НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ

Коломойцев Юрій Сергійович

УДК 517.5

НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ ПОЛІНОМАМИ

У ПРОСТОРІ

01.01.01 математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико–математичних наук

Донецьк 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Донецькому національному університеті.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

Тригуб Роальд Михайлович,

Донецький національний університет,

професор кафедри математичного аналізу

і теорії функцій

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Стороженко Елеонора Олександрівна,

Одеський національний університет,

завідувач кафедри математичного аналізу;

кандидат фізико–математичних наук, доцент

Двейрін Михайло Захарович,

Донецький національний університет,

доцент кафедри вищої математики.

Захист відбудеться 17.10. 2007 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 11.193.02 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург,74.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і ме-ханіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург,74.

Автореферат розісланий 15.09. 2007 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради _________________ Довгоший О. А.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дисертаційну роботу присвячено дослідженню задач, які пов’язані з наближенням функцій у просторах та більш загальних класах функцій У просторах та добре відомими є критерії найкращого наближення, прямі та обер-нені теореми про максимальну швидкість збіжності поліномів та сплайнів залежно від глад-кості функції (С.Н. Бернштейн, Д. Джексон, С.М. Нікольський, М.П. Корнейчук, С.Б. Стечкін, О.Ф. Тіман, М.Ф. Тіман та ін.). При цьому вагому роль відігравали опера-тори згортки (мультиплікатори) та подвійність (лінійні неперервні функціонали). Властиво-сті простору при у багатьох випадках суттєво відрізняються від властивостей про-стору при . Наприклад, простір є лише квазінормованим простором, в якому не існує взагалі ненульових неперервних функціоналів, а одинична куля не є опуклою множиною. Ці та інші властивості простору при дослідженні апроксимації функ-цій в означе-них просторах призводять до необхідності розробки нових методів та під-ходів для розв’язання багатьох задач.

Інтенсивне вивчення просторів і питань, які пов’язані з наближенням функ-цій у цих просторах почалося з 70-х років минулого століття. Слід зазначити роботи Е.О. Стороженко, В.Г. Кротова, П. Освальда, В.І. Іванова, О.Б. Александрова, Я. Петре, О.А. Талаляна, Р.А. ДеВора, Д. Левіатана, Ю.А. Брудного, З. Дітціана.

Зазначимо також, що властивості просторів застосовуються при розв’язанні деяких питань у теорії функцій на перший погляд ніяк не пов’язаних із означе-ними просторами. Так, наприклад, за допомогою властивостей простору О.Б. Александровим та Дж. Шапіро було отримано у підсиленій формі багатовимірний ана-лог класичної теореми братів Рісс. Необхідність вивчення апроксимативних властивостей функцій із виникає при дослідженні наближення функцій сплайнами з віль-ними вузлами.

Основними задачами, які пов’язані з наближенням функцій у просторах що досліджуються у дисертації, є наступні задачі: 1) повнота тригонометричної системи з пропусками, 2) властивості операторів мультиплікативного типу, 3) властивості модулів гладкості функцій, 4) оцінки наближення функцій тригонометричними поліномами.

1. Тригонометрична система з пропусками є неповною у просторі інтегрованих функ-цій . У просторі ситуація суттєво відрізняється. О.А. Талалян, ймовірно, впер-ше до-вів існування нескінченної множини такої, що система є повною в Різні достатні та необхідні умови повноти та властивості тригонометричної си-стеми з пропусками були одержані у роботах Дж. Шапіро, К. де Леу, О.Б. Александрова, В.І. Іванова та В.О. Юдіна.

2. Мультиплікатори – це оператори перестановочні з оператором зсуву. Теореми про мультиплікатори Фур’є у просторах належать М. Ріссу, М. Марцинкевичу, С.Г. Міхліну та ін. У просторах та є повний опис мультиплікаторів – це інтегральні опера-тори (згортка функції та міри). Теореми про мультиплікатори мають різні застосування в аналізі Фур’є, теорії функцій та диференціальних рівняннях.

