УКРАЇНСЬКА АКАДЕМІЯ БАНКІВСЬКОЇ СПРАВИ
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ
ГЕРАСИМЕНКО Владислав Олександрович
УДК 517.574
УЗАГАЛЬНЕНІ ПРЕДСТАВЛЕННЯ СУБГАРМОНІЙНИХ ФУНКЦІЙ
Спеціальність 01.01.01 – математичний аналіз
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Донецьк – 2007
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Сумському національному аграрному університеті Міністерства аграрної політики України
Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор
Малютін Костянтин Геннадійович,
завідувач кафедри вищої математики
Сумського національного аграрного
університету.
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор
Заболоцький Микола Васильович,
завідувач кафедри математичного моделювання Львівського національного університету імені Івана Франка;
доктор фізико-математичних наук, доцент
Дюкарев Юрій Михайлович,
завідувач кафедри вищої математики
Харківського національного
університету імені В.Н. Каразіна.
Захист відбудеться “ 17 ” жовтня 2007 р. о 16.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 11.193.02 Інституту прикладної математики і механіки НАН України, 83114, м. Донецьк, вул. Рози Люксембург, 74.
З дисертацією можна ознайомитись у біблі-отеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Рози Люксембург, 74.
Автореферат розісланий “_15_” _вересня_ 2007 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради О.А. Довгоший
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми дослідження. Теорія субгармонійних функцій є областю сучасної математики, що активно розвивається. Дослідженням в цій області присвячені численні роботи. Ця теорія знаходить свої застосування в теорії функцій комплексного змінного, в теорії потенціалу, в теорії випадкових процесів, в геометрії. Тому отримання будь-якого нового результату в цій області є актуальною задачею як для самої математики, так і для її застосувань.
В теорії субгармонійних функцій багато важливих результатів отримано за допомогою різних представлень цих функцій. Найбільш відома із них – формула Пуассона-Ієнсена, на яку опирається значна частина теорії субгармонійних функцій. Сюди ж відносяться формули Неванлінни, Сімідзу-Альфорса, Карлемана, Б. Я. Левіна. Теорія субгармонійних функцій у півплощині C+ = {z : Im z > 0}, створена А. П. Гришиним, значною мірою опирається на відкриті ним інтегральні формули. За представленням Гришина ясно видно, що субгармонійна функція скінченного порядку у верхній півплощині визначається своєю повною мірою з точністю до гармонійного полінома, що обертається в нуль на дійсній осі, аналогічно тому, як ціла функція скінченного порядку визначається своїми коренями з точністю до функції виду exp{P(z)}, де P(z) – поліном. Аналогічні формули при різних обмеженнях отримували інші математики: М. В. Говоров, У. Хейман, Д. Іто.
У теорії цілих функцій важливу роль відіграють їх канонічні добутки. Для цілих функцій скінченного порядку таким представленням є представлення Адамара. Для цілих функцій довільного -типу аналог цього факту був встановлений Л. Рубелом. Методом, яким користувався Л. Рубел, є метод рядів Фур’є цілих і мероморфних функцій. Цей метод, заснований на використанні ряду Фур’є для ln|f(rei)| як функції від , систематично став застосовуватися для вивчення асимптотичних властивостей цілих і мероморфних функцій в роботах Л. Рубела і Б. Тейлора. Потім до них приєдналися Д. Майлз, Д. Шиа та інші. Слід відмітити, що ще в 1927 р. Н. І. Ахієзер застосував співвідношення між коефіцієнтами Фур’є і нулями цілої функції для доведення теореми Ліндельофа про тип цілої функції. Пізніше ними користувалися М. Картрайт і А. Пфлюгер. Але це були ізольовані роботи без особливих застосувань. В. С. Азарін (1977) отримав критерій цілком регулярного зростання цілої функції в термінах її коефіцієнтів Фур’є. У 80-і роки важливі результати в цьому напрямку були отримані А. А. Кондратюком, що узагальнив теорію Левіна-Пфлюгера цілих функцій цілком регулярного зростання на мероморфні функції довільного -типу. Ряд важливих результатів у цьому напрямку одержали також А. П. Гришин, А. А. Гольдберг, Й. В. Островський, Я. В. Васильків, М. В. Заболоцький та інш.
