Київський національний університет

імені Тараса Шевченка

Карнаух Євген Володимирович

УДК.519.21

Граничні задачі для одного класу процесів на ланцюгу маркова

01.01.05 – теорія ймовірностей і математична статистика

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі теорії ймовірностей та математичної статистики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

Гусак Дмитро Васильович,

Інститут математики НАН України,

провідний науковий співробітник

відділу теорії випадкових процесів.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Єлейко Ярослав Іванович,

Львівський національний університет

імені Івана Франка,

завідувач кафедри теоретичної та прикладної статистики.

кандидат фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник,

Пашко Анатолій Олексійович,

Європейській університет,

завідувач кафедри інформаційних систем і технологій.

Захист відбудеться 26 листопада 2007 р. о 1400 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д.26.001.37 в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03022, м.Київ-22, просп. академіка Глушкова, 6, корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58).

Автореферат розісланий 14 вересня 2007 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Моклячук М.П.

ВСТУП

Актуальність теми. Дослідження розподілів випадкових процесів та їх граничних функціоналів, було і залишається актуальним напрямком розвитку теорії випадкових процесів. Останнім часом інтерес до цих задач істотно зріс в зв'язку з їх застосуванням в теорії ризику, в теорії надійності, теорії масового обслуговування та в теорії зберігання запасів. Такі важливі показники теорії ризику, як імовірність банкрутства, розподіл моменту банкрутства, величина вимоги, що надійшла в момент банкрутства, можуть бути виражені через розподіл абсолютного максимуму, розподіли моменту досягнення рівня та перестрибку процесу ризику, відповідно. В теорії масового обслуговування в термінах розподілів граничних функціоналів виражаються розподіли процесу незайнятості, віртуального часу чекання, періодів зайнятості та числа вимог, що обслуговуються на кожному періоді зайнятості. Для опису надходження товарів в сховище використовується процес зберігання, важливою характеристикою якого є стаціонарний розподіл.

В прикладних галузях постановки класичних граничних задач пов'язані з немонотонними складними процесами Пуассона зі стрибками одного знаку. Перші дослідження таких граничних задач проводилися в роботах Ф. Лундберга, Г. Крамера, В. Феллера, Н. Прабху. Узагальненню цих задач присвячені роботи С. Асмуссена, К. Борха, М.С. Братійчука, Дж. Грендела, Д.В. Гусака, Ф. Де Вільдера, І.М. Коваленка, В.С. Королюка, Т. Ролски, Й. Тойгельса, Г. Шмідлі, В. Шмідта, В.М. Шуренкова, А.Н. Ширяєва та інших.

За останні роки в теорії ризику, теорії масового обслуговування та теорії зберігання проводяться інтенсивні дослідження таких узагальнень класичної моделі, в яких використовуються напівмарковські процеси, випадкові блукання та процеси в марковському середовищі, дробові вінерівські процеси та процеси з субекспоненційно розподіленими стрибками.

Деякі некласичні моделі теорії ризику враховують можливість зміни середовища, що обумовлює відповідний вибір більш загальних класів процесів. При такому виборі бажано, щоб для дослідження узагальнених процесів можна було використовувати аналоги методів, розроблених для відповідних процесів без урахування впливу середовища. Такі умови задовольняють процеси з незалежними приростами в марковському середовищі або процеси, задані на ланцюгу Маркова. Найбільш вивченим класом процесів в марковському середовищі є клас напівнеперервних процесів(їх траєкторії мають стрибки лише одного знаку). Проте з практичної точки зору більш привабливим є припущення про можливість стрибків різних знаків, при цьому, якщо припустити, що розподіл або додатних або від'ємних стрибків належить певному класу розподілів, тоді можна отримати аналогічні результати, як і для напівнеперервних процесів.

