КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
ІЛЬЧЕНКО Світлана Анатоліївна
УДК 519.21
СТОХАСТИЧНИЙ АНАЛІЗ
ДРОБОВИХ БРОУНІВСЬКИХ ПОЛІВ
01.01.05 – теорія ймовірностей і математична статистика
А В Т О Р Е Ф Е Р А Т
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Київ – 2006
Дисертацією є рукопис.
Роботу виконано на кафедрі теорії ймовірностей та математичної
статистики Київського
національного університету імені Тараса Шевченка.
Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор
МІШУРА Юлія Степанівна,
завідувач кафедри теорії ймовірностей
та математичної статистики
механіко-математичного факультету
Київського національного університету
імені Тараса Шевченка
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор
КЛЕСОВ Олег Іванович,
професор кафедри математичного аналізу
та теорії ймовірностей
Національного технічного університету України (КПІ);
кандидат фізико-математичних наук, доцент
КУРЧЕНКО Олександр Олексійович,
доцент кафедри математичного аналізу
механіко-математичного факультету
Київського національного університету
імені Тараса Шевченка
Провідна установа: Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова
НАН України,
м. Київ
Захист відбудеться “ 27 ” березня 2006 р. о 14 годині на засіданні
спеціалізованої вченої ради Д 26.001.37 при Київському національному
університеті імені Тараса Шевченка (03022, м. Київ-22, пр-т Глушкова, 6,
механіко-математичний факультет).
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного
університету імені Тараса Шевченка за адресою: м. Київ, вул. Володимирська, 58.
Автореферат розіслано “ 14 ” лютого 2006 р.
Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Моклячук М.П.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Дисертаційну роботу присвячено одному з важливих напрямків у теорії випадкових процесів і стохастичному аналізі, що зараз інтенсивно розвивається, а саме побудові стохастичного аналізу для двопараметричних дробових броунівських полів, зокрема, побудові стохастичних інтегралів за дробовими броунівськими полями (ДБП), виведенню формули Іто та дослідженню стохастичних диференціальних рівнянь, які містять ДБП. Дисертація являє собою дослідження проблем, пов’язаних із гауссівськими процесами та полями, що моделюють довгострокову залежність. Отримані результати можуть бути використані у фінансовій математиці, метеорології, радіотехніці, гідромеханіці, океанології, теорії масового обслуговування.
Поняття дробового броунівського руху (ДБР) вперше було введене в 1940 році
А.Н. КолмогоровимКолмогоров А. Н. Спираль Винера и некоторые другие интересные кривые в гильбертовом пространстве // ДАН СССР. — 1940. — Т. 26. — С. ., який назвав цей процес вінерівською спіраллю. Стохастичний аналіз для однопараметричного ДБР почав інтенсивно розвиватися з 1968 року, коли було опубліковано піонерську роботу Б.Б. Мандельброта та В. Ван Несса MandelbrotVan Ness W., Fractional Brownian motions, fractional noises and applicationas // SIAM Review. — 1968. — V. 10, no. 4. — P. 422-437. про представлення ДБР як інтеграла за стандартним броунівським рухом.
Важливі результати були одержані в 1965-1969 роках Г.М. Молчаном та Ю.І. Голосовим. Вони розглянули спектральні властивості ДБР, а також започаткували підхід до вивчення цього процесу з точки зору теорії груп.
Далі інтерес до ДБР поновився в кінці 90-х років у зв’язку з тим, що цей процес має так звану властивість “довгої пам’яті”, або “довгострокової залежності”, і тому добре моделює процеси, які відбуваються в радіоелектронних приладах, особливо в телекомунікаційних засобах, а також на фінансовому ринку.
Інша властивість ДБР — це властивість автомодельності: процес має такі самі скінченновимірні розподіли, як і процес , де — параметр Хюрста. Властивість автомодельності ДБР використовується в теорії телекомунікацій, що висвітлено в роботах І. Норроса, В.Е. Леланда, М.С. Такку, В. Віллінжера, Д.В. Вілсона.
ДБР як модель фінансового ринку досліджено в роботах А.Н. Ширяєва, Ю.С. Мішури,
Е. Валкейли, Т. Соттінена , Р. Елліотта i Ван дер Хука, Я. Ху, Б. Оксендала, Д.М. Салопек, К. Бендера, Т.Е. Дункана, Т. Бьорка і Х. Хальта.
Оцінки параметра Хюрста ДБР та ДБП наведено в роботах О.О. Курченка, Ю.В. Козаченка, Л. Бісеглі та Д. Гуєгана. Прямі та обернені інтеграли для випадкових процесів розглядаються в статтях Ф. Руссо, П. ВаллуаRusso F., Vallois P. Forward, backward and symmetric stochastic integration // Probability Theory and Related Fields. — 1993. — V. 97. — P. 403-421..