Зазначимо також, що достатні умови для мультиплікаторів степеневих рядів у просто-рах Харді при та їх застосування були одержані Р.М. Тригубом.

3. Опис класу функцій, які мають максимальний порядок спадання до нуля модуля гладкості у різних функціональних просторах, було одержано в роботах Г.Х. Харді і Дж. Літльвуда, Д.А. Райкова, Ю.А. Брудного та В.Г. Кротова.

У просторах теореми про продовження функцій зі збереженням порядку при модуля гладкості були одержані Х. Уітні, В.К. Дзядиком та О.В. Бесовим.

4. Оцінка найкращого наближення функції тригонометричними поліномами через її модуль неперервності та модуль гладкості (теорема типу Джексона) у просторі вперше була одержана Е.О. Стороженко, В.Г. Кротовим, П. Освальдом та В.І. Івановим неза-лежно від названих вище авторів. Пізніше К.В. Руновським було запропо-новано інший підхід для отримання таких теорем у просторах

Питання про визначення точного порядку спадання послідовності найкращих набли-жень функції тригонометричними поліномами вивчалося С.М. Лозинським, С.Б. Стечкіним та О.Ф. Тіманом. Р.К.С. Ратхор знайшов необхідну та достатню умову на функцію при виконанні якої порядок спадання до нуля найкращих наближень функцій поліно-мами збігається з порядком спадання до нуля модуля гладкості визначеного довіль-ного по-рядку.

Саме цим актуальним питанням і присвячена дисертація.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у межах держбюджетної наукової теми Г-02/40 „Теорія функцій та операторів” згідно з пла-ном науково-дослідних робіт кафедри математичного аналізу та теорії функцій Донецького на-ціонального університету.

Мета і завдання дослідження. Об’єктом дослідження у дисертаційній роботі є набли-ження функцій поліномами в та особливості просторів при Пред-мет дослідження – тригонометричні системи з пропусками та швидкість наближення функ-цій поліномами, які побудовані за системами з пропусками у просторі власти-во-сті операторів мультиплікативного типу в властивості модулів гладко-сті функ-цій у просторах оцінки наближення функцій тригонометричними поліно-мами в константа найкращого наближення функції із

Метою дисертаційної роботи є дослідження питань, які пов’язані з наближенням функ-цій у просторах Для реалізації поставленої мети у роботі було сформульо-вано та вирішено такі завдання:

1) дослідити повноту тригонометричної системи з пропусками у просторі

2) знайти характеристику мультиплікаторів Фур’є у просторі та одер-жати нові властивості операторів мультиплікативного типу;

3) одержати нові властивості модулів гладкості у просторі

4) дослідити швидкість наближення функцій тригонометричними поліномами;

5) дослідити поведінку константи найкращого наближення функції із простору

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації одержані такі нові результати:

1. Знайдено критерій повноти тригонометричної системи з пропусками у класах при деяких умовах на функцію .

2. Доведено, що мультиплікатором Фур’є у просторі може бути тільки лі-нійна комбінація зсувів.

3. Доведено, що лінійні диференціальні оператори непорівнювані у просторі

4. Одержано нерівність типу Нікольського-Стечкіна-Боаса для дробових похідних у про-сторі

5. Одержано повний опис класу функцій, які мають максимальний порядок спадання до нуля модуля гладкості у просторі ( з фіксованою константою).

6. Побудовано продовження функції з відрізка на всю числову пряму зі збереженням сте-пеневого порядку спадання до нуля модуля гладкості у просторі

7. Знайдено нові двосторонні оцінки наближення функцій тригонометричними поліно-мами у просторі

8. Одержано аналоги теорем типу Джексона у просторі для систем експо-нент з пропусками.

9. Одержано нову властивість константи найкращого наближення функції у просторі

Практичне та теоретичне значення одержаних результатів. Результати дисертацій-ної роботи мають теоретичний характер. Одержані результати та методика можуть бути ви-користані для подальших досліджень у теорії функцій.