Основним завданням роботи є вивчення певних функціоналів для майже напівнеперервних процесів, заданих на ланцюгу Маркова, тобто марковських адитивних процесів, одна компонента яких перетинає рівень (додатний або від’ємний) лише показниково розподіленими стрибками, а друга є скінченним ланцюгом Маркова. А саме, розглядаються розподіли та генератриси екстремумів, в тому числі абсолютних екстремумів, перестрибкових функціоналів та функціоналів, пов'язаних з виходом з обмеженого інтервалу. Це визначає актуальність тематики дисертації.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках держбюджетної дослідницької теми № 06БФ038-03 ``Аналітичні та стохастичні методи дослідження динамічних систем '', яка входить до програми ``Математичні проблеми природознавства та економіки '' (номер державної реєстрації № 0101U002472).

Мета та задачі дослідження. Метою роботи є подальший розвиток теорії марковських адитивних процесів, а також розширення кола теоретичних і практичних застосувань даної теорії, зокрема, до задач теорії ризику, теорії масового обслуговування, теорії зберігання товарів. В роботі вивчаються наступні задачі:

дослідження основних властивостей майже напівнеперервних процесів, заданих на ланцюгу Маркова;

вивчення розподілів граничних функціоналів для досліджуваних процесів;

застосування отриманих результатів до знаходження ймовірностей банкрутства для відповідних моделей процесу ризику.

Методика дослідження. В роботі використовується аналітичний апарат теорії випадкових процесів, що базується на факторизаційно - проекційному методі.

Наукова новизна одержаних результатів.

Досліджено основні властивості класу майже напівнеперервних процесів, заданих на ланцюгу Маркова, що є видозміненим типом напівнеперервних процесів.

Знайдені конкретизовані зображення компонент матричної факторизації для цього класу процесів.

Отримані інтегральні перетворення розподілів та генератрис основних граничних функціоналів досліджуваних процесів.

Досліджено модифікацію майже напівнеперервних процесів, заданих на ланцюгу Маркова, з затримкою та відбиттям від верхньої границі.

Запропоновано метод оцінки ймовірностей банкрутства для процесів ризику в марковському середовищі зі стохастичними преміями.

Практичне значення одержаних результатів. Всі отримані в дисертаційній роботі результати мають теоретичне значення та практичне застосування в теорії ризику, теорії масового обслуговування, теорії зберігання та інших галузях, в яких використовуються марковські адитивні процеси. Зокрема, для знаходження ймовірностей банкрутства для процесів ризику в марковському середовищі зі стохастичними преміями, а також для процесів з обмеженими резервами.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи отримані здобувачем самостійно. За результатами дисертації здобувач опублікував чотири роботи, з них дві разом з науковим керівником проф. Гусаком Д.В., в яких Гусаку Д.В. належить постановка задач та загальне керівництво роботою.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались та обговорювались на*

Міжнародній конференції "Сучасні проблеми та нові напрямки в теорії ймовірностей" (м.Чернівці, 2005р.);*

Міжнародній конференції "Сучасна стохастика: теорія і застосування"(м.Київ, 2006р.);*

засіданні наукового семінару з теорії ймовірностей та математичної статистики при кафедрі теорії ймовірностей та математичної статистики механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка (Київ, 2006р.).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в чотирьох статтях у фахових виданнях [1–4], а також у 2 тезах доповідей на конференціях [5,6].

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків та списку використаних джерел. Основний зміст дисертації становить 130 сторінок, список використаних джерел займає 12 сторінок і включає в себе 99 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, визначено мету і задачі дослідження, виділено наукову новизну та практичну цінність отриманих результатів.

Перший розділ містить огляд літератури за тематикою даної роботи та спорідненими питаннями, висвітлені деякі результати щодо аналогічних проблем, отримані іншими авторами.

Другий розділ присвячений дослідженню майже напівнеперервних процесів, заданих на скінченному ланцюгу Маркова. Розглядається уточнення компонент матричної факторизаційної тотожності, досліджуються розподіли екстремумів та абсолютних екстремумів.

