випадкову величину в точці Р через значення функції u на цьому колі. Отриману таким чином випадкову величину будемо називати гармонічною в області Т, якщо функція u є гармонічною в Т. В цьому випадку теорема Кьобе набере наступного вигляду.

Теорема 3.3. Якщо випадкова величина є неперервною в області Т і має рівномірний розподіл на будь-якому колі, що повністю міститься в Т, то гармонічна в області Т.

Імовірнісний аналог результату Привалова буде формулюватись наступним чином.

Теорема 3.4. Якщо випадкова величина неперервна в замкнутому крузі D радіуса R з центром в точці Р і гармонічна всередині цього круга, то величина має рівномірний розподіл на колі CR, що обмежує круг D.

Як наслідок теорем 3.3 і 3.4, можна сформулювати критерій гармонічності випадкової величини.

Наслідок 3.1. Нехай випадкова величина неперервна в деякій замкнутій області Т.

Сформульований таким чином критерій гармонічності тепер можна перенести на випадок довільних областей, та сформулювати його для дискретно заданих функцій. Наприклад, ознакою гармонічності дискретно заданої функції на n_кутнику є рівність між значенням функції в центрі n_кутника та її математичним сподіванням.

Теорема 3.5. Значення функції в будь-якій точці правильного n_кутника є математичним сподіванням значень функції у його вершинах.

У випадку коли область є правильним трикутником умова гармонічності виконується за обома критеріями. У випадку інших трикутників гармонічність за інтегральним критерієм порушується – значення функції у центрі області не буде співпадати з середнім значенням по контуру (площі) області. Отримані результати дозволяють вказати на причину того, що у більшості літератури з методу скінченних елементів рекомендовано для дискретизації області використовувати симплекси близькі до правильних.

Теорема 3.6. Функція, побудована для трикутного симплекс-елемента є гармонічною за диференціальним та інтегральним критеріями гармонічності у випадку, коли центр ваги симплекса співпадає з центром описаного кола.

Теорема 3.7. Функція, побудована для квадратного елементу, є гармонічною за диференціальним та інтегральним критеріями гармонічності.

У підрозділі 3.5 розглянуто побудову альтернативного базису для повернутого мультиплекса із застосуванням геометричних уявлень. За допомогою чотирьох значень на контурі ми можемо відновити гармонічну функцію на будь-якому „стоп-кадрі” повернутому на кут :, де - вузлові значення функції на границі. Для того, щоб включити в розрахунки подробиці поведінки функції на границі, достатньо використовувати серію „стоп-кадрів” в діапазоні , а потім результати арифметично усереднити. Важливим є те, що розрахунки можемо проводити для декількох точок одночасно. При такій побудові базисні функції відповідають і диференціальному і інтегральному критеріям гармонічності. Це означає, що квадрат має властивість зберігати властивість середнього.

У підрозділі 3.6 розглянуто побудову базису для мультиплекса з вісьмома та дванадцятьма вузлами. Особливість побудови полягає в тому, що інтерполяційний поліном будується як зважене середнє двох білінійних інтерполяцій. Цінність даного підходу до побудови базисних функцій у тому, що степінь результуючого поліному зі збільшенням кількості вузлів не буде зростати.

Четвертий розділ присвячений вивченню питання збіжності схеми барицентричного усереднення.

Нехай трикутник М1М2М3 з вершинами Мi(Rcosi; Rsini) вписано в коло С радіуса R. Відрізок [0; ] розіб’ємо точками 0=tn0<tn2<…<tnn=2 (nN) на n відрізків, позначивши tnk=tn,k+1-tnk (k=0,1,…,n-1), .

Розглянемо систему n трикутників М1kМ2kМ3k (k=0,1,…,n-1) з вершинами Мlk(Rcos(l+tnk); Rsin(i+tnk)) (l=1,2,3). Через ulk позначимо відповідно значення функції u() в точках Мlk де С. Візьмемо довільну точку М0(х0, у0) круга D з координатами . Значення аплікати точки М0 для n трикутників в центрі круга обчислюється за формулою:

Наведену вище схему називатимемо схемою барицентричного усереднення, складеною для функції в крузі D. Число називатимемо n-м наближенням схеми барицентричного усереднення в центральній точці.

Означення 4.1. Схема барицентричного усереднення, складена для граничної функції u(Rei) рівняння Лапласа в крузі, називається збіжною в точці z0=0, якщо виконується рівність

.

Доведено збіжність схеми барицентричного усереднення при розв’язуванні задачі Діріхле для рівняння Лапласа в центрі круга.