На початку XXI століття метод рядів Фур’є К. Г. Малютіним був перенесений на функції субгармонійні у півплощині. К. Г. Малютін та Н.Садик поширили вищезгадані результати на -субгармонійні функції скінченного -типу. Важливі результати в цьому напрямку за останні роки були отримані А. А. Кондратюком та А. Я. Христіяниним. Однак, до сих пір залишалася актуальною задача представлення субгармонійних функцій у півплощині довільного -типу. Крім того, представлення для цілих функцій, отримані Л. Рубелом, були не зовсім зручні для практичного користування.
З питаннями представлення цілих функцій тісно пов'язані інтерполяційні задачі і вивчення ідеалів в різних класах цілих функцій. Питаннями інтерполяції в класах цілих функцій займалися багато математиків. Вкажемо на дослідження А. В. Братищева, А. О. Гельфонда, В. Л. Гончарова, А. П. Гришина та О. М. Русаковського, М. О. Євграфова, Ю. Ф. Коробейника, Б. Я. Левіна, О. Ф. Леонтьєва, К. Г. Малютіна та багатьох інших. Для класів цілих функцій нескінченного порядку задачі інтерполяції вивчені не достатньо повно. Ми вкажемо на дослідження C. A. Беренстейна і Б. A. Tейлoра, У. A. Сквайєрса, Р. E. Хеймана, Т. І. Абаніної, Б. В. Винницького і І. Б. Шепарович.
З задачами інтерполяції тісно пов'язані задачі опису замкнутих ідеалів в просторах аналітичних функцій. Класичним прикладом такого зв'язку є проблема "корони" для класів аналітичних функцій, обмежених в одиничному крузі, рішення якої отримане Л. Карлесоном. Позначимо через E алгебру цілих функцій на C із звичайними операціями додавання і множення. Вперше алгебраїчний підхід до вивчення цієї алгебри був запропонований О. Хелмером і М. Хенріксоном. Ідеал E називається закріпленим, якщо існує, принаймні, одна точка така, що f()=0 для будь-якої f . Закріплені ідеали були вивчені О. Хелмером. Якщо ідеал не закріплений, то він вільний. Прикладом вільного ідеалу може служити сукупність всіх функцій, що обертаються в нуль на послідовності точок , i=1,…, що прямує в нескінченність, починаючи з деякого номера, свого для кожної функції. Загальна структура вільних ідеалів в E описана М. Хенріксоном. Вона близька до структури вказаного вище прикладу. О. Ф. Шиллінг досліджував замкнуті ідеали в алгебрі E, наділеною топологією рівномірної збіжності на компактах, і довів, що кожен нетривіальний замкнутий ідеал в E є закріпленим. Аналогічне твердження про замкнуті ідеали в локально-опуклій алгебрі цілих функцій експоненціального типу було доведене Л. Еренпрайсом. П. К. Рашевський довів теорему про замкнуті ідеали в злічено-нормованій алгебрі цілих функцій першого порядку і мінімального типу. Н. К. Нікольський розглянув простір цілих функцій скінченного порядку і нормального типу E(r?), ?>0, і показав, що всі замкнуті ідеали в цьому просторі мають вигляд D={f E(r?) : f() = 0, D}, де D – деякий дивізор, який у випадку нецілого ? є дивізором нулів функції з алгебри E(r?) (якщо ? – ціле, то для цього додатково потрібна певна симетрія точок дивізора D). Незалежно І. Ф. Красічков довів це твердження для довільної функції зростання.
Після того, як структура замкнутих ідеалів описана, природно виникає питання про знаходження якої-небудь достатньо простої множини, яка є щільною в цих ідеалах. Для просторів Hp, p>0, аналітичних функцій в одиничному крузі при p=2 відповідь була отримана А. Берленгом. Загальний випадок p>0 був розглянутий Т. Сринивассаном і Д. Вангом. Для алгебри цілих функцій E(r?) аналогічний результат був отриманий К. Г. Малютіним та Н. Садиком. Для цілих функцій довільного -типу аналогічні питання залишалися відкритими.
