Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

ГНАТІВ Любомир Богданович

УДК 519.6

Триточкові різницеві схеми високого порядку точності

для систем нелінійних звичайних диференціальних

рівнянь другого порядку

01.01.07 – обчислювальна математика

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів – 2007

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі обчислювальної математики та програмування в Національному університеті „Львівська політехніка”

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук, доцент

Кутнів Мирослав Володимирович,

Національний університет „Львівська політехніка”,

доцент кафедри прикладної математики.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Сявавко Мар’ян Степановича,

Львівський національний університет імені Івана Франка,

професор кафедри інформаційних систем в менеджменті,

доктор фізико-математичних наук, професор

Недашковський Микола Олександрович,

Тернопільський національний економічний університет,

завідувач кафедри автоматизованих систем та

програмування.рпрпандидат едри прикладної математики

Провідна установа: Інститут математики НАН України (відділ обчислювальної

математики), м. Київ.математикандидат фізико-математичних наук, доцентфедри прикладної математики

Захист відбудеться 22 лютого о 15 год. 30 хв. на засіданні спеціалізованої вченої ради К 35.051.07 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (м. Львів, вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розісланий „  ” січня 2007 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Остудін Б.А

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Крайові задачі для звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР) описують задачі руху системи взаємодіючих матеріальних точок, опору матеріалів (наприклад, статичний прогин пружного стержня), теорії оболонок, біофізики тощо. Багато важливих задач для рівнянь з частинними похідними також зводяться до крайових задач для ЗДР, наприклад, в результаті застосування методу розділення змінних або якщо розв’язок задач для рівняння з частинними похідними залежить тільки від деякої комбінації змінних (так званий автомодельний розв’язок). Таким чином, розв’язок крайових задач для ЗДР займає важливе місце серед прикладних задач фізики, хімії і техніки. Знайти точний розв’язок крайової задачі в елементарних функціях вдається рідко: для цього треба знайти загальний розв’язок системи нелінійних диференціальних рівнянь і явно визначити з крайових умов значення сталих, які в нього входять. В більшості випадків знайти розв’язок крайової задачі можна за допомогою чисельних методів, зокрема за допомогою методу скінченних різниць (різницевих схем).

Точні триточкові різницеві схеми та їх алгоритмічна реалізація через триточкові різницеві схеми довільного порядку точності для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку, права частина яких не містить похідної, побудовано та обгрунтовано у роботах В.Л. Макарова, О.А. Самарського та М.В. Кутніва. У працях І.П. Гаврилюка, М. Германа, М.В. Кутніва і В.Л. Макарова для систем звичайних диференціальних рівнянь першого порядку запропоновано точні двоточкові різницеві схеми та двоточкові різницеві схеми довільного порядку точності, однак оцінку точності отримано лише за припущення малості сталої Ліпшиця. Тому важливою є задача побудови та обгрунтування триточкових різницевих схем високого порядку точності для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку та їх систем з похідною в правій частині та великими сталими Ліпшиця.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертаційної роботи відповідає напрямку досліджень кафедри прикладної математики Національного університету “Львівська політехніка”, держбюджетна тема “Розробка теорії гіллястих ланцюгових дробів, побудова чисельних методів, аналітичних методів розв’язування диференціальних рівнянь” (Міністерство освіти і науки України, номер державної реєстрації – 0104U002325).

Мета і задачі дослідження.

Об’єктом дослідження у дисертаційній роботі є нелінійні крайові задачі для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з похідною у правій частині.

Предметом дослідження є:

1) точні триточкові різницеві схеми для систем нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку;

2) усічені триточкові різницеві схеми для систем нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку.

Як методи досліджень у дисертаційній роботі використовуються методи теорії різницевих схем, звичайних диференціальних рівнянь та функціонального аналізу.

Метою досліджень є побудова та обгрунтування точних триточкових різницевих схем та триточкових різницевих схем довільного порядку точності на нерівномірній сітці. Для цього необхідно розв’язати такі задачі:

1. Дослідити існування та єдиність розв’язків нелінійних крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку та їх систем.