Стохастичне числення для ДБР було розвинено в наступних роботах: вінерівський інтеграл за ДБР розглянуто І. Норросом, E. Валкейлою та Й. Віртамо, термін “вінерівський” означає інтеграл із невипадковою підінтегральною функцією. Л.Декрузфонд і А.С. Устюнел визначили стохастичні інтеграли відносно ДБР, використовуючи числення Маллявена з урахуванням того факту, що ДБР є гауссівським процесом. Числення Маллявена для стохастичних інтегралів відносно ДБР використовується також в роботах Ф. Кармони, Л. Кутін, Г. Монсені, Е. Алос, О. Мазет, Д. Нуаларта, Л. Декрузфонда. У роботі Т. Е. Дункана, Я. Ху і Б. Пазик-Дункан стохастичний інтеграл визначається з використанням добутків Віка.
Інший підхід, який базується на потраєкторному інтегруванні, був запропонований
Р.М. Дадлі і Р. Норвайшею та М. ЦелєZдhleIntegration with respect to fractional functions and stochastic calculus.I // Probability Theory and Related Fields. — 1998. — V. 111,3. — P. 333-374.ZдhleIntegration with respect to fractional functions and stochastic calculus.II // Math. Nachr. — 2001. — V. 225. — P .. Вони використали властивості траєкторій ДБР, а саме існування -варіації для , або гельдерівську неперервність.
У статтях М.Л. Клєпциної, П. Клодена, В.В. Анна, Л. Декрузфонда, А.С. Устюнела,
Л. Кутін, A. Іноуе розв’язано задачі фільтрації та прогнозу для процесів, залежних від ДБР.
Стохастичні диференціальні рівняння відносно ДБР досліджували Д. Нуаларт, А. РаскануNualart D., Rгєcanu A. Differential equations driven by fractional Brownian motion // Collect. Math. — 2002. — V. 53, no. 1. — P ., Ю.С. Мішура, А.А. Рузмайкіна, М. Целє, В.В. Анн, В. Грекш, М.Л. Клєпцина, П.Е. Клоден, С. Тіндель, К. Тудор, Ф. Віенс.
Питання узагальнення операцій диференціювання й інтегрування функцій однієї та багатьох змінних із цілих порядків на дробові, дійсні і комплексні, а також застосування теорії дробового інтегрування та диференціювання до інтегральних і диференціальних рівнянь, теорії функцій висвітлюється в монографії С.Г. Самко, А.А. Кілбаса та О.І. МарічеваСамко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения — Минск: Наука и техника, 1987. "— 688 с.. Ці результати суттєво використовуються в стохастичному аналізі ДБР.
Таким чином, значна кількість робіт присвячена дробовому броунівському процесу, а ДБП, які мають чисельні застосування в кліматології, гідрології, вивченні атмосферних явищ, радіоелектроніці, фінансовій математиці тощо, ще вивчені недостатньо.
ДБП на площині можуть бути означені різними способами. По-перше, для випадкового поля дробова броунівська властивість може визначатись на кожному промені, що виходить із початку координат. Такі поля розглядали А.С. Монін та А.М. Яглом. Цей випадок відповідає моделям у гідромеханіці. По-друге, ДБП можуть мати цю властивість покоординатно. Такі поля розглядали С. Лежер, А. Аяч, М. Понтьє, К. Тудор, Ф. Віенс, М. Тудор, A. Камон. Ці поля краще моделюють процеси зміни явищ в атмосфері Землі.
Таким чином, дисертаційна робота поглиблює теоретичні досягнення в теорії випадкових полів і розширює сферу їх застосування, тому її тематика, безперечно, є актуальною.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами.
Дисертаційну роботу виконано в рамках держбюджетної дослідницької теми № 01БФ03806 "Розвиток теорії випадкових полів та динамічних систем на алгебраїчних структурах", що виконується на кафедрі теорії ймовірностей та математичної статистики Київського
національного університету імені Тараса Шевченка і входить до програми "Побудова та
застосування математичних методів дослідження детермінованих та стохастичних еволюційних систем" (номер державної реєстрації № 0101U002472).
Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є подальший розвиток теорії випадкових полів і побудова стохастичного аналізу для двопараметричних дробових
броунівських полів. В роботі вивчаються наступні задачі:
побудова та дослідження властивостей інтеграла від невипадкової функції за дробовим броунівським полем;
отримання представлення двопараметричного сильного мартингала Молчана через інтеграл відносно двопараметричного дробового броунівського руху на скінченному прямокутнику;
побудова інтегралів від випадкових гельдерових функцій за дробовим броунівським полем за допомогою узагальнених інтегралів Лебега-Стілтьєса;
дослідження властивостей узагальнених інтегралів Руссо-Валлуа від випадкових полів;
виведення формули Іто для випадкових полів, які мають узагальнену квадратичну
варіацію, в термінах узагальнених інтегралів Руссо-Валлуа;
виведення формули Іто для лінійної комбінації дробових броунівських полів з індексами Хюрста , в термінах узагальнених інтегралів Лебега-Стілтьєса;
виведення оцінок для норм узагальнених двопараметричних стохастичних інтегралів відносно дробових броунівських полів на площині в просторах типу Бєсова;
доведення існування та єдинoстi розв’язку стохастичного диференціального рівняння, що містить дробове броунівське поле.