Все вищевикладене й обумовило вибір об’єкта, теми дослідження та її актуальність.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у межах держбюджетної наукової теми 0107U001911 "Методи теорії функцій та їх застосування" (згідно з планом науково-дослідних робіт кафедри вищої математики Сумського національного аграрного університету).
Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є дослідження властивостей функцій, субгармонійних у комплексній площині та півплощині, методом рядів Фур’є та побудова теорії Л. Рубела для функцій, субгармонійних у комплексній півплощині, що передбачає вирішення таких задач:–
одержання узагальненого представлення в сенсі Рубела та в сенсі Вей-єрштрасса субгармонійних у комплексній площині функцій скінченного -типу;–
встановлення аналога теореми Ліндельофа для субгармонійних функцій, зростання яких обмежене уточненим порядком в сенсі Бутру;–
одержання узагальненого представлення та узагальненого представлення в сенсі Неванлінни субгармонійних у комплексній півплощині скінченного -типу;–
встановлення аналога теореми А. П. Гришина для субгармонійних у півплощині функцій, зростання яких обмежене уточненим порядком в сенсі Бутру;–
опис замкнених ідеалів в просторах цілих функцій скінченного -типу, встановлення аналога теореми А. Берлінга для функцій цих класів;–
одержання критеріїв інтерполяційності дивізора у класі цілих функцій скінченного -типу.
Об’єктами дослідження є функції, субгармонійні у комплексній площині, та функції, субгармонійні у верхній півплощині.
Предметом дослідження є властивості функцій, субгармонійних у комплексній площині, та функцій, субгармонійних у верхній півплощині, розподіл їх ріссовських та повних мір, аналог теорій Л. Рубела та А. П. Гришина.
Основними методами досліджень є метод рядів Фур’є, а також різноманітні методи теорії функцій комплексної змінної, теорії субгармонійних функцій, методи математичного аналізу та деякі прийоми з робіт Л. Рубела, А. А. Кондратюка, А. П. Гришина, К. Г. Малютіна.
Наукова новизна одержаних результатів. Усі одержані наукові результати є новими та оригінальними дослідженнями. У роботі вперше–
отримано представлення в сенсі Вейєрштрасса субгармонійної функції скінченного -типу, а також доведено, що для функцій скінченного порядку це представлення співпадає з представленням Адамара;–
отримано аналог теореми Ліндельофа для міри скінченного -типу у випадку коли є уточнений порядок в сенсі Бутру;–
отримано загальне представлення, та представлення в сенсі Неванлінни субгармонійної функції скінченного -типу у півплощині, а також доведено, що для функцій скінченного порядку це представлення співпадає з представленням Гришина;–
отримано аналог теореми Гришина для повної міри скінченного -типу у півплощині у випадку коли (r) є уточнений порядок в сенсі Бутру;–
доведено аналог теореми Берленга про множину, яка є щільною у го-ловному ідеалі, який належить простору цілих функцій скінченного -типу;–
отримано критерії інтерполяційності дивізора у просторі цілих функцій скінченного -типу як у термінах його канонічного добутку, так і в термінах асоційованої з ним міри.
Практичне значення одержаних результатів. Результати, подані у дисертації, мають теоретичний характер і можуть знайти застосування у подальших дослідженнях із загальної теорії цілих, мероморфних, субгармонійних функцій, теорії інтерполяції, теорії функцій, аналітичних і субгармонійних у півплощині, а також при вивченні ідеалів у класах цілих та аналітичних у півплощині функцій скінченного -типу.
Особистий внесок здобувача. Усі основні наведені у роботі результати отримані здобувачем самостійно. У спільних з науковим керівником публікаціях К. Г. Малютіну належить постановка задач та загальне керівництво роботою. Результати другого розділу одержані здобувачем особисто. Теореми 3.7, 3.9 третього та теорема 4.6 четвертого розділів були отримані разом з науковим керівником.