2. Побудувати точні триточкові різницеві схем для скалярних та векторних крайових задач.

3. Дослідити існування та єдиність розв’язку точних триточкових різницевих схем.

4. Розробити алгоритмічну реалізацію точних триточкових різницевих схем через усічені триточкові різницеві схеми.

5. Дослідити існування та єдиність розв’язку усічених триточкових різницевих схем, встановити оцінки їх точності.

6. Перевірити різницеві схеми на тестових прикладах та підтвердити теоретичні висновки.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі отримано такі нові результати:

1. Знайдено достатні умови існування та єдиності розв’язків нелінійних крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку та їх систем.

2. Поширено точні триточкові різницеві схеми на випадок нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку та їх систем з похідною в правій частині.

3. Отримано умови існування та єдиності розв’язку точних триточкових різницевих схем, доведено збіжність методу простої ітерації для знаходження їх розв’язку.

4. Розроблено ефективну алгоритмічну реалізацію точних триточкових різницевих через усічені триточкові різницеві схеми.

5. Доведено існування та єдиність розв’язку усічених триточкових різницевих схем, встановлено оцінки їх точності.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має теоретичний характер, її результати є внеском в теорію різницевих схем. Побудовано триточкові різницеві схеми високого порядку точності чисельного розв’язування нелінійних крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку. На основі отриманих у роботі результатів розроблено алгоритми і програми для чисельного розв’язування нелінійних крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку та їх систем.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертаційної праці отримані автором самостійно. У роботах опублікованих спільно з М.В. Кутнівом, науковому керівнику належить формулювання задачі та аналіз результатів, здобувачеві – доведення існування та єдиності розв’язку крайової задачі, побудова та обгрунтування точної триточкової схеми, доведення збіжності ітераційного методу послідовних наближень її розв’язування, розробка алгоритмічної реалізації через усічені триточкові різницеві схеми довільного порядку точності, оцінка точності усіченої триточкової різницевої схеми, доведення збіжності ітераційного методу їх розв’язування.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались та обговорювались на

· науковому семінарі Інституту математики НАН України (кер. академік НАН України І.О. Луковський, чл.-кор. НАН України В.Л. Макаров, 2005 р.);

· наукових семінарах кафедри обчислювальної математики та програмування (Національний університет “Львівська політехніка”, 2002 – 2006 р.);

· міжнародній конференції “Проблеми чисельного аналізу і прикладної математики” (м. Львів, 2004 р.);

· міжнародній математичній конференції ім. В.Я. Скоробогатька (м. Дрогобич, 2004 р.);

· всеукраїнській науковій конференції “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” (м. Львів, 2002 – 2003 р.);

· щорічних наукових конференціях професорсько-викладацького складу Інституту прикладної математики та фундаментальних наук Національного університету “Львівська політехніка”.

Публікації. Основні результати досліджень дисертаційної роботи опубліковані в 4 фахових виданнях з переліку ВАК України, і додатково у 6 тезах конференцій.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг роботи – 138 сторінок, основний текст роботи викладено на 126 сторінках. Список використаних джерел налічує 130 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність вибраної тематики, відображено зв’язок роботи з науковими програмами та темами, сформульовано предмет та мету досліджень, визначено наукову новизну роботи і практичне значення отриманих результатів, наведено відомості з апробації роботи та про публікації за темою дисертації.

У першому розділі дисертаційної роботи здійснено огляд стану проблем за темою дисертаційної роботи. Досліджено підходи до побудови точних триточкових різницевих схем (ТТРС) та їх алгоритмічної реалізації через усічені триточкові різницеві схеми (ТРС) для лінійних та нелінійних скалярних та векторних крайових задач для ЗДР другого порядку. Висвітлено проблеми та недоліки даних підходів. Для монотонних скалярних та векторних нелінійних крайових задач ТРС високого порядку точності були побудовані та обгрунтовані для ЗДР другого порядку, права частина яких не залежить від похідної.

