київський національний університет

імені тараса шевченка

Боярищева Тетяна Валеріївна

УДК 519.21

ГРАНИЧНИЙ АНАЛІЗ розподілів СУМ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

01.01.05 – теорія ймовірностей та математична статистика

Автореферат

дисертації на здобуття вченого ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі математичного

аналізу Ужгородського національного університету.

Науковий керівник:

кандидат фізико-математичних наук

СЛЮСАРЧУК Петро Володимирович.

Ужгородський національний університет,

доцент кафедри математичного аналізу.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор,

провідний спеціаліст Інституту математики НАН України

Гусак Дмитро Васильович

кандидат фізико-математичних наук,

доцент кафедри математичного аналізу

механіко-математичного факультету

Київського національного університету

імені Тараса Шевченка Курченко Олександр Олексійович

Провідна установа:

Інститут кібернетики ім. В. М. Глушкова НАН України.

Захист відбудеться “_22_” __01_______200__р. о ___ годині

на засіданні спеціалізованої вченої ради Д.26.001.37

у Київському національному університеті імені

Тараса Шевченка за адресою:

03022, м. Київ-22, просп. Академіка Глушкова, 6, корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися

в науковій бібліотеці Київського

національного університету імені

Тараса Шевченка (01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58).

Автореферат розісланий “__13__” ________12__ 2006__ року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Моклячук М. П.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Граничні теореми є дуже важливим розділом теорії ймовірностей. Поряд зі своїм незаперечним практичним значенням (результати в цій галузі широко використовують в інших науках, цю особливість відмітив ще В. М. Золотарьов у монографії 1988 р. [21]) вони надають також необмежені можливості для дальших теоретичних досліджень. Існує значна кількість ґрунтовних праць, що систематизують основні результати в галузі граничних теорем. Так 1949 р. вийшла з друку праця Б. В. Гнеденка і А. М. Колмогорова, в якій підбито підсумки розвитку граничних теорем на середину ХХ ст. Незважаючи на значний термін, що минув з часу її виходу в світ, книга і далі викликає інтерес дослідників, адже в ній викладено основні методи досліджень у даній галузі. Настільки ж важливою і незамінною для дослідників стала монографія В. М. Золотарьова 1986 р., в якій чітко систематизовано всі досягнення в згаданій сфері. Щоправда, сам автор відмічає, що сучасна теорія граничних теорем далека від завершення, що чимало напрямків, які повинні б викликати інтерес науковців, нез’ясовно мало досліджувались. Зокрема, згадується про те, що кожна гранична теорема поряд із доведенням факту збіжності в тій чи іншій схемі повинна містити також і оцінку швидкості цієї збіжності, бо лише в такому формулюванні теоретичне твердження матиме практичне застосування.

У даній роботі здійснено оцінки швидкості збіжності розподілів сум незалежних випадкових величин до нормального закону, а також досліджується близькість розподілів двох сум незалежних випадкових величин. Результати роботи є узагальненням раніше відомих результатів на випадок різно розподілених випадкових величин, при їх отриманні реалізовуються дві можливості для утворення характеристики, з допомогою якої формулюється результат – за допомогою максимального з псевдомоментів доданків та у вигляді середнього значення. Це і визначає актуальність тематики роботи.

Мета і задачі дослідження. Мета даної роботи – одержати оцінки швидкості збіжності у граничних теоремах на випадок різно розподілених випадкових величин, використовуючи псевдомоменти різного виду. Зокрема, оцінити швидкість збіжності розподілів сум випадкових величин до нормального закону розподілу у центральній граничній теоремі; у локальній граничній теоремі для густин. Також розглянути близькість розподілів двох сум випадкових величин, зокрема, збіжність розподілів сум до стійкого закону розподілу. Основним методом одержання оцінок швидкості збіжності є метод характеристичних функцій.

Зв’язок з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана в Ужгородському національному університеті, і її тема входить до планових наукових досліджень кафедри математичного аналізу, тема ДБ-381 “Асимптотичні наближення розподілів сум випадкових величин”, номер державної реєстрації 0193V 019658.

