Київський національний університет

імені Тараса Шевченка

Протасова Ольга Ігорівна

УДК 519.62

Болеани G – просторів

01.01.08 – математична логіка, теорія алгоритмів і

дискретна математика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2007

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі дослідження операцій Київського національного університету імені Тараса Шевченка, міністерство освіти і науки України

Науковий керівник – доктор фізико-математичних наук, професор

ЗАКУСИЛО Олег Каленикович, кафедра дослідження операцій факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

БАНАХ Тарас Онуфрійович,

кафедра геометрії і топології Львівського національного університету імені Івана Франка

кандидат фізико-математичних наук, доцент ОЛІЙНИК Богдана Віталіївна,

кафедра математики Національного університету “Києво-Могилянська Академія”

Провідна установа: Одеський державний університет імені І.І.Мечникова, МОН України, м. Одеса

Захист відбудеться “ 10 ” квітня 2007р. о 14 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03127, м. Київ, проспект академіка Глушкова, 6, механіко-математичний факультет

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58)

Автореферат розісланий “_7__”_березня__2007р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В.В. Плахотник

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Кульова структура Я - це трійка (X,P,B), де X,P - не порожні множини і для всіх x є X та б є P, B(x,б) - підмножина множини X, що називається кулею радіуса б з центром в точці x. При цьому вимагається, щоб x є B(x, б) для всіх x є X, б є P. Множина X називається носієм Я, P - множиною радіусів.

Для довільних x є X, AX, б є P покладемо

B*(x, б)={y є X : x є B(y, б)}, B(A, б)= U a є A B(a, б).

Кульову структуру Я називають болеаном, якщо

для довільних б, в є P існують б', в' є P, такі що для кожного xє X,

B(x, б) B*(x, б'), B*(x, в) B(x, в');

для довільних б, в є P існує г є P, таке що для кожного x є X,

B(B(x,б), в) B(x, г).

Болеани можна розглядати як природну антитезу рівномірним топологічним просторам, якщо, замість рівномірно неперервних відображень, за морфізми між болеанами Я1=(X1,P1,B1) та Я2=(X2,P2,B2) взяти відображення f:X1>X2 з такою властивістю: для довільного радіуса б є P1 знайдеться радіус в є P2, такий що

f(B1(x, б)) B2(f(x),в)

для всіх x є X. Такі відображення називають \prec- відображеннями (борно логічними відображеннями).

2

Болеани виникли в асимптотичній геометрії і топології під назвою грубі структури (coarse structures1) і незалежно, хоча і дещо пізніше, в комбінаториці під назвою рівномірні кульові структури (uniform ball structures2).

Основи асимптотичної геометрії заклав М.Громов в трактаті3. Асимптотична геометрія або геометрія великих розмірів (large seal geometry) вивчає глобальні властивості метричних просторів, при цьому мілкі (обмежені) деталі цих просторів ігноруються. На разі – це один з основних інструментів досліджень в геометричній теорії груп4. До загально математичних здобутків асимптотичної геометрії можна віднести поняття гіперболічного метричного простору, метрику Громова-Хаусдорфа, асимптотичну розмірність, границю і кінці групи та ін.

Поштовхом до становлення вказаного асимптотичного підходу в комбінаториці була стаття 5, в якій запропоновано деяку класифікацію підмножин групи за їх розмірами. Ретельний аналіз цієї класифікації показав, що виділені типи підмножин групи (великі, малі, надвеликі та ін.) мають не специфічно групову природу, а є віддзеркаленням відомих типів підмножин топологічних просторів (щільні, ніде не щільні та ін.). На цьому шляху з’явилися стільникові та нормальні болеани, узагальнення корон Хігсона і Фройденталя, такі кардинальні інваріанти

_______________________

1 J.Roe Lectures on Coarse Geometry // AMS University Lecture

Series, 31 (2004).

2 Protasov I., Banakh T. Ball structures and Colorings of

Groups and Graphs // Math. Stud. Monogr. Ser. 4 (1999).

