КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

ЧЕРНІКОВ Юрій Володимирович

УДК 519.21

Оцінка параметрів і перевірка статистичних

гіпотез у моделі спостережень Невзорова

01.01.05 — теорія ймовірностей і математична статистика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ — 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фіз. - мат. наук, професор

КУКУШ Олександр Георгійович,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка,

професор кафедри математичного аналізу.

Офіційні опоненти: доктор фіз. - мат. наук, професор

ЮРАЧКІВСЬКИЙ Андрій Павлович,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка,

професор кафедри математики і теоретичної

радіофізики.

кандидат фіз. - мат. наук

АРЯСОВА Ольга Вікторовна,

Інститут геофізики ім. Субботіна

Національної академії наук,

науковий співробітник.

Захист відбудеться 21 січня 2008 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.37 в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 01033, Київ, просп. Глушкова 6, корпус №7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (01033, м. Київ, вул Володимирська, 58).

Автореферат розісланий 17 грудня 2007р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Моклячук М.П.

АГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У різних сферах життя виникає необхідність дослідження і прогнозування випадкових процесів. Математики розробили різноманітні методики оцінювання і прогнозування таких процесів. Видано величезну кількість книг, статей і монографій, що так чи інакше стосуються цієї тематики. Переважну більшість цих теорій було розроблено для математичних моделей, у яких припускається, що спостереженнями є незалежні, однаково розподілені випадкові величини. Такі моделі дійсно описують багато реальних процесів, проте існує цілий ряд задач, у яких необхідно досліджувати величини незалежні, але неоднаково розподілені.

Цікавим і важливим підкласом таких задач є вивчення поведінки випадкових величин за наявності тренду. Під трендом тут можна розуміти динамічну зміну математичного сподівання або (за відсутності скінченного математичного сподівання) медіани спостережуваних випадкових величин. Такі задачи мають багато застосувань. Яскравим прикладом тому може служити страхова індустрія.

Особливий інтерес, зокрема в тій же сфері страхування, становить поєднання трендової моделі з теорією екстремальних значень. Річ у тім, що страхові і особливо перестраховочні компанії стикаються з проблемою оцінки можливих збитків по позовах від природних катастроф. Особливістю таких позовів є те, що з невеликою ймовірністю можливі дуже великі сумарні позови. Така особливість цих позовів зумовлюється “важким хвостом” розподілу, описуючого їх.

Мета і задачі дослідження.

1. Розробка механізму, який дає змогу обчислювати оцінку максимальної вірогідності параметра тренду в даних, коли спостереження є незалежними, але неоднаково розподіленими випадковими величинами, що описуються семіпараметричною моделлю Невзорова???????? ?.?. ? ????? ???????? ? ?????????????????? ??????????? ?????????????? ??????? // ? ??.: ????????????? ????????????? ? ?????????????? ??????????, —???????: ???, 1986, —?. 373-388..

2. Дослідження властивостей побудованої оцінки. Доведення конзистентності, асимптотичної нормальності і ефективності оцінки максимальної вірогідності.

3. Дослідження трипараметричної моделі, тобто комбінації семіпараметричної моделі і параметричної сім’ї розподілів Фреше як найбільш придатного представника сім’ї розподілів екстремального значення.

4. Вивчення властивостей оцінки максимальної вірогідності в трипараметричній моделі. Доведення конзистентності і асимптотичної нормальності оцінки максимальної вірогідності, а також асимптотичної ефективності оцінки максимальної вірогідності у схемі серій.

5. Побудова критеріїв згоди для перевірки відповідності моделей спостережуваним даним.

6. Побудова критерію згоди в нелінійній моделі регресії, заданій першими і другими умовними моментами.

7. Перевірка побудованої теорії, а також вивчення різних аспектів поведінки оцінок максимальної вірогідності в семіпараметричній і трипараметричній моделях за допомогою моделювання.

8. Демонстрація використання побудованої теорії для вирішення практичних задач у страхуванні.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації включена в план наукових досліджень кафедри математичного аналізу механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка на 1999 — 2002 роки.