Наукова новизна одержаних результатів.

Основними результатами, які визначають наукову новизну та виносяться на захист, є такі:

Одержано оцінки швидкості збіжності функцій розподілів сум незалежних різно розподілених випадкових величин до нормального закону розподілу з допомогою максимальних псевдомоментів доданків.

Отримано оцінки швидкості збіжності, що виражаються через усереднені псевдомоменти.

Одержано оцінки збіжності в локальній граничній теоремі для густин, що виражаються через псевдомоменти певного виду.

Одержано оцінки близькості функцій розподілу двох сум, на випадок, коли характеристична функція однієї з них задовольняє певній умові, звідки можна отримати оцінки збіжності до стійкого закону розподілу.

Практичне значення одержаних результатів

Результати дисертації мають теоретичний характер і доповнюють відповідні дослідження швидкості збіжності з використанням різного виду псевдомоментів. Отримані результати використовуються при читанні спецкурсів для студентів спеціальності “Математика” в Ужгородському національному університеті.

Особистий внесок здобувача

Усі опубліковані результати здобувачем отримано самостійно. У працях [1], [2], [4] – [6], [8], [11], [13], [14] Слюсарчуку П. В. належить постановка задачі, загальне керівництво роботою, а також деякі ідеї доведення. У [2] Поляку І. Й. належить теорема 3, а в [11] – аналогічний результат при і деякі ідеї доведення.

Апробація результатів дисертації

Результати дисертації доповідалися й обговорювалися на наукових конференціях математичного факультету Ужгородського національного університету (Ужгород, 1999-2005); міжнародних наукових конференціях імені академіка М. Кравчука (Київ, 2001, 2004); Міжнародних школах з математичних та статистичних методів у економіці, фінансах та страхуванні (Крим, Ласпі, 2003, 2004), Міжнародній конференції з теорії ймовірностей та перспектив її розвитку (Чернівці, 2005).

Публікації

За результатами дисертаційної роботи опубліковано 13 наукових робіт: 8 статей, з яких 4 - в фахових виданнях з переліку ВАК України та 5 матеріалів та тез доповідей на наукових конференціях.

Структура та обсяг роботи

Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків та списку використаних джерел. Повний обсяг роботи складає 125 сторінок. Список використаних джерел займає 8 сторінок і включає 78 найменувань.

Основний зміст роботи

Зміст роботи складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаної літератури.

У першому розділі подано огляд літератури, напрямки дослідження, а також висвітлено роботи попередників.

У другому розділі розглядаються оцінки швидкості збіжності функцій розподілу сум випадкових величин до нормального закону розподілу.

Нехай – послідовність незалежних випадкових величин з M=0, D=, , функціями розподілу Fk(x), характеристичними функціями fk(t). Нехай Ф(х) – функція розподілу стандартного нормального закону, Фn(х) – функція розподілу випадкової величини

Тут використовуються як псевдомоменти, введені Золотарьовим у [17], так і ті, що їх він рекомендував використовувати у подальших дослідженнях:

де, .

Нехай . Позначимо

,

,

,

,

,

,

,

- сталі, що залежать тільки від r.

Теорема 2.1.

Нехай - величина, для якої при деякому при всіх t виконуються нерівності

Тоді існує числова стала, що залежить тільки від r, така, що при виконується нерівність

,

де а при

.

Наслідок 2.1.

Для всіх виконуються нерівності

.

Теорема 2.2.

Існує числова стала така, що для всіх n1

.

Теорема 2.3.

Для всіх n1 існують сталі і такі, що виконується нерівність

Теорема 2.4.

Для всіх n1 існують сталі і такі, що виконується нерівність

.

Теорема 2.5.

Існують сталі і такі, що для всіх n1

.

Наслідок 2.2.

.

Наслідок 2.3.

.

Наслідок 2.4.

.

Наслідок 2.5.

.

