ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ

УНІВЕРСИТЕТ

Шарф Ігор Володимирович

УДК 518.5+531.2

МЕХАНІЗМИ ЗРОСТАННЯ ПЕРЕРІЗІВ

НЕПРУЖНОГО РОЗСІЯННЯ АДРОНІВ

В МУЛЬТИПЕРИФЕРИЧНІЙ МОДЕЛІ

В МЕЖАХ ТЕОРІЇ ЗБУРЕНЬ

01.04.16 – фізика ядра, елементарних частинок та високих енергій

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико – математичних наук

Одеса – 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Одеському національному політехнічному університеті

Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник | доктор фізико – математичних наук, професор

Русов Віталій Данилович

Одеський національний політехнічний університет,

завідувач кафедрою теоретичної та

експериментальної ядерної фізики.

Офіційні опоненти: | доктор фізико-математичних наук, ст.н.с.

Єнковський Ласло Ласлович, провідний науковий

співробітник (Інститут теоретичної фізики

ім. М.М. Боголюбова НАН України)

доктор фізико-математичних наук, член – кор. РАН,

Кайдалов Олексій Борисович, начальник лабораторії (Державний науковий центр Російської Федерації “Інститут теоретичної та експериментальної фізики ім. А.І. Аліханова”)

Провідна установа | Національний науковий центр

“Харківський фізико-технічний інститут” НАН України, Інститут теоретичної фізики

Захист відбудеться “26” вересня 2006 р у 1400 годин на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 41.052.06 в Одеському національному політехнічному університеті за адресою пр. Шевченка, 1, м. Одеса, 650044.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці

Одеського національного політехнічного університеті за адресою:

пр. Шевченка, 1, м. Одеса, 650044

Автореферат розісланий “ 23 ” серпня 2006 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради

д.т.н., проф. Зеленцова Т.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

На сьогоднішній день накопичено багато експериментального матеріалу, як з пружного, так і з непружного розсіяння адронів в широкому інтервалі енергій. При теоретичному описанні цих процесів основою є розрахунок амплітуди саме пружного розсіяння. Характеристики ж непружних процесів намагаються виразити через величини, що використовуються для опису пружного розсіяння за допомогою умови унітарності ( Абрамовський В.А., Грібов В.Н., Канчелі О.В. // ЯФ.-1973. Т. 18, вип. 3.- С. 595-616).

Така ситуація обумовлена тими труднощами, котрі виникають при розрахунках перерізів непружного розсіяння через те, що фізична область непружного процесу є достатньо складною внаслідок тих взаємозв’язків між компонентами чотиривекторів енергії – імпульсу частинок у кінцевому стані, які виникають при врахуванні закону збереження енергії – імпульсу й умов масової поверхні для кожної частинки. Умови масової поверхні призводять до того, що область інтегрування не є лінійним простором, і це не дозволяє використовувати для діаграм непружного розсіяння методи, розроблені для діаграм пружних процесів (The Analytic S-Matrix / Eden R.J., Landshoff P.V., Olive D.I., Polkinghorne J.C./ Cambridge University Press, 2002 ).

При розрахунку перерізів непружного розсіяння або внесків таких процесів в уявну частину амплітуди пружного розсіяння необхідно розраховувати багатомірний інтеграл великої розмірності по такій складній області.

У роботі, що пропонується, описані труднощі долаються за допомогою відомого методу Лапласа. Суть цього метода полягає в тому, що якщо функція багатьох змінних, від якої розраховується багатомірний інтеграл, має точку максимуму в області інтегрування, то в окрузі цієї точки такий інтеграл можна замінити гаусовским інтегралом, який надасть добре наближення для інтегралу, що розглядається.

Застосування методу Лапласа дозволяє одержати нові результати в межах старої мультипериферичної моделі (D. Amati and A. Stanghellini, S. Fubini// Theory of High – Energy Scattering and Multiple Production, Il Nuovo Cimento, 1962, Vol. 26, № 5. – Р. 896-937). Головним з цих результатів є виявлення механізмів зростання перерізів непружного розсіяння (і внаслідок цього - повного перерізу розсіяння) із зростанням енергії частинок, що розсіюються у системі їх центру мас. Основним з цих механізмів є механізм зменшення абсолютних величин віртуальностей (тобто скалярних квадратів чотиривекторів енергії-імпульсу віртуальних частинок) із зростанням енергії зіткнення . Але такий механізм не враховується при традиційному підході до мультипериферичної моделі, як до діаграмного представлення уявної частини амплітуди пружного розсіяння, що визначається полюсом Редже.