Наукова новизна одержаних результатів. Наукову новизну дисертаційної роботи складають такі результати:

1. Розроблено механізм, що дає змогу обчислювати оцінку максимальної вірогідності параметра тренду в даних, коли спостереження є незалежними, але неоднаково розподіленими випадковими величинами, що описуються семіпараметричною моделлю Невзорова.

2. Досліджено властивості побудованої оцінки. Доведено конзистентність, асимптотичну нормальність і асимптотичну ефективність оцінки максимальної вірогідності.

3. Досліджено трипараметричну модель — комбінацію семіпараметричної моделі і параметричної сім’ї розподілів Фреше.

4. Вивчено властивості оцінки максимальної вірогідності в трипараметричній моделі. Доведено конзистентність і асимптотичну нормальність оцінки максимальної вірогідності, а також асимптотичну ефективність оцінки максимальної вірогідності у схемі серій.

5. Запропоновано нові підходи до перевірки адекватності моделі результатам статистичних спостережень і доведено теореми, що дозволяють будувати процедури такої перевірки для різних класів моделей. За допомогою цих результатів побудовано критерій згоди для перевірки узгодженості трипараметричної моделі із спостережуваними даними.

6. Побудовано критерій згоди в нелінійній моделі регресії, заданій першими і другими умовними моментами.

Практичне значення одержаних результатів. Протягом останніх десятиріч в усьому світі обсяг страхових позовів, поданих для відшкодування збитків від природних катастроф, дуже сильно зріс. Цей феномен можно пояснити як економічними факторами (зростання рівня інфляції, збільшення страхових внесків), так і впливом факторів зовнішнього середовища. Останнім часом було запропоновано багато різних моделей, що намагалися описати зростання обсягів позовів, але на даний момент це питання, особливо у сфері перестрахування, залишається недостатньо розробленим.

Д. ПфайферPfeifer D. A statistical model to analyse natural catastrophe claims by mean of record values // Proceedings of the 28 International ASTIN Colloquium, Cairns, Australia (10-12 August, 1997). —The Institute of Actuaries of Australia, 1997. запропонував застосувати модель рекордів Невзорова для описання страхових позовів від природних катастроф, оскільки вона дозволяє оцінити параметр тренду і побудувати прогноз обсягу страхових позовів. Цей підхід дав дуже плідні результати і використовується деякими страховими компаніями Німеччини.

У даній роботі здійснено теоретичне вивчення запропонованого Пфайфером підходу. Встановлена асимптотична нормальність оцінок дозволяє побудувати асимптотичні довірчі інтервали і області для параметрів моделі, що уможливлює інтервальне прогнозування середніх збитків від катастроф. Перевірка адекватності моделі дозволяє уточнити вибрану статистичну модель спостережень, що дає точніший прогноз.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались на наступних конференціях:*

VIII Міжнародна наукова конференція імені М. Кравчука, Київ, 2000;*

Міжнародна школа “International School on Mathematical and Statistical Applications in Economics”, Вастерос, Швеція, 2001;*

Український математичний конгрес. Міжнародна конференція “ Stochastic Analysis and its Applications”, Львів, 2001;*

Міжнародна конференція “Функціональні методи в теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі і статистиці”, Київ, 2001;*

Міжнародна конференція “Computer Data Analysis and Modeling”, Мінськ, Білорусія, 2004.

Також результати дисертації презентувались на наступних семінарах:*

Семінар у відділі випадкових процесів Інституту математики НАН України (Київ);*

Семінар у відділі стохастичної оптимізації Інституту кібернетики НАН України (Київ);*

Семінар з теорії ймовірностей і математичної статистики в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка;*

Семінар з теорії ймовірностей і математичної статистики в Київскому національному технічному університеті "КПІ".

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в статтях [1 — 5], серед яких 3 статті в наукових періодичних фахових журналах і 2 роботи в працях міжнародних наукових конференцій. Із цих праць три написані в співавторстві з О.Г. Кукушем і дві — у співвторстві з О.Г. Кукушем та Д. Пфайфером.

Особистий внесок здобувача. Науковому керівникові О.Г. Кукушу належить постановка задачі. Професору Д. Пфайферу належить інтерпретація результатів з точки зору перестраховочної практики. Доведення результатів і моделювання виконав здобувач.