3 Gromov M. Asymptotic invariants of infinite group // London Math. Soc. Lecture Notes Ser. 182 (1993).

4 Harpe P. Topics in Geometrical Group Theory // University Chicago Press, 2000.

5 Bella A., Malyhkin V. Small, large and other subsets of a

group // Q and A in General Topology, 17 (1999), 183-197.

3

болеанів як ентропія, ємність, розкладність, корозкладність. Паралельно було розв’язано кілька проблем про розбиття груп. Докладніше про це можна прочитати в монографії 6.

Для того, щоб алгебраїчний об’єкт (скажемо, групу) вивчати з асимптотичної точки зору, необхідно, щоб його асимптотична структура (в даному випадку, болеан на групі) була певним чином узгоджена з його алгебраїчною структурою. Деякі фрагменти такого узгодження вже зустрічалися в перелічених працях, проте систематичних досліджень в цьому напрямку не проводилось.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота пов’язана з науковими розробками кафедри досліджень операцій Київського національного університету імені Тараса Шевченка в межах науково-дослідної теми N01БФ015-01 “Розвиток теорії і програмного забезпечення стохастичних та алгебраїчних систем із застосуванням в економіці, соціології, техніці та освіті”.

Мета і задачі дослідження. Дослідити і формалізувати можливі способи узгодження асимптотичної структури на множині з заданою дією групи на цій множині, зокрема, знайти асимптотичні аналоги топологічної групи.

Методи дослідження. В дисертації адаптовано до асимптотичної ситуації деякі теоретико-множинні, алгебраїчні, комбінаторні та топологічні методи.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертації введено такі нові поняття і конструкції: болеани G-просторів, лівоінваріантні і рівномірно лівоінваріантні болеани на групі, групові болеани і групові ідеали, максимальні болеани, конверт-

_____________________

6 Protasov I., Banakh T. Ball structures and Colorings of

Groups and Graphs // Math. Stud. Monogr. Ser. 4 (1999).

4

болеани, поняття детектора і асимптотичного детектора гіперграфа. Всі результати дисертації, що виносяться на захист, нові. Вкажемо на основні з них.

- Дано дві характеризації стільникових болеанів, побудовано універсальний болеан в класі зліченних метризованих стільникових болеанів.

- Встановлено основні властивості болеанів фінітарних і універсальних G-просторів. Вказано розбиття довільної нескінченної групи на скінченне число Р-малих підмножин.

- Встановлено зв'язок між болеанами на групах і груповими ідеалами. Доведено, що на кожній зліченій групі існує щонайменше а1 власних групових ідеалів, а на кожній нескінченній абелевій групі G таких ідеалів рівно 22|G|. Доведено теореми про доповнення і ущільнення в решітці групових ідеалів.

- Знайдено ефективний критерій максимальності болеана. Доведено аналог теореми Малихіна для максимальних групових болеанів. В CH побудовано максимальний груповий болеан на зліченній булевій групі.

- Встановлено зв'язок між детекторами гіперграфів і їх числами покриття, що дало змогу обчислити детектори і асимптотичні детектори низки гіперграфів.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота має теоретичний характер. Її результати можуть бути використані в подальших дослідженнях з асимптології, а також бути включені до відповідних спецкурсів.

Особистий внесок здобувача. Усі результати, що виносяться на захист одержано автором особисто.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на:

5

міжнародній конференції “Geometric Topology: Infinite Dimensional Topology, Absolute Extensors, Applications”(Львів, травень 2004р.);

ІІ-ій літній школі з алгебри і топології (Львів – Долина, липень 2004р.);

ІІІ-ій літній школі з алгебри, аналізу і топології (Львів – Козьова, липень 2005р.);

V міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (Одеса, липень 2005р.);

міжнародній конференції “Математичний аналіз і суміжні питання” (Львів, листопад 2005р.);

міжнародній конференції “Several Aspects in Biology, Chamistry, Computer Science, Mathematics and Physics” (Орадеа, Румунія, листопад 2005р.);

ІV-ій літній школі “Алгебра, Топологія, Функціональний та Стохастичний Аналіз” (Львів - Козьова, липень 2006р.);

засіданні алгебраїчного семінару Київського національного університету імені Тараса Шевченка;

розширеному засіданні кафедри дослідження операцій.