Актуальність теми. Припущення, що дозволяють “уникнути” згаданих вище труднощів при розрахунках характеристик непружного розсіяння, призводять до певних проблем в описанні поведінки повних перерізів адрон – адронного розсіяння зі зростанням енергії в межах теорії полюсів Редже. Для подолання цих труднощів доводиться розглядати моделі з обміном реджеонами з перетином . А для узгодження цієї схеми з умовою унітарності й обмеженням Фруассара доводиться представляти амплітуду пружного розсіяння у вигляді суми ряду, який враховує всі можливі багатореджіонні перерозсіяння. При цьому непружні процеси описуються за допомогою АГК - процедури “розрізання” багатореджіонних діаграм (Кайдалов А.Б.// УФН. – 2003.- Т.173, №11, С. 1153-1170). Однак розгляд непружних процесів з утворенням декількох “гребінок” породжує низку проблем, аналіз яких показує, що задача опису цих процесів на сьогоднішній день до кінця не розв’язена.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у відповідності до держбюджетної науково-дослідної роботи “Вивчення розподілу по множинності вторинних частинок в адрон-ядерних і багатонуклонних взаємодіях при високих енергіях” (№ державної реєстрації 0197U008966) згідно з програмою науково-дослідних робіт Міністерства освіти і науки України “Взаємодія електромагнітного випромінювання і потоків заряджених частинок з речовиною” і планами науково-дослідної роботи кафедри теоретичної й експериментальної ядерної фізики ОНПУ на 2002-2007 р.

При виконанні цих науково-дослідних робіт роль автора дисертації полягала в розробці каскадно-стохастичної моделі множинного народження адронів у непружних і взаємодіях при високих енергіях, розв’язанні задач на умовний екстремум для функцій багатьох змінних, розрахунках перерізів непружного розсіяння.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є визначення перерізів непружного розсіяння з утворенням заданої кількості вторинних частинок (парціальних перерізів ) і повного перерізу, як суми парціальних перерізів, в мультипериферичній моделі в межах теорії збурень.

Для досягнення сформульованої мети необхідно розв’язити такі задачі:

- з'ясувати чи має модуль мультипериферичної амплітуди розсіяння, заданої в межах теорії збурень за правилами фейнманівської діаграмної техніки умовний максимум за умови збереження енергії – імпульсу та виконання умов масової поверхні для кожної частинки;

- знайти точку умовного максимуму модуля мультипериферичної амплітуди розсіяння та дослідити її властивості;

- представляючи квадрат модуля амплітуди розсіяння , що входить у підінтегрального виразу для перерізу розсіяння, у вигляді , знайти розклад показника експоненти в ряд Тейлора в окрузі знайденої точки умовного максимуму з точністю до квадратичних доданків;

- розрахувати гаусовський інтеграл, який виникає після заміни показника експоненти у виразі на його розклад в ряд Тейлора, що фактично зводиться до діагонализації матриці других похідних показника експоненти, чи до розрахунку її детермінанта;

- врахувати внески інтерференційних діаграм у парціальні перерізи (де - кількість вторинних частинок), що виникають внаслідок представлення мультипериферичної амплітуди у вигляді суми по всіх можливих порядках приєднання зовнішніх ліній до мультипериферичної “гребінки”, застосовуючи для розрахунку кожного внеску метод Лапласа, і дослідити залежність суми цих внесків від енергії .

Об’єкт дослідження – адрон – адронне розсіяння.

Предмет дослідження – парціальні перерізи непружного розсіяння.

Методи дослідження: теорія збурень по константі зв’язку у вигляді діаграмної техніки Р.Фейнмана для розрахунку амплітуди непружного розсіяння; чисельні методи максимізації функцій, для знаходження умовного максимуму модуля амплітуди непружного розсіяння; математичні методи розв’язку задач на умовний екстремум для функцій багатьох змінних для аналітичного знаходження точки екстремуму квадрата модуля амплітуди розсіяння й аналітичного вивчення її властивостей; чисельні методи розв’язку трансцендентних рівнянь для контролю за якістю аналітичного розв’язку задачі на умовний максимум і можливістю застосування використаного при цьому наближення; метод Лапласа для розрахунку багатовимірних інтегралів; чисельні методи розрахунку детермінантів для обчислення гаусовських інтегралів, що виникають при застосуванні методу Лапласа; метод Лагранжа для діагонализації квадратичних форм, які виникають в показниках гаусовських інтегралів при розрахунках інтерференційних внесків.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому що:

1. Вперше чисельно й аналітично розв’язана задача на умовний максимум для модуля мультипериферичної амплітуди розсіяння (за умови зберігання енергії-імпульсу та умовах масової поверхні для кожної частинки), що дозволило розробити новий метод розрахунків в мультипериферичній моделі та отримати результати, які суттєво відрізняються від результатів, котрі були отримані раніше в межах цієї моделі.

2. На основі чисельного й аналітичного аналізу властивостей умовного максимуму виявлені нові механізми зростання перерізів.

3. Запропоновано нове наближення, за допомогою якого вперше аналітично розв’язана система нелінійних рівнянь для знаходження точки умовного екстремуму модуля мультипериферичної амплітуди розсіяння.

4. Чисельно показано, що нові механізми зростання парціальних перерізів, які виявлені в роботі, можуть забезпечити й зростання повного перерізу, аналогічне до того, яке спостерігається в експерименті. Таке описання зростання повного перерізу суттєво відрізняється від існуючого, де розглядається обмін реджіонами з перетинами, що перевищують одиницю.

5. Вперше чисельно показано, що внесок у перерізи інтерференційних доданків, які відповідають врахуванню діаграм з усіма перестановками частинок у кінцевому стані, є суттєвим. Для кількості вторинних частинок враховані всі інтерференційні внески, що раніше не враховувалися.