Крім того, другий розділ містить оцінки швидкості збіжності у локальній граничній теоремі для щільностей. При отриманні цих оцінок використовється псевдомомент .

Теорема 2.6.

Нехай n2, для деякого і k=1,...n виконуються умови

<+ , k=1,2,..

тоді при c, де с(0, е-6), справедлива нерівність

C1 (1+A),

а при >c виконується нерівність

C2+,

де bi=exp,

- сталі, що залежать від C та r.

У третьому розділі також здійснено оцінку швидкості збіжності у центральній граничній теоремі для різно розподілених випадкових величин, але, на відміну від другого розділу, ця оцінка містить псевдомомент у вигляді середніх псевдомоментів. Позначимо.

Теорема 3.1.

Нехай - величина, для якої при деякому, для всіх дійсних t виконується нерівність

,

Тоді існує стала така, що для всіх

,

де .

При і

.

Наслідок 3.1.

Для всіх

,

,

.

Введемо позначення

.

.

.

.

.Теорема 3.2.

Для всіх справедливі нерівності

, ,

,

де

Наслідок 3.2.

Для всіх справедливі нерівності

,

,

У четвертому розділі здійснюється оцінювання близькості розподілів двох сум.

Нехай і -- дві послідовності випадкових величин відповідно з функціями розподілу і ; характеристичними функціями і , і - відповідно функції розподілу випадкових величин і, а

Розглянемо наступні умови: існує число і стала такі, що

; (4.1.1)

, (4.1.2)

де

Очевидно, цю властивість мають, зокрема, стійкі закони розподілу. Для здійснення оцінок у цьому розділі роботи використовуються як звичайні псевдомоменти, так і “урізані”.

і = |x||Hi(x)dx;

і0 = max(1,|x|)|Hi(x)|dx;

і0 = max(1, x+1)dHi(x),

= max (1 , …, n), 0 = max (10 , …, n0), 0 = max (10, …, n0).

При ознайомленні з вищенаведеними псевдомоментами виникає питання: а чи можна вказати випадкові величини, для яких ці характеристики існують? Адже відомим є лише факт існування для стійкого закону розподілу моментів порядку, меншого, ніж . У розділі 4.1 наведено приклади випадкових величин, для яких існують моменти довільного порядку, а отже, наше дослідження має реальний об’єкт.

Нехай.

Теорема 4.1.

Нехай виконується умова (4.1.1) і нехай і – величина, для якої при деякому s  [0,+1] і при всіх t виконуються нерівності

i(t)=i(t) – gi(t) i minRt|, |t|), i=1,2,…,

(1 ,…,n ),

Тоді існує стала С(1) С(1)(, ,R) така, що при n 2

n max ( , p ),

при s > 0

C(1)(1 s-1)max , p ),

де.

Наслідок 4.1.

Нехай виконуються умови (4.1.1) і (4.1.2). Тоді для всіх натуральних n виконується нерівність

minmax(); max();

Теорема 4.2.

Нехай виконуються умови (4.1.1) і (4.1.2) . Для всякого

,

,

,

де

,

,

- сталі, що залежать тільки від і .

ВИСНОВКИ

У роботі одержано оцінки швидкості збіжності для сум випадкових величин. Дані оцінки краще від попередніх враховують близькість розподілів до граничного, оскільки виражаються через псевдомоменти різного виду.

Усі результати роботи одержано для різно розподілених випадкових величин. Розглядалася насамперед збіжність функцій розподілу сум випадкових величин до нормального закону розподілу, при цьому використовувалися псевдомоменти різної структури. Якщо – деяка характеристика близькості розподілів доданків до граничного розподілу, то в другому розділі роботи використовуються характеристики , а в третьому – характеристики вигляду середніх. Згадані оцінки узагальнюють результати [21], [78].

Отримано також одну оцінку швидкості збіжності в локальній граничній теоремі, що є узагальненням результатів [55]. Для отримання цього результату було використано одну із характеристик, що фігурували в оцінках швидкості збіжності в наслідку 2.1.