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота викладена на 136 сторінках і складається із вступу, основної частини обсягом 78 сторінок, висновків і списку літератури. Список літератури налічує 107 джерел.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У даній дисертаційній роботі вивчається наступна модель. Розглядається послідовність незалежних випадкових величин з функціями розподілу виду , де — невідомий параметр, званий параметром тренду, а — невідома неперервна функція розподілу. Параметр підлягає оцінюванню. Таку модель ми називатимемо семіпараметричною.

В індустрії перестрахування дані спостережень за позовами від природних катастроф показують, що можливий тренд даних має експоненційний тип, тому в цій дисертаційній роботі розглядається комбінація моделі рекордів Невзорова і параметричного класу розподілів Фреше. А саме, ми вважаємо, що функція розподілу -го члена послідовності випадкових величин при задається рівністю

(1)

Тут — параметр масштабу, — параметр форми і — параметр тренду. Усі ці параметри підлягають оцінюванню. Будемо називати таку модель трипараметричною моделлю.

Перший розділ дисертації містить огляд наукових робот, присвячених послідовностям неоднаково розподілених випадкових величин, зокрема моделі рекордів. Крім того, висвітлено деякі підходи до вивчення збитків унаслідок природних катастроф у світі. Також у цьому розділі дано опис досліджуваних моделей і огляд основних результатів дисертації.

Другий розділ містить доведення всіх результатів дисертації. Підрозділ 2.1 містить результати, які стосуються семіпараметричної моделі. Нехай є семіпараметричною оцінкою максимальної вірогідності істинного значення параметра .

Теорема 1 З імовірністю 1, починаючи з деякого випадкового номера , функція вірогідності досягає свого максимуму на проміжку .

Теорема 2 Оцінка максимальної вірогідності строго конзистентна, тобто майже напевно.

Теорема 3 Нехай . Тоді оцінка максимальної вірогідності асимптотично нормальна, а саме, знормована оцінка збігається за розподілом до нормального закону з середнім 0 і дисперсією .

Також дуже важливим результатом є асимптотична ефективність оцінки. Ми будемо розглядати ефективність у розумінні меж Гаєка????????? ?.?., ??????????? ?.?. ??????????????? ?????? ?????????? // —?., ?????, 1979. —528 ?. і будемо оперувати функціями збитків , що задовольняють наступні умови:

а) невід’ємна, , неперервна в нулі;

б) парна;

в) не спадає при ;

г) при функція зростає повільніше за будь-яку з функцій , .

Позначимо через стандартну гаусову випадкову величину.

Теорема 4 Нехай . Тоді для будь-якої послідовності оцінок параметра , побудованих за спостереженнями , і для будь-якої функції збитків виконується нерівність:

(2)

Теорема 5 Нехай , а функція — обмежена і неперервна майже скрізь відносно міри Лебега. Тоді

(3)

Нерівність () визначає нижню межу для збитків від неточного оцінювання довільної знормованої оцінки. Теорема показує, що для обмежених функцій збитків рівність в () досягається для семипараметричної оцінки максимальної вірогідності. Таким чином, оцінка максимальної вірогідності має найменші можливі граничні середні збитки від неточного оцінювання.

У підрозділі 2.2 вивчається трипараметрична модель. Нехай вектор — оцінка максимальної вірогідності істинних значень вектора параметрів . Позначимо .

Теорема 6 З імовірністю 1, починаючи з деякого випадкового номера , оцінка максимальної вірогідності існує і є строго конзистентною. Більше того,

Позначимо

(4)

(5)

— стала Ойлера.

Теорема 7 Якщо , то оцінка максимальної вірогідності асимптотично нормальна, а саме, розподіл знормованої оцінки

збігається до стандартного нормального.

Позначимо

(6)

Наслідок 8 В умовах теореми розподіл знормованої оцінки

збігається до стандартного нормального. Тут матриця задається рівністю ().