Оскільки майже напівнеперервні процеси, задані на ланцюгу Маркова, належать класу марковських адитивних процесів, то спочатку наводяться необхідні для подальшої роботи означення та властивості марковських адитивних процесів, наводиться конструктивне означення процесу з незалежними приростами, заданого на ланцюгу Маркова.

Нехай, та - два вимірні простори. Позначимо   декартів добуток  , а через   –  - алгебру.

Означення 2.1. Відображення називається стохастичним ядром, якщо*

є мірою на   при фіксованому  ;*

є обмеженою   - вимірною функцією від   при фіксованому.

Означення 2.3. Сім'я стохастичних ядер називається напівмарковською перехідною функцією, якщо, , ,:

де.

Нехай - повний імовірнісний простір, на якому задано потік  -алгебр.

Означення 2.5. Випадковий процес називається марковським адитивним процесом відносно потоку   з напівмарковською перехідною функцією, якщо є марковським процесом відносно того ж потоку, ймовірність переходу якого задовольняє умові

Припустимо далі, що, ,   містить усі одноточкові множини з. Припустимо також, що - скінченний незвідний неперіодичний ланцюг Маркова з множиною станів та матрицею перехідних імовірностей

де, - параметри показниково розподілених випадкових величин (час перебування в стані). Матриця, є матрицею перехідних імовірностей вкладеного ланцюга зі стаціонарним розподілом, де - момент  -тої зміни стану, - інфінітезимальна(твірна) матриця ланцюга.

Нехай сукупність незалежних стохастично неперервних однорідних процесів з характеристичними функціями(х.ф.)

спектральна міра. Зауважимо, що розглядаються сепарабельні неперервні справа модифікації цих процесів без розривів ІІ роду.

Нехай - сукупність незалежних випадкових величин, що не залежать від   та  .

Визначимо процес   наступним чином. Нехай  . Тоді   має прирости, що збігаються з приростами, поки   знаходиться в стані  . В момент переходу   в стан   процес   має стрибок  . Поки процес   знаходиться в стані  , прирости   збігаються з приростами   і т.д.

Процес є марковським адитивним процесом і називається процесом з незалежними приростами, заданим на скінченному ланцюгу Маркова.

Еволюція процесу   визначається матричною характеристичною функцією(х.ф.):

де, , ,.

Припустимо, що виконується умова, тоді позначимо  .

Означення 2.7. Процес  , для якого  , називається складним процесом Пуассона зі знесенням, заданим на ланцюгу Маркова, якщо його кумулянта має вигляд

Означення 2.8. Складний процес Пуассона   зі знесенням, заданий на ланцюгу Маркова, називається майже напівнеперервним зверху(знизу), якщо компонента   перетинає додатний(від'ємний) рівень лише показниково розподіленими стрибками, тобто кумулянта якого має вигляд, відповідно

де     або  , ,   - параметри показниково розподілених випадкових величин   (час між двома сусідніми стрибками  , якщо); абсолютно неперервні функції розподілу стрибків  , якщо;, де   параметри показниково розподілених додатних(від'ємних) стрибків  , якщо  ;  .

Якщо через   позначити показниково розподілену випадкову величину з параметром  , незалежну від  , тоді х.ф.   записується так

Введемо позначення функціоналів для  , що характеризують екстремуми процесу на інтервалі  :

та абсолютні екстремуми.

Позначимо розподіли екстремумів та їх характеристичні функції

Введемо множину обмежених абсолютно інтегрованих на інтервалі функцій:

а також множину їх інтегральних перетворень:

.

Визначимо операції проектування на

Надалі припускається, що виконується умова.

Основними результатами другого розділу є теореми, які містять уточнення розподілів та характеристичних функцій екстремумів для майже напівнеперервних зверху (знизу) процесів, заданих на скінченному ланцюгу Маркова, за якими хвости розподілів максимуму та доповнення до мінімуму (мінімуму та доповненням до максимуму) мають експоненційне представлення, що аналогічно напівнеперервному випадку.