Публікації. Всі результати дисертації викладено в 6 статтях, опублікованих в журналах, що входять до переліку наукових фахових видань ВАК України, та у 8 тезах доповідей на наукових конференціях. Список публікацій наведено в кінці автореферату.

Спільна стаття [4] – це огляд, до якого включено основні результати дисертації, в [5] та [6] співавтору належать постановки задач, формулювання гіпотез та їх коригування в процесі досліджень.

Об’єм та структура дисертації. Дисертація складається зі вступу, п’яти розділів, висновку і списку використаних джерел з 55 найменувань. Повний обсяг дисертації - 132 сторінки.

6

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

Перший розділ “Болеани як асимптотична альтернатива рівномірних просторів” розбито на дев’ять підрозділів: кульові структури (рівномірні простори і болеани), морфізми, метризовність та апроксимації, стільниковість і псевдодискретність, графові болеани, нормальність, корони болеанів, комбінаторні розміри, кардинальні інваріанти. В цьому розділі наведено необхідні означення і зроблено детальний огляд відомих результатів, з якими в тій чи іншій мірі пов’язана дисертаційна робота. Ми зупинимось лише на четвертому розділі, що містить виключно власні результати.

Нехай Я=(X,P,B) - довільний болеан, x, y є X, б є P. Кажуть, що елементи x, y зв’язані б-шляхом, якщо існує скінченна послідовність x0, x1, …,xn в X, така що x0= x, xn=y і xi+1є B(xi, б) для всіх I є {0, …, n-1}. Для довільних x є X, б є P покладемо

B? (x, б)={yє X: x,y зв’язані б-шляхом}.

Болеан Я? називають стільниковою оболонкою болеана Я. Болеан Я називають стільниковим, якщо Я=Я?. Очевидним прикладом стільникового болеану є болеан будь-якого неархімедового метричного простору. Одержано дві характеризації стільникових болеанів.

Теорема 1.4.1. Для довільного болеана Я=(X,P,B) такі умови рівносильні:

(і) Я стільниковий;

(іі) для довільної рівномірно обмеженої в Я сім’ї F підмножин X і будь-якого б є P сім’я F ? (б)={B?(F, б): Fє F } рівномірно обмежена в Я;

7

(ііі) Я є індуктивною границею деякої сім’ї {Ял: л є Л} болеанів розбиттів.

Теорема 1.4.2. Болеан Я стільниковий тоді і тільки тоді коли його асимптотична розмірність asdim Я дорівнює нулю.

Нехай Я1=(X1,P1,B1), Я2=(X2,P2,B2) - болеани. Бієкція f : X1> X2 називається асиморфізмом між Я1 і Я2, якщо f і f-1 є prec-відображеннями. Якщо X1=X2 і тотожнє відображення id:X1> X2 є асиморфізмом, ми вважаємо, що Я1=Я2.

Пару prec-відображень f : X1> X2, g : X2> X1 називають квазі-асиморфізмом між Я1 і Я2, якщо існують б є P1, вє P2, такі що для всіх x є X1, y є X2

f2 f1 (x) є B1 (x,б), f1f2 (y)=B2 (y,в).

Нехай K - клас болеанів по відношенню до асиморфізмів. Болеан Я є K називають універсальним в K, якщо кожен болеан з K асиморфно вкладається в Я.

Нехай {Zn: nє щ} - сім’я непорожніх множин. Для кожного n є щ відмітимо деякий елемент e-n є Zn і розглянемо прямий добуток Z=n є щ (Zn, en). Кожен елемент z є Z - це послідовність (zn) n є щ, така що zn є Zn, n є щ і zn=en для всіх n за винятком скінченого їх числа. Для кожного n є щ покладемо zn=prn z і визначимо метрику с на Z. Покладемо с(z,z)=0 для всіх z є Z, якщо z, z' - різні елементи Z, то с(z, z')=m+1, де m - найменше число з щ, для якого prnz=prnz' для всіх n>m.