Цей результат можна застосовувати до прогнозу обсягу страхових позовів. Позначимо

Це послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин зі стандартною функцією розподілу Фреше . Спостереження можна подати у вигляді

Якщо , то спостереження мають нескінченне математичне сподівання. Тому в цьому випадку ми тлумачимо тренд як зростання медіани . Прогнозом обсягів позовів для року з номером буде величина

(7)

(8)

Від трипараметричної моделі спостережень ми переходимо до трипараметричної моделі в схемі серій. В останній спостереження незалежні, причому має функцію розподілу

(9)

Тут і — невідомі параметри моделі. Для такої моделі також доведено асимптотичну ефективність оцінки.

Будемо розглядати борелеві функції збитків від трьох змінних , які задовольняють наступні умови:

а) невід’ємна на , неперервна в нулі;

б) ;

в) для кожного множина опукла;

г) при функція зростає повільніше за будь-яку з функцій .

Тут і надалі розглядається тільки евклідова норма в просторі . Позначимо через стандартний гаусів випадковий вектор в .

Теорема 9 Нехай

(10)

Тоді для будь-якої сім’ї оцінок вектора , побудованих за спостереженнями , і будь-якої функції збитків має місце нерівність:

де

а матриця означена рівністю ().

Теорема 10 Нехай виконано умови (), а функція обмежена, вимірна за Борелем і неперервна майже скрізь за мірою Лебега, і нехай

Тоді для оцінки максимальної вірогідності виконується

Як бачимо, оцінка максимальної вірогідності в схемі серій має асимптотично найменші можливі середні збитки.

У випадку однаково розподілених спостережень класичною задачею статистики є перевірка гіпотези про приналежність вибірки даній параметричній сім’ї розподілів. Проте ми вивчаємо статистичні моделі з неоднаково розподіленими спостереженнями. Тому виникає потреба в спеціальній процедурі перевірки таких гіпотез. Ми називатимемо перевірку таких гіпотез критерієм згоди з моделлю.

Підрозділ 2.3 присвячений побудові і вивченню критеріїв згоди з різними моделями.

Нехай — довільна внутрішня точка вимірної за Лебегом множини , а — строго конзистентна оцінка параметра . Розглянемо випадковий функціонал , на імовірнісному просторі з траєкторіями, приналежними , — простору функцій , неперервно диференційовних у деякому околі множини . Нехай м.н. зрештою виконується: для всіх , тобто оцінка задана за допомогою цільової функції . Припустимо також, що з -імовірністю 1 рівномірно збігається до невипадкового граничного функціонала на будь-якій компактній підмножині , причому і в усіх внутрішніх точках множини і для всіх . Тут означає простір неперервно диференційовних на функцій.

Теорема 11 Нехай для фіксованої внутрішньої точки множини виконано наступні умови:

1) , де — випадкова величина, — випадковий вектор в ;

2) за імовірністю , де — невироджена невипадкова матриця;

3) для будь-якого

Тоді , де .

Користуючись цією теоремою, ми доводимо наступну теорему, на якій базується критерій згоди для трипараметричного випадку.

Позначимо , . Знову, як і в теоремі , переходимо від трипараметричної моделі спостережень до трипараметричної моделі в схемі серій (). Оцінку максимальної вірогідності позначимо, як і раніше, ; — це знормований логарифм функції вірогідності,

а — граничний функціонал,

Теорема 12 У трипараметричній моделі у схемі серій з

— стала Ойлера.

Наслідок 13 За умов теореми

Наслідок застосовується для побудови критерію згоди. В трипараметричній моделі в схемі серій ми відхиляємо гіпотезу про істинність моделі з , якщо , де є -квантиллю нормального закону, тобто .

У підрозділі 2.4 виводиться процедура побудови критерію згоди в наступній моделі.

Нехай — випадкові величини, для яких

(11)

— компактна множина. Розподіл вважаємо відомим. Нехай , — незалежні реалізації моделі. Подібна модель спостережень називається mean-variance model Carroll R.J., Ruppert D., Stefanski L.A., Grainiceanu C.M Measurement Error in Nonlinear Models: A Modern Perspective // 2nd ed. Chapman & Hall / CRC, 2006 (скорочено MV модель). Такі моделі виникають при розгляді регресії з похибками у змінних. Оцінка квазі-максимальної вірогідності (quasi-likelihood estimator) будується за допомогою оціночної функції

(12)

Тут і далі нижній індекс означає утворення вектора-стовпця частинних похідних по . Оцінка вводиться як вимірний розв’язок системи рівнянь

(13)

Вважається, що істинне значення належить множині внутрішніх точок . За загальних умов регулярності система рівнянь () має роз’язки при з імовірністю 1; якщо () має розв’язок, то задовольняє (), якщо ж () не має розв’язків, то покладаємо , де — довільна фіксована точка. Таким чином, випадковий вектор з імовірністю 1 задовольняє () при .