Методика дослідження. В роботі використовується аналітичний апарат теорії випадкових процесів та полів, функціонального аналізу, стохастичного аналізу. Застосовуються
мартингальні методи.
Наукова новизна одержаних результатів. Основними результатами дисертаційної
роботи, які визначають її наукову новизну, є наступні:
Побудовано операції інтегрування відносно двопараметричного дробового броунівського руху. Вперше виведено зображення двопараметричного сильного мартингалу Молчана через інтеграл відносно двопараметричного дробового броунівського руху на скінченному прямокутнику. Знайдено зображення двопараметричного дробового броунівського руху у вигляді інтеграла за двопараметричним вінерівським процесом.
Уперше доведено властивості дробових узагальнених двопараметричних інтегралів Лебега-Стілтьєса. Доведено, що у випадку неперервної підінтегральної функції та інтегратора обмеженої варіації узагальнений двопараметричний інтеграл є інтегралом Рімана-Стілтьєса. Наведено конструкцію узагальненого двопараметричного інтеграла від дробових броунівських полів.
Уперше доведено властивості прямого та оберненого узагальненого інтеграла Руссо-Валлуа для випадкових двопараметричних полів.
Виведено формулу Іто в термінах узагальненого інтеграла Руссо-Валлуа для випадкових двопараметричних полів.
Доведено існування стохастичного інтеграла другого роду, побудованого за гельдеровими полями, зокрема, за дробовими броунівськими полями, та виведено формулу Іто для лінійної комбінації дробових броунівських полів з індексами Хюрста ,
Уперше виведено оцінки дробових норм від інтегралів за дробовим броунівським полем. Уведено простори типу Бєсова для двопараметричних полів на площині та узагальнений стохастичний інтеграл Лебега-Стілтьєса з інтеграндом та інтегратором, які належать до деякого простору типу Бєсова.
Доведено існування та єдиність розв’язку стохастичного диференціального рівняння, яке містить дробове броунівське поле.
Практичне значення одержаних результатів. Всі отримані в дисертаційній роботі
результати мають теоретичне значення. На практиці одержані результати можуть бути
використані в фінансовій математиці (у моделюванні фінансових ринків, моделюванні процесів при фінансовому інвестуванні), у моделюванні процесів зміни явищ в атмосфері Землі, метеорології, кліматології, гідрології, гідромеханіці, океанології, радіотехніці, теорії масового обслуговування, стохастичному моделюванні та в інших галузях, в яких використовуються випадкові процеси і поля.
Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи отримані здобувачем самостійно. За результатами дисертації здобувач опублікував сім наукових статей, з них п’ять у співавторстві з науковим керівником професором Мішурою Ю.С., в яких Мішурі Ю.С. належить постановка задач та загальне керівництво роботою.
Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались та
обговорювались на:
Міжнародному літньому семінарі "Stochastic Dynamical Systems" (м. Судак, 2003);
Другій міжнародній науково-практичній конференції студентів, аспірантів і молодих вчених "Сучасні задачі прикладної статистики, промислової, актуарної та фінансової математики" (м. Донецьк, 2004);
IV Всеукраїнській конференції молодих науковців "Інформаційні технології в освіті, науці і техніці" (ІТОНТ-2004) (м. Черкаси, 2004);
Десятій Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (м. Київ, 2004);
Четвертому Європейському математичному конгресі "Mathematics in Science and
Technology" (Stockholm, Швеція, 2004);
Міжнародній конференції пам’яті В.Я. Буняковського (1804 - 1889) (м. Київ, 2004);
Міжнародній науковій конференції "Функціональні методи в теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі і статистиці ІІ", присвяченій пам’яті А.Я. Дороговцева (1935 - 2004) (м. Київ, 2004);
Міжнародній науковій конференції "Диференціальні рівняння та їх застосування",
присвяченій 60-річчю кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь Київського
національного університету імені Тараса Шевченка (м. Київ, 2005);
Засіданні наукового семінару з теорії ймовірностей та математичної статистики при кафедрі теорії ймовірностей та математичної статистики механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка (м. Київ, 2005).
Публікації. За результатами дисертаційної роботи опубліковано п’ятнадцять наукових
праць, з яких сім статей у фахових виданнях та вісім тез доповідей на міжнародних
конференціях та конгресах.
Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів,
розбитих на підрозділи, висновків та списку використаних джерел. Повний обсяг роботи
становить 173 сторінки, з них 14 сторінок займає список використаних джерел, що включає в себе 102 найменування.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ
У вступі обґрунтовано актуальність роботи, визначено об’єкт, предмет, мету та задачі
дослідження; висвітлено методи, наукову новизну, теоретичне та практичне значення
дослідження, особистий внесок здобувача, апробацію отриманих результатів, описано
структуру дисертації.
У першому розділі розглянуто ключові поняття, пов’язані з дробовим броунівським рухом.