Теорема 1.4.3. Нехай {(Zn,en): nє щ} – сім’я зліченних множин з відміченими елементами, Z=nє щ(Zn,en). Болеан метричного простору (Z,с) універсальний в класі зліченних метризовних стільникових болеанів.

8

За допомогою цієї теореми доведено (теорема 1.4.5), що болеан кожного сепарабельного неархімедового метричного простору квазі-асиморфно вкладається в болеан гільбертового простору l2.

Болеан Я=(X,P,B) називають дискретним, якщо B(x,б)={x} для всіх x є X, б є P. Болеан Я називають псевдодискретним, якщо для кожного бє P існує обмежена підмножина VX, така що B(x,б)={x} для всіх x є X \ V. Кожен псевдодискретний болеан стільниковий.

Нехай X - довільна множина, ц- фільтр на X. Для довільних x є X, Fє ц покладемо

X \ F, if x not in F;

Bц(x,F)=

{x}, if x є F.

Позначимо через Я (X,ц) болеан Я=(X,ц, Bц) і назвемо Я(X,ц) болеаном фільтра ц .

Теорема 1.4.6. Болеан Я=(X,P,B) псевдодискретний тоді і тільки тоді, коли Я обмежений або Я=Я(X,ц) для деякого фільтра ц на X.

Спираючись на цю теорему проведено класифікацію псевдодискретних болеанів з точністю до асиморфізмів (теорема 1.4.7), а також охарактеризовано болеани, що квазі-асиморфно вкладаються в псевдодискретні (теорема 1.4.8). Дано також характеризацію псевдодискретних болеанів за допомогою повільно осцилюючих функцій (теорема 1.4.9) і описано (теорема 1.4.10) болеани, що є одночаснопсевдодискретними і псевдообмеженими (виявилось, що такі болеани існують тоді і тільки тоді, коли існують вимірні кардинали).

В другому розділі “Болеани класичних G-просторів”, що складається з трьох підрозділів, вивчаються болеани G-просторів, в основному універсальних і фінітарних.

9

Нехай X - G-простір, F e - сім’я всіх скінчених підмножин групи G, що містять одиницю e. Для всіх x є G, Fє F e позначимо

B(x,F) = {g(x): gє F}

і назвемо кульову структуру (X, F e, B) болеаном G-простору X. G-простір X називають універсальним, якщо G-група всіх підстановок множини X, і фінітарним, якщо G - група всіх підстановок X зі скінченними носіями. В теоремах 2.1.1 і 2.1.2 описано підмножини болеанів фінітарних і універсальних G - просторів за їх розмірами: великі, малі, надвеликі, кусково великі, товсті. В другому підрозділі доведено також дві теореми про розбиття G - просторів.

За означенням, підмножина Y G-простору X велика, якщо знайдеться скінчена підмножина FG, така що X=F(Y).

Теорема 2.1.3. Нехай X - G-простір, H - нескінченна скінченно породжена підгрупа групи G. Якщо підмножина H(x)={h(x): h є H} нескінченна для будь-якого елемента xє X, то X можна розбити на зліченне число великих підмножин.

За означенням, підмножина S групи G мала зліва в сенсі Проданова (скорочено, P- мала зліва), якщо існує ін’єктивна послідовність (an) nє щ елементів групи G, така що сім’я підмножин {anS: n є щ} диз’юнктна. Аналогічно визначаються P-малі справа підмножини. Якщо S - P-мала і зліва і справа, кажуть, що S - P-мала. Наступна теорема дає позитивну відповідь на запитання 2в з 7.

_______________________

7 Dikranjan D., Protasov I. Every infinite group can be generated by P-small subset // Applied General Topology. – 2006. – Vol.7, No 1. – P.265 – 268.

10

Теорема 2.1.5. Кожну нескінчену групу можна розбити на злічене число P-малих підмножин.

В підрозділі 2.2 дано критерії метризовності, графовості і стільниковості болеанів G-просторів, а в підрозділі 2.3 описано корони деяких G-просторів. Результати цих підрозділів свідчать, що болеани фінітарного і універсального G-просторів істотно відрізняються від болеанів регулярних G-просторів (G-простір X регулярний, якщо X = G і g(x)=gx для всіх g є G, x є X).