Позначимо

Нехай

(14)

Тут означає математичне сподівання за умови, що вектор має розподіл з параметром . Позначимо

(15)

Теорема 14 Нехай вектор і задовольняє наступну умову:

(16)

Тоді

(17)

де

(18)

(19)

Нехай — це -квантиль -розподілу, тобто тут -рівень довіри; зазвичай . Критерій згоди формулюється так. Якщо , то ми не відкидаємо гіпотезу про модель (). В супротивному випадку, тобто при , ми відкидаємо цю гіпотезу.

Третій розділ присвячений моделюванню і обробці реальних даних. У підрозділі 3.1 представлено результати моделювання, що ілюструють теоретичні результати дисертаційної роботи. Нарешті, підрозділ 3.2 містить дані щодо різних природних катастроф і аналіз їх у контексті запропонованих моделей.

ВИСНОВКИ

У даній роботі було вивчено модель рекордів Невзорова. У рамках роботи було використано два підходи: в семіпараметричному випадку функція розподілу може бути довільною, тоді як у трипараметричному випадку за базову функцію розподілу вибрано функцію розподілу Фреше. Усі одержані результати не є прямими наслідками загальних властивостей оцінок максимальної правдоподібності, тому що розглянута модель включає неоднаково розподілені спостереження.

Результатом дисертаційної роботи є наступне:

1. Розроблено механізм, що дає змогу обчислювати оцінку максимальної вірогідності параметра тренду в даних, коли спостереження є незалежними, але неоднаково розподіленими випадковими величинами, що описуються семіпараметричною моделлю. Досліджено властивості побудованої оцінки. Доведено конзистентність, асимптотичну нормальність і ефективність оцінки максимальної вірогідності.

2. Досліджено трипараметричну модель, що є комбінацією семіпараметричної моделі і параметричної сім’ї розподілів Фреше. Вивчено властивості оцінки максимальної вірогідності в трипараметричній моделі. Доведено конзистентність і асимптотичну нормальність оцінки максимальної вірогідності, а також асимптотичну ефективність оцінки максимальної вірогідності у схемі серій.

3. Побудовано критерій згоди для перевірки узгодженості трипараметричної моделі у схемі серій зі спостереженими даними.

4. Побудовано критерій згоди в нелінійній моделі регресії, заданій першими і другими умовними моментами.

5. За допомогою моделювання вивчено різні аспекти поведінки оцінок максимальної вірогідності в семіпараметричній і трипараметричній моделях, а також продемонстровано використання побудованої теорії для вирішення практичних задач у страхуванні.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Chernikov Y.V. Maximum likelihood estimators in a statistical model of natural catastrophe claims with trend // Proceedings of the Seventh International Conference Computer Data Analysis and Modeling. —Minsk, 2004. — V.2. — P. 127-130.

2. Kukush A.G., Chernikov Y.V. Goodness-of-fit test in Nevzorov’s model // Theory of Stoch. Proc. — 2001. —7(23), 1-2. — P. 203-214.

3. Kukush A.G., Chernikov Y.V. Efficiency of maximum likelihood estimators in Nevzorov’s record model // Український математичний конгрес. Теорія ймовірностей і математична статистика, Секція 9. — К., 2002. — P. 85-93.

4. Kukush A.G., Chernikov Y.V., Pfeifer D. Maximum likelihood estimators in a statistical model of natural catastrophe claims // Вісник Київського університету. Серія: Фізико-математичні науки. — К., 2002. N5. — P. 75-82.

5. Kukush A., Chernikov Yu., Pfeifer D. Maximum likelihood estimators in a statistical model of natural catastrophe claims with trend // Extremes. — 2004. — 7, N4. —P. 309-337.