Апробація результатів дисертації. Окремі результати дисертації доповідались авто-ром на Міжнародній конференції „Функціональні методи в теорії наближень, теорії операто-рів, стохастичному аналізі і статистиці II”, 1-5 жовтня 2004 р., Київ; Міжнародній конферен-ції „Современные проблемы математики, механики, информатики”, 22-26 листопада 2005 р., Тула; Міжнародній конференції „Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх засто-сування”, 18-23 вересня 2006 р., Ужгород; Міжнародній конференції „Modern Analysis and Applications - 2007”, 9-14 квітня 2007 р., Одеса.

Загалом результати дисертації доповідались на науковому семінарі кафедри математич-ного аналізу ОНУ, квітень 2007 р., Одеса (керівник д.ф.-м.н., проф. Е.О. Стороженко), на науко-вому семінарі відділу теорії функцій ІПММ НАН України, березень 2007 р., Донецьк (керівник д.ф.-м.н., проф. В.І. Рязанов), а також неодноразово на науковому семінарі кафедри математичного аналізу й теорії функцій ДонНУ "Аналіз Фур’є й теорія наближення функ-цій", 2003-2007 рр., Донецьк (ке-рівник д.ф.-м.н., проф. Р.М. Тригуб).

Публікації і особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації вміщено в 7 наукових публікаціях [1–7] та тезах доповідей міжнародних конференцій [8-11]. Шість наукових статей [1, 3-7] опубліковані у виданнях, затверджених ВАКом України. Всі резуль-тати одноосібні. Науко-вому ке-рівнику д.ф.-м.н., проф. Р.М. Тригубу належить постановка завдань та загальне кері-вництво роботою.

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота викладена на 128 сторінках і мі-с-тить вступ, основну частину з п’яти розділів, висновки, список літератури. Список викори-станої літератури містить 116 позицій та становить 12 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету та завдання досліджен-ня, окреслено наукову новизну, а також подано інформацію про апробацію результатів дисер-тації.

У першому розділі подано історію досліджень та огляд робіт математиків, які займа-лися або займаються вказаною вище тематикою.

У другому розділі одержано критерій повноти тригонометричної системи з про-пу-ска-ми у класах Нехай функція зростає на та при Бу-демо го-ворити, що якщо , де . Позначимо .

Теорема 2.1.1. Нехай функція – опукла до верху, та Система є повною в тоді і лише тоді, коли для кожного тригонометричного полінома знай-деться функція така, що коефіцієнти Фур’є для всіх і

.

Теорема 2.1.1 дозволяє звести задачу про повноту тригонометричної системи з про-пу-ска-ми до дослідження спектру деяких спеціальних функцій, зокрема, сингулярних функцій. Використовуючи теорему 2.1.1 і побудову сингулярних функцій за допомогою нескінченних добутків Риса, було отримано наступні нові та вже відомі твердження:

Наслідок 2.2.2. Нехай функція – опукла до верху, та Тоді, якщо для кожного знайдеться таке, що

то система є повною в

Наслідок 2.2.3. Нехай функція – опукла до верху, та послідовність задовольняє наступним умовам

і при

Система є повною в тоді і лише тоді, коли

.

Наслідок 2.2.4. Нехай функція – опукла до верху і Існує послідовність така, що

і система є повною в

Зазначимо, що наслідок 2.2.2 у інший спосіб у просторі було одержано О.Б. Александровим Aleksandrov A.B. Essays on non locally convex Hardy classes // Lecture Notes in Math. – 1981. – Vol. 864. – Springer-Verlag. – P. 1-89.

, а наслідок 2.2.4 – В.І. Івановим Иванов В.И. Представление измеримых функций кратными тригонометрическими рядами // Тр. МИАН СССР. – 1983. – Т. 164. – С. 100-123.

.

У третьому розділі було досліджено оператори мультиплікативного типу у просторі , У підрозділі 3.1 було розглянуто мультиплікатори Фур’є. Мультиплікатори при-родно визначити таким чином: числову послідовність назвемо мультиплікатором в , якщо існує константа така, що для кожного і для кожного три-гонометричного полінома

, ,

де .