Третій розділ “Болеани на групах” складається з пяти підрозділів і є серцевиною дисертації. Нехай G - група з одиницею e. Болеан (G,P,B) на групі G ми називаємо

ліво (право) інваріантним, якщо всі відображення x > gx (x>xg), gє G є \prec-відображеннями;

рівномірно ліво (право) інваріантними, якщо для кожного б є P знайдеться в є P, таке що gB(x,б) B(gx, в) (відповідно, B(x,б)g B(xg,б ) для всіх x,g є G;

груповим, якщо (G,P,B) рівномірно ліво і рівномірно право інваріантний.

В підрозділі 3.1 встановлено зв'язок між рівномірно ліво інваріантними болеанами і груповими ідеалами.

Сім’ю I підмножин множини X називають ідеалом, якщо I містить непорожню множину і для довільних підмножин A, B є I, A' A

A U B є I, A' є I

Ідеал I на групі G назвемо груповим ідеалом, якщо для довільних підмножин A,B є I

AB є I, A-1 є I,

11

де AB={ab: a є A, bє B}, A-1={a-1: a є A}.

Кожен груповий ідеал I на G визначає рівномірно ліво інваріантний болеан (G, I, B), де B(g,A)=gA, gє G, Aє I. Цей болеан позначається (G, I). Навпаки, кожен рівномірно ліво інваріантний болеан на G співпадає з болеаном (G, I) для деякого групового ідеалу I на G. Таким чином, дослідження рівномірно ліво інваріантних, зокрема групових, болеанів зводиться до вивчення групових ідеалів. За теоремою 3.1.1, болеан (G, I) груповий тоді і тільки тоді, коли U{x-1Ax: xє G} є I для всіх Aє I.

Груповий ідеал I на групі G назвемо власним, якщо болеан (G, I) зв’язний і необмежений (еквівалентно, G є I і I містить всі скінченні підмножини групи G). Для довільної групи G і підмножини AG позначимо через I (A) найменший за включенням груповий ідеал на G, такий що A є I і болеан (G, I) зв’язний. Цей ідеал I (A) назвемо моногенним.

В підрозділах 3.2 і 3.3 викладено конструкції групових ідеалів на зліченних і абелевих групах.

Теорема 3.2.1. Для кожної зліченої групи G існує щонайменше а1 власних моногенних групових ідеалів на G.

Теорема 3.3.1. Нехай G - нескінчена абелева група потужності к. Тоді існує 2к власних моногенних групових ідеалів і 22к власних групових ідеалів на G.

В четвертому підрозділі вивчаються ущільнення і доповнення в решітці групових ідеалів. Наведемо дві теореми з цього підрозділу.

Теорема 3.4.2. Нехай G - нескінченна абелева група, I1, I2 - власні групові ідеали на G. Якщо I1 має зліченну базу і I1 I2, то існує власний груповий ідеал I на G, такий що I1 I I2.

12

Ідеал I2 на групі G назвемо Л-доповненням до ідеалу I1 якщо I1 ? I2= F (G), I2= F (G), де F (G) - ідеал для всіх скінченних підмножин групи G.

Теорема 3.4.3. Нехай G - абелева група, I - власний груповий ідеал зі зліченою базою на G. Ідеал I має - доповнення тоді і тільки тоді, коли болеан (G, I) задовольняє хоча б одну з двох умов:

(і) для кожного простого числа p підгрупа pG={pg : g є G} необмежена в болеані (G, I);

(іі) існує просте число p, таке що підгрупа Sp={g є G : pg=0} необмежена в (G, I).

В заключному п’ятому підрозділі третього розділу вивчаються зв’язки між груповими ідеалами і ультрафільтрами на групах. Зокрема, доведено (теорема 3.5.1), що для кожної нескінченної абелевої групи G кожного вільного ультрафільтра ц на G існує власний груповий ідеал I на G, такий що ц прямує до нескінченності в болеані (G, I).

