Одеський державний універсітет

ім. І.І. Мечникова

Морозов Юрій олександрович.

УДК 539.374

Динамічні задачі концентрації пружних напружень біля дефектів, що лежать на циліндричних поверхнях

01.02.04 механіка деформівного твердого тіла.

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Одеса 1999

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Одеському державному політехнічному університеті.

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор

Попов Генадій Якович

Одеський державний університет ім. І.І. Мечникова,

завідувач кафедри методів математичної фізики.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Хай Мирослав Васильович,

Львівський державний університет

Львівська політехніка ,

завідувач кафеди опоруматеріалів

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Кривий Олександр Федорович

Одеська державна морська академія

Провідна установа: Дніпропетровський державний унверситет, кафедра

теоретичної та прикладної механіки ,

Міністерство освіті України, Дніпропетровськ

Захист відбудеться ____ _______1999 р. о_______ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 41.051.05 при Одеському державному університеті ім. І.І. Мечникова за адресою: 270026, м. Одеса, Дворянська, 2.

З дисертацією можна ознайомитися у науковій бібліотеці Одеського державного університету ім. І.І. Мечникова (270026, м. Одеса, вул. Преображенська, 24).

Автореферат розісланий _____ ________1999 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Вітюк О.Н.

загальна характеристика роботи

Актуальність теми Аналіз крихкого руйнування авіаційних, енергетичних будівельних та інших конструкцій, показує, що в переважній більшості випадків причиною їх було утворення тріщиноподібних дефектів у зонах концентрації напружень. Дедалі складніші умови експлуатації конструкцій і, передусім, динамічний характер впливу навантажень, створюють передумови для виникнення та розвитку тріщин.

Одним з головних завданнь, що постають під час створення сучасних машин і споруд, є забезпечення міцності, надійності і довговічності за наявності тріщин (бо якої б попередньої технологічної обробки не зазнавав матеріал, у ньому не обходиться без дефектів типу тріщин). Тож проектування конструкцій з огляду на наявність у них тріщин потребує критеріїв, якіб забезпечували граничну рівновагу тіла с тріщинами для заданого навантаження. Один з таких критеріїв, що грунтується на аналізі напружено-деформівного стану в околі верхівки тріщини та визначенні так званого коефіцієнта інтенсивності напружень (КІН), дає механіка руйнування. Проте визначення КІН потребує розвязання мішаних задач теорії пружності, які є дедалі складнішими, коли постає потреба розглядати просторові задачі теорії пружності. Ця проблема ще дужче ускладнюється, якщо доводиться розвязувати динамічні задачі. Беручи до уваги те, що в більшості випадків завантаження конструкцій має динамічний характер, у дисертаційній роботі зроблено спробу розвязати проблему відшукання КІН для просторових задач теорії пружності в динамічній постановці. Цє і визначає актуальність теми дисертації.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Роботу виконано на базі тематичних планів науково-дослідних робіт (НДР) 248-31, реєстраційний номер 0196U023205 Моделювання та забезпечення надійності і довговічності технологічних систем, Одеського державного політехнічного університету на 1997-1999 р.

Мета і задачі дослідження. Мєтою даної роботи є розвязання тривимірних динамічних задач теорії пружності для необмеженого пружного середовища і півпростору, що мають циліндричний дефект у вигляді тріщини, та розробити ефективний метод розвязання інтегральних рівнянь задач концентрації пружних напружень біля циліндричного дефекту (тріщини) і обчислення КІН.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому,що:

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

Практичне значення одержаних результатів полягає в тому, що з їхньою допомогою можна обчислювати КІН і, використовуючи відомі критерії руйнування, визначати рівноважний стан елементів конструкцій з вказаними дефектами при заданому навантаженні.

Особистий внесок здобувача У публікаціях, підготовленних у співавторстві, здобувачом виконано вивід основних рівнянь та співвідношень, аналітичні перетворення та чисельна реалізація. Співавторам належить постановка задач та ідея їх розвязання.