Побудовано вінерівський інтеграл (тобто інтеграл від невипадкової функції) за дробовим
броунівським полем (ДБП) та досліджено його властивості, зокрема, побудовано сильний мартингал Молчана, що відповідає ДБП.
В підрозділі 1.1. подано огляд літератури за темою дисертації.
Підрозділ 1.2. складається з двох частин. Першу частину присвячено однопараметричному дробовому броунівському руху. У другій частині розглянуто двопараметричний випадок. Уведено означення дробових двопараметричних інтегралів та дробових похідних за Вейлем, Ліувіллем та Маршо; узагальнених дробових двопараметричних інтегралів Лебега-Стілтьєса; функцій, абсолютно неперервних на прямокутнику та двопараметричної гельдерової функції; норм у функціональних просторах типу Бєсова; прямих та обернених інтегралів Руссо-Валлуа від випадкових полів; ДБП.
Нехай функція , прямокутник фіксовано. Нехай , , , .
Означення 1.1.Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения — Минск: Наука и техника, 1987. "— 688 с. Нехай . Прямим та оберненим дробовим інтегралом функції порядків на прямокутнику називаються функції
Означення 1.2. Прямою та оберненою дробовою похідною функції за Ліувіллем порядків на прямокутнику називаються функції
(1.3)
(1.4)
причому вирази (1.3) i (1.4) розглядаються для тих функцій, для яких вони існують при всіх .
Уведено наступні модифікації прямої та оберненої дробових похідних.
де .
Нехай , фіксовані функції, які розглянуто, належать до простору , і введено позначення:
,
Кажемо, що , або , для деякого , якщо подається у вигляді , або , причому . Відповідні класи однопараметричних функцій позначено та , .
Позначимо , .
Означення 1.8. Функція належить до класу для , ( — гельдерова порядків та на ), якщо існує така стала , що для всіх ,
(1.10)
Нехай прямокутник , , точку фіксовано.
Позначено
(1.11)
Уведено наступний функціональний простір типу Бєсова для
і для введено простір
(1.13)
Також введено в просторі таку норму:
Очевидно, для будь-яких ,
Тепер нехай , ,
Очевидно, , ,
До того ж, якщо належить до і звужена на , то
, , і
(1.14)
Для інтеграл .
Тому для та , , інтеграл
(1.15)
коректно визначений на , оскільки .
Розглянуто прямі та обернені узагальнені інтеграли Руссо-Валлуа від випадкових полів
(1.16)
(1.17)
узагальнені квадратичні варіації типу
(1.21)
та інші варіанти границь, де символ означає рівномірну збіжність за ймовірністю на
кожному компакті.
Означення 1.9. Випадкове поле називається двопараметричним дробовим броунівським рухом або ДБП з індексами Хюрста та , , , якщо воно задовольняє умови:
(1)? — гауссівське поле, , ;
(2)?, ;
(3)?траєкторії поля неперервні з імовірністю 1;
(4)?прирости , стаціонарні.
В підрозділі 1.3. побудовано операції інтегрування відносно ДБП. Вивчено спосіб
представлення двопараметричного сильного мартингалу Молчана через інтеграл відносно ДБП на скінченному відрізку. Розглянуто допоміжні двопараметричні процеси та виведено
інтегральні співвідношення між ними. Знайдено представлення ДБП у вигляді інтеграла за двопараметричним вінерівським процесом.
Вінерівським інтегралом назвемо інтеграл за ДБП із невипадковою підінтегральною функцією.
На просторі розглянуто випадкове поле , яке дорівнює нулю на і потоки -алгебр та , . Випадкове поле називається сильним мартингалом (відносно потоку ), якщо:
(1)?, ;
(2)?, , .
Основним результатом цього пункту є наступне твердження.
Теорема 1.2. Якщо функцію задано формулою (1.25), то центроване гауссівське поле
(1.26)
має незалежні прирости та дисперсію вигляду:
(1.27)
де .
Із цього випливає, що є сильним мартингалом. Поле , за аналогією з
однопараметричним випадком, назвемо сильним мартингалом Молчана.
Теорема 1.3. Нехай поле —ДБП з індексами . Тоді має таке інтегральне представлення: , де — вінерівське поле,
В другому розділі розглянуто узагальнені інтеграли від випадкових полів.
В підрозділі 2.1. порівнюются властивості дробових похідних за Ліувіллем і за Маршо від функцій двох змінних.
Теорема 2.1. Нехай , , , , , . Тоді , де границя береться в просторі . Тобто на класі похідні за Маршо і Ліувіллем однакові.
В підрозділі 2.2. доведено властивості дробових узагальнених двопараметричних інтегралів Лебега-Стілтьєса та формули для їх обчислення у випадку диференційованих функцій. Розглянуто основні властивості двопараметричних дробових інтегралів та похідних від гельдерових функцій.