У другому розділі для нелінійних монотонних ЗДР другого порядку з крайовими умовами 1-го роду на нерівномірній сітці побудовано точну триточкову різницеву схему, досліджено існування та єдиність її розв’язку. Крім того, розроблено алгоритмічну реалізацію ТТРС через ТРС рангу (ціле додатнє, ціла частина), доведено існування та єдиність розв’язку таких схем, встановлено оцінки їх точності.

У підрозділі 2.1 за допомогою методу монотонних операторів знайдено достатні умови існування та єдиності розв’язку нелінійної крайової задачі

(1)

Функцію будемо називати слабким розв’язком задачі (1), якщо і ви-ко---ну-єть-ся співвідношення

Достатні умови існування та єдиності cлабкого розв’язку задачі (1) дає

Теорема 2.1. Нехай виконуються умови

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

тоді задача (1) матиме єдиний розв’язок , причому

Тут сталі, клас функцій з кусково-неперервними похідними до го порядку включно зі скінченним числом точок розриву першого роду.

Зазначимо, що крайову задачу (1) можна звести до крайової задачі для систем ЗДР 1-го порядку, однак при цьому отримана система рівнянь першого порядку втрачає властивість монотонності.

У підрозділі 2.2 побудовано точну триточкову різницеву схему для задачі (1).

Виберемо на інтервалі (0,1) нерівномірну сітку так, щоб точки розриву функцій збігалися з вузлами сітки. Множину всіх точок розриву позначимо через і припустимо, що таке, що. Будемо вважати, що в точках розриву задовольняються умови неперервності

Розглянемо крайові задачі

(7)

Лема 2.1. Нехай виконані умови теореми 2.1, тоді задачі (7) мають єдиний розв’язок, причому для розв’язку крайової задачі (1) буде справджуватись зображення

(8)

Теорема 2.2. Нехай виконані умови теореми 2.1, тоді для задачі (1) існує ТТРС

(9)

яка має єдиний розв’язок, що є також розв’язком задачі (1) в вузлах сітки , де

функція в правій частині (9) визначається згідно з формулою (8) і залежить тільки від.

У підрозділі 2.3 для знаходження розв’язку ТТРС (9) застосовується метод простої ітерації.

У просторі сіткових функцій введемо скалярні добутки

та норми

Лема 2.2. Нехай виконані умови теореми 2.1 і

тоді ітераційний метод

(10)

з

збігається в енергетичному просторі і для похибки має місце оцінка

(11)

де

У підрозділі 2.4 розроблено алгоритмічну реалізацію ТТРС. Перш за все зазначимо, що праву частину (9) можна записати у вигляді

де є розв’язками задач Коші

(12)

(13)

Оскільки знайти точні розв’язки задач Коші (12), (13) в загальному випадку не можна, то будемо їх знаходити чисельно за допомогою будь-якого однокрокового методу, тоді отримаємо триточкову різницеву схему рангу :

(14)

,

,

де апроксимують значення з порядком точності а апроксимує значення з порядком точності

Теорема 2.3. Нехай виконані умови теореми 2.1 та умови

.

Тоді таке, що і ТРС (14) матиме єдиний розв’язок, точність якого характеризується оцінкою

де

стала не залежить від .

Для знаходження розв’язку ТРС (14) використовувався метод простої ітерації.

Теорема 2.4. Нехай виконані умови теореми 2.3. Тоді

таке, що,

,

ітераційний метод

(15)

з збігається і для похибки має місце оцінка

(16)

де

стала не залежить від

У підрозділі 2.5 проведено ряд чисельних експериментів, які підтверджують ефективність запропонованого підходу, розглядалось 5 тестових задач.

Приклад 2.1. Розглянемо крайову задачу

(17)

(18)

з точним розв’язком

Для чисельного розв’язання задачі (17), (18) використовувалась ТРС 6-го порядку точності, задачі Коші (12) розв’язувалися за допомогою методу Рунге-Кутта 6-го порядку точності. Результати розрахунків задачі на рівномірній сітці наведені в табл. 2.1. Для практичної оцінки швидкості збіжності використано величини

.