Через повноту простору , й апроксимаційної теореми Вейєрштрасса муль-типлікатор може бути продовжений за неперервністю на весь простір , без збільшення квазінорми .

Для формулювання наступного результату нам знадобиться визначення класу – функ-цій обмеженої -варіації. Говорять, що , на відрізку , якщо

,

де розбивка .

Теорема 3.1.1. Для того щоб послідовність була мультиплікатором в , необхідно і достатньо, щоб на існувала комплекснозначна функція така, що для кожного . При цьому

.

Із властивостей функцій обмеженої р-варіації маємо наступне твердження:

Наслідок 3.1.3. Для того щоб послідовність була мультиплікатором у , необхідно і достатньо, щоб існували кінцеві чи зчисленні набори чисел і такі, що , для всіх і для кожного , тобто .

Нехай або і . Р.М. Тригубом Тригуб Р.М. О сравнении линейных дифференциальных операторов // Матем. заметки. – 2007. – Т. 82, № 3. – С. 426-440.

знайдено, зокрема, три різних кри-терії для існування нерівності

,

де і – алгебраїчні поліноми, а константа не залежить від функції Розглянуто і нерів-ність з двома і більше поліномами у правій частині.

У підрозділі 3.2 показано, що лінійні диференціальні оператори непорівнювані у метри-ці простору

Теорема 3.2.2. Нехай або і . Тоді для будь-яких трьох поліномів , та () і для будь-якої константи знайдеться функція така, що , для кожного і

.

У підрозділі 3.3 одержано аналог нерівності Нікольского-Стечкіна-Боаса для дробових похідних у просторі

Нехай – довільний тригонометричний поліном, а . Похідною по-лінома називають поліном , де .

Нехай також

,

де при при

Теорема 3.3.1. Нехай і . Тоді існують додатні кон-стан-ти та , які залежать від та такі, що

.

У четвертому розділі було розглянуто два питання, які пов’язані з поведінкою модуля глад-кості у просторі

Нехай – проміжок. Модуль гладкості функції порядку і шагу ви-значають за формулою

,

де , якщо , і , якщо .

У підрозділі 4.1 одержано теорему 4.1.1, яка повністю описує клас функцій, які мають максимальний порядок спадання до нуля їх модуля гладкості (з фіксованою константою).

Теорема 4.1.1. Нехай і Нерівність вико-нується тоді і лише тоді, коли функція може бути виправлена на множині міри нуль таким чином, що є функцією стрибків . Більше того,

,

де

,

.

Теорема 4.1.1 посилює відповідний результат Ю.А. Брудного Брудный Ю.А. О классе насыщения сплайн-аппроксимации с равномерными узлами в , // Иссл. по теории функций многих вещественных переменных. Ярославль. – 1984. – C 34-40.

.

У підрозділі 4.2 досліджено задачу про продовження функції із простору зі збереженням спадання модуля гладкості. Одержано наступні дві теореми.

Теорема 4.2.1. Нехай – два відрізка, і Тоді існує лінійний обмеже-ний оператор такий, що і

, ,

де константа залежить лише від та відношення довжин відрізків .

Теорема 4.2.2. Нехай і – відрізок. Тоді:

(i) якщо при і деякому інтеграл , тоді існує ліній-ний обмежений оператор продовження функції на такий, що при і виконується нерівність

, ,

де константа залежить лише від та ;

(ii) при існує лінійний обмежений оператор такий, що при і викону-ється нерівність

, ,

де константа залежить тільки від та

Результати теореми 4.2.2 дозволяють побудувати продовження функції з відрізка на всю числову пряму зі збереженням степеневого порядку спадання до нуля модуля гладкості у просторі ( для довільного ).

У п’ятому розділі досліджено питання, які пов’язані зі швидкістю наближення функ-цій тригоно-метричними поліномами. У підрозділі 5.1 на випадок просторів поширю-ють-ся відомі результати, які стосуються двостороннього наближення функцій три-гонометричними поліномами.