Окремо досліджено узагальнені двопараметричні інтеграли Лебега-Стілтьєса для
інтегратора обмеженої варіації. Доведено, що у випадку неперервної підінтегральної функції та інтегратора обмеженої варіації узагальнений інтеграл є інтегралом Рімана-Стілтьєса. Крім того, доведено, що у випадку гельдерових функцій із достатньо високим порядком гельдеровості узагальнений інтеграл є границею інтегральних сум за рівномірними розбиттями.
Подано конструкцію узагальненого двопараметричного інтеграла від ДБП.
Доведено існування стохастичного інтеграла другого роду, побудованого за гельдеровими полями, зокрема, за ДБП.
Теорема 2.4. Нехай функція . Якщо , , , то .
Теорема 2.5. Нехай функція для будь-яких та , . Крім того, .
Теорема 2.6. Тоді узагальнений дробовий двопараметричний інтеграл Лебега-Стілтьєса дорівнює інтегралу Рімана-Стілтьєса .
Розглянуто узагальнені дробові інтеграли від гельдерових функцій. Нехай , причому , де — розбиття відрізка , , функція — кусково-стала.
Нехай тепер — послідовність розбиттів прямокутника , того ж вигляду, що й розбиття , причому і , . Утворено відповідну послідовність кусково-сталих функцій .
Розглянуто для будь-якого розбиття інтегральну суму вигляду:
Означення 2.1. Будемо казати, що існує лівосторонній інтеграл Рімана-Стілтьєса , якщо суми мають спільну границю по всіх послідовностях рівномірних розбиттів прямокутника .
Теорема.2.8. Нехай , , причому , . Тоді існують як узагальнений двопараметричний інтеграл Лебега-Стілтьєса , тк і , і ці інтеграли рівні між собою.
Згідно зі статтею А. КамонKamont A. On the fractional anisotropic Wiener field // Probability and Mathem. Statistics. — 1996. — V. 16, no. 1. — P. 85-98., траєкторії ДБП майже напевно належать до класу
на будь-якому прямокутнику , і для будь-яких . Тому
безпосереднім наслідком теореми 2.8. є наступний результат.
Теорема 2.9. Нехай — ДБП з індексами Хюрста , , функція , . Тоді існує узагальнений двопараметричний дробовий інтеграл Лебега-Стілтьєса для будь-якого прямокутника і збігається з лівостороннім інтегралом Рімана-Стілтьєса .
Прямокутник , фіксовано, і розглянуто послідовність рівномірних розбиттів
Нехай функції , ,
Теорема 2.10. Якщото послідовність інтегральних сум другого роду має границю, . Цю границю назвемо інтегралом другого роду відносно функцій і й позначимо як .
У підрозділі 2.3. розглянуто певні властивості прямих та обернених узагальнених інтегралів Руссо-Валлуа для випадкових двопараметричних полів. Наведено приклади обчислення прямих та обернених інтегралів для напівмартингальних полів на площині, прямих узагальнених інтегралів Руссо-Валлуа та узагальнених квадратичних характеристик ДБП та полів із нульовою енергією.
Показано, що для напівмартингальних полів узагальнений інтеграл Руссо-Валлуа збігається зі звичайним інтегралом за напівмартингалом.
Знайдено умови, за яких узагальнена квадратична варіація Руссо-Валлуа збігається зі
звичайною квадратичною варіацією.
Доведено, що ДБП з індексами Хюрста має нульову енергію, значить, і нульову узагальнену та звичайну квадратичну варіації.
Лема 2.10. Якщо , то ДБП має нульову енергію.
Наслідок 2.6. Узагальнена квадратична варіація для ДБП з дорівнює нулю.
Наступна теорема пов’язує узагальнені дробові інтеграли Лебега-Стілтьєса та узагальнені інтеграли Руссо-Валлуа від ДБП.
Теорема 2.13 Нехай функція , , — Дз індексами Хюрста . Тоді існує прямий інтеграл і дорівнює узагальненому дробовому інтегралу Лебега-Стілтьєса для кожного -.н.
У третьому розділі виведено формулу Іто для випадкових полів, які мають узагальнену квадратичну варіацію в термінах узагальнених інтегралів Руссо-Валлуа. Доведено існування дробових узагальнених інтегралів Лебега-Стілтьєса другого роду та виведено формулу Іто для ДБП у термінах узагальнених інтегралів Лебега-Стілтьєса.
У підрозділі 3.1. розглянуто формулу Іто в термінах узагальненого інтеграла Руссо-Валлуа для випадкових двопараметричних полів. Аналогічну формулу для випадкових процесів було розглянуто в роботах Ф. Руссо і П. Валлуа.
У підрозділі 3.2. виведено формулу Іто для лінійної комбінації ДБП з індексами Хюрста , Формулу записано в термінах узагальнених інтегралів Лебега-Стілтьєса першого та другого роду.
Нехай , і похідна — ліпшицева, поле задається рівністю з
У четвертому розділі визначено оцінки для норм у просторах типу Бєсова узагальнених двопараметричних стохастичних інтегралів відносно ДБП на площині. Ці оцінки
використовуються для доведення існування та єдиності розв’язку стохастичних
диференціальнх рівнянь на площині, що містять ДБП.