Таблиця 2.1. Чисельні результати розв’язування задачі (17), (18), отримані за допомогою ТРС 6-го порядку точності.

N | er | p

4 | 0,6972. 10-8

8 | 0,1099. 10-96.0

16 | 0,1723. 10-116.0

У третьому розділі результати другого розділу узагальнюються на випадок крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь другого порядку

(19)

де задані, а шуканий вектор.

У підрозділі 3.1 знайдено достатні умови існування та єдиності розв’язку задачі (19).

Теорема 3.1. Нехай матриця і вектор-функція задовольняють умови

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

тоді задача (19) матиме єдиний розв’язок причому

Тут скалярний добуток в норма вектора, сталі.

У підрозділі 3.2 доведено існування ТТРС для задачі (19). По аналогії зі скалярним випадком введемо нерівномірну сітку так, щоб точки розриву матриці та вектор-функції збігалися з вузлами сітки. У точках розриву розв’язок та потік задовольняють умови неперервності

Розглянемо крайові задачі

(25)

Лема 3.1. Нехай виконані умови теореми 3.1, тоді задачі (25) мають єдиний розв’язок, причому для розв’язку крайової задачі (19) буде справджуватись зображення

(26)

Теорема 3.2. Нехай виконані умови теореми 3.1, тоді для задачі (19) існує ТТРС

(27)

яка має єдиний розв’язок, що є також розв’язком задачі (19) в вузлах сітки , де

функція в правій частині (27) визначається згідно з формулою (26) і залежить тільки від.

У підрозділі 3.3 доведено збіжність та встановлено оцінку точності методу простої ітерації розв’язування ТТРС (27).

Підрозділ 3.4 присвячено алгоритмічній реалізації ТТРС (27). Праву частину ТТРС (27) запишемо у вигляді

де розв’язки векторних задач Коші

(28)

а розв’язки матричних задач Коші

(29)

які будемо знаходити чисельно будь-яким однокроковим методом. Тоді ТТРС замінимо на ТРС рангу

(30)

Tеорема 3.3. Нехай виконані умови теореми 3.1 і

тоді таке, що і ТРС (30) матиме єдиний розв’язок, точність якого характеризується оцінкою

(31)

,

де

стала не залежить від .

У підрозділі 3.4 доведено збіжність методу простої ітерації для знаходження розв’язку різницевої схеми (30).

Tеорема 3.4. Нехай виконані умови теореми 3.3. Тоді

таке, що,

ітераційний метод

(32)

з збігається, і для похибки має місце оцінка

(33)

де

стала не залежить від.

У підрозділі 3.5 проведено чисельні експерименти.

Приклад 3.1. Розглянемо крайову задачу

(34)

(35)

точний розв’язок якої

Зазначимо, що константа Ліпшиця правої частини цієї системи в околі точного розв’язку

Для чисельного розв’язування (34), (35) використовувалась ТРС 6-го порядку точності, розв’язок якої знаходився ітераційним методом Ньютона. Задачі Коші (28) розв’язувались методом Рунге-Кутта 6-го порядку точності. Результати чисельного розв’язування задачі на рівномірній сітці при наведені в табл. 3.2, де

.

Таблиця 3.2. Результати чисельного розв’язування задачі (34), (35) за допомогою ТРС 6-го порядку точності при

2000

4000 | 6,2

8000 | 6,0

16000 | 6,0

32000 | 6,0

ВИСНОВКИ

1. За допомогою методу монотонних операторів знайдено достатні умови існування та єдиності розв’язку нелінійних крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку та їх систем.

2. Для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку та їх систем з похідною у правій частині побудовано точні триточкові різницеві схеми

3. Доведено існування та єдиність розв’язку точних триточкових різницевих схем, збіжність методу простої ітерації для знаходження їх розв’язку

4. Розроблено ефективну алгоритмічну реалізацію точних триточкових різницевих схем через усічені триточкові різницеві схеми рангу (ціле додатнє, ціла частина).

5. Доведено існування та єдиність розв’язку усічених триточкових різницевих схем.