Надалі через будемо позначати найкраще наближення функції тригонометрич-ними поліномами порядку не вище за . Наступна теорема поширює на ви-падок просторів , відповідний результат Р.К.С. Ратхора Rathore R.K.S. The problem of A.F. Timan on the precise order of decrease of the best approximations // J. Approx. Theory. – 1994. – Vol. 77. – P. 153-166.

.

Теорема 5.1.1. Нехай і Для того щоб існувала константа така, що для кожного

,

необхідно і достатньо, щоб для деякого існувала константа така, що для кожного

.

Наслідок 5.1.2. Нехай і Відношення

,

виконується тоді і лише тоді, коли для деякого виконується відношення

, ,

( – двостороння нерівність з додатними константами).

Теорема 5.1.3. Нехай і Тоді існує тригонометричний полі-ном такий, що

.

( – двостороння нерівність з додатними константами, які залежать тільки від і ).

У випадку простору , існують лінійні поліноміальні методи набли-ження, які дають подібні двосторонні оцінки наближення функцій Тригуб Р.М. Конструктивные характеристики некоторых классов функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1965. – Т. 29. – C. 615-630.

. У просторі , ситуація суттєво відрізняється.

Пропозиція 5.1.4. Нехай і – лінійний поліноміальний метод набли-ження такий, що для кожної функції

де – константа, яка не залежить від функції . Тоді .

Звідси випливає, що оператор у теоремі 5.1.3 не може бути лінійним оператором.

У підрозділі 5.2 у зв’язку з результатами щодо повноти тригонометричної системи з пропусками досліджується питання про швидкість наближення функції поліномами, які по-будовані за такими системами.

Нехай множина задовольняє умовам наслідку 2.2.2. Для послідовності чисел яка задовольняє цим умовам, можна показати, що для кожних існують числа , такі, що для множини

виконується наступне включення

,

Теорема 5.2.1. Нехай , і Тоді існує тригонометричний полі-ном такий, що і

,

де , а – константа, яка залежить тільки від

Враховуючи конкретну структуру множини отримано більш точні оцінки набли-ження. Нехай, наприклад, , де . Далі використовуємо на-ступне позначення

.

Теорема 5.2.3. Нехай і Тоді

,

де

,

,

а – константа, яка залежить тільки від та

Наслідок 5.2.6. Нехай , і Тоді

,

де – константа, яка залежить тільки від та

Розглянемо класи функцій

і

.

Наступні твердження показують точність теореми 5.2.3.

Наслідок 5.2.7. Нехай і Тоді

(i) якщо , то

, ;

(ii) якщо , то

, ;

(iii) якщо , то

, ,

де , – абсолютні додатні константи.

У підрозділі 5.3 досліджено властивість обмеженості константи найкращого набли-ження функції із простору Наступна теорема є аналогом на випадок просторів відповідного результату Р.М. Тригуба Тригуб Р.М. О мультипликаторах Фурье и наилучшем приближении в интегральной метрике // Теорія наближень та гармонічний аналіз: Праці Українського математичного конгресу – 2001. – Київ: Ін-т математики НАН України. – 2002. – C. 239-252.

, який був застосований для отримання точних норм мультиплікаторів Фур’є.

Теорема 5.3.1. Нехай – множина позитивної міри Лебега, і . Якщо існує підмножина де функція обмежена і при де-якому тоді існує константа така, що

і

,

де .

Теорема 5.3.1 є точною. При константа може бути і не обмеженою.

ВИСНОВКИ

У процесі дослідження одержано такі основні результати:

1. Критерій повноти тригонометричної системи з пропусками у класах .

2. Критерій мультиплікатора Фур’є. Зокрема доведено, що у просторі муль-типлікатором Фур’є може бути тільки лінійна комбінація зсувів.

3. Доведено, що лінійні диференціальні оператори непорівнювані у метриці простору

4. Нерівність типу Нікольського-Стечкіна-Боаса для дробової похідної у просторі

5. Повне описання класу функцій, які мають максимальний порядок спадання до нуля мо-дуля гладкості в (з фіксованою константою).