Практичне значення одержаних результатів полягає в тому що:

- запропоновано ефективний метод розрахунку багатомірних інтегралів, що визначають парціальні перерізи, який при застосуванні до більш реалістичних моделей може дозволити описати різні експериментальні дані, як з непружного, так і з пружного розсіювання за допомогою умов унітарності;

- запропоноване наближення рівних знаменників, яке дозволяє аналітично описувати точку максимуму, і в перспективі може дозволити одержувати аналітичні результати для розрахунків перерізів непружного розсіяння;

- виявлено механізми зростання перерізів непружного розсіяння адронів і повного перерізу розсіяння, закладені в мультипериферичнеской моделі, які можуть бути присутніми і в більш складних моделях, ніж розглянута в дисертації.

Особистий внесок здобувача. Усі результати, що складають основний зміст дисертації, отримано особисто автором, а саме:

- розроблено програми для чисельної максимізації мультипериферичних амплітуд розсіяння для різної кількості вторинних частинок;

- запропоновано наближення рівних знаменників для аналітичного розв’язку задачі на умовний максимум, за допомогою якого отримано аналітичний розв’язок цієї задачі, що відтворює основні результати чисельного розрахунку;

- проаналізовано властивості точки максимуму, що надало можливість зробити висновок про існування механізмів зростання перерізів.

- розраховано внески “розрізаних” діаграм “драбинного” типу в парціальні перерізи і показано, що вони зростають зі зростанням енергії .

- розроблено програми для розрахунку внесків інтерференційних діаграм у парціальні перерізи, і проведені такі розрахунки для .

Апробація результатів дисертації. Основні положення і результати дисертації доповідалися й обговорювалися на XXIX і XXXII International Symposiums on Multiparticle Dynamics, (Providence, USA, 1999; Alushta, Ukraine, 2002), 20th International Conference “Nuclear Traks in Solids” (Portoros, Slovenia, 2000), International Conference “Supersymmetry and Quantum Field Theory” (Ukraine, Kharkov, 2001), Gamov Memorial International Conference “Astrophysics and Cosmology after Gamov-Theory and Obserbation” (Odessa, 2004), International conference “New Trends in High-energy Physics” (Alusta, 2005), IV конференції з фізики високих енергій, ядерної фізики і прискорювачів (Харків, 2006), International conference “Current Problems in Nuclear Physics and Atomic Energy” (Kyiv, 2006), щорічній науковій конференції Наукового центру “Інститут ядерних досліджень” НАН України (Київ, 2001), наукових семінарах Інституту теоретичної й експериментальної фізики РАН (Москва 2000), Фізичного інституту ім. Лебедєва РАН (Москва, 2000), Інституту теоретичної фізики Національного наукового центру ХФТІ (Харків, 2000; 2002; 2006), наукових семінарах Інституту теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України (Київ, 2003)

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи викладені в 7 публікаціях, у тому числі 4 статтях у наукових журналах і 3 тезах доповідей міжнародних наукових конференцій.

Структура й обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, п’яти розділів, висновків, списку літератури і двох додатків. Загальний обсяг дисертації складає 215 сторінок друкованого тексту, включаючи 5 таблиць і 65 рисунків. Список літературних джерел містить 79 найменувань цитованої літератури.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі дається загальна характеристика роботи, встановлюється її актуальність, наукове і практичне значення отриманих результатів, формулюється мета і задачі дослідження, наводяться основні результати і положення, які виносяться на захист.

В першому розділі на основі огляду літератури аналізуються існуючі підходи до розрахунку характеристик непружного розсіяння, акцентується увага на тих припущеннях та наближеннях, що робляться при розгляді цих процесів і визначають різницю між існуючими результатами і тими, що отримано в дисертації. Виходячи з цього аналізу, формулюється постановка задач, які розв’язуються в дисертації.

У другому розділі розглядається амплітуда розсіяння, що зіставляється за правилами фейнманівської діаграмної техніки діаграмі на рис.1, яка є типовою діаграмою найпростішого варіанту мультипериферичної моделі.

Такі діаграми виникають зокрема при розгляді моделі двох взаємодіючих дійсних скалярних полів і з лагранжіаном (тут і далі використовується система одиниць, у який швидкість світла і постійна Планка дорівнюють одиниці):

(1) |

де -компоненти тензора Минковского, і -відповідні константи зв'язку, - покладалася рівною масі протона, а - масі піона.

Така модель була обрана з метою вийти на описання експериментальних даних із протон - протонного розсіяння з утворенням піонів шляхом її подальшого вдосконалення. Частинки є квантами поля , а частинки розглядаються як кванти поля .

Далі в другому розділі доводиться, що скалярні квадрати чотириімпульсів віртуальних частинок на діаграмі рис.1 є негативними. Це дозволяє представити амплітуду розсіяння у виді:

(2) | де

(3) |

-

Ця обставина дозволяє у подальшому замість пошуку умовного максимуму модуля амплітуди розсіяння знаходити умовний максимум функції . Цю функцію, яка лише постійним множником відрізняється від амплітуди розсіяння, надалі ми також будемо називати амплітудою розсіяння.