Теорема 4.1. Нехай функція u(Rei) неперервна в кожній точці [0; ] крім, можливо, скінченого числа точок, в яких вона має розрив першого роду.

Якщо виконується рівність

,

то схема барицентричного усереднення, складена для граничної функції u(Rei) рівняння Лапласа в крузі D радіуса R, є збіжною в точці z0=0.

Наслідок 4.1. Якщо функція u(Rei) неперервна в кожній точці [0; ] крім, можливо, скінченого числа точок, в яких вона має розрив першого роду, то середні арифметичні n-их наближень схеми рівномірного барицентричного усереднення, складеної для граничної функції u(Rei) рівняння Лапласа в крузі D радіуса R, збігаються в точці z0=0,

У підрозділі 4.2., за допомогою конформного відображення круга довільного радіуса на самого себе, задачу про збіжність схеми барицентричного усереднення в довільній точці круга зведено до задачі про збіжність схеми в центрі круга. Завдяки цьому доведено збіжність схеми барицентричного усереднення при розв’язуванні задачі Діріхле для рівняння Лапласа в довільній точці круга.

Означення 4.2. Схема барицентричного усереднення, складена для граничної функції u(Rei) рівняння Лапласа в крузі, називається збіжною в точці z=z0, якщо виконується рівняння:

За теоремою 4.1 справедлива рівність

де U – образ u при конформному відображенні круга на себе, коли точка z0 переходить в центр кола.

Теорема 4.2. Нехай функція неперервна в кожній точці крім, можливо, скінченого числа точок, в яких вона має розрив першого роду.

Якщо виконується рівність , то схема барицентричного усереднення, складена для граничної функції рівняння Лапласа в крузі D радіуса R, збігається в точці .

Для довільної скінченної точки зовнішності круга доводиться наступна теорема.

Теорема 4.3. Нехай функція неперервна в кожній точці крім, можливо, скінченого числа точок, в яких вона має розрив першого роду.

Якщо виконується рівність , то схема барицентричного усереднення, складена для граничної функції рівняння Лапласа в зовнішності круга D радіуса R, збігається в точці , .

У підрозділі 4.4. звівши розв’язування задачі Діріхле для рівняння Пуассона до розв’язування задачі Діріхле для рівняння Лапласа, доведено збіжність відповідної схеми барицентричного усереднення в довільній точці круга, а також в довільній точці його зовнішності.

Теорема 4.5. Нехай функція неперервна в кожній точці крім, можливо, скінченого числа точок, в яких вона має розрив першого роду, і функція інтегровна в крузі D радіуса R.

Якщо , то схема барицентричного усереднення, складена для граничної функції рівняння Пуассона в крузі D, збігається в точці .

П’ятий розділ присвячений застосуванням методу барицентричного усереднення до розв’язування задачі про середній час виходу блукаючої частинки на границю області, та про стаціонарний розподіл температури в пластині.

Виходячи з поняття збіжності можна сказати, що для наближення розв’язку до точного необхідно збільшувати кількість вершин симплексів. Однак, якщо вважати потрібну точність розв’язку заданою, то з точки зору економічності вигідніше розв’язувати задачу з невеликою кількістю вершин. Залучення до розрахунків додаткових точок збільшує об’єм інформації, а відповідно і обчислень. Поняття обчислювальної ефективності потребує використання даного підходу. Крім того, усі наведені вище теореми використовують поняття нескінченності. Але на практиці наближений розв’язок будується для скінченого числа елементів, отже удосконалення методу має особливе значення. Тому важливо розглянути питання про те, як покращити досягнуту точність.

Отримання даних з границі області ми можемо інтерпретувати як вибірку граничних значень. Точки на границі області можуть бути розташовані довільним чином і їх кількість може бути різною. Отже вони представляють собою вибіркові дані. Побудова симплекс-елемента пов’язана з вибором трьох точок (варіант). Побудована система симплексів дає набір значень функції і представляє собою варіаційний ряд із групових середніх: u1,2,n. Граничні теореми теорії ймовірностей встановлюють відповідність між теоретичними та дослідними характеристиками випадкових величин. Для оцінки вибіркової величини використовується нерівність Чебишева:

,

де - значення випадкової величини; - довірча ймовірність. Вона дає можливість оцінити отримані дані. У більшості випадків кажуть, що для підвищення точності результату необхідно збільшувати число N – кількість випробувань. Але точність обчислень можна підвищити коригуючи дисперсію вибірки. Про це у своїх роботах говорили Р.Г. Бухараєв, В.М. Тутубалін, І.М. Соболь, Г. Секей. Якщо збільшувати вибірку не керуючись ніякими правилами, то тим самим можна збільшити і дисперсію, що тільки погіршить ситуацію і похибка результату стане більшою. Результати можна покращити дотримуючись стратегії мінімальної вибірки. Тобто, необхідно таким чином відбирати точки для розрахунку, щоб зменшити дисперсію вибірки.