6. Показано, що усічені триточкові різницеві схеми рангу мають порядок точності як по відношенню до розв’язку так і потоку

7. Проведено ряд чисельних експериментів, що підтверджують теоретичні результати.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Гнатів Л.Б., Кутнів М.В. Модифіковані триточкові різницеві схеми високого порядку точності для систем звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з монотонним оператором // Мат. методи та фіз.–мех. поля. – 2004. – 47, № 1. – С. 32 – 42.

2. Гнатів Л.Б., Кутнів М.В. Модифіковані триточкові різницеві схеми високого порядку точності для монотонних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з похідною у правій частині // Доп. НАН України. – 2004. – № 2. – С. 23 – 28.

3. Гнатів Л.Б., Кутнів М.В. Точні триточкові різницеві схеми на нерівномірній сітці для систем звичайних диференціальних рівнянь з монотонним оператором // Вісник Львівського університету. Серія прикладна математика та інформатика. – 2004. – Вип. 8. – C. 14 – 22.

4. Gnativ L.B., Kutniv M.V. Modified three-point difference schemes of high accuracy order for second order monotone ordinary differential equations with derivative in the right-hand side // Журнал обчисл. прикл. матем. – 2003. – Вип. 1. – С. 43 – 65.

5. Гнатів Л.Б. Точні триточкові різницеві схеми для монотонних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку та їх реалізація // Тези доповідей наукової конференції проф.-викл. складу Ін-ту прикл. мат. та фунд. наук. – Львів: Видавництво НУ “Львівська політехніка”. – 2002. – С. 36.

6. Гнатів Л.Б., Кутнів М.В. Модифіковані триточкові різницеві схеми високого порядку точності для систем звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з монотонним оператором // Тези доповідей Міжнародної наукової конференції “Проблеми чисельного аналізу і прикладної математики” – Львів: Видавництво “Сполом”. – 2004. – С. 20 – 21.

7. Гнатів Л.Б., Кутнів М.В. Модифіковані триточкові різницеві схеми високого порядку точності для систем звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з монотонним оператором // Тези доповідей Міжнародної математичної конференції ім. В.Я. Скоробогатька. – Дрогобич. – 2004. – С. 52.

8. Гнатів Л.Б., Кутнів М.В. Точні триточкові різницеві схеми на нерівномірній сітці для систем звичайних диференціальних рівнянь з монотонним оператором // Тези доповідей десятої Всеукраїнської наукової конференції “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” – Львів: Видавничий центр ЛНУ ім. Івана Франка. – 2003. – С. 44.

9. Гнатів Л.Б., Кутнів М.В. Модифіковані триточкові різницеві схеми високого порядку точності для систем звичайних диференціальних рівнянь з монотонним оператором // Тези доповідей наукової конференції проф.-викл. складу Ін-ту прикл. мат. та фунд. наук. – Львів: Видавництво НУ “Львівська політехніка”. – 2003. – С. 33.

10. Гнатів Л.Б., Кутнів М.В. Точні триточкові різницеві схеми високого порядку точності для монотонних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з похідною у правій частині // Тези доповідей дев’ятої Всеукраїнської наукової конференції “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” – Львів: Видавничий центр ЛНУ ім. Івана Франка. – 2002. – С. 31 – 32.

АНОТАЦІЇ

Гнатів Л.Б. Триточкові різницеві схеми високого порядку точності для систем нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.07 – обчислювальна математика. – Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2007.

В дисертаційній роботі для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку та їх систем з крайовими умовами першого роду побудовано точну триточкову різницеву схему (ТТРС). За допомогою методу монотонних операторів доведено існування та єдиність її розв’язку, а також збіжність методу простої ітерації для її розв’язування.

Розроблено алгоритмічну реалізацію ТТРС через триточкові різницеві схеми (ТРС) рангу (ціле додатнє, ціла частина). Доведено існування та єдиність розв’язку ТРС рангу показано що ці схеми мають порядок точності як по відношенню до розв’язку так і його потоку. Доведено збіжність і отримано оцінку точності методу послідовних наближень розв’язування ТРС порядку точності Ефективність запропонованого підходу ілюструється на чисельних прикладах.