Апробація роботи Основні положення дисертації були предметом доповідей на VIII международном науково-технічному симпозіумі Высокие технологии в машиностроении (Харків-Алушта, 20-25 грудня 1998), та VIII международном симпозіумі Методы дискретных особенностей в задачах математической физики (Харків-Крим, 1999). Дисертаційну роботу в цілому було розглянуто і схвалено на розширеному засіданні кафедри «вищої математики №2» Одеського державного політехнічного університету; розглянуто і схвалено роботу також на науковому семінарі з математичної фізики Одеського державного університету ім. І. І. Мечникова.

Публікації. Результати досліджень викладено в 4-х статтях, надрукованних у наукових журналах.

Структура і зміст роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, трьох розділів, висновків та списку викоростаних джерел, що містить у собі 63 найменувань; має 140 сторінок друкованого тексту.

Зміст дисертації

В вступі обгрунтовано актуальність і важливість теми дослідженя, подано короткий огляд праць, близьких до теми дисертації, проанотовано всі розділи пропонованої роботи.

У першому розділі побудовано розривний розвязок тривимірних рівнянь руху пружного середовища для циліндричного дефекту, під яким слід розуміти частину циліндричної поверхні

(1)

під час переходу через яку зазнають розривів неперервності першого роду переміщення та напруження із заданими стрибками

(2)

де вжито позначення .

Для цього напочатку будують розривний розвязок хвильових рівнянь у циліндричній системі координат

, (3)

де

,,.

В (3) функції визначають хвилю зсуву, а хвилю розширення, швидкості поширення поздовжних і поперечних хвиль у пружному середовищі.

Під розривним розвязком рівнянь (3) слід розуміти такий розвязок, що задовольняє цим рівнянням скрізь за винятком поверхні (1), де він і його нормальна (до поверхні дефекту) похідна зазнають розривів першого роду із заданими стрибками

(4)

Тут і далі штрих означає похідну по .

Для побудови розвязку використовувався узагальнений метод інтегральних перетворень, тобто до рівнянь (3) послідовно застосовували інтегральне перетворення Лапласа щодо часу (параметр перетворення) і перетворення Фурє за кутовою координатою (параметр перетворення ; ), а далі використовували інтегральне перетворення Ханкеля за радиальною координатою, застосовуючи узагальнену схему методу інтегральних перетворень. Потім, обертаючи перетворення Ханкеля, у трансформантах Фурє-Лапласа здобули необхідний розривний розвязок для хвильових рівнянь (1)

(5)

де

,, ,

модифікована функція Бесселя, функція Макдональда.

В разі, коли процес коливань, що описується хвильовими рівняннями (2), є усталеним і всі задані та шукані функції пропорційні множникові , циклічна частота, то в побудованому розривному розвязку для хвильових функцій слідує покласти. Отже, розривний розвязок у цьому випадку замість (5), матиме вигляд

(6)

де

,, , ,

Функція Бесселя, функція Ханкеля.

З двох функцій Ханкеля в розвязуванні використовують першу, оскільки для обраної часової залежності потенціалу тільки вона задовольняє умові випромінювання Зоммерфельда на нескінченності.

Потрібний розривний розвязок рівнянь руху пружного середовища буде побудовано, якщо виразити стрибки через задані стрибки переміщень і напружень. Для цього слід використати формули зв'язку компонент вектора переміщень і тензора напружень із хвильовими функціями. В результаті були отримані необхідні формули, що визначають значення стрибків хвильових функцій та їх похідних через стрибки (2). З оглядом на їхню громіздкісті для загального випадку, обмежимось випадком осьової симетрії (всі функції не залежать від, тому в отриманих формулах для загального випадку слід покласти , причому, наприклад, ) та дефектів типу тріщини, коли

.

В цьому випадку вказаний зв'язок між заданими стрибками та стрибками хвильових функцій буде мати вигляд

(7)

(8)

Підставляючи отримані значення стрибків хвильових функцій та їхніх похідних у (5), знайдемо трансформанти функцій, а за ними з допомогою відомих формул матимемо трансформанти шуканого розривного розвязку зі стрибками (2). Щоб отримати саме розривний розвязок слід обернути отримані трансформанти, тобто скористатися з відомих формул оберненя перетворень Фурє і Лапласа. Наприклад, для кручення розривний розвязок у трансформантах Лапласа має вигляд

В другому розділі вперше поставлено і розвязано задачі дифракції хвилі кручення на скінченній і напівнескінченній циліндричній тріщині, а також концентрації пружних напружень біля краю напівнескінченної циліндричної тріщини за ударного завантаження її берегів крутильним навантаженням.