У підпункті 5.1.2 наведено алгоритм побудови системи симплексів при якому можна збільшити точність отриманого результату, зменшивши при цьому об’єм вибірки.

При фіксованій кількості вузлів точність обчислювальної формули суттєво залежить від розташування цих вузлів. При невдалому розташуванні розрахункова формула може мати сильно занижену або завищену оцінку. На межі області існують так звані точки “суперзбіжності”, це точки підвищеної швидкості наближення розв’язку до точного.

У підпункті 5.1.3 наведено приклади пошуку вузлів підвищеної збіжності для різних типів пластин у задачі стаціонарного розподілу температури.

У підрозділі 5.2 розглянута задача хронометрування в середньому випадкових блукань в замкнутій області. На основі імовірнісного підходу побудований розв’язок цієї задачі для трикутної області.

Також описано імовірнісний прийом, що дозволяє побудувати обчислювальну комбінаторну формулу для обчислення узагальненого інтегралу Ейлера І роду на двовимірному симплексі (трикутнику). Для цього використано зв’язок між барицентричними координатами і геометричною ймовірністю.

Із задачею хронометрування в середньому випадкових блукань тісно пов’язано визначення геометричної жорсткості у задачі кручення призматичного стержня.

Серед багатьох технічних задач, що виникають при конструюванні та проектуванні інженерних споруд, важливе місце займають розрахунки їх елементів на кручення. Особливе значення має дослідження напруженого стану валів різних форм, що працюють на кручення. Із задачею кручення пов’язане знаходження такої характеристики, як геометрична жорсткість:

. | (5)

Якщо функція має складний аналітичний вигляд, або представлена дискретно, то знаходження цієї характеристики пов’язане зі значними труднощами. Існують таблиці значень геометричної жорсткості, але вони розраховані тільки для окремих областей. Чисельно геометрична жорсткість дорівнює подвоєному об’єму тіла, обмеженого поверхнею Прандтля. Тому для наближеного обчислення геометричної жорсткості необхідно провести дослідження цієї поверхні.

Об’єм тіла обмежений поверхнею Прандтля можна наближено обчислити за формулою:

,

де hmax – висота параболоїда, S – площа його основи. Тоді формулу (5) ми можемо записати у вигляді:

. | (6)

За результатами дослідження інших областей, відмінних від кругової, було встановлено, що ця формула буде точною лише для деяких з них. Мембранна аналогія задачі кручення стержня дає підстави зробити висновок, що для більшості областей формула (6) буде давати похибку. Для n-кутників вид поверхні змінюється, а тому рівність (6) теж має змінитись. Оскільки співвідношення між об’ємом тіла обмеженого поверхнею і об’ємом циліндра (у випадку n-кутників - призми) не буде дорівнювати 0,5, то формулу (6) потрібно замінити формулою:

, | (7)

де k – коефіцієнт поправки, n – кількість кутів у n-кутника.

Для перерізів у вигляді правильних n-кутників вказано коефіцієнт поправки, який слід застосовувати при наближених розрахунках геометричної жорсткості.

При розрахунках коефіцієнта поправки було помічено, що при збільшенні числа кутів у правильних n-кутниках похибка формули (6) стає меншою. Це відбувається внаслідок того, що форма області стає близькою до круга. В цьому випадку коефіцієнт поправки стає близьким до одиниці і тому формули (6) та (7) дають приблизно однаковий результат.

Для задачі кручення стержня наведено приклад відшукання вузлів підвищеної збіжності. Для еліптичної області вказано точки, застосування яких дає точне значення геометричної жорсткості.

ВИСНОВКИ

У роботі наведене теоретичне узагальнення та новий підхід до вирішення наукової задачі, що полягає у розробці та удосконаленні імовірнісних моделей та методів барицентричного усереднення граничних потенціалів.

1. Встановлено теоретичні зв’язки між моделями зваженого усереднення із застосуванням геометричного моделювання

2. Побудовано базисні функції для мультиплексів та двовимірних сирендипових елементів за допомогою способу геометричного моделювання; перевірено та обґрунтовано гіпотезу про заміну апостеріорних перехідних ймовірностей апріорними у схемах випадкових блукань на симплексі.