Далі проводиться врахування умов масової поверхні і закону збереження енергії-імпульсу, а також враховуються властивости симетрії мультипериферичної амплітуди. А саме, маючи в кінцевому стані (рис.1) частинки, для кожної з яких повинна виконуватися умова масової поверхні, маємо таким чином, що амплітуда (3) може бути виражена як функція компонентів імпульсів цих частинок у будь-який інерційній системі відліку. Чотири рівняння зв’язку, які виражають закони збереження компонент енергії – імпульсу, призводять до того, що амплітуда залежатиме від незалежних змінних. Як система відліку при всіх розрахунках обиралася система центра мас (с.ц.м.) вихідних частинок. Усі компоненти імпульсів розкладалися на паралельні (подовжні, вони надалі позначатимуться індексом і перпендикулярні (поперечні, вони будуть позначатися індексом ) до вісі, якій паралельні тривимірні імпульси вихідних частинок. З системи рівнянь, які виражають закон збереження компонент енергії – імпульсу, всі компоненти тривимірного імпульсу , а також подовжня компонента імпульсу знаходяться через інші змінні. Підставляючи відповідні вирази в (3), отримуємо функцію, для якої вже можна розв’язувати задачу на звичайний, а не умовний максимум. При подальших посиланнях на (3) ми будемо вважати, що розглядається саме така функція. Окрім того, з огляду на відсутність виділеного напрямку в площині поперечних імпульсів показано, що цей максимум повинний досягатися при нульових значеннях поперечних компонентів імпульсів усіх частинок. Покладаючи в (3) поперечні імпульси рівними нулю, отримуємо звуження амплітуди розсіяння, яке залежить від значно меншої кількості змінних, і це значно полегшує пошук максимуму. Для подальшого розгляду задачі на екстремум для цього звуження зручно замість подовжніх компонент імпульсів частинок ввести бистроти , що визначаються співвідношенням:

(4) |

Подальше спрощення можливе з врахуванням симетрії діаграм на рис. 1 щодо вісі, показаної на рис.2. В роботі показано, що вираз для згаданого звуження амплітуди розсіяння переходить сам у себе, якщо одночасно поміняти в ньому місцями бистроти частинок, що приєднані до діаграми симетрично відносно вісі рис.2, та змінити їхні знаки на протилежні. За допомогою цієї симетрії показано, що точка екстремума знаходиться на підмножині фізичної області бистрот, на якому бистрота частинок приєднаних до діаграми симетрично до вісі симетрії на рис.2 мають взаємно протилежні значення.

Тому, покладаючи швидкості частинок, приєднаних нижче вісі симетрії (рис.2) протилежними відповідним бистротам частинок, приєднаних вище вісі, одержимо подальше звуження амплітуди розсіяння. Будемо позначати його . З врахуванням розглянутої симетрії воно має вид для парного :

(5) | а для непарного :

(6) | Подовжній компонент імпульсу , що входить у (5) і (6), виражається співвідношенням

(7) | де для випадку парного числа частинок , і для випадку непарного числа частинок . Ці співвідношення є наслідком врахування закону збереження енергії – імпульсу на звуженні, що розглядається. Співвідношення (5) і (6) з врахуванням (7) використовуються для подальшого чисельного та аналітичного розв’язку задачі на екстремум. При цьому для подальших розрахунків, маси й енергії, що входять у ці співвідношення, обезрозмірювалися на масу піона .

В третьому розділі наводяться результати чисельного розв’язку задачі знаходження умовного максимуму мультипериферичної амплітуди розсіяння. Типові результати процедури максимізації наведені на рис.3. Для контролю коректності чисельної максимізації використовувалися графіки функцій , і , що визначалися наступним чином

(8) |

(9) |

Через позначено значення відповідних змінних, котрі отримані в результаті чисельної максимізації. Функція визначається співвідношенням (5), чи (6). Графіки функцій для результатів рис.3а наведені на рис.4. З графіків на рис.4 можна побачити, що у точці, яка є результатом чисельної максимізації всі часткові похідні від функції дорівнюють нулю. Оскільки цієї умови недостатньо для існування екстремуму, для додаткового контролю використовувалися функції (9). Графіки деяких з таких функцій для результатів рис.3б наведені на рис.5.

Далі чисельними засобами досліджено властивості точки максимуму. Зокрема, вивчено залежність різниці арифметичної прогресії по бистротах у точці максимуму від енергії і кількості частинок . При цьому за різницю прогресії приймалося середнє арифметичне значення компонентів стовпця на рис. 3. З’ясовано, що при значеннях значно більших за граничне значення

(10) | залежність різниці прогресії від енергії є приблизно логарифмічною. При , значно менших за те, що визначається (10), залежність від близька до обернено – пропорційної.