6. Продовження функції з відрізка на більш широкий відрізок зі збереженням модуля глад-кості. Продовження функції на всю числову пряму зі збереженням степеневого порядку спадання до нуля модуля гладкості у просторі

7. Двосторонні оцінки наближення функцій тригонометричними поліномами в

8. Аналоги теореми типу Джексона в для поліномів, які побудовані за триго-нометричною си-стемою з пропусками.

9. Досліджено властивість обмеженості константи найкращого наближення функції із про-сто-ру

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Коломойцев Ю.С. Описание класса функций с условием при // Вісник Дніпропетр. нац. ун-ту. Математика. – 2003. – Вип. 8. – C. 31-44.

2. Коломойцев Ю.С. Некоторые вопросы приближения функций тригонометрическими по-линомами в // Известия ТулГУ. Математика. – 2005. – Т. 11. – Вып. 1. – С. 160-169.

3. Коломойцев Ю.С. О мультипликаторах и модулях гладкости в пространстве при // Доповіді НАН України. – 2006. – № 1. – C. 17-22.

4. Коломойцев Ю.С. О несравнимости линейных дифференциальных операторов в // Вісник Дніпропетр. нац. ун-ту. Математика. – 2006. – Вип. 11. – C. 38-45.

5. Коломойцев Ю.С. О модулях гладкости и мультипликаторах Фурье в // Укр. мат. журн. – 2007. – Т. 59, № 9. – С. 1221-1238.

6. Коломойцев Ю.С. Полнота тригонометрической системы в классах // Матем. за-метки. – 2007. – Т. 81, № 5. – C. 707-712.

7. Коломойцев Ю.С. Ограниченность константы наилучшего приближения в // Труды ИПММ НАН Украины. – 2007. – Т. 14. – C. 117-121.

8. Kolomoytsev Yu. S. On approximation of functions in the spaces for // Abstracts. International conference "Functional Methods in Approximation Theory, Operator Theory, Stochastic Analysis and Statistics II", dedicated to the memory of A.Ya. Dorogovtsev (1935-2004), October 1-5, 2004. - Kyiv. – P. 53.

9. Коломойцев Ю.С. Некоторые вопросы приближения функций тригонометрическими по-линомами в // Тезисы. Международная конференция. Современные про-блемы математики, механики, информатики. Посвященная 85-летию со дня рожде-ния профессора С.Б. Стечкина и 75-летию ТулГу. 22-26 ноября 2005 г. - Тула. – С. 106.

10. Коломойцев Ю.С. О некоторых особенностях пространств // Тези. Міжна-родної конференції. Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх за-стосування, 18-23 вересня 2006 р. - Ужгород. – С. 48.

11. Kolomoytsev Yu. S. On some features of the spaces // Abstracts. International conference "Modern Analysis and Applications -2007", Dedicated to the centenary of Mark Krein, April 9-14, 2007. - Odessa. – P. 73.

АНОТАЦІЇ

Коломойцев Ю.С. Наближення функцій тригонометричними поліномами у просторі , . – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спе-ціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2007 р.

Дисертаційну роботу присвячено дослідженню питань, які пов’язані з наближенням функцій поліномами у просторі Основні результати роботи полягають у наступ-ному: одержано критерій повноти тригонометричної системи з пропусками у класах ; доведено, що у просторі не існує нетривіальних мультиплікаторів Фур’є; доведено, що лінійні диференціальні оператори непорівнювані у метриці простору , одержано повне описання класу функцій, які мають максимальний порядок спа-дання до нуля модуля гладкості (з фіксованою константою); побудовано продовження функції із простору зі збереженням порядку спадання модуля гладкості; одержано нові двосторонні оцінки на-ближення функцій тригонометричними поліномами в одержано аналоги тео-реми типу Джексона у просторі для систем з пропусками; одержано нову власти-вість константи найкращого наближення функції із простору

Результати мають теоретичний характер і можуть бути застосовані у теорії функцій та гармонічному аналізі.