3. Отримано умови збіжності схеми барицентричного усереднення при розв’язуванні задачі Діріхле для рівнянь Лапласа та Пуассона в окремих областях. А саме:

- доведено збіжність схеми барицентричного усереднення при розв’язу-ванні задачі Діріхле для рівняння Лапласа в центрі круга. Як частинний випадок, отримано умову збіжності схеми рівномірного барицентричного усереднення;

- задачу про збіжність схеми барицентричного усереднення в довільній точці круга зведено до задачі про збіжність схеми в центрі круга за допомогою конформного відображення круга довільного радіуса на самого себе. Завдяки цьому доведено збіжність схеми барицентричного усереднення при розв’язуванні задачі Діріхле для рівняння Лапласа в довільній точці круга, та отримано розрахункову формулу, яка забезпечує збіжність методу;

- отримано умови збіжності схеми барицентричного усереднення при розв’язуванні задачі Діріхле для рівняння Лапласа в довільній точці зовнішності круга, а також у нескінченно віддаленій точці;

- доведено збіжність схеми барицентричного усереднення в довільній точці круга, при розв’язуванні задачі Діріхле для рівняння Пуассона шляхом зведення розв’язування задачі Діріхле для рівняння Пуассона до розв’язування задачі Діріхле для рівняння Лапласа.

4. Побудовано розв’язок задачі хронометрування в середньому випадкових блукань в замкнутій області для випадку трикутної області на основі імовірнісного підходу. Описано імовірнісний прийом, що дозволяє побудувати обчислювальну комбінаторну формулу для узагальненого інтегралу Ейлера І роду на двовимірному симплексі (трикутнику).

5. Розроблено ефективні алгоритми барицентричного усереднення за рахунок використання вузлів суперзбіжності. Це дозволило зменшити кількість розрахунків для отримання наближеного розв’язку окремих задач. Це робить метод барицентричного усереднення ефективним для випадків, коли необхідно отримати наближений розв’язок рівнянь Лапласа та Пуассона в окремих точках області за допомогою невеликої кількості достатньо простих обчислень.

6. Результати, представлені у дисертаційній роботі, мають як теоретичний так і практичний інтерес і можуть використовуватися при подальшому дослідженні принципів барицентричного усереднення.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Валько Н.В. Збіжність методу барицентричного усереднення для рівняння Лапласа в крузі. // Вісник Запорізького державного університету. – Запоріжжя: ЗДУ, 2001. – №1. – С. _.

2. Валько Н.В. Збіжність методу барицентричного усереднення при розв’язуванні задачі Неймана для рівняння Лапласа в крузі. – Труды ИПММ НАН Украины. – Донецк, 2001. – Т.6. – С. .

3. Валько Н.В., Хомченко А.Н. Збіжність методу барицентричного усереднення для рівняння Лапласа в центрі круга. - Вісник Запорізького державного університету. – Запоріжжя: ЗДУ, 2000. – Вип 2. – С. 24-26.

4. Валько Н.В., Хомченко А.Н. Інтегральний критерій гармонічності функції та моделі методу барицентричного усереднення // Питання прикладної математики і математичного моделювання: зб. наук. праць – Д: ДНУ, 2004. – С. 36-47.

5. Валько Н.В., Литвиненко О.І., Хомченко А.Н. Дискретні моделі зваженого усереднення граничних потенціалів // Вісник Харківського національного університету. Серія „Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління”. – Харків: ХНУ, 2005 - Вип.4.,№ 661. – С.53-60.

6. Валько Н.В., Хомченко А.Н. Вероятностный анализ решения граничной задачи для специального уравнения Пуассона // Диференціальні рівняння та їх застосування. - Д.: РВВ ДНУ. – 2005. - С. 95-100.

7. Хомченко А.Н., Валько Н.В. Дискретные аналоги интегрального условия гармоничности функции // Вісник Херсонського державного технічного університету. – Херсон: ХДТУ, 2004. – Вип.1(19). – С. 17-19.

8. Валько Н.В. Наближений розв’язок методом барицентричного усереднення задачі про стаціонарний розподіл температури у пластині // Вісник Херсонського державного технічного університету. – Херсон: ХДТУ,2003.–3(19).–С.55-58.

9. Хомченко А.Н., Валько Н.В., Литвиненко Е.И. Сглаженное усреднение граничных потенциалов на сирендиповых элементах // Автоматика. Автоматизация. Электро-тех-ни-ческие комплексы и системы. – Херсон, ХГТУ, 2004.- №2(14). – С. 79-81.

10. Хомченко А.Н., Литвиненко О.І., Валько Н.В., Колесникова Н.В.  Геометричні моделі згладжування потенціального поля у квадраті // Геометричне та комп’ютерне моделювання: Харк. держ. університет харчування та торгівлі. - Харків, 2004. - № 7. – С.19_.