Найбільш важливим результатом третього розділу є аналіз залежності віртуальностей, тобто скалярних квадратів четырехимпульсов, що відповідають вертикальним лініям “гребінки” (рис.1), від енергії . Позначимо чотириімпульси віртуальних частинок на рис.1 як , де -номер вершини на рис.1, до якої зверху приєднується лінія, по якій переноситься чотириімпульс . Тоді в позначеннях рис.1 матимемо:

(11) |

Рис.3 Результат чисельної максимізації при ГеВ (а) і ГеВ (б). У першому стовпчику наведені значення сукупності бистрот, на якій досягається максимум функції (5). При цьому в -му рядку стовпця міститься значення відповідної змінної із списку аргументів функції (5). Стовпець містить різниці між кожним елементом стовпця та наступним елементом. З цих різниць можна побачити, що в точці максимуму бистроти близькі до чисел, що утворюють арифметичну прогресію. Те ж саме можна побачити із наведеного графіка залежності між значенням бистроти частинки у точці максимуму та номером вершини , до якої вона приєднується. Стовпець містить відношення всіх бистрот стовпця до мінімальної бистроти. Те, що для парного (рис.3а) ці відношення близькі до непарних чисел, а у випадку непарного (рис. 3б) – до послідовних цілих чисел, легко пояснюється тим, що, як видно з рис.2а, при парному мінімальна бистрота є половиною різниці прогресії, а при непарному – дорівнює цієї різниці. | Рис.4. Типові графіки функцій (8), які використовуються для контролю

коректності результатів чисельної максимізації. Уздовж вісіординат використано

логарифмічний масштаб.

Рис.5. Типові графіки функцій , що підтверджують коректність

чисельної максимізації.

Враховуючи, що за результатами чисельної максимізації нам відомі значення усіх чотириімпульсів у точці максимуму, можна розрахувати чотириімпульси та їх скалярні квадрати – віртуальності. При цьому замість зручно розглядати їх значення, обезрозмірені на масу піона та відповідні скалярні квадрати. Залежність віртуальностей від енергії показана на рис.6, де можна побачити, що абсолютні величини віртуальностей із зростанням енергії зменшуються. |

Рис.6. Зміна модулів віртуальностей з енергією для в інтервалі

енергій ГеВ з використанням звичайного масштабу (а)

і логарифмічного масштабу (б) уздовж вісі віртуальностей.

Якщо врахувати, що амплітуда розсіяння (2) може бути записана у виді

(12) |

то зменшення віртуальностей означає зростання величини амплітуди в точці максимуму. Ця величина, згідно з методом Лапласа, увійде у вираз для парціального перерізу як множник, і тому її зростання може визначати й збільшення самого перерізу. Те, що це дійсно так, підтверджено подальшими розрахунками.

Окрім того, з рис.6 видно, що абсолютні значення віртуальностей ростуть від країв “гребінки” до її центра.

В четвертому розділі розглядається аналітичний розв’язок задачі на умовний екстремум для логарифмів звужень (5) і (6) мультипериферичної амплітуди розсіяння, що відповідає діаграмі на рис.1. Для парної кількості частинок умови екстремуму для цієї функції призводять до нелінійної системи рівнянь (усі величини обезрозмірені на масу ):

(13) |

(14) | Для аналітичного розв’язку системи (13) використовується наближення рівних знаменників, суть якого полягає у наступному. Як можна побачити з (14), з врахуванням від’ємності віртуальностей усі знаменники мають вид , тобто є величинами більшими за одиницю. Але функція при має похідну , тобто є такою, що повільно змінюється. Окрім того, як було з’ясовано в третьому розділі, величини віртуальностей повинні зростати від країв “гребінки” до її центру. Тому максимум має досягатися при такій поведінці віртуальностей, коли знаменники зростають якомога повільніше. Виходячи з цього, при подальшому пошуку екстремуму можна використати наближення

(15) |

Це наближення ми називаємо наближенням рівних знаменників.

У дисертації показано, що в наближенні (15) між бистротами, що задовольняють системі рівнянь (13), існує співвідношення:

(16) |

яке узгоджується з результатами чисельного розрахунку, такими як наведено у стовпці на рис.3а для парного . Окрім того, з (16) видно, що бистроти, які задовольняють системі (13), у наближенні (15) утворюють арифметичну прогресію, що відповідає наведеним раніше результатам чисельного розрахунку.

Рівняння (16) виражає всі бистроти, які ми шукаємо, через мінімальну бистроту . Для цієї бистроти в наближенні рівних знаменників (15) із системи рівнянь (13) отримано трансцендентне рівняння:

(17) |

де (маса частинок на рис.1 за яку приймалася маса протона) і обезрозмірені на масу піона .

Чисельний розв’язок рівняння (17), отриманого в наближенні рівних знаменників, можна зіставити з результатами чисельних розрахунків різниці прогресії , що були отримані в третьому розділі (враховуючи, що у випадку парних ) незалежно від наближення рівних знаменників. Відповідне порівняння наведено на рис.7. Добре погодження результатів на рис.7 у широкому інтервалі енергій доводить коректність наближення (15).

У наближенні

(18) |

маємо наближений аналітичний розв’язок рівняння (17):

(19) |

Наближення (18) застосовно при не дуже великих значеннях , але при великих будемо мати . Тому конкретний вигляд наближення для функції (18) не має суттєвого значення. Це означає, що наближений розв’язок (19) може бути використаний в усьому інтервалі енергій. Порівняння наближеного розв’язку (19) з результатами чисельної максимізації наведено на рис.8.