Ключові слова: простір тригонометрична система, повнота тригономе-трич-ної системи, мультиплікатори Фур’є, диференціальні оператори, похідна дро-бового порядку, модулі гладкості, нерівність типу Джексона, найкраще наближення.

Коломойцев Ю.С. Приближение функций полиномами в пространстве , . – Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 математический анализ. – Институт прикладной математики и меха-ники НАН Украины, Донецк, 2007 г.

Диссертационная работа посвящена исследованию вопросов, связанных с приближе-нием функций полиномами в пространстве В пространствах и хо-рошо известны критерии наилучшего приближения, прямые и обратные теоремы о макси-мальной скорости сходимости полиномов и сплайнов в зависимости от гладкости функции (С.Н. Бернштейн, Д. Джексон, С.М. Никольский, С.Б. Стечкин, А.Ф. Тиман, М.Ф. Тиман, Н.П. Корнейчук и др.) при этом существенную роль играли операторы свертки (мультипли-каторы) и двойственность (линейные непрерывные функционалы). Свойства про-странства при во многих случаях существенно отличны от свойств пространства при Например, пространство является квазинормированным простран-ством, в кото-ром не существует линейных непрерывных функционалов, а единич-ный шар не является вы-пуклым множеством.

Интенсивное изучение пространств и вопросов, связанных с приближе-нием функций в этих пространствах, началось с 70-х годов прошлого столетия. Следует отме-тить работы Э.А. Стороженко, В.Г. Кротова, П. Освальда, В.И. Иванова, А.Б. Александрова, Я. Петре, А.А. Талаляна, Р.А. ДеВора, Д. Левиатана, Ю.А. Брудного, З. Дитциана.

Основные результаты диссертации состоят в следующем: получен критерий полноты тригонометрической системы с пропусками в классах ; доказано, что в пространстве не существует нетривиальных мультипликаторов Фурье; доказано, что линей-ные дифференциальные операторы не сравнимы в метрике пространства полу-чено полное описание класса функций, имеющих максимальный порядок убывания к нулю модуля гладкости; построено продолжение функции из пространства с сохране-нием порядка убывания модуля гладкости; получены новые результаты о двусторон-нем приближении функций тригонометрическими полиномами в получены ана-логи теоремы типа Джексона в пространстве для тригонометрических сис-тем с пропусками; получено новое свойство константы наилучшего приближения функции из пространства

Результаты имеют теоретический характер и могут быть использованы в теории при-ближений функций и гармоническом анализе.

Ключевые слова: пространство тригонометрическая система, полнота триго-нометрической системы, мультипликатор Фурье, дифференциальные операторы, про-изводная дробного порядка, модули гладкости, неравенства типа Джексона, наилучшее при-ближение.

Kolomoitsev Yu. S. Approximation of function by polynomials in the space , . – Manuscript.

Thesis for Candidate of Science (Ph.D.) degree in Physics and Mathematics specialization 01.01.01 – mathematical analysis. Institute of applied mathematics and mechanic of NAS of Ukraine, Donetsk, 2007.

The dissertation is devoted to problems which are concerned with approximation of functions by polynomials in the space The main results of the dissertation are summarized as follows: the criterion of completeness for trigonometric system with gaps in the classes is obtained; it is proved that in the space there exist only trivial Fourier multipliers; it is proved that linear differential operators are not comparable in the -metric the full description for a class of functions that have the maximal order of decrease to zero of the module of smoothness is obtained; the extension of a function in the space with preservation the decrease order of the module of smoothness is presented; new results on two-sided approximation of functions by trigonometric polynomials in are given; the analogues of Jackson type theorem in space for trigonometric system with gaps is obtained; a new property of a constant of the best approximation of function from the space , is obtained. These results allow us to solve some problems of the approximation theory and the harmonic analysis.

Key words: the space trigonometric system, completeness of trigonometric system, Fourier multiplier, differential operator, derivative of fractional order, module of smoothness, Jackson type inequalities, best approximation.