У задачі дифракції пружне середовище було завантажено на початку координат центром обертання (кручення), побудову якого наведено. Оскільки до розгляду взято деформацію кручення пружного середовища, то поле напружень і переміщень складатиметься тільки з та і розвязок поставленої задачі будуватимемо у вигляді

,, (9)

де і переміщення і напруження від центру обертання за умови гармонійного завантаження пружного середовища, і - розривний розвязок рівнянь пружності для розглядуваного дефекту, побудований вище.

Інтегральне рівняння поставленої задачі одержується при виконанні умови відсутності напружень на берегах тріщини

. (10)

Реалізуючи вказану умову на тріщині, отримано наступне інтегродиференціальне рівняння

, (11)

де

.

Застосовуючи таку заміну змінних

(12)

і видокремлюючи з ядра отриманого рівняння нерегулярну частину, матимемо, замість (11) таке рівняння

. (13)

Для його наближеного розвязання застосовано метод ортогональних многочленів з використанням спектрального співвідношення1)

, (14)

де многочлен Чебишева другого роду. Розвязок рівняння (13) шукуємо у вигляді

. (15)

У результаті стандартних операцій методу ортогональних многочленів отримано нескінченну систему алгебраїчних рівнянь.

(16)

_______________________________________________________________________________________________________________

1) Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений, М,: Главная редакция физико-математической литературы, 1982. 344 с.

де

,.

Систему рівнянь (16) розвязували наближено методом редукції, обгрунтування якого наведено. На підставі отриманого розвязку побудовано діаграму спрямованості в дальній зоні за тріщиною та обчислено коефіцієнт інтенсивності напружень. Для обчислення КІН на обох краях тріщини виведено формули

, (17)

Далі розглянуто випадок напівнескінченної тріщини, коли в (11) . В цьому випадку застосували таку заміну змінних

. (18)

В результаті замість (13) отримано рівняння

. (19)

Було показано, як можно побудувати точний розвязок рівняння (19) методом факторизації. Але оскільки в статичній постановці цю задачу теж не розвязано і вона вимагає використання нестандартних підходів, до свого розвязання, тому увагу зосереджено на цьому випадку. Тож замість (19) маємо

, (20)

де

,.

Це рівняння припускає точний розвязок методом факторизації. Для того щоб спростити розвязок відповідної задачі Рімана, виявилось доцільним позбутися зовнішніх похідних в рівнянні (20), перекинуши їх на шуканий розвязок , тобто замість рівняння (20) маємо

. (21)

Згідно з механічним змістом похідні розвязку мають такі асимптотики

(22)

і розвязання інтегрального рівняння слід будувати в класі функцій з неінтегрованими особливостями, розуміючи розбіжні інтеграли в узагальненому (регуляризованому) сенсі, який базується на аналітичному продовженні параметрів, які визначають характер особливості шуканого розвязку. В цьому розумінні братимемо співвідношення

, (23)

При переході від (20) до (21) виконувалося інтегрування по частинам із використанням (23), вважаючи, що розвязок рівняння будується в класі функцій, які спадають на нескінченності разом зі своїми першими похідними.

Оскільки інтегральне рівняння (21) отримано з інтегро-диференціального рівняння (20), то для єдиності розвязку треба до рівняння (21) додати додаткову умову. Як би розвязання будувалося у класі інтегрованих функцій, то такою додатковою умовою була б умова замкненості тріщини

. (24)

Продовжуючи аналітично цю рівність на випадок , отримано рівність

. (25)

Розвязок отриманого інтегрального рівняння (21) будуємо в класі функцій з неінтегрованими особливостями з додатковою умовою (25) методом факторизації. Символ ядра рівняння (21) подано у вигляді

(26)

Застосовуючи стандартні операції методу факторизації до рівняння (21) і враховуючи при цьому, що інтеграли слід розуміти в узагальненому (регуляризованому) сенсі, прийдемо до задачі Рімана (функціонального рівняння Вінера-Хопфа заданому на дійсній осі)

, (27)

.