В четвертому розділі “Екстремальні болеани”, що складається з чотирьох підрозділів, досліджуються максимальні і нерозкладні болеани. На множині болеанів з фіксованим носієм є природний частковий порядок <. Нехай Я1=(X1,P1,B1), Я2=(X2,P2,B2). За означенням, Я1<Я2, якщо для кожного б є P1 знайдеться вє P2, таке що B1 (x,б) B2 (x,в) для всіх xє X. Необмежений зв’язний болеан на множині X називається максимальним, якщо кожен більш сильний за < болеан на X обмежений. За лемою Цорна, кожен необмежений зв’язний болеан можна посилити до максимального.

В першому підрозділі встановлено критерій максимальності, що використовує конверт-болеани. Для довільної кульової структури Я на множині X конверт-болеан env Я - це

13

найменший болеан на X, для якого Я < env Я. Вказано явну конструкцію конверт-болеану. Кульову структуру з одноелементною множиною радіусів назвемо монокульовою.

Теорема 4.1.1. Необмежений зв’язний болеан Я на X максимальний тоді і тільки тоді, коли для довільної монокульової структури Я' на X або Я'<Я, або конверт-болеан env (Я'UЯ) обмежений.

За допомогою цього критерію вказано конкретні приклади максимальних болеанів.

В другому підрозділі встановлено ряд властивостей підмножин максимальних болеанів. Доведено (теорема 4.2.1 та 4.2.2), що в максимальному болеані кожна необмежена підмножина є великою, кожна мала підмножина обмежена, кожна кусково велика підмножина велика.

Максимальні болеани на групах досліджуються в третьому підрозділі. Доведено такий аналог для групових болеанів теореми Малихіна про максимальні топологічні групи.

Теорема 4.3.1. Нехай G - нескінченна група, I - власний груповий ідеал на G. Якщо болеан (G, I) максимальний, то підмножина {g2 : gє G} обмежена в G.

З цієї теореми випливає, наприклад, що на групі цілих чисел максимальних групових болеанів не існує. Основним результатом цього підрозділу є побудова (приклад 4.3.3) за допомогою контануум-гіпотези групового ідеалу I на зліченній абелевій групі експоненти 2, такого що груповий болеан (G, I) максимальний. Невідомо, чи можна побудувати груповий ідеал з цією властивістю без додаткових до ZFC теоретико-множинних аксіом.

14

Необмежений зв’язний болеан Я на множині X називають нерозкладним, якщо X не можна розбити на дві великі підмножини. В четвертому підрозділі одержано деякий критерій нерозкладності, встановлено зв'язок між нерозкладністю і псевдодискретністю, а також описано болеани, що є одночасно максимальними і нерозкладними.

Теорема 4.4.3. Нехай Я=(X,P,B) - необмежений власний болеан. Тоді наступні твердження рівносильні:

(і) Я максимальний і нерозкладний;

(іі) існує ультрафільтр ц на X, такий що Я=Я(X,ц);

(ііі) існує лише один ультрафільтр на X, що прямує до нескінченості в Я.

Максимальні і нерозкладні болеани можна розглядати як асимптотичні віддзеркалення максимальних і нерозкладних топологічних просторів. Топологічний простір X без ізольованих точок називають максимальним, якщо X має хоча б одну ізольовану точку в кожній більш сильній топології на X. Топологічний простір X нерозкладний, якщо X не можна розбити на дві щільні підмножини. Кожен максимальний простір нерозкладний. На відповідних прикладах показано, що класи максимальних і нерозкладних болеанів неінцидентні (на відміну від відповідних топологічних просторів).

Останній п’ятий розділ “Детектори і асимптотичні детектори” складається з двох підрозділів. В цьому розділі вводяться і вивчаються два нових кардинальних інваріанти гіперграфів, повязані з розфарбуванням їх вершин.

Нехай X - множина, F - деяка сім’я підмножин. Пару H=(X, F) називають гіперграфом з множиною вершин V і множиною

15

гіперребер F. Ми вважаємо, що U F =X.