Теорема 2.2. Для майже напівнеперервних зверху процесів х.ф. та розподіл визначаються співвідношеннями

для маємо

Теорема 2.3. Для майже напівнеперервних зверху процесів х.ф. та розподіл   визначаються співвідношеннями:

для мінімуму маємо:

Теорема 2.4. Для майже напівнеперервного знизу процесу, заданого на ланцюгу Маркова, мають місце наступні представлення для х.ф. екстремумів

та їх розподілів

В третьому розділі вивчаються спільні генератриси перестрибкових функціоналів для майже напівнеперервних знизу процесів, заданих на ланцюгу Маркова.

Позначимо функціонали, пов'язані з перетином додатного рівня   ("верхні" функціонали)

Основними твердженнями третього розділу є уточнення генератрис та розподілів пар функціоналів, , , при, вигляд яких залежить від знаку математичного сподівання та скінченності дисперсії, усереднених за ергодичним розподілом

Теорема 3.1. Якщо є східчастим майже напівнеперервним знизу процесом, тоді для 1. При

де, ,.

2. При

де,   -– власний проектор матриці  .

Зауважимо, що при:, тобто при   функціонали, та   стають невизначеними.

Теорема 3.2. Для східчастого майже напівнеперервного знизу процесу при   маємо:

де.

Використовуючи результати теореми 3.3, можна отримати аналоги оберненої формули Полячека - Хінчина та двосторонньої нерівності Лундберга, доведені для напівнеперервного випадку Асмуссеном Asmussen S. Ruin Probabilities. – Singapore Word Scientist, 2000. – 385 p.. Припустимо, що,.

Наслідок 3.2. При–

n - кратна згортка з собою, (вектор - стовпчик), (вектор - рядок).

Нехай: дійсне власне значення з максимальною дійсною частиною (перронів корінь) матриці. Нехай існує   розв'язок рівняння та, , відповідно, лівий та правий власні вектори з додатними елементами матриці, що відповідають нульовому власному значенню, і такі, що  . Позначимо

Наслідок 3.3. При, для будь-якого та всіх

Наслідок 3.3 дає двосторонню оцінку ймовірностей банкрутства надлишкового процесу ризику, який визначається складним пуасонівським процесом, заданим на скінченному ланцюгу Маркова, при умові, що додатні стрибки є показниково розподіленими, та умові Крамера.

В четвертому розділі розглядаються розподіли функціоналів, пов'язаних з виходом з обмеженого інтервалу процесу   (майже напівнеперервного зверху процесу без стрибків на переходах та нульовим знесенням). Основними функціоналами, які розглядаються в даному розділі є момент першого виходу з інтервалу,:

та перестрибки в момент виходу з інтервалу:

Введемо позначення наступних подій

і тоді можемо записати для  :

В підроздiлi 4.1 знайдено уточнення генератрис

Досліджувані генератриси описуються інтегральним рівнянням на інтервалі, яке продовжується на півпряму. При розв'язанні продовженого рівняння використовується метод розвинутий М.Г. Крейном Крейн М.Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядром, зависящим от разностей аргументов// Успехи мат. наук. – 1958. – 13, № 5. – C. 3-120. із застосуванням матричного аналога тотожностей безмежно подільної факторизації.

Теорема 4.1. Для процесу визначається наступним чином при

де

Використовуючи аналоги тотожностей Печерського Печерский Е.А. Некоторые тождества, связанные с выходом случайного блуждания из отрезка и полуинтервала// Теор. вероят. и ее примен. – 1974. – 19, № 1. – C. 104-119., отримаємо твердження.