У підрозділі 4.1. розглянуто простори типу Бєсова для двопараметричних полів на площині та узагальнений стохастичний інтеграл Лебега-Стілтьєса з інтеграндом й інтегратором, які належать до деякого простору типу Бєсова. Наведено оцінки норм інтеграла через відповідну норму його інтегранда. Ці оцінки застосовуються у випадку, коли інтегранд — деякий функціонал ДБП на площині, а інтегратор — саме це поле. Оцінки використовуються при побудові розв’язку стохастичного диференціального рівняння, яке містить ДБП.
Розглянуто функціональні простори типу Бєсова та інтеграл , визначений у (1.15).
У просторах типу Бєсова знайдено оцінки для норм інтегралів через норми підінтегральних функцій.
Розглянуто суперпозицію гладкої функції і функції із деякого простору типу Бєсова. Наступна теорема доводить існування інтеграла
Теорема 4.3. Нехай функція і виконуються наступні умови:
1. ?;
2. ? таке, що , де означає всі диференціювання, які можна виконати згідно з умовою 1.;
3. ?;
4. ?Функції , для деяких , .
Тоді маємо наступну оцінку:
(4.25)
(зокрема, ). Тут — стала, що не залежить від вибору , а залежить лише від .
Аналогічні, але простіші оцінки мають місце для звичайного інтеграла Лебега.
Підрозділ 4.2. містить доведення існування та єдиності розв’язку стохастичного
диференціального рівняння, яке містить ДБП.
Нехай — повний ймовірнісний простір, на якому задано ДБП , тут .
Розглянуто стохастичне диференціальне рівняння вигляду
(4.47)
де , точку фіксовано, — ДБП з параметрами Хюрста ,, — вимірні функції, що задовольняють наступні умови:
(4.48)
Під розв’язком рівняння (4.47) будемо розуміти випадкове поле , яке при м.в. перетворює (4.47) на тотожність, а інтеграл існує для м.в. як двопараметричний узагальнений інтеграл Лебега-Стілтьєса.
Теорема 4.7. Нехай коефіцієнти рівняння (4.47) задовольняють умови 1) — 4) з (4.48). Тоді рівняння (4.47) має єдиний в класі розв’язок на прямокутнику , причому для м.в. , , .
ВИСНОВКИ
У дисертаційній роботі вводяться поняття, пов’язані з дробовим броунівським рухом. Уведено означення двопараметричних дробових інтегралів та похідних, двопараметричних узагальнених інтегралів Лебега-Стілтьєса, дробового броунівського поля та інші. Побудовано вінерівський інтеграл (тобто інтеграл від невипадкової функції) за дробовим броунівським полем та досліджено його властивості, зокрема, побудовано сильний мартингал Молчана, що відповідає дробовому броунівському полю.
Вводяться узагальнені інтеграли Лебега-Стілтьєса і за їхньою допомогою будуються
інтеграли від випадкових гельдерових функцій за дробовим броунівським полем, а також
встановлюються деякі властивості узагальнених інтегралів Руссо-Валлуа від випадкових полів.
Виведено формулу Іто для випадкових полів, які мають узагальнену квадратичну варіацію, у термінах узагальнених інтегралів Руссо-Валлуа. Виведено умови існування узагальненої квадратичної варіації та наведено приклади обчислення узагальнених інтегралів та узагальнених квадратичних характеристик. Введено поняття поля з нульовою енергією та доведено, що дробове броунівське поле має нульову енергію. Важливим результатом є теорема, яка пов’язує узагальнені дробові інтеграли Лебега-Стілтьєса та узагальнені інтеграли Руссо-Валлуа від дробових броунівських полів з індексами Хюрста , . Доведено існування дробових узагальнених інтегралів Лебега-Стілтьєса другого роду та виведено формулу Іто для дробових броунівських полів у термінах узагальнених інтегралів Лебега-Стілтьєса.
Визначено оцінки для норм у просторах типу Бєсова узагальнених двопараметричних
стохастичних інтегралів відносно дробових броунівських полів на площині. Ці оцінки
використано для дослідження стохастичних диференціальних рівнянь на площині, що містять двопараметричний дробовий броунівський рух, доведено існування та єдиність розв’язку.
Всі одержані в роботі результати є новими і мають теоретичне спрямування та практичне застосування в метеорології, радіоелектроніці, гідромеханіці, теорії масового обслуговування, стохастичному моделюванні, та в інших галузях, в яких використовуються випадкові процеси.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
Ільченко С.А., Мішура Ю.С. Узагальнені інтеграли для випадкових полів // Теорія ймовірностей та математична статистика. — 2002. — № 67. — С. 57-70.
Ільченко, С.А. Порівняння властивостей дробових похідних за Ліувіллем і за Маршо від багатопараметричних функцій // Вісник КНУ ім. Т. Шевченка. Серія: Математика. Механіка. — 2003. — № 9-10. — C. 41-48.