АНОТАЦІЇ

Черніков Ю.В. Оцінка параметрів та перевірка статистичних гіпотез в моделі спостережень Невзорова. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальності 01.01.05 — теорія ймовірностей і математична статистика. — Київський національний університет імені Тараса Шевченка, 2007.

У роботі досліджено модель рекордів Невзорова з використанням двох підходів: у семіпараметричному випадку функція розподілу може бути довільною, тоді як у трипараметричному випадку за базову функцію розподілу вибрано функцію розподілу Фреше. Одержані результати не є прямими наслідками загальних властивостей оцінок максимальної вірогідності, тому що в розглянутій моделі спостереження не є однаково розподіленими.

Для оцінок максимальної вірогідності в обох досліджених моделях доведено конзистентність, асимптотичну нормальність і асимптотичну ефективність. Для трипараметричної та для MV моделей (mean-variance models) побудовані критерії згоди, що дозволяють визначити, чи описуються спостережувані дані цими моделями.

Одержані результати становлять як теоретичний, так і практичний інтерес. У роботі були одержано нові результати для досить загальної статистичної задачі. Доведено асимптотичні властивості оцінки максимальної вірогідності у двох досліджуваних моделях (конзистентність, асимптотична нормальність, ефективність). Також побудовано критерії згоди моделі зі статистичними даними при різних методах підрахунку оцінки і при доволі загальних умовах. Для трипараметричної моделі (у схемі серій) побудовано конкретну процедуру, що дозволяє перевірити відповідність цієї моделі спостережуваним даним.

Ключові слова: модель Невзорова, MV модель, рекордні величини, оцінка максимальної вірогідності, конзистентність, асимптотична нормальність, асимптотична ефективність, критерій згоди.

Черников Ю.В. Оценка параметров и проверка статистических гипотез в модели наблюдений Невзорова. — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика. — Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, 2007.

В работе изучалась модель рекордов Невзорова с использованием двух подходов: в семипараметрическом случае функция распределения может быть произвольной, тогда как в трехпараметричном случае в качестве базовой функции распределения выбрана функция распределения Фреше. Все полученные результаты не являются прямыми следствиями общей теории оценок максимального правдоподобия, потому что в рассмотренных моделях наблюдения не одинаково распределены.

Для оценок максимального правдоподобия в обеих изученных моделях были доказаны состоятельность, асимптотическая нормальность и асимптотическая эффективность. Для трехпараметричной и для MV моделей построены критерии согласия наблюдаемым данным, которые позволяют определить, описываются ли наблюдаемые данные этими моделями, или нет.

Полученные результаты имеют как теоретический, так и практический интерес. В работе были получены новые результаты для достаточно общей статистической задачи. Доказаны асимптотические свойства оценки максимального правдоподобия в двух исследуемых моделях (состоятельность, асимптотическая нормальность, асимптотическая эффективность). Также построена теория критерия согласия статистических данных с моделью при разных методах подсчета оценки и при достаточно общих условиях. Для трехпараметрической модели (в схеме серий) была построена конкретная процедура, позволяющая проверить соответствие этой модели наблюдаемым данным.

Ключевые слова: модель Невзорова, MV модель, оценка максимальной правдоподобности, состоятельность, асимптотическая нормальность, асимптотическая эффективность, критерий согласия.

Chernikov Y.V. Parameters estimation and test of statistical hypothesis in the Nevzorov’s model of observations.

The thesis is for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the specialty 01.01.05 — Probability Theory and Mathematical Statistics. Kyiv National Taras Shevchenko University, 2007.

The Nevzorov’s model is studied. Within the scope of the work, two approaches were used. In the semiparametric case the distribution function is not specified, while in the three-parameter case the Freсhйt distribution function is chosen as a base function of the distribution function. All the obtained results cannot be obtained as a direct consequences of general maximum likelihood estimators theory, because the considered model includes non-i.i.d. observations.

In both studied models, the consistency, asymptotic normality and asymptotic efficiency are proved for the maximum likelihood estimator. For the three-parametrer and MV models, the goodness-of-fit test is constructed, which allows to check whether or not the observed data fit these models.

Key words: Nevzorov’s model, MV model, maximum likelihood estimator, consistency, asymptotic normality, asymptotic efficiency, goodness-of-fit test.