Нехай л - кардинал, такий що 0<л<к = |X|. Розфарбування ч:X> к назвемо л-допустимим, якщо | ч (F)| ? л для кожного ребра F є F. Покладемо

ж (H,л)= sup {| ч (X)|: л - допустиме розфарбування X}.

Зрозуміло, що ж (H,л) ? л. Якщо ж (H,л)= л, скажемо, що л є детектором гіперграфа H. В першому підрозділі встановлено тісний зв'язок між детекторами гіперграфа H і його числом покриття, що визначається так

cov H = sup{ г: для кожної підмножини YX потужності г існує F є F, таке що, YF },

а також обчислено детектори низки конкретних гіперграфів.

В другому підрозділі розглядаються гіперграфи, множина вершин яких є носієм деякого болеану, а кожне ребро є необмеженою підмножиною в цьому болеані.

Нехай Я=(X,P,B) - болеан, Y - непорожня множина, f : X> Y. Асимптотичну потужність образу f(X) визначимо як

ascard f(X)= min { f(X \ V):V - обмежена підмножина X.

Якщо Y=X, а f - тотожне відображення, записуємо ascard X замість ascard f(X).

Нехай множиною вершин гіперграфа H=(X, F) є носієм деякого болеана Я, а сім’я F складається з необмежених підмножин. Зафіксуємо кардинал л < ascard X і назвемо розфарбування ч: X> ascard X асимптотично л - допустимим, якщо ascard ч(F) ? л для кожного ребра F є F.

Покладемо

жas (H,л) = sup{ ascard ч(X): ч - асимптотично

л –допустиме розфарбування X}.

16

Якщо жas(H, л) = л , то кардинал л називаємо асимптотичним детектором гіперграфа H. Запропоновано конструкцію графу асимптотичних перетинів A(H) гіперграфу H, що дозволяє в деяких випадках визначати асимптотичні детектори. Встановлено зв'язок між асимптотичними детекторами і границями відображень f : X> R.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі одержано такі основні результати:

дано характеризації стільникових і псевдодискретних болеанів, побудовано універсальний болеан в класі зліченних метризовних стільникових болеанів;

досліджено болеани універсальних і фінітарних G-просторів, доведено, що кожну нескінченну групу можна розбити на зліченне число Р-малих підмножин;

встановлено зв'язок між болеанами на групах і груповими ідеалами, доведено, що на кожній зліченній групі є щонайменше а1 власних групових ідеалів, а на кожній нескінченній абелевій групі їх число дорівнює 22|G|, доведено теореми про доповнення і ущільнення в решітці групових ідеалів;

знайдено критерії максимальності і нерозкладності болеанів, в припущенні континуум-гіпотези побудовано максимальний груповий болеан, описано болеани, що є одночасно максимальними і нерозкладними;

введено поняття детекторів і асимптотичних детекторів, для деяких гіперграфів обчислено ці кардинальні інваріанти.

17

ПУБЛІКАЦІЇ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ

ДИСЕРТАЦІЇ

1. Протасова О.І. Кульові структури G-просторів // Вісник КУ. Сер.фіз.-мат.н. - 2004. - №3. - С.54 - 69.

2. Protasova O.I. Maximal balleans // General Appl. Topology. - 2006. - Vol.7. - №2. - P.151 - 163.

3. Protasova O.I. Cellular balleans // Mat. Stud. - 2006. - T.25, №1. - C.3 - 9.

4. Protasov I.V., Protasova O.I. Survey of Balleans // Analele Universitatii Oradea Fasc. Matematica. - 2005. - Tom XIII. - P.225 - 260.

5. Protasov I.V., Protasova O.I. Sketch of group balleans // Mat. Stud. - 2004. - Т.22, №1. - С. 10 - 20.

6. Protasov I.V., Protasova O.I. Color-detectors of hypergraphs // Algebra and Discrete Math. - 2005.- №1. - C.91 - 98.

7. Protasov I.V., Protasova O.I. The start for group balleans // International Conference "Geometric Topology: Infinite Dimensional Topology, Absolute Extensors, Applications", Book of Abstracts, Lviv 2004, - P.55-56.