Теорема 4.2. Для процесу спільні розподіли та визначаються наступними співвідношеннями

Х.ф. до моменту виходу з інтервалу має вигляд

відповідний розподіл має щільність

з атомом в нулі

Імовірність невиходу з інтервалу визначається співвідношенням

Для генератрис   та   маємо

Теорема 4.3. Для   мають місце наступні співвідношення:

В підроздiлi 4.2 розглядається модифікований майже напівнеперервний зверху процес без знесення та стрибків на переходах, заданий на скінченному ланцюгу Маркова. Визначимо процес, наступним стохастичним співвідношенням

де верхні індекси   означають, що, , та,   - момент першого від'ємного стрибка, що не залежить від  . - величина стрибка   при умові  . Процес є майже напівнеперервним процесом, заданим на ланцюгу Маркова, з затримкою та відбиттям від верхньої границі.

Теорема 4.4. Розподіл визначається х.ф.

Якщо, тоді розподіл визначається наступною х.ф.

з атомом в точці  

Для дивідендного процесу маємо

В підрозділі 4.3 результати отримані в теоремах 4.1 – -4.4 уточнюються для скалярного випадку  , тобто для процесів з незалежними приростами, які мають кумулянту

Особливість цього випадку пояснюється тим, що більшість формул теорем 4.1 – -4.4 спрощуються за рахунок відсутності проблеми не комутативності матриць.

Наслідок 4.3. Для скалярного східчастого майже напівнеперервного зверху процесу маємо

де - додатній корінь рівняння Лундберга:

Необхідно відмітити, що результати наслідку 4.4 після простих перетворень узгоджуються з результатами роботи Каданкова та Каданкової Каданков В.Ф., Каданкова Т.В. Двухграничные задачи для процесса пуассона с показательно распределенной компонентой// Укр. матем. ж.– 2006.– 58, № 7.– С. 922-954..

Враховуючи різне представлення розподілів абсолютних екстремумів в залежності від знаку , маємо наступне троїсте представлення функцій та. При цьому зауважимо, що використовуючи граничний перехід по параметру   можна отримати результати для цих функцій для напівнеперервного випадку.

Наслідок 4.5. Функція при у відповідності зі знаком має представлення:

якщо; 

,; - спадний процес зі спектральної мірою

Для імовірності банкрутства відповідно до знаку   маємо

Розподіл   виражається наступною формулою

Позначимо

Наслідок 4.7. Для модифікованого майже напівнеперервного зверху процесу з затримкою та відбиттям від верхньої границі маємо

при  

Для моменту банкрутства

де.

ЗАГАЛЬНІ ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі вивчається клас майже напівнеперервних процесів, заданих на скінченному ланцюгу Маркова. Знайдено зображення компонент матричної факторизаційної тотожності, а також розподілів екстремумів. Визначено умови існування невироджених розподілів абсолютних екстремумів і встановлено співвідношення для цих розподілів.

Отримано явні вирази для спільних генератрис перестрибкових функціоналів. Виведено матричні аналоги оберненої формули Полячека-Хінчина та двосторонньої нерівності Лундберга.

Досліджено генератриси та розподіли двограничних функціоналів. На основі результатів, отриманих для двограничних функціоналів, досліджуються модифіковані майже напівнеперервні процеси з затримкою та відбиттям, задані на скінченному ланцюгу Маркова. Встановлюється узгодженість матричних результатів з результатами для скалярного випадку.

Розглянуто приклад знаходження ймовірностей банкрутства для процесу ризику зі стохастичними преміями, заданого на ланцюгу Маркова.

РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Gusak D.V., Karnaukh E.V. Matrix factorization identity for almost semi-continuous processes on a Markov chain// Theory of Stochastic Processes. – 2005. -– 11(27), № 1-2. –-P. 40-47.

2. Gusak D.V., Karnaukh E.V. On the exit from a finite interval for the risk processes with stochastic premiums// Theory of Stochastic Processes. -– 2005. -– 11(27), № 3-4. -– P. 71-81.

3. Карнаух Є.В. Розподіли перестрибків для майже напівнеперервних процесів, заданих на ланцюгу Маркова// Доповіді Національної академії наук України. – 2007. –№ . -– C. .