Ключові слова: звичайні диференціальні рівняння, крайові умови, триточкові різницеві схеми, порядок точності, ітераційні методи.

Гнатив Л.Б. Трехточечные разностные схемы высокого порядка точности для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.07 – вычислительная математика. – Львовский национальній университет имени Ивана Франко, Львов, 2007.

Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений занимает важное место среди прикладных задач физики, химии и техники. В большинстве случаев их решение можно получить с помощью численных методов, в частности метода конечных разностей (разностных схем).

Предложенные ранее точные трехточечные разностные схемы (ТТРС) и их алгоритмическая реализация через трехточечные разностные схемы (ТРС) любого порядка точности касались нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, правая часть которых не содержит производной. Поэтому важной есть задача построения и обоснования трехточечных разностных схем высокого порядка точности для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и их систем с производной в правой части и большими постоянными Липшица.

В диссертационной работе используя метод монотонных операторов найдено условия существования и единственности решения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с краевыми условиями первого рода, построено для них точную трехточечную разностную схему. Доказано существование и единственность решения ТТРС, а также сходимость итерационного метода последовательных приближений для ее решения.

Разработано эффективную алгоритмическую реализацию ТТРС на неравномерной сетке через трехточечные разностные схемы ранга (целое положительное, целая часть). Предложенные ТРС ранга для своего построения требуют для каждого узла сетки решения двух нелинейных и двух линейных задач Коши на отрезках (вперед) и (назад), что осуществляется за один шаг с помощью общего одношагового метода (Рунге – Кутта, разложение в ряд Тейлора) порядка точности Для доказательства существования и единственности решения ТРС ранга в пространстве сеточных функций был использован метод монотонных операторов. Кроме того, показано, что эти схемы имеют порядок точности как по отношению к функции так и ее потоку . Доказано сходимость и получено оценку точности метода простой итерации решения ТРС порядка точности .

Разработанные ТРС высокого порядка точности апробированы на числовых примерах, полученные результаты подтверждают теоретические иследования и показывают высокую эффективность этих схем для численного решения нелинейных краевых задач.

Результаты для скалярных краевых задач перенесены на краевые задачи для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, при этом полученные условия и оценки не являются тривиальным обобщением одномерного случая. Оценки для скалярного случая есть более “тонкими”, что подтверждает необходимость рассматривать каждый случай в отдельности. Предложенные в диссертации ТРС можно успешно использовать для задач с монотонными операторами и большими постоянными Липшица.

Ключевые слова: обыкновенные дифференциальные уравнения, краевые условия, трехточечные разностные схемы, порядок точности, итерационные методы.

Gnativ L.B. Three-point difference schemes of high-accuracy order for systems of second order nonlinear ordinary differential equations. – Manuscript.

Dissertation for a scientific candidate degree of physical and mathematical sciences by speciality 01.01.07 – computational mathematics. – Ivan Franko National University in Lviv, Lviv, 2007.

In this dissertation for a second order ordinary differential equation and their systems with the boundary conditions of the first kind to constract an exact three-point difference schemes (ETDS). With the help on the method of monotone operators is proved the existence and unique solution this ETDS, as well as is proved the iterative method of successive approximations for its solution.

The algorithmic implementation ETDS in term three-point difference schemes (TDS) of rank ( is the integer part) is developed. The existence and unique solution this TDS of rank is proved, this three-point difference schemes has th order of accurate that approximate the solve and its flux . The converges and estimate accurate for the iterative method of successive approximations solution TDS of th order of accurate is proved. Effective of this implementation is illustrated by a numerical examples.

Keywords: ordinary differential equations, boundary conditions, three-point difference schemes, order of accurate, iterative methods.

Підп. до друку 15.01.07. Формат 60Ч84/16. Папір офсет. Тираж 100 прим.

Центр оперативного друку Національного університету „Львівська політехніка”

Україна, Львів, вул. Карпінського, 2