Мішура Ю.С., Ільченко С.А. Формула Іто для дробових броунівських полів // Теорія ймовірностей та математична статистика. — 2003. — № 69. — C. 141-153.
Mishura Yu.S., Ilchenko S.A. Some estimates for two-parameter generalized stochastic Lebesgue-Stieltjes integrals // Theory of Stochastic Processes. — 2003. — Vol. 9 (25), no. 3-4. — P. 87-100.
Ільченко С.А., Мішура Ю.С. Узагальнені двопараметричні інтеграли Лебега-Стільтьєса та їх застосування до дробових броунівських полів // Український математичний журнал. — 2004. — Т. 56, № 4. — С. 435-450.
Ільченко С.А. Оцінки дробових норм від інтегралів по дробовому броунівському полю // Доповіді НАН України. — 2005. — № 4. — C. 12-17.
Мішура Ю.С., Ільченко С.А. Побудова вінерівських інтегралів відносно дробових
броунівських полівВісник КНУ ім. Т. Шевченка. Серія: фізико-математичні науки. — 2005. — 2. — С. 46-52.
Ilchenko S.A. Stochastic calculus with respect to fractional Brownian fields // International Summer Seminar “Stochastic Dynamical Systems”. — Sudak, Crimea (Ukraine), 2003. — P. 24.
Ільченко С.А. Дробові броунівські поля у застосуванні до задач фінансової математики // Прикладна статистика, актуарна та фінансова математика. (Матеріали другої
міжнародної науково-практичної конференції студентів, аспірантів і молодих вчених “Сучасні задачі прикладної статистики, промислової, актуарної та фінансової
математики”). — Донецьк (Україна), 2004. — № 1-2. — C. 194.
Ільченко С.А. Стохастичний аналіз та математичне моделювання випадкових полів з довгостроковою залежністю // Матеріали IV Всеукраїнській конференції молодих
науковців “Інформаційні технології в освіті, науці і техніці” ІТОНТ-2004. — Черкаси (Україна), 2004. — C. 59-62.
Ільченко С.А. Формула заміни змінних для гельдерових та дробових броунівських полів // Матеріали Десятої міжнародної наукової конференції імені академіка М. Кравчука. — Київ (Україна), 2004. — C. 598.
Ilchenko S.A. Stochastic properties of Holder and fractional fields // Fourth European Congress of Mathematics “Mathematics in Science and Technology”. www.math.kth.se/4esm. — Stockholm (Sweden), 2004. — P. 1.
Ільченко С.А. Оцінки для інтегральних функціоналів від дробового броунівського поля // Матеріали міжнародної конференції пам’яті В.Я. Буняковського (1804 — 1889). — Київ (Україна), 2004. — C. 66-67.
Ільченко С.А. Елементи стохастичного аналізу дробових броунівських полів // Матеріали міжнародної наукової конференції “Функціональні методи в теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі і статистиці ІІ”, присвяченій пам’яті
А.Я. Дороговцева (1935 — 2004). — Київ (Україна), 2004. — C. 49-50.
Мішура Ю.С., Ільченко С.А., Ральченко К.В. Існування, єдиність та властивості
розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь відносно дробового броунівського поля на площині // Матеріали міжнародної наукової конференції “Диференціальні рівняння та їх застосування”, присвяченої 60-річчю кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка. — Київ (Україна), 2005. — C. 74.
АНОТАЦІЯ
Ільченко С.А. Стохастичний аналіз дробових броунівських полів. — Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за
спеціальністю 01.01.05 — теорія ймовірностей і математична статистика. — Київський
національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2005.
Дисертаційна робота присвячена побудові стохастичного аналізу для двопараметричних дробових броунівських полів, зокрема, побудові стохастичних інтегралів за дробовим броунівським полем, виведенню формули Іто та дослідженню стохастичних диференціальних рівнянь, що містять дробові броунівські поля. У дисертації побудовано операції інтегрування відносно двопараметричного дробового броунівського руху; виведено представлення двопараметричного сильного мартингала Молчана через інтеграл відносно двопараметричного дробового броунівського руху на скінченному прямокутнику. За допомогою узагальнених інтегралів Лебега-Стілтьєса побудовано інтеграли від випадкових гельдерових функцій по дробовому броунівському полю; доведено властивості узагальнених інтегралів Руссо-Валлуа від випадкових полів. Виведено формулу Іто для випадкових полів, які мають узагальнену квадратичну варіацію в термінах узагальнених інтегралів Руссо-Валлуа; виведено форму Іто для лінійної комбінації дробових броунівських полів з індексами Хюрста , в термінах узагальнених інтегралів Лебега-Стілтьєса. Виведено оцінки для норм узагальнених двопараметричних стохастичних інтегралів відносно дробових броунівських полів на площині в просторах типу Бєсова. Доведено існування та єдиність розв’язку стохастичного диференціального рівняння, що містить дробове броунівське поле.