Апробація результатів дисертації. Усі основні результати дисертації доповідались та обговорювались на:
1) об’єднаному семінарі відділу теорії функцій Інституту прикладної математики і механіки НАН України і Донецького національного університету у м. Донецьку (Донецький національний університет, керівники семінару професор В. I. Рязанов i професор Р. М. Тригуб);
2) семінарі у відділі комплексного аналізу і теорії потенціалу Інституту математики НАН України у м. Київі (Інститут математики НАН України, керівники семінару професор Ю. Б. Зелінський i професор П. М. Тамразов);
3) семінарі з теорії аналітичних функцій у м. Харкові (Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна, керівники семінару професор А. П. Гришин i професор С. Ю. Фаворов) міжнародній конференції "Диференціальні рівняння і суміжні питання", присвяченій пам'яті І. Г. Петровського (Москва, 2007 р.);
5) міжнародній конференції "Сучасний аналіз і додатки", присвяченій пам'яті М. Крейна (Одеса, 2007 р.);
6) міжнародній конференції на честь 150-річчя з дня народження О. М. Ляпунова (Харків, 2007 р.).
Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у 7 роботах (4 без співавторів), з яких 3 (1 без співавторів) опубліковано у виданнях, включених до переліку ВАК України та 3 у тезах міжнародних конференцій.
Структура і загальний обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, розділених на підрозділи, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації 128 сторінок. Список використаних джерел обсягом 11 сторінок включає 102 найменування.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обгрунтовується актуальність теми, вказується мета, теоретичне значення і апробація результатів, особистий внесок здобувача і кількість публікацій, дається короткий огляд результатів, що мають безпосереднє відношення до теми роботи, подається загальна характеристика дисертації.
Перший розділ присвячений огляду літератури за темою дисертації та огляду основних отриманих результатів.
У другому розділі розглядаються функції, субгармонійні у комплексній площині С. В цьому розділі отримані узагальнені представлення субгармонійних функцій скінченного -типу, який визначається деякою функцією зростання (додатна, неперервна, необмежена, зростаюча на ) функція). Через C(a, r) будемо позначати відкритий, а через B(a, r) замкнутий круг радіуса r з центром в точці a. Нехай – додатна міра, для і позначимо
, ,
, .
Означення. Міра називається -допустимою, якщо існують додатні сталі A і B, такі що
, ,
де ,
, N.
Нехай -функція зростання. Покладемо , якщо для всіх N і min{N, }, в противному разі. При позначимо через r= inf rk, де нижня грань береться по всіх rk, які задовольняють нерівність
, . (1)
Означення. Нехай міра є -допустимою, позначимо, при 1kp[] , і при kp[]. Коефіцієнтами Фур’є міри називаються функції
; ,
при N, і при –N.
Під дельта-субгармонійною в області D функцією ми розуміємо різницю двох субгармонійних в цій області функцій. Нехай T(r,v) – характеристика Неванлінни дельта-субгармонійної у комплексній площині функції v.
Означення. Функція називається функцією скінченного -типу, якщо існують сталі А, В > 0, такі що T(r,v) A(Br), r > 0.
Відповідний клас дельта-субгармонійних функцій скінченного -типу позначається через (через позначається клас субгармонійних функцій скінченного -типу).
Для функцій класу справедливе наступне узагальнення теореми Л. Рубела про представлення мероморфної функції.
Теорема 1. Для будь-якої функції існують:
а) субгармонійна функція тотожно;
b) необмежена множина додатних чисел і сімейство субгармонійних функцій;
c) додатні сталі А і В, такі, що:
1) ріссовські міри функцій в крузі співпадають з ріссовською мірою функції ;
2) рівномірно на компактах коли , ;
3) , де F – будь-яка з функцій v, u, vR або .
Якщо нижній порядок , то можна взяти .
Якщо функція опукла відносно , то можна взяти і при деякому .
Означення. Нехай . Сімейство функцій, що фігурує в теоремі 1, називається узагальненим представленням функції .
Відмітимо, що таке узагальнене представлення функції у вигляді сімейства функцій має певні незручності. Тому ми отримуємо інше, на наш погляд, зручніше розвинення функції .
Означення. Коефіцієнтами Фур’є дельта-субгармонійної в крузі функції називаються функції
, Z, .