8. Protasova O.I. Maximal balleans // II Summer School in Algebra and Topology, Lviv-Dolyna 2004, - P. 31-32.

9. Protasova O.I. On universal cellular balleans // III Summer School in Algebra, Analisis and Topology, Lviv - Kozyova, 2005, - P. 144 - 146.

10. Protasov I.V., Protasova O.I. On closed ideals of вG //

IV Summer School in Algebra, Topology, Functional and Stochastic Analysis, Lviv - Kozyova, 2006, - P. 161 - 162.

11. Protasova O.I. On small and P-small subsets of a group // International Conference "Analysis and Related Topics", Lviv, 2005, - P. 85

18

12. Protasova O.I. Combinatorial size in G-spaces // Several Aspects in Biology, Chemistry, Computer Science, Mathematics and Physics, Baile Felix, Romania, 2005, - P.27

14. Protasov I.V., Protasova O.I. Balleans: the asymptotic

counterparts of uniform topological spaces // Several Aspects in Biology, Chamistry, Computer Science, Mathematics and Physics, Baile Felix, Romania. - 2005. - P.26 - 27.

15. Protasova O.I. Pseudodiscrete balleans // 5th International Algebraic Conference in Ukraine, Odessa, 2005, - P. 164

АНОТАЦІЇ

Протасова О.І. Болеани G-просторів. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.08 – математична логіка, теорія алгоритмів і дискретна математика. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2006.

Болеан – це множина, наділена деякою сім’єю підмножин, що називаються кулями. Властивості сім’ї куль постулюються так, щоб болеан з відповідними морфізмами був природнім асимптотичним аналогом рівномірного топологічного простору. Охарактеризовано стільникові і псевдодискретні болеани, вивчено болеани фінітарних і універсальних G-просторів, встановлено зв'язок між болеанами на групах і груповими ідеалами, запропоновано конструкції групових ідеалів, в CH побудовано максимальний груповий болеан, описано болеани, що є одночасно максимальними і нерозкладними, обчислено детектори і асимптотичні детектори деяких гіперграфів.

19

Ключові слова: кульова структура, болеан, асиморфізм, стільниковість, псевдодискретність, болеан G-простору, фінітарний і універсальний G-простори, групові болеани, конверт-болеан, детектор і асимптотичний детектор.

Протасова О.И. Боллеаны G- пространств. Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.08 – математическая логика, теория алгоритмов и дискретная математика. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко.

Боллеан – это множество, снабжённое некоторой системой подмножеств, которые называются шарами. Свойства системы шаров постулируются так, чтобы боллеан с соответствующими морфизмами был естественным аналогом равномерных топологических пространств. Охарактеризованы сотовые и псевдодискретные боллеаны, изучены боллеаны финитарных и универсальных G- пространств, установлена взаимосвязь между боллеанами на группах и групповыми идеалами, предложены конструкции групповых идеалов, в CH построен максимальный групповой боллеан, описаны максимальные неразложимые боллеаны, вычислены детекторы и асимптотические детекторы некоторых гиперграфов.

Ключевые слова: шаровая структура, боллеан, асиморфизм, сотовость, псевдодискретность, боллеан G- пространства, финитарное и универсальное G- пространство, групповые боллеаны, конверт-боллеан, детектор и асимптотический детектор.

20

Protasova O.I. Balleans of G - spaces. Manuscript.

Dissertation for pursuing Ph.D degree in Physics and Mathematics. Kyiv Taras Shevchenko University, Kiyv, 2006.

Ballean is a set endowed with some family of its subsets which are called the balls. We postulate the properties of the family of ball in such a way that a ballean can be considered as a natural counterpart of a uniform topological space. We characterize the cellular and pseudodiscrete balleans, study the balleans of universal and finitary G - spaces, relationships between group balleans and group ideals, give some constructions of group ideals, under CH we construct a maximal group balleans, describe the maximal irresolvable balleans, calculate the detectors and asymptotic detectors of some hypergraphs.

Key words: ball structure, ballean, asymorphism, cellularity, pseudodiscretness, ballean of G - space, finitary and universal G - spaces, group balleans and group ideals, ballean envelope, detector and asymptotic detector.