Ще більш широким узагальненням стало розширення класу граничних законів: четвертий розділ роботи містить оцінки близькості функцій розподілу сум незалежних різно розподілених випадкових величин, при цьому характеристична функція закону розподілу випадкових величин однієї послідовності задовольняє умові , що, зокрема, виконується для стійких законів розподілу.

Одержані оцінки виражаються в термінах псевдомоментів. Оскільки умова, що накладається, для стійких розподілів виконується, то із одержаних результатів випливають оцінки швидкості збіжності до стійких законів розподілу.

Роботи автора за темою дисертації

1. Боярищева Т. В., Слюсарчук П. В. Оцінка швидкості збіжності в центральній граничній теоремі для різно розподілених величин //Науковий вісник Ужгородського університету. сер. матем. – Ужгород, 1999. – вип.4 – с.12–16.

2. Боярищева Т. В., Поляк І. Й., Слюсарчук П. В. Оцінка близькості розподілів сум до нормального закону //Науковий вісник Ужгородського університету. сер. матем. – Ужгород, 2000. – вип.5 – с.4 – 10.

3. Боярищева Т. В. Оцінка швидкості збіжності в локальній граничній теоремі для щільностей у випадку різно розподілених випадкових величин //Тези VIII Міжнародної наукової конференції ім. академіка М.Кравчука – Київ, 2000. – с.413.

4. Боярищева Т. В. , Слюсарчук П. В. Оцінка близькості розподілів двох сум для різно розподілених випадкових величин //Науковий вісник Ужгородського університету. сер. матем. – Ужгород, 2001. – вип.6 – с.4 – 8.

5. Боярищева Т. В. , Слюсарчук П. В. Оцінка близькості розподілів сум випадкових величин //Вісник Київського університету. сер. фіз.-мат. науки – Київ, 2002. – вип.5 – с.27 – 32.

6. Боярищева Т. В., Слюсарчук П. В. Оцінка близькості розподілів сум //Тези VI Міжнародної школи з математичних і статистичних методів в економіці, фінансах та страхуванні – Крим, Ласпі, 2002. – с. 31 – 32.

7. Боярищева Т. В. Наближення розподілів сум випадкових величин //Вісник Київського університету. сер. фіз.-мат. науки – Київ, 2003. – вип.4 – с.26 –30.

8. Боярищева Т. В., Слюсарчук П. В. Близькість розподілів сум до нормального //Тези VII Міжнародної школи з математичних і статистичних методів в економіці, фінансах та страхуванні – Крим, Ласпі 2003. – с.19.

9. Боярищева Т. В. Оцінка швидкості збіжності до нормального закону функцій розподілу випадкових величин //Тези Х Міжнародної наукової конференції ім. академіка М.Кравчука – Київ, 2004. – с.574.

10. Боярищева Т. В. Про швидкість збіжності функцій розподілу сум випадкових величин до нормального закону // Тези Міжнародної конференції з сучасних проблем та нових напрямків у теорії ймовірностей. – Чернівці, 2005, с. 31.

11. Боярищева Т. В., Поляк І. Й., Слюсарчук П. В., Про швидкість збіжності до нормального закону //Науковий вісник Ужгородського університету. сер. математика і інформатика – Ужгород, 2005.– вип.10 – 11, – с.34 – 40.

12. Боярищева Т. В. , Слюсарчук П. В. Оцінки швидкості збіжності до нормального закону в термінах середніх псевдомоментів //Вісник Київського університету. сер. фіз.-мат. науки – Київ, 2005. – вип. 4, – с. 17 – 24.

13. Bojarishcheva T. V., Slyusarchuk P. V. The approximation of convergence of sums to the normal law //Theory of stochastic processes. – Київ, 2003. №3–4.

Анотація

Боярищева Т. В. Граничний аналіз розподілів сум випадкових величин. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05. – теорія ймовірностей та математична статистика. – Ужгородський національний університет, Ужгород, 2006.