Теорема 2. Нехай , – ріссовська міра функції . Тоді , де функція – гармонійна і належить класу , а функція – субгармонійна така, що її коефіцієнти Фур’є співпадають з коефіцієнтами Фур’є міри .
Означення. Представлення називається узагальненим представленням в сенсі Вейєрштрасса функції .
Зв'язок між цим представленням і представленням Адамара розкриває наступна теорема.
Теорема 3. Нехай – субгармонійна функція скінченного порядку > 0. Тоді її узагальнене представлення в сенсі Вейєрштрасса і представлення Адамара співпадають.
Позначимо . Для функцій скінченного порядку має місце наступний аналог теореми Ліндельофа.
Теорема 4. Нехай , де – уточнений порядок в сенсі Бутру, , – додатна міра. Міра є мірою Рісса субгармонійної функції скінченного -типу тоді і тільки тоді, коли при деякому і всіх виконується нерівність
(2)
і при всіх цілих k, таких, що задовольняють нерівність , функції при деяких комплексних є обмеженими функціями від r. Зокрема, якщо , то це має місце тоді і тільки тоді, коли міра задовольняє нерівність (2).
Розділ 3 присвячений побудові аналогу теорії, що розвинута у другому розділі, для функцій субгармонійних у верхній півплощині C+ ={z : Im z > 0}.
Наступні означення введені А. П. Гришиним.
Означення. Субгармонійна в C+ функція називається істинно субгармонійною, якщо для кожного R.
Клас істинно субгармонійних функцій позначається через .
Нехай клас субгармонійних функцій в C+, що мають додатну гармонійну мажоранту в будь-якiй обмеженій області в C+. Функції з класу мають наступні властивості:
a) має недотичну границю майже скрізь на дійсній осі і ;
b) на дійсній осі існує знакозмінна міра така, що
.
Міра називається граничною мірою функції ;
с) ,
де - сингулярна міра відносно міри Лебега.
Повна міра функції визначається рівністю:
R),
де - міра Рісса функції .
Позначимо через – клас -субгармонійних у півплощині функцій. Відмітимо (Гришин), що .
Нехай , ,
, ,
де – фіксоване число, - розвинення Жордана повної міри , що відповідає функції .
Поняття функції скінченного -типу у комплексній півплощині було введено К.Г. Малютіним. На функцію зростання накладається умова:
. (3)
Означення (К.Г. Малютін). Функція називається функцією скінченого -типу у верхній півплощині, якщо існують сталі , такі що
для всіх .
Відповідний клас - субгармонійних функцій скінченного -типу у верхній півплощині позначається через (через позначається клас істинно субгармонійних функцій скінченного -типу).
Коефіцієнти Фур’є функції визначаються звичайним чином:
, N.
Нехай – додатна міра у C+. Для N і позначимо через – замкнене півкільце,
,
, ,
, .
Означення Міра називається -допустимою, якщо існують додатні сталі і , такі що
; (4)
, N, .
Означення. Нехай міра є -допустимою, позначимо , де r= inf rk (нижня грань береться по всіх rk, які задовольняють нерівність (1)), при , і при , де , якщо . Коефіцієнтами Фур’є міри називаються функції
, N.
Для функції класу справедлива наступна теорема.
Теорема 5. Нехай функція зростання задовольняє одній із умов: 1) функція опукла відносно ; 2) . Тоді кожна -збалансована міра має повне сімейство рівномірно -збалансованих залишків. Причому у випадку 1) можна взяти , де – фіксоване число.
Крім того, для любої функції існує необмежена множина додатних чисел і сімейство функцій істинно субгармонійних в С+, додатні сталі і такі, що:
1) повні міри функцій в крузі С(0;R) співпадають з повною мірою функції ;
2) рівномірно на компактах в С+ коли , ;
3) для всіх , де – будь-яка із функцій , або . Якщо задовольняє умову 1), то можна взяти при деякому .
Введемо друге означення узагальненого представлення субгармонійної функції у півплощині.