4. Карнаух Є.В. Двограничні задачі для майже напівнеперервних процесів, заданих на ланцюгу Маркова// Український математичний журнал. – 2007. –-59, № .-– С. .

5. Gusak D.V., Karnaukh E.V. The distribution of extrema for almost semi-continuous processes on a Markov chain//Abstracts of International Conference: Modern problems and new trends in Probability theory I. Chernivtci(Ukraine), 2005. – P. 65-66.

6. Karnaukh E.V. The time of ruin for the modified risk process in a Markov environment// Abstracts of International Conference: Modern Stochastics: Theory and Applications. -Kyiv(Ukraine), 2006. – 153-154.

АНОТАЦІЯ

Карнаух Є.В. Граничні задачі для одного класу процесів на ланцюгу Маркова. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 – теорія ймовірностей і математична статистика. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2007.

Дисертаційна робота присвячена вивченню граничних функціоналів для однорідних процесів з незалежними приростами, заданих на ланцюгу Маркова, у припущені перетину додатного або від’ємного рівня показниково розподіленими стрибками (так звані майже напівнеперервні процеси). При умові майже напівнеперервності отримані уточнення компонент матричної факторизаційної тотожності. Розглянуті розподіли екстремумів та умови невиродженості абсолютних екстремумів.

Використовуючи проекційно – факторизаційний метод, знайдено аналітичні представлення для інтегральних перетворень спільних розподілів часу першого перетину додатного або від’ємного рівнів та відповідних перестрибків. Крім того, розглянуті окремо випадки перетину нульового та нескінченно віддаленого рівнів. На основі цих результатів для оцінки ймовірностей банкрутства для надлишкового процесу ризику в середовищі Маркова зі стохастичною функцією премій побудовано аналог двосторонньої нерівності Лундберга.

На основі стохастичних співвідношень для двограничних функціоналів отримані інтегральні рівняння на обмеженому інтервалі для відповідних генератрис. Після продовження цих рівнянь на півпряму, використовуючи тотожності Печерського, одержано інтегральне перетворення спільного розподілу моменту виходу процесу з інтервалу через верхню границю та значення процесу в цей момент. А також знайдені розподіл процесу до моменту виходу з інтервалу та ймовірність невиходу.

Результати, одержані для двограничних функціоналів, застосовуються для отримання інтегральних перетворень розподілів модифікованих процесів з затримкою та відбиттям від додатної границі. Для даного класу процесів досліджується момент досягнення нульового рівня. Цей функціонал можна інтерпретувати як момент банкрутства для процесу ризику зі стохастичними преміями та обмеженим резервом, заданим в середовищі Маркова. В скалярному випадку встановлено спрощенні співвідношення для генератрис двограничних функціоналів.

Ключові слова: Марковські адитивні процеси, майже напівнеперервні процеси, факторизаційна тотожність, розподіли перестрибків, двограничні функціонали, модифіковані процеси ризику, ймовірність банкрутства.

АННОТАЦИЯ

Карнаух Е.В. Граничные задачи для одного класса процессов на цепи Маркова. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 – теория вероятностей и математическая статистика. – Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2007.

Диссертационная работа посвящена изучению почти полунепрерывных процессов, заданных на цепи Маркова. Эти процессы являются частным случаем марковских аддитивных процессов, одна из компонент которых – конечная цепь Маркова, а другая – однородный процесс с условно независимыми приращениями, пересекающий положительный (отрицательный) уровень только показательно распределенными скачками.

Для этих процессов получено уточнение для компонент матричного факторизационного тождества. Используя проекционно - факторизационный метод, с помощью уточненных компонент факторизации найдены распределения экстремумов, в частности, абсолютных экстремумов. Рассмотрены условия невырожденности абсолютных екстремумов, которые в теории риска выражаются в терминах величины усредненных значений параметров показательно распределенных премий за стационарным распределением случайной среды и соответствующей усредненной величиной ожидаемых требований.