Дисертаційна робота присвячена дальшому розвитку теорії граничних теорем. У роботі містяться оцінки швидкості збіжності розподілів сум незалежних випадкових величин до нормального закону, а також досліджується близькість розподілів двох сум незалежних випадкових величин. Результати роботи є узагальненням раніше відомих результатів на випадок різно розподілених випадкових величин і отримані з допомогою псевдомоментів різної структури: як аналогічних до введених В. М. Золотарьовим, так і тих, що їх він рекомендував для дальшого використання (т. з. “урізані”, причому на довільному рівні). Одночасно реалізуються різні можливості утворення величини, з допомогою якої формулюється оцінка. Якщо – деяка характеристика близькості розподілів доданків до граничного розподілу, то в другому розділі роботи використовуються характеристики , а в третьому – характеристики вигляду середніх. При доведенні згаданих результатів використовувалися леми, що мають і самостійне значення – у них містяться оцінки для характеристичних функцій теж у термінах псевдомоментів.

Також у роботі здійснено оцінку близькості функцій розподілу двох сум незалежних випадкових величин. При формулюванні результатів використовуються характеристики, що аналогічні до введених у другому розділі. Із цих результатів як наслідок випливають оцінки швидкості збіжності до стійких законів розподілу.

Ключові слова: суми незалежних випадкових величин, наближення, швидкість збіжності, псевдомомент.

ANNOTATION

Bojaryscheva T. V. The limit analyses of distribution of sums of random variables. – Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical of Mathematical Sciences degree on the speciality 01.01.05 – Probability Theory and Mathematical Statistics. – Uzhhorod National University, Uzhhorod, 2006.

The thesis is dedicated to further development of the limit theorems. The paper contains some estimates of the rate of the sums of random variables to the normal law. The results in the paper are the generalization of the famous results when random variables are not identically distributed. These estimates are received from the pseudomoments of different structures: the some that were improved by V. M. Zolotarjov and which he recommended for further using. At the some time are used different possibilities of result variable formation. If – some characteristic of approximation of distribution of variables to limit distribution; in the second chapter of the paper characteristics are used, in the third – characteristics of middle are used. Proofing this results the lemmas were used. They have separate meanings – they include estimates for characteristic functions in the terms of pseudomoments.

At the some time in the estimates of approximation of distribution of two sums of independent random variables are contained. When we formed the result we used the characteristics that are the same as in the second chapter. From this results as a conclusion the estimated of the rate of convergence to the stables laws of distribution are made.

Key words: sums of independent random variables, approximation, the rate of convergence, pseudomoments.

АННОТАЦИЯ

Боярищева Т. В. Предельный анализ распределений сумм случайных величин. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук за специальностью 01.01.05. – теория вероятностей и математическая статистика. – Ужгородский национальный университет, Ужгород, 2006.

Диссертация посвящена дальнейшему развитию теории предельных теорем. В работе содержатся оценки скорости сходимости распределений сумм независимых случайных величин к нормальному закону, а также исследуется близость распределений двух сумм независимых случайных величин. Результаты работы представляют собой обобщение прежде известных результатов на случай разнораспределенных случайных величин, полученные при помощи псевдомоментов различной структуры: как аналогичных введеным В. М. Золотаревым, так и тех, что их он рекомендовал для дальнейшего использования (т.н. “урезанные”, причем на произвольном уровне). Параллельно реализуются разные возможности образования величины, с помощью которой формулируется оценка. Если – некоторая характеристика близости распределений слагаемых к предельному распределению, то во втором разделе работы используются характеристики , а в третьем – характеристики вида средних. При доказательстве упомянутых результатов использовались леммы, которые имеют и самостоятельное значение – в них содержатся оценки для характеристических функций тоже в терминах псевдомоментов.

Также в работе осуществлена оценка близости функций распределения двух сумм независимых случайных величин. При формулировании результатов используются характеристики, аналогичные введенным во втором разделе. Из этих результатов как следствие вытекают оценки скорости сходимости к устойчивым законам распределения.

Ключевые слова: суммы независимых случайных величин, приближение, скорость сходимости, псевдомомент.