Факторизацію символа ядра проведено за формулами

,.

Розвязок задачі Рімана (27) отримано у вигляді

Сталу знайдено з умови (25)

. (28)

Напруження на продовженні тріщини знайдемо по формулі

(29)

і відповідно коефіціент інтенсивності напружень

. (30)

Підставляючи (29) у (30), маємо

. (31)

По отриманій формулі було проведено чисельний аналіз.

У випадку ударного завантаження берегів напівнескінченної циліндричної тріщини, дотичні (крутильні) напруження задані у вигляді

,. (32)

Інтегральне рівняння задачі отримано з умови на тріщині

. (33)

Реалізуючи умову (33) і проводячи наступні заміни ,,, отримаємо рівняння

, (34)

де , ,

. (35)

Інтегро-диференціальне рівняння (34) розвязувалося методом ортогональних многочленів за допомогою спектрального співвідношення2)

. (36)

Реалізувавши стандартну процедуру методу ортогональних многочленів, отримано нескінченну систему алгебраїчних рівнянь

(37)

де

, , ,

_____________________________________________________________________________________

2) Попов Г.Я.Об одном спектральном соотношении для многочленов Чебышева-Лаггера и его приложение к динамическим задачам механики разрушения \\ ПММ. 1999. Том 63. Вып. 1. С. 71-79.

, .

Інтеграли, що містяться в вдалося обчислити в замкненому вигляді

,. (38)

Систему (37) розвязували асимптотичним методом великих параметрів . Для цього розвязок будували у вигляді

(39)

При цьому, якщо задана функція розкладається в ряд Маклорена, то права частина рівняння виявляється розкладеною за оберненими степенями .

Внаслідок реалізації асиммптотичного методу великих отримані явні аналітичні вирази для коефіціентів у розкладі (39), причому . В результаті і розвязок вхідного рівняння (34) теж виявляється розкладеним за оберненими степенями . Обернувши за Лапласом отримане розкладення, маємо асимптотичний розвязок поставленої задачі для малих значень часу. Також отримано формули для обчислення КІН в випадку малих

У третьому розділі вперше поставлено і розвязано задачу концентрації пружних напружень біля скінченної циліндричної тріщини, розташованої всередині пружного півпростору. Для цього побудовано розривний розвязок рівнянь руху для напівпростіру. При цьому межу півпростору

моделювали фіктивним дефектом (тріщиною) у формі площини

(41)

тому для побудови означеного розривного розвязку, будували спочатку розривний розвязок рівнянь руху необмеженого пружного середовища для дефекту (49), а далі стрибки хвильових функцій на плоскому (фіктивному) дефекті виражено через відповідні стрибки на циліндричному дефекті (1)

, (42)

де

Тут і нижче все, що стосується плоского дефекту позначено вгорі рискою а для циліндрічногодефекту хвилею.

Це дало змогу надалі позбутися інтегрування по межі напівпростору і звести задачі до інтегрального рівняння (системи) з інтегруванням по поверхні циліндричного дефекту.

Підставляючи отримані трансформанти хвильових функцій , у формули зв'язку компонент вектора переміщень і тензора напружень з хвильовими функціями, можна отримати трансформанту шуканого розривного розвязку рівнянь руху для напівпростору, що містить циліндричний дефект. Цю процедуру виконано для осесиметричного випадку. Зокрема для кручення отримано такий розривний розвязок

, (43)

де

.

Для ілюстрації застосування отриманого розривного розвязку розглянуто таку задачу. На межі пружного напівпростору з дефектом (1) у вигляді тріщини, докладено навантаження по гармонійному закону, тобто

(44)

Інтегральне рівняння задачі отримано з умови на тріщині

Далі розглянуто випадок, коли скінченна тріщина виходить на межу напівпростіру (). Тоді після заміни змінних

,,,

і відокремлення нерегулярної частини, рівняння набуло вигляду

, (45)

де

,

.