Ключові слова: дробові броунівські поля на площині, сильний мартингал Молчана,
стохастичні інтеграли та стохастичні диференціальні рівняння відносно дробових броунівських полів, формула Іто, функціональні простори типу Бєсова, дробові норми від інтегралів по дробовому броунівському полю.
АННОТАЦИЯ
Ильченко С.А. Стохастический анализ дробных броуновских полей. — Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по
специальности 01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика. — Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2005.
Одним из важных и интенсивно развивающихся направлений в теории случайных процессов и стохастическом анализе на сегодняшний день есть изучение и построение стохастического анализа для двупараметрических дробных броуновских полей, в частности, построение стохастических интегралов по дробному броуновскому полю, выведение формулы Ито и исследование стохастических дифференциальных уравнений, содержащих дробные броуновские поля. Диссертация представляет собой исследование проблем, связанных с гауссовскими процессами и полями, которые моделируют долгосрочную зависимость. Полученные результаты могут быть использованы в финансовой математике, метеорологии, радиотехнике, гидромеханике, океанологии, теории массового обслуживания и других отраслях науки. В диссертационной работе получено представление двупараметрического сильного мартингала Молчана через интеграл относительно двупараметрического дробного броуновского движения на конечном прямоугольнике. При помощи обобщенных интегралов Лебега-Стилтьеса
построены интегралы от случайных гельдеровских функций по дробному броуновскому полю. Доказано свойства обобщенных интегралов Руссо-Валлуа от случайных полей. В терминах обобщенных интегралов Руссо-Валлуа выведена формула Ито для случайных полей с обобщенной квадратической вариацией. Выведено формулу Ито для линейной комбинации дробных броуновских полей с индексами Хюрста , в терминах обобщенных интегралов Лебега-Стилтьеса. Выведены оценки для норм обобщенных двухпараметрических стохастических интегралов относительно дробных броуновских полей на плоскости в пространствах типа Бесова и доказано существование и единственность решения стохастического дифференциального уравнения, содержащего дробное броуновское поле.
Понятие дробного броуновского движения было введено впервые в 1940 году
А.Н. Колмогоровым, который назвал этот процесс винеровской спиралью. Стохастический анализ для однопараметрического дробного броуновского движения начал интенсивно развиваться с 1968 года, когда была опубликована пионерская работа Б.Б. Мандельброта и В.Ван Несса про представление дробного броуновского движения через интеграл по стандартному броуновскому движению. Важные результаты были получены в 1965-1969 годах Молчаном, который рассмотрел спектральные свойства дробного броуновского движения, а также начал изучать этот процесс с точки зрения теории групп. Дальше интерес к дробному броуновскому движению возобновился в конце 90-х годов в связи с тем, что данный процесс имеет так называемую длинную память или долгосрочную зависимость и благодаря этому хорошо моделирует процессы происходящие в радиоэлектронных приборах, особенно в телекоммуникационных средствах, а также на финансовом рынке.
Таким образом, достаточно большое количество работ посвящено дробному боуновскому процессу, а дробные броуновские поля, имеющие многочисленные применения в климатологии, гидрологии, изучении атмосферных явлений, финансовой математике, еще рассмотрены недостаточно. Диссертационная работа углубляет теоретические достижения в теории случайных полей и расширяет сферу её применения.
Ключевые слова: дробные броуновские поля на плоскости, сильный мартингал Молчана, стохастические интегралы и стохастические дифференциальные уравнения относительно
дробных броуновских полей, формула Ито, функциональные пространства типа Бесова,
дробные нормы от интегралов по дробному броуновскому полю.
ANNOTATION
Ilchenko S.A. Stochastic Analysis of Fractional Brownian Fields. — Manuscript.
The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree in the speciality 01.01.05 — Probability Theory and Mathematical Statistics. — Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2005.
The thesis is devoted to construction of stochastic analysis for two-parameter fractional Brownian fields, in particular, to construction of stochastic integrals, the Ito formula and stochastic differential equations for fractional Brownian fields. Integration with respect to two-parameter fractional Brownian motion is introduced and the representation of two-parameter strong Molchan martingale via the integral with respect to two-parameter fractional Brownian motion on a finite rectangle is provided. With the help of generalized Lebesgue–Stieltjes integrals we construct integrals of stochastic Holder functions with respect to fractional Brownian field, and discover properties of the generalized Russo–Vallois stochastic integrals. The Ito formula for stochastic fields with generalized quadratic variation in terms of the generalized Russo–Vallois integrals is deduced. We also discover Ito formula for linear combination of fractional Brownian fields with different Hurst indices in terms of generalized Lebesgue–Stieltjes integrals. We derive estimates for Holder-type norms of generalized two-parameter stochastic integrals with respect to fractional Brownian fields on the plane and prove existence and uniqueness of solution to stochastic differential equation involving fractional Brownian field.
Keywords: fractional Brownian field on the plane, strong Molchan martingale, stochastic integrals and stochastic differential equations with respect to fractional Brownian fields, Ito formula, functional Besov type spaces, fractional norms of integrals with respect to fractional Brownian field.