Нехай , – повна міра функції . Нехай – субгармонійна функція така, що її коефіцієнти Фур’є співпадають з коефіцієнтами Фур’є міри . Тоді функція – гармонійна і належить класу , причому , де – ціла дійсна функція.
Таким чином, має місце наступна теорема.
Теорема 6. Нехай , – повна міра функції . Тоді , де функція – гармонійна та належить класу , а функція – субгармонійна така, що її коефіцієнти Фур’є співпадають з коефіцієнтами Фур’є міри . Причому , де – ціла дійсна функція.
Означення. Представлення називається узагальненим представленням в сенсі Неванлінни функції .
Якщо і є функція порядку > 0, то має місце представлення Гришина:
+ + , ,
де
, ,
,
– дійсні числа, – обмеження повної міри функції на круг , , а при :
+ , .
Зв’язок між введенним узагальненим представленням в сенсі Неванлінни і результатами А. П. Гришина розкриває наступна теорема.
Теорема 7. Нехай – істинно субгармонійна функція порядку . Тоді її узагальнене представлення в сенсі Неванлінни і представлення А. П. Гришина співпадають.
Для субгармонійних у півплощині функцій має місце наступний аналог теореми Ліндельофа.
Теорема 8. Нехай , де – уточнений порядок в сенсі Бутру, – додатна міра. Міра є повною мірою субгармонійної функції скінченного -росту тоді і тільки тоді, коли при деякому і всіх виконується нерівність (4) і при всіх цілих , що задовольняють нерівність , функції при деяких дійсних є обмеженими функціями від . Зокрема, якщо , то це має місце тоді і тільки тоді, коли міра задовольняє нерівність (4).
У третьому розділі на функцію зростання накладалась умова (3). Вона необхідна так як нерівність
вже накладає це обмеження. Якщо ми будемо розглядати загальний випадок (без обмеження (3) на функцію зростання), то необхідно використовувати більш складну характеристику ніж характеристика Неванлінни, точніше , якщо
, .
Всі твердження у цьому випадку справедливі.
Розділ 4 присвячений опису замкнених ідеалів у алгебрі цілих функцій скінченного -типу та вирішенню задачі вільної інтерполяції у цій алгебрі.
Для фіксованих дійсних сталих А, В > 0 введемо банаховий простір
E A, B E, .
Через E позначимо простір цілих функцій скінченного -типу, тобто ціла функція E, тоді і тільки тоді, якщо існують сталі А, В > 0 (свої для кожної функції ) такі, що Очевидно, що E= . Простір E є лінійним локально-опуклим простором з топологією індуктивної межі. Більш того E є топологічною алгеброю щодо суми і добутку функцій.
Нехай – дивізор, тобто множина різних комплексних чисел разом з їх кратностями , – ціле число. З дивізором пов'яжемо міру за формулою: . Дивізор називається -допустимим, якщо асоційована з ним міра -допустима.
Множина E:,,…, називається ідеалом, закріпленим в дивізорі . Ідеал є замкнутим в алгебрі E. Справедливе і обернене твердження (Красічков): кожний нетривіальний замкнутий ідеал в E закріплений і визначається однозначно дивізором своїх нулів.
Означення. Ідеал називається головним, якщо він має вигляд:
= E, де E.
Використовуючи твердження І. Ф. Красічкова, ми отримуємо наступну теорему:
Теорема 9. Замкнутий ідеал у просторі E є головним тоді і тільки тоді, коли дивізор є -допустимим.
Важливою задачею при вивченні ідеалів аналітичних функцій є знаходження якої-небудь достатньо простої за своєю структурою множини, яка була б щільна в цьому ідеалі. Ми отримуємо аналог теореми Берлінга в алгебрі E.
Теорема 10. Припустимо, що функція зростання є опуклою функцією відносно . Нехай функція E, де – внутрішня функція, а – зовнішня функція . Тоді замикання в E лінійного різноманіття { многочлени від } співпадає з E.
Далі ми вирішуємо задачу вільної інтерполяції в алгебрі E.
Означення. Дивiзор називається iнтерполяцiйним в класi E, якщо для будь-якої послiдовностi комплексних чисел , , що задовольняють при деякому B > 0 умову
,
iснує цiла функцiя F(z) Eз властивістю
F(ak)(j-1) =bk,j , j =1,2,…,qk, k = 1,2,….