11. Хомченко А.Н., Наджафов М.Т., Валько Н.В. Две модели усреднения граничных потенциалов на адаптируемом шаблоне // Геометричне та комп’ютерне моделювання - Харків: Харк. держ. університет харчування та торгівлі, 2004. - № 8. – С.26-31.

12. Хомченко А.Н., Валько Н.В. Гармонические функции и геометрическая вероятность // Вісник Херсонського національного технічного університету. – Херсон: ХНТУ, 2005. – №22. – С. 335-339.

13. Валько Н.В. Сходимость метода барицентрического усреднения для уравнений Лапласа и Пуассона // Материалы междунар. научно-практ. конф. “Математическое моделирование в образовании, науке и производстве”. – Тирасполь: РИОПГУ. - 2001. – С. 206-208.

14. Валько Н.В., Белоус Ю.Н. Приближенное решение задачи о кручении призматического стержня методом барицентрического усреднения // Сб. тезисов II междунар. конгресса “Молодежь и наука – третье тысячелетие”/YSTM’02, ч.2 – М.: Регион. общ. организация “Актуальные проблемы фундам. наук”, 2002. – С. 8 – 9.

15. Валько Н.В., Хомченко А.Н. Обчислення наближеного розв’язку рівняння Лапласа в крузі методом барицентричного усереднення // Тези доп. міжнар. наук.-метод. конф. “Комп’ютерне моделю-вання”. – Дніпродзер-жинськ: ДДТУ, 2001. – С. 16-17.

16. Хомченко А.Н., Валько Н.В. Модели взвешенного усреднения и несеточные алгоритмы метода Монте-Карло // Журнал обчислюв. та прикладної математики.-№2(91). – Київ: Київський національний університет імені Тараса Шевченка, 2004.– С. .

17. Хомченко А.Н., Валько Н.В., Литвиненко О.І. Моделі методу барицен-тричного усереднення // Матеріали міжнародної науково-практичної конференції “Інформаційні технології в системі керування вищою освітою України”, - Херсон: ХДУ, 2004. – С.24-25.

18. Валько Н.В., Хомченко А.Н. Интегральный критерий гармоничности функции: вероятностный аспект // Матеріали ІІ міжнародної науково-практичної конференції “Математичне та програмне забезпечення інтелектуальних систем”. – Д: ДНУ, 2004. – С.22-23.

19. Хомченко А.Н., Валько Н.В. Барицентрические модели в задачах восстановления гармонических функций // Материалы междунар. научно- практ. конф. “Математическое моделирование в образовании, науке и производстве”. – Тирасполь: РИО ПГУ. – 2005. – С. 84-85.

АНОТАЦІЯ

Валько Н.В. Імовірнісні моделі і методи барицентричного усереднення граничних потенціалів. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Дніпропетровський національний університет Міністерства освіти і науки України, Дніпропетровськ, 2005.

Дисертація присвячена побудові моделей та методів барицентричного усереднення для задач відновлення гармонічних функцій.

В роботі побудовано нові моделі барицентричного усереднення граничних потенціалів. Запропоновано новий підхід, який, на основі зваженого усереднення, дозволяє об’єднувати різні класичні методи. Це сприяє розробці нових, більш ефективних алгоритмів зваженого усереднення.

Отримано умови збіжності схеми барицентричного усереднення при розв’язуванні задачі Діріхле для рівняння Лапласа та Пуассона в окремих областях.

Розроблено ефективні алгоритми барицентричного усереднення за рахунок використання вузлів суперзбіжності. Це дозволило зменшити кількість розрахунків для отримання наближеного розв’язку окремих задач. Це робить метод барицентричного усереднення ефективним для випадків, коли необхідно отримати наближений розв’язок рівнянь Лапласа та Пуассона в окремих точках області за допомогою невеликої кількості достатньо простих обчислень.

Ключові слова: геометричне моделювання, барицентричне (зважене) усереднення, вагові коефіцієнти, однокрокові схеми, випадкові блукання, дискретні елементи.

АННОТАЦИЯ

Валько Н.В. Вероятностные модели и методы барицентрического усреднения граничных потенциалов. - Рукопись.

Диссертация на получение научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. - Днепропетровский национальный университет Министерства образования и науки Украины, Днепропетровск, 2005.

Диссертация посвящена построению моделей и методов барицентрического усреднения для задач восстановления гармонических функций.

В работе построены новые модели барицентрического усреднения граничных потенциалов. Предложен новый подход, который, на основе взвешенного усреднения,