Зауважимо, що наближений розв’язок (18) має точку розгалуження при граничному значенні , що визначається співвідношенням (10). Існування такої точки розгалуження є вимогою умов унтарності.

Далі аналогічно розглянуто аналітичний розв’язок задачі на екстремум для звуження амплітуди розсіяння (6) при непарній кількості частинок.

Рис. 7. Порівняння результатів чисельного розв’язку рівняння (17), отриманого в наближенні рівних знаменників (15), з результатами чисельного розрахунку величини (з врахуванням того, що ). Кружками показано результат чисельного розрахунку величини, а суцільною кривою – результат чисельного розв’язку рівняння (17) при (а) , (б), (в). | Рис.8. Порівняння наближеного розв’язку (18) (штрих-пунктирна лінія) з результатами чисельної максимізації (кружки) при:

(а), (б), (в). | Таким чином, існування точки умовного максимуму мультипериферичної амплітуди розсіяння за умови збереження енергії – імпульсу в непружному процесі, який розглядається, а також умовах масової поверхні, підтверджено як чисельними, так і аналітичними розрахунками. Значення амплітуди розсіяння в точці максимуму в наближенні рівних знаменників (15) може бути надано у вигляді:

(20) |

де у випадку парного , і у випадку непарного . Зростання величини з енергією , яке можна побачити з результатів наведених вище розрахунків (див., наприклад, (19)), визначає зростання значення амплітуди (20). Як уже відзначалося, це означає, що при розрахунку перерізів непружного розсіяння методом Лапласа у виразі для перерізу будемо мати множник, зростаючий з . Швидкість цього зростання, згідно з (20), збільшується з ростом . Тому виникає питання, чи буде цей множник зростати швидше, ніж зменшуються інші множники, що входять у вираз для перерізу і “працюють” на його зменшення.

З’ясування цього питання є метою наступного розділу.

В п’ятому розділі розглядається сукупність “розрізаних” діаграм які відповідають внескам в парціальні перерізи розсіяння з утворенням заданої кількості частинок. При цьому враховується, що повна мультипериферична амплітуда розсіяння є сумою доданків, які відповідають діаграмам таким як на рис.1, але із усіма можливими порядками приєднання частинок до діаграми. Наприклад, для випадку парціальний переріз надається сукупністю діаграм (рис. 9).

Для будь-якої кількості частинок (аналогічно рис.9) будемо мати суму “драбинної” діаграми (як перший доданок на рис.9) з “правильним” порядком приєднання частинок по обидва боки від “розрізу” та інших діаграм, які будемо називати “перехресними”.

Далі методом Лапласа знайдена залежність внеску “драбинної” діаграми в переріз непружного розсіяння з утворенням визначеної кількості вторинних частинок від енергії . У системі центра мас частинок і (рис.1) вираження для цього внеску має вигляд: |

(21) |

де знову виділені подовжні і поперечні до напрямку імпульсу в с.ц.м. компоненти імпульсів частинок у кінцевому стані. Цей напрямок обирається за напрямок вісі , а поперечні компоненти імпульсів паралельні до площини, яка проходить через вісі і . Які амплітуда розглядається функція, що зіставляється діаграмі рис.1, і виражається співвідношенням (2). За допомогою чотирьох - функцій у (21) проводиться інтегрування по всіх трьох компонентах тривимірного імпульсу і по подовжній компоненті . Переходячи від подовжніх компонентів імпульсів до бистрот за допомогою співвідношення , отримаємо інтеграл по наступних змінних: бистротах , що будуть позначені далі як , - компонентах поперечних імпульсів , що будуть позначені , відповідних - компонентах, що будуть позначені , а також поперечних компонентах імпульсу і , які позначатимуться відповідно як . Після таких перетворень вираження для амплітуди збігається з тим, що було досліджено на максимум у попередніх розділах. В окрузі цього максимуму функція , що визначається співвідношенням (3) і пов’язана з амплітудою розсіяння співвідношенням (2), замінюється на її гаусовське наближення:

(22) | де - значення амплітуди в точці максимуму, - значення незалежних змінних, при яких досягається максимум, - коефіцієнти другого порядку в розкладанні в ряд Тейлора в окрузі точки максимуму.

Для контролю за точністю наближення (22) використовувалися графіки функцій

(23)

які порівнювалися з графіками функцій , визначених формулою (9) (деякі з них наведені на рис.5). Типовий результат такого порівняння наведено на рис.10. Аналогічні порівняння для інших випадків свідчать про прийнятність гаусовского наближення (22)

Рис.10. Графіки функцій (- - -) і (—) для ГеВ (а,б) і ГеВ (в,г). Загальний план (а,в) і збільшений вид округи точки максимуму (б,г). |

Після застосування наближення (22) всі інші множники, окрім квадрата модуля амплітуди розсіяння, що входять під інтеграл (21), заміняються їхніми значеннями в точці максимуму. Отриманий в такий спосіб гаусовський інтеграл виражається через детермінант матриці , що входить у співвідношення (22). В результаті отримуємо такі вираження (всі величини обезрозмірені на ):

(24) |

(25) |

Детермінант розраховується чисельно. Результати розрахунків величини для деяких значень і показані в табл.1, з якої видно, що внески (24) на певних інтервалах енергії дійсно зростають. При цьому інтервал зростання зміщається убік більш великих енергій із зростанням .