Для розвязку рівняння (45), застосовано метод ортогональних многочленів з використанням спектрального співвідношення (14). розвязок будувався у вигляді (15). Після реалізації стандартної схеми методу ортогональних многочленів отримано таку нескінченну систему алгебраїчних рівнянь

. (51)

Коефіціенти є потрійні інтеграли, які в статичному випадку вдалося перетворити до однократних і були обчислені у замкненому вигляді. Коефіціенти залежать від зовнішнього навантаження, а в загальному випадку є подвійні інтеграли, які так само було зведено до однократних та обчислено чисельно. Використовуючи одержаний розвязок інтегро-діфференіального рівняння (45), обчислено коєфіцієнт інтенсивності напружень залежно від хвильового числа (динаміка) та розмірів площини, на яку покладено навантаження, а також від геометричних параметрів тріщини (в статичному випадку).

ВИСНОВКИ

1.

1.

1.

1.

1.

1.

Основні результати дисертації опубліковано в наступних роботах:

1.

1.

1.

1.

АНОТАЦІЯ

Морозов Ю. О. Динамічні задачі концентрації пружних напружень біля дефектів, що лежать на циліндричн поверхнях - Рукопис

Дисертація на здобуття накового ступеня кандидата физико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 механіка деформованого твердого тіла. Одеський державний університет імені І.І. Мечникова, Одеса, 1999

Дисертацію присвячено двом актуальним проблемам: механиці крихкого руйнування тіл з наявними в них тріщинами і проблемі діагностики наявності таких в тілах. У роботі розроблено новий підхід до дослідження тривимірних динамічних задач концентрації пружних напружень біля дефектів, що лежать на циліндричних поверхнях, оснований на використанні розривних розвязків. Побудовано розривний розвязок тривимірних динамічних задач теорії пружності для областей, що містять циліндричні дефекти. Це дозволило задачі концентрації пружних напружень біля циліндричних дефектів зводити до інтегро-диференціальних рівнянь, що було продемонстроване на задачі кручення. Отримано ефективний наближений розвязок задачі дифракції хвилі кручення на скінченній циліндричній тріщині, а також вказано шлях до її розвязання в разі напівнескінченної тріщини. Використання неінтегрованих розвязків і залучення апарату регуляризації розбіжних інтегралів, дозволило розвязти її статичний аналог. Отримано асимптотичний розвязок задачі концентрації напружень біля краю напівнескінченної циліндричної тріщини за ударного завантаження її берегів.

Побудовано розривний розвязок тривимірних динамічних задач теорії пружності для півпростору що містить циліндричні дефекти. Отримано ефективний наближений розвязок задачі концентрації напружень біля кінцевої циліндричної тріщини що виходить на межу півпростору.

Ключові слова: розривний розвязок, теорія пружності, циліндрична тріщина, концентрація напружень, асимптотичний розвязок.

Morozov Yu.A. Dynamic problems of elastic chess concentration near the defects, that are situated on the cylindrical surfaces Manuscript

Thesis for the candidat degree in speciality 01.02.04 mechanics of a deformable solid (Physics-mathemstics scince) Odessa state Mechnicov university, Odessa, 1999.

The thesis is devoted to the two actual problems. These problems are following: the fracture destruction mechanics of the bodies with cracks and problem of the last ones diagnostic in the bodies. The new approach to the researching of the three-dimensional dynamic problems of the elastic stress concentration near the defect, that are situated on the cylindrical surfaces, basing on the near discontinuous solutions using, is worked out in the thesis. The discontinuous solution of the three-dimensional dynamic problems of elasticity for the areal with cylindrical cracks is constructed. It permitted to reduce the problems of the elastic stress concentration near the cylindrical defects to the integro-differential equations. It was demonstrated on the torsion problem. The effective approximate solution of the problem on the torsion wave diffraction on the finite cylindrical crack is obtained. The way of its solution in the case of the halfinfinit crack is mentioned also. The using of the nonintegralle solutions and the apparatus of the divergence integral regularization permitted to solve its static analog. The asymptotic solution of the stress concentration problem near the edge of the halfinfinit cylindrical crack by the impulse loading on its breuchs is obtained.