Используя результаты для марковских аддитивных процессов и полученные уточнения для компонент факторизации, найдены интегральные преобразования для совместных распределений момента достижения уровня и овершутов через соответствующий уровень. В частности, рассмотрены случаи бесконечно удаленного и нулевого уровней. Отметим, что в теории риска овершуты через нулевой уровень определяют часть требования, вызвавшего банкротство, которую компания может выплатить до банкротства, и часть, которая останется не выплаченной после. При оценке вероятности банкротства для процесса риска в среде Маркова со случайной функцией премий используется аналог двустороннего неравенства Лундберга.

На основе стохастических соотношений для моментов выхода через одну из границ ограниченного интервала выведены интегральные уравнения для соответствующих распределений. С помощью тождеств Печерского получены интегральные преобразования совместного распределения момента выхода из ограниченного интервала и значения процесса в этот момент, а также распределение процесса до выхода из интервала и вероятность невыхода.

На основе результатов, полученных для двухграничных функционалов, выводятся интегральные уравнения для генератрис процессов с задержкой и отражением от одной границы, а также с мгновенным отражением от одной и двух границ. Для модифицированных процессов, заданных на конечной цепи Маркова, рассмотрен момент достижения нулевого уровня, который в теории риска можно интерпретировать как момент банкротства. Рассматривается численный пример нахождения вероятности банкротства, распределений овершутов через нулевой уровень для процесса со стохастическими премиями в случае, когда размер премий имеет показательное распределение, а размер требований -– Эрланга(2). Для скалярного случая, то есть для случая не случайной среды, результаты для двухграничных функционалов упрощаются, и, соответственно, упрощаются результаты для модифицированных процессов.

Ключевые слова: Марковские аддитивные процессы, почти полунеперерывные процессы, факторизационное тождество, распределения овершутов, двухграничные функционалы, модифицированные процессы риска, вероятность банкротства.

ANNOTATION

Karnaukh E.V. Boundary problems for one class of the processes defined on a Markov chain. – Manuscript.

The thesis is presented for obtaining a scientific degree of Candidate of Physical and Mathematical Sciences in specialty 01.01.05 – Probability Theory and Mathematical Statistics. – Kyiv National Taras Shevchenko University, 2007.

The thesis is devoted to the study of boundary functionals for the processes with stationary independent increments defined on a finite Markov chain. We assume that the processes intersect positive or negative level by the exponentially distributed jumps (so called almost semi-continuous processes). Under condition of the almost semi - continuity we receive concrete definition of the components of matrix factorization identity. The distributions of extrema are treated. The conditions of non – degeneracy of absolute extrema are obtained.

Using factorisation method we get analytical representations of integral transforms of the joint distributions for the first time of intersections of some negative or positive level and overshoots. Furthermore, the special cases for zero and infinitely far levels are considered. For estimation of ruin probabilities for the surplus risk processes with stochastic premium function in a Markov environment the analogue of two-sided Lundberg inequality are applied.

On basis of stochastic relations for two - sided boundary functionals the integral equations on interval for the corresponding moment generating function of are deduced. After prolonging these equations on a half – line and using the analogues of Pechersкiy’s identities we get the representation of integral transform of joint distribution for the time of exit through upper bound of interval and the value of the process at that moment. Moreover, the distribution of the process before exit from interval and probability of non – exit are obtained.

Results obtained for the two - sided boundary functionals we employ to receive the integral transforms of the distributions of the modified processes with delaying and reflection from positive bound. We also consider the achievement time of zero level. This functional can be interpreted as a ruin time for the risk process in a Markov environment with stochastic premium function and bounded reserves. For scalar case simplified representations for the two - sided boundary functionals are deduced.

Key words: Markov additive processes, almost semi-continuous processes, factorization identity, the distributions of overshoots, two- sided boundary functionals, modified risk processes, ruin probability.