Позначимо при деякому В > 0
,
де – кратність найближчої до точки точки (якщо таких точок декілька, то братимемо будь-яку з точок з найбільшою кратністю). Якщо , то позначатимемо через функції, побудовані за допомогою дивізора нулів функції .
Ми отримуємо наступний критерій iнтерполяцiйності дивізора.
Теорема 11. Нехай функція зростання задовольняє умову:
,
при деяких A > 0, B > 0 i довiльнiй функцiї , що задовольняє умову
= о (r) , ,
та дивізор є -збалансованим. Тоді наступні три твердження еквівалентні:
1) дивізор є інтерполяційним у класі E;
2) при деякому В > 0
,
де – загальний канонічний добуток дивізора ;
3) при деякому В > 0 виконуються умови:
; .
ВИСНОВКИ
У дисертаційній роботі вивчаються властивості функцій, субгармонійних у комплексній площині та у верхній комплексній півплощині, а також цілих функцій. Всі результати одержані в дисертації є новими, а саме:
1. Для субгармонійної функції скінченного -типу отримано її представлення в сенсі Вейєрштрасса, а також доведено, що для функцій скінченного порядку це представлення співпадає з представленням Адамара.
2. Для міри, зростання якої обмежене уточненим порядком в сенсі Бутру, отримано аналог теореми Ліндельофа.
3. Отримані загальні представлення субгармонійної функції скінченного -типу у півплощині.
4. Для повної міри скінченного -типу у півплощині у випадку коли (r) є уточнений порядок в сенсі Бутру отримано аналог теореми Гришина.
5. Доведено аналог теореми Берленга про множину, яка є щільною у го-ловному ідеалі, який належить простору цілих функцій скінченного -типу, а також отримано критерії інтерполяційності дивізора у цьому просторі як у термінах його загального канонічного добутку, так і в термінах асоційованої з ним міри.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ
ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Герасименко В. А. Обобщенные представления субгаpмонических функций конечного гамма-типа // Труды ИПММ НАН Украины. – 2006. – Т. 13. – С. 45-56.
2. Малютин К. Г., Герасименко В. А. Обобщенные представления субгаpмонических функций в полуплоскости // Доповiдi НАН Укpаїни. – 2007. – № 5. – С. 24-29.
3. Malyutin K. G., Gerasimenko V. A. On Closed Ideals of Entire Functions of Finite Gamma-Growth // Methods of Functional Analysis and Topology. – 2007. – Vol. 13. – No 3. – P. 279-283.
4. Герасименко В. А. Некоторые свойства индикатора аналитической функции в полуплоскости // Вiсник Сумського нацiонального аграрного унiверситету. Сер.: механізація та автоматизацiя виробничих процесiв. – 2007. – Вип. 1(16) – С. 165-167.
5. Герасименко В. А. Интерполяционная задача в классе целых функций с ограничением на рост // Тезисы международной конференции “Дифференциальные уравнения и смежные вопросы”. – М.: Изд-во МГУ, 2007. – С. 98-99.
6. Malyutin K. G., Gerasimenko V. A. The Beurling Theorem for Entire Functions of Finite Gamma-Growth // Thesises of Intern. Conf. On Modern Analysis and Applications Dedic. to the centenary of Mark Krein. – Kyiv: Institute of Mathematics, National Acad. Sci. of Ukraine, 2007. – P. 91.
7. Gerasimenko V. A. Free Interpolation by Entire Functions of Finite Gamma-Type // Thesises of Intern. Conf. on The Occasion of The 150th Birthday of Aleksandr Mikhailovich Lyapunov. – Kharkiv: 2007. – P. 48-49.
Герасименко В. О. Узагальнені представлення субгармонійних функцій. – Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-матема-тичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2007.
У дисертаційній роботі отримано представлення субгармонійних у комплексній площині та півплощині функцій скінченного -типу, введено поняття загального представлення в сенсі Вейєрштрасса та Неванлінни цих функцій. Доведено, що ці представлення у випадку функцій скінченного порядку співпадають з представленнями Адамара та Гришина.