The discontinuous solution of the three-dimensional dynamic problems of elasticity the halfspace with the cylindrical cracks is constructed. The effective approximate solution of the stress concentration problem near the finite cylindrical crack going on the bound of the halfspace is obtained.

Keywords: discontinuous solutions, cylindrical crack, elastic stress concentration, halfspace, asymptotic solution.

Морозов Ю.А. Динамические задачи концентрации упругих напряжений возле дефектов, лежащих на цилиндрических поверхностях - Рукопись

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.04- механика деформированного твердого тела. - Одесский государственный университет имени И.И. Мечникова, Одесса, 1999.

Диссертация посвящена двум актуальным проблемам: механике хрупкого разрушения тел с имеющимися в них трещинами и проблеме диагностики наличия таковых в телах. В диссертации разработан новый подход к исследованию трехмерных динамических задач концентрации упругих напряжений возле дефектов лежащих на цилиндрических поверхностях, основанный на использовании разрывных решений. Построено разрывное решения трехмерных динамических задач теории упругости для областей, содержащих цилиндрические дефекты. Полученное разрывное решение позволяет сводить задачи концентрации упругих напряжений возле цилиндрических дефектов сводить к интегро-дифференциальным уравнениям. Это было продемонстрировано на задаче кручения неограниченной упругой среды, содержащей конечную (полубесконечную) цилиндрическую трещину. В случае конечной трещины для эффективного приближенного решения полученного интегро-дифференциальное уравнение был применен метод ортогональных многочленов. Полученное приближенное решение позволило легко найти коэффициент интенсивности напряжений возле обоих краев трещины а также асимптотические формулы для определения перемещений, вызванных отраженной от дефекта волной. По результатам численных исследований построена диаграмма направленности. В случае полубесконечной трещины было показано, как можно построить точное решение полученного интегро-дифференциального уравнения методом факторизации. Однако учитывая, что в статической постановке эта задача не была решена и ее решение, требовало использования нестандартных подходов, поэтому внимание было сосредоточено на этом случае. Использование неинтегрируемых решений и привлечение аппарата регуляризации расходящихся интегралов позволило решить ее точное решение методом факторизации.

Используя построенное разрывное решение, задача концентрации напряжений возле края полубесконечной цилиндрической трещины при ударном загружении ее берегов была сведена к интегро-дифференциальному уравнению. Представлен эффективный приближенный метод решения интегро-дифференциального уравнения данной задачи, основанный на использование нового спектрального соотношения для многочленов Чебышева-Лагерра. Приведены методика выделения коэффициента интенсивности напряжений и его численное определение для случая малых времен.

Построено разрывное решение трехмерных динамических задач теории упругости для полупространства, содержащего цилиндрический дефект. Граница полупространства моделируется фиктивным дефектом (трещиной) в виде плоскости, поэтому вначале строилось разрывное решения динамических уравнений движения упругой среды для плоского дефекта. Для построения разрывного решения уравнений движения для полупространства, оказалось целесообразным выразить скачки волновых функций на плоском (фиктивном) дефекте через соответствующие скачки на цилиндрическом дефекте. Этим достигается возможность избавиться от интегрирования по границе полупространства и свести поставленную задачу к интегральному уравнению (системе) с интегрированием по поверхности цилиндрического дефекта. Полученное разрывное решение позволяет сводить любую задачу о концентрации напряжений возле цилиндрического дефекта произвольной природы к интегральным или интегро-дифференциальным уравнениям, заданным в области указанного дефекта.

Для иллюстрации применения полученного разрывного решения рассмотрена задача концентрации напряжений возле конечной цилиндрической трещины выходящей на границу полупространства. Методом ортогональных многочленов получено эффективное приближенное решение поставленной задачи.

Ключевые слова: розрывное решение, теория упругости, цилиндрическая трещина, концентрация напряжений, полупространство, асимптотическое решение.