Окрім того, із наведених у дисертації розрахунків видно що з енергією зростає і величина , яка може бути інтерпретована як “ширина” максимуму. Це є додатковим механізмом зростання перерізів окрім механізму зменшення віртуальностей.

Далі методом Лапласа чисельно розраховано перерізи утворення вторинних частинок в мультипериферичній моделі з врахуванням усіх “перехресних” діаграм як ті, що зображено на рис.9. При цьому для амплітуди, що відповідає лівій від “розрізу” частині діаграми, використано наближення (22), а для правої частини - те ж саме наближення, але з відповідною перестановкою змінних. Таким чином, маємо суму гаусовских інтегралів. Кожен з них обчислювався шляхом діагонализації квадратичної форми, що знаходиться в показнику експоненти. Через велику кількість розрахунків чисельні обчислення вдалося здійснити тільки для .

Для проведення обчислень величини надаються у вигляді

(26) | Окрім величин розраховувалася також величина

(27) | де константа , пов’язана з константою зв’язку співвідношенням (26), розглядалася як підгінний параметр (рис.11).

Рис.11. Результати розрахунків величин в інтервалі ГэВ (а,б,в). На рис.11г показано результат розрахунку величини (27) при . Таке значення вибиралося для досягнення схожості з експериментальною

залежністю повного перерізу від (д). Уздовж вісі ординат на всіх графіках крім рис.11г використано логарифмічний масштаб.З рис. 11 можна побачити, що на основне питання, яке було поставлене раніше про те, чи може механізм зменшення віртуальностей призвести до зростання повного перерізу розсіяння в мультипериферичній моделі в межах теорії збурень, можна дати позитивну відповідь. З рис.11а-в видно, що область значень енергії , якій відповідає позитивна похідна парціального перерізу по енергії, зміщується із зростанням вбік більших значень енергії. Тому невраховані внески в повний переріз, що відповідають , в інтервалі енергій, показаному на рис.11, будуть мати позитивні похідні і лише посилять зростання сумарного перерізу.

ВИСНОВКИ

На підставі проведених досліджень можна зробити наступні висновки:

1. Показано, що мультипериферична амплітуда розсіяння з точністю до константи є дійсною і позитивною величиною, яка має точку умовного максимуму за умови збереження енергії-імпульсу в непружному процесі, якому вона відповідає і умовах масової поверхні для частинок в кінцевому стані. Це дозволяє застосувати до розрахунку парціальних перерізів метод Лапласа, що є ефективним методом розрахунку непружних перерізів у межах мультипериферичної моделі.

2. Знайдено аналітичний та отримано чисельний розв’язок задачі на умовний максимум для мультипериферичної амплітуди розсіяння. Показано, що в с.ц.м. вихідних частинок максимум досягається при нульових значеннях поперечних компонентів імпульсів усіх частинок і бистротах, що утворюють арифметичну прогресію з різницею, яка логарифмічно зростає з і обернено – пропорційно зменшується з . Окрім того, залежність різниці від має граничну точку розгалуження, існування якої вимагається умовами унітарності. Цей результат є важливим з огляду на подальше знаходження амплітуди пружного розсіяння за допомогою умов унітарності.

3. Основною властивістю точки максимуму є зменшення віртуальностей частинок, що передають чотириімпульс уздовж “гребінки”, із зростанням енергії . Це наводить до висновку про існування в межах мультипериферичної моделі механізму зростання непружних перерізів, який не розглядався раніше.

4. Показано, що аналітично задача на умовний екстремум для мультипериферичної амплітуди може бути проаналізована за допомогою запропонованого в дисертації наближення рівних знаменників, яке дозволяє одержати результати, що добре погоджуються з результатами чисельних розрахунків.

5. Виявлений у роботі механізм зменшення віртуальностей забезпечує зростання повного перерізу розсіяння, що вимагається результатами експерименту. Додатковим механізмом зростання перерізів є збільшення “ширини” максимуму. Внаслідок того, що абсолютні величини віртуальностей можуть зменшуватися тільки до нуля із зростанням енергії, механізм зменшення віртуальностей “вимикається”, що призводить до того, що відповідні парціальні перерізи починають зменшуватися з ростом енергії . Запропонований метод розрахунку в перспективі можна використовувати для опису експериментальних даних по розсіянню адронів.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Русов В.Д., Зеленцова Т.М., Косенко С.І., Овсянко М.М., Шарф. І.В. Каскадна параметрізація розподілу за множинністю у непружних та взаємодіях в інтервалі енергій в с.ц.м. ГеВ. // Доповіді НАН України. – 2001. - № 5. - С. 61-66.