Вивчено замкнуті ідеали у класі цілих функцій скінченного -типу. Доведено аналог теореми Берленга про множину, яка є щільною у головному ідеалі, який належить простору цілих функцій скінченного -типу та дано рішення задачі вільної інтерполяції в цьому класі.
Ключові слова: субгармонійна функція, функція скінченного -типу, метод рядів Фур’є, характеристика Неванлінни, формула Йенсена, повна міра, замкнутий ідеал, інтерполяційний дивізор.
Герасименко В. А. Обобщённые представления субгармонических функций. – Рукопись.
Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-матема-тических наук по специальности 01.01.01 – математический анализ. – Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2007.
Первый раздел диссертации содержит обзор литературы по теме диссертации, а также обзор основных результатов.
Во втором разделе изучаются функции субгармонические в комплексной плоскости С. В частности, получены обобщённые представления класса субгармонических функций конечного -типа, который определяется некоторой функцией роста (позитивная, непрерывная, неограниченная, неубывающая на функция) в смысле Рубела и в смысле Вейерштрасса. Для функций конечного порядка эти представления совпадают с представлением Адамара.
Введено понятие коэффициентов Фурье меры, которое, вообще говоря, отличается от определения коэффициентов Фурье пары, введенного Л. Рубелом. Кроме того, доказан аналог теоремы Линделёфа для меры, рост которой ограничен уточнённым порядком в смысле Бутру.
В третьем разделе изучаются функции, субгармонические в верхней полуплоскости C+ = {z : Im z > 0}, имеющие в каждой ограниченной области положительную гармоническую мажоранту. Для функций конечного -типа получены обобщенные представления как в виде семейства функций так и в виде суммы субгармонической и гармонической функций. Доказано, что в случае функций конечного порядка эти представления совпадают с представлением Гришина.
Доказано обобщение теоремы Гришина о том, чтобы мера была полной мерой функции, субгармонической в полуплоскости, рост которой ограничен уточнённым порядком в смысле Бутру.
Введено понятие коэффициентов Фурье как для пары (т. е. меры, распределённой в полуплоскости и последовательности вещественных чисел) так и для меры, распределённой в полуплоскости.
В четвёртом разделе изучаются замкнутые идеалы и рассматривается задача свободной интерполяции в классе E целых функций конечного -типа. Для функции класса E введено определение её внутренней и внешней функций. Доказано, что для любой целой функции из этого класса её ряд Тейлора сходится в смысле топологии индуктивного предела. Используя это утверждение доказан аналог теоремы Бёрлинга о том, что замыкание в E линейного многообразия { многочлены от } совпадает с E, где – внутренняя функция .
Найдены критерии интерполяционности дивизора в классе E как в терминах его обобщённого канонического произведения так и в терминах меры, ассоциированной с этим дивизором.
Ключевые слова: субгармоническая функция, функция конечного -типа, метод рядов Фурье, характеристика Неванлинны, формула Йенсена, полная мера, замкнутый идеал, интерполяционный дивизор.
Gerasimenko V. A. Generalized presentations of subharmonic functions. – Manuscript.
Thesis for candidate’s degree (physical and mathematical sciences) by speciality 01.01.01 – mathematical analysis. – The Institute of Applied Mathematics and Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Donetsk, 2007.
In dissertation work presentations subharmonic functions of finite -type in a complex plane and half-plane are got, the concept of general presentation in sense of Veyershtrass and Nevanlinna of these functions is entered. It is proved that these presentations in the case of functions of finite order coincide with presentations of Adamara and Grishina.
The closed ideals in the class of whole functions of finite -type are studied. The analogue of theorem of Berlenga about a plural, which is dense in a main ideal which belongs to space of whole functions of finite -type is proved and the decision of problem of free interpolation in this class is given.
Keywords: subharmonic function, function of finite -type, Fourier series method, Nevanlinna characteristic, Jensen formula, complete measure, closed ideal, interpolation dіvisor.
Відповідальний за випуск
доктор фізико-математичних наук, професор
К.Г. Малютін