2. Rusov V.D., Zelentsova T.N., Kosenko S.I., Ovsyanko M.M., Sharf I.V. Cascade parametrization of multiplicsty distributions in inelastic and - interactions on energy interval in c.m.s. GeV. // Phys. Lett. - 2001, Vol. B504. – P. 213 – 217.

3. Rusov V.D., Sharf I.V. One – parameter cascade model of multiple hadrons production in inelastic hh – processes at high energies // Nucl. Phys. –2006. Vol. A764. – P. 460-475.

4. Sharf I.V., Rusov V.D. Mechanism of hadron inelastic scattering cross – section growth in the multiperipheral model within the framework of perturbation theory. // hep – ph/0605110.

5. Rusov V.D., Zelentsova T.N., Kosenko S.I., Ovsyanko M.M., Sharf I.V. Nature of fluctuations in inelastic hh – processes caused by multipomeron exchange and detection of anomalous KNO – scaling behavior at high energies. // Proc. of XXIX Intern. Symp. on Multiparticle Dynamics. – Providence (USA). – 1999. - P. 64-65.

6. Rusov V.D., Zelentsova T.N., Kosenko S.I., Ovsyanko M.M., Sharf I.V. KNO and Polakov’s multiplicity scaling in inelastic - colisions at superhigh energies // Proc. of XXХII Intern. Symp. on Multiparticle Dynamics – Alushta (Ukraine). – 2002. – P.10.

7. Sharf I.V., Rusov V.D. Mechanisms of hadron inelastic scattering cross – section growth in the multiperipheral model within the framework of perturbation theory // Proc. of Intern. Сonf. “Current Problems in Nuclear Physics and Atomic Energy”. – Kyiv (Ukraine). – 2006. – P. 113.

Шарф І.В. Механізми зростання перерізів непружного розсіяння адронів в мультипериферичній моделі в межах теорії збурень. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.16 – фізика ядра, елементарних частинок і високих енергій. – Одеський національний політехнічний університет, Одеса, 2006.

Дисертацію присвячено розрахунку перерізів непружного розсіяння із утворенням заданого числа вторинних частинок (парціальних перерізів) і повного переріза, як суми парціальних перерізів, в мультипериферичній моделі в межах теорії збурень методом Лапласа.

Запропоновано нове наближення, за допомогою якого аналітично розв’язано систему нелінійних рівнянь для знаходження точки умовного максимуму модуля мультипериферичної амплітуди розсіяння (за умови зберігання енергії-імпульсу та умовах масової поверхні для кожної частинки в кінцевому стані).

На основі чисельного та аналітичного аналізу властивостей умовного максимуму виявлено нові механізми зростання перерізів. Чисельно показано, що ці механізми можуть забеспечити зростання повного переріза, аналогічно тому, що спостерігається в експерименті.

Показано, що внесок в переізи інтерференційних доданків, які відповідають врахуванню діаграм зі всіма перестановками частинок в кінцевому стані є істотним.

Ключові слова: непружне розсіяння, мультипериферична модель, парціальні перерізи, зменшення віртуальностей, механізми зростання перерізів адрон – адронного розсіяння.

Sharf. I.V. Mechanism of hadron inelastic scattering cross-section growth in the multiperipheral model within the the framework of perturbation theory. – Manuscript.

Thesis for candidate’s degree of physical and mathematical sciences by speciality 01.04.16 – nucleus and elementary particles physics and high-energy physics. – Odessa National Polytechnic University, Odessa, 2006.

Thesis is devoted to computation by Laplace method of inelastic scattering cross-section with set number of secondary particle formation (partial cross-sections) and total cross –sections, as partial cross-sections sum, in the multiperipheral model within the framework of perturbation theory.

The new approximation, by which the system of nonlinear equations for constrained maximum point search of the modulus of multiperipheral scattering amplitude (under condition of the energy-momentum conservation and the conditions of the mass-shell for every particle in finite state) is analytically solved, is offered.

Based on numerical and analytical analysis of constrained maximum properties the new mechanisms of cross-section growth are discovered.

It is numerically shown that the discovered new mechanisms of growth of partial cross-section growth can ensure the total cross-section growth, which exists in the experiment.

It is shown that the contribution of interference items, which correspond to consideration of diagrams with all permutations of particles in the finite state, is substsntial.

Keywords: inelastic cross-section, multiperipheral model, partial cross-section, virtuality decrease, mechanisms of hadron-hadron cross-section growth.

Шарф И.В. Механизмы роста сечений неупругого рассеяния адронов в мультипериферической модели в рамках теории возмущений. – Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.16 – физика ядра, элементарных частиц и высоких энергий. – Одесский национальный политехнический университет, Одесса, 2006.

В диссертации рассматривается задача о расчете сечений неупругого рассеяния в рамках мультипериферической модели с помощью метода Лапласа, который используется для численного вычисления многомерных интегралов, посредством которых выражаются парциальные сечения.

Численно и аналитически показано, что квадрат модуля мультипериферической амплитуды рассеяния имеет условный максимум при условии, что четырехимпульсы, от которых зависит амплитуда рассеяния, связаны законом сохранения энергии – импульса в рассматриваемом неупругом процессе и подчинены